连续时间的离散股息支付

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Discrete dividend payments in continuous time》
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作者：
Jussi Keppo and Max Reppen and H. Mete Soner
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
We propose a model in which dividend payments occur at regular, deterministic intervals in an otherwise continuous model. This contrasts traditional models where either the payment of continuous dividends is controlled or the dynamics are given by discrete time processes. Moreover, between two dividend payments, the structure allows for other types of control; we consider the possibility of equity issuance at any point in time. The value is characterized as the fixed point of an optimal control problem with periodic initial and terminal conditions. We prove the regularity and uniqueness of the corresponding dynamic programming equation, and the convergence of an efficient numerical algorithm that we use to study the problem. The model enables us to find the loss caused by infrequent dividend payments. We show that under realistic parameter values this loss varies from around 1% to 24% depending on the state of the system, and that using the optimal policy from the continuous problem further increases the loss.
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中文摘要：
我们提出了一个模型，在该模型中，股息支付在其他连续模型中以固定的、确定性的间隔发生。这与传统模型不同，传统模型要么控制连续股息的支付，要么通过离散时间过程给出动态。此外，在两次股息支付之间，结构允许其他类型的控制；我们考虑在任何时候发行股票的可能性。该值被描述为具有周期性初始和终端条件的最优控制问题的不动点。我们证明了相应的动态规划方程的正则性和唯一性，以及用于研究该问题的有效数值算法的收敛性。该模型使我们能够发现不经常支付股息所造成的损失。我们表明，在实际参数值下，根据系统的状态，这种损失在1%到24%之间变化，并且使用连续问题的最优策略进一步增加了损失。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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nandehutu2022

2022-6-10 02:53:09

连续时间的离散股息支付Jussi Keppo*A、 Max Reppen+§H.Mete Soner§2019年7月24日其他连续模型中的平均间隔。这与传统模型不同，传统模型要么控制连续股息的支付，要么通过离散时间过程给出动态。此外，在两次股息支付之间，结构允许其他类型的控制；我们考虑在任何具有周期性初始和终止条件的问题上发行股票的可能性。我们证明了相应的动态规划方程的正则性和唯一性，其收敛性使我们能够发现由于不经常支付股息而造成的损失。我们表明，在实际参数值下，这种损失在1%到24%之间变化，这取决于系统的状态，并且使用连续问题的最优策略进一步增加了损失。1引言Nomena仅以离散的间隔出现。在资产交易模型中，这些时间间隔通常很短，足以证明连续时间模型的合理性。然而，其他类型的事件发生在更大的时间尺度上，因此削弱了股息频率持续时间变化的基础，股息频率通常从每月到每年不等，远低于大型交易所的交易频率。*新加坡，电子邮件：keppo@nus.edu.sg.部分由运营研究与分析研究所（新加坡国立大学）拨款WBS-R-726-000-009-646支持。+美国新泽西州普林斯顿大学ORFE系，邮编：08544，电子邮件：areppen@princeton.edu.Supported由瑞士国家科学基金会拨款181815瑞士法郎金融研究所，电子邮箱：mete。soner@math.ethz.ch.§部分由ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会资助SNF 200020\\U 172815。arXiv:1805.05077v2【数学OC】2019年7月22日预先确定的离散时间点。

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能者818

2022-6-10 02:53:12

这让人想起了一些模型，在这些模型中，分期付款时间是离散和随机的，如[]所示，但在随机和预先确定的模型中，数学结构明显不同。此外，可在任何时间点发行特殊权益。虽然我们选择的连续时间控制是股票发行，但同样的方法也可以用于其他类型的决策和模型，例如资本投资。尽管如此，手头的模型并不是系统的状态。杠杆式交易所买卖基金（杠杆式ETF或LETF）。LETF的目标是在一定的时间尺度上跟踪某些指数的回报率，通常是每天通过预先确定的股票发行，而“监控”起着股息支付的作用（尽管未受到积极控制）。具有固定点结构的PDE。要从数字上找到解决方案，需要迭代分红/监控。在我们的模型中，我们不会以其他方式对其差异模型进行任何特定假设，参见[12，14]。与当前储量成比例或成函数，参见[，]。尽管我们不这样做。股息模型和收敛结果是一个多维模型，其精神是[]，但这里是离散股息支付。

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kedemingshi

2022-6-10 02:53:15

数值研究的价值和提供了我们的发现总结以及我们的解释和结论。2一般结构股息问题。我们考虑一种特定类型的有限时域（可能是奇异的）随机最优正则等距区间，涉及奇异动作和/或监控或奇异连续和离散时间控制问题。简单起见，我们将通过增量运算符来表示这些组件，增量运算符表示确定跨这些时间区域的解的方程。特别是，我们考虑了两个代表连续控制αβXα、βXα、βtt的控制α和β≥0β考虑两种类型的成本结构：Fαt=F（αt，Xα，βt）的累积（未折现）GβtGβt，Xα，βt-αt混凝土时间点。利用这个结构，我们可以把控制问题写成asV（x）=supα，βEx“Z∞e-ρtdFαt+∞Xn=0e-ρnGβn#，Exstarts atx（在激活任何控件之前），上确界位于某组可容许控件之上，ρ是贴现率。要继续，我们需要离散时间动态∈ T N{，T，T，…}Bertsekas和Shreve[9]建立了可衡量的标准。X‘增量’操作符定义良好。首先，连续算子由lφ（x）=supαEx“ZTe给出-ρtdFαt+e-ρTφ（Xα，0T-)#.其次，离散算子由dφ（x）=supβ给出φ（x+β）+G（β，x）.除息的o 五十： X个→ 特大号o D： X个→ 文本：Do LVVVT VTX、dTV∈ XTfunction是固定点，limn→∞（D）o 五十）每φnφ=V∈ 十、在本文的其余部分，我们将展示如何为这两个最优红利问题选择X和D。3有资本注入的离散股息支付本节专门讨论固定点股东在离散的预定时间间隔内持有的最优股息问题。公司也可以选择在任何时间发行股票。3.1问题股息可在T、T、…时从这些储备金中定期支付。

