对于任何R∈ 闭合的E，R=（0，∞) 或R=[a，∞) 对于大于0的部分。证据对于任何R∈ E关闭时，观察R 6=. 实际上，如果R=, （3.9）意味着对于所有的x>0，J（x，R）=0<x，这与R是一个平衡相矛盾。假设R 6=, 取a：=inf R≥ 通过矛盾，假设存在x∈ （a），∞) 这样x/∈ R、 定义l := 辅助{y∈ R：y<x}和R：=inf{y∈ R:y>x}，（6.1）其中，最大值为∞ 如果不存在y∈ y>x时的R。通过R的贴近度，我们得到l < x和r>x，因此ρ（x，r）>0 Px-a.s.，对于ν≤ -1/2或等效u≤ 0，X是一个变量。因此，J（x，R）<ExXρ（X，R）≤ x、 其中，第一个不等式遵循fr omρ（x，R）>0，第二个不等式遵循上鞅性质。这意味着x∈ SR，wh ich反驳了R是平衡的事实。为了理解（3.7）中给出的J（x，R）的行为，我们需要下一个技术引理。引理6.3。对于任何a>0，定义κ（x，a）：=Exa1+βTxa对于0<x≤ a、 （6.2）其中TXA的定义如（5.5）所示。然后，（i）x 7→ κ（x，a）严格地在（0，a）上增加，具有limx→0κ（x，a）=0和κ（a，a）=a.（ii）如果ν≤ -1/2 x 7→ κ（x，a）在（0，a）上是严格凸的。（iii）如果ν>-1/2，然后limx→0κx（x，a）=∞, 和x 7→ κ（x，a）要么在（0，a）上是严格凹的，要么在（0，x）上是严格凹的*) 在（x）上严格凸*, a） 对于某些x*∈ （0，a）。证据通过定义，κ（a，a）=a。让p（t）表示Txa的密度函数。观察κ（x，a）=aZ∞p（t）1+βtdt=aZ∞Z∞e-（1+βt）sp（t）dsdt=aZ∞e-塞克斯-βsTxaids=aZ∞e-sxa公司qν+2βsσ-νds，其中最后一个等式来自[5，第628页公式2.0.1]。这特别表明Limx→0κ（x，a）=0。考虑g（s，ν）：=pν+2βs/σ- ν. （6.3）根据定义，对于所有s>0的情况，g（s，ν）>0。

观察κx（x，a）=Z∞e-sg（s，ν）xa公司g（s，ν）-1ds>0x个∈ （0，a），（6.4），因此x 7→ κ（x，a）在（0，a）上严格递增。如果ν≤ -1/2，然后g（s，ν）>|ν|- ν ≥ 1表示所有s>0。因此x 7→ κx（x，a）在（0，a）上严格增加，即x 7→ κ（x，a）在（0，a）上是严格凸的。如果ν>-1/2，必须存在*> 0使得g（s，ν）- 1<0当且仅当s<s*. 然后可以将κx（x，a）重写为κx（x，a）=Zs*e-sg（s，ν）斧头1.-g（s，ν）ds+Z∞s*e-sg（s，ν）xa公司g（s，ν）-1ds。（6.5）观察limx→0κx（x，a）=∞, 当exp上方右侧的第一项出现时，第二项消失。此外，从（6.4），κxx（x，a）=aZ∞e-sg（s，ν）g（s，ν）- 1.xa公司g（s，ν）-2ds=axq（x），（6.6），其中q（x）：=Zs*e-sg（s，ν）g（s，ν）- 1.xa公司g（s，ν）ds+Z∞s*e-sg（s，ν）g（s，ν）- 1.xa公司g（s，ν）ds。我们认为q在（0，a）上是严格凸的。实际上，直接计算yieldsq′（x）：=aZs公司*e-sg（s，ν）g（s，ν）- 1.斧头1.-g（s，ν）ds+Z∞s*e-sg（s，ν）g（s，ν）- 1.xa公司g（s，ν）-1ds.自g（s，ν）- 1<0当且仅当s<s*, 上面右侧的两个术语中的每一个在x中严格递增；具体而言，随着x的增加，第一项变得不那么负，而第二项变得更为正。