与priorexample默认触发器不同，此设置具有（潜在的）异构和依赖时间的默认函数。与上述最低和最高联合违约触发条件相反，任何级联的触发违约完全基于违约银行的回报。在ui=r=0的风险中性设置中，如果Dλi（t，0，K）>0，则该转移违约为非流动性，否则为基本破产。然而，如果ui>r=0，则任何级联的触发违约将始终是非流动性；相反，如果ui<r=0，则任何级联的触发违约都是一种破产。5个数值例子在本节中，我们希望考虑两个简单的数值例子来证明上述模型的某些性质。首先，在示例5.1中，我们考虑清理cas h和资本账户的单一样本路径，以便可视化早期违约的影响。特别是，在违约时间，资本账户（向下）和现金账户（向上）的跳跃都得到了清楚的证明。因此，沿着此示例路径，默认传染很明显。然后，在例5.2中，我们利用蒙特卡罗模拟来确定系统风险的统计数据。具体而言，我们研究了违约规则对违约概率和社会财富的影响（通过现金和资本账户衡量）。值得注意的是，尽管违约概率是单调的，但系统动力学内在地构造了一个非单调的结果，使得违约规则的严格性发生了变化。为了简单起见，在本节中，我们将考虑假设4.8的几何布朗运动设置。示例5.1。考虑一个有三家银行的中央系统，每家银行都有义务成为外部社会节点。考虑时间间隔T=[0，1]。

让这些银行对i有随时间变化的义务Lij（t）=t1{i6=j}∈ N和j∈ N、 即，一个对称且完全连接的义务体系。附录Cto中显示了持续相对负债的假设，以提供在忽略违约的情况下，艾森伯格Noe在最终时间清算财富；在此，我们将看到，对于早期违约，这种情况不再成立。我们将根据假设4.8（即每个银行i的ui=r=0）对外部资产进行风险中性设置∈ N） 当初值xi（0）=2时，波动率σi=1，对于任何一对组i，j，布朗运动的成对相关性ρij=1{i=j}+{i6=j}∈ N、 由于本示例的目的是证明违约对现金和资本账户的单一充足路径的影响，因此we0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4时间（t）0.51.52.53.5社会：K（t）-Et[x（t）]银行1：K（t）银行2：K（t）银行3：K（t）（a）示例5.1：清算资本账户超时。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4时间（t）0.51.52.53.5社会：V（t）-x（t）银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）（b）示例5.1：清算现金账户超时。图1：示例5.1：清算现金和资本账户的单一样本路径，以证明早期违约对其他机构财富的影响。将采用v=k=0的最小联合违约触发，即，如果银行的现金或资本账户达到0，则银行将违约。值得注意的是，所提供的设置是{x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1 | t∈T} 因此，如4.11提案所述，第一次违约将因基本破产（即τmin[1]=τK[1]）而发生。在默认情况下，我们将回收率取为α=、β=、γ=。图1提供了该清算系统的单个示例路径。在此示例路径中可以看到，银行3在时间τ发生破产事件≈ 0.224触发银行2的级联违约。

对1号银行的影响是显而易见的，虽然不是直接的级联故障，但对1号银行资本l的影响也导致了其早期违约。然而，社会和1号银行的现金账户在违约发生后立即得到改善≈ 0.224; 违约后，社会现金账户明显放缓了利率，因此，尽管现金账户在短期内有所改善，但在长期内却受到了损害。示例5.2。再次考虑示例5.1中的三银行+社会节点系统，该系统具有相同的网络结构，但在违约情况下完全恢复（即α=β=γ=1）。然而，我们现在希望考虑违约触发水平v=k（在最小联合触发规则集下）对以下方面的影响：（i）违约概率；（ii）社会节点终端现金账户的分配减去其外部资产V（T）- x（T）；以及（iii）社会节点及其外部资产K（T）的终端资本账户分布- x（T）。这些统计数据将通过10次模拟的蒙特卡罗方法进行处理。值得注意的是，由于该系统中的银行是对称的，在所有设置下，每家银行的违约概率都是相等的，因此，我们将报告三家银行的平均概率，以减少不确定性。我们进行这一分析是为了考虑违约触发因素对金融稳定性的高度非线性影响。更改默认阈值的结果如图2所示。首先，在图2a中，正如预期的那样，联合违约阈值v=k中的违约概率增加。

然而，如图2b和2c所示，违约风险的增加可以通过违约情况下增加的恢复来抵消；正如现金账户特别值得注意的那样，违约和社会账户之间存在着明显的权衡。例如，对于默认阈值v=k=1，几乎可以肯定每个银行都会违约，但社会会全额收回其资产，这样无论是现金账户还是资本账户都不会发生损失。在图2b中，我们观察到社会的预期和中位数cas h账户对v=k不敏感∈ [-2.-0.5].对于v=k≥ -0.5，平均值和中值社会现金账户单调改善，直到Lv=k≥ 然而，尽管违约可能性增加，社会仍会全额收回所有资产。值得注意的是，对于v=k∈ [-0.5，0]，虽然社会现金账户的平均值和中位数有所改善，但收回所有债务的概率小于该地区以外的债务；这是由于早期违约造成的损失。此外，对于v=k∈ [-1.5, -0.5]，社会资本账户单调恶化；对于v=k∈ [-0.5，1]，这种单调性随着社会对额外资产的核算（v=k的完全回收）而逆转≥ 0）即使违约概率继续增加。还请注意，由于银行有可能未向社会支付债务，但没有违约，因此v=k<0时，社会资本账户一致优于现金账户；对于v=k≥ 0此事件不能发生，因此，Terminalsocial现金和资本账户必须相等。6结论在本文中，我们考虑扩展[12]的金融传染模型，以允许现金流和债务在时间上是动态的。