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可人4

2022-6-10 02:53:18

.直到股息的时间价值扣除注资后。，PFFtt公司≥0WxLLtt≥0IItt≥0请注意，这些合成中的第一个运算符可能映射到中间空间。实际上，这就是所谓的值迭代[8]。假设（L，I）是RCLL（右连续，左极限），并适应toF。然后，净现金储备Xν：=（Xνt）t≥0由Xνt得出：=X+Ct- Lt+It，Ct=ut+σWt，其中ν=（x，L，I）表示对这些过程的依赖性，给定正常数σuσuxνRCLL，初始条件解释为xν0-= x、同样，我们也认为-= I0-= 股息从储备金中定期支付，时间为T，T。直到破产时，θν：=inf{t>0：Xνt<0}。公司在破产后关闭其业务，因此所有可接受的股息和发行LTITT>θνYYt:Yt- 年初至今-强加条件书信电报≤ Xνt-, 对于allt≥0、特别是as（Ct）t≥0是连续的，Xνθν=0。此外，每一次非零发行都会产生固定成本，因此，在一段时间内最多可以有很多这样的行动。因此，对于可容许问题i{t≥:它是满足这些可容许的要求，并且是所有可容许过程的集合。该公司的目标是最大化股息的贴现价值，扣除资本注入。我们按照[]对股票发行成本进行建模，在给定贴现率ρ>λf>λp>下，企业价值由v（x）给出：=sup（L，I）∈AxJ（ν），J（ν）：=Ex∞Xn=0e-ρnT书信电报-Xt公司≥0e-ρtc(It）,其中，与前面一样，ν=（x，L，I）和c（ζ）：=（λf+（1+λp）ζ）{ζ>0}，Ex表示期望xν0-X在【11】中进行了计算，随后在【1、17】中进行了进一步研究。备注3.1。λpis的严格正性仅在下面的证明引理3.11中使用，以表明任何发行都必然有界。

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能者818

2022-6-10 02:53:21

因此，我们的证明也适用于λp=0的模型，但发行规模受给定常数的限制。λp选择假设λp>0.3.2φ：R的不动点结构≥0→ R≥0和x≥ 0，集合I（φ）（x）：=supζ>0φ（x+ζ）-c（ζ）.定义3.2。定义以下空间。oLetbCAbe所有连续、非递减函数的集合φ：R≥0→ R≥0满足（I（φ）（x））+≤ φ（x）≤ x+A和φ（0）=I（φ）（0）∨ 0=：（I（φ）（0））+。（3.1）oCAφ∈bCAДx：φx- xAR公司≥0φ ∈ 在R上呈尾状连续≥0和x≤ φ（x）≤ x+A。按照第2节中所述的程序，定义L、D、T onbCAbyLφ（x）：=supI∈bAxEx公司-X0≤s<Te-ρsc(Is）+e-ρTφ（XαT）1{T<θα}, （3.2）Dφ（x）：=sup0≤`≤x（φ（x-`) + `), （3.3）式中，对于α=（x，I），xα：=x（x，0，I），θα=θ（x，0，I），andI∈BAX提供了（0，I）∈ Ax。设置T：=Do 五十、 cφ∈bCAD（c+φ）（x）=c+Dφ（x）和L（c+φ）（x）≤ e-ρTc+Lφ（x）。定理3.3。A.≥D： bCA公司→ CAA公司*>因此，对于每个≥ A.*, 五十：加利福尼亚州→BCA和T:CA→ CAI是一个严格的收缩。证据修复A≥ 0、设置φ*（x）：=x代表x≥ 0和φ*:= A+φ*.第1步。固定φ∈BCA和ζ≥ 0.自c（ζ）起≥ ζ、对于任何`∈ [ζ，x+ζ]，φ（x+ζ- `) + ` ≤ φ（x- (` - ζ)) + (` - ζ） +c（ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ）。φ ∈bCAφx^ζ≤ φxc^ζx，^ζ≥` ∈, ζset^ζ=ζ- ` 利用这个不等式得到φ（x+ζ- `) + ` ≤ φ（x）+c（ζ- `) + ` ≤ φ（x）+c（ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ），` ∈ [0，ζ+x]。上述两个不等式意味着dφ（x+ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ），对于每个x，ζ≥0、正弦φ≥Dφ≥ 内径φ+φ∈bCAφIDφ+Dφ（0）=任意φ的φ（0）。因此，Dφ（0）=I（Dφ）（0）+。对于h≥ 0，Dφ（x+h）=sup0≤b类`≤x+h（φ（x+h-b`）+b`）=辅助-h类≤`=b类`-h类≤x（φ（x-`) + `) + h类≥ sup0≤`≤x（φ（x-`) + `) + h=Dφ（x）+h。因此，Dφ（x）-xis单调。

