均匀扩散双障碍期权的定价：Neumann方法

2022-6-2 19:31:30

为了突出我们方法的潜力，我们推导出了一种新的双屏障欧洲式淘汰期权（DBKO期权）价格（和希腊）的分析易处理表示法，尽管可以使用此概念框架设计其他类似问题的应用程序。障碍期权合约是指在场外市场上交易的多个基础资产（如股票、股票指数、货币、商品和利率）的路径依赖型奇异期权。它们之所以交易活跃，主要是因为它们比相应的Vanilla期权更具吸引力，并且是风险经理和交易员更好地表达其市场观点的重要工具，而无需为他们可能发现的不太可能的结果付费。此外，它们还被用作许多结构化产品的构建块。鉴于其在市场上的受欢迎程度，已开发出大量关于其估价的文献。例如，[25]、[16]、[43]、[36]、[41]或[5]提出了经典几何布朗运动（GBM）假设下DBKO期权的替代定价（和对冲）方案。这种建模框架假设在整个过程中波动率是恒定的*通讯作者。电话：+351 217650531。电子邮件地址：ivkoh@iscte.pt（Igor V.Kravchenko），vkravchenko@math.cinvestav.edu.mx（Vladislav V.Kravchenko），storba@math.cinvestav.edu.mx（Sergii M。

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2022-6-2 19:31:33

托尔巴），何塞。卡洛斯。dias@iscte.pt（Jos\'e Carlos Dias）option的一生中，已经多次尝试克服GBM差异中隐含的这一不切实际的假设。众所周知，[9]的恒定方差弹性（以下简称CEV）差异模型，其中波动率是基础资产价格的函数，能够更好地再现文献中常见的经验规律，即股票收益率与已实现波动率（杠杆效应）之间存在负相关，而隐含波动率与期权合约的履约价格之间存在负相关（隐含波动率偏斜）。为了适应这些观察结果，CEV模型下DBKO期权的估值由[4]通过三项式方案进行，由[11]使用基于拉普拉斯变换的数值反演的定价框架，由[12]通过特征函数扩展方法进行，由[30]通过基于连续时间马尔可夫链的近似构造进行，除其他外。最近，[14]研究了DBKO期权的估值（使用停止时间法以及静态对冲法），该估值采用了[7]提出的所谓违约跳跃式CEV（h er eafter，JDCEV）模型，该模型能够捕捉违约概率（或信用违约掉期利差）与股票波动率之间正相关的经验证据。此外，它将GBM和CEV模型视为特例，并且在此之前，它还考虑了上述杠杆效应和隐含波动率扭曲的程式化事实。

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2022-6-2 19:31:37

因此，将均衡衍生品市场与信贷市场联系起来的重要性产生了一类新的混合信贷权益模型，旨在为其他跳跃违约模型应用中的违约风险衍生品定价，例如，参见[32]、[29]、[28]、[40]、[34]、[33]以及其中的参考文献。此外，文献[13]最近提供的计算非中心χ随机变量截断矩和原始矩的新算法也可用于文献[14]中考虑的JDCEV模型下的载体期权定价。本文的主要目的是开发一种新的分析可处理的NSBF表示法，用于定价（和边缘化）欧式DBKO期权，该表示法可应用于整个类一维时间齐次微分，而不需要知道相应的转移密度。与文献[12]类似，我们使用经典的分离变量方法求解抛物型偏微分方程的边值问题。该技术将问题简化为确定关联Sturm-Liouville问题的特征值和特征函数。基于NSBF表示的方法允许oneto以不恶化的精度计算大型特征数据集。因此，我们能够计算一般时间同质差异模型的价格，而不依赖于精确解的知识，例如，在[12]中对CEV模型以及[7]和[14]中对JDCEV模型所做的。

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2022-6-2 19:31:40

因此，新的NSBF表示允许构造一种快速、准确的DBKO期权定价算法，并将其应用于其他类似问题。我们注意到，[7]通过探索CEV和贝塞尔过程之间的强大联系，能够获得JDCEV模型中欧式普通期权、生存概率、信用违约掉期利差和公司债券的封闭式解决方案。通过adop tin g，混合cred itequity JDCEV架构建模框架[14]仅限于JDCEV模型中隐含的波动性和违约强度规范。相比之下，由于我们不需要局限于此类特定的模型假设，我们能够快速准确地为更大类别的模型定价。我们在扩展的jumpto-default波动率常数弹性（以下简称EJDCEEV）模型上说明了我们的数值方法，该模型嵌套了JDCEVSee，例如，[6]、[45]和[8]。我们记得[12]在[10]期限结构模型中也考虑了利率淘汰选项。尽管我们的重点是股票衍生品，但我们的方法也适用于利率淘汰期权的定价，即使在缺乏转移密度的封闭式解决方案的情况下。模型作为特例。总之，我们的方法可以被视为DBKO期权定价的另一种强大的计算工具。由于我们能够快速构建整个价值函数，而不仅仅是价格，因此我们可以通过时间和不同的初始值轻松观察期权价格的行为。此外，NSBF表示还提供了一种简单的方法来计算价值函数的导数，从而计算期权的“希腊式”，因此可以用于套期保值策略的设计。

