带跳扩散模型的Gibbs采样器在欧洲call中的应用

2022-6-2 19:22:44

2018年6月19日12:36 WSPC/说明文件论文˙v4International Journal of Theory and Application Financec 世界科学出版公司具有跳跃扩散模型的IBBS采样器：在欧洲看涨期权和年金中的应用，Countrybanana@1utar.myGOH马来西亚雪兰莪州卡扬市，邮编：43000，Bandar Sungai Long，Tunku Abdul Rahman大学工程学院YONG KHENGLee Kong Chian，Countrygohyk@utar.edu.myLAI马来西亚雪兰莪州卡扬43000号班达尔成盖隆市通库大学工程学院，邮编：Abdul Rahman，Countrylaiac@utar.edu.myReceived（2017年9月25日）修订（日-月-年）在本文中，我们提出了一种通过跳跃扩散过程建模的市场参数估计方法。该方法基于吉布斯采样器，市场参数为漂移、波动率、跳跃强度及其发生率。将演示如何使用这些参数来估计欧洲看涨期权和年金的公平价格，在这种情况下，市场是由不同强度和发生率的跳跃差异过程建模的。将结果与常规选项进行比较，以观察跳跃效应的影响。关键词：改良跳跃扩散；吉布斯取样器；年金；欧洲看涨期权。众所周知，金融市场波动性大，很难预测。尽管有其特点，投资者仍在努力学习和预测金融市场。建模股票价格运动最常用的方法是布朗运动。

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2022-6-2 19:22:48

布朗运动在期权定价中应用的一个例子是使用Black-Scholes模型。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v42 Lau Kein JoeIn 90年代初，Black Sholes模型被认为是计算期权价格最有利的方法之一。该模型使用预期波动率（隐含波动率）计算，以预测金融资产的未来价格，其中许多投资者使用该模型计算期权的公允价格。然而，在1997年金融危机期间，大多数投资者（包括经验丰富的市场投资者）都在承受价格暴涨造成的重大损失。这表明，黑鞋模型可能在一定程度上有用，但它无法处理市场大幅波动的极端事件。在这里，我们提出了一个模型，旨在扩展带跳跃的Black Sholes模型的使用。在Black-Scholes模型中加入跳跃并非新鲜事。然而，当前可用的模型假定在向上和向下方向上都存在对称的跳跃分布。在我们的模型中，我们将分别处理两个方向上的跳跃。2、文献综述几何布朗运动是Black-Scholes模型的基础。Samuelson（1952）提到，资产价格的随机过程可以描述为几何布朗运动（GBM），形式为随机微分方程（SDE）：dS（t）=uS（t）dt+σS（t）dW（t），（2.1），其中u是漂移率或收益率；σ是资产的波动率；W（t）是维纳过程，S（t）是标的资产的现货价格。Adeosun（2015）所做的工作解释说，作为预测或预测，市场需要的远不止几何布朗运动（GBM），其中只考虑资产的波动性和漂移。仅基于GBM的模型将不足以适应市场价格。

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2022-6-2 19:22:50

有几次，资产价格的变化比其计算的波动率大得多。在过去40年中，人们提出了各种模型来反映资产回报的不连续性和跳跃性，包括默顿（1996、2008和1976）。在他的模型中，默顿通过使用复合泊松模型（Press，S.J.1967）S（t）=S（0）e（u），在Black Sholes公式中添加了跳跃分量-σ） +σW（t）N（t）Yi=1eYi，（2.2），其中N（t）是泊松过程；Yi是标准正态分布随机变量；u是漂移系数；σ是基础GBM的波动率。假设市场遵循几何布朗运动，额外的泊松过程描述了跳跃事件的到来。跳跃事件有其自身的漂移和波动性术语，与这些基本GBM不同。Kou S.G.June 19，2018 12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4 Instructions for Typing Drafts（论文标题）3（2008）修改了上述模型，并将其变为指数分布的两倍。Kou建议，这将使人们能够获得大多数路径相关期权的解析解，包括障碍期权和美式期权的解析近似值（Kou S.G.（2008））。Kou的Yi双指数分布由以下方程描述：fY（y）=p·ηe-ηy{y≥0}+q·ηeηy{y<0}，（2.3），其中oη>1，η>0，op，q≥ 0，p+q=1，表示向上和向下跳跃的概率；oη> 需要1，以便E（ey）<∞; 和oE（S（t））<∞.寇指出，双指数分布的两个性质对模型很重要。第一个是跳跃大小的轻量级或“肥尾”特征，它继承了回报分布。这种特性是有意义的，因为仪器的跳跃不是完全随机的，但肯定取决于仪器本身的特性。

