金融网络中的动态清算与传染

2022-6-2 21:17:26

金融网络中的动态清算和传染Stathagata Banerjee*Alex Bernstein+Zachary Feinstein2022年3月22日摘要本文介绍了金融传染的Eisenberg-Noe模型的一般扩展，以考虑银行间负债的时间动态，包括违约风险的动态检查。该框架将cas h账户和长期资本账户分开，以更准确地模拟金融机构的健康状况。在这样做的过程中，这样一个系统允许我们区分破产或流动性不足导致的违约，并分析对网络其他部分造成的影响。关键词：系统性风险；金融传染；金融网络；动态网络；从Eisenb erg&Noe关于金融支付网络的开创性工作开始，人们广泛研究了金融网络和银行倒闭的传染。2007-2009年的金融危机和信贷紧缩表明，系统性危机可能对金融部门和整个经济产生严重影响。由于此类级联事件的成本巨大，因此必须对此类事件进行建模。最近有一些关于金融系统风险和金融传染建模的重要研究。系统性风险的一大类模型是基于[12]中的网络模型的模型。值得注意的是，这些网络模型通常只在静态环境中处理问题。*圣路易斯华盛顿大学电气与系统工程系，美国密苏里州圣路易斯市，邮编63130+加利福尼亚大学圣巴巴拉分校，统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉市，邮编93106美国新泽西州霍博肯市史蒂文斯理工学院商学院，邮编：07030，zfeinste@stevens.eduIn在这项工作中，我们将重点关注一个时间动态的银行间网络模型。

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2022-6-2 21:17:29

这样做，除了先前的静态系统外，还引入了两个主要的并发症。首先，需要介绍和研究defaulttimes之间的系统动力学。这是在[32]的特殊时间同质情况下考虑的；在这项工作中，我们考虑了异构网络结构的超时情况。其次，时间动力学的引入最终将企业的现金账户和资本账户解耦，这在静态时间设置中完全一致。重要的是，流动性和资本之间的这种区别导致了违约概念的不同，即非流动性和非流动性，它们不需要重合。本文的组织结构如下。在本导言的其余部分，我们提供了详细的文献综述，并强调了这项工作的主要贡献和收获。在第2节中，我们将回顾静态Eisenberg-Noe框架。特别是在本节中，我们认为清算是根据企业的权益和损失进行的，如[33，4]中所述，而不是根据[12]中最初研究的付款。在第3节中，我们为故障时间之间的Eisenberg-Noe模型提出了一个连续时间公式。我们考虑It流程模拟的现金流下清算解决方案的存在性和唯一性。在第4节中，我们提出了一个扩展的艾森伯格-诺框架模型，其中包括早期违约的影响。这些违约可通过银行间网络中的破产或流动性不足事件触发，以考虑由于银行间网络中的破产或流动性不足而导致的严重违约。利用该模型，我们研究了现金流动力学对违约类型和时间的影响。数值案例研究得出第5节的结论。附录A提供了主要技术结果的证明。

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2022-6-2 21:17:32

此外，附录B简要介绍了离散时间公式及其在推导连续时间公式中的使用。附录C提供了静态Eisenberg Noe系统的公式，作为特定动态网络结构下违约间时间动态模型（第3节）的解决方案；这独立地复制了[32]的结果。1.1文献综述【12】首先研究了银行间网络，以模拟金融系统中违约的蔓延。在Eisenberg-Noe框架中，金融企业必须通过转让资产来满足其负债。一家公司由于资产短缺而无法偿还其债务，可能会导致其他公司也拖欠其债务，从而导致金融系统出现连锁故障。Eisenberg-Noe框架已向多个方向扩展。[29]包括interba nk网络的破产成本，该成本已在许多子项目中扩展（例如，参见[13、24、34、6、33]）。在这项工作中，我们将重点关注在银行间网络方法中添加时间动态。事实上，【12】的结论提供了对未来延期的讨论，其中之一是包括多个清算日期。[5，21]对此进行了直接研究。此外，[26]考虑了一种类似的方法来建模具有多个到期日的金融网络。所有这些工作都只考虑在离散时间进行清算，例如，不允许因a FIR m资本冲击而在清算时间之间发生违约。[32]提出了一个连续时间清除模型，该模型准确地复制了静态Eisenberg-Noe框架，而不考虑e arlydefaults。[18、20、1、9]在[22]的网络模型中扩展了这一工作，提出了一种特殊情况，即大型银行限额可以表示为McKean-Vlasov方程。

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2022-6-2 21:17:35

【27】提出了动态金融传染的相关框架，并产生了严重的不良后果。正如我们将在下文，特别是在第4节中进一步阐述的那样，在这段时间内，动态银行间网络将区分由于流动性不足和破产而导致的违约类型。之前已经对流动性不足进行了研究，主要侧重于零售和流动性不足。我们请感兴趣的读者参阅，例如，[8、7、25、1、14、10]。在此，我们不同于那些认为破产可以从根本上区别于流动性不足的工作，而不是先前认为流动性不足会导致破产的假设；也就是说，我们允许企业为（i）溶剂和液体；（ii）溶剂和非流动性；（iii）破产和流动；或（iv）资不抵债和流动性不足，据作者所知，这在系统风险文献中是新颖的。1.2主要贡献和创新在这项工作中，我们专注于银行间债务的连续时间Eisenberg-Noe系统。这导致了以下一些重要贡献：（i）我们构建了一个数学模型，该模型在连续时间动态环境中捕获了EisenbergNoe框架的clearing s系统。我们的动态系统允许随着时间的推移产生异构的义务，这编码了一个真实而复杂的高级结构，而静态模型或连续时间Eisenberg-Noe系统上的其他工作无法捕获该结构（例如，[32]）。此外，系统响应中的现实非线性内在地表现为本工作中引入的默认规则。具体而言，更严格的监管要求会像预期的那样导致违约增加，但金融系统的财富是非单调的，因为违约增加会被更高的支付回收率抵消。

