连续时间市场模型中的生存投资策略

2022-6-11 05:28:54

当其他投资者的代表性策略与之完全不同时，使用它的投资者的相对财富往往为1。此外，我们认为，使用生存策略可以使s在市场投资者中实现最高的财富渐进增长率。获得这些结果的关键思想是找到一种策略，使其相对财富的对数过程为次鞅。如图所示，它的存在源于适用于相对财富过程适当表示的吉布斯不等式。然后利用子鞅收敛的结果建立了生存性。本文[2]首次使用了这种方法，研究了具有短期资产的相当一般的离散时间模型。对于该模型的特定实例，之前也知道类似的结果（见thereview[7]），但他们主要使用基于大数定律的思想，这将其仅限于由独立的随机变量组成的支付序列。我们还可以提到文献[1]，这里，一个类似于文献[2]的方法被用于一个具有长期资产的模型，该模型描述了ausual stock market。在那里，为了获得类似的结果，需要更多的子学习，并对模型施加一些限制性假设。从这个角度来看，我们的工作更接近于[2]，我们还考虑了一个只有短期资产但在连续时间内的模型。我们还要提到，生存策略在某种程度上类似于有竞争的资产市场模型中的增长最优策略（见[8、11、16]），因为这两种策略都是由财富对数最大化问题产生的。特别是，我们表明，生存策略允许实现最高的财富增长率，类似于最优增长策略。

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2022-6-11 05:28:57

然而，这两类策略之间的一个本质区别是，生存策略不能直接从单个代理财富优化问题中获得，因为一个投资者的财富演化也取决于其他投资者的行动。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了该模型。在第3节中，我们介绍了生存策略的概念，并提供了一个此类策略的明确构造。本文的主要结果在第4节中介绍。第5节包含eir证明。2市场模型在研究连续时间的一般模型之前，让我们考虑离散时间的模型，其中主要对象和公式有明确的解释。在此基础上，我们将对一般模型进行模拟。2.1初步考虑：离散时间集us fix概率空间中的模型(Ohm, F、 F，P），离散时间过滤F=（Ft）∞t=0，在此基础上确定所有随机变量。模型中的市场包括≥ 2投资者和N≥ 2资产，在t=1，2，…的时刻产生非负随机收益。投资者每天都会同时独立地决定将其财富的哪一部分投资于每项资产，并且资产收益按投资财富的比例进行分配。投资决策是在收益未知之前做出的。假设投资者在任何时候分配给资产的自有财富比例对于所有投资者都是相同的（但是资产之间的投资财富分配可能不同，投资者可以自由选择）；一个模型，在这个模型中，它们可能会有所不同，这将更加复杂，本文没有对此进行研究。资产的收益由随机序列Ant（ω）确定≥ 0，适用于过滤（反Ft可测量）。

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2022-6-11 05:29:00

这些随机序列是外生的，即不依赖于投资者的行为。投资者财富的演变由适应性序列SYMT（ω）描述≥ 给出了初始值Ym>0，进一步的值取决于投资者使用的策略。投资者m的策略由序列λmt（ω）确定≥ RN中随机向量的0，表示投资于每项资产的财富比例。序列λm，不可预测（λm，ntif-Ft-1-可测量）和Pnλm，nt=1。有鉴于此，我们陈述了决定投资者m财富演变的方程：Ymt=（1- δt）Ymt-1+Xnλm，ntYmt-1Pkλk，ntYkt-1 ANT，t≥ 1，（1）其中δt（ω）是每个投资者分配给资产投资的财富比例。随机变量序列δt∈ [0，1]是可预测的，从外部给出，对所有投资者来说都是一样的。请注意（1）右侧的第一项是指未投资于资产的财富金额，第二项是已收付款。总和中的分数表达了将收益按比例分配给投资财富的想法。我们将没有人投资资产n时发生的不确定性0/0视为0/0=1/M，因此在这种情况下，相应资产的收益按相等比例进行分割。注意，由于δt<1的假设，始终Ymt>0。让我们强调，策略λm，nt的组成部分取决于arandom结果ω∈ Ohm, 但不要依赖投资者的财富或他们的战略。这意味着投资者在决定如何分配自己的财富时，只考虑资产回报。这种策略可以称为基本策略（如论文[2]）。可以考虑一个更通用的模型，例如，其中λmt=λmt（ω，Y，…，Yt-1, λ, . . .

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2022-6-11 05:29:03

，λt-1），但这不会从本质上增加我们论文主要结果的一般性，见下面的备注2。为了了解如何表述方程式（1）的连续时间对应项，让我们将其改写为以下形式：Ymt=-Ymt公司-1.Vt+Xnλm，ntYmt-1Pkλk，ntYkt-1.Xnt，t≥ 1、（2）式中，Xt、vt为累计利润和累计投资比例的顺序，定义为Xt=Xs≤tAs，Vt=Xs≤tδs，（3）和符号 den otes一个周期的增量，例如。Ymt=Ymt-Ymt公司-1、方程式（2）的形式表明，通过考虑连续时间过程Xt、Vt、YT，并将一步增量“替换”为最小增量，可以获得连续时间中的类似模型，例如：。YT与dYt。本节其余部分的目标是以适当的方式定义此类模型。2.2符号让我们介绍用于制定上述模型的连续时间版本的符号。从现在起，假设给定一个过滤概率空间(Ohm, F、 F，P），连续时间过滤F=（Ft）t∈R+，满足通常的假设，即F是右连续的（Ft=Ts>tFs），σ-代数F是完备的，F包含F的所有P-空集。对于向量x，y∈ RN，xy表示标量积，x表示向量的l范数，kxk表示l范数；对于标量函数f:R→ r符号f（x）表示函数的坐标应用：xy=Xnxnyn，| x |=Xn | Xn |，kxk=√xx，f（x）=（f（x），f（xN））。如果Gt=G（t）是一个非递减函数，那么对于可测函数ftindicatef·Gt=ZtfsdGs，前提是该积分定义良好（作为Lebesgue-Stieltjes积分）。函数f，G可能是随机的，那么f·Gt（ω）是为每个ω按路径定义的。如果f是向量值，G是标量值，那么f·Gt=（f·Gt。