我们在一个连续时间框架下给出了该模型，并在确定性和It^o设置下给出了清算解存在唯一性的条件。在这种动态背景下，我们引入了流动性不足和破产违约的数学定义，这取决于央行可能提供的救助类型，以避免违约。值得注意的是，非流动性和非流动性之间的这种区别只能由于本工作中引入的时间动力学而发生；在staticEisenberg-Noe系统中，资本账户和现金账户是相同的。对我们来说，这一模型有五个明显的扩展，我们预计将进一步创建-2-1.5-1-0.5 0.5 1v=k0.10.20.30.40.50.60.70.80.9（a）示例5.2：银行违约的经验概率随最小阈值SV=k.-2-1.75-1.5-1.25-1-0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 1v=k0.51.52.5（b）示例5.2：终端社会现金账户的经验分布和平均值（黑线）减去其外部资产TSV（T）- x（T）在变化的最小阈值v=k.-2-1.75-1.5-1.25-1-0.75-0.5-0.25 0.25 0.5 0.75 1v=k0.51.52.5（c）示例5.2：终端社会资本账户的经验分布和平均值（黑线）减去其外部ass etsK（T）-x（T）在变化的最小阈值v=k上。图2：示例5.2：实证结果表明，最小违约触发点的违约阈值v=k对三银行系统系统风险度量的影响。静态和动态模型之间的差异。第一个扩展是将银行间债务的会计估值从此处使用的向后看的历史价格会计程序更新为向前看的按市值计价会计规则。[4，3]在单周期设置下研究了这种网络估值调整程序。

第二个扩展是将非流动资产和证券销售包括在内。在静态模型中，例如[8、1、14]，当所有公司都收到相同的价格时，清算资产没有先动优势。然而，在动态模型中，为了获得更高的价格，提前清算可能会有好处，但这可能会在其他财务报表中产生更大的利润，正如【15】中在纯价格中介传染环境中所做的那样。第三个扩展是纳入或有付款和信用违约掉期。在静态设置中，[2、31、30]最近考虑了这一点。考虑到网络动态取决于清算现金账户的历史，静态工作中报告的许多难题可能会自然得到重新解决；我们参考文献[2]，其中对该扩展进行了初步讨论。第四个扩展是包括保证金要求和票据化债务。[23]在静态设置中对此进行了探讨。最后的扩展，我们认为提议的动态模型将特别有用，是在考虑市场参与者的战略或动态行动时，例如，将债务滚动和早期违约的战略决策纳入[11]中的研究。参考文献[1]Hamed Amini、Damir Filipovi'c和Andree a Minca。具有清算费用的支付系统均衡的唯一性。运筹学快报，44（1）：1-52016。[2] 如来B anerjee和Za chary Feinstein。或有付款对金融网络系统风险的影响。数学与金融经济学，13（4）：617–6362019。[3] 如来班纳吉和扎卡里范斯坦。与共同捐赠基金组成的金融网络中的债务和股权定价。2021.

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假设tτ的aij（t）解出了初始微分方程：daij（t）dt+Pk∈NdLik（t）/dtVi（t）-aij（t）=dLij（t）/dtVi（t）-.为了简单起见，让微分方程从时间0开始，Vi（0）<0，s omeinitial value aij（0）。然后可以通过积分因子ν（t）：=RtPk来求解该微分方程∈NdLik（s）Vi（s）-ds。因此，对于tτ，可以得出aij（t）=e-ν（t）中兴通讯ν（s）dLij（s）Vi（s）-+ aij（0）.因此，利用L\'H^ospital法则，limtτaij（t）=limtτe-ν（t）中兴通讯ν（s）dLij（s）Vi（s）-+ aij（0）= 极限τeν（t）dLij（t）Vi（t）-eν（t）ddtν（t）=limtτdLij（t）/Vi（t）-主键∈NdLik（t）/Vi（t）-=dLij（τ）Pk∈NdLik（τ）。（ii）首先，如果Vi（t）≥ 0然后通过构造（和上述结果），得出aij（t）=dLij（t）Pk∈NdLik（t）≥ 0表示任何i，j∈ Nand ai0（t）≥ δ通过本施工。现在考虑Vi（t）<0的情况，并假设aij（t）<0。设τ=sup{s≤ t | Vi（s）=0}。Sinceaij（τ）∈ [0，1]通过构造和相对曝光是连续的，这意味着存在一些时间s∈ [τ，t）使得aij（s）=0。根据相对风险的定义，这必须遵循daij（s）≥ 任何时间aij为0≤ 0（如果aij（s）<0，则daij（s）>0，因此aij（t）<0永远无法达到。此外，假设ai0（t）<δ。根据假设3.3，ifai0（s）≤dLi0（s）峰值∈NdLik然后dai0≥ 特别是，如果ai0（s）≤ δ然后dai0（s）≥ 0（如果ai0（s）<δ，则DAI0（s）>0）。因此，根据j的情况中发现的相同矛盾∈ N，我们可以绑定ai0（t）≥ δ.（iii）首先，如果i=0，则pj∈Na0j（t）=1，根据a0j（t）=n{j6=0}的性质，对于所有时间t。现在考虑i∈ N，如果Vi（t）≥ 0然后通过构造（和上述结果），它遵循Pj∈Naij（t）=Pj∈NdLij（t）Pk∈NdLik（t）=1。现在考虑Vi（t）<0且letτ=sup{s的情况≤ t | Vi（s）=0}。

