具有幂律记忆的动态部门间模型

2022-6-2 19:43:46

它考虑到部门间生产环节、物质资源的使用、国民收入的生产和分配。在平衡方程中，每个部门被视为消费者和生产者的两倍。这就引出了平衡方程的矩阵形式。部门间模型的一个显著特征是以矩阵形式描述“输入-输出”平衡方程。部门间平衡矩阵方程假设每个产品只有一个生产（一个部门），每个生产（行业）只生产一种类型的产品。在动态部门间模型中，外生变量和内生变量用矩阵描述。最著名的模型之一是Nobellaureate Wassily W.Leontief开发的动态部门间模型。Leontief在二十世纪五十年代提出了动态部门间模型[1、2、3、4]。Leontief动态模型是国民生产总值和国民收入增长的经济模型。动态部门间模型使用不同的假设，未考虑某些经济因素。动态部门间模型中常用的假设之一是忽略记忆效应。事实上，动态部门间模型认为，经济主体无法记住内生和外生变量的变化历史。因此，我们可以说，这些模型只描述了allagents完全失忆的过程。

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2022-6-2 19:43:49

记忆效应可以在经济学和自然科学中发挥重要作用[5、6、7、8、9]。在宏观经济学中，记忆可以被视为经济过程的一种属性，它表征了这一过程在特定时间对过去状态的依赖性。具有记忆的非经济过程给定时间的内生变量和外生变量取决于它们在前一时刻的值。在宏观经济过程中，经济主体的行为不仅基于给定时间t内过程状态{t，X（t）}的信息，而且还基于对状态信息的使用在时间瞬间. 记忆在过程中的存在意味着存在一个内生变量，它不仅取决于当前外部变量的值，而且还取决于其在前一时刻的值。Amemory效应与外生变量的相同变化会导致相应内生变量的不同变化有关。这就引出了这些变量的多值相关性。多值依赖是由于经济主体记住了这些变量之前的变化，因此可以做出不同的反应。因此，外部变量的相同变化可能导致内部变量的不同动态。在经济学中，记忆的概念可以与分馏动力学类比考虑[8，第394-396页]。在本文中，我们提出了一种计算动态部门间模型构造中幂律记忆的方法，其形式是对具有连续时间的dynamicLeontief模型的推广。

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2022-6-2 19:43:52

作为一种数学工具，我们使用具有非整数阶导数的微分方程理论【10、11、12、13、14】。我们的考虑基于具有记忆和非整数阶边缘值的加速器的概念，这在[15、16、17、18、19]中有建议。本文利用文献[12，13，20，21，22]中所考虑的分数阶微分方程的解，给出并分析了闭合和开放交叉动力学模型方程的解。2、无记忆动态部门间模型我们考虑部门间模型，其中我们假设生产和使用了n种产品。每个部门只生产一种类型的产品，每个产品都是在某个部门生产的。假设生产过程的特征是恒定的，也就是说，我们不会考虑技术进步会导致生产技术的变化。此外，模型中不会考虑货物和材料的进口以及不可再生资源的使用。动态部门间模型将在连续时间方法的框架内制定。让我们描述一下动态Leontief模型方程的输入-输出平衡推导。在Leontief模型中，总产值（总产出）由向量描述,它分为两部分（1）在哪里是最终乘积的向量；是中间积的向量，其中k=1，…，n是生产部门。

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2022-6-2 19:43:56

最终产品分配给投资和非生产性消费（2）在哪里是投资的载体；是非生产性消费（包括非生产性积累）产品的向量，其中k=1，…，n为生产部门。Leontief动态模型假设平衡方程（1）和（2）在任何t>0时的性能。这些方程把经济的动态平衡描述为一个整体。因此，动态Leontief模型是“投入产出”平衡的动态模型。将最终产物（2）的表达式代入式（1），我们得到了平衡方程（3）为了从平衡方程（3）中得到Leontief模型方程，需要去除内生（内部）变量Z（t）和I（t）。为此，我们应该给出Z（t）和I（t）对外生变量X（t）的依赖关系。Leontief模型假设生产的直接材料成本系数不变。中间产品对总产品的依赖性以直接比例的形式假设。这使我们能够通过直接材料成本矩阵A和总产品X（t）向量的乘法来表示中间产品Z（t）的向量，其形式为矩阵乘法方程（4）在哪里是带系数的n阶方阵, 它描述了第i个部门（i=1，…，n）在生产单位产出的第j个部门（j=1，…，n）时的直接材料成本。假设矩阵A为常数，即它不随时间变化。