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2022-6-2 19:31:42

鉴于其准确性、高效性和易于实施，novelvaluation方法也可用于分析备选标的资产定价动态下障碍期权估值模型的经验性能，例如[18]。本文的主要结构如下。第2节设定了一般财务框架，并定义了边值问题。第3节提供了本文的主要结果（建议1）：边值问题解的表示和DBKO期权的价格。第4节说明了所谓“希腊人”的计算方法。下一节将专门介绍算法实现和数值示例。首先，我们在第5节中给出了一些递推公式，这些递推公式对于计算前几节中给出的值函数及其导数的直接表示中出现的系数更为稳健和有效。然后，第6节提供了计算DBKO期权价格的概念算法。第7节介绍了EJDCEV框架的数值实验。为了便于说明，分析分为两个不同的阶段：中期（六个月）和短期（一天）。最后一节给出了结论和进一步研究的可能方向。2、建模框架本节介绍了我们定价方法的一般财务模型，并描述了与包含两个障碍（淘汰）条款的期权合同相关的边值问题。我们记得，此类DBKO期权的持有人有权在到期日T收到付款f（y）=（y）- K） +对于看涨期权，或f（y）=（K- y） +对于卖出期权，如果基础资产价格（y）保持在范围（L，U）内。

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2022-6-2 19:31:46

实际constantsU>L>0由上限和下限（即，击倒触发势垒水平）指定，而K∈ R：L<K<U是走向曲线。2.1. 一般财务模型设置此后，在交易区间[0，T]内，对于某个固定时间T（>0），不确定性由概率空间产生(Ohm, G、 Q），其中与num'eraire“货币市场账户”相关的等效鞅测度Q被视为给定值。在风险中性度量Q下，假设基础资产的价格动态受时间齐次（ortime不变量）Diffus iondYt=u（Yt）Ytdt+σ（Yt）YydBt，（1）初始值Y=Y，其中函数u（Y）和σ（Y）分别为，（状态相关的）瞬时漂移和瞬时波动率（规律性属性将在假设1的后面正式定义），而Bt∈ R是衡量标准Q下定义的标准维纳过程。为了简化符号，假设每份合同的估价日期为今天（即当前时间t=0）。此外，如果发生淘汰事件，则假定没有回扣。然而，回扣的估价可以使用附录A中提供的见解直接完成。为了解释我们定价方法的发展，我们考虑了一个欧洲风格的DBK期权合同，其到期日的支付是单一状态变量Y的函数。鉴于此类衍生工具安全性的合同条款，该过程在区间[L，U]上考虑，其中L和U分别是DBKO期权合同的上下限。终点L和U设置为未知边界，因为在合同初始日期和到期之间的任何时候，如果达到上限或下限，则期权合同将被取消（即。

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2022-6-2 19:31:49

它被淘汰了）。我们正在考虑这件事，因为简单，没有折扣。但是，也可以加入返利值，如附件九中的注释所示。如[12]所示，如果这些端点中的任何一个是规则边界，我们在该端点处邻接一个killing边界条件，将过程发送到墓地状态{} 在终点的第一次命中时间。因此，我们的p问题（有两个淘汰条款）的命中时间定义为τ{L，U}=inf{s≥ t:Ys/∈ （L，U）}。我们还考虑了进程可能被s udden跳转到{}, i、允许现货价格从区间内跳至零。这意味着默认事件将强制取消选项。默认情况下没有恢复值（在DBKO put的情况下）。这是通过施加定义为τh=inf的终止时间来实现的s≥ 0:Zsh（Yu）du≥ E,其中h（y）≥ 0是默认强度或危险率，而E是具有单位平均值的指数随机变量，与Y和时间无关。在此之前，过程的综合停止时间用τ=min表示τ{L，U}，τh. （2）备注1。滥用符号的现象已经存在；为了简化表示法，已停止的进程设置在域[L，U]∪ {} 表示为b的字母y与原始过程的字母y相同。这避免了文献中标准的许多技术细节使论文臃肿，例如，[39，第III.3.18节]，[3，第II.4节]，[35，第8.2节]和[29]。

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2022-6-2 19:31:52

我们注意到，默认资产定价过程不适用于过滤F={Ft，t≥ 0}由predefault过程生成，b utrather到放大的过滤G={Gt:t≥ 0}，以Gt=Ft的形式获得∨ Dt，其中{Dt，t≥ 0}是一个故障指示过程，Dt=11{t>τh}。通常，为了确保构造（终止）过程仍然是鞅，有必要将方程（1）的漂移设置为u（y）=r（y）- “q（y）+h（y），（3），其中“r（y）”和“q（y）”是（时间均匀的）连续复合利率和衍生收益率。综上所述，本文的主要目的是开发一种有效且灵活的pricingmethodology，用于计算formv（y，t）=Eyhe的风险中性预期-RTt[(R)r（Ys）+h（Ys）]dsf（YT）11{τ>T}i.（4）这将通过将NSBF展开应用于相关的Stur m-Liouville问题来实现。2.2. 边值问题让我们引入微分算子a=σ（y）yy y+u（y）yy- （\'r（y）+h（y））。（5）然后，值函数（4）是以下边值问题的解Av（y，t）=-vt，（y，t）∈ （L，U）×[0，T），v（y，T）=f（y），y∈ （L，U），v（L，t）=v（U，t）=0，t∈ [0，T]。（6） DBKO选项的定价将通过解决问题（6）来执行。为了方便起见，我们将运算符A重写为以下形式：A=w（y）ddy公司p（y）ddy- q（y）,式中，p（y）=expZy2u（s）sσ（s）ds, w（y）=2p（y）σ（y）y，q（y）=[(R)r（y）+h（y）]w（y）。（7）此时，我们可以通过问题（6）为过程Y的系数设置所需的条件。在这篇插图论文中，我们只考虑常规情况，因此我们需要以下假设：假设1。函数p，p′，q，w和w′在[L，U]上是实值连续的。此外，假设p′和w′是绝对连续的，p＞0，σ＞0，w＞0。假设2。