T hus，q在（0，a）上是严格凸的。根据定义，q（0）=0。然后，q的严格凸性需要两种情况之一：（i）q（x）>0 on（0，a），或（ii）q（x）<0 on（0，x*) q（x）>0开（x*, a） ，带X*:= inf{x>0:q（x）=0}∧ a、 如果案例（i）成立，则x 7→ 从（6.6）来看，κ（x，a）在（0，a）上是严格凸的。然而，这与limx相矛盾→0κx（x，a）=∞. 星期四，我们必须在案例（二）中。再次感谢（6.6），如果x*= a、 然后x 7→ κ（x，a）在（0，a）上是严格凹的；如果x*< a、 然后x 7→ κ（x，a）在（0，x）上是严格凹的*), 在（x）上严格凸*, a） 。提案6.3。Letν≤ -1/2. 然后（0，∞) 是唯一的闭合平衡。

因此，R*= (0, ∞)是u ni que闭合最优平衡。证据对于任何a>0的情况，通过L emma 6.3（i）和（ii），x>κ（x，a）=J（x，[a，∞)) 对于所有x∈ （0，a），因此（0，a） S【a，∞). 这意味着[a，∞) /∈ E、 对于所有a>0。在引理6.2的视图中，单环平衡为（0，∞). 然后R*= (0, ∞), 仅根据（4.11）中的定义。由于X满足假设4.1，我们从引理4.2（ii）推断出，任何R∈ E必须满足yr=（0，∞). 这与备注4.3一起得出V（x，R）=V（x，（0，∞)) 对于所有x>0，对于任何R∈ E、 因此，R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡。对于ν∈ (-1/2，0]，无法获得如L emma 6.2中所述的闭合平衡的清晰表征。相反，我们推导了不同形式的闭合平衡之间的以下关系，这将证明有助于找到最佳平衡。引理6.4。Letν∈ (-1/2, 0]. 如果存在0<l < r<∞ 使得（0，l] ∪ [r，∞) ∈ E、 然后[r，∞) ∈ E、 证明。对于任何0<l < r<∞ 使得（0，l] ∪ [r，∞) ∈ E、 我们必须有j（y，R）≥ y、 对于所有y∈ (l, r） 。（6.7）对于任何y∈ (l, r） ，定义τ：=inf{t≥ 0：Xyt/∈ (l, r） }，设p：（0，∞) × {l, r}→ [0, ∞) 表示（τ，Xyτ）的节理密度函数。那么，J（y，R）=EyXτ1+βτ= lZ∞p（t，l)1+βtdt+rZ∞p（t，r）1+βtdt=lZ∞Z∞e-（1+βt）sp（t，l)dsdt+rZ∞Z∞e-（1+βt）sp（t，r）dsdt=lZ∞e-塞耶-βsτ{Xyτ=l}ids+rZ∞e-塞耶-βsτ{Xyτ=r}id。（6.8）由于Ey的公式e-βsτ{Xyτ=l}和Eye-βsτ{Xyτ=r}在第633页的[5，Formu la 3.0.5]和ν中≤ 0，上述方程为j（y，R）=lZ∞e-sh（s，y，l, r） ds+rZ∞e-sh（s，y，l, r） ds，（6.9），其中h（s，y，l, r） :=yl|ν|ry公司√ν+2βs/σ-年√ν+2βs/σrl√ν+2βs/σ-lr√ν+2βs/σ，h（s，y，l, r） :=年|ν|yl√ν+2βs/σ-ly√ν+2βs/σrl√ν+2βs/σ-lr√ν+2βs/σ。注意，通过定义，h（s，αy，αl, αr）=h（s，y，l, r） 和h（s，αy，αl, αr）=h（s，y，l, r） ，则，α > 0. （6.10）对于任何大于0的α，取R（α）：=（0，αl]∪[αr，∞).