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2022-6-2 19:44:00

在dynamicLeontief模型中，系数不仅包括直接材料成本，还包括损坏赔偿和修理基本生产资产的成本。因此，矩阵A的主对角线的元素是非零的。动态Leontief模型基于累积与总产出增长之间关系的假设。这种关系是通过使用生产增长的资本强度矩阵来实现的。此外，假设固定资产收益投资的瞬时转换和生产（产出）中这些资金的瞬时回报，也就是说，模型忽略了延迟。时间应该是连续的。这使我们能够使用微分方程理论。资本投资向量I（t）对总产值向量X（t）的依赖性由矩阵加速器方程描述 , （5）在哪里是投资的载体，是系数的n阶方阵生产的增量资本密集度。系数描述第i部门的生产成本，以增加j部门的生产。矩阵B假设为非退化，即矩阵B的行列式不同于零。对于方阵B，该条件等价于矩阵的可逆性，即逆矩阵的存在. 通常，矩阵B可以有零线，例如，对于仅生产消费品的部门。

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2022-6-2 19:44:02

对于部门间动态模型矩阵B的可逆性，我们只能考虑构成固定资产的部门的方程。将表达式（4）和（5）代入方程（3），我们以矩阵微分方程的形式得到了总产量（总产量）的dynamicLeontief模型方程（6）其中，E是n阶单位对角矩阵。只有等式（6）的这些解才有经济意义，其中X（t）≥由向量Y（t）描述的最终产品（国民收入）方程可从方程（6）中获得。为此，我们将由公式（4）给出的Z（t）的表达式替换为方程（1），然后表示Y（t）。因此，我们得到了表达式（7）如果给出了总产量的向量X（t），那么等式（7）允许我们找到最终产品的向量Y（t）。替换（7），其写在表格中 , 在方程（6）中，考虑到矩阵A的恒常性，我们得到最终产物（nationalincome）的方程（8）在哪里是完全增量资本强度的矩阵。注意，只有当方程（8）的解满足条件Y（t）时，没有对外贸易的经济模型才具有经济意义≥让我们注意一下动态部门间模型的一些特性。（a）直接材料成本系数以及增量资本系数假设为常数，即矩阵A和B在时间上是常数。在一般情况下，这是不正确的，特别是当我们考虑长时间间隔时。（b）当我们改变投资时，产量的增长是瞬间的。

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2022-6-2 19:44:06

这意味着我们忽略了最终产品和投资之间的时间延迟的影响。（c）时间t时的投资I（t）由总产值X（t）的变化决定，仅在时间点的有限小邻域内，即最近的无穷小过去。这意味着忽视记忆效应。换言之，事实上，它被认为是对所有经济主体的即时健忘症，即对总产值和投资变化历史的即时遗忘。如果我们假设不存在非生产性消费，即C（t）=0，则称部门间模型是封闭的。C（t）=0的微分方程组（8）的通解可以写成[8，9] （9）在哪里是矩阵的特征值 , 向量是与特征值相对应的IGenvector, 即 , 以及系数根据初始条件确定解（9）是指数函数的组合不同的生长速度. 因此，一般来说，一个经济过程的动力由路径决定所有部门都不可能有统一的增长率λ。因此，经济增长将伴随着永久性的结构变化。这一事实使intersectoralmodel与宏观经济模型（如自然增长模型、Harrod-Domarmodel、Keynes模型等）有着显著的区别。然而，动态部门间模型的解与宏观经济增长模型的解之间存在一定的相关性。这种关系基于特征值的存在矩阵的绝对值最高完全增量资本密集度。