辛塞佩∈Naij（τ）=1根据先前的结果，我们将计算Pj∈Naij（t）=1来推导xj∈Ndaij（t）=Xj∈NdLij（t）- aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-=Pj公司∈NdLij（t）Vi（t）--Pj公司∈奈吉（t）主键∈NdLik（t）六（t）-= 因此，根据初始条件，aij（t）必须进化，以保持恒定的行和1。A、 2定理的证明3.7证明。关于Eisenberg-Noe微分系统的所有初始值均为Vi（0）>0，且Ij（0）=dLij（0）Pk∈所有银行i，j的NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}∈ N、 为了便于记法，考虑τ：=0并递归定义停止时间τm+1：=inf{t∈ （τm，T）| Vi（τm）Vi（T）<0或[Vi（τm）=0，dVi（τm）Vi（T）<0]}。即τm∈ T是∧（V）中第m次变化的时间。在不丧失一般性的情况下，我们假设，如果在一个空集上取最小值，则τm=T。我们注意到，时间τmareall相对于自然过滤的停止时间。在这种情况下，请特别注意，在区间（τm，τm+1）上，我们可以将不良银行的集合视为常数；为了简化并稍微滥用符号，我们可以考虑区间中不良企业∧（τm）的常数矩阵（τm，τm+1）。我们现在将在这些时间间隔内构造向前的唯一强解，注意，我们在发现下一个事件后更新∧和τm+1。首先，通过构造，在[0，τ]上，存在由V（t）=V（0）+x（t）+L（t）提供的微分系统的唯一解~1.- L（t）~1和aij（t）=dLij（t）Pk∈所有银行i，j的NdLik（t）{i6=0}+n{i=0，j6=0}∈ N、 假设在τm<T的时间间隔[0，τm]内存在一个强解。现在我们要证明清算现金账户和区间（τm，τm+1）上的相对风险敞口的存在性和唯一性。

基于其不同形式扩展dx（t），可以考虑（7）asdV（t）=[I- A（t）∧（τm）]-1（u（t，x（t））- [我- A（t）]L（t）~ 1）dt+[I- A（t）∧（τm）]-1σ（t，x（t））dW（t）=？u（t，x（t），A（t），V（t））dt+？σ（t，x（t），A（t），V（t））dW（t）。让我们首先考虑dV的线性增长条件。利用1-范数，其中k·kopdenotes对应的运算器范数，让A∈ A和V∈ Rn+1，thenk'u（t，x，A，V）k+k'σ（t，x，A，V）kop≤ k（I）- A.∧（τm））-1顶部ku（t，x）k+k[I- A.]˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤∞Xk=0千[安∧（τm）]kkopku（t，x）k+k˙L（t）~ 1k+kA˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1 +∞Xk=1（1- δ） k级-1.ku（t，x）k+k˙L（t）~ 1k+kAkopk˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1 +δku（t，x）k+2k[˙L（t）~ 1k+kσ（t，x）kop≤1+Δδsups∈[τm，τm+1]ku（s，x）k+2k˙L（x）~ 1k+kσ（s，x）kop≤ θ（1+kxk）第二条线遵循三角形不等式和算子范数定义。第三条线是命题2.2和进一步使用三角形不等式的结果。第四条线来自命题3.6，并注意到，根据假设，∧=0。上限θ≥ 0可以通过假设3.3确定，因为所有项都是连续的，并且在一个紧凑的时间间隔上进行评估（因为τm+1≤ T定义）。此外，我们希望批准：T×Rn+1×A×Rn+1→ Rn+1和σ：T×Rn+1×A×Rn+1→ R（n+1）×（n+1）是（x，A，V）中的联立李普希兹。第一（x、A、V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ u（t，x）- [我- A.]˙L（t）~ 1和（x，A，V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ σ（t，x）是线性（或常数）形式的Lipschitz连续，Lips chitz常数可以独立于时间（通过连续性和紧凑的时域）以及u和σ的定义进行计算。还需要说明（x，A，V）∈ Rn+1×A×Rn+17→ （一）- A.∧（τm））-1是Lipschitz连续的。

让A、B∈ A、 然后用与上述相同的参数，在矩阵逆的无rm的界上，k（I- A.∧（τm））-1.- （一）- B∧（τm））-1kop=k（I- A.∧（τm））-1[（I- B∧（τm））- （一）- A.∧（τm））]（I）- B∧（τm））-1kop=k（I- A.∧（τm））-1[答- B]∧（τm）（I）- B∧（τm））-1顶部≤ k（I）- A.∧（τm））-1千克（I- B∧（τm））-1kopk∧（τm）kopk[A- B]kop公司≤1 + δδk∧（τm）kopkA- Bkop公司∞≤ n1 + δδk∧（τm）kopkA- Bkop。因此，‘u’和‘σ’在【τm，τm+1】上是适当的局部Lipschitz连续的。现在，我们希望考虑相对风险敞口矩阵的不同形式（8）。首先，如果∧ii（τm）=0（特别是，根据社会节点的假设∧（τm）=0），那么aij（t）=dLij（t）Pk∈NdLik（t）{i6=0}+n{i=0，j6=0}是任何形式j的唯一解决方案∈ Nover all timest公司∈ （τm，τm+1）。特别是，这与现金账户V的演变无关，因此我们只需考虑现金账户V与相关风险之间的联合微分方程，其中银行i在τ和τm+1之间处于困境，即∧ii（τm）=1。考虑银行i∈ N，其中∧ii（τm）=1。因此，对于所有t，通过构造Vi（t）<0∈（τm，τm+1）。如果Vi（τm+1）=0，那么从命题3.6可以看出，唯一解aij（τm+1）=dLij（τm+1）Pk∈NdLik（τm+1）必须保持不变，否则我们可以对t扩展Vi（t）<0∈（τm，τm+1）。间隔（τm，τm+1）上所有相对暴露的差异形式由daij（t）=dLij（t）提供-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-.