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2022-6-2 21:17:38

这在许多案例研究中得到了证明。先前关于动态艾森伯格Noe模型的工作（例如，[20]）规定了固定的默认规则；在此，我们提出了在实践中可以联合应用的多个规则。（ii）在财务上，与静态网络模型相比，我们发现这一次的动态模型在每个银行的现金账户和（长期）资本账户之间产生了偏差。特别是，考虑到违约时间，这允许区分由于流动性不足（即由于流动性不足导致银行无法按时支付债务）和破产（例如，由于资本监管或股东选择重组以实现长期财富最大化）导致的违约原因。重要的是，违约类型的这种区别规定了不同的监管反应以防止继续；例如，流动性不足导致的违约可以通过最后贷款人来预防，而最后贷款人可能无法防止破产导致的违约。（iii）此外，由于上述流动性不足和破产导致的违约之间的区别，我们研究了第一次违约时间，以确定其是否是由于流动性不足或无偿债能力造成的。特别是，我们根据外部现金流的动态来描述这一首次违约时间，即现金流是超级还是次级参与者；我们将这种考虑扩展到杠杆需求，就作者而言，这在艾森伯格-诺伊框架内是新颖的。2 Eisenberg-Noe静态清理我们从一些简单的符号开始，这些符号将与本文的整个内容保持一致。Letx，y∈ 对于某个正整数n，则为x∧ y=（最小（x，y），最小（x，y），最小值（xn，yn））,x个-= -（十）∧ 0）和x+=(-x）-. 此外，为了便于记法，我们将表示[x，y]：=[x，y]×[x，y]×。

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2022-6-2 21:17:41

×【xn，yn】 Rnto是y的n维紧致区间- x个∈ Rn+。同样，我们将考虑x≤ y当且仅当y- x个∈ Rn+。在本文中，我们将考虑一个金融机构网络。我们将用N来表示网络中所有银行的集合：={1，2，…，N}。我们通常会考虑一个额外的节点0，它包含n家银行之外的整个金融系统；该节点0也将被称为社会或社会节点。包括社会节点在内的整套机构用N表示：=N∪ { 0}. 我们参考[17，24]进一步讨论社会节点后的含义和概念。在本文中，我们将对[12]中的模型进行扩展。在这项工作中，任何一家银行∈ N可能有义务Lij≥ 0致任何其他公司或社会j∈ N、我们将假设没有任何公司对自己有任何义务，即对于所有公司i，Lii=0∈ N，并且society节点完全没有责任，即对于所有公司j，L0j=0∈ N、因此，银行i的总负债∈ N由π表示：=Pj∈NLij公司≥ 0和相对负债πij：=Lij'piif'pi>0，否则任意；对于隐式，在'pi=0的情况下，我们将让πij=所有j∈ N \\{i}和πii=0以保留Pj的属性∈Nπij=1。在资产负债表的另一端，假设所有公司都从一定数量的外部资产开始xi≥ 所有公司i均为0∈ N、在按比例还款（即无付款优先权）假设下，产生的清算付款满足付款p中的固定点问题∈ [0，\'p]p=\'p∧x+πp. （1）也就是说，每家银行支付其所欠金额（(R)pi）和所拥有金额（xi+Pj）的最低金额∈Nπjipj）。所有公司现金账户的合成向量由v=x+π给出p- 第（2）页注意，付款可以作为现金账户的简单函数写入（p=\'p- 五、-),我们提供以下专业职位。

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2022-6-2 21:17:44

我们还参考了[33、4、2]中关于使用清算现金账户而不是清算付款的类似概念。我们参考附录D了解可用于计算这些清算现金账户计数的fictiousdefault算法。提案2.1。A向量p∈ [0，\'p]是艾森伯格Noe设置（1）中的清算付款，且仅当p=[\'p- 五、-]+对于某些V∈ Rn+1满足以下固定点问题v=x+π[(R)p- 五、-]+- p.（3）反之亦然，向量V∈ Rn+1是一个清算现金账户（即满足（3）），当且仅当（2）中定义了一些清算付款p∈ [0，p]如定点问题（1）所定义。证据我们将仅证明第一个等价，第二个等价如下。让p∈ [0，\'p]是清算支付向量。通过（2）定义现金账户向量V，那么很明显V-= \'\'p- p也按定义，即p=(R)p- 五、-≥ 因此，从m（2）可以立即恢复到现金账户向量V必须满足（3）。设p=[(R)p- 五、-]+对于某些现金账户向量V∈ Rn+1满意（3）。按结构我们发现p=[(R)p- 五、-]+= \'\'p-x+π[(R)p- 五、-]+- \'\'p-= \'\'p-x+πp- \'\'p-= \'\'p∧x+πp.我们注意到'p≥x+π[(R)p- 五、-]+- \'\'p-可以显示琐事。由于Proposition 2.1中提供的清算付款和清算现金账户的等价性，我们可以将艾森伯格Noe系统视为公平和损失的固定点，而不是付款点。在【12】中，提供了清算支付（以及清算ca sh账户）存在性和唯一性的结果。事实上，它可以表明，只要所有公司的Li0大于0，艾森伯格Noe框架中就存在一个独特的清算解决方案∈ N我们将在本文后面利用这一结果。