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2022-6-11 05:29:06

，fN·Gt）；如果两者都是向量值，则f·Gt=Pnfn·Gnt。像往常一样，随机变量之间的所有等式和不等式都假设在e上概率成立（几乎可以肯定）。对于随机过程Xt（ω），Yt（ω），X=Y的等式被理解为具有pin可分辨性，即P(t:Xt6=Yt）=0；我们以同样的方式处理不平等。除非另有规定，否则所有ω的轨迹特性（连续性、耳鸣性m等）均应保持不变。如果X，Y是右连续过程，则X=Y当且仅当Xt=Yta。s、对于所有t，通过可预测的σ-代数POhm×R+我们通常称之为由所有左连续适应过程生成的σ-代数。一个过程是可预测的，如果它相对于P是可测量的，作为从Ohm ×R+至R或toR∪ {±∞}.2.3一般模型在离散时间模型中，有M≥ 2投资者和N≥ 2资产。资产支付由外部累积支付过程Xnt（参见（3））规定，该过程适用于过滤F，且具有非递减的C‘adl’ag路径（右连续，左限），Xn=0。每个投资者分配给资产的财富的累积比例通过调整后的非递减c\'adl\'ag标量过程VT确定，V=0，jum ps及物动词∈ [0，1）（与往常一样，Vt=Vt-及物动词-, w此处vt-= lims公司↑电视，以及V=0）。为了避免不可积性问题（见第3.2节），我们将假设V的跳跃从1开始均匀地bou ndedaway，即存在常数γV∈ [0，1）使得对于所有ω∈ Ohm和t≥ 0Vt（ω）≤ γV.（4）投资者m的策略由投资于资产的财富比例的可预测过程λmt确定，该过程假设RN中的标准单纯形值，即λm，nt≥ 0和pnλm，nt=1。

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2022-6-11 05:29:09

如上所述，我们只考虑基本策略，这意味着λmt不依赖于市场的“过去历史”。投资者的财富过程定义为严格正的adl ag过程ym，满足方程（2）的连续时间对应物）dYmt=-Ymt公司-dVt+Xnλm，ntYmt-Pkλk，ntYkt-dXnt（5）等Y-> 0（即Ymt-> 0表示所有t≥ 0和m）。在不损失一般性的情况下，我们总是假设初始值Ym>0是非随机的。如果所有k的λk，nt=0，则我们假设右侧的细分值等于相应n的1/M。通常，方程式（5）应以积分形式理解：Ymt=Ym+XnZtλM，nsYms-Pkλk，nsYks-dXns-ZtYms公司-dVs，t≥ 0。（6）此处的积分是路径Lebesgue-Stieltjes积分（由于过程Xt、VT不减少，且被积函数为非负，因此对其进行了充分定义）。不难看出，如果Ymsatifies（6），那么它在任何区间都有有限的变化[0，t]。下一个命题表明方程（5）有唯一的解，因此财富过程得到了很好的定义。提案1。对于任何非随机首字母Ym>0和策略λm，m=1，M、存在一个独特的适应严格正的c\'adl\'agprocess Y=（Y，…，YM），满足（6）和Y-> 0.3生存策略3.1初始资本Ym、投资策略λm和相应的财富过程Ym中给出的生存概念，定义了总市场财富W和投资者相对财富rmo的过程：Wt=| Yt |，rmt=YmtWt。如果有必要强调引入的流程取决于初始资本和策略，我们将使用符号ymt（Y，λ）和rmt（Y，λ），其中e∧=（λ，…，λM）表示策略。本文的中心定义是生存战略的概念。

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2022-6-11 05:29:12

我们称之为策略λ生存，如果任何初始大写字母Ym>0，m=1，M、以及λ=λ的策略文件∧=（λ，…，λM）和任意策略λM，M=2，M，概率为1≥0rt（Y，λ）>0，即生存策略保证使用该策略的投资者将始终从零开始在总财富中占有一定份额。如上所述，Y>0，Y-> 因此，生存的概念可以等价地表述为在lim inft时的th→∞rt（Y，∧）>0。等效地，也可以将其重新表示为存在严格正随机变量C（通常，取决于初始资本Y和策略文件∧）的性质，从而≥ 所有m和t的CYMTF≥ 0，即没有任何策略能够比asurvival策略更快地提供财富的渐进增长。3.2生存策略的构建我们现在将明确构建候选生存策略。其生存性以及其他渐近最优性将在第4节中建立。下面的论述依赖于随机微积分中的几个已知事实，例如，可以在[10]中找到这些事实。让我们将进程Xt拆分为连续部分Xt和跳跃之和，即Xt=Xct+Xs≤t型Xs，其中Xctis是一个连续的n on-递减过程，Xs=Xs- Xs型-, 对于s=0，我们设置X=0。使用跳跃将很方便Xtand公司Vt使用（N+1）维过程（Xt，Vt）的跳跃s度量。它被定义为（S，B（S））上的整值随机测度，其中S=R+×RN+1+，B是Borelσ-代数，公式为u（ω，A）=Xt≥0I(（Xt，Vt）（ω）6=0，（t，（Xt，Vt）（ω））∈ A），A∈ B（S）（实际上，我们可以假设S=R+×RN+×[0，γV]，其中γVis是来自boun d（4）的常数）。