按施工（aij，Vi）∈ [0 , 1] × -R++7→˙Lij（t）-aijPk公司∈N˙Lik（t）-Vi为局部Lipschitz，满足局部线性增长条件（如上所述，利用参数的连续性和紧凑的时域，常数与时间无关）。结合我们对外部现金流x、清算现金ac计数V（7）和相对风险A（8）的联合差分系统的结果，我们发现该系统在区间（τm，τm+1）上满足联合局部线性增长和局部Lipschitz特性。因此，存在一些∈ L∞T（R++）（使得τm+是一个停止时间），其（x，V，a）的强解：【τm，τm+】→ Rn+1×Rn+1×A存在且唯一。使用与局部属性相同的逻辑，我们可以按顺序继续我们唯一的强解。这可以一直持续到达到停止时间τm+1（沿（x，V，A）路径作为停止时间），或该过程达到某个最大时间T*< τm+1对于在时间间隔上存在唯一强解的情况[τm，T*). 首先，由于x（t）可以与清算现金账户和相对敞口分开计算，我们可以立即确定x（t*) = limtT*x（t）存在。此外，我们注意到，几乎可以肯定的是，任何解V（t）都必须存在于（几乎可以肯定的）紧空间hv（τm）中-I+1+ΔδZtτmdx（s）-+ （L（t）- L（τm））~,V（τm）+x（t）- x（τm）+（L（t）- L（τm））~1.- （L（t）- L（τm））~ i Lt（Rn+1），其中={1}（n+1）×（n+1）。下限确定为基于lontief逆的边界；上限来自（15）的连续时间版本，即V（t）=V（0）+x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1- A（t）V（t）-.此外，根据定义，aij（t）几乎肯定存在于紧凑邻域[0，1]中。因此（V（T*), A（T*)) = limtT*（V（t），A（t））通过距离空间的解的连续性和压缩性而存在。

因此，我们可以从时间T继续微分方程*带值（x（T*), V（T*), A（T*)) 这与T*是最长时间。值得注意的是，ifVi（T*) = 0对于某些气缸组i，则必须检查τm+1=T*更新压缩组∧集。因此，通过归纳，对于任何指数m，域[0，τm]上存在唯一的stro ng解（V，a）到（7）和（8∈ N使用[28，定理5.2.1]。尤其是，这可以保持τ*= 卸荷点法∈Nτm.如果τ*≥ 那么证明就完成了。Ifτ*< T，然后通过与上述相同的参数，我们可以找到（V（τ*), A（τ*)) 因为我们可以将现金账户和相对敞口都绑定到一个几乎肯定紧凑的邻域（以及Lτ的子集*（Rn+1））。因此，与之前一样，我们可以在时间τ再次开始该过程*, 这与τ的终端性质相矛盾*. 证明到此结束。B从离散时间清算衍生出违约间时间连续时间清算B。1违约间时间离散时间清算现在考虑一组离散的清算时间T，例如，对于某些（有限）终端时间T<∞ 或T=N。此类设置如【5】所示。与前面一样，我们将使用[9]中的符号，这样过程Z:T→ Rn在时间t时具有Z（t）值∈ T和历史Zt：=（Z（s））ts=0。在此设置中，我们将考虑外部（传入）现金流x:T→ Rn+1+和名义责任L:T→ R（n+1）×（n+1）+是清算时间的函数，即作为不同到期日的资产和负债。外部现金流入和名义负债可明确取决于以前的清算结果（即x（t，Vt-1） 和L（t，Vt-1） ）在不影响我们呈现的存在性和唯一性结果的情况下，但为了简单起见，我们将重点关注外部资产和名义负债与企业健康和财富无关的情况。

自始至终，我们都在考虑贴现现金流和负债，以简化注释。与静态的Eisenberg-Noe框架相比，这里我们需要考虑以前时代的结果。特别是r，如果公司i在t时拥有正权益- 1（即Vi（t- 1） >0）则这些额外资产在时间t可供i公司使用，以履行其义务。同样，如果公司i在时间t为负cas h账户- 1（即Vi（t- 1） <0）则企业尚未支付的债务将及时结转，并在下一期到期。这样，如果一家公司当时无法履行其义务，则可以认为该公司当时处于困境。在这项工作的主体中，违约被连续处理。请参见图3b，了解在时间0拥有正向现金账户并向前滚动到时间1的公司的风格化（快照）资产负债表示例。图3 a显示了本例中仅包含这两个时间段的完整（实际）资产负债表；我们注意到，如图所示的完整资产负债表考虑的是已实现的付款，而不是债务的账面价值。假设B.1。在相关时间之前，所有公司都是溶剂和液体。也就是说，Vi(-1) ≥ 所有公司i均为0∈ N、 我们现在可以在时间t构建总负债和相对负债∈ T为'pi（T，Vt-1） ：=Xj∈NLij（t）+Vi（t- 1)-πij（t，Vt-1) :=Lij（t）+πij（t-1，Vt-2） Vi（t-1)-？pi（t，Vt-1） 如果'pi（t，Vt-1） >0nif？pi（t，Vt-1） =0，j 6=i0如果'pi（t，Vt-1） =0，j=ii、 j∈ N、 这样，再加上随着时间的推移正权益的积累，清算现金账户必须满足时间t现金账户中的以下定点问题：V（t）=V（t- 1） ++x（t）+∏（t，Vt-1)“”p（t，Vt-1) - V（t）-+- “”p（t，Vt-1).