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kedemingshi

2022-6-10 02:53:24

而且，很明显，dφ是连续的，dφ≤ Dφ*=φ*.我们已经证明了D mapsbCAinto CA.x≥我∈bAxθαx，Iτα：θα∧ Tθα≤ TXαταXαθαXαT{T<θα}Xαταζ+～ζ≤ c（ζ+～ζ）≤ c（ζ）+c（|ζ），对于每个ζ，|ζ≥ 0，以及自对于每t>θα，它=0，-X0≤s<Te-ρsc(It）+e-ρTXαT{T<θα}≤ -X0≤s<Te-ρTc(It）+e-ρTXατα≤ -X0≤s<Te-ρTIt+e-ρTXατα=e-ρT[-Iτα+Xατα]=e-ρT[x+Cτα]。这意味着Lφ*（十）≤ Exe文件-ρT[x+Cτα]≤ e-ρT（x+uT）。因此，Lφ*（x） =L（A+φ*)（十）≤ e-ρTA+L（φ*)（十）≤ e-ρT（A+x+uT）≤ e-ρTx+A，前提是-ρT（A+uT）≤ A相当于A≥ A.*:=uT（eρT-1)-1、因此0≤ Lφ（x）≤ e-ρTx+A，每x≥ 0和φ∈ CAA每当A≥ A.*.x个≥ζ>Lφx≥ Lφxζ- cζLφ≥ ILφLφ每φ连续∈ Ca和满意度（3.1）。因此，LmapsCAintobCAfor allA≥ A.*.A.≥ A.*TD公司o 五十：加利福尼亚州→ CATdφ，Д：supx≥0 |φx- Дx |φ，Д∈ CA，d（φ，Д）≤ A和L（φ，Д）（x）≤ e-ρTd（φ，Д）。因此，supx≥0（Tφ- TИ）（x）≤ supx公司≥0sup0≤`≤xL（φ-^1）（x- `) ≤ e-ρTd（φ-φ).因此，d（T f，T g）≤ e-ρTd（f，g）和T是严格收缩。以下验证结果是价值函数的主要特征。它还提供了一种计算方法，前提是在定理3.6的下一小节中改进了运算符的有效方法。定理3.4（验证）。价值函数V∈ 加利福尼亚州*是T的唯一固定点。证据因为这是一个严格的收缩*, 它有一个唯一的固定点Φ∈ 加利福尼亚州*. L和D的定义意味着Φ（x）=sup（L，I）∈AxEx公司L-X0≤t型≤Te公司-ρtc(是的-ρTΦ（XαT）1{θα>T}.由于Φ是连续的，标准选择定理意味着Φ（x）=sup（L，I）∈AxEx公司L+e-ρT书信电报-X0≤t型≤2Te-ρtc(It）+e-ρTΦ（Xα2T）1{θα>2T}= sup（L，I）∈AxEx公司N-1Xn=0e-ρnTLnT公司-X0≤t型≤（N）-1） Te公司-ρtc(It）+e-ρNTΦ（XαNT）1{θα>NT}.x个≤ aA公司*显示Φ=V。3.3单周期问题≥ A.*φ ∈ CAQ：（0，T）×（0，∞).Lφ具有任意到期日。

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何人来此

2022-6-10 02:53:27

所以对于t∈ [0，T]和x≥ 0，我们定义（t，x）：=supI∈^AxJ（t，x，I；φ），J（t，x，I；Д）：=Exh-X0≤u<te-ρuc(Iu）+e-ρtД（Xαt）1{θα≥t} i，其中与前面一样，α=（x，i），xαs=x+us+σWs+Is，θα=inf{s>：xαs<}。很明显，v（T，x）=Lφ（x）。定义3.5。CTAu:Q→ 接收∈ R≥07→ u（t，x）- e-ρtx为非递减且对于每（t，x）∈ Q、 e类-ρtx≤ u（t，x）≤ e-ρt（x+A+ut）。注意，u（t，x）的单调性- e-ρtxis等于xu（t，x）≥ e-ρtin分布意义。定理3.6。对于φ∈ CA，值函数是空间中唯一的函数v∈ C∞（Q）∩C（Q）∩cta满足，ρv（t，x）+(t型- ux个-σxx）v（t，x）=0，（t，x）∈ Q、（3.4）v（t，0）=（I（v（t，·））（0））+=supζ>0v（t，ζ）- c（ζ）+, t型∈ [0，T]，（3.5）v（0，x）=φ（x），x≥ 0。（3.6）溶液。为了证明极限确实是解决方案，我们首先建立一个数字定义来简化演示。定义3.7。模数（连续性）是一个递增函数m:R≥0→ R≥0，在0处连续，且m（0）=0。φ ∈ 加利福尼亚州≤ Д：φx- x个≤ 因此，AИИφ均匀连续。因此，存在一个模量mφ，例如φx- φy |≤ mφ| x- y | x，y≥|φx- φy |≤ Aevery x，y≥ 0，取mφ≤ A、为了将来的参考，我们设置*φ（t）：=E[mφ（ut+σ| Wt |），t≥ 0。很明显，m*φ也是一个模量。v（3.4）（3.6）vt，t∈, t随机正则性理论∈ C∞（Q）∩C（Q \\{（0,0）}）。LetXxs：=X（X，0）砂θX：=θ（X，0）。那么，v（t，x）=Exhe-ρtφ（Xxt）1{θx≥t} i，（t，x）∈ Q、引理3.8。v∈ C∞（Q）∩C（Q \\{（0,0）}）∩每ζ的CTAND*>0，存在amodulus m（·；ζ*) 因此eρtv（t，x）-φ（x）≤ m（t；ζ*), 0≤ t型≤ T、 x个≥ ζ*.尤其是地图t 7→ （I（v（t，·））（0））+在[0，t]上是连续的。证据设置v（t，x）：=eρtv（t，x）。然后，\'vsolvesL\'v（t，x）：=(t型- ux个-σxx）(R)v（t，x）=0，（t，x）∈ Q、（3.7）重量，x:xAutw（3.7）φ∈ CAw（0，x）≥ φ（x）=v（0，x）。此外，w（t，0）≥0=(R)v（t，0）。然后，根据最大值原理，w≥ ？vQut，x:x（3.7）u，x≤ φx'v（0，x），u（t，0）=0='v（t，0）。