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2022-6-11 05:29:14

对于F的积分 B（S）-关于随机测度的可测函数，我们将使用符号F* ut（ω）=Z（0，t）×RN+1+f（ω，s，x，v）u（ω，ds，dx，dv），（7）假设积分定义良好（作为勒贝格积分），可能+∞ 或-∞. 从今以后，变量x∈ RN+对应于x和v的跳跃∈ R+到V的跳跃。积分（7）可定义为一般随机度量；在特定情况下，当u是（X，V）跳跃的度量时，它可以简单地写为sumf* ut（ω）=Xs≤tf（ω，s，Xs（ω），Vs（ω））I(（Xs，Vs）（ω）6=0）。在f是向量值可测函数的情况下，我们将积分（7）视为向量值并进行协调计算。特别地，进程XT可以用XT=Xct+x的形式表示* ut，其中x=（x，…，xN）和函数（x，v）7的xnstands→ xn。LeteP=P B（RN+1+）是上的可预测σ-代数Ohm ×R+×RN+1+。回想一下，如果对于任何可测的非负函数f（ω，t，x，v），过程f* νtis可预测（P-可测量）。从现在起，让νd enote作为跳跃度量u的补偿器，即一个可预测的随机度量，对于任何可测量的n个负函数，f保持相等（f* u∞) = E（f* ν∞),或者，相当于f*(u -ν）这是一个局部鞅，前提是过程| f |* ut局部可积。适应的c ` adl\'agprocess的跳跃度量总是有一个补偿量，该补偿量与P[10，§II.1]不可区分，因此在我们的模型中，对ν进行了很好的定义。由于过程X和V没有减少，不等式（| X |∧ 1+v）* νt<∞持有a.s。

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2022-6-11 05:29:17

关于所有t，见[13，§4.1]。根据一般理论，已知存在一个可预测的c ` adl ` ag非递减局部可积标量过程G（一个操作时间过程），其中u p p-不可区分性，Xct=b·Gt，ν（ω，dt，dx，dv）=Kω，t（dx，dv）dGt（ω），（8）其中bt是一个值为RN+，Kω，t（dx，dv）的可预测过程(Ohm ×R+，P）到（RN+1+，B（RN+1+），对于所有ω，t表示性质kω，t（{0}）=0，ZRN+1+（| x |∧ 1+v）Kω，t（dx，dv）<∞.例如，可以使用processGt=| Xct |+（| x |）∧ 1+v）* νt.（9）这个过程的表示（8）的可能性可以类似于命题II来证明。2.9英寸【10】。对于满足（8）的b、K、G，用公式（ω）=ZRN+1+xn1确定可预测的p过程At，其值为RN+- v+| x |/重量-（ω） Kω，t（dx，dv），（10）并定义策略bλbybλt=at+bt | at+bt |，（11），其中当| at+bt |=0时，我们对所有N计算bλnt=1/N。这一战略将成为生存战略的候选。请注意，过程V的连续部分不参与其构造。注意，策略bλ在本质上并不取决于以下意义上的操作时间过程的选择。让过程G由（9）定义。确定测量值Q=PG开启(Ohm×R+，P），即对于A∈ PQ（A）=EZ∞I（（ω，t）∈ A） dGt（ω）.提案2。假设G′是另一个满足（8）的操作时间过程，而bλ，bλ′是如上所述关于G，G′构造的策略。然后bλ=bλ′（Q-a.s.）。此外，对于任何初始大写字母Ym>0，m=1，M，且策略文件∧=（bλ，λ，…，λM），∧′=（bλ′，λ，…，λM）具有任意策略λM，M=2，M，相应的财富过程相等，i。e、 Y（Y，λ）=Y（Y，λ′）。备注1。显然，第2.1节的离散时间模型是一般模型的特例。

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2022-6-11 05:29:20

在离散时间内，Xt=在，Vt=δt，可以取Gt=[t]（整数部分）。那么Xct=0，Kω，t（dx，dv）是这对（At，δt）的正则条件分布，r相对于Ft-1、通过向前追踪计算，we findant=Wt-1E级AntWt公司英尺-1., bt=0，bλt=at | at |。（12） 4主要结果4.1陈述在本节中，我们假设给定并固定了表示法（8）适用的操作时间过程Gfor，以及前一节中描述的由G构成的a、b、K、bλ。为了表述结果，让我们还介绍可预测的标量过程HT=| a+b | W-· 燃气轮机。提案3。过程H是有限的：Ht<∞ a、 s.适用于所有t≥ 对于自适应标量过程Lt，我们将使用符号M（L）={τL（L），L∈ R+}对于L第一次超过LF水平时的停车时间类别：τL（L）=inf{t≥ 0：Lt≥ l} ，其中inf = +∞ .我们在下面的定理中得出的第一个主要结果表明，ifa策略λ在某种意义上接近于λ，那么它就是生存。特别是，bλ本身就是生存。定理1。假设策略λ满足以下条件：（a）P(t：λnt=0，bλnt6=0）=0，对于所有n，（b）过程Ut=bλt（lnbλt-lnλt）满足U·H∞< ∞,（c） E（UτHτI（τ<∞)) < ∞ 对于任意τ∈ M（U·H）。然后，如果投资者m使用策略λ，则限制极限→∞rmt>0存在，其他投资者的任何策略λkof的概率为1。特别是，策略λ是生存。策略λtobλ的接近度基本上由条件（b）确定，而（a）和（c）是技术假设。让我们澄清一下，在集合{λnt=0}和{bλnt=0}上的条件（b），（c），Utis定义中标量积中的对应项假设为零。还可以观察到过程U是非负的，正如吉布斯不等式所示（另见下面的引理1）。