（10） 资产负债表资产负债表现金流量@t=0xi（0）现金流量@t=1xi（1）银行间@t=0Pnj=1πji（0）pj（0）银行间@t=1Pnj=1πji（1）pj（1）现金流量@t=0Pnj=1Lij（0）现金流量@t=1Pnj=1Lij（1）现金账户vi（1）（a）具有两个时间段的公司i的风格化实际资产负债表。资产负债表@t=0资产负债表现金流量xi（0）银行间pnj=1πji（0）pj（0）现金流量pnj=1Lij（0）现金账户vi（0）资产负债表@t=1资产负债表现金流量xi（1）结转vi（0）+银行间pnj=1πji（1）pj（1）现金流量pnj=1Lij（1）结转vi（0）-= 0Cash AccountVi（1）（b）在时间0和1时，对公司i的实际资产负债表进行了风格化的“快照”。图3：完整资产负债表与B.1节中使用的到期日快照的比较。也就是说，所有公司都有一个清算现金账户，该账户是其之前正权益、新的外来现金流和所有其他公司支付的款项的总和，该账户包含公司的总债务（包括之前的未付债务）。通过这种方式，我们可以及时构建企业的现金账户。这可以看作（3）的离散时间扩展。我们现在希望考虑用函数相对曝光矩阵（即aij（t，Vt））重新计算（10）：=πij（t，Vt-1） 如果'pi（t，Vt-1) ≥ 六（t）-Lij（t）+πij（t-1，Vt-2） Vi（t-1)-六（t）-如果'pi（t，Vt-1） <六（t）-i、 j∈ N、 （11）这里我们介绍函数矩阵A:T×Rn+1→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对暴露矩阵。也就是说，aij（t，Vt）Vi（t）-提供t时i公司的损失对j公司的现金账户产生的（负面）影响∈ T、 这与∏相对负债形成对比，因为它内在地强加了有限风险的概念。

在这项工作中，这两个概念通常是一致的，但为了数学上的简单性，我们引入了这个相对暴露矩阵。对于我们寻求的等效性，我们定义了相对风险，以便L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-= ∏（t，Vt-1)[(R)p（t，Vt-1) - V（t）-]+对于任何V（t）∈ Rn+1。该公式是这样的，如果从右侧移除积极部分，则相对敞口A将精确定义为施工的相对负债∏。特别是，我们将按元素和点定义相对敞口，以涵盖（1-1）中的有限敞口。如果'pi（t，Vt-1） >0那么我们可以进一步简化为aij（t，Vt）=Lij（t）+aij（t-1，Vt-1） Vi（t-1)-最大{pi（t，Vt-1） ，Vi（t）-}.使用上述符号和术语，我们可以将（10）改写为现金流量x和相对风险A asV（t）=V（t- 1） ++x（t）+∏（t，Vt-1)[(R)p（t，Vt-1) - V（t）-]+- “”p（t，Vt-1） =V（t- 1） ++x（t）+L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-- L（t）~ 1- V（t- 1)-= V（t- 1） +x（t）+L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-- A（t，Vt）V（t）-- L（t）~1。（12） 通过这个设置，我们现在希望将[12]的存在性和唯一性结果扩展到Discrete time。定理B.2。Let（x，L）：T→ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+定义一个动态的金融网络，使每家银行在任何时候都对社会节点负有责任∈ T、 即所有银行的Li0（T）>0 i∈ Nand乘以t∈ T、 在假设B.1下，有一种独特的现金账户清算解决方案v:T→ Rn+1至（12）。证据我们将归纳地证明这个结果。首先考虑时间t=0。回想假设B.1，V(-1) ≥ 0.时间0时的现金账户遵循固定点方程V（0）=Φ（0，V（0））：=V(-1） +x（0）+L（0）~1.- A（0，V）V（0）-- L（0）~1。注意，通过构造，A（0，V）V（0）-≤ L（0）~1.

因此，任何清算解决方案都必须在紧凑范围内[V(-1） +x（0）-L（0）~ 1，V(-1） +x（0）+L（0）~1.-L（0）~ 1] Rn+1。从定义可以清楚地看出Φ（0，·）是一个单调算子，因此存在一个更大的ast清除解V↑(0) ≥ 五、↓（0）根据Tarski的定点定理【35，定理11.E】，两者都必须属于该领域。此外，aij（0，V）=LijPk∈NLik（对于i∈ N和J∈ N） 对于自V之后此域中的任何现金帐户V（0）(-1） +x（0）- L（0）~ 1≥ -L（0）~ 1=-(R)p（0，V-1). 我们将证明独特性，正如[12]中所做的那样，另外指出我们可以假设社会节点将始终具有正的公平性（即V↓(0) ≥ 0). 首先，我们将表明，无论采用哪种清算解决方案，即V↑i（0）+=V↓i（0）+对于每个公司i∈ N、 定义V↑(0) ≥ 五、↓（0）和使用PJ∈Naij（0）=每一家公司1∈ Nwe r e c概述∈内华达州↑i（0）+=Xi∈NhV公司↑i（0）+V↑i（0）-i=Xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈纳吉（0，V↑)五、↑j（0）--Xj公司∈NLij（0）+V↑i（0）-=xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈NLij（0）-Xj公司∈内华达州↑j（0）-xi∈纳吉（0，V↑) +xi∈内华达州↑i（0）-=xi∈N六(-1） +xi（0）+Xj∈NLji（0）-Xj公司∈NLij（0）=xi∈内华达州↓i（0）+。因此，必须是V↑i（0）+=V↓i（0）+所有公司i∈ N、 既然我们假设社会节点总是有正的公平，那么V↑（0）=V↓(0). 现在我们假设每个节点∈ N应归功于社会节点（如有）∈ N等于0≥ 五、↑i（0）>V↓i（0）那么一定是V↑（0）>V↓（0），这是一种收缩。继续归纳论证，假设清算现金账户的历史-1截至时间t- 1是固定的和已知的。