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2022-6-2 19:31:55

Payoff函数f是平方可积的。将傅里叶分离变量法应用于（6）中的偏微分方程——例如，参见[31]和[37]了解该方法的一般说明，参见[12]了解金融应用——导致值函数（4）asv（y，t）的本征函数展开=∞Xn=1fnхn（y）e-λn（T-t），（8）其中，对（λn，Дn）是Sturm-Liouville问题的解（（p（y）Д′n（y））\'）- q（y）Дn（y）=-λnw（y）Дn（y），y∈ （L，U）Дn（U）=Дn（L）=0。（9）这些函数构成空间Lw（[L，U]）的完整正交基。系数fn是函数f相对于基{νn}n的傅里叶系数∈n对于标量乘积hg，gi=ZULg（s）g（s）w（s）ds。（10）希尔伯特空间Lw（[L，U]）与上述定义的标量积用Hw表示。函数f可以显式分解为f（y）=∞Xn=1fnДn（y），（11），其中fn是定义为fn=hf，ДnihДn，Дni的支付函数的傅立叶系数。我们记得，假设2保证级数收敛到Lwnorm中的函数f。Wenote还指出，假设1确保问题（9）是一个常规的Sturm-Liouville问题。IGENVALUES是实的、正的，可以列为λ<λ<…<λn<。。。，带limn→∞λn=+∞.备注2。我们进一步注意到，对于所考虑的看跌期权和看涨期权，问题（6）具有非一致（不连续）边界条件。对于屏障调用选项，值函数在点（U，T）处不连续，即v（U，T）=0 6=limy→Uv（y，T）=f（U）=U- K、可以对势垒put案例中的点（L，T）进行类似的观察。然而，在这两种情况下，值函数仍然在空间hw中，并且可以用其傅立叶级数（11）表示。3.

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2022-6-2 19:31:58

通过价值函数的NSBF的分析表示本节介绍了DBKO期权的定价公式，使用了[22]最近针对一维Schr¨odinger方程提出的Sturm-Liouville问题（9）的NSBF表示，即w（y）=1的情况，然后在[24]中扩展到更一般的函数w（y）。简而言之，这项强大的技术在于用显式的系数公式表示斯特姆-刘维尔问题（9）及其导数的NSBF解。为了将这种方法扩展到我们的期权定价问题，让我们首先引入空间H1,0w。这是函数u的子空间∈ Lw（[L，U]×[0，T]），具有一阶导数分布意义上的xu和xu，u∈ Lw（[L，U]×[0，T]）-有关更多详细信息，请参见，例如，[31，第III.2章]。下一个命题提供了我们的主要理论结果。提案1。在假设1和2下，函数（4）的值是问题（6）的解，可以表示为v（y，t）=∞Xn=1fn“sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））#e-ωn（T-t）。（12）级数在空间H1,0w的范数内收敛。此外，级数关于y一致收敛∈ [L，U]和t∈ [0，T] [0，T）.分解（8）和其他相关主题，如本征函数的性质，可参考[2，第10章]和[44，第7章]。直接应用于金融问题的谱分解分析可在【27】中找到。DBKO期权的价格由v（y，0）给出，相应的级数收敛于范数Lw（[L，U]）。在提供命题1的正式证明之前，为了完整起见，让我们首先强调一些重要细节，以更好地阐述。

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2022-6-2 19:32:02

考虑以下等式：o本征函数，Sturm-Liouville问题（9）的解为Дn（y）=sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））。（13） o第一类球形贝塞尔函数jν（y）由jν（y）=rπ2yJν+（y）给出，其中ju（y）是[17，8.461.1]中所示的第一类贝塞尔函数函数l（y）由l（y）定义：=ZyLsw（s）p（s）ds=√ZyLsσ（s）ds，y∈ [L，U]。o函数ρ（y）由ρ（y）=[p（y）w（y）]1/4定义=√p（y）σ（y）y1/2，y∈ [L，U]。o特征值λn的根表示为ωn，是方程sin（ωl（U））ρ（U）+2的解∞Xm=0(-1） mα2m+1（U）j2m+1（ωl（U））=0，ω∈ R、（14）o函数αn（y），n≥ 0定义为αn（y）=2n+1nXk=0lk，nΦk（y）（l（y））k-ρ（y）！，y∈ （L，U）。（15）第5节将介绍计算αn的有效递归方法lk，nis是xkin的系数，即n阶勒让德多项式，参见，例如，[1，第8章]。oΦk（y）是定义1中定义的正式权力。形式幂Φk（y）是在方程的一个非零解g的基础上构造的p（y）g′（y）′- q（y）g（y）=0，y∈ [L，U]，（16），初始条件设置为asg（L）=ρ（L）。（17）请注意，这些函数没有规范化。关于这一转换在这一分解和嬗变算子理论中的作用的详细分析，见【21】。对于[L，U]上的p，p′和q连续，存在这样的解，参见[23，备注5]。定义1。设p、q、w满足假设1，g是满足条件（17）的方程（16）的非零解。