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2022-6-11 05:29:23

因此，积分U·H∞条件（c）中的期望值总是很明确的，因为它们可能具有价值+∞.下一个简单命题可用于验证特定模型中定理1的条件（a）、（b）。关于（c），其有效性的一个简单有效条件是过程G的连续性（以及H的连续性）。例如，当X和V是非减量L'evy过程时，G是连续的。提案4。假设过程X，V是这样的，策略bλ满足不等式inf≥0bλnt>0表示所有n。在这种情况下，如果策略λ满足≥对于所有n和kbλ，0λnt>0-λk·H∞< ∞, 然后满足定理1的条件（a），（b）。下一个结果表明，在某种意义上，所有生存策略都渐近接近策略bλ。定理2。如果策略λ是生存策略，那么kbλ-λk·H∞< ∞.下面阐述的第三个定理表明，生存策略在市场中占主导地位，即使用该策略的投资者的相对财富倾向于1作为→ ∞, 如果其他投资者的代表性策略在某种意义上与bλ本质上不同。根据投资者的代表性策略k 6=m，我们称可预测过程eλ为这些投资者策略的加权和，以他们的相对财富为权重：eλnt=1-rmt公司-Xk6=mλk，ntrkt-.请注意| eλt |=1。定理3。假设投资者m使用满足定理1条件的策略λ。Leteλ是其他投资者的代表策略。然后限制→∞rmt=集合{kbλ上的1 a.s-eλk·H∞= ∞}.最后一个结果将我们模型中的生存策略与具有外生资产价格的资产市场模型中的增长最优（或对数最优）策略进行了比较（见下一节的讨论）。

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2022-6-11 05:29:26

为了说明这一点，让我们定义投资者m的财富Ymtaslim supt的渐进增长率→∞tln Ymt（类似于具有外生价格的资产市场模型中的渐近增长率的定义，参见，例如，[12，Ch ap ter 3.10]），并定义财富增长率Ymt在时间间隔s<t ast-东南方字母YFs公司.定理4。1）如果投资者m使用生存策略，那么该投资者将实现市场财富的最大渐进增长率：对于任何klim supt→∞tln Ymt公司≥ lim支持→∞tln Ykt。2）相反的投资者m使用策略Bλ和leteYt=Pk6=MYK表示其他投资者的总财富。然后，在任何时刻s<t之间，Ymtgrows比eytbrows快，因此E（| ln Wt | Fs）<∞, i、 e.e字母YFs公司≥ ElneYteYs公司Fs公司.注意，在定理4的第二个权利要求中，通常不可能说E（ln（Ymt/Yms）| Fs）≥ E（ln（Ykt/Yks）| Fs）对于任何k，如果投资者数量为M≥ 3、备注2。如上所述，本论文中考虑的所有投资策略都是基本的，因为它们的组成部分只是tandω的函数。我们还可以通过允许一般策略来扩展模型，其中λtmay以适当的非预期方式取决于过程Y的路径，λ直到时间t。然而，上述大多数结果在这种扩展设置中也将保持有效。让我们在不涉及技术细节的情况下对此进行启发式论证。例如，假设策略λmt（ω，Yt-（ω））也可以依赖于当前的财富，从而财富方程可以接受唯一的解Y。然后我们可以考虑策略的实现|λmt（ω）=λmt（ω，Yt-（ω）（假设它们是可预测的过程），通过检查证明，可以看出定理1、3和4以及命题4将是有效的，前提是附加要求它们的语句中的策略λ是基本的。

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2022-6-11 05:29:29

尤其是，Theorem 1意味着在具有一般战略的模型中存在生存战略，并且可以在基本战略中找到生存战略（bλ就是这样一种战略）。然而，只有基本生存策略w将渐近接近bλ，即如果允许λ为一般生存策略，则定理2不成立。文[2]中提供了一个不同模型的反例，但它也可以应用到我们的环境中。4.2与文献中的其他结果相比，一般而言，基于投资策略自然选择思想研究资产市场长期动态的工作可归因于进化金融领域，该领域自1990年2月以来发展起来。最近的评论（主要是离散时间模型）可以在[7，9]中找到。让我们首先提到与定理1、2和3的结果相关的其他工作。本文研究了一个离散时间的相似模型。其主要区别在于，在每一时刻，全部财富都被重新投资，即财富方程，而不是（1），是以下方程：Ymt=Xnλm，ntYmt-1Pkλk，ntYkt-1试剂。（13）注意，它可以通过取δt=1从（1）中正式获得。论文[2]的主要结果还包括找到一个明确形式的生存策略，并证明所有生存策略都是渐近循环的。在该模型中，生存策略由与（12）相同的公式定义，δt=1（应将v≡ 1英寸（10））。由于论文[6]考虑了该模型的扩展，投资者还可以决定将其财富的哪一部分分配给资产投资，以及在无风险账户中保留哪一部分。