观察th at，by（6.10），相同的计算导致（6.9）yieldsJ（αy，R（α））=αlZ∞e-sh（s，y，l, r） ds+αrZ∞e-sh（s，y，l, r） ds=αJ（y，r），y∈ (l, r） 。这与（6.7）一起给出了J（αy，R（α））≥ αy表示所有y∈ (l, r） ，这意味着（αl, αr）IR（α）∪ CR（α）。因此r（α）=（0，αl] ∪ [αr，∞) ∈ Eα > 0. （6.11）现在，考虑一个辅助停止问题，当前支付函数f（x）：=x替换为f（x）：=x∧ （r+1），对于所有x>0。对于任何x>0和R∈ B（X），则预期贴现支付额为'J（X，R）：=Exδ（ρ（x，R））(R)f（xρ（x，R））= 前任Xρ（X，R）∧ （r+1）1+βρ（x，r）.我们将用E表示这个新停止问题的所有平衡的集合。引入这一新问题的主要目的是，由于“f”是有界的，（4.2）和（4.3）是平凡满足的（f由“f”代替），因此，建议4.2和d定理4.1可以应用于新问题。对于任何0<α≤ 1，观察'J（y，R（α））=J（y，R（α））≥ y=(R)f（y）y∈ (αl, αr），其中不等式为du e至（6.11）。这意味着R（α）∈\'E表示所有0<α≤ 1、取α：=l+r2r<1，我们可以从命题4.2得出结论，[r，∞) =\\n∈N∪{0}R（αn）∈因此，J（y，[r，∞)) =\'J（y，[r，∞)) ≥\'f（y）=所有y的y∈ （0，r），这反过来表明[r，∞) ∈ E、 提案6.4。Letν∈ (-1/2, 0]. 有三种不同的情况情况1：pβπ/2σ>1。然后（0，∞) 是唯一的闭合平衡∈ (-1/2, 0].因此，R*= (0, ∞) i是唯一的封闭最优平衡，对于所有ν∈ (-1/2, 0].o 情况2：pβπ/2σ=1。（i） 如果ν=0，则[a，∞) ∈ E代表所有a∈ (0, ∞). 因此，不存在最优均衡。（ii）如果ν∈ (-1/2，0），然后（0，∞) 是唯一失去平衡的。因此，R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡情况3：pβπ/2σ<1。存在v*∈ (-1/2，0）su ch thatZ∞e-sp（ν*)+ 2βs/σ- ν*ds=1。（6.12）（i）如果ν∈ 【五】*, 0），然后[a，∞) ∈ E代表所有a∈ (0, ∞).

因此，不存在最优均衡。（ii）如果ν∈ (-1/2，v*), 然后（0，∞) 是唯一的封闭平衡。因此，R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡。证据对于每个a>0，回忆（6.2）中的函数κ（x，a）和（6.3）中的函数g（s，ν）。直接计算表明ν7→ g（s，ν）严格递减。现在，对于任何ν≤ 0，乘以（6.4），g（s，ν）在ν，limx中严格减小↑aκx（x，a）=Z∞e-sg（s，ν）ds≥Z∞e-sg（s，0）ds=Z∞e-sr2βsσds=r2βσΓ（3/2）=rβπ2σ。（6.13）注意，在上述关系中，对于ν<0，我们有严格的不等式，对于ν=0，我们有严格的不等式C情况1：pβπ/2σ>1。对于每个a>0，乘以（6.13），limx↑对于所有ν，aκx（x，a）>1≤ 这与κ（a，a）=a（引理6.3（i）），意味着存在x*∈ （0，a）使得x>κ（x，a）=J（x，[a，∞)) 对于所有x∈ （十）*, a） ，因此（x*, （a） S【a，∞). 因此，我们得出结论，[a，∞) /∈ E、 对于所有a>0。