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mingdashike22

2022-6-10 02:53:30

同样根据最大值原理，u≤ “von Q.h>重量，x：”“vt，xh”- ？vt，x- h’wt，’vt，h- 高压- ut，h≥φ ∈ CA'w，xφxh- φx- h类≥w（3.7），我们的结论是≥0 onQ。因此，mapx∈ R≥07→ \'\'v（t，x）-xis增加。第2步。用v表示，|(R)v（t，x）-φ（x）|≤ Ex[|φ（Xxt）-φ（x）| 1{θx≥t} +φ（x）1{θx<t}]≤ Ex【mφ（Xxt- x） 1{θx≥t} ]+φ（x）P（θx<t）。对于任何ζ*> 0，^m（t；ζ*):= supx公司≥ζ*φ（x）P（θx<t）是一个模量。因此，v（t，x）-φ（x）|≤ Ex[mφ（ut+σ| Wt |）]+φ（x）P（θx<t）≤ m级*φ（t）+^m（t；ζ*) =:m（t；ζ*), x个≥ ζ*.作为两个m*φ和^m（·；ζ）*) 是模量，m（·；ζ）也是模量*).第3步。自V（t，x）≤ e-ρt（x+A+ut）和c（ζ）≥ ζ、对于每个yh>0，存在ζh>使得i（v（t，0））（0）=sup0<ζ≤ζhv（t，ζ）- c（ζ），t型∈ 【h，T】。vh，T×，ζhh>T 7→ I（v（t，·））（0）在（0，t）上是连续的。步骤4。接下来我们证明原点处的连续性。实际上，对于任何t>0和ζ>0，v（t，ζ）≤ Eζ[E-ρtφ（（Xζt）+）]≤ E[φ（ζ+ut+σ| Wt |）]和φ（0）≥ φ（ζ）+c（ζ）。因此，v（t，ζ）- c（ζ）- φ(0) ≤ E[φ（ζ+ut+σ| Wt |）]]-φ(ζ) ≤ E[mφ（ut+σ| Wt |）]=m*φ（t）。Ivt，·supζ>0vt，ζ- cζ≤ φm*φtφ≥得出lim支持的结论↓0（I（v（t，·））（0））+≤ φ(0).第5步。假设φ（0）>0。那么，φ（0）=I（φ）（0）。对于 >0，选择ζ>0，使得φ（0）≤ φ(ζ) -c（ζ) + . 因此，lim inft↓0I（v（t，·））（0）≥ 限制↓0v（t，ζ) -c（ζ) = φ(ζ) -c（ζ) ≥ φ(0) - .上述估计和步骤4意味着limt↓0（I（v（t，·））（0））+=φ（0）。以下结果是迭代过程。提案3.9。n≥越南∈ C∞Q∩ CQ公司∩ CTA抛物线方程（3.4）、终端数据（3.6）和横向边界条件vn（t，0）=（I（vn-1（t，·））（0））+，t∈ [0，T]。（3.8）独特的解决方案满足vn（t，x）≥ I（vn-1（t，·））（x）和表示vn（t，x）=Exhe-ρtφ（Xt）1{θx≥t} +e-ρθxvn（t-θx，0）1{θx<t}i，n=0，1。（3.9）此外，对于每个ζ*> 0，存在模量m（·；ζ*) 这样的话≥0supx≥ζ*eρtvn（t，x）-φ（x）≤ m（t；ζ*), t型∈ [0，T]。证据