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能者818

2022-6-2 19:44:10

这种特征值的存在源于Perron定理及其Frobenius的推广。Perron定理断言[23]，对于正矩阵，总是存在唯一的特征值具有最高的绝对值。号码是正的，它是特征方程的一个简单根。相应的特征向量可以选择为正。Frobenius定理断言[24，p.354-355]，不可约非负矩阵总是具有正特征值, 这是特征方程的简化。所有其他特征值不超过该数的模, 这个数对应于具有正坐标的特征向量。号码矩阵的S通常称为Frobenius-Perron数。在交叉动力学模型中，特征值矩阵的, 被称为技术增长率[8，第126页]。需要注意的是，特征向量,对应于特征值不同于(), 必须与不同的符号协调。闭合部门间模型的解（9）是指数函数的组合不同的增长率. 在解中，具有最大实部的项并对应于, 开始主导于. 如果主导词是, 然后，最终产品的增长率趋向于t→∞ 在所有部门。

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能者818

2022-6-2 19:44:13

在这种情况下，部门结构对国民收入的限制() 将由相应特征向量的坐标比例确定.如果主导项将具有增长率, 那么Y（t）的动力学将由相应的特征向量确定, 坐标有不同的符号。因此，在必然会有消极成分，这意味着解决方案失去了经济意义[8，p.127]。因此，如果与增长率相关的条款, 这与, 占主导地位。封闭部门间模型的这一特点将该模型与其宏观经济类似模型区分开来，在宏观经济类似模型中，由于对消费增长的需求过高，解决方案是不可接受的。3、具有幂律记忆方程（6）和（8）的动态部门间模型描述了动态部门间模型，假设资本向量I（t）和总产值向量X（t）之间的关系由线性加速器方程（5）给出。方程（5）包含一阶导数。该导数的使用意味着内生变量I（t）在外生变量X（t）变化时的瞬时变化。换言之，时间t的投资由该时间点无穷小邻域内总产值向量的性质决定。因此，加速器方程（5）没有考虑记忆效应。因此，微分方程（6）和（8）实际上只能用来描述经济，在这种经济中，所有的经济学者都有一种即时健忘症。

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2022-6-2 19:44:16

这种限制大大缩小了描述实际经济过程的部门间模型的范围。在许多情况下，经济主体可能会记住总产值和以前投资的变化历史。因此，忽视记忆效应可能会导致对经济过程的错误描述。为了考虑幂律记忆，我们可以应用非整数阶导数和积分的数学形式[10、11、12、13、14]。文献[15、16、17、18、19]提出了非整数阶边值和带记忆加速器的概念。利用记忆加速器的概念[15，16]，我们可以推广幂律衰退记忆经济过程的动态Leontief模型。为了描述部门间模型中的动态幂律记忆，我们应该使用方程（5）的一般化，它描述了投资向量i（t）和总产值向量X（t）之间的关系。[17，18，19]中提出的非整数阶边际值的概念，允许我们得到带记忆的加速器方程[15，16]。具有幂律记忆的加速器的线性方程具有以下形式（10）本文附录中给出了考虑幂律记忆的加速器方程建议形式的解释。在这里是订单的分馏驱动力 [11，12]，其定义如下：（11）在哪里是gamma函数，是函数X（τ）对时间变量τ的整数阶n的导数：=[α]+1:0<τ<t。

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2022-6-2 19:44:19

方程（11）假设函数X（τ）具有整数阶到（n-1）阶的导数，这些导数是区间[0，t]上绝对连续的函数。对于α=1，方程式（10）给出了方程式（5）。为了得到易于解释的量的维数，我们可以使用时间t作为无量纲变量。对于部门间动态模型，等式（10）实际上假设了所有经济部门的记忆衰退的统一参数。本文首先考虑均匀衰落参数为0<α<2的动态模型。然后，我们将该模型推广到由向量决定的扇形记忆的情况衰落顺序，其中是第k个经济部门记忆衰退的参数。将方程（10）和（4）代入平衡方程（3），得到分馏微分方程（12）方程（12）描述了考虑幂律记忆的动态部门间模型，并推广了方程（6）描述的Leontief模型。对于α=1，方程式（12）的形式为（6）。最终产品（国民收入）的方程可通过使用以下形式的表达式（7）从方程（12）中获得 . 由于矩阵A假定为常数，则替换表达式在方程（12）中，我们得到（13）方程（13）描述了具有幂律记忆的动态部门间模型中最终产物Y（t）的动力学。矩阵称为全增量资本强度矩阵。让我们考虑总产品和最终产品的封闭动态模型。

