经济和金融网络中的风险依赖中心地位

2022-6-24 10:09:01

经济和金融网络中的风险依赖中心地位*, Michele Benzi+，Gian Paolo Clemente，Rosanna Grassi+，以及ErnestoEstrada§摘要。节点中心性是复杂网络研究中最重要、应用最广泛的概念之一。在这里，我们扩展了金融和经济网络中节点中心性的范式，以考虑节点“重要性”的变化，这种变化不仅是由系统拓扑结构的变化引起的，而且也是由于整个网络所面临的外部风险水平的结果。从流行病的“易感感染”（SI）模型及其与网络通信功能的关系出发，我们为节点（金融和经济）网络开发了一系列风险依赖中心。我们在此分析这些风险相关中心度度量的一些最重要的数学属性。特别是，我们研究了新观察到的排名交错现象，通过这种现象，两个实体可以仅因外部条件的变化而交错其在网络中的风险排名，即拓扑结构没有任何变化。我们通过研究两个现实世界系统来测试风险相关的中心性：根据《福布斯》（Forbes）1999年的数据，这两个系统是通过收集标准普尔100指数的资产生成的网络和美国顶级公司的公司董事会网络。我们发现，根据风险依赖中心度，被分析金融公司在排名中的位置较高，这与危机期间对外部市场变化更敏感的公司相对应。关键词。可传播性、复杂网络、SI模型、中心性度量、风险传播和主题分类。05C82、90B15、91G801。介绍现代经济和金融系统的特点是大量相互作用的主体[1、6、12、37、47、55]。

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2022-6-24 10:09:04

例如，在经济体系中，实体之间的相互依存关系是发展中国家在非匿名市场以及风险分担协议中货物贸易和交换的特征[1]。在这个框架中，代理的交互作用决定了个体行为和聚合行为之间关系的性质【55】。这些经济和金融系统背后的人为因素也以相互关联为特征。人们普遍认为，人际关系网络的存在是形成机构间网络的一个基本因素，或者是解释风险分担协议网络【33、34】、买卖双方网络的形成【18、40、60】、产品采用决策【23、54】、不同流程【41、46、64】、产业组织【47】，贸易协定，甚至银行间网络的存在。这并不奇怪，因为人类负责执行他们所属机构之间的债务【16、59、71】。*米兰大学统计与定量方法系-比科cca，Via Bicocca degli Arcimboldi8，20126，米兰，意大利（保罗。bartesaghi@unimib.it，rosanna。grassi@unimib.it).+意大利比萨卡瓦列里广场7号，邮编：56126（米歇尔。benzi@sns.it).米兰拉戈·杰梅利大学卡托利卡大学经济、金融和精算科学数学系，邮编20123（gianpaolo。clemente@unicatt.it).§西班牙萨拉戈萨大学数学与应用研究所（IUMA），Pedro Cerbuna 12，E-50009Zaragoza；阿拉德基金会，阿拉贡政府，50018萨拉戈萨，西班牙(estrada66@unizar.es).2 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E。

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2022-6-24 10:09:07

Estrad从数学角度来看，经济实体和金融实体之间的所有这些相互依存关系都可以通过网络的形式概念来捕捉，其中节点代表实体（个人、企业、国家等），边缘解释了这些实体之间的关系，从社会关系到贸易协议【29】。因此，可以使用网络理论的工具来分析这些系统的结构、演化和动态过程。一方面，研究人员研究了这些网络的拓扑特性（有时称为静态分析），这些网络不假设通过经济和金融实体传递效应的机制【38、52、79】。在这些研究中，经常发现对机构群体形成的集群以及网络中各个节点的中心性的分析【8、13、78】。具体而言，中心度度量（详细分析见[29]第5章）是网络中节点及其邻域的拓扑特征。在金融和经济网络的分析中，中心度指标的使用并没有那么有效，因为经典的指标提供了网络的静态视图，甚至其他基于动态过程的指标，如基于随机游动的中心度，也不能捕捉到这些网络在相对较短的时间内可以提交到的不断变化的条件。作为一个示例，让我们考虑一个假设的电信银行网络，我们对该网络感兴趣的是分析系统中各个实体的风险依赖敞口。任何中心性度量都将指出节点的特定和静态排名。然而，当外部风险水平增加时，在外部风险水平较低的情况下非常核心的银行不一定是核心银行，反之亦然。