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2022-6-2 19:22:54

例如，一种工具不会出现相对于其现货价格相差数倍的大幅跳跃。第二个关键性质是双指数分布的鞅性质。这种独特的性质允许期权定价问题的闭式解（或近似解）可行。此外，寇的模型还具有内部自洽和在均衡环境下无套利的优点。该模型能够捕捉股票市场的经验方面，模型参数可以直接校准（Ramezani，C.A.和Zeng，Y.2007）。Kou表明，跳跃扩散模型可以改进Black-Scholes模型的经验含义，因为它保留并保持了其分析的可处理性。WhileWong和Chan（2006）表明，跳跃模型可以获得更好的市场定价，而不是使用几何布朗运动的Black-Scholes模型期权定价方法。因此，本研究旨在将跳跃扩散模型引入BlackScholes模型，并检验其在欧洲看涨期权和年金中的适用性。下一节将讨论跳跃模型参数的计算方法，以及这些参数对期权定价的影响。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v44 Lau Kein Joe3。研究方法3.1。数据收集在这项研究中，我们选择了道琼斯工业指数（DJI）、纳斯达克综合指数100（NASDAQ 100）、富时100指数（FTSE 100）、标准普尔500指数（S&P 500）和纽约证券交易所阿尔卡石油天然气指数（OilGas）。我们从雅虎财经检索这些市场数据。收集的数据涵盖2005年1月1日至2015年1月1日期间。我们将提取的数据分为两个不同时期，即2005年至2010年和2011年至2015年，其中第一个时期包括2007年和2008年，即经济危机时期。

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2022-6-2 19:22:57

第二个阶段是，因此我们可以比较吉布斯采样器对两组数据的结果。3.2. Gibbs采样方法和跳跃扩散模型参数在本研究中，我们将使用Gibbs采样方法获得跳跃扩散模型中的参数值（u、σ、uJand和λjump）（Chan，N.H.andWong，H.Y.2006，George C.和Edward I.George，1992年8月）。吉布斯抽样法的基本思想是利用马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）和Metropolis-Hasting模型的贝叶斯推理。Metropolis-Hastingmodel是一个迭代过程，它使用接受-拒绝方法向分布更新初始化值。虽然Gibbs采样技术是一种特殊情况，在这里我们接受迭代的每次更新。该模型从可数态集X上的概率质量函数（pmf）π和实值函数f（X）开始。这里，π和f（X）都被认为是复杂的，精确计算它们的值很难，并且无法精确采样。因此，我们使用该模型从π近似采样，或近似期望值E[f（X）]，其中X~ π，并按π分布。Gibbs采样算法如下：1。我们引入了建议矩阵Q。Q是一个随机矩阵，其中所有元素都是正的，每行的和等于1。（Qab=Qba，a、 b类∈ 十） 2。初始化Xin X3。对于迭代，其中i=0，1，2，n- 1：（a）从Q（xi，x）中抽取样本x，这样xi是一个固定的已知变量，x是在所有可能状态范围内的样本，（或者可以说P（x | xi）=Q（xi，x））（b）从均匀（0,1）中抽取样本au，（c）如果u<（|π（x））（|π（xi）），这是x的概率，那么x（i+1）=x，否则我们拒绝新抽取的样本，xi+1=xi。输出将是{x，x，x，xn}的序列。迭代过程将用于采样参数。