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kedemingshi

2022-6-2 19:44:21

封闭模型由方程（12）和（13）描述，非生产性消费为零（C（t）=0）。使用（12），C（t）=0时X（t）总产值的矩阵方程具有分数微分方程的形式 . （14）对于α=1，方程式（14）的形式为 . （15）使用C（t）=0的（13），我们得到最终产物Y（t）的方程式 , （16）在哪里是完全增量资本强度的矩阵。方程（14）和（16）描述了具有幂律记忆的封闭动态部门间模型中总产品和最终产品部门结构的动态。闭合模型方程（14）和（16）的解描述了当整个国民收入都指向扩大再生产时，对于给定的A和B，生产部门的极端（极限）技术可能性。方程（14）和（16）是线性分数阶微分方程组。如果完全增量资本强度的矩阵是可逆的，那么方程（14）和（16）可以写成 (17) （18）方程（17）和（18）描述了一个具有幂律记忆的闭合部门间动态模型，该模型对所有经济部门都有一个统一的参数。众所周知，分数阶微分方程的解（19）对于阶为0<α<1的Caputo分数阶导数（11），以及矩阵 ,可以由表达式表示（20）在哪里是由公式定义的矩阵Mittag-Leffler函数【13，第142页】 .

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2022-6-2 19:44:25

（21）分数阶微分方程（18）的通解可以写成（22）其中是矩阵的特征值 , 和对应的特征向量是否（23）系数由方程从初始条件确定（24）使用, 我们得到α=1的解（22）的形式为（25）因此，溶液（22）包含标准闭合跨部门模型的溶液（25），作为对应于α=1的特殊情况。类似地，方程（17）的通解可以写成（26）其中是矩阵的特征值 ; 向量是矩阵Ω的变换器；以及系数由初始条件确定（27）使用表达式（7）和解（25），方程（17）的解可以写成（28）相当于表达式（26），其中.解决方案是Mittag-Leffler函数的线性组合具有不同的特征值. 因此，总的来说，各行业的经济进程动态 , i、 e.对于所有扇区，使用统一参数λ是不可能的。它区分了具有记忆的部门间模型和具有记忆的宏观经济模型，这些模型在[27、28、29、30、31、32、33、34]中进行了讨论。因此，经济动态将随着结构变化而变化。请注意，有记忆的动态部门间模型的解（25）、（26）、（28）与有记忆的宏观经济模型的解之间存在关系[27,28、29、30、31、32、33、34]。

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2022-6-2 19:44:28

这种关系以及标准模型都基于特征值的存在矩阵的绝对值最高完全增量资本密集度。同时，矩阵S的IGEN值的所有其他模块不超过, 这是Frobenius Perronnumber。可以选择相应的特征向量，以便其所有坐标都为正。在这种情况下，特征向量, 对应于特征值, 具有不同标志的协调性。这种特征值的存在源于Perron定理【14，p.319】和Frobenius定理【15，p.354-355】。一些根矩阵的特征方程可能很复杂。因此，每个复杂的根对应于共轭根 . 每对复共轭根将由解中的一对项表示。在这种情况下，我们有恒速振荡，它等于, 和可变振幅。现在让我们分析一下对于带内存的跨部门动态模型。为此，我们使用Mittag-Leffler函数的渐近公式在. 使用[25，p.25-26]中的公式（3.4.14）和（3.4.15），我们得到了0<α<2和方程式（29）对于λ的实值和具有, 哪里.

