局部波动的阈值模型：杠杆和均值的证据

2022-6-2 19:36:17

局部波动的阈值模型：杠杆和均值反转对历史数据影响的证据Antoine Lejay*和Paolo Pigato+2019年2月15日，反之亦然，这一众所周知的程式化事实通常被称为杠杆效应。我们提出了一个局部波动模型，由一个具有分段常数系数的随机微分方程给出，该模型考虑了价格动态中的杠杆效应和均值反转效应。该模型在一定阈值下表现出动态的状态切换。它可以看作是自激阈值自回归（SETAR）模型的连续时间版本。我们提出了波动率和漂移系数以及阈值水平的估计方法。根据纽约证券交易所和标准普尔500指数351只股票在不同时间窗口的每日价格估计的参数显示了杠杆效应的一致经验证据。还检测到均值回归效应，在危机时期最为显著。关键词。杠杆效应；已实现波动率；均值回归；状态切换；参数估计；阈值差异；股票价格模型*洛林大学，IECL，UMR 7502，Vandoeuvre-lès-Nancy，F-54600，FranceCNRS，IECL，UMR 7502，Vandoeuvre-lès-Nancy，F-54600，FranceE邮件：Antoine。Lejay@univ-洛林。fr+Weierstrass应用分析和随机研究所，Mohrenstrasse 39，柏林，10117，德国电子邮件：paolo。pigato@wias-柏林。dearXiv:1712.08329v4【q-fin.CP】1991年2月22日简介尽管Black-Scholes模型在资产定价动态方面占主导地位，但其在反映市场中观察到的所有现象方面的不足已得到充分记录，并受到许多研究的影响。

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2022-6-2 19:36:19

一些与Black-Scholes模型不一致的程式化事实包括对数收益的非正态性、不对称性、重尾、变化的条件波动率和波动率聚类（Cont 2001）。Regimeswitching也一直被观察到（Ang&Timmermann 2012；Salhi et al.2016）。此外，一些资产和指数表现出均值回复效应（参见Meng et al.2013；Monoyios&Sarno 2002；Lo&MacKinlay 1988；Poterba&Summers 1988；Spierdijk、Bikker&Hoek 2012）。仅考虑离散时间的资产价格{kΔt}k=0,1,2,..., 日志返回rt=日志(St+1/St) 布莱克-斯科尔斯模型{St}t≥0只不过是简单的时间序列rt+1=μ -σΔt + σ√Δtεt具有εt~ N（0，1），独立。（1）已经提出了几种替代（1）的模型，以考虑这些类型化的事实。在最受欢迎的模型中，ARCH和GARCHmodels及其众多变体再现了波动性聚类效应（Engle、Focardi和Fabozzi，2012）。在本文中，我们关注杠杆效应，这一术语指的是价格与波动性之间的负相关。长期以来，价格越低，波动性越大。最初的解释是用Black（1976）和Christie（1982）给出的。提出了诸如恒定弹性波动率（CEV）等过程来解释这些现象（Christie 1982）。杠杆效应的一个常见经济学解释是，当资产价格下降时，公司债务与股权价值的比率会变大，因此波动性会增加；另一种解释是，投资者在经历巨大的负回报后，往往比经历巨大的正回报后更加紧张；无论如何，杠杆效应的起源仍有待讨论（见e.g.Hens&Steude 2009）。20世纪80年代初，H。

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2022-6-2 19:36:23

Tong提出了一类广泛的时间序列，即阈值自回归模型（TAR），具有再现周期数据的非线性效应（Tong1983；Tong 2011；Tong 2015）。此类包含隐马尔可夫链（HMM）和自激阈值自回归模型（SETAR），产生了广泛的行为。HMM模型依赖于时间分割（它们有利于危机检测），而SETAR模型依赖于空间分割，当价格低于或高于阈值时，会发生制度变化。SETAR类型的时间序列通过定义一个阈值来捕捉杠杆效应和均值回复效应，该阈值将两种状态分开（高/低波动性、正/负波动性）。与HMM等模型不同，没有使用外部或潜在的随机性。Pope&Paudyal 1994；Chen、So和Liu，2011年；Meng等人，2013年；Siu 2016；Rabemthreshold随机波动率模型（Xu 2012；So，Li&Lam 2002；Chen，Liu&So）以及心理障碍等其他因素（Jang et al.2015；Kolb2016）导致了阈值模型。当时间步长为0时，连续时间模型可视为时间序列的极限。与时间序列相比，它们有一些优势，例如允许不规则采样、使用随机微积分工具以及可能的分析或半分析，等。还针对利率提出了Vasicek和Cox-Ingersoll-Ross连续时间模型的自激变体（Decamps、Goovaerts&Schoutensdi ffusion，Su&Chan（2015）和Su&Chan（2017）研究了利率建模的应用）。

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2022-6-2 19:36:26

在Brockwell&Williams（1997）中，对一种称为延迟阈值制度转换模型（DTRS）的连续时间等效模型进行了测试。股票发现了波动率的制度变化。论文的贡献。我们提出了几何振荡布朗运动（GOBM），这是一种具有分段常数波动和漂移的阈值局部波动模型，如Gairat&Shcherbakov（2016）所述。该模型是Lipton&Sepp（2011）的分层波动率模型的一个实例。我们强调，GOBM即利润比Mota&Esquível（2014）的DTR更容易操纵，尽管具有类似的特征。出于同样的原因，市场在ZF管制下是完整的。GOBM也可以通过标准Euler格式进行模拟（Yan2002；Chan&Stramer 1998）。2016年也可以进行期权估值；Pigato 2017年；Decamps，De Schepper&Goovaerts 2004），以及相关的Sturm Liouville理论（Lipton&Sepp 2011）。在GOBM模型中，固定的阈值将价格分为两种制度。二者都σ-波动率低于阈值，σ+对于高于阈值的波动率，以及b-b+σ-> σ+. 在这种情况下，当价格较低时，波动性增加，这与经验金融数据上观察到的情况一致。正如Mota&Esquível（2014）所述，动态有两种机制，一种对应于牛市，价格高于阈值且波动性低，另一种对应于熊市，价格低于阈值且波动性高。