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2022-6-2 21:17:47

这是一个合理的假设（如[24]所述），因为对社会的义务包括对银行的存款。在继续我们的动态模型之前，我们希望考虑（3）与函数相对风险矩阵a的重新公式，即aij（V）：=πijif？pi≥ 五、-iLijV公司-iif？pi<V-我i、 j∈ N、（4）这里我们介绍函数矩阵A:Rn+1→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对曝光矩阵。也就是说，aij（V）V-我提供了我的损失对公司j\'scash账户的（负面）影响。这与∏相对负债形成对比，因为它内在地强加了有限风险的概念。在这项工作中，这两个概念通常是一致的，但从形式上来说，我们引入了这个相对曝光矩阵。对于等效性，我们定义了相对暴露，以便~1.- A（V）五、-= Π[(R)p- 五、-]+对于任何V∈ Rn+1。该公式是这样的，如果从右侧移除积极部分，则相对敞口A将精确定义为施工的相对负债∏。特别是，我们将从元素角度和点角度定义相对扩展，以涵盖（4）中的有限扩展。如果π>0，我们可以进一步简化为aij（V）=Lij/max{π，V-i} 。使用上述符号和术语，我们可以将（3）重写为（分段）线性系统：V=x+π[(R)p- 五、-]+- \'p=x+L~1.- A（V）五、-- L ~=[I- A（V）∧（V）]-1（x- [我- A（V）]其中∧（V）：=diag（1{V<0}）是违约银行的对角矩阵。矩阵【I】-A（V）∧（V）]-1通常被称为网络乘数（参见，例如，[7，16]），它表示损失在整个金融网络中的传播。以下命题证明了网络乘数的可逆性，前提是每家银行都对社会负有一定的义务。提案2.2。

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2022-6-2 21:17:50

对于任何相对暴露矩阵A∈ A：={A∈ [0，1]（n+1）×（n+1）| A ~ 1=~ 1，aii=0，ai0>0我∈ N} 和任何遇险矩阵∧∈ {0，1}（n+1）×（n+1）使得∧=0且∧ij=0，对于i 6=j，矩阵i- A.∧与Leontief形式可逆，即（i- A.Λ)-1=P∞k=0（A∧）k.证明。通过检查，对于任何∈ A、（一）- A.∧）（I+A（一）- ∧A)-1∧）=I，即逆形式由I+A提供（一）- ∧A)-1Λ. 我们参考【16，定理2.6】，以获得以下详细证明（I- ∧A)-1是非正弦的，由Leo ntief逆函数提供。因此，byconstruction（I- A.Λ)-1=（I+A（一）- ∧A)-1∧）=I+A∞Xk=0（λA)k∧=I+∞Xk=0A∧（A)k∧k=I+∞Xk=0（A∧）k+1=∞Xk=0（A∧k.3连续时间系统中的违约间时间清算现在考虑一组连续的清算时间T=[0，T]，对于某些（有限）终端时间T<∞.我们将使用[9]中的符号，这样过程Z:T→ Rn在时间t时具有z（t）的值∈ T和历史Zt:=（Z（s））s∈[0，t]。我们现在将构建[32]的连续时间设置的延长，因为我们考虑到负债随时间的变化，并且为了简单起见，在本节中，我们假设之前的违约时间发生在时间0，随后的违约时间不早于时间T；这可以调整为任何两个停止时间0≤ τ< τ≤ T而不改变本节的结果。随机现金流。3.1设置和动态系统为了构建连续时间模型，我们将首先考虑现金流和名义负债的网络参数。通常，我们会考虑外部（流入）现金流x:T→ Rn+1和名义负债L:T→ R（n+1）×（n+1）+是清算时间的函数，即作为不同到期日的资产和负债。

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2022-6-2 21:17:53

为简单起见，我们始终在考虑贴现现金流和负债。我们希望注意的是，总负债由L（t）~1给出，传入的银行间债务由L（t）给出~1、通过该公式，我们将考虑外部现金流边际变化的术语dx（t）。同样，我们将dL（t）视为名义负债矩阵随时间t的边际变化；我们注意到，假设dLij（t）≥ 所有i、j公司均为0∈ Nas在不支付任何款项的情况下，总负债应随时间累积。我们在本节中的主要结果（定理3.7）提供了当x（t）=Rtdx（s）是一个It^o过程且L（t）=RtdL（s）是确定性和连续的（例如，dL不包括任何Dirac delta函数）时（dx，dL）驱动的清算现金账户的存在性和唯一性。这种设置以及连续时间Eisenberg-Noe模型的结果可以扩展到现金流和负债是现金账户的额外功能的情况。为简单起见，我们将限制自己，使参数独立于当前现金账户。备注3。尽管外部现金流x通常被假定为非负，如前一节中的静态Eisenberg Noe fra mework所示，但在本工作的其余部分中，我们放宽了假设，除非另有明确提及，因为这在数学上不是必需的。备注3.2。虽然我们引入了持续到期的负债，但本节的公式可以导出为离散系统的极限（见附录B）。连续时间公式在下文第4节中很重要，因为资本（而非流动性）短缺，违约可能发生在特定付款日期的旁边。