时间t的清算现金账户遵循执行点方程nV（t）=Φ（t，V（t））：=V（t-1） +x（t）+L（t）~1.-A（t，Vt）V（t）-+A（t-1，Vt-1)V（t-1)--L（t）~1。注意，通过构造，A（t，Vt）V（t）-≤ L（t）~1+A（t- 1，Vt-1)V（t- 1)-. 因此，任何清除溶液必须在紧致范围内[V（t- 1） +x（t）- L（t）~1，V（t）- 1） +x（t）+L（t）~1+A（t-1，Vt-1)V（t-1)--L（t）~ 1] Rn+1。此外，aij（t，Vt）=Lij+aij（t-1，Vt-1） Vi（t-1)-主键∈NLik+Vi（t-1)-（对于i∈ N和j∈ N） 对于自V（t）以来该域中的任何现金帐户V（t）- 1）+x（t）- L（t）~ 1≥-V（t- 1)-- L（t）~ 1=-“”p（t，Vt-1). 因此，我们可以应用与时间0情况相同的逻辑来恢复时间t时清算现金账户V（t）的存在性和唯一性。备注B.3。假设所有公司在任何时候都对社会节点0负有义务t∈ T保证金融系统始终是一个“正规网络”（见[12，定义5]）。B、 2离散时间到连续时间在前一节关于清算现金账户的离散时间模型中，我们隐含地假设t=1。为了构建连续时间清算模型，我们将首先用显式t>0项。事实上，这与之前的施工是直接相关的，对现金流期限进行了微小的修改。在此，我们构建时间t开始的外部现金流x（t，t） ：=Rtt-tdx和t时的名义负债由L（t，t） ：=Rtt-tdL（s），其中第3节讨论了dx和dL（此外，对于t<0的任何时间，weset dx（t）=0，dL（t）=0）。

符号的选择x和我要明确建筑中固有的“变化”。利用这些参数，我们可以构造t-离散时间清洁环过程V（t，t） andexposure matrix A（t，t、 Vt公司(t） ）作者：V（t，t） =V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t型(t） （）V（t- t，t）-- L（t，t） ~（13）aij（t，t、 Vt公司(t） （）=Lij（t，t） +aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）Vi（t- t，t）-最大{Pk∈NLik（t，t） +六（t- t，t）-, Vi（t，t）-}{i6=0}+n{i=0，j6=0}i、 j∈ N、 （14）这里我们假设V（t）=V(-1) ≥ 在假设B.1中，每次t<0时为0。该构造可以在连续时间t中计算∈ T，滑动间隔大小离散时间t的tor∈ {0, t、 。。。，T}。在假设3.3下，该系统的存在性和唯一性如定理B.2所示。推论B.4。Let（dx，dL）：T→ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。在假设B.1下，存在清算现金账户的唯一解决方案V:T×R++→ Rn+1至（13）。此外，清算现金账户在时间和步长上是连续的。证据允许从理论m B.2中获得清算解决方案的存在性和唯一性。为了证明连续性，我们将使用归纳论点。为此，我们将考虑缩减域v:T×【，∞) → Rn+1对于某些>0。也就是说，我们限制步长t型≥ . 正如我们将证明连续性参数对于任何>0都成立一样，那么所需的结果也必须成立。在继续之前，考虑（13）递归公式的扩展版本，即V（t，t） =V(-1） +Ztdx（s）+ZtdL（s）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）--ZtdL（s）~ 1（15）适用于所有时间t∈ T、 修正最小步长>0。

请注意，相对曝光量为sa tisfyaij（t，t、 Vt公司(t） ）：=RtdLij（s）Pk∈NRtdLik（s）适用于任何时间t∈ [0，）假设V(-1 ) ≥因此我们可以得出V:[0，）×[，∞) → Rn+1通过应用[17，命题A.2]是连续的。现在，通过归纳，假设V：[0，s）×[，∞) → Rn+1对于某些s>0是连续的。同样，根据[17，命题A.2]，我们可以立即得出结论V:[0，s+）∩ T×【，∞) → Rn+1是连续的。由于我们总是能够将continuityresult在时间上扩展>0，因此结果得到了验证。现在我们要考虑这个离散时间系统的极限行为t趋于0。为此，首先，我们将考虑银行i toj的相对风险敞口AIJ的公式。根据推论B.4和假设3.3，我们知道，对于任何时间t∈ T和银行i∈ N必须遵循该PK∈NLik（t，t） +六（t-t，t）-≥ Vi（t，t）-对于由于现金账户在时间和步长上的联合连续性，t>0足够小。因此，在极限情况下t0，我们发现我们可以考虑相对负债，而不是相对风险，即t小enoughaij（t，t、 Vt公司(t） （）=Lij（t，t） +aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）Vi（t- t，t）-主键∈NLik（t，t） +六（t- t，t）-{i6=0}+n{i=0，j6=0}i、 j∈ N、 （16）重新排列这些术语，我们可以推断，对于任何一家公司∈ N，[aij（t，t、 Vt公司(t） （）- aij（t- t，t、 Vt公司-t型(t） ）]六（t- t，t）-= Lij（t，t）- aij（t，t、 Vt公司(t） ）Xk∈NLik（t，t） 。（17） 再加上社会节点总是有正现金账户的假设，我们因此能够将（13）的限制行为视为步骤t趋于0。