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2022-6-2 19:36:29

从这个意义上讲，Ankirchner、Blanchet Scalliet&Jeanblanc（2017）给出了从不同角度来看的模型显示，其中表明GOBM描述了与经理的最佳战略相对应的价格动态，经理可以在风格化的设置中控制公司价值的波动性，当valueprocess的性能优于参考索引时获得奖金。在描述和激励该模型之后，我们考虑从历史股价的离散观测值估计波动率、漂移和阈值。Mota&Esquível（2014）、Esquível&Mota（2014）和Brockwell&Williams（1997）中使用的估算程序均源自为SETAR时间序列设计的估算程序。在这里，我们直接处理这个问题，提出了一个基于随机演算的估计过程。波动率系数的估计器受到综合波动率/已实现方差估计器的启发；关于其理论分析，请读者参考Lejay&Pigato（2018b）。我们的估计器可以直接实现，不同于MLE，MLE很难实现，因为GOBM密度没有简单的闭合形式。另一方面，漂移系数的估计量是最大似然（MLE）估计量。它的实现也很简单。Lejay和Pigato（2018a）研究了其渐近行为。在本文中，我们讨论了有关估计质量的几个问题，并基于Akaikeinformation原理提出了一种估计阈值的方法。此外，我们还提供了一个假设检验来确定波动率是否为常数。我们通过模拟数据的数值实验来测试这种方法的性能。这些测试是决定性的。最后，我们来看一下经验财务数据。

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2022-6-2 19:36:32

我们首先根据与Mota&Esquível（2014）相同的数据集对我们的模型进行基准测试：纽约证券交易所的21个股票价格，时间窗口为2005-2009年。我们发现了类似的结果：特别是σ-> σ+b->和b+<0). 然后，我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数的三个独立的五年windows 2003的经验时间序列-2007, 2008-2012年和-2017年，再次发现杠杆效应的一致证据。更具体地说，我们可以说，基于上述假设检验和估计数据σ-σ+, 杠杆效应在2008年尤为显著-2012年，很可能是因为它包含了2008年的金融危机。均值回复行为在2008年也可以很清楚地检测到-2012年期间，在--b-b+不显示主要标志。这似乎与Spierdijk、Bikker&Hoek（2012年）的结论一致，即“在主要经济和政治事件导致的高度经济不确定性时期，股票恢复其基本价值的速度较高”。关于本结论的经济解释，我们参考了同一页和第6节。最后，我们注意到，尽管GOBM极其简单，参数数量有限，但它再现了金融市场的显著风格化事实，如杠杆效应和均值回复特性。此外，将上述估值器应用于经验数据证实了这些特征在金融指数动态中的存在。概述第2节介绍了GOBM。在第3节中，我们考虑了Mota&Esquível（2014）引入的波动率估计程序（第3.1节）、漂移（第3.2节）和TRS模型（第4.1节），通过比较假设检验来确定是否存在杠杆效应。

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2022-6-2 19:36:35

最后，在第6节中，我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数连续五年的股价，第二个周期包含2008年的金融危机。本文在第7.2节局部波动性阈值模型中得出了一个总体结论。几何振荡布朗运动（GOBM）是局部波动模型的解St= x +tσ(Ss)SsdBs+tμ(Ss)Ssds, （2）在哪里B 是布朗运动，对于阈值m ∈ Rσ(x) =σ+如果x ≥ m,σ-如果x < m和μ(x) =μ+如果x ≥ m,μ-如果x < m.（3）我们使用解决方案S（2）作为资产价格的模型。原木价格X = 日志(S) 满足SDEXt= x +tσ(Xs) dBs+tb(Xs) ds, （4）使用σ(x) =σ+如果x ≥ r,σ-如果x < r和b(x) =b+= μ+- σ+/2如果x ≥ r,b-= μ-- σ-/2如果x < r（5）对于阈值r=日志(m). 请注意（3）和（5）中的符号有轻微滥用，这是由于取对数时阈值的值发生了变化。当漂移b= 0和r= 0,X被称为振荡布朗运动（OBM，Keilson&Wellner（1978）），即使存在两个值差和阈值，我们也会保留这个名称r = 0、何时σ+=σ-和b+=b-, 价格遵循布莱克-斯科尔斯模型。通过扩展，我们仍然将解决方案称为（4）GOBM。b+<b->这个过程是遍历和均值回复的。趋向平衡的收敛与Vasiceck和Heston模型中漂移为线性的收敛不同。存在性和唯一性。（4） Le Gall（1984）研究的一类具有不连续系数的过程。

