连续时间不一致停止问题的最优平衡

2022-6-2 19:25:03

时间不一致停止问题的最优平衡点不连续时间*Yu Jui Huang+Zhou Zhou2018年10月11日摘要对于非指数分布下的有限水平连续时间最优存储问题，我们寻找一个最优平衡，它在整个状态空间上产生的值比任何其他平衡都大。当贴现函数为对数次可加且状态过程为一维时，在适当的正则性和可积性条件下，以特定的形式构建最优均衡。虽然可能存在其他最优平衡，但我们表明，它们可以以非常有限的方式与构建的最优平衡不同。这就为最优平衡点的唯一性提供了一个充分的条件，直到某个封闭条件。为了说明我们的理论结果，我们对三个具体的停止问题进行了综合分析，涉及资产清算和实物期权估价。对于其中的每一个，通过一个显式公式来描述一个最优平衡。理学硕士（2010）：93E20，91G80。关键词：最优停止、时间不一致、非指数贴现、最优均衡、一致规划。1简介当决策者（代理人）对自己未来的行为缺乏有效控制时，Strotz[24]中的一致性规划已被广泛接受，用于解决时间不一致的问题。这是一个两阶段的过程。首先，代理人应该找出他将随着时间的推移实际遵循的策略（第一阶段）。在随后的文献中，这些策略被表述为子博弈完美纳什均衡，经常被称为均衡。

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2022-6-2 19:25:06

接下来，根据[24，p.173]，代理人需要“在他实际遵循的计划中找到最佳计划”（第二阶段）。在有限时域离散时间模型中，可以通过直接向后顺序优化找到平衡点，详见Pollak【21】。这实际上是唯一的平衡，正如在[16]和[1]中所观察到的那样。因此，第一阶段已经完成，不需要第二阶段。相比之下，在ce上，我们偏离了现场视野或离散时间结构，一致性规划变得非常重要。在有限时域离散时间设置中，特殊构造*我们要感谢匿名推荐人和副主编，他们的建议带来了更好的结果和更好的演示文稿。+科罗拉多大学应用数学系，美国科罗拉多州博尔德80309-0526，电子邮箱：yujui。huang@colorado.edu.部分由美国国家科学基金会（DMS-1715439）和科罗拉多大学（11003573）资助悉尼大学数学与统计学院，新南威尔士州，2006年，澳大利亚，电子邮件：zhou。zhou@sydney.edu.au.are用于证明几个特定平衡的存在；参见例如【20】、【19】和【8】。在连续时间设置中，平衡通过线性方程组上的n个系统来描述，如【7】和【3】中所述。这引发了数学金融领域的活跃研究，如[6]、[9]、[26]和[4]等。然而，求解这个方程组很困难；即使它被解决了（如在[7]和[3]中的特殊情况下），我们也只能得到一个特定的平衡。换言之，正如目前的情况，第一阶段只是部分完成，找到所有平衡仍然是一个挑战。另一方面，第二阶段根本没有得到解决。值得注意的是，与有限水平离散时间模型相反，可能存在多重平衡，如【20】、【1】、【16】和【7】所示。

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2022-6-2 19:25:09

那么，如何选择一个合适的平衡点来使用是一个真正的问题。Huang和Nguyen Huu【10】最近为一致性规划的第一阶段开发了一种迭代方法。为了停止问题，[10]构造了一个x点迭代，可以轻松生成一大类平衡。当状态过程为一维时，Huang、Nguyen Huu和Zh ou【11】进一步确定，每个停止策略通过定点迭代收敛到一个平衡，这有助于搜索所有平衡。该方法已在[10]中应用于非指数贴现下的StoppingProblem，并在[11]中扩展到概率失真设置。在本文中，我们采用了[10]中的框架，并重点关注一致性规划的第二阶段。具体而言，我们研究了在非指数贴现条件下，代理人通过选择适当的时间停止一维连续马尔可夫过程X，取区间X中的值，使其预期收益最大化的有限时间连续时间顶部问题 R、第二阶段所要求的平衡最优性标准在文献中几乎没有探讨过。在这里，我们提出，如果一个平衡在每个状态x产生的值比任何其他平衡都大，那么它就是最优的∈ 十、参见第2.3条。这一标准相当强：从非经济角度来看，它要求子博弈完美纳什均衡在整个状态空间中占主导地位，这在博弈论中是罕见的。然而，我们证明了最优平衡的存在性*, 具体表格（4.11）中给出；见定理4.1，这是本文的主要结果。定理4.1取决于几个关键条件。首先，折扣函数需要是对数次加法函数，即满足下面的（2.3）。

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2022-6-2 19:25:13

这尤其证明了行为经济学和金融学中经验贴现的特点，即减少了不耐烦；有关详细信息，请参阅下面的讨论（2.3）。其次，对状态过程X施加了一个“分散条件”，即假设4.1。它用于确保每当X到达X的钻孔子组R的边界时，其分散程度足以立即进入R。这使我们能够将注意力仅局限于闭合平衡（见第4.1节），而无需处理其他可能的病理形式s的平衡。大量的扩散过程显示满足假设4.1；见备注4.2。最后，我们需要（4.2）和（4.3）作为停止问题的适当长期限制和可积条件。当违反（4.3）时，一般可能不存在最优平衡；详情见提案6.4和备注6.2。随之而来的一个自然问题是，最优平衡点*, 建立在定理4.1中，实际上是唯一的。这通常不是真的：在示例5.1中，我们显式地构造R*另一个最优平衡T*, 带R*适当包含在T中*. 尽管存在多重最优平衡的可能性，但如果我们对平衡施加封闭性要求，我们观察到，每个封闭的最优方程只能与R*非常有限的方式，如推论5.2所述。此外，定理5.1中提出了R的一个合理的充分条件*是唯一的封闭时间平衡。这种情况可以在许多实际停车问题中得到验证，包括第6节中研究的问题。为了说明我们的理论结果，第6节对三个具体示例进行了综合分析：（i）贝塞尔过程的停止，（ii）几何布朗运动的停止，以及（iii）几何布朗运动上的美式看跌期权。

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2022-6-2 19:25:17

每个例子都描述了实物期权估价或资产清算的问题，以及相应的最优均衡R*通过显式公式表征。这里分析的另一个贡献是*即使在定理4.1中的某些条件实际上失败的情况下，也可以找到并描述。事实上，如第6.2节所示，我们可以引入一个相关的辅助排序问题，定理4.1适用于该问题。值得注意的是，在离散时间环境中，Huang和Zhou[12]还建立了一个最优平衡的存在性，即在现场水平停止问题。与[12]相比，我们当前的连续时间设置不太合适。例如，【12】中没有必要仔细区分闭合平衡与其他平衡，因为在温和的连续性假设下，每个平衡都是在不确定的时间内闭合的。此外，d iscr ete时间结构导致了最优方程的唯一性，这节省了我们在第5节中所做的所有努力。有关本文件与[12]之间的详细比较，请参见第5.1节。本文的组织结构如下。第2节介绍了停止问题的建立、平衡点的公式和平衡点的最优性准则。第3节给出了一个有用的基本结果，仅依赖于条件（2.3），它很容易揭示最优平衡的形式。第4节建立了最优平衡的存在性*. 在命题4.1和4.2中显示，闭合平衡点的可数交也是一个平衡点，这是导出主要结果定理4.1的关键。第5节研究了另一个最优平衡T*来自R*, 在定理5.1中，提出了R*是唯一的亲密伴侣。