这与引理6.4一起表明（0，l] ∪ [r，∞) /∈ E表示所有0<l < r<∞. 因此（0，∞) 是唯一的封闭平衡。然后我们可以论证为inProposition 6.3，以表明R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡。oC情况2：pβπ/2σ=1。对于ν<0，（6.13）给出limx↑aκx（x，a）>1，对于任何a>0。与案例1相同的结果表明（0，∞) 是唯一的闭合平衡，R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡。对于ν=0，（6.13）给出limx↑aκx（x，a）=1，f或任何大于0的a。这与引理6.3一起，已经暗示J（x，[a，∞)) = 对于所有x，κ（x，a）>x∈ （0，a）。的确，如果κ（x′，a）≤ 某些x′的x′∈ （0，a），然后limx→0κx（x，a）=∞ （引理6.3（iii）），κ（a，a）=a（引理6.3（i）），和limx↑aκx（x，a）=1将迫使x 7→ κxx（x，a）在（0，a）上至少改变两次符号，这与引理6.3（iii）相矛盾。因此，我们有（0，a） C【a，∞), 因此，∞) ∈ E、 对于所有a>0。通过矛盾，假设存在一个最优均衡R∈ E

根据引理4.2和andRemark 4.3，它的闭合器也是一个最优平衡。注意R不能是或（0，∞). 实际上，（3.9）产生J（x，) = 0<x表示所有x>0，这意味着 甚至不是不平衡。同样，对于任何大于0的a，J（x，（0，∞)) = x<J（x，[a，∞)) 对于所有x∈ （0，a）；也就是说，∞) ∈ E生成大于（0，∞) on（0，a），因此（0，∞) 不能是最优平衡。R 6=（0，∞), 我们可以取x>0，这样x/∈ R、 定义l 和（6.1）中的r，用r代替r。根据R的接近度，我们有l < x和r>x。我们声称r<∞和l = 0。如果r=∞ , 然后l > 0必须保持，否则=. 下面是sup R=l andJ（x，R）=J（x，（0，l]) < l < x代表所有x>l, 这里，第一个不等式由（3.7）推导得出。然而，这表明R不是一个平衡，一个矛盾。因此，我们必须有r<∞ .现在，如果l > 0，th enl ∈R、 因此V(l, R） =l < J(l, [r，∞)), 其中等式来自引理4.1。这与SR是一个最优平衡相矛盾。因此，r<∞和l = 0跟在s后面，我们尤其有inf=r>0。如果存在x′>r，那么x′/∈ R、 上面相同的参数表明，inf{y<x′：y∈R} =0，其中合同icts inf R=R>0。因此，我们得出结论，r=[r，∞). 然而，对于任何ε>0，J（x，[r，∞)) = x<J（x，[r+ε，∞))on（r，r+ε）。Th为，[r+ε，∞) ∈ E生成的值大于r=[r，∞) 在（r，r+ε）上，一个矛盾是一个最优平衡C例3：pβπ/2σ<1。自ν7起→ g（s，ν）严格递减，Z∞e-sg（s、，-1/2）ds>Z∞e-sg（s，0）ds。（6.14）注意，（6.14）的左侧严格大于1，而右侧严格小于1。事实上，根据定义，g（s，-1/2）>1/2+1/2=1，所有s>0。接下来就是R∞e-sg（s、，-1/2）ds>R∞e-sds=1。另一方面，如（6.13）所示，R∞e-sg（s，0）ds=pβπ/2σ<1。