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2022-6-2 19:22:59

由于每个不同的参数遵循各自的分布，通过迭代其后验分布，可以抽取2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明（论文标题）5个参数。我们对相关参数实施了吉布斯采样器：漂移、u和波动率、标的资产的σ、跳跃事件的到来、λ和跳跃强度、uJand跳跃波动率、每个跳跃的σ跳跃。这些参数将显示基础资产的行为和移动，因此了解这些特征将为投资者管理风险提供洞察力。在使用Gibbs采样器进行参数采样的情况下，建议矩阵Q将是参数的后验分布。我们将初始化initialparameter为X，并重复采样过程，直到收敛。输出列表将是参数的样本。表1报告了模拟跳跃扩散模型中Gibbs采样法的参数值。表1：。测试Gibbs采样器算法。平均预设平均标准偏差漂移0.1 0.00198 0.43901波动率0.5 0.47655 0.02244跳跃强度10.0 9.51044 3.77489跳跃漂移0.05 0.05295 0.08975S。跳跃的D 0.025 0.16545 0.03999Gibbs采样器在参数跳跃漂移和跳跃的标准偏差方面存在收敛的局限性。3.3. 双指数模型的参数Kou建议使用方程N2.3中的双指数模型建立跳跃扩散模型。双指数的使用要求Kou的模型有更多的参数。除了资产的漂移和波动性，u和σ，Kou模型要求η和η用正态分布代替ujj。η和η是双指数模型所需的向上和向下跳跃的平均强度。

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2022-6-2 19:23:03

跳跃事件的到达，λ跳跃在口模型中包括向上和向下跳跃事件。在整个研究过程中，我们发现向上跳和向下跳的到达并不相互依赖。因此，我们提出了一种改进的方法，将跳跃到达参数拆分为两个不同的参数。这将确保向上和向下跳跃到达的伸缩性。S（t）=S（0）e（u-σ） +σW（t）N（t）Yi=1eY1，iN（t）Yi=1eY2，i，（3.1），其中N（t）是泊松过程；Yiis标准正态分布随机变量2018年6月19日12:36 WSPC/指令文件纸˙v46 Lau Kein Joeable；u是漂移系数；σ是基础GBM的波动率。fY（y）=p·ηe-ηy，fY（y）=-q·ηe-ηy.（3.2）由于吉布斯抽样法对噪音和资产漂移有限制，因此通过使用不同的方法获得参数值。首先，我们将考虑连续几天的价格差异。通过按升序排列，我们可以获得正负差异的中值。差值大于正中值四倍（或小于负中值四倍）的值可能是跳跃尖峰。这些将是跳跃强度，将输入到修改后的跳跃模型的双指数部分。此类峰值的次数被视为跳跃事件的到达次数，并将用于跳跃事件的泊松分布。最后，通过对标的资产收益率的平均对数，我们可以得到标的资产的漂移和波动率。例如，我们使用道琼斯2007年的数据。我们将获得一个预期的向上峰值和五个向下峰值，强度分别为0.012和0.0107。2007年道琼斯指数的漂移和波动率分别为-0.0043和0.1454。3.4.

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2022-6-2 19:23:06

欧洲看涨期权和可变年金与跳投的支付虽然跳投事件的数量对于每个市场工具也是不同的。一般认为，市场危机将每十年发生一次。然而，上涨并不意味着价格下跌，上涨也是可能的。除日常正常波动外，投资者应如何分组和识别跳跃，将是需要考虑的关键因素。这一部分将在今后的研究工作中进一步确定。因为不同仪器的跳跃参数值不同。我们将设定o<λ<4，0<uJ<0.08的范围，而初始价格和执行价格等于100美元。资产、u和σ值的漂移和波动性固定为0.08和0.4。我们将用它来模拟跳跃扩散过程，并计算欧洲看涨期权的预期收益。结果表明，普通跳跃模型低估了收益。当跳跃强度用平均值零进行归一化时，跳跃尖峰的预期收益将为零。这与我们最初的想法相矛盾，即预期跳跃事件的发生是根据实际市场价格计算的。因此，我们认为跳跃扩散模型需要修改。我们将λ扩展为两个不同的跳跃分量，以适应向上尖峰和向下尖峰，而不是单个跳跃参数。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）73.5。跳跃式差异年金模式年金的价值因年金受益人的不同要求而不同。未来更大的收入流和保险担保成本更高（或固定年金支付），反之亦然。在Black-Scholesmodel假设下，年金账户价值的动态如下：dAt=（u- c） Atdt+σAtdBt+kdt。