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2022-6-2 19:25:20

第6节详细分析了三个具体的停车问题。2设置和初步考虑概率空间(Ohm , F、 P）支持时间齐次连续强马尔可夫过程X=（Xt）t∈[0,∞), 在某个区间X取值 R、设B（X）表示X中的Borel集合。设F：=（Ft）t≥0是X生成的过滤的P-增强，T是所有F-停止时间的集合。对于每个x∈ 十、我们用Px（resp.Ex）表示以X=X为条件的概率（resp.expection）∈ 十、此外，我们将X的位置设为xxx，以强调其初始值X=X。考虑一个支付函数f:X→ [0, ∞), 假设为连续的。还要考虑折扣函数δ：[0，∞) → （0，1），假设为非递增、连续且满足δ（0）=1和δ（t）→ 0作为t→ ∞. 经典的最优停止问题是由supτ表示的∈TEx[δ（τ）f（Xτ）]。（2.1）这里，我们允许τ∈ T取值∞: 我们取δ（τ）f（Xxτ）：=lim su pt→∞{τ=∞};这符合Karatzas和Shreve【14，附录D】。从标准文献（如[14，附录D]和Shir yayev[23]）中可以看出，在相当一般的条件下，对于任何初始状态∈ 十、存在一个最佳停止时间eτX∈ T表示（2.1）。然后很自然地会问，在不同时刻（如eτxat时间0和eτXxtat时间t>0）获得的最佳停车时间是否相互一致。特别地，（2.1）被认为是时间一致的，如果对于任何x∈ X和t>0，我们有eτX（ω）=t+eτXxt（ω），对于a.e.ω∈ {eτx≥ t} 。（2.2）通常，该条件仅适用于δ（t）：=e-αt对于某些α>0。当δ是一般的非指数贴现函数时，Huang和Nguyen Huu【10，第2节】详细分析了未解决的时间不一致性。直观地说，（2.2）m的失败意味着我们今天发现的最佳停止时间eτx，n在未来可能不是最优的。

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能者818

2022-6-2 19:25:23

我们的未来自我在时间t>0时试图使用eτXxt，在时间t时对他来说是最优的，而不是坚持之前确定的eτx。这是有问题的：虽然可以找到最大化eτxof（2.1），但我们未来的自我将无法实现。最后，由于时间不一致，可能无法达到（2.1）中的上限。在本文中，我们假设贴现函数δ满足δ（s）δ（t）≤ δ（s+t），s、 t>0。（2.3）这特别体现了减少不耐烦，这是行为经济学和金融学中经验贴现的一个有据可查的特征；参见例如【25】、【18】和【17】。如【22】所述，减少不耐烦相当于在更接近当前的时间间隔内进行teeper折扣。注意，（2.3）涵盖了导致不耐烦感降低的s非指数贴现函数，如δ（t）：=1/（1+βt），β>0（双曲线），δ（t）：=1/（1+βt）kf，k>0（广义双曲线），δ（t）：=λe-rt+（1- λ） e类-r、r>0和λ的Rt∈ （0，1）（伪指数）。有关详细说明，请参见下面的讨论【10，假设3.12】。正如《Intr Production》中所提到的，Strotz【24】提出了一致的规划，作为解决时间不一致性的一种方法：代理人应该考虑到未来自己的行为，并找到一种一旦实施的阻止策略，未来自己都不想偏离。这些策略，在文献中称为平衡，将在下面详细阐述。2.1在【10】中观察到的平衡公式，在时间不一致的情况下，由于人们可能会随着时间的推移重新评估和改变对停止时间的选择，他的停止策略不是单一的停止时间，而是下面定义的停止策略。定义2.1。

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2022-6-2 19:25:26

A可测的Borelτ：X→ {0，1}称为停止策略。给定任何当前状态x∈ 十、停止策略τ控制代理何时停止：他在第一时间停止τ（Xxt）产生值0。请注意，这一定义取自[10，定义3.1]，可以用X中的Borel集等价地表示。实际上，通过定义，τ：X→ {0，1}是停止策略<==> 对于某些R，τ（x）=1Rc（x）∈ B（X）。（2.4）这里，τ和R adm it the relation R={x∈ X：τ（X）=0}。因此，可以使用Borel s ets R重新表述[10，第3.1节]中关于停止策略τ的博弈论公式。具体而言，为了解决时间不一致性，代理需要考虑其未来的自我行为，并找到对此的最佳反应。假设代理最初计划使用R∈ B（X）作为其停止策略。现在，在任何状态x∈ 十、代理人进行博弈论推理：“假设我所有的未来都会跟随R∈ B（X），针对这一点，今天最好的阻止策略是什么？”今天的代理只有两种可能的操作：停止和继续。如果他停下来，他会立即得到f（x）。如果他继续，考虑到他未来的一切∈ B（X），他最终会在ρ（X，R）：=inf{t>0:Xxt的时刻停止∈ R}∈ T这导致预期的payoff J（x，R）：=Ex[δ（ρ（x，R））f（xρ（x，R））]。（2.5）通过比较f（x）和J（x，R），我们得出了今天Θ（R）的最佳停止策略：=SR∪ （IR∩ R）∈ B（X），（2.6），其中sr：={X∈ X：f（X）>J（X，R）}，IR：={X∈ X：f（X）=J（X，R）}，CR：={X∈ X:f（X）<J（X，R）}。（2.7）这里，SR、IR和CRare分别称为停止区、差异区和连续区。特别是在IR上，代理在停止和继续之间是不同的，因为它们产生相同的回报。因此，代理人没有动机偏离最初的排名策略R∈ B（X）。