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2022-6-11 05:29:32

这表示为Pnλm，Nt可能小于1。论文[1]中也获得了类似的结果，即离散时间（更困难）模型，该模型假设投资者可以在随后的时刻以市场确定的价格（通过供需平衡）出售资产——这种假设对于股票市场模型来说是自然的。值得注意的是，在基本策略中也存在一种生存策略，这种生存策略依赖于股息序列的结构，而不依赖于投资者的行为。我们还要提到论文【3】（另见后续论文【4】）——这是该方向的第一篇论文之一，其中得到了与定理1类似的结果（以及其他结果）。该文件中考虑的模型是（13）的一个简单特例，在每个时刻只有一项资产产生收益，如果支付，其金额是事先知道的。请注意，模型（13）不能直接推广到连续时间的情况，因为连续时间模型应该允许在“非常短”的时间内，支付可能“非常小”，但方程式（13）没有意义。

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2022-6-11 05:29:35

由于假设δt<1，我们的模型中不存在这样的问题。在连续时间情况下的（少数）其他结果中，让我们提及论文【14】，其中研究了离散时间模型到连续时间模型的收敛性，以及论文【15】，其中研究了在亨帕伊夫由绝对连续非递减过程确定的情况下，投资策略的生存和优势问题。最后，关于定理4，我们可以看到，在没有竞争的数学金融模型中，生存策略，尤其是RBλ，与增长最优策略（也称为logoptimal策略、基准策略、num'eraire投资组合）相似，因为它们会导致财富的最快增长。例如，在[5，第5章]，[8]中可以找到关于增长最优策略的说明，在[11，16]中可以找到关于离散时间模型的说明，在[11，16]中可以找到关于一般连续s时间模型的说明。然而，请注意，生存策略和增长最优策略之间有着本质的区别：后者是作为财富过程的单代理优化问题的解决方案获得的，而前者不能以这种方式获得，因为投资者不知道竞争对手的策略。5校样在进行校样之前，为了方便读者，让我们简要回顾一下随机指数的概念，它将在下面的几个地方使用。如果Z是标量半鞅，则Z的随机指数E（Z）是解随机微分方程的半鞅（s总是有唯一的强解，请参见[10，§I.4f]）dE（Z）t=E（Z）t-dZt，E（Z）=1。在我们将要考虑的所有情况下，只有具有有限变化的自适应c’adl’ag过程将被用作Z，因此该方程应在路径Lebesgue–Stieltjes积分的意义上得到理解。

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2022-6-11 05:29:38

Dolean–Dadeformula表示在这种情况下，e（Z）t=eZtYs≤t（1+Zs）e-Zs。（14）特别是，如果Z>-1，然后E（Z）>0和E（Z）-> 命题1的证明。介绍乐趣：RMN+M+→ RMN+规定了方程式（6）中的支付分布：【F（λ，y）】m，n=λm，nymPkλk，nyk。当一些n的分母等于0时，我们定义[F（λ，y）]m，n=1/m。很容易检查|[F（λ，y）]m，n/yk |≤ 1年/月。因此，在任意集{y:ym上，y上的Fis-Lip-schitz连续≥ a表示所有m}，其中a为正常数。设l（a）为函数，定义为∈ (0, ∞), s uchthe | F（λ，y）- F（λ，ey）|≤ l（a）| y- ey |对于任何λ∈ RMN+和y，ey∈ RM+带YM、eym≥ a代表所有m。我们可以假设l（a）≥ 对于任意a和l（a），在R+\\{0}中的任意紧集上都有1。让y*= 明明。定义τ=0的停止时间g乘以τi的顺序，对于i≥ 1，τi=inft型≥ τi-1： | Xt |≥ |Xτi-1 |+4l（y*E类(-V）τi-1/2）或VT≥ Vτi-1+∧y*E类(-V）τi-12（y*+ |Xτi-1| + 1/4)∧ （τi-1+1），其中inf = ∞. 不难看出τi≤ i和τi→ ∞ 作为我→ ∞.我们将在区间[0，τi]上通过归纳构造（6）的解。也就是说，我们将定义一个在任何区间[0，t]上具有有限变化且满足[0，τi]上的方程（6）且性质yy（i）t=Y（i）的自适应c\'adl\'ag过程序列Y（i-1） t对于t≤ τi-对于i=0，对于所有t，设Y（0）t=Y≥ 0、假设过程Y（i-1）已构建。观察等式（6）意味着对于每个mYmE(-V）t≤ Y（i-1），公吨≤ Ym+| Xt |表示t≤ τi-1.（15）这里，右不等式是明确的，左不等式是从过程Y（i）得出的-1），机电一体化(-V）是非递减的，这可以通过计算其随机差异来看出。现在让我们构造Y（i）。考虑b+d+c\'adl\'agfunctions的Banach空间f:R+→ Rm，标准kf k=支持≥0 | ft |表示为D，由f组成的封闭s ubset，其值以RM+表示。