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何人来此

2022-6-10 02:53:33

我们分几个步骤完成证明。Ivt，·+正则性理论，存在一个独特的函数V∈ C∞（Q）∩C（Q）在引理3.8证明的步骤1中求解抛物线（3.4）（3.6）vt，Ivt，·+（3.9）nvAs，setw（t，x）：=x+A+ut。然后，对于每ζ>0，v（t，ζ）- c（ζ）≤ e-ρt（ζ+A+ut）-c（ζ）≤ e-ρt（A+ut）。vt、Ivt、+≤ e-ρtwt，引理3.8，证明v∈ CTA。n≥越南∈ C∞Q∩ CQ公司∩ CTA（3.9）n | eρtvnt，- φx |≤ xAuTt∈, 德克萨斯州≥ ζ*,|eρtvn（t，x）-φ（x）|≤ Ex[mφ（ut+σ| Wt |）]+supx≥ζ*（x+A+uT）P（θx<T）≤ m级*φ（t）+supx≥ζ*（x+A+uT）P（θx<T）=：m（T；ζ*).很明显，m（·；ζ*) 是一个模量。第3步。我们遵循引理3.8 mutadis mutandis的步骤3、4和5来证明（I（vn（t，·））（0））+在[0，t]上是连续的。vn+1∈ C∞Q∩ n+1的CQ（3.4）（3.6）（3.8）（3.9）遵循规律。ζ>ut，x:vn-1t，xζ- cζu·≤ φvn，·u·，≤ vn·，u（3.4）u≤ vnQζ>Ivn-1t，·x≤ vnt，xv∈ CTAvn+1∈ CTA通过归纳法完成此命题的证明。让我们来看看allI的集合∈^ax的发行量最多。因为VNIS平滑且VNT，x≥ Ivn公司-1t，·x表示vn，vn（t，x）=supI∈^AnxJ（t，x，I；φ）。引理3.10。存在一个ModulesBM，用于s∈ [0，T]，支持≥1.eρtvn（t，x）-φ（x）≤bm（t），（t，x）∈ Q、证明。设置'vn（t，x）：=eρtvn（t，x）。修正∈[0，T]，x≥在{θα<t}上，Xαθα=0和Φ（0）≥因此，φ（Xαt）{θα≥t}≤φXαθα∧teρtJt，x，Iφ≤ 前任-P0≤u<teρ（t-u） cIuφXαθα∧t加法和正数，X0≤u<teρ（t-u） c类(国际单位）≥X0≤u<tc(国际单位）≥ c（X0≤u<tIu）=c（Iθα∧t）。此外，因为φ≥ I（φ），φ（Xαθα∧t）-c（Iθα∧t）≤ φ（（Xαθα∧t型- Iθα∧t） +）≤ φ（x+u（θα∧ t） +σ| Wθα∧t |）。回想一下thatm*φ（t）：=E[mφ（ut+σ| Wt |）]。

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kedemingshi

2022-6-10 02:53:36

我们结合这些不等式得出以下估计，eρtJ（t，x，I；φ）- φ（x）≤ Exhφ（x+u（θα∧ t） +σ| Wθα∧t |）-φ（x）i≤ m级*φ（t）。因此，’vn（t，x）-φ（x）≤ m级*φ（t）。我们继续使用（3.9），它相当于'vn（t，x）=Exhφ（Xt）1{θx≥t} +(R)vn（t-θx，0）1{θx<t}i.从{θx<t}开始，φ（Xxθx∧t） =φ（0），φ（x）- (R)vn（t，x）=φ（x）-Ex[φ（Xxt）1{θx≥t} +(R)vn（t-θx，0）1{θx<t}]=φ（x）-Ex[φ（Xxθx∧t） +（(R)vn（t-θx，0）-φ（0））1{θx<t}]=Ex[（φ（x）- φ（Xxθx∧t）（）+φ(0) - (R)vn（t-θx，0）{θx<t}]。φφx- (R)vnt，x≤ Ex |φx- φXxθx∧t型|≤ m级*φtφ>然后，φ（0）=I（φ）（0）+=I（φ）（0）。回想一下c（ζ）=λf+（1+λp）ζ，λf>0，φ是连续的。因此，存在ζ*>0使得φ（0）=I（φ）（0）=sup{φ（ζ）- c（ζ）：ζ≥ ζ*}. >ζ≥ ζ*φ≤ φζ- cζvn（t-θx，0）≥ 越南-1（t-θx，ζ) -c（ζ). 根据命题3.9，在{θx<t}上我们有φ（0）-vn（t-θx，0）≤ φ(ζ) -越南-1（t-θx，ζ) + ≤ m（t- θx；ζ*) + ≤ m（t；ζ*) + .因此，φ（0）- (R)vn（t-θx，0）=eρt（φ（0）-vn（t-θx，0））+（eρt-1)φ(0) ≤ eρTm（t；ζ*) + A（eρt-1).因此，在这两种情况下φ（x）- (R)vn（t，x）≤ m级*φ（t）+[eρTm（t；ζ*) + A（eρt- 1） ]=：bm（t）。提案3.11。存在一个模量m（·），使得SUPN≥1.vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ （1+x）~m（h），t型∈ [0，T- h] ，x≥ 0.证明。如前所述，设置“vn（t，x）：=eρtvn（t，x）。越南∈ CTAc公司≥n≤ vnt，x≤ cxλp，λf>vn∈ CTAζ*>再次独立于n，因此对于每个（t，x）∈ Q、 I（vn（t，·）（x）=supζ∈[0,ζ*]vn（t，x+ζ）-c（ζ）。第2步。固定（t，x）∈ Q、 h>0并设置τ：=θx∧ t、 Feynman–Kac公式，适用于安宇≥ tvnu，xExe-ρτvnu-τ、 Xxτutu=t+h，这意味着vn（t，x）-vn（t+h，x）=Ex[e-ρτ（vn（t-τ、 Xxτ）-vn（t+h- τ、 Xxτ））]。将τ=tandτ=θx<tand去掉指数因子，我们得到vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ 呼气{θx≥t} +Bn{θx≤t} i，（3.10），其中：=φ（Xxt）-vn（高，Xxt）, Bn：=vn（t-θx，0）-vn（t+h- θx，0）.第3步。让cbe如步骤1所示，并设置c：=ceρT。