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2022-6-2 19:32:06

然后，确定相关的形式幂，对于k=0，1，2。。。，如Φk（y）=（g（y）y（k）（y），k奇数，g（y）~y（k）（y），k偶数，其中两族辅助函数定义为asY（0）（y）≡Y（0）（Y）≡ 1，Y（k）（Y）=（kRyLY（k-1）（s）g（s）p（s）ds，k奇数，kRyLY（k-1）（s）g（s）p（s）ds，k偶数，▄Y（k）（Y）=（kRyL▄Y（k-1）（s）g（s）p（s）ds，k奇数，kRyLY（k-1）（s）g（s）p（s）ds，k偶数。备注3。我们注意到，这些形式幂出现在解决Sturm-Liouville问题（9）的谱参数幂级数（SPPS）表示中。[20]介绍了SPPS方法，另见[23]和[19]。接下来，我们提供命题1的形式证明。证明（命题1）。将傅里叶分离变量法应用于问题（6）得到表示（8）。这是问题（6）的弱解——例如，参见[31，第VI.2章，定理3]和[15，第7.1章，定理3和4]。[24，Theorem3.1]的应用给出了表示（12），并保证了本征函数在ω中的一致逼近。让我们用fN（y）=PNn=1fnДn（y）表示n阶函数f的近似值。对于任何ε>0，都有一个N s uch，即kf- fNkLw公司≤ εN，wher eεN→ N时为0→ ∞ . 应用【31，第VI.2章，定理3】，我们得到以下估计值kV- vNkH1,0w≤ C kf- fNkLw【L，U】≤ CεN。级数的一致收敛是由于递减序列e的优化-λnT。综上所述，命题1提供了一种强大的计算技术，由于NSBF表示可以用作一种简单有效的数值方法，因此有可能在广泛的金融应用中得到应用。此外，所提出的新表示法适用于一大类期权定价模型，它不仅表示价格，而且还表示整个价值函数。

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2022-6-2 19:32:10

这一特性允许我们查看资产在不同初始值下的期权价格行为（即，构建价值面，如图1所示）。4、“希腊人”的分析表示由于命题1给出了价值函数的分析表示，因此我们能够为其衍生工具提供类似的表示，在期权定价文献中通常称为“希腊人”。对于学者和实践者来说，这应该是一个有用的计算工具，因为数字差异在这类问题中是有问题的。4.1. 三角洲y∈ （L，U）。增量可以表示为 =vy（y，0）=∞Xn=1fnИ′n（y）e-ωnT，（18），其中Д′n（y）=sw（y）p（y）ρ（y）[G（y）sin（ωnl（y））+ωncos（ωnl（y））]++2∞Xm=0(-1） mβ2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））！--ρ′（y）ρ（y）sin（ωnl（y））ρ（y）+2∞Xm=0(-1） mα2m+1（y）j2m+1（ωnl（y））！，下一节将介绍函数G（y）和βm（y）。ν′n的表达式取自【24，第5节】。如果函数vy在（y，0）处继续。可参考[26，定理12.1]中的条件。4.2. Vega对于Vega的计算，我们假设瞬时波动率σ是不同的，σ′（y）6=0。然后应用链式法则和逆函数定理的导数，我们得到了ν=vσ（σ（y），0）=vy（y，0）σ′（y）=σ′（y）。（19）对于常数σ，我们不能应用这个公式。4.3. 关于（12）的t的直接微分为我们提供了θθ的公式=vt（y，0）=∞Xn=1fnλnДn（y）e-λnT。（20）与Delta的情况一样，有必要假定vtat（y，0）。系数αn（y）和βn（y）的递推公式用于系数αn（y）和βn（y）的（有效且稳健）计算。可以方便地使用从[24]借用的递推公式。

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2022-6-2 19:32:13

这些公式通过解决（15）中与传奇系数快速增长相关的数值问题，提高了计算的可靠性。我们首先介绍n（y）=ln（y）αn（y）和Bn（y）=ln（y）βn（y）。（21）具体而言，GBM模型见【42，第12.2节】。以下公式适用于n=2，3。。。An（y）=2n+12n- 3.l（y）安-2（y）+（2n- 1） g（y）～θn（y）andBn（y）=2n+12n- 3（年）亿-2（y）+2（2n- 1） sp（y）w（y）g′（y）ρ（y）+g（y）ρ′（y）θn（y）ρ（y）+Дηn（y）ρ（y）g（y）！- （2n- 1） l（y）安-2（y）），其中|θn（y）=ZyAИηn（x）ρ（x）g（x）-l（x）An-2（x）克（x）sw（x）p（x）dx和ηn（y）=ZyAl（x）（g′（x）ρ（x）+g（x）ρ′（x））+（n- 1） ρ（x）g（x）sw（x）p（x）！ρ（x）An-2（x）dx。初始值A、A、B可通过α（y）计算=g（y）-ρ（y）或A（y）=α（y），α（y）=Φ（y）l（y）-ρ（y）或A（y）=Φ（y）-ρ（y）l（y）,和β（y）=sp（y）w（y）α′（y）+ρ′（y）ρ（y）α（y）-G（y）2ρ（y），β（y）=α（y）l（y）+sp（y）w（y）α′（y）+ρ′（y）ρ（y）α（y）-3G（y）2ρ（y），带α′（y）=g′（y）+ρ′（y）ρ（y）,α′（y）=g′（y）y（1）（y）+g（y）p（y）l（y）- g（y）y（1）（y）qw（y）p（y）l（y）+ρ′（y）ρ（y）,andG（y）=h+G（y），（22）G（y）=ZyL（pw）1/4q（pw）1/4-pn（pw）-1/4o′′!（s） ds=ρρ′2wyL+ZyL“qρ+（ρ′）w#（s）ds，（23），其中h=sρ（L）w（L）g′（L）g（L）+ρ′（L）ρ（L）. （24）对于系数α和βn的验证，有一个有用的实用测试，其详细信息可参考[24，方程式7.1-7.3]，即∞Xm=0αm（y）=（G（y）+G（y））l（y）2ρ（y）（25）∞Xm=0(-1） mαm（y）=hl（y）2ρ（y）（26）和∞Xm=0βm（y）=l（y）“q（y）4ρ（y）w（y）-4w（y）p（y）ρ（y）′′+hG（y）+G（y）2ρ（y）#，（27）∞Xm=0(-1） mβm（y）=l（y）4ρ（y）q（L）w（L）-ρ（L）w（L）p（y）ρ（y）′′y=L+hG（y）2ρ（y）. （28）关系式（25）–（28）也可用作最佳选择校正序列（12）和（13）中系数数量的指标，包括计算，监控方程（25）–（28）右侧之间的差异以及这些方程的部分和。备注4。