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2022-6-2 19:25:29

这就产生了IR一词∩ R英寸（2.6）。定义2.2。R∈ 如果Θ（R）=R，则称B（X）为平衡。我们用E表示等位平衡集。备注2.1。在当前的上下文中，X是时间齐次的，（2.6）只是使用关系式（2.4）对[10]中（3.6）的重新公式化。因此，定义2.2只是对[10，定义3.7]的重新表述，再次感谢（2.4）。备注2.2（平衡的存在）。整个状态空间X是一个平衡m。实际上，对于任何X∈ 十、由于ρ（X，X）=0，我们得到J（X，X）=f（X）。这意味着IX=X，因此Θ（X）=X。寻找平衡的一般方法是【10】中介绍的定点迭代法：一个从任意变量R开始∈ B（X），并重复施加Θ，直到达到平衡。下一个结果是[10，定理3.16]和（2.4）的直接结果。提案2.1。对于任何R∈ B（X）使得R Θ（R），我们有Θn（R） Θn+1（R）表示所有n∈ N、此外，R：=limn→∞Θn（R）=[n∈NΘN（R）属于E.2.2平衡的最优性发现平衡只是Strotz一致规划的第一阶段【24】。在第二阶段，药剂应在所有平衡中选择最佳平衡。这就要求对平衡点有一定的最优性标准，这在文献中还没有被阐述过。对于每个R∈ E、通过v（x，R）定义相关值函数：=f（x）∨ J（x，R），对于所有x∈ 十、定义2.3。^R∈ E称为最优平衡，如果对于任何R∈ E、 V（x，^R）≥ V（x，R）x个∈ 十、这是一个stron g最优性标准，因为它要求在每X处^R对R的支配∈ 十、另一种解释定义2.3的方法是，与（2.1）中的经典最优停止类似，weaim to solvesupR∈EV（x，R）。（2.8）与经典最优停止的不同之处在于，我们对解决（2.8）外汇问题并不满意∈ 十、

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2022-6-2 19:25:32

相反，我们打算找到一个∈ E，同时为allx求解（2.8）∈ 十、这种在整个空间X上的一致优势对于避免另一级别的时间不一致性是必要的。本文的主要目的是表明，虽然最优性准则很强，但确实存在非最优等式。3我们观察到的第一个结果（2.3）已经暗示∈ E生成的值大于任何T∈ B（X）包含R.引理3.1。对于任何R∈ E和T∈ B（X）带R T，J（x，R）≥ J（x，T）x个∈ 十、（3.1）证明。修复x∈ 十、为了简单起见，我们将写出v=ρ（X，R）和τ=ρ（X，T）。带R T，我们有τ≤ v、考虑事件A：={ω∈ Ohm : τ<v}。O观察到j（x，R）=Ex[δ（v）f（Xv）1A]+Ex[δ（v）f（Xv）1Ac]=Ex[δ（v）f（Xv）| fτ]1A]+Ex[δ（τ）f（xτ）1Ac]≥ Ex[δ（τ）Ex[δ（v- τ）f（Xv）| fτ]1A]+Ex[δ（τ）f（Xτ）1Ac]，（3.2），其中不等式从（2.3）中得出，f为非负。x的强Markov性质意味着ex[δ（v- τ）f（Xv）| fτ]1A=EXxτδ（ρ（Xxτ，R））fXρ（Xxτ，R）A=J（Xxτ，R）1A。（3.3）还要注意Xxτ/∈ 事件A上的R。由于R是一个平衡，我们从（2.6）推导出f（Xxτ）≤ 通过（3.2），（3.3）和（3.4），我们得出J（x，R）≥ Ex[δ（τ）J（Xτ，R）1A]+Ex[δ（τ）f（Xτ）1Ac]≥ Ex[δ（τ）f（Xτ）1A]+Ex[δ（τ）f（Xτ）1Ac]=J（X，T）。引理3.1得出了一个有趣的结论：对于平衡，越小越好。推论3.1。对于任何R，T∈ E带R T，V（x，R）≥ V（x，T）表示所有x∈ 十、乍一看，令人费解的是，在整个状态空间中，均衡R如何可能支配包含R的任何更大均衡。事实上，推论3.1简单地反映了决策过程中的不耐烦情绪（回想一下下面的讨论（2.3））。要看到这一点，请分别考虑时间t和时间t+s的两个奖励，t，s>0。

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2022-6-2 19:25:35

如果在时间t时，代理人更喜欢第二个奖励而不是第一个奖励，请注意，在时间0时，在im耐心下降的情况下，此时间t偏好保持不变，并且实际上放大了。回想一下，对于更接近当前的时间间隔，减少不耐烦相当于更大的折扣。对于时间t的代理来说，考虑中的区间[t，t+s]本质上是[0，s]，因此他在比较这两个奖励时会在这个即将到来的区间上大幅折扣。相比之下，对于时间为0的代理，时间间隔[t，t+s]在未来会进一步下降，因此在比较这两个奖励时，他对这个时间间隔的计算不太陡峭。因此，如果第二个奖励比第一个奖励在更大折扣下更有价值（即在时间t代理人眼中），那么它一定比第一个奖励更有价值，在更大程度上，在更大折扣下（即在时间0代理人看来）。现在，取两个平衡点R和T。如果R T，ρ（x，T）≤ ρ（x，R）表示所有x∈ 十、对于X∈ R、由于ρ（x，T）=ρ（x，R）=0，我们得到f（Xxρ（x，T））=f（Xxρ（x，R））=x∈ 然后，R和T之间存在差异，因为它们产生相同的即时回报。对于x/∈ R、 R是平衡的事实表示f（Xxρ（x，T））≤ J（Xxρ（x，T），R）=Ey[δ（ρ（y，R））f（xρ（y，R））]，其中y：=Xxρ（x，T）。也就是说，对于处于y=Xxρ（x，T）状态的代理而言，从达到R获得的奖励（即第二个奖励）比从R等于T获得的奖励（即第一个奖励）更有价值。如上所述，减少不耐烦规定，处于初始状态x的代理/∈ R具有相同的偏好，即在x处R优先于T/∈ R、因此，我们得出结论，在e非常x处，较小的平衡R优于（或至少不劣于）较大的平衡T∈ 十、从L emma 3.1中已经可以推导出一个候选最优均衡。提案3.1。

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2022-6-2 19:25:39

如果▄R：=TR∈ER是一个平衡，那么它就是一个最优平衡。证据定义R R代表所有R∈ E、如果R是一个平衡，我们可以从引理3.1得出结论，对于任何R∈ E、 J（x，~R）≥ J（x，R）和thu s V（x，R）≥ V（x，R），对于所有x∈ 十、因此，R是一个不理想的等式。对于▄R：=TR∈要成为一个平衡，必须解决两个技术问题：（i）两个平衡的相交是否又是一个平衡？（ii）如果（i）为真，是否可以将其推广到平衡点的不可数相交？特别是，考虑到它是Borel集的不可数相交，我们如何确保thR是Borel？下面的第4节专门讨论这些问题，并最终确定了最优均衡的存在性。在开始第4节中的详细分析之前，我们指出了命题3.1的一个简单结论，它对于一些停止问题已经很有用了。推论3.2。如果是一个平衡，那么它就是一个最优平衡。示例3.1。设X为几何布朗运动，由dxt=uXtdt+σXtdWt（3.5）给出，其中u∈ R和σ>0是常数，W是标准布朗运动。状态空间isX=（0，∞). 考虑双曲线贴现函数δ（t）：=1+βtt≥ 0，（3.6），其中β>0是一个常数，以及Payoff函数f（x）：=x表示x>0。在电流设置下，（2.5）变为J（x，R）=ExXρ（X，R）1+βρ（X，R）, 对于x>0，R∈ B（X）。（3.7）定义ν：=uσ-, （3.8）并且回想一下，对于任何x>0，limt→∞Xxt1+βt=极限→∞x扩展νσt+σW（t）1+βt=(∞, 如果ν>0；0，如果ν≤ 0。（3.9）对于ν>0，（3.9）表示J（x，) = ∞ > f（x）表示所有x>0。这表明 ∈ E和V（x，) = ∞对于所有x>0。