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2022-6-2 19:36:38

特别是，（4）存在唯一的强解，因此（2）存在唯一的强解。（几何）-OBM可以使用随机分析的标准工具轻松操作，有时依赖It^o-Tanaka公式而不是Sole It^o公式（参见例如，'Etore 2006）。市场属性。与某些政权转换模型不同，不存在导致不完全市场的隐藏随机性，同时影响一些政权性质。提案1。假设回报过程的GOBM模型为康斯坦特里斯克自由利率，则市场是可行且完整的。证据利用Le Gall（1984）的结果，Girsanov定理可应用于原木价格方程。因此，对于Black-Scholes模型，可以通过消除漂移将折扣原木价格降低为鞅。因此，（Jeanblanc，Yor&Chesney 2009，定理2.1.5.4，第89页）。由于任何绝对连续的度量都只能通过Girsanovtransform（LeGall 1984）实现，因此风险中性度量是唯一的，这意味着市场是完整的。备注1。a ffne变换Φ(x) =x/√σ-x<m+x/√σ+x>m转换日志价格Xt进入解决方案Y 与当地时间一起发送至SDEYt= Φ(X) + Bt+tb+σ+x>0(Ys) ds +tb-σ-x<0(Ys) ds + κLt(Y ), （6）在哪里(Lt(Y))t≥0是的本地时间Y在位置0和κ= (√σ--√σ+)/(√σ-+√σ+). 式（6）为漂移斜布朗运动（SBM）。本地时间部分不能通过Girsanov变换移除（LeGall 1984）。对于SBM，套利可能存在，如Rossello（2012）所示。通过考虑d的平均价格解，可以将GOBM推广Xt=x+σ(Xt) dBt+b(Xt) dt+ηdLrt(X), 哪里Lr(X) 是的当地时间X在阈值处r. 系数的影响η ∈(-,1）将是“向上推”（如果η >0）或向下（如果η <1）价格与某种方向性可预测性影响相对应（Alvarez，Luis&Salminen，2017）。

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2022-6-2 19:36:41

然而，考虑到η = 0彻底改变了经典SDE的市场结构。蒙特卡罗模拟。有时是戈壁kT/n, k = 0, 1, 2, . . . , n 易于模拟SkT /n=经验值(XkT /n) 通过递归方程（Chan&Stramer1998；Yan 2002）X(k+1)Tn= XkTn+TnσXkTnηk+ bXkTnTn, ηk~ N（0，1）独立。（7） 3通过观察股票价格估计参数GOBMX由我们愿意估计的五个参数（波动率、漂移和阈值，见表1）确定。在第3.1节和第3.2节中，我们考虑了(σ±, b±）对于固定阈值r, 通过模型选择原则考虑对成本的估计。在实践中。我们强调σ±可以在不了解漂移的情况下实现，反之亦然b±不需要了解σ±待实施。的估计量σ±是综合挥发性类型估计器，易于实现，并在SDE框架内广泛研究。也可以基于离散观测值对波动率使用极大似然估计，但这需要明确的过渡密度表达式，而这对于GOBM非常重要。

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2022-6-2 19:36:44

关于漂移的估计器，我们的MLE（参见（12））可以使用Ejay&Pigato（2018a）提出的本地和占用时间估计器来实现，该估计器不涉及波动性参数。S 股票价格X = 日志(S) 原木价格ξ = X - r 阈值的转移原木价格rr 阈值X, 原木价格m = 经验值(r) 阈值S, 价格σ-波动率X 在下面rσ+波动率X 在上面rb-漂移X 在下面rb+漂移X 在上面rμ-= b-+σ-增值率S 在下面mμ+= b++σ+增值率S 在上面md 延迟（仅DTRS）表1：GOBM和DTRS模型的符号。3.1事后波动率的估计在本节中，我们考虑（2）中模型给出的价格事后波动率的估计，当阈值r=日志(m) 是已知的。我们回顾了Lejay&Pigatode中的估计值和理论收敛结果ξ := X - r = 日志(S) - r 这是阈值为0级的OBM。数据。我们的观察结果是n+1每日数据{ξk}k=0,...,n具有ξk=日志(Sk)-r对于先验已知阈值r.我们的目标是(σ+, σ-) 从这些观察中。占用时间。阈值以下和阈值以上的职业时间在我们的研究中起着非中心作用。积极和消极的占用时间Q±T最新T 属于ξ 以及它们的近似值Q±(n) 是Q±T:=T±ξs≥0天s 和Q±(n) :=Tnni=1±ξi≥0。（8）波动率的估计量。我们写作ξ+:=最大值{ξ,}和ξ-:=-最小值{ξ,}, 的积极和消极部分ξ. 我们的估计值σ±(n)对于σ±为σ±(n):=[ξ±, ξ]nQ±(n), （9）在哪里[ξ±, ξ]n:=ni=1(ξ±i- ξ±i-1)(ξi- ξi-1).这些估计器是已实现波动率估计器的自然推广（Barndorff-Nielsen&Shephard 2002）。提案2（Lejay&Pigato 2018b）。什么时候b+=b-= 0，对（σ-(n), σ+(n))是的一致估计量(σ-, σ+).

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2022-6-2 19:36:47

此外，还存在一对单位高斯随机变量(G-, G+) 独立于基本的布朗运动B（因此ξ) 因此√nQ-(n)nσ-(n)- σ-√nQ+(n)nσ+(n)- σ+=[ξ-, ξ]n- Q-(n)σ-Q-(n)[ξ+, ξ]n- Q+(n)σ+Q+(n)法律---→n→∞√2.σ-G-√2.σ+G+. （10）处理漂移。命题2在高频数据上得到了实际证明ξk,n:= ξk/n, k = 0, . . . , n 在时间间隔[0，1]上。对于任何常量，使用缩放参数c >0,{c-1/2ξct}t≥0等于分配给ζ(c)SDEd的解决方案ζ(c)t= σ(ζ(c)t) dWt+√cb(ζ(c)t) dt, ζ(c)= c-1/2ξ（11）对于布朗运动W. 具有c=n, 系数的估计问题{ξk}k=0,...,n与系数的高频估计相同{√nζ(n)k,n}k=0,...,n在时间范围[0，1]上。无漂移，观察{ξk,n}k=0,...,n或{ξk}k=0,...,n导致相同的估计。使用Girsanov定理，命题2针对高频区，即观测值{ζ(1)k,n}k=0,...,n（由于所有ζ(n)分布相等），在存在有界漂移时也有效。根据我们的数据，与事后波动率和数量相比，漂移非常小n 观测值的数量是有限的，因此我们仍然应用命题2.3.2漂移系数的估计b±r日志m已知（此问题在第3.3节中处理）。漂移的最大似然估计。继Lejay和Pigato（2018a）之后，我们引入了b±数量β±(T ) := ±ξ±T- ξ±- LT/2.Q±T(ξ)和β±(n) := ±ξ±T- ξ±- L(n)/2Q±(n), （12）在哪里LT是的对称本地时间ξ在0 whileL时(n) 是由L定义的离散本地时间(n) :=n-1.i=0ξiξi+1<0|ξi+1|.L的表达式(n) 和β±(n) 不涉及σ±.