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2022-6-2 19:32:17

在计算系数αn（y）和βn（y）时，重要的是正确执行l（y）n除法。在这里，我们提出了一个简单的方案，该方案被证明是有用的。详情和证明可参考【24，第7节】。让我们首先注意到，函数αnar是L附近的新月函数。然后，让{yi}1≤我≤N是L的某个邻域的N点的有序集，[L，L+]，y=L<y<…<yN=L+。对于每个系数函数，αnConsidery=argminy∈{yi}α（y）。也让kbe为▄y的索引（即yk=▄y）。因此，对于所有的n<k，我们可以将αn（y）=0。只有由于数值误差，它们才更大。可以对系数βn（y）进行类似的构造。6、定价算法的实现为了完整性和更好地描述定价方法的重要细节，现在让我们提供实现算法的概念步骤：1。使用（7）计算相关Sturm-Liouville问题的系数p、q和w。2、创建或选择一个不确定的集成方案。在本文中，我们使用了NewtonCotes六点积分规则（见[22]）来讨论其他可能方法的使用。对于函数f:X→ Y，X子集S上的argmin定义为argminx∈SXf（x）：={x:x∈ S∧ y∈ S:f（y）≥ f（x）}。3、构造或找到满足条件（17）的方程（16）的任何非消失解g。在我们的实施中，我们使用了[23]中介绍的SPP方法。例如，如果q（y）≡ 0（与标准CEV模型的情况一样），我们可以选择g（y）=ρ（L）作为特殊解。4、使用定义1构造形式幂Φ（1），分别使用公式（24）、（22）和（23）计算常数h以及函数G（y）和G（y）。5、使用第5.6节中突出显示的表示法计算系数Am（y）和Bm（y）。

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2022-6-2 19:32:20

使用方程式（21）计算系数αm（y）和βm（y），并使用关系式（25）–（28）和备注4进行验证。我们注意到，这个过程可以结合一个测试来估计要使用的最佳M（序列（13）和序列（12）中的第二个和的截断参数）。从方程（14）中求特征值λn=ωnf。注意，变化指数m=0，1，…，的球面贝塞尔函数j2m+1的值，可以使用反向递归公式有效地计算同一点x上的M，见【1，方程式10.1.19】jm（x）=2（M+1）xjm+1（x）- jm+2（x）。构造（13）给出的问题（9）的特征函数。使用本征函数Дn.10将函数f分解为傅立叶级数（11）。通过截断表达式（8）构造函数v。用N表示截断级数中的项数。11、通过表达式（18）–（20）计算希腊语。备注5。请注意，如果我们只对选项v（y，0）的价格感兴趣，则建议的算法可以显著简化。如果是这种情况，那么在步骤4、5和6中，我们只需要相对于Anandαn（y）的项。此外，在计算fn之后，我们不需要保留igenfunction，只需要在点y处保留值。此外，在步骤10，我们只构造v（y，t），而步骤11是不必要的。计算实验和特定示例在本节中，我们将前一节中描述的算法应用于EJDCEV模型，其细节将在下一节中描述。为了便于说明，我们将示例分为两个不同的时间段，即中期（六个月）和短期（一天）。

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2022-6-2 19:32:24

这一特殊选择将强调精确计算所需的特征数据，以及模型对所选参数的敏感性。我们注意到，对于本文所考虑的正则Sturm-Liouville问题，特征值增长的渐近性为n阶，例如[38，第2.13节]。在长期情况下，指数项e-λn（T-t），带t-有序t迅速衰减，表示（12）迅速收敛。因此，需要很少的特征值和特征函数来确保良好的近似。对于短期情况，T- 在第二组数值实验中分析到，我们需要更多的特征值来获得期权价值的准确近似值。我们进一步注意到，NSBF方法以相同的精度计算所需的数据。该NSBF的重要特性是不降低最高阶特征值的精度，这使其成为应用于需要大量特征值集的p问题的令人兴奋的工具。我们方法的另一个计算优势是，不需要在任何二维离子网格中进行计算。步骤1-9的公式是一维的。为了使积分误差可以忽略，并主要集中在数值性能上，我们在区间[L，U]上使用了大量网格点（10000）来表示所有涉及的函数，而且，即使3000个网格点也产生了接近的结果。获得所有系数后，可仅对参数（y，t）计算值函数和δ∈ 应用程序需要的[L，U]×[0，T]r。E、 g.选项价格可作为v在某一点上的值（y，0）；数值曲面需要在大约101×101个点等的网格上计算函数v。