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2022-6-11 05:29:41

对于每个ω，考虑映射f的操作符H∈ D toH（ω，f）t=Y（i-1） t型∧τi-1+I（t>τI-1） Z（τi-1，t]I（u<τI）（F（λu，fu-)dXu- 傅-dVu），（16），其中右侧ide中的随机变量针对给定ω进行评估。注意，H保持了过程的适应性，如果yi是适应性过程，那么H（Y）也是适应性过程。对于每个ω，引入setD（i）（ω）=nf∈ D：YmE(-V）τi-1(ω) ≤ fmt公司≤ Ym+| Xτi-1（ω）|+对于所有m和t≥ τi-1（ω）o。让我们证明H（ω）将D（i）（ω）映射到自身中。实际上，函数H（f）isc\'adl\'ag。定义D（i）时，H（f）的上界如下所示：≥ τi-1） H（f）mt≤ Ymτi-1+| Xτi-| -|Xτi-1| ≤ Ym+| Xτi-| +,其中，第一个不等式h er e从（16）中得出，其界为| F（λ，y）|≤1，第二个等式来自（15）中的右不等式和估计值| Xτi-| - |Xτi-1| ≤ 1/4，由τi的值决定。H（f）的下界与t的下界一致≥ τi-1H（f）mt≥ Ymτi-1.-Z（τi-1，τi）fu-dVu≥ YmE公司(-V）τi-1.-Ym+| Xτi-1(ω)| +（Vτi-- Vτi-1)≥YmE公司(-V）τi-1，其中第二个不等式因（15）和上界f而成立∈ D（i），而根据τi的选择，第三个不等式是有效的。因此，H将D（i）映射到自身中。此外，对于任何f，ef，它都是收缩映射∈ D（i）kH（f）- H（ef）k≤Z（τi-1，τi）（| F（λt，ft-) -F（λt，eft-)|dXt+|英尺--eft公司-|dVt）≤kf公司-efk。这里，为了限制积分相对于dXt，我们使用thatft-,eft公司-≥ y*E类(-V）τi-根据D（i）的定义，1/2，因此被积函数可以由| ft--eft公司-|l（y*E类(-V）τi-1/2），因此积分的值不超过kf-efk/4，因为| Xτi-|-|Xτi-1| ≤ 1/（4l（y*E类(-V）τi-1/2)).以类似的方式，关于dVtis的积分也不是更大的thankf-efk/4，因为Vτi-- Vτi-1.≤ 1/4.因此，H有一个固定的点EY，它在半区间[0，τi]上满足方程（6）。

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2022-6-11 05:29:44

过程Y是自适应的，因为它可以作为自适应过程Hn（Y（i））的极限（对于每个ω和t-1））作为n→ ∞ ,式中，n表示n次应用H.definey（i）t=eYtI（t<τi）+heYτi-+ F（λτi，eYτi-)Xτi-eYτi-VtiI（t≥ τi）。那么，Y（i）是在w孔间距[0，τi]上满足（6）的寻求过程。Y（i）和Y（i）的严格正性-遵循（15）中的左不等式。（6）的解的唯一性来自于归纳的每个步骤上算子H的固定点的唯一性。命题2的证明。假设G′是一个满足（8）的可预测过程，具有一些过程b′和转移核K′。然后，由G在R+上生成的随机测量相对于由G′生成的测量是绝对连续的，并且根据[10，命题I.3.13]，存在一个非负的可预测过程ρ，使得G=ρ·G′。HenceXc=b·G=（ρb）·G′，而同时，Xc=b′·G′，所以我们有ρb=b′（PG′-a.s.和h-ence，Q-a.s.）。以类似的方式，ρK=K′（Q-a.s.），这意味着ρa=a′（Q-a.s.），其中a，a′是（10）定义的关于K和K′的过程。然后，通过（11），我们得到bλ=bλ′（Q-a.s.），这证明了该命题的第一个主张。为了证明第二种说法，请注意，如果ft，f′tar是可预测的非负过程，使得f=f′（Q-a.s.），那么f·X=f′·X。因此，如果在财富方程（5）中，我们将策略λ=bλ替换为bλ′，那么财富过程Yt（Y，λ）将保持其解（直到P-不可分辨性）。命题3的证明。

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2022-6-11 05:29:47

确定停车时间τi，i的顺序≥ 0，τ=0，τi=inf{t≥ τi-1： Wt公司≤ 1/i或Wt≥ i}∧ （τi-1+1），i≥ 1、我们有hτi-≤ i（| a |+| b |）·Gτi-≤ 我我∧|x | 1- γV* ντi-+ i | Xcτi-| < ∞,其中，在第二个不等式中，我们使用了| at |的界≤RRN+1+（i∧ |x |/（1-γV）Kt（dx，dv），对于t<τi，从（10）中得出，在最后的不等式中，使用了性质（| x |∧ 1) * νt<∞. 因为W>0和W-> 0，我们有τi→ ∞ 作为我→ ∞, 因此，Ht<∞ 对于所有t≥ 在下面的引理中，我们建立了一个辅助不等式，将在随后的证明中使用。为了说明这一点，让我们介绍函数ln x=（ln x，如果x>0，-1，如果x≤ 引理1。假设向量α，β∈ RN+是这样的|α|=|β|=1，对于每个n，如果βn=0，我们有αn=0。然后α（lnα- lnβ）≥kα- βk.（17）证明。对于具有严格正坐标的向量，该不等式遵循Kullback–Leibler和Hellinger–Kakutanidistance的不等式（例如，在[2]引理2中可以找到直接的p屋顶）：将α、β视为一组N元素上的概率分布是很有必要的。对于可能具有零坐标的向量，可以取cα+（1），而不是α-c） u，cβ+（1- c） u，其中c∈ （0，1）和u是严格正坐标的向量，且| u |=1。然后让c→ 1，并使用函数xln x的连续性和范数k·k获得（17）。定理1的证明。假设投资者m使用满足条件（a）–（c）的策略λ。首先，我们要证明，过程St=ln rmt+U·ht是一个局部子鞅。将财富过程y和财富总量W的过程表示为随机指数将很方便。