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可人4

2022-6-10 02:53:39

然后通过引理3.10，An=[φ（Xxt）- \'\'vn（h，Xxt）]+（eρh- 1） vn（高，Xxt）≤bm（h）+c（1+Xxt）ρh。因此，对于任何t∈ [0，T- h] ，x≥ 0，Ex[An{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）P（θx≥ t） +cρh Ex[Xxt{θx≥t} 】。（3.11）步骤4。我们现在为Bn建立一个模界。由于Vn是连续的，~mn（h）：=支持∈[0，T-h] ，x∈[0,ζ*]vn（t，x）-vn（t+h，x）是n的模量≥ 1.然后，对于n>1，考虑到边界条件（3.8），Bn≤ supζ∈[0,ζ*]越南-1（t-θx，ζ）- 越南-1（t+h- θx，ζ）≤ mn-1（h）。我们证明了▄mn由一个模一致有界。首先，存在*>0取决于ζ*这样，对于所有∈[0，T-h] andx∈[0, ζ*] 我们有[Xxt{θx≥t} ]≤ c*P（θx≥ t）。因此，Ex[An{θx≥t} ]≤ [bm（h）+c（1+c*)ρh]P（θx≥ t），则，t型∈ [0，T- h] ，x∈ [0, ζ*].（3.10）和上述两个估计值的组合意味着mn（h）≤ [bm（h）+c（1+c*)ρh]P（θx≥ t） +锰-1（h）（1-P（θx≥ t）（）≤ supλ∈[0,1][bm（h）+c（1+c*)ρh]λ+~mn-1（h）（1-λ））=最大{bm（h）+c（1+c*)ρh，~mn-1（h）}，n>1。通过归纳，我们得出结论BN≤ mn（h）≤ 最大{bm（h）+c（1+c*)ρh，~m（h）}=：mB（h），n≥ 1.（3.12）（3.11）ExXxt{θx≥t}≤ cxx公司≥x个≥ 0，Ex[An{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）P（θx≥ t） +cρhEx[Xxt{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）+cρh[c（1+x）]≤ （bm（h）+c（1+c）ρh）（1+x）=：mA（h）（1+x）。（3.13）将（3.12）和（3.13）插入（3.10），从而产生vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ mA（h）（1+x）+mB（h）。现在我们可以完成定理3.6的证明。定理3.6的证明。根据他们的定义，v（t，0）≥0=v（t，0）和v（t，·）=v（t，·）=φvv（3.4）v≥ vv型≥ vQthat vn≥ 越南-1对于某些n≥ 那么，vn+1（t，0）=I（vn（t，·））（0）+≥ I（vn-1（t，·））（0）+=vn（t，0），t∈ [0，T]。vvn+1≥ vnQvnn{vn}非线性连续。然后，{vn}n局部一致收敛到v∈ C（Q）。As{vn}所有（3.4）vv∈ C∞Q{vn}nv∈ CQ公司∩ CTAvnt，x≥ Ivn公司-1t、·xt、x∈ Qvt，x≥ Ivt、·xv以及（3.4）和边界条件允许我们通过标准验证参数证明值函数。

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能者818

2022-6-10 02:53:42

因此，它使序列{vn}局部一致连续。在这个证明的其余部分，我们建立了这个属性。根据命题3.11，vn（t，0）=I（vn-1（t，·））（0）+是一致连续的，即| vn（t，0）-vn（t+h，0）|≤ ~m（h）。固定（t，x）∈ Q、因为vn（0，0）=φ（0），乘以（3.9），vn（t，h）-vn（t，0）=Eh[e-ρtφ（Xht）1{θh≥t} +e-ρθhvn（t-θh，0）1{θh<t}]-vn（t，0）≤ Eh[（φ（Xhθh∧t）-φ（0））1{θh≥t} +（vn（（t-θh）+，0）-vn（t，0））]≤ Eh[mφ（h+ut+σ| Wt |）1{θh≥t} +μm（θh）]。mh：支持∈[0，T]EhmφhuTσ| Wt |{θh≥t} Ehmθx摩尔，by（3.9），vn（t，x+h）- vn（t，x）=排气-ρt（φ（Xt+h）- φ（0，Xt））1{θx≥t} +e-ρθx（vn（t-θx，h）-vn（t-θx，0））1{θx<t}i≤ mφ（h）+m（h）。{vn}不连续。uC1,2Q∩ CQ公司∩ CTAδ>在δ邻域[0，T]×{0}中，它认为u<λf。因此，最大化子ζ*·∈ arg最大ζ≥0u（·，y）-u（·，0）- λf- （1+λp）y{y>0}I*ζ*ττI*≥ δI*圆周率*然后证明u是值函数。3.4数值结果d（3.3）L（3.2）更多工作。蒙特卡罗模拟的Lmeans。这对于没有差异的现金流流程尤其方便，如Cramér–Lundberg模型。原因是为了评估（3.2）中的指标函数，只需在跳跃时进行破产测试。另一方面，在差异模型中，这必须通过增加更小的时间步来估计。（3.4）（3.6）（3.8）时间点，在上边界的任何额外现金流都作为分割支付，随着计算域的选择越来越大，因此越来越不可能-ρ（T-t）条件vx（x，t）=e-ρ（T-t）因此是一个很好的近似值。使用计算运算符和L的方法，我们可以继续迭代应用于任意初始函数。我们在本节中选择的计算参数来自[]，如图1所示。