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2022-6-2 19:32:27

尽管这里的主要目的是展示算法在各种建模环境中的使用能力，而不是优化速度，但所需的每一个小计算负担都是显著的。所有计算均在Matlab R2015a中完成。7.1. EJDCEV模型在JDCEV模型的时间同质版本下的波动率规格由σ（y）=δyβ，（29）给出，δ>0和β∈ R、漂移由表达式（3）给出，\'R>0，\'q≥ 0和d危险率h（y）：=h（y）=b+cσ（y），其中b>0，c>0。具有不同参数化的构造差分的性质可参考【7】和【29】。JDCEV模型的一个很好的特点是，由于假设的危险率h（y）的特殊形式，其分析的可伸缩性。SNBF表示法的优点是，它允许美国在没有任何额外影响的情况下考虑不同的违约强度规格。在【6】之后，我们还考虑了违约强度规范，以确保违约概率和波动率之间存在正关系。因此，在我们称之为EJDCEV的JDCE V模型变体中，假设默认强度依赖于常数参数γ≥ 0灰分（y）：=停止（y）=b+cσγ（y）。（30）重要的是要指出，我们并不局限于形式halt的功能；我们可以选择任何积极的、持续不同的功能。该功能允许在根据市场价格校准模型时，获得违约率的另一种选择。7.1.1. 中期（6个月）对于该设置，我们采用了【14，表2，面板C】中考虑的参数配置，即y=100，L=90，U=120，T=0.5，’r=0.1，’q=0，b=0.02，C=0.5，σ=0.25。

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2022-6-2 19:32:30

通常，通过关系σ=δyβ，（31）计算每个β值的标度参数δ，同时保持初始瞬时波动率σ=0.25。我们注意到，步骤7中光谱参数的确定是通过插值进行的，出于实际目的，在间隔（0，15）上均匀分布100个点的网格，以及在间隔（0，50）上1000个点的网格，用于构造插图。注意，我们的β与[14]中考虑的β相等。表2和图表。实际推理是由于项eλn（T-t）在我们的公式中，这间接地将参数N设置在6左右，如表2所示。图1使用上述参数和K=100，β=-1和γ=2。使用相同的参数集，图2显示了函数f（y）=（y）的应用程序的详细信息- K） +在t=t的边界处。

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2022-6-2 19:32:34

可以观察到边界U处的大幅下降，这是对备注2.0.50.40.3倍0.20.1090100资产价格1103001020120价值函数期权价格期权价格的澄清。图1：该图说明了欧佩克风格DBKO看涨期权的价值函数、支付和价格，其中y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，r=0。1，’q=0，b=0.02，c=0.5，γ=2，β=-1，σ=0.25.90 95 100 105 110 115 120-5051015225Payoffeigenfunction近似图2：该图展示了欧洲风格DBKO看涨期权通过特征函数展开的Payoffe function近似，其中N=27个特征函数，y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，’r=0.1，’q=0，b=0.02，c=0.5，γ=2，β=-1，σ=0.25。表1显示了欧洲风格的DBKO看涨期权和看跌期权的价格，以及EJDCEV模型下不同货币水平下与K对应的希腊人的价格∈ {95, 100, 105},β ∈ {0.5, 0.0, -1.0, - 2.0}和γ∈ {0, 1, 2}. 我们进一步注意到，γ=2和β的六种情况∈ {-1.0, -2.0}产生DBKO put选项的值，如【14，表2，面板C】所示。直接比较显示结果完全相同（精确到小数点后四位），这进一步证明了我们算法的鲁棒性。

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2022-6-2 19:32:37

更重要的是，这也使我们能够在一组更大的波动率和违约强度规范下测试我们的方法，而到目前为止，这些规范在文献中还无法解决。表1：欧式DBKO选项的价格和“希腊人”。认购期权：f（y）=（y- K） +看跌期权：f（y）=（K- y） +参数价格希腊价格GreeksKβγv（100，0） νθv（100，0） ν θ95 0.5 0 0.7314 -0.0332 -26.5669 4.9860 0.0029 -0.0001 -0.1101 0.020195 0.5 1 1.5057 0.0179 14.3442 6.5544 0.0168 0.0002 0.1364 0.074495 0.5 2 1.5572 0.0417 33.3312 6.3003 0.0222 0.0006 0.4438 0.091295 0.0 0 0.7163 -0.0319 5.0712 0.0023 -0.0001 0.016695 0.0 1 1.6417 0.0251 7.0686 0.0148 0.0002 0.065295 0.0 2 1.7117 0.0518 6.7849 0.0198 0.0006 0.080295 -1.0 0 0.6905 -0.0300 12.0097 5.2996 0.0014 -0. 0001 0.0263 0.011195 -1.0 1 1.9733 0.0432 -17.2851 8.2401 0.0114 0.0002 -0.0865 0.049695 -1.0 2 2.0860 0.0771 -30.8585 7.8538 0.0157 0.0005 -0.2135 0.061595 -2.0 0 0.6421 -0.0280 5.5973 5.3842 0.0008 0.0000 0.0078 0.007195 -2.0 1 2.3959 0.0675 -13.5059 9.5993 0.0087 0.0002 -0.0419 0.037595 -2.0 2 2.5570 0.1107 -22.1395 9.0265 0.0123 0.0005 -0.0964 0.0469100 0.5 0 0.4568 -0.0207 -16.5434 3.1114 0.0270 -0.0013 -1.0175 0.1860100 0.5 1 0.8695 0.0105 8.4109 3.