为此，请考虑v（t，t） =V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t）V（t- t，t）-- L（t，t） ~=V（t- t，t） +x（t，t） +L（t，t）~1.- L（t，t）~- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t，t）-+ A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t- t，t）-- A（t，t、 Vt公司(t） （）V（t- t，t）-+ A（t- t，t、 Vt公司-t）V（t- t，t）-= V（t- t，t） +x（t，t）- A（t，t、 Vt公司(t） （）[V（t，t）-- V（t- t，t）-]- [我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t） 约1人。考虑困境企业矩阵∧（V）∈ {0，1}（n+1）×（n+1）为遇险银行的对角矩阵，即∧ij（V）=如果i=j 6=0且Vi<00，则为1，否则为i、 j∈ N、 我们可以设置∧（V）=0，而不会失去一般性，因为根据假设，外部节点0对系统没有义务。因此，与（16）一样，通过清算cas HACCP和t足够小，我们可以得出结论，除特定事件时间外，它遵循∧（V（t，t） ）=λ（V（t- t，t） ）。

因此，有了这个附加符号，我们可以重新构建清算现金账户方程（13）asV（t，t） =V（t- t，t） +A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）[V（t，t）- V（t- t，t） ]+x（t，t）- [我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t） 约1人。对于不同形式的构造，我们可以考虑等效公式v（t，t）- V（t- t，t） =[我- A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）]-1.x（t，t）-[我- A（t，t、 Vt公司(t） （）]L（t，t）~.（18） 请注意，我- A（t，t、 Vt公司(t） （）∧（V（t，t） ）根据标准投入产出结果是可逆的，并在命题2.2中得到证明。利用（18）和（16），并将限值作为因此，我们能够构造（7）和（8）的联合微分系统，即dV（t）=[i- A（t）∧（V（t））]-1.dx（t）- [我- A（t）]dL（t）~daij（t）=dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Pk∈NdLik（t）如果i∈ N，Vi（t）≥ 0dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-如果我∈ 如果i=0，则N，Vi（t）<00i、 j∈ N初始条件V（0）≥ 0给定且aij（0）=dLij（0）Pk∈NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}对于所有形式i，j∈ N、 如（18）所示，I- A（t）正如命题2.2所证明的那样，∧（V（t））通过标准输入输出结果是可逆的。（8）中的第一种情况是通过注意aij（t）=dLij（t）Pk来构建的∈NdLik（t）如果Vi（t）≥ 0和i∈ N和da0j（t）=0，对于一家公司j∈ 对于所有时间t；（8）中的第二种情况接自（17），并将限值取为t0。请注意，这种差异系统是不连续的，当公司跨越0现金边界时，即∧（V（t））6=∧（V（t））时，会发生事件-)). 因此，我们将考虑事件间隔上的差异系统，然后更新这些间隔之间的差异系统。这在定理3.7的证明中更加明确。与离散时间系统（14）一样，如果一家公司有现金盈余，则相对风险敞口低于传入的比例债务。

当一家公司陷入困境时，相对风险遵循一条路径，该路径提供了新负债和先前未付负债之间的平均相对负债。C静态Eisenberg-Noe模型作为一个微分系统。在此，我们将考虑相对负债随时间保持不变的情况。因此，我们考虑dLij（s）/Pk∈NdLik（s）=dLij（t）/Pk∈NdLik（t）适用于所有时间s，t∈ T和公司i、j∈ Nso长asPk∈NdLik，Pk∈NdLik（t）>0。根据假设3.3，所有银行的总边际负债i∈ N和始终t∈ T比0大得多。该假设的关键含义是，（8）中的相对暴露矩阵可以明确地发现等于相对负债aij（t）=πij：=dLij（0）Pk∈NdLik（0）如果i∈ Nn{j∈N}如果i=0，对于所有时间t和组i，j∈ N、 为了进一步简化该系统的动力学，我们将设置≡ 1对于每一家银行i。也就是说，我们只考虑第3节中介绍的网络动态，无需考虑银行违约。该设置（独立）复制了[32]中关于静态Eisenberg-Noe系统不同配方的结果。此外，通过扩展和求解微分系统（7），我们推断连续时间清算现金账户必须满足定点问题V（t）=V（0）+x（t）+L（t）~1.- L（t）~ 1- ΠV（t）-（19） 始终t∈ 假设xi（0）=Lij（0）=0表示i∈ N和j∈ N、 因此，如果x（t）≥~0在某个时间t，可以得出V（t）是艾森伯格Noe系统的静态清算账户，其聚合数据具有由L（t）定义的名义负债矩阵和由x（t）给出的（传入）外部现金流。