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大多数88

2022-6-10 02:53:45

出于我们的目的，我们认为所有参数都是所谓监管风险加权资产的一部分。结果给人的印象是损失相对较小。请注意，对于较大的x值，绝对损耗保持不变，因此相对损耗随着值函数的几乎增加而衰减。虽然价值函数的变化不是很大，但股息界限移动很大，在图1中减少了14%（略高于0.005个单位）。然而，我们注意到，由于需要保留现金流，只有一半多一点的预期现金流是提前支付的。股息离散化的一个重要方面是，在离散问题中使用连续时间最优股息阈值会导致进一步的损失，因为它是离散模型。对于图中的参数，我们观察到使用错误的保单会使损失增加0.8个百分点多一点。(R)xcuσ在所考虑的范围内，最优策略发生了重大转变。在图3中，我们解决了不同ofT值的问题。这是唯一一个不提供支付的参数，但股息策略仍有很大不同。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5·10-20.050.10.150.20.25“xd”xc连续股息支付离散股息支付：V（x）离散支付，连续策略1.21.41.61.82.2·10-2损失，最优离散策略（%）损失，连续策略（%）图1：无股票发行的价值函数和股利政策。左轴是离散模型中的值函数（蓝色，虚线），实体图，以及使用最佳连续策略continuous strategy（次优）获得的值。现金流由ct=ut+σwt和参数值ρ给出。Tσ。u.“xd”xc分别是离散模型和连续模型中的股息壁垒。

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能者818

2022-6-10 02:53:48

这种差异对应于离散模型中储量降低14%。0.5 11.5 2·10-2.-19-18-17-16-15-14-13u策略变更（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.151.21.251.31.351.4损失（%）0.5 1 1.5 2·10-2.-19-18-17-16-15-14-13σ策略变化（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.151.21.251.31.351.41.45损失（%）图2：未发布的参数u和σ的影响。离散的一个。损失在连续问题的最优红利屏障下进行评估。固定参数与图1.0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2相同-20-18-16-14-12t策略变更（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.52.5损失（%）图3：未发布的参数T的影响。衡量连续分红策略与离散固定参数之间的相对距离，如图1.2.5·10所示-20.50.240.260.28xt0 2.5 5·10-20.20.40.60.8XT图4：价值函数vx、twith发行和t的最佳发行目标的曲面图∈,.X且发行目标显示为表面上的白线。发行成本为λp=0，λf=0.0025，其余参数如图1所示。发行成本独立于TANDX，仅在边界处发行。注意λpcase大约为0.0125。我们观察到，随着时间的推移，已发行股票的规模随着其初始价值的增加而增长。4具有随机稳定性的离散股息，而不是第3.4节中考虑的常数漂移，可以考虑漂移thedCt=utdt+σdwt依赖于某些稳定性过程（ut）t≥0、净现金储备X=（Xt）t≥0取决于初始现金储备x≥0，初始稳定性u∈ Rand控制过程（I，L）。在滥用符号的情况下，我们使用ν=（x，u，L，I）来表示这些依赖关系，而xνt=x+Cut- Lt+It，Cuu=Ztuudu+σWt.LetF=（Ft）t≥0是由（Cu，u）生成的过滤。

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nandehutu2022

2022-6-10 02:53:51

我们再次限制股息≤ 四十、 It部门-θν=inf{t>0：Xνt<0}。与之前一样，公司的目标是使dividendsVx的贴现价值最大化，uJν的主要差异是对初始可行性的依赖。4.1周期和数值收敛LDTEXTOSPOSION，我们在不发行股票的情况下给出结果。特别是，我们没有证明这类普适可测函数。我们对cu和（ut）t进行以下假设≥0并且它确保了随机性的效果表现良好。特别是，它限制了稳定过程的过快增长。假设4.1。存在α：R→ [1, ∞) 因此，对于所有u，我们有1。Ex，u[（x+CuT-)+] ≤ x+Aα（u），对于一些A≥ 0;2、Ex，u[α（uT-)] ≤ eρT/2α（u）。现在我们可以给出以下结果。λP超额发行可以通过无成本支付股息来实现。在这些点上，我们认为OptimalIssuation目标是最小的优化器。定理4.2。存在一个度量空间（Xα，dα），使得算子映射到自身中，并且是一个严格收缩。

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nandehutu2022

2022-6-10 02:53:54

此外，值函数是T的唯一固定点。证据函数：Xα：=nx≤ φ（x，u）≤ x+Aφα（u）对于某些Aφw，其度量单位为dα（φ，ψ）：=supx≥0,u∈R |φ（x，u）-ψ（x，u）|α（u）。注意，这意味着|φ（x，u）- ψ（x，u）|≤ dα（φ，ψ）α（u）。那么，对于φ∈ Xα，eρTLφ（X，u）≤ Ex，u[（XT-+ Aφα（uT-))1{θ≥T}]≤ Ex，u[（x+CuT-)+] + AφEx，u[α（uT-)]≤ x+Aα（u）+eρT/2Aφα（u）≤ x+α（u）。因此，Tφ（x，u）≤ x+e-ρTAα（u），so Tφ∈ Xα。ttdα，| Tφ（x，u）的构造- Tψ（x，u）|≤ e-ρTEx，u[dα（φ，ψ）α（uT-)]≤ e-ρTeρT/2dα（ψ，φ）α（u）≤ e-ρT/2dα（φ，ψ）α（u）。dαTφ，Tψ≤ e-ρT/2dαφ，ψT合同。关于值函数的陈述的证明与定理3.4的证明完全相同。备注4.3。CutRtusdsσWtuOrnstein–Uhlenbeck过程Sut=k（(R)u-ut）dt+￠σd￠Wt，k￠σOrnstein–Uhlenbeck工艺，用于t∈ [0，1]我们有Ex，u[（ut）+]=Ex，uue-kt+(R)u（1- e-kt）+σ√2ke-ktWe2kt-1!+≤ u++ u +~σ√2kEx，u支持∈[0，e2k-1] 重量= u++(R)u+σse2k- 1kπ。因此，α（u）=u++A满足假设4.1中anyA的第二个条件≥u+σqe2k-1kπeρT/2- 1.∨ 1、然而，该估计值也适用于第一种情况，因为Ceex，u“x+Zutdt+σWt+#≤ x++ZEx，u[（ut）+]dt+σrπ。因此，我们得出结论，对于Cu和u的选择，满足假设4.1的条件。4.2数值结果假设动态规划原理成立，则值函数solvesmin(-(t+A- ρ） v（t，x，u），v（t，x，u）- supi公司≥0（v（t，x+i，u）- （1+λp）i-λf））=0，（4.1），边界条件v（t，0，u）=0，即v（t，0，u）=max{0(t+A+1-ρ） v（t，0，u），supi≥0（v（t，i，u）-（1+λp）i-λf}。（4.2）与一维情况一样，我们将使用此PDE公式进行问题的数值求解。dCututdtσdWtuvxe-ρ（T-t） X维度的上边界。