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2022-6-2 19:32:41

7784 0.1307 0.0014 1.0802 0.5772100 0.5 2 0.8778 0.0237 18.9282 3.5444 0.1655 0.0042 3.3387 0.6801100 0.0 0 0.4561 -0.0202 3.2256 0.0218 -0.0010 0.1563100 0.0 1 0.9700 0.0150 4.1676 0.1181 0.0016 0.5189100 0.0 2 0.9881 0.0301 3.9064 0.1517 0.0043 0.6143100 -1.0 0 0.4571 -0.0198 7.9187 3.5041 0.0137 -0.0006 0.2535 0.1071100 -1.0 1 1.2159 0.0269 -10.7784 5.0594 0.0962 0.0018 -0.7382 0.4167100 -1.0 2 1.2574 0.0469 -18.7457 4.7137 0.1272 0.0044 -1.7458 0.4979100 -2.0 0 0.4385 -0.0190 3.8045 3.6716 0.0082 -0.0004 0.0781 0.0709100 -2.0 1 1.5313 0.0437 -8.7342 6.1011 0.0779 0.0019 -0.3774 0.3328100 -2.0 2 1.6006 0.0699 -13.9770 5.6109 0.1059 0.0042 -0.8350 0.4012105 0.5 0 0.2314 -0.0104 -8.3529 1.5750 0.1004 -0.0047 -3.7580 0.6899105 0.5 1 0.4019 0.0049 3.9499 1. 7435 0.4133 0.0044 3.4963 1.8212105 0.5 2 0.3948 0.0107 8.5777 1. 5909 0.5054 0.0129 10.2860 2.0713105 0.0 0 0.2373 -0.0105 1.6764 0.0828 -0.0038 0.5924105 0.0 1 0.4611 0.0073 1.9763 0.3842 0.0053 1.6823105 0.0 2 0.4570 0.0140 1.8016 0.4762 0.0137 1.9220105 -1.0 0 0.2522 -0.0109 4.3457 1.9300 0.0544 -0.0025 0.9987 0.4244105 -1.0 1 0.6092 0.0137 -5.4756 2.5241 0.3317 0.0065 -2.5939 1.4293105 -1.0 2 0.6129 0.0230 -9.2182 2.2859 0.4227 0.0147 -5.8633 1.6465105 -2.0 0 0.2536-0.0109 2.1851 2.1184 0.0342-0.0016 0.3217 0.2940105-2.0 1 0.8049 0.0233-4.6594 3.1840 0 0.2853 0.0070-1.4099 1.2092105-2.0 2 0.8184 0.0361-7.2223 2.8436 0.3736 0.0149-2.9815 1.4039此表显示了欧洲风格DBKO看跌期权和相应的希腊在JDCEV模型下的价格，y=100，K∈ {95100105}，L=90，U=120，T=0.5，\'r=0.1，\'q=0，b=0.02，c=0.5，γ∈ {0, 1, 2}, β ∈ {0.5, 0.0, -1.0, -2.0}，σ=0.25。图3显示了不同初始资产值S的欧式DBKO看涨期权的价格。左侧图将不同β值的γ设置为1。

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2022-6-2 19:32:44

右侧绘图集β=-1不同γ值。我们注意到，对于该模型选择的参数化，项eλNt衰减非常快，因此我们只需计算很少的特征值即可获得准确的价格。90 95 100 105 110 115 1200.20.40.60.81.21.41.6β=0.5β=0β=-1β=-290 95 100 105 110 115 1200.20.40.60.81.21.4γ=0γ=1γ=2图3：该图为不同初始资产值y的欧洲风格DBKO看涨期权。左侧图为不同β值设置γ=1。右侧绘图集β=-1表示不同的γ值。其余参数为：K=100、L=90、U=120、T=0.5、\'r=0.1、\'q=0、b=0.02、c=0。σ=0.25.7.1.2。短期（1天）在短期情况下，时间的顺序为e-λn（T-t）随着氮的增长，衰变变得越来越慢。对于这种情况，在步骤7中，我们使用了1000个点作为间隔（0100）。表2给出了一些数值。为了说明收敛性和准确计算大量特征值的必要性，我们引入了方程式（8）中的部分和的贡献，定义为contrib（n，n）=nXn=nfnИne-λn（T-t）。（32）我们在表3中观察到，短期内参数β的值对价格没有太大影响。然而，与默认强度相关的γ参数是相关的。值得注意的是，尽管不同β值的期权价格略有不同，但相应的斯特姆-刘维尔问题却大相径庭。这可以在表2和表4中观察到。

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2022-6-2 19:32:48

观察Tab le 4，可选择45左右的N。表2：特征值。参数nβ=1，γ=1β=1，γ=2β=-2, γ = 1 β = -2.γ=21 4.4047 4.1314 4.0997 3.61556 144.3068 144.0338 112.8959 112.409811 484.0679 483.7949 377.105 376.618916 1023.6885 1023.4155 796.731 796.244921 1763.1687 1762.8956 1371.7741 1371.28826 2702.5083 2702.2352 2102.2343 2101.748131 3841.7073 3841.4343 2988.1115 2987.625336 5180.7659 5180.4929 4029.4057 4028.919641 6719.684 6719.411 5226.117 5225.6309此表显示γ和β参数不同，y=100，K=100，L=90，U=120，T=0.5，\'r=0.1，\'q=0，b=0.02，c=0.5，σ=0.25。表3：一天至到期的欧式DBKO通话的价格。γ = 3 γ = 2 γ = 1 γ = 0β = -2 0.54297 0.54622 0.55950 0.61518β = 1 0.54300 0. 54634 0.55976 0.61516此表显示了不同γ和β参数的一天至到期欧洲风格DBKO看涨期权的价格，其中y=100、K=100、L=90、U=120、T=1/360、r=0.1、q=0、b=0.02、c=0.5和σ=0.25。表4：一天到到期的欧洲风格DBKO调用的贡献值。nβ=-2, γ = 2 β = - 2, γ = 1 β = 1, γ = 2 β = 1,γ=11-5-0.94494-1.60020 1.54180 1.770046-10 1.81670 2.60534-1.15441-1.4177110-15-0.23014-0.31208 0.19023 0.2466816-20-0.10622-0.14909-0.03420-0.0429821-25 0.00934 0.01343 0.00311 0.0040026-30 0.00157 0.00224-0.00021-0.0002631-35-0.00014 0.00014 00001 0.0000136-40-0.00001-0.00001 0.00000 0.0000041-45 0.00000 0.00000 0.00000>45 0.00000 0.00000 0.00000价格0.54622 0.55950 0.54634 0.55976此表显示了方程式（32）中定义的不同γ和β参数的一天到期欧式DBKOcall期权的贡献值，其中y=100、K=100、L=90、U=120、T=1/360、r=0.1、q=0、b=0.02、c=0.5和σ=0.25.8。