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2022-6-2 21:17:57

在整个工作过程中，离散时间设置可以通过对“离散”负债进行两次差分B近似来近似，因此dL是DIRAC度量的连续和有限近似。假设3.3。外部现金流x由It^o随机微分方程dx（t）=u（t，x（t））dt+σ（t，x（t））dW（t）定义，对于（n+1）-布朗运动向量，图3的附录中提供了离散时间环境下风格化资产负债表的说明。一些过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈T、 P）。此外，漂移和扩散函数u：T×Rn+1→ Rn+1和σ：T×Rn+1→ R（n+1）×（n+1）是联合连续的，并且满足线性增长和Lipschitz连续条件，即存在常数C，D>0，这样在任何时候t∈ T和现金流x，x∈ Rn+1ku（t，x）k+kσ（t，x）kop≤ C（1+kxk）ku（t，x）- u（t，x）k+kσ（t，x）- σ（t，x）kop≤ Dkx公司- xk其中k·kis为1-范数，k·kopis为相应的算子范数。名义负债l:T→ R（n+1）×（n+1）+是决定论ic，可二次微分；对于符号，我们将定义L（t）=L（t）dt和dL（t）=¨L（t）dt。此外，对社会的相对负债以δ>0的水平为界，即inft∈TdLi0（t）峰值∈NdLik（t）≥ 所有银行i的δ>0∈ N我们注意到，只要随机微分方程在T和u上有唯一的强解，σ满足局部线性增长条件且为局部Lipschitz，现金流的假设就可以放宽。附录中的示例C.3中应用了该松弛。与静态艾森伯格-诺伊系统一样，我们希望考虑现金账户V:T→ Rn+1但现在是时间的函数。在此动态设置中，我们可以将V（t）视为一个向量，表示t时金融系统中所有机构的现金账户。

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2022-6-2 21:18:01

这些ca账户由于流入和流出现金流的变化而增长和收缩。与静态Eisenberg-Noe框架相比，这里我们需要考虑以前的结果。特别是，如果公司i在时间t为负现金账户（即Vi（t）<0），那么我们将假设公司尚未支付的债务将及时结转，并在下一个时间点（t+dt）到期。通过这种方式，我们认为，如果一家公司无法满足其当时的利益，那么它在某个时候就处于困境。在第4节中，我们将处理银行违约的情况。这种困境和违约之间的区别允许我们考虑，例如。，银行必须偿还债务的宽限期。备注3.4。注意，在此设置中，我们考虑向前滚动的债务。回想一下，在本节中，我们只关注违约间时间动态。因此，此设置中的债务向前滚动仅适用于未违约的公司。在第4节中，我们将这一概念扩展到允许并确定银行违约。与第2节一样，我们将介绍函数矩阵A:T→ [0，1]（n+1）×（n+1）为相对曝光矩阵。也就是说，aij（t）Vi（t）-提供公司i\'slosses在t时对j公司现金账户的（负面）影响∈ T、为简单起见，我们假设所有在任何时候发生的债务都具有相同的优先级；也就是说，新债务和旧的未付债务被赋予相同的优先权，并按比例从传入资产中支付。有了这个概念，我们可以构建这个相对曝光矩阵，类似于（4）中提供的静态设置中的方法。

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2022-6-2 21:18:05

在这种动态环境下，银行i对银行j的债务在时间上为dLij（t）+aij（t-)Vi（t-)-其中aij（t-)Vi（t-)-是向前滚动的债务总额；银行i在时间t的总债务同样由PK承担∈NdLik（t）+Vi（t-)-对任何未偿还的先前债务进行说明。假设所有这样的对象都是连续的，我们恢复相对的daij（t）Vi（t）-= dLij（t）- aij（t）Xk∈每对气缸组i，j的NdLik（t）（6）∈ Nand任意时间t∈ T、在这个连续的时间公式中，与静态环境中考虑的相对性矩阵∏（T）的细微差别消失了。这是因为有限敞口概念是由现金账户Vi中的一个连续性参数自动编码的（因此pk∈NdLik（t）+Vi（t-) ≥ Vi（t））。通过这种设置，我们可以考虑现金账户V和相对敞口a的不同系统。简而言之，在时间t，现金账户V（t）根据其主要业务活动的价值变化而增长或收缩，即净实现现金流量的变化，由网络乘数调整[即- A（t）∧（V（t））]-1（如第2节所述），以捕捉损失在整个金融网络中的传播。通过这种方式，现金账户的变化与实际违约算法（见附录D）提供的静态艾森伯格无固定点问题类似。相关支出矩阵A（t）随着时间的推移而变化，以保证所有义务的适当同等优先权——如（6）所述，在t时的新义务和截至t时的所有未付义务。

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2022-6-2 21:18:08

从数学上讲，这是在微分系统中编码的：dV（t）=[I- A（t）∧（V（t））]-1.dx（t）- [我- A（t）]dL（t）~（7） daij（t）=dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Pk∈NdLik（t）如果i∈ N，Vi（t）≥ 0dLij（t）-aij（t）Pk∈NdLik（t）Vi（t）-如果我∈ 如果i=0，则N，Vi（t）<00i、 j∈ N（8），其中∧（V）∈ {0，1}（n+1）×（n+1）是处于困境的银行的对角矩阵，即∧ij（V）=如果i=j 6=0且Vi<00，则为1，否则为i、 j∈ 初始条件为V（0）的Nand≥ 0给定且aij（0）=dLij（0）Pk∈NdLik（0）{i6=0}+n{i=0，j6=0}对于所有形式i，j∈ N、回顾提案2.2 That I- A（t）根据标准输入输出结果∧（V（t））是可逆的。（7）中的差异形式可以被视为（5）在静态设置中的直接动态版本，因此现金账户每次都会清算。（8）中的第一种情况是通过注意aij（t）=dLij（t）Pk来构建的∈NdLik（t）如果Vi（t）≥ 0和i∈ N和da0j（t）=0表示任何形式的j∈ 对于所有时间t；（8）中的第二种情况直接源自（6）的重新表述。请注意，该微分系统是不连续的，当曲线穿过0卡什边界时，即∧（V（t））6=∧（V（t-)). 因此，我们将考虑事件间隔上的差异系统，然后更新这些间隔之间的差异系统。这在定理3.7的证明中更加明确。备注3。5、连续时间微分系统确实可以通过显式时间步长显式构造为离散时间设置的极限t（见附录B.1）。参见附录B.2，了解该指令。我们将通过在相对负债和风险敞口矩阵A中提供一些属性来完成对这一差异体系构建的讨论。值得注意的是，这些属性是相对负债中预期的属性。