自ν7起→ g（s，ν）是连续的，我们从（6.14）得出结论，存在ν*∈ (-1/2，0）这样∞e-sg（s，ν*)ds=1，即（6.12）保持不变。对于ν∈ 【五】*, 0]，自ν7起→ g（s，ν）严格递减，limx↑aκx（x，a）=R∞e-sg（s，ν）ds≤ 1，对于任何a>0。这需要J（x，[a，∞)) = 对于所有x，κ（x，a）>x∈ （0，a）。如果不是，可以像案例2那样争论limx→0κx（x，a）=∞ （引理6.3（iii）），κ（a，a）=a（引理6.3（i）），和limx↑aκx（x，a）≤ 1将强制x 7→ κxx（x，a）在（0，a）上至少改变两次符号，这与引理6.3（iii）相矛盾。因此，我们得出结论（0，a） C【a，∞), 因此，∞) ∈ E、 对于ALA>0。这意味着，如案例2所示，不存在最优平衡。对于ν∈ (-1/2，v*), 自ν7起→ g（s，ν）严格递减，limx↑aκx（x，a）=R∞e-sg（s，ν）ds>1，对于任何a>0。然后，人们可能会像案例1到s那样争论（0，∞) 是唯一的闭合平衡，R*= (0, ∞) 是唯一的封闭最优平衡。备注6.2。对于ν∈ (-注6.1，虽然（4.2）满足要求，但（4.3）不满足要求。因此，命题6.4特别表明，当违反（4.3）时，最优均衡可能不存在。你也可以从R*在（4.11）中。在提案6.4的案例2（i）和案例3（i）中，R*\\a> 0[a，∞) = ,因此R*= . 然而，R*甚至不是一个平等的图书馆，就像J（x，) = 0<x表示所有x>0，感谢（4.2）。换句话说，定理4.1的有效性取决于（4.3）。在这一小节中，我们讨论了最优平衡的形式变化和可能不存在的原因，这取决于几何布朗运动X的向上势。回想一下，在（3.8）中，ν测量X的向上势。对于ν>0，X允许最强的向上势（回忆一下（3.9））。预计未来所有人都会选择继续（即遵循停止政策), 这将导致支付（x，) = ∞, 现在的自己也非常乐意继续下去。

这使得 （即“neverstop”）最优平衡，如命题6.2中的n所示。对于ν≤ -1/2，X具有强大的下行潜力，因此任何轻微延续的预期收益都低于停止的即时收益。停止策略（0，∞) （即“永不开始”）是唯一的（封闭）平衡，如6.3命题所述。最有趣的例子是ν∈ (-1/2，0]，其中需要将X的平庸潜力与贴现幅度（β>0）进行密切比较。如果贴现相对于X的波动性足够严重（即pβπ/2σ>1），贴现超过X的上升潜力，因此任何轻微持续的预期收益低于停止的即时收益（类似于ν的情况≤ -1/2). 停止策略（0，∞)（即“永不开始”）是唯一的（闭合）平衡，如6.4号提案案例1所示。另一方面，如果贴现相对于X的波动性不那么严重（即pβπ/2σ≤ 1） ，临界水平ν*∈ (- 1/2，0]起作用，如提案6.4中的案例2和案例3所示。对于ν<ν*, X的上升潜力不足以超过贴现（如上所述），d（0，∞) （即“永不开始”）是唯一的（闭合）平衡。对于ν≥ ν*, X的上升潜力大于贴现，因此，持续到任何阈值a>0都比立即停止要好，因此[a，∞) 是所有a>0的平衡。由于Discount函数（3.6）指示减少不耐烦，代理倾向于在es上使用较小的Equalibria，而不是较大的Equalibria；参见推论3.1及其下面的详细讨论。这意味着[a′，∞) 是首选版本[a，∞), 对于所有0<a<a′。有趣的是，尽管在均衡中存在这种定义明确的“order-er关系”，但并不存在最优均衡。