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2022-6-2 19:23:09

（3.3）其中，at和c分别表示为t时的子账户价值和连续应付的M＆E（死亡率和费用）费用，k表示对子账户的后续贡献。在Black-Scholes模型下，结合几何布朗运动（GBM）和跳跃事件（方程式（2.2）中的跳跃模型）由以下SDE给出：dSt=uStdt+σStdBt+JStdNt（3.4），考虑到极端事件，子账户值将使用跳跃扩散模型假设进行修改，并变为：dAt=At（dSt）/St- cAtdt+kdt=At（dt+dBt+JdNt）- cAtdt+kdt=（- c） Atdt+AtdBt+JAtdNt+kdt（3.5）我们认为年金受益人有保证福利和累积保费，包括保证最低死亡福利和保证最低累计福利（GMDB和GMAB）。担保收益具有预先约定的担保利率g≥ 0，选择g<r（GMAB特性）。因此，担保收益如下所示：Gt=（在（dSt）/St- cAtdt+kdtAt（udt+σdBt+JdNt）- cAtdt+kdt（3.6）这种担保收益类似于亚洲看跌期权，其中子账户价值At成为基础资产。Payoff函数P（t）如下所示：P（t）=[G（t）- At]+=最大值{Gt- At，0}，对于t≤ T（3.7）我们将使用跳跃模型计算和模拟标准普尔500指数市场中的年金支付。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v48 Lau Kein Joe4。结果和数据分析4.1。市场指数的吉布斯采样器在方法论上，我们已经计算并表明吉布斯采样器可以从跳跃模型中检索漂移、标准差和跳跃参数。现在我们进一步探讨其他市场指数。我们选择了道琼斯工业指数（DJI）、纳斯达克综合指数100（NASDAQ100）、富时100指数（FTSE 100）、标准普尔500指数（S&P 500）和纽约证券交易所ARCA石油天然气指数（OilGas）。

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2022-6-2 19:23:12

在表2中，我们使用2005年10月至2010年12月的数据显示了吉布斯采样器的结果，而表3显示了2010年10月至2015年12月期间的结果。表2：。2005年和2010年不同指标提取参数的比较。道琼斯标准普尔500指数平均纳斯达克100富时100指数油气漂移0.10245 0.11345 0.10625 0.11171 0.22821波动率0.12574 0.14119 0.17082 0.14919 0.22557跳跃到达19.33768 19.24939 14.06721 16.59051 15.91333跳跃强度-0.00407-0.00519-0.00388-0.00475-0.01131S。跳距D 0.04524 0.04711 0.05277 0.04554 0.06655表3。2010年和2015年不同指标提取参数的比较。道琼斯标准普尔500指数纳斯达克100富时100指数油气漂移平均值0.13043 0.14949 0.17544 0.06069 0.11527波动率0.12365 0.12797 0.14913 0.14301 0.18886跳跃到达5.23150 6.83121 6.07712 6.08239 12.74748跳跃强度-0.00592-0.00478-0.00568-0.00446-0.00615S。跳跃D 0.05644 0.05294 0.05739 0.05095 0.04405表格显示，与2010年至2015年期间相比，2005年至2010年期间包含更多到达跳跃。第一期指数涨幅最小，达到14点。然而，跳跃的强度比我们预期的要小。因此，我们认为参数在跳跃到达、跳跃强度及其波动性之间具有聚集效应。由于历史数据样本有限，因此无法确定trueparameter值。当我们将表3中第二阶段的值与表2中第一阶段的值进行比较时，跳跃强度及其波动性的值差别不大。然而，除了纽约证券交易所ARCA石油天然气指数外，大多数指数的平均到达时间均为6，跳跃的到达时间显示出明显的差异。