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可人4

2022-6-10 02:53:57

在u维中，边界条件也有u-0.5 0 0.5 10.51.5ux-1.-0.5 0 0.5 10.51.5uX图5：（4.1）–（4.2）（黑线）的状态空间和自由边界。左面板无股权发行，右面板有股权发行。介于nutRtusdsσWtdutk？u之间- utdt￠σd￠Wtλf.λp.ρ。Tσ。k、 u。~σ.Cov（重量，~Wt）=0。有更好的选择，但我们预计由于theOrnstein-Uhlenbeck过程在边界处的强烈向内漂移，其影响相对较小。对于有无股权发行的模型，可以看到股息边界一维设置：当准备金在分割时高于该边界时，以及当准备金位于该线以下时，可以看到股息边界。由于新的州仍将位于该线以下，因此必须支付股息，直到准备金达到零。对这一点的解释是，每当储量下降到线以下时，公司就会进行清算。我们将这些线称为可变现性极低的线，无论准备金如何，清算都是最优的。汇聚结果与忽略u-边界处的扩散一致。事实上，忽略下边界的扩散和上边界的镜像，似乎可以在不影响自由边界的情况下使最小的域保持稳定，即在选择较大的域时保持稳定性。-0.5 0 0.5 10.51.5ux-1.-0.5 0 0.5 10.51.5ux23.62图6：离散股息相对于连续支付股息的相对损失热图。左侧面板无发行，右侧面板有发行。刻度以百分比表示。参数如图5所示。白色曲线构成离散问题的股息/清算边界。进展另一方面，清算边界向上/向内移动，以获得更高的盈利能力，从而降低了今天不清算的价值。

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何人来此

2022-6-10 02:54:00

在两个连续值中。图6显示了状态空间中各个点的离散股息相对于连续股息的相对损失。离散解的损失在清算边界附近达到峰值。在这些情况下，不发行股票的损失接近25%，而在股票发行的模型中，我们发现离散股息支付的损失相对较小。显示域中所有点的平均损失小于0.8%。5结论性意见股息离散化程度相对较低。我们观察到，对于其他参数选择，也存在同样的、相对较小的损失，并认为这延伸到了最合理的股息，损失尤其小。如果目标是确定现金流的价值函数/价值，则整体小额损失为使用连续模型作为替代品提供了依据。另一方面，第4节中提出的更丰富的模型描绘了另一幅画面。对企业价值的强烈影响。因此，传统的连续建模是否为分段建模必须根据具体情况进行。如图1所示，损失可能会进一步影响性能损失。参考文献【1】经济学，51:93–1012014。[2] 应用，第25-60页。Springer，2017年。[3] Hansj"org Albrecher和Stefan Thonhauser。保险红利问题的最优性结果。RACSAM Revista de la Real Academy de Ciencias Exactas，Fisicas ynnaturales。意甲选手Matematicas，103（2）：295–3202009。[4] 统计科学与应用概率；v、 14）。《世界科学》，2010年。[5] 本杰明·阿万齐和伯纳德·王。关于布朗运动下的均值回复红利策略。《保险：数学与经济学》，51（2）：229–2382012。[6] Benjamin Avanzi、Vincent Tu和Bernard Wong。关于optimalASTIN公告之间的接口：IAA杂志，46（3）：709–7462016。[7] arXiv:1705.029222017。[8] 理查德·贝尔曼。

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mingdashike22

2022-6-10 02:54:03

马尔可夫决策过程。印第安纳大学数学。J、，6:679–6841957。ISSN 0022-2518。[9] Dimitir P Bertsekas和Steven Shreve。随机最优控制：离散时间案例。1978年。【10】ETF。2019年【11】列纽夫。自由现金流、发行成本和股票价格。《金融杂志》，66（5）：1501–15442011。[12] 运动。《北美精算杂志》，8（1）：1–20，2004年。[13] 汉斯·乌尔里希·格伯。在PoissonProzess项目中。1969年苏黎世ETH博士论文。[14] 股息。《俄罗斯数学调查》，50（2）：2571995年。[15] Samu Peura和Jussi Keppo。具有成本高昂的资本重组的最佳银行资本*。内政部：10.1086/503660。统一资源定位地址https://www.jstor.org/stable/10.1086/503660.[16] 菲利普·普罗特。随机积分和微分方程，第21卷。Springer，2013年。[17] 支持率。数学金融，即将出现。

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