实际上，任何平衡，∞) 被另一个平衡点【a′所超越，∞) a′>a，唯一有希望的候选人a>0[a，∞) =  如注释6.2.6.3所述，非均衡，几何布朗运动上的美式看跌期权考虑（3.5）给出的几何布朗运动X，状态空间X=（0，∞), 以及支付函数f（x）：=（K- x） +在x上，对于某些K>0，以及（3.6）中规定的双曲线贴现率。（2.5）中的预期收益J（x，R）采用公式J（x，R）=Ex（K）- Xρ（X，R））+1+βρ（X，R）. （6.15）当前设置与双曲线贴现下的永久美式看跌期权定价有关。或者，它可以被视为一个实物期权问题，公司的管理层会考虑一个投资计划，该计划具有恒定的回报和随机的成本演变为X，并决定何时执行。如第6.2节所述，X满足假设4.1，由于备注4.2。此外，由于fis有界，（4.2）和（4.3）基本成立。因此，命题4.1、定理4.1和定理5.1都可以应用于这个停止问题。对于u≥ 0时，可以获得闭合平衡的清晰表征。引理6.5。Letu≥ 0.对于任何R∈ 封闭并包含在（0，K）中的E，对于somea，R=（0，a∈ （0，K）.证明.对于任何R∈ 闭合并包含在（0，K）中的E，设置a：=sup R≤ K、 自相矛盾的是，假设存在x∈ （0，a）使得x/∈ R、 定义l 和（6.1）中的rl 如果不存在y，则视为0∈ y<x的R。通过R的闭度，我们得到l < x和r>x，因此ρ（x，r）>0 Px-a.s。这一影响是j（x，r）<Ex（K）- Xρ（X，R））+= 前任K- Xρ（X，R）= K- Ex[Xρ（X，R）]。带u≥ 0，X是一个子鞅，因此Ex[Xρ（X，R）]≥ x、 前一个不等式则yieldsJ（x，R）<K- x=f（x），即x∈ 高级工程师。

这个矛盾证明了R是一个平衡点。为了理解（6.15）中给出的J（x，R）的行为，我们需要下一个技术引理。回忆常量ν∈ R in（3.8），定义λ：=Z∞e-spν+2βs/σ+νds>0。（6.16）引理6.6。对于任何a∈ （0，K），定义η（x，a）：=ExK- a1+βTxa对于≤ x<∞,其中TXA定义如（5.5）所示。然后，（i）x 7→ η（x，a）在（a，∞), η（a，a）=K- a和Limx→∞η（x，a）=0。（ii）如果<λ1+λK、 λ>0，如（6.16）所示，然后x 7→ η（x，a）和x 7→ （K）- x） +相交一次（a，∞), 交点发生在某个x*∈ （a，K）。此外，η（x，a）<（K- x） +开（a，x*) 和η（x，a）>（K- x） +开（x*, ∞).（iii）如果≥λ1+λK、 λ>0，如（6.16）所示，则η（x，a）>（K- x） +关于（a），∞).证据定义η（a，a）=K- a、 设p（t）表示Txa的密度函数。观察η（x，a）=（K- a） Z∞p（t）1+βtdt=（K- a） Z∞Z∞e-（1+βt）sp（t）dsdt=（K- a） Z∞e-塞克斯-βsTxaids=（K- a） Z∞e-s斧头qν+2βsσ+νds，x>a，其中最后一个等式来自[5，第628页公式2.0.1]。这特别表明Limx→∞η（x，a）=0。此外，对于任何x>a，ηx（x，a）=-K- axZ公司∞e-srν+2βsσ+ν！斧头qν+2βsσ+νds<0，ηxx（x，a）=K- axZ公司∞e-srν+2βsσ+ν！rν+2βsσ+ν+1！斧头qν+2βsσ+νds>0。因此，x 7→ η（x，a）在（a，∞). 这已经意味着X 7→ η（x，a）和x 7→ （K）-x） +最多相交一次（a，∞), 如果存在交点，则必须发生在（a，K）上。观察交点x*∈ （a，K）存在的充要条件是limx↓aηx（x，a）<-1、Sincelimx↓aηx（x，a）=-K- aaZ公司∞e-srν+2βsσ+ν！ds=-K- aaλ，limx↓aηx（x，a）<-1如果是d仅当是a<λ1+λK、 因此，对于<λ1+λK、 交叉点x*∈ （a，K）存在，我们有η（x，a）<（K- x） +开（a，x*) 和η（x，a）>（K- x） +开（x*, ∞).