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2022-6-2 19:32:51

结论与未来研究本文通过应用与相应边值问题相关的Sturm-Liouville方程的NSBF分解，为欧洲风格DBKO期权的定价（和对冲）提供了一种新方法。通过EJDCEV模型对该方法进行了说明。本文所采用的建模技术为今后的研究开辟了若干途径。例如，可以将NSBF分解和类似构造应用于许多金融应用中自然出现的其他奇异问题，例如普通期权（无粘结领域）、默认情况（系数中的奇异性）等。应用该方法将参数曲线校准到实际市场数据也很有趣。最后，它还可能应用于停止时间问题和相关主题。AcknowlementsResearch通过222478项目得到了墨西哥CONACYT的支持。我们也非常感谢Fu nda c ao para a Ci^encia e Tecnologia（Grant UID/GES/00315/2013）提供的财务支持。第一位作者想对墨西哥ZF通过外交部授予的卓越奖学金表示感谢，这使他在墨西哥辛维斯塔夫期间有机会发展这项工作。附录A.定价回扣考虑回扣R>0的看涨期权的情况。问题（6）的上边界条件变为v（U，t）=R。边界条件（6）是非齐次的。为了直接应用presentedmethod，我们必须首先转换我们的价值函数。

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2022-6-2 19:32:54

让我们定义新函数v（y，t）=v（y，t）-y- LU公司- LR，满足以下边界问题（i） Av+Ay-LU公司-LR公司= -vt，y×t∈ （L，U）×（0，T）（ii）~v（L，T）=~v（U，T）=0，T∈ [0，T]（iii）~v（y，T）=d（y），y∈ （L，U），（A.1），具有均匀边界条件。详情参见【37，第6.6章】。有趣的观察结果是，从数学的角度来看，如果R=U，则解v（y，t）变得平滑- K、即边界条件变得一致。参考文献【1】M.Abramowitz和I.A.St egun。数学函数手册。纽约多佛，1972年。[2] G.Birkhoff和G.-C.Rota。普通微分方程。约翰·威利父子出版社，美国，第4版，1989年。[3] A.N.Borodin和P.Salminen。布朗运动手册-事实和公式。Birkhauser，巴塞尔，第二届，2002年。[4] P.P.波义耳和Y.田。CEV流程下的回溯和障碍期权定价。《金融与定量分析杂志》，34（2）：241–264，1999年。[5] P.Buchen和O.Konstandatos。具有任意支付和指数边界的双障碍期权定价新方法。《应用数学金融》，16（6）：497–5152009。[6] 坎贝尔和塔克斯勒。股票波动率和公司债券收益率。《金融杂志》，58（6）：2321–2349，2003年。[7] P.Carr和V.Linetsky。跳转到默认扩展CEV模型：贝塞尔过程的应用。《金融与随机》，10（3）：303–330，2006年。[8] P.Carr和L.Wu。股票期权和信用违约掉期：估值和估计的联合框架。《金融计量经济学杂志》，8（4）：409–4492010。[9] J.C.考克斯。期权定价注释I：方差差异的恒定弹性。1975年，斯坦福大学工作文件。再版于《投资组合管理杂志》，23（1996），15-17。[10] J.C.Cox、J.E.Ingersoll，Jr.和S.A.Ross。

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2022-6-2 19:32:57

利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2）：385–4081985。[11] D.Davydov和V.Linetsky。CEV过程下的路径依赖期权定价和套期保值。《管理科学》，47（7）：949–9652001。[12] D.Davydov和V.Linetsky。标量差异期权定价：特征函数展开法。运筹学，51（2）：185–2092003。[13] J.C.Dias和J.P.Nunes。计算Nuttall、广义Marcum和不完全Toronto函数以及非中心χ随机变量矩的通用递推算法。欧洲运筹学杂志。，2017年，即将发布。[14] J.C.Dias、J.P.Nunes和J.P.Ruas。跳违约扩展CEV模型下欧式双障碍期权的定价与静态套期保值。定量金融，15（12）：1995–2010，2015。[15] L.C.埃文斯。偏微分方程。数学研究生课程，第19卷。美国数学学会，1998年。[16] H.Geman和M.Yor。定价和对冲双障碍期权：概率方法。MathematicalFinance，6（4）：365–3781996年。[17] I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik。积分、系列和乘积表。学术出版社，马萨诸塞州伯灵顿，第7版，2007年。[18] C.Jessen和R.Poulsen。障碍期权估值模型的实证表现。《定量金融》，13（1）：2013年1-11月。[19] K.V.Khmelnytskaya、V.V.Kravchenko和H.C.Rosu。特征值问题、光谱参数功率序列和现代应用。《应用科学中的数学方法》，38（10）：1945-1969，2015。[20] V.V.Kravchenko。Sturm-Liouville方程解的表示。复变量与椭球方程，53（8）：775–7892008。【21】V.V.Kravchenko、S.Morelos和S.M.Torba。刘维尔变换、嬗变算子的解析近似和谱问题的解。应用程序。数学

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