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2022-6-2 19:36:50

此外，β±(n) 我一定会β±(T ) 像n 转到“实体”。当系数为常数时，如Black-Scholes模型中的原木价格，其中dζt=σdBt+bdt, 漂移的一致估计b是b(T) = (ζT-ζ)/T.我们的估计量（12）推广了这个公式；由于系数的不连续性，出现了局部时间项。渐近性质。漂移估计器应长期研究。的渐近性质β±(T) 像T → ∞, 因此β±(n), 依赖于Q±T在（8）中。我们在表2中总结了仅取决于b+和b-.b+< 0b+= 0b+> 0b-> 0遍历（E）null递归（N1）瞬态（T0）b-= 0零重复（N1）零重复（N0）瞬态（T0）b-< 0瞬态（T0）瞬态（T0）瞬态（T1）表2：状态ξ 根据各自的标志(b-, b+).遍历情况，对应于均值回复过程，当然是最有利的情况。在瞬态情况下，估计量可能不会收敛。WEF用于详细说明）。遍历情形是均值回复情形。在这种情况下(β-(T), β+(T))几乎肯定会收敛到(b-, b+), 以速度√T .T0Ifb+>0,b-≥0，那么β+(T) 收敛到b+以速度√T. 估计员β-(T) 属于b-不收敛于b-然后就没有意义了。案件b-<0,b+≤ 0按对称处理。T1Ifb+>0和b-<0，则概率为p := σ-b+/(σ+b-+σ-b+),β+(T)收敛到b+以速度√T, 而概率为1-p,β-(T) 收敛到b-以速度√T.

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2022-6-2 19:36:53

这种渐近行为是由于在给定的随机时间之后，过程不再超过阈值。无所谓T >0的分发√T(β-(T), β+(T)) 不依赖于T.然后β±(T ) 是一致的估计量b±= 0.N1Ifb+= 0,b->0，那么(β-(T), β+(T)) 几乎肯定会收敛到(b-, b+);β-(T) 收敛到b-以速度T1/4和β+(T) 收敛到b+带速度√T .3.3阈值的估计上述估计值σ和b假设值m已知阈值的。继Tong（1983）（另见Priestley 1988，第79页）之后，我们估计m使用依赖于Akaike信息思想的模型选择原则，我们不一定有封闭形式的表达式，我们将需要使用近似。密度近似值。给定阈值r以及波动率和漂移函数x → σ(x) 和x → b(x), 我们首先考虑密度y →p(Δt, x, y;r, σ, b) 属于Xt+Δt鉴于Xt=x（过程是时间均匀的，因此ptt针对的sionp众所周知（Keilson&Wellner，1978）。在出现漂移时，如果不难处理，表达可能会变得繁琐（Lejay，Len^otre&Pichot，2017）。然而p 可通过相关的格林函数在短时间内进行近似，易于计算（见Len^otre 2015，第2章）。或者，我们假设t, ttpYt+Δt+b(x)Δt鉴于Yt=x, 哪里Y具有相同的波动性X然而却有着惊人的倾向。在实现中，我们使用p我们表示为p(t, x, ·; r, σ, b).选择阈值。选择“最佳”阈值的程序是1/We fixr(1), . . . , r(k)观察值范围内的可能阈值{Xti}i=0,...,T原木价格的X.2/对于每个阈值r(j), 我们估计漂移和波动率σ(j)和b(j).3/我们计算近似对数似然度(j) =T -1.i=0日志p(t, Xti, Xti+1.r(j),σ(j),b(j)).

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2022-6-2 19:36:56

（13） 4/我们选择作为阈值r 价值观r(~)其中▄ := 参数最小值j=1.k对数Lik(j).与其他型号的比较。在基于AIC的模型选择中，最好的模型是对数似然校正值最小的模型，该值取决于参数的数量。这里，参数的数量固定为4，因此仅使用对数可能性的近似值是足够的。Meng等人（2013年）使用了类似的程序，但通过Monte Carlo估计了密度，这很耗时。相反，我们的程序避免了任何模拟步骤。关于SETAR模型的估计（Tong 1983；Priestley 1988），以及下文所示的DTRS模型中的一个，仅基于最小平方（Mota&Esquível 2014），没有延迟，因此模型的维数减少了1.4倍，我们现在将我们的估计值应用于经验财务数据。通过使用相同的数据，我们将我们的模型与Mota&Esquível（2014）的延迟和阈值制度转换模型（DTRS）进行了对比。我们将很快开始本节，介绍DTRSmodel。4.1延迟和阈值机制切换模型Mota&Esquível（2014）介绍了DTR。首先，他们考虑两组（功能）参数(σ, μ) 以及(σ, μ), 以及Stocastic微分方程d的微分解St= μJt(t, St) dt + σJt(t, St) dBt（14）对于布朗运动B, 哪里J是一个非预期过程，其值在指数集{1，2}中。的规则J切换基于阈值m, 延迟d还有一个小参数ε >0、假设S≤ m和J= 1、工艺根据参数变化(σ, μ) 直到达到水平m+ε在（随机）时间τ.