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2022-6-2 19:44:31

（30）对于λ的复值，其中, 我们有（31）其中对于0<α<1和对于1<α<2。因此，对于λ的实值，我们发现带记忆的交叉模型的增长率与特征值不一致矩阵的. 增长率等于这些值（32）将被解释为有效增长率。对于λ的复值，其中, 动态由反比性决定而不是指数函数。存在指数行为项时, 条款的分配可以忽略.方程（18）的解（22）是Mittag-Leffler函数的组合使用不同的参数, 对应不同的有效增长率. 暴露（22）将以, 为此和, 其中θ满足不等式（30）。如果主导项具有有效增长率 , （33）其中是矩阵S的Frobenius-Perron数，然后是所有部门最终产品的增长率倾向于有效技术增长率（33）。在这种情况下，国民收入的部门结构由特征向量的坐标之间的比例确定, 对应于 . 如果支配词是, 那么Y（t）的动力学由相应的特征向量定义, 其中坐标有不同的符号。因此，该解Y（t）在必然会有负面的成分。这意味着解决方案失去了经济意义。

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2022-6-2 19:44:35

因此，解决方案（22）、（26）、（28），其中占主导地位，在经济上不可接受，这些解决方案没有经济意义。请注意，封闭模型解决方案的这一特点将带记忆的动态部门间模型与带记忆的宏观经济模型区分开来【27、28、29、30、31、32、33、34】，在宏观经济模型中，由于消费增长的巨大需求，解决方案变得不可接受。下表给出了具有幂律记忆的部门间模型和无记忆的标准模型的增长率比较，以获得和0.该表显示，记忆效应的计算可以显著改变动态部门间模型的增长率。同时，与标准模型相比，增长率可以增加或减少。如果全增量资本强度矩阵的Frobenius-Perron数小于1(), 如果我们考虑到记忆效应，相应的增长率可能会大得多。例如，当α=0.2和, 具有内存的模型中的增长率为而不是对于标准型号，即它将是16倍以上。这些结果使我们能够制定以下原则。技术增长率变化原理。对于标准部门间模型的低技术增长率，用衰减参数0<α<1计算记忆效应会导致经济增长率下降，并导致1<α<2的增长率上升。

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大多数88

2022-6-2 19:44:38

对于标准部门间模型的高技术增长率，用衰减参数0<α<1计算记忆效应会导致不经济增长的增加，并导致1<α<2的增长率下降。本文最后一节给出了一个说明这一原理的示例。对于1<α<2，分数阶微分方程的通解（34）对于阶数为1<α<2的Caputo分数导数，可以用以下形式写出[12，p.232]和[25] （35）其中是双参数矩阵Mittag-Leffler函数【12，第42页】，由以下等式定义 . （36）对于β=1，函数（36）采用Mittag-Leffler函数（21）的形式，因此. 数字是矩阵的特征值 , 和对应的特征向量（37）系数和由表格中的初始条件确定(38)（39）其中和分别是初始时间t=0时的国民收入和国民收入变化速度。让我们给出两参数Mittag-Leffler函数的渐近公式在. 利用[12，p.43]中的方程（1.8.27）和（1.8.28），我们得到了0<α<2和公式（40）对于λ的实值和λ的复值，其中, 哪里.

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kedemingshi

2022-6-2 19:44:41

对于λ的复值，其中, 我们有（41）渐近公式（40）和（41）允许我们描述在具有幂律记忆的部门间动态模型中，衰落参数0<α<2.4。具有记忆的开放式动态部门间模型具有幂律记忆的开放式动态部门间模型由非零非生产性消耗（C（t））的方程（12）和（13）描述≠ 0). 方程（12）和（13）的解可以通过使用【12、13、21、22】中提出的分数阶微分方程的解来获得。让我们考虑一个具有最终产品（国民收入）向量记忆的开放动态模型。具有幂律记忆的开放模型由矩阵分数微分方程（13）描述。利用矩阵B的可逆性，方程（13）可以改写为（42）方程（42）是描述开放动态部门间模型的非齐次分数阶微分方程【11，12】。让我们考虑方程（42）所描述的经济模型，该模型考虑了非生产性消费和幂律记忆的动态。分数阶微分方程（42）的通解可以表示为通解之和由齐次方程（18）描述的闭合模型的非齐次方程（42）的 . （43）让我们考虑以下形式的非生产性消费C（t）的向量函数（44）我们假设非生产性消费的组成部分在所有部门都以统一的速度增长。