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2022-6-2 19:25:43

因此是一个最优平衡，它证实了推论3.2.4每个x的最优平衡的存在性∈ 十、考虑状态进程X的运行最大值X和运行最小值X，即Xxt：=最大值∈[0，t]xxs和Xxt：=分钟∈[0，t]Xxs，t≥ 我们在假设4.1的X上施加以下条件。对于任何x∈ 十、对于所有t>0，Px[Xt>X]=Px[Xt<X]=1。备注4.1。对于任何x∈ 十、考虑Txx：=inf{t>0:Xxt=X}，第一次重新访问初始值X的时间。假设4.1的直接结果是Txx=0 Px-A.s。从直觉上讲，假设4.1的目的是确保“无论何时X触及R的边界，对于任何R∈ B（X），它将立即进入R”。该物业将在第4.1节中发挥关键作用。请注意，假设4.1不是很严格，因为它已经涵盖了一大类扩散过程，如下所述。备注4.2。一维布朗运动明显满足假设4.1；参见【13】第94页的问题7.18。事实上，这可以推广到更广泛的一类差异过程。具体而言，设X满足dynamicsdXt=u（Xt）dt+σ（Xt）dBt，其中B是标准的一维布朗运动，u，σ是实值确定性函数，使得σ（·）>0和rtθ（Xxs）ds<∞ Px-a.s.适用于所有x∈ X和t≥ 0，其中θ（·）：=u（·）/σ（·）。如果进程zt：=exp-Ztθ（Xs）dBs-Ztθ（Xs）ds, t型≥ 0是一个鞅，[11，引理3.1]表明X满足假设4.1.4.1闭平衡在本小节中，我们将表明假设4.1允许我们将注意力限制在超循环平衡上。对于任何R∈ B（X），R表示R.引理4.1的闭包。假设假设假设4.1成立。对于任何R∈ B（X），ρ（X，R）=ρ（X，R）Px-a.s。x个∈ 十、特别是，对于所有X，ρ（X，R）=ρ（X，R）=0 Px-a.s∈ R、证明。修复x∈ 十、如果X是R的内点，则定义ρ（X，R）=ρ（X，R）=0。

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2022-6-2 19:25:47

如果x∈ R、有两种情况案例一：存在{xn}n∈Nin R，使xn→ x、对于Px-a.e.ω∈ Ohm, 假设4.1意味着{Xxs（ω）：s∈ [0，ε]}mu st相交{xn}n∈N、对于所有ε>0。这意味着ρ（x，R）=0 Px-a.s。因为ρ（x，R）≤ ρ（x，R）通过定义，我们得到ρ（x，R）=ρ（x，R）=0 Px-a.s.oC情况II：x是R的一个孤立点，即x∈ 存在ε>0的情况，即（x-ε、 x+ε）∩R={x}。根据备注4.1，Txx=0 Px-a.s。因此，ρ（x，R）=0，因此ρ（x，R）=0，Px-a.s。最后，如果x/∈ R、考虑随机变量Y：=Xxρ（x，R）。对于任意ω∈ Ohm, 由于X是一个连续过程，Y（ω）∈ R、根据以上分析，我们得到PY（ω）[ρ（Y（ω），R）=0]=1。根据X的强马尔可夫性质，Pxhρ（Xρ（X，R），R）=0Fρ（x，R）i（ω）=PY（ω）[ρ（Y（ω），R）=0]=1，对于Px-a.e.ω∈ Ohm.对两侧进行期望得到Px[ρ（Xρ（X，R），R）=0]=1。因此，ρ（x，R）（ω）=ρ（x，R）（ω）+ρ（Xxρ（x，R），R）（ω）=ρ（x，R）（ω）f或Px-a.e.ω∈ Ohm.引理4.1 adm有几个有用的含义。备注4.3。根据假设4.1，对于任何R∈ B（X），因为ρ（X，R）=ρ（X，R）Px-a.s。x个∈ 十、定义J（X，R）=J（X，R），因此V（X，R）=V（X，R），x个∈ 十、此外，对于所有X，J（X，R）=J（X，R）∈ 十、（2.7）表明SR=SR，IR=IR，CR=CR。备注4.4。根据假设4.1，观察R Θ（R），适用于所有R∈ B（X）。的确，对于anyx∈ R、由于ρ（x，R）=0 Px-a.s.（引理4.1），我们得到了J（x，R）=f（x），即x∈ IR。接下来是R IR，因此Θ（R）=SR∪ （IR∩ R） =SR∪R、（4.1）这与命题2.1一起，给出了寻找平衡的理想结果：在假设4.1下，每∈ B（X）通过定点迭代收敛到平衡v。具体而言，E=画→∞Θn（R）：R∈ B（X）.引理4.2。假设假设假设4.1成立。（i）对于任何R∈ E、 SR=.（ii）对于任何R∈ B（X），R∈ E当且仅当ifR∈ E、证明。（i）修复R∈ E、对于任何x∈ 十、如果X∈R、那么ρ（x，R）=0 Px-a.s。

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2022-6-2 19:25:49

（引理4.1），这意味着j（x，R）=f（x），即x∈ IR。如果x/∈R、然后是x/∈ R=Θ（R）=SR∪R、感谢R∈ E和（4.1）。因此，SR=.（ii）对于任何R∈ E、根据备注4.3和（i），SR=SR=. 根据（4.1），Θ（R）=SR∪R=R，即R∈ E、通过转换R和R的角色，我们可以证明R∈ E意味着R∈ E、引理4.2（ii）和备注4.3传达了一条重要信息：为了比较不同平衡的相关值，必须将我们的注意力限制在闭合平衡上。毕竟，R∈ E保持平衡，具有相同的值。事实上，R和R诱导了相同的停止行为，因为在我们闭合R之后，SR、IR和CRin（2.7）保持不变。正如我们现在将介绍的，这种额外的闭合条件是以系统方式改善平衡的关键。4.2平衡点的交点在适当的可积性条件下，我们证明了两个闭合平衡点的交点也是一个平衡点，具有较大的值。提案4.1。支持假设4.1。另外假设每个x∈ 十、 δ（t）f（Xxt）→ 0作为t→ ∞ Px-a.s.，（4.2）安第斯山脉支持∈[0,∞)δ（t）f（Xt）< ∞. （4.3）那么，对于任何R，T∈ E是闭合的，我们有j（x，R∩ T）≥ J（x，R）∨ J（x，T），x个∈ 十、（4.4）因此，R∩ T也属于E.Proof。修复x∈ 十、在整个证明过程中，对于符号的适用性，我们定义了所有n=0，1，以下内容：1。τ： =0，τ2n+1：=inf{t>τ2n：Xxt∈ T}，τ2n+2：=inf{T>τ2n+1:Xxt∈ R} ；2、An：={ω∈ Ohm : τn（ω）<∞, Xxτn（ω）/∈ R∩ T}。设v：=ρ（x，R∩ T）。根据A的定义，我们有j（x，R∩ T）- J（x，T）=Ex[1A（δ（v）f（Xv）- δ（τ）f（Xτ））]=ExAδ（τ）δ（v）δ（τ）f（Xv）- f（Xτ）≥ Ex[1Aδ（τ）（δ（v- τ） f（十五）- f（Xτ））]=Ex[1Aδ（τ）（Ex[δ（v- τ） f（Xv）| fτ]- f（Xτ））]（4.5），其中不等式来自（2.3），且f为非负。