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2022-6-2 19:37:00

然后它根据参数进行演化(σ, μ) 最新τ+d切换到参数的位置(σ, μ) （即Jτ+d= 2）直到达到水平m当时τ.然后在延迟后再次切换到状态1d (Jτ+d= 1）等等。εS可在严格的基础上建造（Esquível&Mota 2014）。关于模拟或估计，ε没有实际意义S仅在离散时间观察或模拟。AAPL苹果ADBE AdobeAMZN亚马逊C花旗集团CA CSCO CiscoGOOG谷歌惠普IBM JPM JP MorganKO可口可乐McDonaldsMON Monsanto MSFT MicrosoftMSI Motorola NYT纽约时报PCG PG&E PFE P fizerpg P&G PM Philip Morrisbux StarbucksTable 3：股票名称的缩写（在雅虎财经中）。更具体地说，Mota&Esquível（2014）中考虑的DTRS模型假设μi和σi(i = 1、2）是σ(t, x) = σ-· x 如果x < m,σ(t, x) = σ+· x 如果x ≥ m和μ(t, x) = μ-· x 如果x < m,μ(t, x) = μ+· x 如果x ≥ m（15）对于某些常量σ±>0和μ±. 因此，在每种制度下，价格S遵循Black-Scholes类型的动力学。我们还定义b±=μ±- σ±/2以便b±是原木价格漂移的可能值。Mota&Esquível（2014）采用了SETAR的估算方法（Tong 1983），提出了基于最小二乘法的参数一致性估算程序。DTR的结果。该估值器适用于2005年1月至2009年11月纽约证券交易所21只股票的日对数价格（见表3）。在表4中，我们报告了σ±,m,μ±（或b±）和d发现于Mota&Esquível（2014）。这些值必须与表5中的值进行比较。对于大多数数据，都观察到了杠杆效应：低于欧洲看涨期权的事后波动率也使用蒙特卡罗程序计算。

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2022-6-2 19:37:03

结果价格与市场价格一致。DTRS模型与GOBM之间的比较。在精神上，GOBMDelay阈值制度转换（DTRS）（Mota&Esquível 2014）指数d m [$] σ-[%] σ+[%] μ-[%] μ+[%] b-[%] b+[%]标志SAAPL 8 173.5 54.1 45.6 57.5-112.4 42.8 -122.7 +-ADBE 1 41.5 44.0 25.1 31.8-74.3 21.9 -77.4 +-AMZN 1 77.7 51.4 45.4 54.2-462.2 41.1 -472.5 +-C 2 43.1 120.6 16.8 39.8-3.5-32.8-5--CA 1 22.1 53.0 24.6 44.4-23.2 30.2 -26.2 +-CSCO 1 16.3 56.0 31.3 313.5 0.0 297.6-5.0 +-GOOG 13 642.0 37.0 40.2 40.6-148.7 33.8 -156.7 +-HP 1 46.9 39.2 27.1 42.3-78.9 34.8 -82.4 +-IBM 1 124.3 25.1 20.3 12.9-93.5 9.6 -95.5 +-JPM 2 25.0 131.3 47.5 715.4-0.3 629.2 -11.6 +-KO 1 10.0 78.6 29.1 398.2-5.3 367.4 -9.6 +-MCD 1 54.6 22.4 25.7 38.8-29.5 36.3 -32.8 +-周一112.0 47.0 49.4 57.5-145.4 46.6 -157.5 +-MSFT 1 22.9 54.0 25.1 81.1 6.0 66.5 3.0++MSI 14 21.9 49.5 28.4 7.8-47.9-4.3-51.9--纽约时报4 32.5 49.5 17.3-9.8-89.5-22.2-91--PCG 6 35.3 49.4 21.6 170.1-4.0 158.0 -6.6 +-PFE 2 16.7 40.2 24.0 67.0-14.6 59.0 -17.4 +-第1页61.9 20.3 20.2 19.2-28.0 17.1 -30.0 +-PM 1 42.0 44.4 31.9 121.2-40.3 111.4 -45.4 +-SBUX 15 33.6 45.4 26.0 11.6-39.8 1.3 -43.1 +-表4:Mota&Esquível（2014）根据2005年1月至2009年11月的每日数据，对DTRS模型的估计每日参数（以每年%为单位）以及表1中给出的符号（在原表中，挥发度和漂移以每天%为单位）。最后一列符号包含b-, b+（a）+- 表示平均逆转效应）。这涉及到一个非常薄的层，用于避免很多即时开关。Hottovy&Stechmann（2015）讨论了当层宽度减小到0时过程的渐近行为。GOBM有五个参数，而DTRS有六个参数，因为它还涉及延迟。

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2022-6-2 19:37:06

对于大多数数据，DTR中的估计延迟为d表示自相关性缓慢下降，或长期记忆效应。然而，对于longdelay来说，如何区分杠杆效应和危机等外部参数导致的突然变化？延迟的存在增加了估算过程中出现不符合规格的可能性。4.2 GOBMIn参数估计表5，我们估计了与DTR相同库存上的GOBM参数。虽然我们使用了与Mota&Esquível（2014）相同的来源（Yahoo Finance），但KO似乎是一个与本文不同的时间序列。挥发性(σ-, σ+) 这两种模式都非常一致。此外σ-> σ+对于所有股票，唯一的例外是两种型号的MCD和DTRS型号的GOOG。在后一种情况下，σ-已接近σ+. 各自的迹象b-和b+与Mota&Esquível（2014）的结果一致，并表明存在均值回归效应(b->0,b+<0）对于大多数股票价格。b-b+小型(n=) 考虑的期限仅为五年，阈值不合理，事后波动率较高，漂移向上。21只股票中有12只股票的阈值估计值非常一致。5是否存在杠杆效应？我们的目的是测试σ+=σ-什么时候b-=b-= 0（每日数据，b-b+σ-σ+(H) （无效假设）σ-= σ+;(H) （替代假设）σ-= σ+.5.1置信域的构造命题2的渐近结果（10）重写为σ-(n)σ+(n)≈σ-σ+-√nMTG带MT=√2.Tσ-/Q-T0σ+/Q+T, （16）其中g~ N（0，Id）是独立于观测过程的高斯向量ξ.（16）中的极限项涉及双重随机性，并且MT是的可测量函数ξ. 我们近似MTbyM公司(n) :=√2.Tσ-(n)/Q-(n) 00 σ+(n)/Q+(n). （17）由于高斯矢量是各向同性的，我们定义了一个置信水平α数量qαbyP[| G |≤ qα] = 1.- α.