论坛≥λ1+λK、 η（x，a）始终高于（K- x） +关于（a），∞).上述引理立即增强了引理6.5中的特征。推论6.1。对于任何a∈ （0，K），R=（0，a]∈ E当且仅当a≥λ1+λK、 λ>0定义（6.16）。证据对于任何a∈ （0，K），R=（0，a]∈ E当且仅当J（x，（0，a））=η（x，a）≥ （K）- a） +对于allx>a，引理6.6，当且仅当a≥λ1+λK、 对于u<0，无法获得引理6.5中的闭合平衡的特定形式。相反，我们证明了每个闭合平衡都必须包含一个公共su bset。引理6.7。让u<0。对于任何R∈ 如果i是闭的并且包含在（0，K）中，我们有0,λ1+λK R、 λ>0在（6.16）中定义。证据修复R∈ （0，K）中包含的封闭的E。通过矛盾，假设存在sx∈0,λ1+λK这样x/∈ R、 定义l 和（6.1）中的rl 如果不存在，则取为0∈ y<x的R。通过R的闭度，我们得到l < x和r>x。因为r是平衡，J（y，r）≥ f（y）f或全部y∈ (l, r） 。（6.17）首先，我们处理案例r>λ1+λK、 注意R′：=（0，l] ∪ [r，∞) 和0,λ1+λK由于（6.17）和推论6.1，二者均从E延伸至E。然后从命题4.1得出R′∩0,λ1+λK= (0, l] 同样属于E。然而，这与推论6.1相矛盾，因为l < x个≤λ1+λK、 接下来，我们处理案例r≤λ1+λK、 对于任何y∈ (l, r） ，定义τ：=inf{t≥ 0：Xyt/∈ (l, r） }，设p：（0，∞) ×{l, r} 表示（τ，Xyτ）的节理密度函数。类似于（6.8）和（6.9）yieldsJ（y，R）=（K）的计算- l)Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+（K- r） Z∞e-sh（s，y，l, r） ds，（6.18），其中功能规定如下（6.9）。从（6.15）和（6.18）中观察∞e-sh（s，y，l, r） ds<Py[Xτ=l] 安德烈∞e-sh（s，y，l, r） ds<Py[Xτ=r]。这意味着∞e-sh（s，y，l, r） ds+Z∞e-sh（s，y，l, r） ds<1。（6.19）现在，选择α>1，使αl <λ1+λK<αr<K。

定义R′\'：=（0，αl] ∪ [αr，∞). 对于anyy∈ (l, r） ，由于（6.10），通过（6.8）和（6.9）中的参数，得出（6.18）的相同计算现在给出了j（αy，r′）=（K- αl)Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+（K- αr）Z∞e-sh（s，y，l, r） ds。这与（6.18）一起表明j（αy，R′）- αJ（y，R）=-(α - 1） K级Z∞e-sh（s，y，l, r） ds+Z∞e-sh（s，y，l, r） ds公司> -(α - 1） K，其中第二条线从（6.19）开始，α>1。因此，J（αy，R′）≥ αJ（y，R）- (α - 1） K级≥ αf（y）-(α - 1） K=K- αy=f（αy），其中第二个不等式来自（6.17）。因为上面的关系是f或y∈ (l, r） ，我们得出结论（αl, αr） IR′\'∪ CR′。这是R′\'∈ E、 回顾0,λ1+λK∈ 根据推论6.1，我们从命题4.1得出结论，R′\'∩0,λ1+λK= (0, αl] 也属于E。然而，这与推论6.1相矛盾，如αl <λ1+λK、 现在，我们准备给出一个最佳平衡的显式公式，对于u的任何值∈ R、 提案6.5。R*=0,λ1+λK, λ>0，如（6.16）所示，是唯一的闭合最优平衡。证据首先，观察（0，K）∈ E、 事实上，自从f≡ [K]上的0，∞), 对于所有x，一个很容易得到J（x，（0，K））=0=f（x）∈ （K，∞). 这意味着（K，∞) ∈ I（0，K），因此（0，K）∈ E、 根据（4.11）和命题4.1，R*=\\R∈E、 R关闭DR∩ （0，K）=\\R∈E、 R关闭，R（0，K）R.（6.20）如果u≥ 0，by（6.20），引理6.5，和旋涡6.1，我们有*=\\λ1+λK≤一≤K（0，a）=0,λ1 + λK.如果u<0，则（6.20），引理6.7，和0,λ1+λK∈ E（根据推论6.1）再次给出R*=0,λ1+λK. 因此，根据定理4.1，R*=0,λ1+λK是一个最优平衡。最后，引理6.6（iii），J（x，R*) = η（x，λ1+λK） >（K- x） +对于所有x>λ1+λK、 wh ich暗示（R*)c=CR*.