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2022-6-2 19:25:52

x的强马尔可夫性意味着exhδ（v- τ） f（十五）FτiA=EXxτhδ（ρ（Xxτ，R∩ T））fXρ（Xxτ，R∩T）iA=J（Xxτ，R∩ T）1A。（4.6）在事件A中，注意T的闭合度需要Xxτ∈ T因此，Xxτ（ω）/∈ R∩Timplies Xxτ/∈ R、因为R是一个平衡，由（2.6）f（Xxτ）≤ A.（4.7）上的J（Xxτ，R），带（4.6）和d（4.7），（4.5）yieldsJ（x，R∩ T）-J（x，T）≥ Ex[1Aδ（τ）（J（Xτ，R∩ T）- J（Xτ，R））]。（4.8）在下面，我们将递归执行上述参数。首先，对J（Xxτ，R）重复上述参数∩ T）- J（Xxτ，R），而不是J（x，R∩ T）- J（x，T），我们得到J（Xxτ，R∩ T）- J（Xxτ，R）≥ EXxτhA（Xxτ）δ（ρ（Xxτ，R））J（Xρ（Xxτ，R），R∩ T）- J（Xρ（Xxτ，R），T）i、（4.9）式中（y）：=nω∈ Ohm : ρ（y，R）（ω）<∞, Xyρ（y，R）（ω）/∈ R∩ 至，对于y∈ 十、用I表示（4.9）中的期望。用X的stron g马尔可夫性质表示，I·1A=ExAδ（τ- τ）（J（Xτ，R∩ T）- J（Xτ，T））Fτ· 1A。这与（4.8）和（4.9）一起，意味着j（x，R∩ T）- J（x，T）≥ Ex[1AAδ（τ）δ（τ- τ）（J（Xτ，R∩ T）- J（Xτ，T））]。继续这个过程，我们可以得到所有n=1，2，J（x，R∩ T）- J（x，T）≥ Ex[1A…1Anδ（τ- τ) . . . δ（τn- τn-1）（J（Xτn，R∩ T）- J（Xτn，U））]其中，如果n为奇数，则U=R；如果n为偶数，则d U=T。定义σn：=inf{t>τn:Xxt∈ R∩ T}。我们可以将前面的不等式改写如下：对于所有n=1，2，J（x，R∩ T）- J（x，T）≥ 前任A.1Anδ（τ- τ) . . . δ（τn-τn-1)δ（σn- τn）f（Xσn）- δ（τn+1- τn）f（Xτn+1）. （4.10）用Hn表示（4.10）中期望值内的随机变量。我们声称Hn→ 0 Px-a.s.让我们考虑两种不同的情况。o案例一：limn→∞τn=∞. 自σn起≥ τnby定义，limn→∞σn=∞. 根据（2.3）和（4.2），| Hn |≤ δ（σn）f（Xxσn）+δ（τn+1）f（Xxτn+1）→ 0，因此Hn→ 0.o案例二：limn→∞τn<∞. 设置τ：=limn→∞τn.由于X是一个连续过程，Xτn→ Xτ。对于n偶数，由于R是闭合的，我们有Xτn∈ R由τn定义。

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何人来此

2022-6-2 19:25:55

这意味着Xτ∈ R、同样地，对于每n个奇数，由于T是闭合的，我们有Xτn∈ T由τn定义。这意味着Xτ∈ T，再次通过T的接近度。因此，Xτ∈ R∩T和τn≤ σn≤ τ . 它遵循σn→ τ . 由于δ和f的连续性，δ（σn- τn）f（Xσn）- δ（τn+1- τn）f（Xτn+1）→ f（Xτ）- f（Xτ）=0，表示Hn→ 现在，由于Hn→ 0 Px-a.s.和| Hn |≤ 2支持∈[0,∞)δ（t）f（Xxt），我们可以将优势收敛定理应用于（4.10）作为n→ ∞, 感谢（4.3）。这个yieldsJ（x，R∩ T）≥ J（x，T）。通过在上述证明中切换R和T的角色，我们还可以得到J（x，R∩ T）≥ J（x，R）。然后（4.4）如下。这仍然表明R∩T是一个平衡。修复x/∈ R∩T如果x/∈ R、通过R isan平衡和（4.4），f（x）≤ J（x，R）≤ J（x，R∩ T）。这意味着x∈ 红外光谱∩T∪ CR公司∩T、按（2.6），x/∈ R∩ T和x∈ 红外光谱∩T∪ CR公司∩T、我们得出结论，x/∈ Θ（R∩ T）。如果x/∈ T，相同的参数给出x/∈ Θ（R∩T）。因此，我们得出结论，Θ（R∩T） R∩T自R起∩T Θ（R∩T）在假设4.1（见备注4.4）下，我们有Θ（R∩ T）=R∩ T，即R∩ T∈ E、备注4.5。R，T的封闭性∈ E对于命题4.1是必不可少的。尤其是用于确定Xxτ/∈ R高于（4.7）以及“Hn→ 证明第二种情况下为0“。事实上，如果没有封闭性条件，命题4.1以一种微不足道的方式失败了。例如，假设假设假设4.1成立，且支付函数f严格为正且满足（4.2）和（4.3）。我们可以构造两个没有封闭性的平衡点，它们的交点不是朗格朗平衡点。取R：=X∩ Q和R：=X∩ 质量控制。SinceR=R=X∈ E（重新标记2.2），引理4.2（ii）断言R∈ E和R∈ E、按结构，R∩ R=.