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2022-6-2 21:18:11

也就是说，当一家公司从困境状态中恢复时，其相对风险敞口将恢复为其瞬时相对负债，相对风险敞口的下限为0（假设3.3中提供的δ对社会的下限），相对风险敞口矩阵始终是行随机的。附录A.1中提供了这一命题的证明。提案3.6。Let（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。Let（V，A）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）是初始条件为V（0）的微分系统（7）和（8）的任意解∈ Rn+1++。相对风险矩阵A（t）满足以下性质：（i）对于任何银行∈ N，如果Vi（t）0为tτ，则limtτaij（t）=dLij（τ）Pk∈NdLik（τ）；（ii）对于所有时间t∈ T和任何银行i∈ N，元素aij（t）≥ 所有银行j为0∈ Nand ai0（t）≥ δ; 和（iii）对于所有时间t∈ T和任何银行i∈ N、行sumsPk∈Naik（t）=1.3.2清除解的存在性和唯一性通过（7）和（8）的微分构造，我们试图证明清除解的存在性和唯一性。为便于注释，请定义相对曝光矩阵的空间a：=A.∈ [0，1]（n+1）×（n+1）| A ~ 1=~ 1，aii=0，ai0≥ δ 我∈ N，a0j=Nj∈ N.从命题3.6中，我们已经证明了如果（V，A）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）是连续时间Eisenberg-Noe系统的解，然后是A（t）∈ A适用于所有时间t∈ T、定理3.7。设T=[0，T]为有限时间段，设（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义满足假设3.3的动态财务网络。对于清算现金账户和相对风险敞口（V，a）有一个独特的strong解决方案，满足（7）和（8）ifV（0）∈ Rn+1++。虽然附录A.2中提供了完整的证明，但其结果来自用于证明跳跃扩散模型类似陈述的传统ar公式。备注3.8。

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可人4

2022-6-2 21:18:14

假设3.3中对现金流量dx的限制可以放宽，以明确规定现金账户和相对风险，即dx（t）=u（t，x（t），V（t），A（t））dt+σ（t，x（t），V（t），A（t））dW（t）。只要u，σ满足局部线性增长条件，局部Lipschitz条件，对于所有时间t，x（t）可以由Lt（Rn+1）的元素（即可平方积分的Ft可测量随机向量）上下限定。4具有早期违约的连续时间清算4.1模型公式迄今为止提出的动态框架仅考虑违约间时间系统动力学。在本节中，我们考虑违约事件并构建一个整体的动态EisenbergNoe系统。动态模型中的违约可能是由于流动性不足或资不抵债（参见第4.3节或，例如，[18，2 0]）。银行i的非流动性违约是由此处提供的定义引起的，并用于本工作的其余部分，是提案2.2中给出的子集，以强制履行假设3.3中所述的社会义务。手头现金不足Vi.银行i的破产违约是由资本账户Ki（下文（9）中数学描述）过低引起的。这可能导致资本监管导致资本水平为正，或激励股东宣布提前违约以重组以实现长期财富最大化而导致资本水平为非正。在[12、29、22]的静态环境中，流动性不足和资不抵债是相同的。备注4.1。

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2022-6-2 21:18:17

虽然现金账户和流动性问题自然可以被视为不明确的时间问题（如附录B.1所述），但偿付能力问题需要一个持续的时间结构，因为由于外部投资或现金流的价值，资本可能会下降到所需的水平以下，而现金流可能会超出债务到期的日期。与现金账户Vi相反，资本账户K要求实施会计规则，以确定任何尚未支付的债务和所有未来现金流的估值。我们将遵循外部现金流量x的按市值计价会计和银行间债务L的历史价格会计。特别是，为了简单起见，我们假设所有未违约债务都在银行资产负债表上全部标记。历史价格会计用于银行间债务，因为不存在可交易的公开市场。外部灰烬流的按市值计价将在措施P下进行。值得注意的是，我们不要求P为风险中性指标，这样银行就可以通过这种方式进行投资，以实现现金流量的正（或负）预期增长，因为我们考虑到xi（t）6=Et[xi（t）]，其中Et[·]：=E[·| Ft]是条件预期w.r.t。仍需考虑违约对cas h和资本账户的影响。这些默认值发生在停止时间τ；具体来说，让τi∈ L∞T（R+）（即一致有界的Ft可测量R andom变量）表示银行i的违约时间。如下所述，这些违约可以由流动性（即现金账户V）或偿付能力（即资本账户）产生；就目前的考虑而言，我们只想认为这些是已知的停止时间。