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大多数88

2022-6-11 05:29:49

为简洁起见，将θt=Wt-,并将投资者m的策略λm=λ与N维可预测过程Ft相关联，其中分量Fnt=λm，ntθtPkλk，ntrkt-,其中，在不确定性0/0的情况下，我们定义Fnt=（MWt-rmt公司-)-1、然后过程Ymt和WT满足方程Ymt=Ymt-（FtdXt- dVt），dWt=d | Xt |-Wt公司-dVt。因此，它们可以用公式ymt=YmE（F·X）表示- V）t，Wt=WE（θ·| X |- V）t.Let Zt=ln rmt=ln E（F·X- V）t- ln E（θ·| X |- V）t+Z.如下（14），Zt=（F- θ） ·Xct+Xs≤tln公司1.-Vs+FsXs1- Vs+θs|Xs型|+ Z（在第一项中，从F的每个坐标中减去θ）。定义可预测函数f：Ohm ×R+×RN+1+→ R byf（ω，t，x，v）=ln1.- v+Ft（ω）x1- v+θt（ω）| x|.使用此函数，可以写zt=（F-θ） ·Xct+f* ut+Z。让我们证明代表性zt=g·Gt+f*(u - ν） t+Z（18），功能gt=（Ft- θt）bt+ZRN+1+ft（x，v）Kt（dx，dv）。为了证明（18），有必要证明f*νt<+∞ 和g·Gt>-∞ 对于所有t（然后我们还有| f |* νt<∞).考虑停止时间τi=inf{t≥ 0：rmt≤ 1/i或Wt≤ 1/i}带INF = +∞. 不难看出Fnt≤ θt（rmt-)-1对于所有n.Thenf≤i | x | 1-集{t<τi（ω）}上的γV+i | x |。自（| x |）∧ 1) * νt<∞ 对于所有t，我们有f*ντi-< +∞. 因为τi→ ∞ 作为我→ ∞ （由于W的严格积极性，W-, rm和rm-), 通过极限i→ ∞, 我们获得f*νt<+∞对于所有t，让我们证明g·Gt>-∞ 对于所有t.定义集合X（ω，t）={（X，v）∈RN+1+\\{0}：如果Fnt（ω）=0，n=1，…，则xn=0，N} 。利用Jensen不等式和对数的凹度，我们发现任何（x，v）的∈ X（ω，t）ft（X，v）=ln1.- v1- v+θt | x |+θt | x | 1- v+θt | x | Ftxθt | x|≥θt | x | 1- v+θt | x | lnFtxθt | x|≥θtxln（Ft/θt）1- v+θt | x |。这意味着对于每个tZRN+1+ft（x，v）Kt（dx，dv）=ZXtft（x，v）Kt（dx，dv）≥ θtatln（Ft/θt），其中我们使用Kt（RN+1+\\Xt）=0。

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kedemingshi

2022-6-11 05:29:52

实际上，集合RN+1+\\X（ω，t）由（X，v）组成，其中Fnt（ω）=0，但对于某些n，xn>0。在集合{Fnt=0}上，我们有λm，nt=0，因此，根据定理的条件（a），bλnt=0 a.s.在该集合上，因此Kt（{xn>0}）=0。然后我们可以写≥ （英尺- θt）bt+θtatln（Ft/θt）≥ θt（at+bt）ln（Ft/θt）≥bλt（lnλt- lnπt）| at+bt |θt（19）（在第二个不等式中，我们使用了Fnt/θt- 1.≥ln（Fnt/θt）），其中πnt=Xkλk，ntrkt-. （20）注意|πt |=1。将引理1应用于向量α=bλ和β=πt，从公式（19）中我们发现gt≥bλt（lnλt- lnbλt）| at+bt |θt=-Ut | at+bt |θt，其中，为了获得等式，我们将gedln更改为ln，这是由于条件（a）而可能的。然后，根据条件（b），g·Gt≥ -U·Ht>-∞, 这证明了代表性（18）。在p关节，| f|*νt<∞ 对于任何t。由于可预测的非递减有限值过程是局部可积的[13，引理1.6.1]，因此过程| f |* ν是逻辑可积的，因此f* (u - ν）这是局部鞅。因此，St=Zt+U·hts是一个局部子鞅。按照标准技术，让我们证明这一事实和条件（c）意味着ZT有一个a.s.-fine极限，即t→ ∞.考虑停止时间的顺序τi=inf{t≥ 0：U·Ht≥ i} ，我∈ N、（21）其中inf = +∞. 根据条件（b），对于a.a.ω，我们得到τi（ω）=∞ 从一些i开始。对于每个i，过程S（i）t=St∧τi，t≥ 0是一个localsubmartingale，而且，对于所有t≥ 0S（i）t≤ U·Hτi≤ i+UτiHτiI（τi<∞). （22）从条件（c）可以看出，上述不等式右侧的随机变量是可积的。因此，S（i）通常是次鞅，存在a.S-有限极限→∞S（i）t=Sτi（byDoob的鞅收敛定理，见[10]中的定理i.1.39）。Lettingi公司→ ∞, 我们得到了a.s-有限极限s的存在性∞= 限制→∞斯坦兹∞= S∞-U·H∞. 这意味着限制→∞rmt=exp（Z∞) > 0，这证明了定理。命题4的证明。