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2022-6-2 19:23:15

1以下2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v4 Instructions for Typing Drafts（论文标题）9显示了两个不同时期每个索引的跳转到达。图1：。两个不同时期（2005年至2010年和2010年至2015年）不同市场指数的跳跃式增长。从图1中，我们可以看出，与未来5年相比，2005年10月至2010年12月期间，市场出现了一次跳跃式增长。正如我们所说，2007年和2008年，我们经历了一场世界经济衰退。价格的大幅下跌使得价格飙升至近20美元。惠斯特，2010年市场更加稳定，因此跳跃发生率下降至5和6。2010年至2015年期间，纽约证券交易所ARCA石油天然气指数的涨幅高于其他四个指数。由于他们的平均到达量已降至6，石油和天然气指数仍保持在13个到达量的高位。因此，我们检查了2005年10月1日至2015年9月30日期间的历史指数价格，如下图2所示。上面的图2显示，2008年至2009年期间有一些高峰值变化，这些区域位于圆圈中。我们可以看到，由于价格在第二阶段（2012年左右）突然下跌，纽约证券交易所ARCA石油天然气指数仍然保持较高的涨幅，而其他指数则开始稍微稳定一些。直到2015年，石油和汽油价格不时保持高度波动，因此跳跃事件的到来保持在更高的水平。这表明Gibbs采样器可以对这段时间内发生的跳跃到达次数提供良好的预期，但它可能会受到参数之间的聚集效应的影响。在下一节中，我们将比较跳跃差异模型与欧洲看涨期权和年金，并检查其对这两种工具定价的影响。

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2022-6-2 19:23:18

这是为了检查跳跃模型是否能在两种不同类型的仪器中保持其特性。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v410 Lau Kein JoeFig。2、4个指标价格行为比较。数据检索自Yahoo Finance）4.2。跳跃扩散模型与几何布朗运动模型在欧式看涨期权支付上的比较。通过Blacks-Scholes模型，可以计算出期权的定价，从而确定期权的潜在风险和收益。由于跳跃模型中包含跳跃事件，因此风险和支付应不同于普通黑人斯科尔斯。此处的目的是确定jumpspike的影响会对看涨期权的支付产生多大的影响。在这里，我们构建了跳跃差分模型和几何布朗运动模型函数，在这里我们可以模拟其样本。我们为初始价格设定了fix，Sof 100，执行价格K=100。漂移μ和波动率σ应为常数。利用Black-Scholes模型计算了采用几何布朗运动的欧式看涨期权的收益。当时间t，sti的预期价格高于履约价格K时，我们将行使期权。当低于履约价格K时，我们将不行使期权。因此，当时的支付额t等于最大值（St- K、 0）。同时，使用跳差模型的欧洲看涨期权的支付也将使用Black-Scholes模型进行计算，类似于上文。然而，JumpDiffusion模型的参数范围不同。对于图3中极端事件的到达，λ或跳跃到达，将从零（无跳跃事件，2018年6月19日12:36 WSPC/指令文件纸张˙V4打字说明（纸张标题）11或正常几何布朗运动）设置为四，直到四，表示每年有四个尖峰。而另一个参数是每次跳跃的强度在0到0.8之间。

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2022-6-2 19:23:22

结果如图3所示。图3：。不同跳跃强度和到达的预期收益图3中的白点是具有几何布朗运动的欧式看涨期权的收益。沿着跳跃到达为零的纵轴，我们可以观察到看涨期权的收益率在零左右波动。当跳跃事件发生时，白点处的支付超过布朗运动的预期支付，并与强度的增加成正比。。从结果来看，随着跳跃强度的增加，支付会增加更多。当跳跃强度和到达达到最高水平时，出现最高峰值。这一结果只考虑了如果存在正跳跃尖峰，则会出现负跳跃尖峰，从而导致资产产生更大的负回报。这表明，在Black-Scholes模型下，几何布朗运动不能预期每个跳跃事件背后会发生更大的风险。这将导致市场上的Call option定价错误。我们将选取标准普尔500指数和道琼斯指数，并与欧洲看涨期权进行比较。图中右侧为琼斯指数下跌，左侧为标准普尔500指数下跌。在图4的右侧，星号显示了道琼斯（DJI）在1995年至2015年20年间的预期正跳增和强度。我们可以观察到，预计的定价回报将不同于2018年6月19日12:36 WSPC/说明文件˙v412 Lau Kein JoeFig。道琼斯指数和标准普尔500指数欧洲看涨期权20年的预期定价，我们根本没有考虑跳跃。对于标准化回报，可达到的最高回报甚至可能达到约0.7。从图4的左侧看，dot显示了从1995年到2015年过去20年间，标普500指数的预期正跳跃到达量和强度。