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2022-6-2 21:18:21

在年施加破产成本后，e。g、，[29]，默认情况下，α、β、γ的常数恢复率∈ [0，1]分别适用于流动资产、非默认企业尚未支付的银行间资产和同时违约的同时支付，这会影响系统流动性和系统资本。正如【26】中所强调的，进一步研究对历史价格核算的更全面的观点将包括通过信用评级等隐含的违约概率。由于信贷配给的建模超出了这项工作的范围，为了简单起见，我们仅考虑两种状态用于会计目的：全额支付或违约。银行间债务也可以通过按市值计价来衡量。这些考虑超出了当前工作的范围。这将需要扩展网络估值调整，如[4，3]所示。在[20]中，早期违约会导致银行的现金账户上升，但资本估值会下降。这是由于两种抵消效应造成的：（i）流动性增加，因为早期违约涉及以α、β、γ利率提前偿还未来债务，但（ii）银行破产成本导致资本减少1- α, 1 - β, 1 - γ和未付未来债务的历史价格会计。假设4.2。在整个工作过程中，我们将评估≥ γ. 如果这种关系不成立，那么，与单独发生每次违约相比，违约级联可能会导致更多未偿债务得到偿还；这可能导致周期性违约事件，如[26]。

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2022-6-2 21:18:24

事实上，通常需要假设α≥ β ≥ γ是由于这些资产类别的流动性以及上述β、γ的排名。我们现在希望提供违约时间τ和上述财务规则下现金和资本账户的数学公式。首先，现金账户dV遵循（7）在违约时间之间的非默认银行间债务下的差异动态，即dV（t）=我- A（t）diag（1{τ>t}）∧（V（t））-1.dx（t）- [我- A（t）diag（1{τ>t}）]dL（t）~.然而，银行i的现金账户在其一个交易对手违约时会产生跳跃效应；这是由于提前偿还破产清算产生的未来债务（如[26]所述）。j银行默认时间的这种修改是由非默认银行（即，银行i的τi>τj）现金账户之间的联合固定收益问题给出的。值得注意的是，任何银行的现金账户在发生违约事件后立即增加，例如，为违约公司拍卖未来资产以支付其所有未付（过去和未来）债务；[5、26、20]对此进行了更详细的讨论。在违约时间τi，我们需要考虑该违约级联中纽约银行可能支付的金额。如果ava ilableassets无法满足未付债务，则银行i的这些付款将在默认时间τi按照回收率α、β、γ进行支付。具体而言，这些可用资产是流动资产、其他同时违约支付款项和非违约企业未付银行间资产的回收价值之和；银行间资产通过回收率β减少，尽管这些资产被假定为非流动资产，因此不会在拍卖中收到全额付款（见[5]）。

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2022-6-2 21:18:28

数学上，τ+j处的清算现金账户固定点问题（即，τj处的正确时间限制）由i的Vi（τ+j）之间的联合固定点提供，使得τi>τj:Vi（τ+j）=Vi（τj）+Xk∈N\'akiPk{τk=τj}+aki（τj）Vk（τj）-- Vk（τ+j）-{τk>τj}(R)aki：=Lki（T）- Lki（τk）+aki（τk）Vk（τk）-Pl∈N[Lkl（T）- Lk公司l（τk）]+Vk（τk）-以及通过违约公司i进行支付，使得τi=τj：Pi=(R)Pi∧αXi+βFi+γψi（P，V（τ+i））.在上述定点问题中，我们设置'Pi：=Vi（τi）-+Xj公司∈N【Lij（T）- Lij（τi）]Xi：=Vi（τi）++Et[Xi（T）]- xi（τi）Fi：=Xj∈NLji（T）- Lji（τi）+aji（τi）Vj（τi）-{τj>τi}ψi（P，V（τ+i））：=Xk∈N\'akiPk{τk=τi}+aki（τi）Vk（τi）-- Vk（τ+i）-{τk>τi}.也就是说，“Pidenotes i银行在其违约时间的未付负债总额τi，Xidenotes i银行在违约时间的流动资产价值（即现金账户的正部分加上现金流量的增长），Fidenotes记录了欠i银行的未付银行间资产的价值，ψi（P，V（τ+i））表示i银行因在违约时间通过其他同时违约或从（迄今为止）未违约公司收回未付旧债务而收回的流动性。值得注意的是，由于这些付款是由违约公司支付的，因此，即使存在足够的资产来全额偿还债务，回收率α、β、γ也适用于所有资产。如上假设4.2所述，如果γ>β，则与所有此类公司快速连续违约，甚至是级联违约（见下文定义）挽救另一家违约公司的周期相比，违约级联可能会导致更高的薪酬。由于有可能覆盖之前未支付的债务，相对风险敞口在defaulttime更新时披露；具体而言，如果Vk（τj）Vk（τ+j）>0且aki（τ+j）=dLki（τj）P，则aki（τ+j）=aki（τj）l∈NdLk公司l（τj）{i6=0}+n{i=0，j6=0}否则。提案4.3。