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2022-6-11 05:29:55

很明显，如果命题的条件满足策略λ满足条件（a）。表示bξ=inft，nbλnt和ξ=inft，nλnt。然后我们有不等式（λnt-bλnt）（lnλnt- lnbλnt）≤（λnt-bλnt）bλntifλnt≥bλnt，（λnt-bλnt）（lnλnt- lnbλnt）≤ln（ξ）（λnt）-bλnt）（ξ-1） bλntifλnt<bλnt，其中我们使用了不等式ln（1+x）≤ x如果x≥ 0和ln（1+x）≥xε-1ln（1+ε）如果x∈ [ε, 0], ε > -1，适用于x=（λnt-bλnt）/bλnt和ε=ξ- 1、自λt（lnλt- lnbλt）≥ 0（引理1），我们发现≤ln（ξ）kλt-bλtk（ξ-1） bξ。因此，U·H∞< ∞, 所以λ满足条件（b）。为了证明定理2和3，我们需要以下辅助结果。引理2。假设投资者m使用满足定理1的条件（a）–（c）的策略λ，并让πt为（20）定义的过程。然后kbλ-πk·H∞< ∞.证据在定理1的证明过程中，我们建立了不等式（19）。加上（17），它等于kbλ- πk·H∞≤ 4bλ（lnbλ- lnπ）·H∞≤ 4（克·克∞+ U·H∞).还有待证明g·g∞+U·H∞< ∞. 考虑（21）中定义的停车时间τ。对于任何t≥ 0E（g·Gt∧τi+U·Ht∧τi）=ES（i）t+S≤ i+E（UτiHτiI（τi<∞)),其中等式成立，因为g·Gt∧τi+U·Ht∧τiis是定理1证明中定义的子鞅S（i）的补偿器，且不等式适用于（22）且S=Z≤ 0、通过极限t→ ∞ ,利用单调收敛定理E（g·gτi+U·Hτi）<∞, 和henceg·Gτi+U·Hτi<∞. 通过极限i→ ∞, 我们获得g·g∞+U·H∞<∞, 因为τi（ω）=∞ 从a.a.ω的一些i开始。定理2的证明。考虑投资者1使用策略λ=λ，其他投资者使用策略bλ的市场，即λm=bλ，m=2，M、在这种情况下，πt=λtrt-+bλt（1-rt公司-) 和kbλ-πtk=rt-kbλt-λtk。然后从引理2得到（r-kbλ-λk）·H∞< ∞. 由于λ是一种生存策略，我们的影响大于0。

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2022-6-11 05:29:58

因此，kbλ-λk·H∞< ∞.定理3的证明。我们有πt=λtrmt-+ (1 - rmt公司-)通过引理2的virtueof，我们得到了kbλ-λ + (1 -rm-)(λ -eλ）k·H∞= kbλ- πk·H∞< ∞.因为策略λ是生存，所以kbλ- λk·H∞< ∞ 根据定理2。从这些不等式可以得出（1- rm-)kλ-eλk·H∞< ∞. 根据定理1，存在a.s.-有限极限rm∞= 限制→∞rmt。则必须为rm∞= 集{kλ上的1 a.s-eλk·H∞= ∞}, a.s.与集合{kbλ）重合-eλk·H∞= ∞} 如定理2所示。定理4的证明。1）如果投资者m使用生存策略，那么对于其他投资者的任何策略，不平等inftrmt>0的概率为1。然后suptWt/Ymt<∞ 因此s uptYkt/Ymt<∞对于任何k，我们得到不等式lim supt→∞tlnYktYmt公司≤ 0，这很容易暗示定理的第一个主张。2）从定理1的证明可以看出，如果投资者m使用策略ybλ，那么ln rmtis是一个子鞅，对于任何≤ tE（ln rmt | Fs）≥ ln rms。（23）根据定理的假设，使用E（ln Wt | Fs）是有限值，并将上述不等式E（ln（Wt/Yms）| Fs）的两边相加，我们得到字母YFs公司≥ ElnWtWs公司Fs公司. （24）让ert=eYt/Wt=1- rmt。从（23）开始，根据Jensen的不等式，我们得出（ln ert | Fs）≤ 在ers中，条件期望可以假定值-∞. 然后，类似于（24），我们有lneYteYs公司Fs公司≤ ElnWtWs公司Fs公司,与（24）一起证明了定理的第二个主张。参考文献【1】R.Am ir、I.V.Evstigneev、T.Hens和L.Xu。进化金融和动态博弈。《数学与金融经济学》，5（3）：161–1842011。[2] R.Amir、I.V.Evstigneev和K.R.Schenk Hopp'e.《生存的资产市场游戏：进化和动态游戏的综合》。《金融年鉴》，9（2）：121–144，2013年。[3] L.Blume和D.Easley。进化和市场行为。《经济理论杂志》，58（1）：1992年9月至40日。[4] L。

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