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2022-6-2 19:23:26

我们可以观察到，定价的预期收益不仅与Europeancall不同，而且与DJI指数也不同。对于标准化回报，可达到的最高回报可能超过1.0。这表明，对于不同的指数或资产，跳跃是不一致的。下一节，我们将尝试跳跃扩散模型在年金定价中的应用。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）134.3。采用跳跃式差异模型的年金定价正如我们在方法中提到的，年金的定价如果由等式EQ表示。(3.7). 尽管定价公司意识到预期的公平价格受到极端事件的影响，但他们在定价中没有考虑风险的可能性。图5：。基于DJI和S&P500的跳跃式年金模型的预期回报函数。图5显示了在正向上跳事件期间，带跳差模型的年金的两种不同定价支付。左图显示了基于道琼斯指数的定价回报，红点是1995年至2015年的历史年度定价。右图以标准普尔500指数为基础，同期DJI为蓝色星号点。当我们仔细观察左图时，不考虑跳跃事件的年金定价是在原点分配的，支付低于2.4。然而，我们可以看到，当我们预计出现积极的漂移跳跃事件时，历史数据中的大部分预期收益较高。这表明，如果不考虑积极极端事件的变化，年金被低估了。反之亦然，在负漂移跳跃事件中，预期的定价回报将预期更高的损失。结果，导致年金政策被高估。任何一种漂移都会导致公平定价的失败。

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2022-6-2 19:23:29

考虑跳跃事件的必要性很重要，因为定价公司将失去其竞争力，而其他公司的价格过高或过低。。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙v414 Lau Kein Joe5。结论与讨论1998年的经济低迷和2007年的次贷危机都是经济中最引人注目的极端事件。不可否认，市场甚至单一资产中确实存在极端事件。在其发生之前捕捉其信号的能力是非常重要的，因为这将大大降低投资者承受的风险。跳跃差异模型在捕捉此类信号方面比观察过去的价格或市场行为（如移动平均线和趋势）更有用。至于Black-Scholes模型，我们已经证明，无法捕捉极端泵事件将导致投资者陷入BS模型无法预见的更高风险状况。这项研究确定了跳跃对欧洲看涨期权、不同跳跃强度和发生率的影响。结果表明，跳变漂移、跳变到达、跳变σ会影响期权的支付效果。根据跳跃的漂移，结果会更高或更低。即使漂移为零，回报也会受到影响，因为跳跃的波动会改变价格。这意味着，无论何时，只要我们预计股市或市场会大幅上涨，即使漂移很小，波动的风险仍然存在。只要价格上涨，就会有更大的风险，预计价格会波动。吉布斯抽样技术可以标定出市场数据的值和参数，即模型本身的漂移和波动性、跳跃的到达和跳跃的漂移和波动性。然而，它有一些困难，因为参数的转换有一些限制。

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2022-6-2 19:23:33

有时，可以使用不同的参数集模拟股票的相同路径和模式，这些参数可能彼此接近。例如，高漂移低波动性股票路径可能通过稍微低漂移但高波动性来实现。因此，resultsattain有一系列的可能性。然而，如果跳跃的到来和强度被检查为很高，那么股票本身几乎肯定会经历几次跳跃事件，预计在不久的将来价格会发生巨大的波动。riskJump Diffusion模型不仅仅适用于期权。这可能有助于计算对其他衍生品的预期。结果表明，如果基础资产发生正跳事件，年金的支付功能可能会更高。类似地，如果要经历一个消极的泵事件，则有很大的损失风险。在这种情况下，我们可以说年金被低估了，因为承担的风险远远大于他们的预期。例如，我们参考上一节中的图5，价格应该在2.6左右，而不是2.3左右，不考虑跳跃风险。为了更好地管理风险和防止损失，可能还有其他衍生工具和目的可以将扩散模型融入其中。因此，在处理市场衍生品时，考虑跳跃模型比几何布朗运动更重要。2018年6月19日12:36 WSPC/INSTRUCTION FILE paper˙V4打字说明手稿（论文标题）15参考Bates，D.（1996）。跳跃与随机波动：汇率过程隐含指数期权。《金融研究评论》，9（1），69-107。Black，F.和Scholes，M.（1973年）。《期权定价与公司负债》，政治经济学杂志，81（3），第636-654页，新罕布什尔州Chan和Wong，H.Y.（2006）。

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