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2022-6-2 21:18:31

考虑由满足假设3.3的（dx，dL）定义的金融网络。Letα，β，γ∈ [0，1]是回收率。考虑默认时间τjof bank j∈ N银行i有唯一的清晰现金账户Vi（τ+j）∈ 确保银行i的τi>τjand付款∈ 确保τi=τj.证明。由于清算问题与社会义务的连续分段线性化，该清算问题是一个收缩映射；因此，唯一性源自Banach固定点定理。现在，让我们考虑资本账户K。利用上述会计规则，可以明确描述每家银行t时的资本账户d，而无需adi fferentia l系统。具体而言，对于银行i，时间t（给定默认时间τ）的资本账户由以下公式得出：Ki（t）=Et[xi（t）]+Xj∈NLji（T）1{τj>T}+Lji（τj）- aji（τj）Vj（τj）-+ (R)ajiPj{τj≤t}-Xj公司∈NLij（T）。（9）也就是说，资本账户是i银行来自非金融机构的现金流的账户价值和来自违约机构的已实现付款的总和。值得注意的是，与现金账户不同，i银行的资本账户在i银行的某个交易对手违约时会跳下。这是由于两个影响：（i）历史价格会计导致银行间资产价值的中度下降，以及（ii）违约机构支付的款项始终受到其总债务的限制。备注4.4。我们需要注意的是，资本账户K是默认时间的折旧会计。然而，由于违约公司的付款转移需要一段清算时间才能处理，因此现金账户在默认时间保持连续，并有右侧限额。

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2022-6-2 21:18:34

动态Eisenberg-N oe框架的这种自然结构解决了[26]中提出的离散时间多重到期设置的一个主要难题，其中一家公司的违约会导致另一家公司从违约中恢复；有了时间延迟，这样的序列就不会发生。为了最终确定这一动态框架，我们希望引入违约时间的概念。简而言之，一般来说，如果银行的现金和资本账户过低，银行就会违约；银行的健康状况可以通过持续的外部违约规则Di:T×R×R提供→ R、此外，DII在现金和资本账户中是不减损的，因此，对于任何c，Di（t，V+c，K+c）>Di（t，V，K）∈ R++和（t，V，K）∈ T×R×R。也就是说，银行i在由τi=inf{T定义的停止时间τ违约∈ T | Di（T，Vi（T），Ki（T））≤ 0} .请注意，我们考虑到不同银行的异质性违约触发功能；在下面的第4.3节中，我们给出了一些具体的违约规则示例，其中许多是银行不可知的。备注4.5。虽然本工作中没有直接考虑t，但银行的违约触发规则可能取决于截至考虑时间t的现金和资本账户的历史记录（即，银行i的整个流程Vi、tand Ki、TF）。例如，这允许在触发默认值之前有一个宽限期permittingrecovery。从数学上讲，这种宽限期可以根据任何默认规则Di：T×R×R→ R as'Di（t，Vi，t，Ki，t）：=p- [t- sup{s∈ [0，t]| Di（s，Vi（s），Ki（s））>0}]宽限期p>0。虽然该默认规则不是连续的，但它将根据过滤进行调整，因此可以在不进行重大修改的情况下应用本文中的分析。4.2最优清算解决方案的构建根据上述早期违约模型，我们现在希望考虑清算现金和资本账户的存在。

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2022-6-2 21:18:37

值得注意的是，尽管这个问题在当地是单调的，但我们无法在全球范围内得出结论，即由于另一家宣布提前违约的机构可能会从中受益（例如，由于资不抵债而非流动性不足），因此存在一个最大且最小的解决方案。此外，由于不同大小的DefaultCascade的可用性，唯一性通常不成立。推论4.6。设T=[0，T]为有限时间段，设（dx，dL）：T→ Rn+1×R（n+1）×（n+1）+定义一个满足假设3.3的动态金融网络，并具有连续的默认函数d:T×R×R→ R这是现金和资本账户中的不减损。Letα，β，γ∈ [0，1]是回收率。存在一个强大的现金和资本账户（V，K）清算解决方案，并具有相关的相对风险矩阵a证明。这个结果之后是定理3.7的应用。具体而言，我们只需验证每个违约时间是否存在清算解决方案，因为内部违约时间完全遵循上一节中提出的无违约情景的结构（加上资本账户K）。考虑到银行j的默认时间τjof∈ N我们将在一个类似于[1、2、29]的实际默认参数的参数之后构造一个gr eatestclearing解决方案。首先，假设没有同时违约；根据提案4.3，当时存在一个最大的联合现金账户和付款。然而，这些付款影响了所有非违约公司的资本账户。如果没有触发违约，那么这是τjand的最大清算解决方案，我们可以继续到下一个违约时间。如果重新触发了任何其他违约，则将重新运行提案4.3中提出的清算问题，包括这些同时发生的违约。

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2022-6-2 21:18:41

该程序继续进行，直到没有新的违约发生，并且在τj.假设4.7中出现了最可能的违约级联。对于这项工作的其余部分，我们将只关注推论4.6证明中提出的构建清算解决方案，因为它在所有违约时间都会导致尽可能小的违约级联。4.3流动性不足和破产条件在本节中，我们希望考虑违约触发规则的一些属性：T×r×r→ R以及这些规则的具体示例。具体而言，首先，我们要对违约原因进行数学描述，即由于流动性不足（现金账户V）或破产（资本账户K）；其次，我们讨论了违约规则的示例，并将这些违约（尤其是第一次违约）归类为由于流动性不足或无力偿债。假设4.8。为了说明s的隐含性，让外部现金流x遵循几何布朗运动，即dxi（t）=xi（t）[uidt+σidBi（t）]，对于常数u∈ Rn+1和σ∈ Rn+1+与（相关）布朗运动B。。。，Bn+1。再次说明在整个工程过程中，假设无风险利率r=0为零。定义4.9。我们将违约分为四种情况。让我∈ 成为一家专横的银行。固定ω∈ Ohm 使得τi（ω）≤ 即，银行i的违约发生在利益期间。