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mingdashike22

2022-6-2 19:37:10

由于| G |索引，该数量易于计算m [$] σ-[%] σ+[%] μ-[%] μ+[%] b-[%] b+[%]标志SAAPL 119.4 59.86 40.48 43.06 19.66 25.14 11.46++ADBE 46.1 46.79 81.37 13.93-136.87 2.98 -169.97 +-AMZN 39.7 38.71 54.57 36.72 36.59 29.23 21.70++C 40.1 118.58 17.35-37.30-7.61-107.60-9.11--CA 21.5 51.27 25.54 40.35-10.56 27.21 -13.82 +-CSCO 16.9 60.48 30.70 156.08 0.05 137.79-4.67 +-GOOG 373.8 44.69 33.03 86.76 6.06 76.77 0.60++惠普57.6 66.18 41.09 53.51-125.14 31.61 -133.58 +-IBM 115.2 26.04 20.21 17.86-20.97 14.47 -23.01 +-JPM 32.5130.3241.54233.41-2.13 148.48 -10.76 +-KO 47.8 23.70 17.88 11.75 5.72 8.94 4.12++MCD 51.4 20.23 28.02 29.42 3.54 27.37-0.39 +-周一85.8 52.71 55.80 63.67-99.35 49.78 -114.92 +-MSFT 23.2 51.20 25.90 74.67-6.49 61.56 -9.84 +-MSI 14.2 66.44 25.99-7.71-1.10-29.79-4.48--纽约时报16.0 78.46 25.85-7.40-25.26-38.18-28.60--PCG 33.3 127.09 23.29 504.83 4.24 424.06 1.53++PFE 19.1 39.68 20.55 11.92-7.54 4.05 -9.65 +-第51.9页29.62 20.12 39.25 3.14 34.87 1.11++PM 41.9 45.37 30.81 141.64-45.60 131.35 -50.35 +-SBUX 13.0 71.88 46.51 49.37-13.51 23.54 -24.33 +-表5:2005年1月至2009年11月每日数据中GOBM模型的估计参数，以每年百分比表示，表1中给出了符号。最后一列符号包含b-, b+（a）+- 表示平均逆转效应）。遵循aχ具有两个自由度的分布。我们的信心水平区域α 是省略号Rα=σ-(n)σ+(n)+qα√nM级(n)cos公司(θ)罪恶(θ)θ ∈ [0, 2π).

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2022-6-2 19:37:15

（18）我们的决策规则是：拒绝无效假设(H) 如果对角线s : [0, +∞) → (s, s) 不交叉Rα.5.2数值模拟我们进行数值模拟，以检查σ-, σ+, rσ+σ-Nσ-σ+μ-μ+m设置1σ+<< σ-80%/年30%/年0集2σ+≈ σ-50%/年30%/年0 0 1第3组σ+= σ-30%/年30%/年0 0 1S= 表6：用于模拟的年度参数集。σ+<< σ-σ+≈ σ-σ+= σ-81%81%14%表7：拒绝无效假设的比例(H) “σ+=σ-” 表6中三组参数的置信度百分比，每组模拟。表6给出的三组参数的五年每日数据路径。估计值的密度σ-,σ+和r如图1所示。σ+σ-然后观察到参数的良好一致性σ-, σ+和阈值。估计μ+和μ-, 此处未显示，预计会出现较大差异，因为μ+=μ-= 0该进程仅为null Recurtive。Lejay&Pigato（2018a）对此进行了详细讨论。5.3 2005-2009年数据的实证结果由于漂移很小，因此不应影响该测试。因此，我们在本节中假设b-= b+= 0Hσ-σ+除PCG外的所有股票均被拒绝，这意味着σ-=σ+应考虑21只股票中的20只。标准化占用时间O+对于PCG，接近99%。这可以解释关联信任区域的拉长形状。在图3中，我们绘制了近似的log likelihoodLog Lik(i) 反对r(i)=日志m(i)三只股票。我们看到了那个日志(i) 可能有一个主峰（对于CSCO），两个主峰（对于GOOG）或“FL”，对于PCG。陡峭的峰值意味着阈值水平应该取在哪里是明确的，并且程序更稳定。

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2022-6-2 19:37:19

在这些情况下，σ-可能与σ+杠杆效应发生。20% 40% 60% 80% 100%0510σ-20% 40% 60%0102020% 25% 30% 35% 40%010203020% 25% 30% 35% 40%02040σ+20% 25% 30% 35% 40%01020304020% 25% 30% 35% 40%01020300.8 1 1.20102030σ+ σ+m0.8 1 1.20102030σ+≈ σ-0 2 400.20.40.60.8σ+= σ-图1：σ-σ+m对于表6中的三组参数，每组进行模拟。5.4与非参数估计的比较非参数估计对潜在波动率和漂移系数不作任何假设（Kutoyants 2004；Iacus 2008）。Nadaraya Watson估值器为我们提供了这样一个估值器（Iacus 2008）。然后，我们将我们的估计与原木价格系数的非参数估计进行图形化比较。为此，我们使用theRpackagesde（Iacus 2008）。在图4中，我们展示了图3中已经使用的三种股票的结果。Lejay&Pigato（2017）提供了更多数据。大多数股票似乎表现出与前一种股票相似的行为。这强化了一种观点，即制度转换对大多数股票都适用。0%50%100%150%20%30%40%50%60%GOOGHPAAPLADBECACKOCSCOIBMJPMMCDSBUXPMPGPFE⊕PCGNYTMSFTMSIMONAMZNσ-σ+图2:(σ-, σ+): 每个点是库存的价值(σ-, σ+)-飞机95%的置信区域是(σ-, σ+)-围绕点平面。标记的点⊕是那些假设σ-=σ+未被拒绝。以+标记的点是拒绝此假设的点。6标准普尔500指数股票的杠杆效应和均值回归效应我们将我们的估计值应用于标准普尔500指数股票在三个五年期内的价格：2003年1月1日至2007年12月31日、2008年1月1日至2012年12月31日和2013年1月1日至2017年12月31日。