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nandehutu2022

2022-6-2 19:25:58

由于（4.2）意味着j（x，) = 对于所有x，0<f（x）∈ 十、 R∩ R= 不是一种平衡。下一步是研究平衡点的可数交叉点是否也是平衡点。为此，我们需要以下技术成果。引理4.3。Let（Sn）n∈ninb（X）是闭集的非递增序列。对于任何x∈ 十、 limn公司→∞ρ（x，Sn）=ρ（x，S∞) Px-a.s.，带s∞:=\\n∈NSn。证据取任意x∈ 十、 “The”≤” 关系很简单，如Sn S∞适用于所有n∈ N、证明“≥” 关系，因为当limn→∞ρ（x，Sn）=∞, 我们假设→∞ρ（x，Sn）<∞. 定义τn：=所有n的ρ（x，Sn）∈ N、并设置τ：=limn→∞τn.Ifx∈ S∞, ρ（x，Sn）=ρ（x，S∞) = 0表示所有n∈ N、因此，期望的结果微不足道。假定X/∈ S∞. 固定ω∈ Ohm. 对于任何m∈ N、由于X是一个连续过程，我们有XxτN（ω）→Xxτ（ω），因此Xxτn（ω）∈ [Xxτ（ω）- n足够大时，为1/m，Xxτ（ω）+1/m]。接下来是SN∩ [Xxτ（ω）- 1/m，Xxτ（ω）+1/m]6= 因为n足够大，所以f等于所有n。现在，s ince（Sn）n∈如果是一个非递增的闭集序列，我们可以应用Cantor的交定理并得到∞∩ [Xxτ（ω）- 1/m，Xxτ（ω）+1/m]=\\n∈N（序号∩ [Xxτ（ω）- 1/m，Xxτ（ω）+1/m]）6=, m级∈ N、按定义，S∞已关闭。因此，我们可以再次应用Cantor的求交定理，得到∞∩ {Xxτ（ω）}=\\m∈N（S）∞∩ [Xxτ（ω）- 1/m，Xxτ（ω）+1/m]）6=.即Xxτ（ω）∈ S∞. 因此ρ（x，S∞)(ω) ≤ τ（ω），根据需要。提案4.2。假设假设假设4.1、（4.2）和（4.3）保持不变。对于任意序列（Rn）n∈无闭合平衡，R：=Tn∈NRnbelongs到E。此外，对于每个n∈ N、 J（x，R）≥ J（x，Rn），x个∈ 十、证明。我们可以按如下方式重写R：R=\\n∈NTn，其中Tn：=\\i=1,2，。。。，nRi，n∈ N、根据提案4.1，Tn∈ E代表所有n∈ N、对于每个x，J（x，Tn）在N中不递减∈ 十、对于任何X∈ R、自x起∈ TN适用于所有n∈ N、每个Tnis都是一个平衡的事实意味着f（x）≥ J（x，Tn），n∈ N

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2022-6-2 19:26:03

通过（4.3）和引理4.3，我们可以应用支配收敛定理，得到f（x）≥ J（x，R），表示x∈ SR公司∪ IR。因此，R SR公司∪ IR，whichimplies R SR公司∪ （IR∩ R） =Θ（R）。另一方面，对于任何x/∈ R、存在N个∈ N如x所示/∈ Tnfor n公司≥ N、自Tn起∈ E代表所有n≥ N，f（x）≤ J（x，Tn）表示所有n≥ N通过支配收敛定理（再次感谢（4.3）和引理4.3），我们得到了f（x）≤ J（x，R），即x∈ 红外光谱∪ CR.此，连同x/∈ R、暗示x/∈ Θ（R）。因此，我们得到（R）c Θ（R）c，现在可以得出结论，R=Θ（R），即R∈ E、最后，对于每个x∈ 十、因为J（X，Tn）在n中是非递减的，所以J（X，R）=limn→∞J（x，Tn）≥ J（x，Tn）≥ J（x，Rn）n∈ N、其中，最后一个不等式来自命题4.1.4.3，主要结果见定理4.1。假设假设假设4.1、（4.2）和（4.3）保持不变。然后，R*:=\\R∈E、 R关闭DR。（4.11）是最佳均衡。证据按构造，R*是闭合的，因此属于B（X）。集合E′：={R∈ E:R是闭合的}。由于指示器功能1R在所有R的X上是上半连续的∈ [2]中的命题4.1断言了可数子集（Rn）n的存在性∈不是这样的*= infR公司∈E′R=infn∈尼泊尔卢比。（4.12）因此，R*=田纳西州∈尼泊尔卢比。根据提案4.2，R*是一种平衡，它仍然是最佳的。对于任何R∈ E、引理4.2（ii）th atR召回∈ E、 R的定义*那么意味着R*R、下面是v（x，R*) = f（x）∨ J（x，R*) ≥ f（x）∨ J（x，R）=f（x）∨ J（x，R）=V（x，R）x个∈ 十、式中，不等式遵循引理3.1中的f，第二个等式来自备注4.3。这很容易表明R*是一个最优平衡。备注4.6。条件（4.3）对于定理4.1是必要的，更一般地说，对于最优平衡的存在是必要的。

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2022-6-2 19:26:05

在第6节中，我们将表明，如果违反（4.3），则最优平衡可能不存在；具体见命题6.4和备注6.2.5闭合最优平衡的表征定理4.1表明存在一个最优平衡R*, 这是由施工关闭。它是否是唯一的最优均衡尚未解决。事实上，如果我们不对最优平衡点施加任何封闭条件，很容易看到唯一性失败了。实际上，在假设4.1下，R的任何子集R*R=R时*也是一个平衡（引理4.2（ii）），V（x，R）=V（x，R*) 对于所有x∈ X（备注4.3）。因此，R也是一个最优平衡。本节研究R*在（4.11）中是唯一的闭合最优平衡。最终的结论是R*一般来说，不是唯一的，但其他封闭的最优平衡点只能与R不同*以非常有限的方式。此外，我们提出了一个有用的充分条件，由许多实际的停止问题所满足，用于R*是唯一的封闭最优平衡。作为第一步，我们研究均衡和最优均衡之间的关系。引理5.1。让T*∈ E是最优平衡。对于任何R∈ E、我们有*\\ R IR。证据修复x∈ T*\\ R、自T起*是一个平衡，x∈ T*暗示f（x）≥ J（x，T*), 和thusV（x，T*) = f（x）。类似地，由于R是一个平衡，x/∈ R表示f（x）≤ J（x，R）和thusV（x，R）=J（x，R）。它遵循v（x，T*) = f（x）≤ J（x，R）=V（x，R）。（5.1）带T*作为最优均衡，上述关系必须保持相等，这意味着X∈ IR。