重要的是，如果相对负债随时间保持不变，则采用累计数据并考虑静态Eisenberg-Noe框架将产生与本节中介绍的动态Eisenberg-Noe框架相同的最终清算会计科目。然而，尽管终端时间的不良银行集合与静态设置中的违约银行集合相同，但不良银行的顺序无需严格遵循[12]的实际违约算法中给出的顺序。定义C.1。如果在实际违约算法的第k次迭代中确定银行违约，则在静态Eisenberg-Noe设置中银行被称为第k次违约（参见附录D中的[12，第3.1节”）。我们注意到，一级违约正是那些现金账户为负的公司，即使它对其他公司没有负敞口（即所有其他公司完全履行其义务）。提案C.2。Let（x，’L）∈ Rn+1+×R（n+1）×（n+1）+表示静态传入外部现金流和名义负债。确定一个动态系统在时间段T=[0，T]内的状态，使v（0）∈ [0，x]，dL（t）=t'Ldt，dx（t）=t（x- V（0））dt。终端时间V（T）的清算现金账户等于静态设置中给出的账户。此外，在动态环境中，任何公司都无法从困境中恢复过来。最后，只有在t（k）之后，第一个第k个订单的违约才会发生问题- 1） 静态默认算法中的第四阶默认值；特别是，第一家陷入困境的公司将是静态效果默认算法中的一阶默认值。证据清算现金账户V（T）等于静态艾森伯格-诺伊清算现金账户（如提案2.1所定义）的事实，可从（19）中看出（参见静态系统的（3））。

此外，由于dx（t）在时间上是恒定的，并且公司在有偿付能力的状态下重新开始，随着时间的推移，未付债务可能会累积为银行资产负债表上的一个负面因素，但公司无法摆脱困境。最后，根据定义，只有当（k- 1） 第个订单默认值（并且不仅仅由（k- 2） 顺序默认值）。因此，作为合同的一部分，如果第k个订单违约在任何（k）之前提交给occ ur- 1） 第个订单违约，则该公司必须违约，而不考虑（k- 1） 第个订单默认值，即该公司必须是a（k- 1） 第个订单默认值。按照同样的逻辑，第一家陷入困境的公司必须是一级违约。银行进入困境的顺序与fictiousdefault算法引入的顺序不同，这并不奇怪。考虑一个具有两个子图的金融系统，这两个子图仅通过其对社会节点的义务进行连接。通过构造，一个子图中的企业违约或破产不会对另一个子图中的企业产生影响。因此，我们可以构建一个网络，使一个子图中的所有故障（包括定义C.1中定义的高阶故障）发生在另一个子图中的任何一阶故障之前。值得注意的是，命题C.2的证明指出，如果聚合数据（直到终端时间）保持不变，则在该设置中，终端时间的清算现金账户将是路径独立的。我们将通过一个示例来说明这一点，该示例演示了在一个小型4银行（加上社交节点）系统中的设置。特别是，我们将考虑将现金流x定义为布朗桥，以便在终端时间提供适当的聚合数据。示例C.3。

考虑一个由四家银行组成的金融系统，每家银行对外部社会节点负有额外义务。考虑时间间隔T=[0，1]，聚合数据使得初始现金账户计数由V（0）=（100，1，3，2，5）给出, 现金流dx为x（0）=x（1）=0，其中名义负债矩阵dL=\'Ldt由\'L定义=0 0 0 0 03 0 7 1 13 3 0 3 33 1 1 0 13 1 2 1 0.静态Eisenberg Noe清算现金账户的名义负债和外部资产V（0）为V（1）≈ (109.38, -6.81, -3.03, -0.32, 1.62). 此外，根据静态违约算法，我们可以确定银行1为一级违约，银行2为二级违约，银行3为三级违约。现在考虑三种动态设置，它们仅通过选择现金流dx来区分：（i）考虑命题C.2中引入的确定性设置，即dx（t）=~ 0表示所有时间t∈ T、 （ii）考虑低挥发性的布朗桥，即dx（T）=-x（t）1-独立布朗运动向量r的tdt+dW（t）。（iii）考虑具有高挥发性的布朗桥，即dx（t）=-x（t）1-独立布朗运动向量的tdt+5dW（t）。为每个动态设置提供了一个单独的采样路径。在每个图中，我们将社会节点的公平性减少了100，以便它以0的初始现金账户开始，但更重要的是，它可以很容易地显示在与其他4个机构相同的图中。首先，我们指出，如每个地块中终端时间的圆圈所示，连续时间设置的终端现金账户与静态模型中的清算现金账户相匹配。

We0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（a）示例C.3：在确定性和恒定现金流下随时间清算现金账户。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（b）示例C.3：在低波动布朗桥流量下随时间清算现金账户。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-10-8-6-4-2社会：V（t）-100银行1：V（t）银行2：V（t）银行3：V（t）银行4：V（t）（c）示例c.3：在高波动布朗桥流量下随时间清算现金账户。图4：示例C.3：在确定性现金流和随机性现金流的情况下清算现金账户的比较，这些现金流的总和为相同的终值。进一步注意，在确定性设置（图4a）和低波动性设置（图4b）中，不良资产的顺序保持不变。然而，在高波动性环境下（图4c），由实际违约算法给出的不良顺序不再成立。D静态虚拟默认算法静态Eisenber g-Noe系统可通过所谓的虚拟默认算法进行计算。考虑第2节中介绍的设置。为了完整起见，给出了该结果。算法D.1。在第2节的设置下，可以通过以下算法找到清算现金账户。初始化k=0，V=x+L~1.- L~1和D=. 重复直到收敛：（i）增量k=k+1。（ii）用Dk表示破产银行的集合：={i∈ N | Vk-1i<0}。（iii）如果Dk=Dk-1然后终止并设置V=Vk-1.（iv）确定矩阵∧k∈ {0，1}n×nso∧kij=1如果i=j∈ Dk0其他。（v） 定义Vk=（I- Π∧k）-1（x+L~1.- L~1）。如果我∈ Dk\\Dk-1.