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2022-6-2 19:37:23

第二阶段是2008年的金融危机。5%3 3.5296029803003020CSCO5.5 6 6.5285028602880GOOG3.4 3.6 3.833503400PCG图3：对数可能性（近似）对数可能性(i) 由（13）针对可能阈值给出r(i)=日志m(i)对于股票CSCO、GOOG和r(i)imizesLog Lik公司(i), 因此r. 水平虚线（即σ-= σ+和b-= b+).3 3.540%60%5.5 6 6.530%40%50%3.4 3.6 3.8 40%50%100%150%3 3.50%200%400%CSCO5.5 6 6.5-100%0%100%200%300%GOOG3.4 3.6 3.8 40%1000%2000%PCGσ±b±图4：非参数估计σ和b对于stocksCSCO、GOOG和PCG的原木价格，使用Nadaraya Watson估值器。垂直虚线表示阈值的选择。水平线表示(σ-, σ+) （顶部）和(b-, b+) （底部）。排除旨在避免异常值。我们绘制了(σ-, σ+) 以及(b-, b+) 如图5所示。在2008-2012年期间，包括2008年金融危机在内，股票价格σ-/σ+0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=429%65%5σ-σ+0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=45%46%46σ-0%50%100%150%200%0%20%40%60%80%100%1比率=2比率=3比率=415%83%2σ-0% 100% 200% 300%-200%-100%0%100%200%55%42%b-b+0%100%200%300%-200%-100%0%100%31%67%b-0% 100% 200% 300%-200%-100%0%48%48%b-2003年1月1日至2007年12月31日701/2008年1月1日至2012年12月31日201/2013年1月1日至2017年12月31日图5：年估计值(σ-, σ+) 以及(b-, b+) 标准普尔500指数股票的每日收盘价。方框中的百分比表示由灰色实线分隔的每个地区的股票比例。期间，假设检验“σ-=σ+” 所有库存均被拒绝。

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2022-6-2 19:37:26

对于股票。这些发现似乎与A"it-Sahalia，Fan&Li（2013）一致，后者通过2004年1月1日至2007年12月12日期间的500家公司之间的相关性以聚合形式显示杠杆效应。现在让我们看看漂移系数。首先，我们注意到b-几乎总是积极的，但是b+可以是正的，也可以是负的。2008-2012年期间，包括2008年金融危机，224只股票表现出均值回复行为(b->, b+<0），而2003-2007年期间为140（分别为161）（分别为20132017）。对这些结果的一种可能解释是，在不涉及金融危机的时期，价格往往会随着时间的推移而上涨，因此估计的b+下降和上升，从而在大多数情况下给出b+<0,b->这似乎与第4节和Mota&Esquível（2014）的结果一致。让我们在此报告Spierdijk、Bikker和Hoek（2012）的类似发现，以及同一篇论文中给出的一种经济解释：“我们的发现表明，预期回报偏离了其长期价值的不确定性；比更平静的时期要快得多。当经济不确定性消失时，预期回报可能会显示出大幅增加的平均回归速度。金融和ZF机构为恢复金融稳定而采取的措施和干预也可能加快调整过程党卫军。“在图6中，我们通过划分日志阈值来绘制规范化日志阈值r下一个。我们观察到，该比率在每个股票和每个时期的0.8到1.2之间。

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2022-6-2 19:37:29

2013-2017年期间的标准化对数阈值在统计上高于2008-2012年期间。0.8 0.9 1 1.1 1.20.80.911.11.2log-thresholdmean log Price for 2003-2007 log-thresholdmean log Price for 2008-20120.8 0.9 1 1.1 1 1.20.80.911.11.2log-thresholdmean log Price for 2008-2012log-thresholdmean log Price for 2013-2017图6：r时期。实线为y = x.这些事实似乎表明，与危机时期相比，在较低的门槛下，更可能发生更强大的杠杆效应。7结论金融杠杆效应一直是大量文献的主题，有许多实证证据。本文研究的几何振荡布朗运动（GOBM）模拟了这种杠杆效应。该模型可以解释为自激阈值自回归模型（SETAR）的连续时间版本。我们已经在真实数据上证明了其有效性，并展示了有利于杠杆效应的证据。与Pierdijk、Bikker&Hoek（2012）的观点一致，我们在金融危机期间检测到大多数股票的均值回复行为，在不包含重大事件的时期则更少。我们的估计与M的估计一致。Esquível和P.Mota基于最小二乘法。我们的模型很简单，并不旨在捕捉其他程式化的事实。它可以作为更复杂模型的基本构造块。我们的理由是，GOBM确实易于处理，同时比Black Scholes模型更灵活：o评估程序设置简单。o模拟很容易执行。o市场是完整的。o期权定价可以通过分析或半分析方法进行，而不依赖蒙特卡罗模拟。此外，我们的模型和估计程序还可以用于其他目的。在该模型中，杠杆效应是空间分割的结果，其中价格动态根据阈值变化。