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2022-6-2 19:26:08

因此，我们得出结论T*\\ R IR。当R*在（4.11）中属于E，根据平衡的定义（定义2.2），我们有（R*)c CR公司*∪ 红外光谱*.如果发生在差异区域IR*在R之外不存在*, i、 e.（R）*)c=CR*, （5.2）那么引理5.1已经暗示了闭合最优平衡的唯一性。定理5.1。如果R*在（4.11）中，是一个满足（5.2）的最优平衡，那么R*是唯一闭的最优平衡点证明。通过R的封闭性*, （5.2）表示IR*R*= R*. 让T*∈ E是一个封闭的最优平衡。鉴于（4.11），R* T*. 另一方面，引理5.1意味着T*\\R* 红外光谱* R*,这需要T*\\ R*= . 因此，我们得出结论，T*= R*.定理4.1和5.1一起产生了有用的结果。推论5.1。假设假设假设4.1、（4.2）和（4.3）保持不变。如果R*在（4.11）满意度（5.2）中*是唯一的封闭最优平衡。备注5.1。许多实际停止问题（包括第6.1节和第6.3节中研究的问题）都满足了唯一性条件（5.2）。一般来说，R*在（4.11）中，可能并不总是满足（5.2），并且可能存在多个闭合的最优平衡。这将在下一个示例中演示。示例5.1。Le t X是一维贝塞尔过程，即Xt：=| Wt |，其中W是一维布朗运动。考虑（3.6）中的双曲线贴现函数。让a*> 0如下面引理6.1所述，并选择b*> 一*. 定义支付函数f：[0，∞) → R+byf（x）=（如果0，则为x≤ x个≤ b*,Ex[δ（Txb*)b*] = Exhb公司*1+βTxb*iif x>b*,其中Txb*定义见（5.5）。请特别注意，f是连续的，其中f（b*) = b*. 根据定理4.1，可以得出以下结论：R*在（4.11）中是一个最优平衡。观察任何x∈ [0，a]*), J（x，[a*, b*]) = J（x，[a*, ∞)) > x=f（x），其中不等式来自引理6.1；对于任何x>b*, J（x，[a*, b*]) = Exhb公司*1+βTxb*i=f（x）。

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2022-6-2 19:26:11

这意味着[0，a*) ∪（b）*, ∞) ∈ I【a】*,b*]∪ C【a】*,b*], 因此*, b*] ∈ E、我们声称R*= [答*, b*]. 根据（4.11），R* [答*, b*]. 如果R*并不是一个连通集，人们可能会像[10，引理4.3]中所说的那样得出一个矛盾。因此，R*= 【a，b】对于一些a*≤ 一≤ b≤ b*.如果a*< a、那么对于任何x∈ [0，a），J（x，[a，∞)) = J（x，R*) ≥ x、其中不等式从r开始*∈ E、这意味着[a，∞) ∈ E、这与引理6.1 a>a相矛盾*. 如果b<b*, 然后X>Exb1+βTxb= J（x，R*), x个∈ （b，b*).这与R相矛盾*∈ E、因此，我们得出结论，R*= [答*, b*].现在，请注意（b*, ∞) 红外光谱*, 因此（5.2）无法保持。此外，T*:= [答*, ∞) 也是一个封闭的最优平衡，asV（x，T*) = f（x）=Exb*1+βTxb*= 前任f（b）*)1+βTxb*= J（x，R*) = V（x，R*), x>b*.考虑到示例5.1，有兴趣研究当（5.2）不能保证时，一个任意闭合最优平衡T*can与R不同*在（4.11）中。为此，采取R∈ E关闭。对于任何x/∈ R、定义lR（x）：=sup{y∈ R:y<x}和rR（x）：=inf{y∈ R:y>x}。（5.3）如果没有y∈ 当y<x时，我们取lR（x）=inf x（可以是-∞). 很抱歉，如果没有∈ 当y>x时，我们取rR（x）=sup x（可以是∞). 请注意lR（x）<x和rR（x）>x，由于R的封闭性。让T*∈ E是包含R的封闭最优平衡*\\ R必须相交(lR（x），rR（x））对于某些x/∈ R、说明T之间的精确关系*andR，我们将要求状态过程X在以下意义上是正则的：对于任何X∈ int（X），Px（Txy<∞) > 0y∈ 十、（5.4）式中，xy：=inf{t≥ 0:Xxt=y}（5.5）是从X到y的第一次击中时间，对于任何不同的X，y∈ 十、这与Karlin和Taylor【15，第15章】中的公式一致。提案5.1。假设（4.2）成立，X在（5.4）意义上是正则的，而（2.3）在严格不等式意义上成立。

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2022-6-2 19:26:14

让T*∈ E是一个封闭的最优平衡，R∈ E应闭合并包含inT*. 那么，对于任何x/∈ R、（i）如果(lR（x），rR（x））∩CR6=, 然后T*∩(lR（x），rR（x））=;（ii）如果(lR（x），rR（x））∩CR= 和f 6≡ 0开(lR（x），rR（x）），然后*∩(lR（x），rR（x））= 或(lR（x），rR（x）） T*;（iii）如果(lR（x），rR（x））∩ CR= 和f≡ 0开(lR（x），rR（x）），然后对于(lR（x），rR（x）），R∪ A.∈ E和V（y，R∪ A） =V（y，T*) = 0表示所有y∈ (lR（x），rR（x））。证据（i）通过矛盾，假设T*∩ (lR（x），rR（x））6=. 取z∈ (lR（x），rR（x））∩ CR.ByLemma 5.1，z/∈ T*, 因此，我们可以定义l（z）：=辅助{y∈ T*: y<z}和r（z）：=inf{y∈ T*: y>z}。（5.6）我们必须l（z） >lR（x）或R（z）<rR（x），否则T*∩ (lR（x），rR（x））6= 将被违反。同时，由于T*, 我们有l（z） <z和r（z）>z。注意(lR（x），rR（x））∩CR6= 已排除以下情况：（a）lR（x）=inf x/∈ 十、和rR（X）=sup X/∈ 十、（b）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x/∈ 十、和f(lR（x））=0；（c）lR（x）=inf x/∈ 十、 rR（X）=sup X∈ X（或rR（X）<sup X），且f（rR（X））=0；（d）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x∈ X（或rR（X）<sup X）和f(lR（x））=f（rR（x））=0。实际上，在每种情况下，J（y，R）=0≤ f（y）代表所有y∈ (lR（x），rR（x）），感谢（4.2）。这意味着(lR（x），rR（x））∩CR=, 合同。让我们把重点放在其余的案例上：（e）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x/∈ 十、和f(lR（x））>0；（f）lR（x）=inf x/∈ 十、 rR（X）=sup X∈ X（或rR（X）<sup X），且f（rR（X））>0；（g）lR（x）=inf x∈ X（或lR（x）>inf x，rR（x）=sup x∈ X（或rR（X）<sup X）和eitherf(lR（x））>0或f（rR（x））>0（假设f处不丧失通用性(lR（x））>0）。定义τ：=ρ（z，T*) 和v：=ρ（z，R）。根据定义，τ≤ v、我们考虑setA：={ω∈ Ohm : τ<v}，并要求Pz（A）>0时的th。