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2022-6-2 19:44:44

对于r=0，我们有.式（44）中C（t）的方程（42）的特解由以下表达式给出（45）其中是完全增量资本强度的矩阵。对于具有幂律记忆的开放动态部门间模型的通解可以用以下形式表示（46）其中是矩阵的特征值 , 和是对应的特征向量( ), 系数根据初始条件确定（对于案例) 根据公式（47）如果C（0）=0，则解（46）与解（22）一致，条件（47）变为（24）。对于1<α<2的具有幂律记忆的开放模型（42）的解，也可以类似地获得，即，对于具有1<α<2记忆的闭合模型（18），使用解（35）和条件（38），（39）。为了得到开放模型的解，我们应该找到特征值矩阵∧和相应的特征向量. 然后我们应该设定非生产性消费的增长率r，并求出系数的值, 对应于代数方程组（47）中给定的增长率r。没有记忆的标准模型假设r不能超过技术增长率，因为矩阵r·S的生产率条件给出了不等式[26]和[3，第130页]。如果, 那么Y（t）比包含. 矩阵r·Sis是非生产的，因此向量将具有负组件。由于某些组件是负的，那么我们得到向量Y（t）的负分量，这意味着这个解没有经济意义。

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2022-6-2 19:44:46

因此，经济上可解释的国民收入解决方案存在的必要条件是. 在具有记忆的模型中，所有扇区的记忆衰落参数都是一致的，条件不会改变。5、具有部门记忆的部门间模型在本文的前几节中，我们假设了所有经济部门记忆的统一参数。一般来说，不同扇区的参数可能具有不同的记忆衰落。在这种情况下，该模型可以称为具有部门记忆的部门间模型。存储器的阻尼将由衰减向量确定. 为了描述具有不同幂律存储器衰落参数的扇区的动态特性，我们可以使用非整数阶的矩阵微分。例如，我们可以使用对角矩阵运算符（48）其中该矩阵的元素是运算符 , 哪里是第k个经济部门的衰退参数。对于具有两个扇区的动态模型，运算符（48）可以写成（49）算符（49）对最终乘积的向量Y（t）的作用由表达式给出（50）具有部门记忆的闭合部门间动态模型，其特征是不同部门的衰落参数不同，可用矩阵分数微分方程描述（51）其中方程（51）的解不能用以下形式表示： . 可在以下表格中找到（52）其中是MittagLeffler函数（21）的平方对角矩阵。

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能者818

2022-6-2 19:44:50

对于双扇区模型，矩阵函数可以用以下格式编写（53）很容易检查矩阵函数的性质 , 由方程给出（54）使用（54），向量Y必须满足方程（55）为了方程（55）适用于非平凡向量Y，矩阵为单数，即其行列式应等于零： . 对于theroots特征方程的 , 我们可以找到非零向量使用方程式（55）。因此，分数阶微分方程（51）的通解对于所有k=1，…，n可以写在（56）在分量形式中，方程式（56）可以写成 , （57）其中是矩阵的特征值 , 和是对应的特征向量系数由初始条件确定（58）t=0时的方程式（56）给出了（58），因为 , 其中，E是第n阶单位对角矩阵。使用（29）计算λ的实际值，我们发现增长率由值决定（59）被解释为第k部门的有效增长率。与案例（32）相反，有效增长率的变化并不等同于标准模型。因此，在增长率的有序序列中, 当我们考虑到记忆效应时，顺序可以改变。溶液（56）中具有最大实部的项, 为此θ满足不等式（30）。

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可人4

2022-6-2 19:44:52

如果主导项具有有效增长率 , （60）在哪里是矩阵S的Frobenius Perron数，则所有部门的最终产品（国民收入）增长率将趋向于. 国民收入的部门结构将由特征向量坐标之间的比例确定矩阵∧的 .请注意，不同部门和不同价值观的有效增长率可能不同。有效增长率相等的条件可以用方程表示（61）本案对于所有k=1，…，n，分数阶微分方程的通解（62）利用矩阵，可以写出1阶<α<2的Caputo分数导数（48）[12，p。