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2022-6-2 21:18:44

如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，并且存在一些贷款（利率为r），可以挽救公司i免于违约，则该违约被归类为（i）非流动性，即存在一些≥ 0这样的极限τi（ω）Di（t，Vi（t，ω）+v，Ki（t，ω）+[eui（t-t）- 1] v）>0；（ii）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，并且存在一些无风险投资，公司可以购买这些投资来挽救自己免于违约，即存在一些≥ 0使得limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω）- v、 Ki（t，ω）- [eui（T-t）- 1] v）>0；（iii）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））=0，且既不是非流动性也不是破产导致的违约，则为基本破产；和（iv）如果limtτi（ω）Di（t，Vi（t，ω），Ki（t，ω））>0，则为级联违约。在上述每种情况下，如果默认规则明确取决于金融系统的其他参数（即外部资产或总负债Pj∈NLij）则应相应调整这些条款，以确定违约类型的分类。在讨论特定的默认规则和不同类型的默认的简单标准之前，我们希望提供一些关于这些不同默认类型的快速评论。备注4.10.o一般来说，违约事件可能同时是非流动性和不流动性。也就是说，可以使用贷款或无风险投资来防止公司违约只有当某些银行以低于预期的无风险回报进行投资时（即ui<r=0，例如，由于不利的压力情景），才会发生破产。

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2022-6-2 21:18:47

在这种情况下，最后的市场制造商可以采取行动稳定公司的长期资产，以防止违约如果i银行以更高的预期无风险回报（即ui>r=0）进行投资，则为防止流动性不足而提供的贷款将改善该公司的现金和资本账户为了防止基本面违约，一种既提高流动性Vi（v）又提高资本Ki（v或eui（T））的救助-t） v）将是必需的。这与贷款或无风险投资不同，因为这样的救助不需要（重新）支付任何费用。我们希望注意到，Dimeans的严格单调性，即救助总是可以用来防止违约的发生；在发生根本性破产的情况下，这是中央银行防止违约机构破产的唯一可能方式我们认为级联违约与其他三种情况不同，因为这些违约可以通过提供必要的贷款、风险投资或对其他公司的救助来预防，具体取决于初始违约的类型。然而，由于现金账户在违约期间的特点，级联违约在某种风险中性意义上是一种破产；也就是说，尽管ca scade可能由流动性不足或（基本）破产触发，但当时所有后续违约都必须是由于对资本账户的直接影响。现在让我们考虑五种不同的特定默认规则di。前两种对违约的概念进行编码，通过在风险中性环境下的构建（即，每个银行i的ui=r），违约是由于流动性不足或根本性破产，并有可能出现级联违约。

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2022-6-2 21:18:50

这些默认规则编码了一个简单的阈值现金或资本水平，如果违反该阈值，将导致违约。然后，我们使用这些简单的规则来构建违约触发器，允许出现流动性不足或（基本）破产，并可能出现级联违约。通过这些结构，我们研究了描述第一次违约类型的简单规则。最后，我们考虑了基于杠杆率构建的违约规则。据作者所知，这是在Eisenberg-Noe框架内考虑杠杆率的第一时间。如上所述，首先，我们希望提供两条违约规则，分别对非流动性和（基本）破产进行简单编码。（i）非流动性违约触发：在此设置中，银行只会因为现金账户低于阈值v而违约∈ R、即DVi（t，V，K）：=V- v For everybank i.值得注意的是，这种情况下，股东永远不会选择拖欠银行债务，只有在他们缺乏足够的流动资产来偿还短期债务的情况下才会这样做。这是[26]中主要研究的设置，v=0，但如上文备注4.4所述，引入连续时间框架简化了该工作中所述算法方法的需要。此外，由于上述观点，即所有级联违约都属于破产类型（在风险中性设置中），该违约规则不能表现出任何违约。（ii）破产违约触发：在这种情况下，银行只会因为资本账户低于阈值k而违约∈ R、即DKi（t，V，K）：=K- k代表everybank i。值得注意的是，该设置意味着任何银行都可以根据未来资产的会计价值进行借款，以尽可能防止流动性不足。

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2022-6-2 21:18:54

这是主要在[20]中研究的设置，k=0（尽管根据[22]的工作进行默认清除）。基于这些纯流动性不足和破产的情况，我们考虑两种简单的组合。也就是说，我们引入了违约规则，对以下观点进行了编码：（iii）现金或资本短缺可能导致违约，或（iv）企业违约需要现金和资本短缺。（iii）最低共同违约触发：在这种情况下，银行可能因流动性不足（由阈值v参数化）或破产（由阈值K参数化）而违约，即Dmini（t，v，K）：=最小{v- v、 K级- k} 对于每个银行i.（iv）最大联合违约触发：在此设置中，如果银行都是非流动性（由阈值v参数化）和ins溶剂（由阈值k参数化），则银行会违约，即Dmax（t，v，k）：=最大{v- v、 K级- k} 尤其是对于每一家银行，当v=k=0时，流动性差但有偿付能力的银行不会违约，因为它们通过借入未来资产来偿还债务（以偿还这些债务）。根据结构，金融系统中发生的第一个违约必须是非流动性或（基本）破产。以下提议将提供一个简单的框架，根据义务现金流的动态，保证第一次违约的类型。特别是，通过构建最小和最大共同违约触发点，如果第一次违约与DVIAN违约和DKi违约同时发生，则其为非流动性违约。提案4.11。考虑使用固定阈值默认水平SV，k设置推论4.6∈ R表示上述四个默认触发器中的任何一个。

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