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2022-6-2 19:37:33

同样的估计程序也可以在短时间窗口中应用，以检测剧烈变化，从而反映时间变化，就像涉及隐马尔可夫模型的状态切换模型一样。GOBM的另一个可能应用，以及更普遍的具有不连续性的局部波动性，将在更复杂的模型中引入此类特征。我们在本文中展示的特性及其在隐含波动率中产生极端偏斜的能力（Pigato 2017）表明，这种不连续性可能是在其他模型中引入不对称和区域机制的一种可行方式（Decamps，Goovaerts&Schoutens 2006）。确认TSP。Pigato感谢ERC通过CoG683164赠款提供的财政支持。作者感谢匿名评论者提出的有用建议。参考高频偏差来源”。摘自：《金融经济学杂志》109，第224-249页。Akaike，H.（1973年）。“信息论与最大似然原理的推广”。第二届信息论国际研讨会（Tsahkadsor，1971）。Akadémiai Kiadó，布达佩斯，第267-281页。Alvarez，E.，H.R.Luis&Paavo Salminen（2017年）。“存在方向可预测性的时间：斜布朗运动的最佳停止”。课程：数学。方法操作。第86.2号决议，第377-400页。内政部：10.1007/s00186-017-0602-4。Ang，A.和A.Timmermann（2012）。“政权更迭和金融市场”。《金融经济学年鉴》第4期，第313-337页。内政部：10.1146/annurevfinancial-110311-101808。Ankirchner、Stefan、Christophette Blanchet Scalliet和Monique Jeanblanc（2017年）。“控制指数鞅的占用时间”。参见：AppliedMathematics and Optimization 76.2，第415–428页。内政部：10.1007/s00245-0169356-2。Barndor Off-Nielsen，Ole E.和Neil Shephard（2002）。

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2022-6-2 19:37:36

“实现波动率的计量经济学分析及其在估计随机波动率模型中的应用”。In：J.R.Stat.10.1111/1467-9868.00336 Black，F.（1976）。“股票价格波动变化研究”。摘自：1976年商业和经济统计科会议记录。美国统计协会，第177-181页。Brockwell，P.J.和R.J.Williams（1997年）。“关于二阶连续时间阈值自回归的存在性及其应用”。In：Adv.In应用程序。概率。29.1，第205-227页。内政部：10.2307/1427867。Chan，K.S.和O.Stramer（1998年）。“数值求解不连续系数随机微分方程的Euler方法的弱一致性”。In：随机过程。应用程序。76.1，第33-44页。内政部：10.1016/S0304-4149（98）000209。Chen、Cathy W.S.、F.C.Liu和Mike K.P.So（2008）。“金融时间序列中的重尾分布三阈值随机波动率模型”。摘自：《澳大利亚和新西兰统计杂志》50.1，第29-51页。Chen、Cathy W.S.、Mike K.P.So和Feng Chi Liu（2011年）。“金融阈值时间序列模型回顾”。In：统计及其接口4.2，第167–181页。Chen、Cathy W.S.和Mike K.P.So（2006年）。“阈值异方差模型”。摘自：国际预测杂志22.1，第73-89页。url：https://ideas.repec.org/a/eee/intfor/v22y2006i1p73-89.html.Christie，A.A.（1982年）。“普通股方差的随机行为：价值、杠杆和利率效应”。摘自：《金融经济学杂志》第10期，第407-432页。内政部：10.1016/0304-405X（82）90018-6。Cont，R.（2001年）。“资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题”。摘自：量化金融1.2，第223-236页。内政部：10.1080/713665670。Decamps，Marc，Ann De Schepper和Marc Goovaerts（2004）。“应用δ衍生证券定价的函数扰动”。In：物理。A 342.3-4，第677-692页。

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2022-6-2 19:37:39

内政部：10.1016/j.physa。2004.05.035.利率模型”。In：Int.J.Theor。应用程序。财务9.7，第1093-1122页。内政部：10.1142/S0219024906003937。应用金融计量经济学中的模型”。In：金融模型百科全书。John Wiley&Sons，股份有限公司.内政部：10.1002/9781118182635。efm0062。Esquível，Manuel L.和Pedro P.Mota（2014年）。“在一些自动诱导的区域切换上，双阈值粘合差异”。摘自：J.Stat.理论与实践。8.4，第760–771页。内政部：10.1080/15598608.2013.854184。皮埃尔·托雷（2006年）。“关于具有不连续系数的一维扩散过程的随机游走模拟”。In：电子。J、概率。11，编号9249–275。内政部：10.1214/EJP。v11-311。Gairat、Alexander和Vadim Shcherbakov（2016）。“斜布朗运动密度1069––1088。doi:10.1111/mafi.12120。心理研究”。摘自：金融研究信函6.2，第83-94页。内政部：10.1016/j.frl。2009.01.002.Hottovy，S.&S.N.Stechmann（2015年）。“降雨和对流阈值模型：确定性与随机触发因素”。摘自：《暹罗应用数学杂志》75.2，第861-884页。内政部：10.1137/140980788。Iacus，Stefano M.（2008）。随机微分方程的模拟和推断，带有Rex样本。统计学中的斯普林格级数。斯普林格，纽约。内政部：10.1007/978-0-387-75839-8。Jang，Bong Gyu等人（2015年）。“心理障碍与期权定价”。摘自：期货市场杂志35.1，第52-74页。内政部：10.1002/fut。金融市场。斯普林格金融公司。Springer Verlag London，Ltd.，伦敦。内政部：10.1007/978-1-84628-737-4。Keilson、Julian和Jon A.Wellner（1978）。“振荡布朗运动”。In：J.Appl。概率15.2，第300-310页。Kolb，Aaron（2016）。战略实物期权。工作文件。印第安纳大学凯利商学院。url：https://site.stanford.edu/sites/default/files/strategicrealoptions.pdf.Kutoyants，Yury A.（2004年）。

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