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2022-6-2 19:44:57

232]as （63）其中是两个参数Mittag-Leffler函数的平方对角矩阵（36）。如果部分内存衰减参数属于间隔, 参数的另一部分在范围内, 那么在解决方案（63）中，将缺少对于.具有部门记忆和非零非生产性消费（C（t））的开放动态部门间模型≠ 0）由矩阵分数阶微分方程描述（64）分数阶微分方程（64）的通解可以表示为通解之和由齐次方程（56）描述的闭合模型的非齐次方程（64）的 . （65）让我们考虑以下形式的非生产性消费C（t）的向量函数（66）其中是平方对角矩阵，并且是向量，定义了初始时间t=0时各部门的非生产性消费。这里我们不限制向量C（t）的成分具有相同的恒定增长率。向量C（t）的分量具有以下形式 , 哪里是第k部门非生产性消费的增长率。因此，表达式给出了方程（64）的特解（67）其中是完全增量资本强度的矩阵，以及是非生产性消费增长率的矩阵。

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kedemingshi

2022-6-2 19:45:00

如果对于k=1，…，n，具有部门记忆的开放动态部门间模型的通解可以写成（68）其中是矩阵的特征值 , 和是对应的特征向量系数已确定（针对该情况对于所有k=1，…，n），根据初始条件（69）对于R=R·E，条件（69）采用标准形式（47）。对于对于所有k=1，…，n，具有部门记忆的开放模型的解与具有对于所有k=1，…，n，下表给出了具有部门记忆的部门间模型和无记忆的标准模型的增长率比较，以获得和0.该表显示，在动态部门间模型的框架内，部门记忆的核算可以显著改变经济及其部门的增长率。同时，与无记忆的标准intersectoralmodel相比，增长率可以增加或减少。利用这些结果，我们可以得出以下原理。支配权变更原则。在部门间经济动态中，衰退部门记忆的影响可以改变经济部门的主导行为。例如，根据这一原则, 标准模型的具有幂律部门记忆的模型。下一节将提供更详细的示例来说明这一原理（请参见示例3）。6.

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2022-6-2 19:45:04

带记忆的部门间模型的例子为了说明，我们给出了求解低记忆幂次的封闭动态部门间模型的数值例子。最终产品和总产品动态模型的解决方案将通过两个经济部门的例子加以说明。对于计算，我们使用了Maple计算机代数软件包。示例1。我们将矩阵A和B定义为（70）逆矩阵和矩阵由表达式表示（71）那么这些矩阵的乘积具有以下形式 (72) . （73）对于矩阵（72）和（73），方程式（17）和（18）的形式如下 (74) （75）其中0<α<1。矩阵（72）和（73）的特征方程具有以下形式 (76) （77）得出二次方程 (78) （79）特征方程（78）和（79）的根是数字（80）其中, . 因此，我们得到了特征向量的方程 (81) （82）其中k=1、2和取值（80）。方程（81）和（82）的解给出了IGenvector (83) （84）使用Maple计算机代数软件包获得特征向量（83）和（84）的坐标。

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2022-6-2 19:45:07

系数可使用以下形式的方程式（24）从初始条件中导出（85）让我们使用表格中最终产品的初始条件（86）那么带有向量（83）的线性方程组（85）的形式为（87）代数方程组（87）有解和. 因此，我们得到了第一和第二部门最终产品的功能（88）使用, 我们可以看到，解决方案（88）在初始时间（t=0）给出了第一和第二部门的最终产品这与初始条件（86）一致。对于α=1，溶液（88）的形式为（89）我们使用物业的地方.对于总产值的向量X（t），系数由初始条件确定（90）其中和由表达式（84）定义。

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大多数88

2022-6-2 19:45:09

让我们考虑一下表格中grossproduct的初始条件（91）那么带有向量（84）和（91）的方程组（90）的形式为（92）求解这个线性方程组，我们得到和.使用Maple获得第一和第二部门的总产值函数，我们得到（93）对于α=1，解（93）写为指数的线性组合（94）求矩阵的Frobenius-Perron数完全增量资本密集度。使用矩阵（70），我们得到 . （95）我们看到矩阵S是正的。使用Maple软件包，我们得到矩阵（95）的特征值（96）因此，Frobenius Perron数等于. 相应的特征值, 它描述了无记忆标准模型（α=1）的技术增长率（97）我们可以看到. 在具有幂律记忆的封闭部门间模型（74）、（75）中，增长率由有效技术增长率决定 .

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