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2022-6-2 19:26:18

如果Pz（A）=0，我们有“l（z） =lR（x）和R（z）<rR（x）“或”l（z） >lR（x）和R（z）=rR（x）”。假设是前者，但不失一般性。注意Pz（A）=0需要TzlR（x）<Tzr（z）Pz-a.s。这与x是一个强马尔可夫过程一起，意味着x从z开始时，永远无法到达区域[R（z），∞), Pz-a.s.然而，这与（5.4）意义上的正则X相矛盾。当Pz（A）>0时，X是一个正则过程，则意味着PzXzv=lR（x）| A> （e）和（g）情况下为0，Pz情况下为0Xzv=rR（x）| A> 案例（f）中为0。因此，我们得出结论，在所有这三种情况下，Pz（f（Xv）>0 | A）>0。（5.7）现在，我们执行（3.2）中相同的计算，将x和T替换为z和T*. 在这个计算中，请注意，我们现在有一个严格的不等式Ez[δ（v）f（Xv）| fτ]1A]>Ez[δ（τ）Ez[δ（v- τ）f（Xv）| fτ]1A]。我们得到“>”，而不仅仅是≥”, 因为P（A）>0，（5.7），0<τ<v在A上，和（2.3）具有严格的不等式。然后，引理3.1中（3.2）下面的相同论点可以应用于这里，这使得严格不等式J（z，R）>J（z，T*). 自z起/∈ T*和T*是一个平衡，J（z，T*) ≥ f（z）。因此，我们得到V（z，R）≥ J（z，R）>J（z，T*) = V（z，T*), 这与T*是不理想的均衡。（ii）由于R是一个平衡点(lR（x），rR（x））∩ CR= 暗示(lR（x），rR（x）） IR。通过矛盾，假设T*∩ (lR（x），rR（x））6=, 但是(lR（x），rR（x））不包含在T中*. 塔克斯∈ (lR（x），rR（x））\\T*, 和定义l（z）和r（z），如（5.6）所示。请注意，在当前设置下，上述（a）-（d）种情况再次被排除在外。实际上，在这些情况下，对于所有y，J（y，R）=0∈ (lR（x），rR（x））。使用(lR（x），rR（x）） IR，对于ally，我们得出f（y）=J（y，R）=0∈ (lR（x），rR（x）），这与f的选择相矛盾。

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2022-6-2 19:26:21

对于上述剩余的（e）-（g）特定情况，与（i）中相同的参数表明V（z，R）>V（z，T*), 这与f法案相矛盾*是一个最优平衡。（iii）对于(lR（x），rR（x）），感谢f≡ 0开(lR（x），rR（x））和（4.2），J（y，R∪ A） =0=所有y的f（y）∈ (lR（x），rR（x））。也就是说(lR（x），rR（x））红外光谱∪A、其中已包含R∪A.∈ E、回想（ii）中的f，R是一个平衡，并且(lR（x），rR（x））∩CR= 暗示(lR（x），rR（x）） IR。我们有V（y，R∪A） =f（y）=0表示所有y∈ (lR（x），rR（x））。特别是，如果我们*:= T*∩(lR（x），rR（x）），然后对于所有y∈ (lR（x），rR（x）），V（y，T*) = V（y，R∪A.*) = 0、备注5.2。命题5.1的条件“（2.3）与严格不等式”在实践中没有限制性。最常见的非指数贴现函数（包括2.3）满足此条件。召回R*在（4.11）中。对于每个x/∈ R*, 我们定义l*（x）和r*（x）如（5.3）所示，R由R代替*. 任意闭最优平衡T*can与R不同*以非常有限的方式，如下所述。推论5.2。假设（4.2）成立，X在（5.4）意义上是正则的，并且（2.3）成立严格不等式。让T*∈ E是一个封闭的最优平衡。如果R*在（4.11）中，i是一个最优平衡，那么对于任何x/∈ R*,（i）如果(l*（x），r*（x）（）∩ CR公司*6= , 然后T*∩ (l*（x），r*（x））=;（ii）如果(l*（x），r*（x）（）∩ CR公司*= 和f 6≡ 0开(l*（x），r*（x）），然后*∩ (l*（x），r*（x））= 或(l*（x），r*（x）（） T*;（iii）如果(l*（x），r*（x）（）∩ CR公司*= 和f≡ 0开(l*（x），r*（x），则对于(l*（x），r*（x）），R*∪ A是最佳平衡。证据根据定义，R*已关闭且R* T*. 结果直接来自命题5.1和R*是一种最佳平衡。备注5.3。人们可能会想，推论5.2（i i）是否可以加强，以便(l*（x），r*（x）（） T*可以排除。

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2022-6-2 19:26:23

如果可以做到这一点，推论5.2（i）和（ii）一起将意味着R*当f 6时，u ni que是闭合平衡吗≡ 在X的任何子间隔上为0。但是，通常不能这样做。实际上，在示例5.1中，T*\\ R*= （b）*, ∞) 红外光谱*,这表明排除“(l*（x），r*（x）（） T*” 在推论5.2（ii）中，一般不可能。5.1与[12]中的离散时间设置进行比较在离散时间设置中，Huang和Zhou[12]还建立了非指数贴现下有限期停止问题的最优均衡的存在性。尽管如此，本论文与[12]之间存在一个关键差异。在定义（2.6）中的固定点算子时，我们考虑差异区域，这与【10】中最初提出的迭代逼近一致。相反，差异区域在[12]中不起作用：它只是作为停止区域的一部分。这种简化允许[12]在离散时间内建立强大的理想结果，包括（i）每个平衡都是闭合的，（ii）在温和的连续性假设下存在唯一的最优平衡。虽然在连续时间内进行相同的简化很有诱惑力，但这种简化仅在离散时间内进行。具体而言，如果我们忽略（2.7）中的差异区域，将其包括在s顶部区域中，那么定点迭代是否能够转化为平衡就值得怀疑了（即命题2.1可能不再成立）。这可以追溯到convergenceresult的证明【10，定理3.16】，它需要使用差异区域。在[12]的离散时间设置中，[12，引理3.1]弥补了不存在差异区域的缺陷，允许定点迭代收敛到平衡点（[12，定理3.1]），而无需差异区域。

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2022-6-2 19:26:27

然而，这样的结果需要Θ（R） R代表R∈ B（X）。在连续时间内，这种关系不成立（见备注4.4），除非R已经是一个平衡。为了说明我们的理论结果，本节研究了三个不同的stoppin g问题。第一个是贝塞尔过程的停止，详见【10，第4节】。我们将简要介绍它，因为它完全符合定理4.1。第二个例子是几何布朗运动的停止，而第三个例子是写在几何布朗运动上的美式看跌期权。这两个例子需要仔细的综合分析，这将加强我们对可积性条件（4.3）作用的理解。在这三个例子中，我们将用一个显式公式来描述最优平衡。6.1贝塞尔过程的停止考虑一维贝塞尔过程X，由Xt给出：=| Wt |，其中W是一维布朗运动。然后，状态sp ace为X=[0，∞). 设payoff函数为f（x）=x对x，贴现函数为双曲型，如（3.6）所示。（2.5）中的预期p ayo fff J（x，R）则采用（3.7）的形式。此外，根据布朗运动W的标准性质，可以验证假设4.1、（4.2）和（4.3）都满足。如【10，p.82】中所述，当前设置与实物期权问题有关，在该问题中，大型非盈利保险公司的管理层打算清算或出售该公司，并希望决定何时进行清算或出售。n ext结果给出了所有闭合平衡的精确特征，这是[10，proposition 4.5和引理4.4]的直接结果。引理6.1。R∈ B（X）是闭合平衡，当且仅当R=[a，∞) 对于一些a∈ [0，a]*], 何处*> 0的特征是*R∞e-s√2βs tanh（a*√2βs）ds=1。

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