因此，定理5.1确保R*是唯一的封闭最优平衡。鉴于支付函数f（x）=（K-x） +，人们希望几何眉毛运动x漂移到K>0以下，产生严格的正支付。然后，将重点放在保留类型停止策略（0，a）上是合理的，其中0<a≤ K、 这里的挑战是a>0应该有多小，这样产生的政策才能达到平衡。直觉上，如果a>0太小，则涉及的损失1+βρ（x，（0，a））可能超过支付（K-a） +在停车时获得，减少预期付款f J（x，（0，a））=Exh（K-a） +1+βρ（x，（0，a））i。因此，预计未来自我将遵循太小的阈值a>0，当前自我可能会决定立即停止–因此（0，a）不能是平衡。本小节的主要贡献是找到最小可能的保留，即a=λ1+λK、 （0，a）是一个平衡，如引理6.5、推论6.1和引理6.7所示。现在，由于贴现函数（3.6）导致不耐烦感降低，因此代理比较大的代理表现出更小的平衡；参见推论3.1及其下面的详细讨论。这很容易表明，至少在直觉层面上，最小可能的平衡0,λ1+λK是最优的，这是在第6.5条中严格确立的。阈值λ1+λK期望s响应X的向下电位。与第6.2小节类似，（3.8）中的ν测量X的向下电位：ν越小，向下电位越强。可以检查λ>0 in（6.16）在ν中严格增加，因此X的向下电势也可以通过λ的小程度来测量。观察λ1+λ在λ中严格递增，limλ↓0λ1+λ=0和limλ↑∞λ1+λ= 1. λ非常小时（即。

X具有很强的向下潜力），应将停止阈值设置为接近0，以充分利用向下潜力，从而产生严格的正回报。这是由λ1+λK、 减小到0为λ↓ 0.cr中的λ减小（即X的道指向上电位减弱），λ1+λK也增加，反映出提前停止的趋势。当λ非常大时（即X几乎没有向下的电势），当X仅稍微低于K>0时，应停止。这再次被λ1+λK、 增加至Kasλ↑ ∞.参考文献[1]G.Ash eim，《个人和集体时间一致性》，《经济研究评论》，64（1997），第427-443页。[2] E.Bayraktar和M.S^irbu，随机Perron方法和使用粘度比较进行无光滑性验证：线性情况，过程。美国。数学Soc。，140（2012），第3645-3654页。[3] T.Bj¨ork、M.Khapko和A.Murgoci，《连续时间中的时间不一致随机控制》，《金融与随机》，21（2017），第331-360页。[4] T.Bj¨ork、A.Murgoci和X.Y.Zhou，基于状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化，数学。《金融》，24（2014），第1-24页。[5] A.N.Borodin和P.Salminen，H和《布朗运动事实和公式，概率及其应用》，Birkhauser-Verlag，巴塞尔，第二版，2002年。[6] I.Ekeland、O.Mbodji和T.A.Pirvu，时间一致性投资组合管理，SIAMJ。金融数学。，3（2012），第1-32页。[7] I.Ekeland和T.A.Pirvu，《没有承诺的投资和消费》，数学。财务部。经济。，2（2008），第57-86页。[8] S.R.Glandier和N.Wang，《不确定性和时间一致性偏好下的投资》，《金融经济学杂志》，84（2007），第2-39页。[9] 胡耀勇，金海华，周晓勇，时间不一致随机线性二次型控制，国际航空杂志。控制操作时间。，50（2012），第1548-1572页。[10] Y.-J。黄和A。

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