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2022-6-24 10:09:10

另一方面，考虑了冲击通过这些网络的传播，通常称之为动态分析[3、15、17、25、39、48、43]。在这些研究中，假设这些冲击通过网络传播的特定方式——如“易感感染”和“易感感染恢复”流行病学模型【63、67、73】——然后系统风险分析基于通过这些模型观察到的传染效应。在这项工作中，我们开发了一个数学模型来解释网络（经济或金融）系统中实体的风险敞口。该模型基于易感感染流行病学模型和网络的所谓可传播性函数之间的关系[30]。利用这一联系，我们得出了新的中心性指数，该指数量化了实体所面临的风险水平，作为全球外部风险水平的函数。我们的方法利用了静态和动态分析的优势。事实上，与文献中遵循的标准方法不同，这些与风险相关的中心度与大多数中心度指数一样，都不是静态指数，但它们会随着系统所处外部全球风险水平的变化而变化。更重要的是，这些网络中节点的排名也取决于全球外部风险水平。这意味着在外部条件下处于低（高）风险水平的实体（网络中的节点）在不同条件下可能处于高（低）风险水平。我们通过使用两个不同的系统来测试我们的模型，一个是基于2001年1月至2017年12月期间标准普尔100指数各组成部分每日回报的资产网络，另一个是代表1999年福布斯（Forbes）公布的美国顶级公司之间互联的网络。

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2022-6-24 10:09:15

在第一种情况下，我们通过最小生成树提取资产相关性的基本信息。我们衡量在外部风险的不同价值下，资产的中心性如何变化。2007-2008年金融危机期间，排名出现了高波动，经济和金融网络中依赖于节点风险的中心地位3证明对外部风险更为敏感。在CorporateneWork的案例中，我们分析了一个重要公司的样本，寻找股东价值创造（SVC）与其在收集数据的危机期间和之后的行为之间的相关性。我们发现，在危机期间，他们的风险中心地位显著提高，对应的是对外部市场动荡的弹性较低的反应。本文的结构如下。在第1.1小节中，我们回顾了有关使用流行病学模型模拟金融传染的主要文献，并鼓励选择易感感染模型。第2节给出了必要的数学预备知识。因此，我们描述了金融网络上的易感感染（SI）模型（第3节），并定义了风险依赖的中心性，证明了一些数学性质（第4节）。我们对所提出的随机网络中心度进行了数值分析（第5节），然后将所提出的测度应用于现实世界的金融网络（第6节），并分析了排名交错问题（第7节）。第8节说明了拟议模型如何为分析与新冠状病毒SARS-COV-2扩散相关的危机的经济和金融影响提供更多见解。结论见第9.1.1节。相关文献和动机。

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2022-6-24 10:09:18

一个金融机构向另一个机构传播负面影响的过程非常类似于流行病在网络上的传播【66，48】。这些过程被称为“金融传染”，这一事实已经抓住了这些相似之处的一部分。因此，经常使用流行病学模型来捕捉金融传染过程的微妙之处也就不足为奇了。流行病学中有许多这样的分区模型，但最广泛用于金融传染建模的是易感感染恢复（SIR）[21、36、74、58、76、42]和易感感染易感（SIS）[5、14]模型。它们不仅用于模拟金融传染本身，还用于传播谣言和金融机构感兴趣的创新【70，50】。这些模型非常适合描述金融传染，因为它们不需要对损失率和资产负债表进行任意假设。正如Toivanen[80]所指出的那样，它们“通过将银行的相对财务实力与感知到的交易对手风险和预期联系起来”，捕捉到了传染过程的心理方面。前面提到的SIS/SIR模型及其变体主要用于以事后的方式研究系统中的传染动力学。众所周知，SIS和SIR模型的特征都是存在阈值τ，定义为邻接矩阵主特征值λ的倒数。扩散过程的阈值以下或阈值以上行为取决于有效感染率是否小于或大于该阈值。在阈值以下，我们就有了传染的灭绝，而在阈值以上，即使在很宽的时间范围内，网络中也有非零比例的受感染节点存留者。

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2022-6-24 10:09:21

有效感染率取决于每条链路的感染率γ和治愈或恢复率δ。例如，在图1（a）中，我们使用SIS模型说明了具有100个节点且连接概率为0.1的Erd"os Rnyigraph的传染动力学的演化。邻接矩阵的主值为λ≈ 10.71以便流行病阈值为τ≈ 0.093.两条曲线的每条链路的感染率均为0.002，初始感染概率为0.2（20个节点超过100个初始感染节点）。红色虚线4 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA（流行病）的治愈率为0.001，蓝色实线（灭绝）的治愈率为0.04。然后，红色虚线（流行病）的有效感染率为2>0.093，蓝色实线（灭绝）的有效感染率为0.05<0.093。（a）（b）图1：（a）Erd"os Rnyi图上SIS动态的演变（b）脆弱性窗口前后传染病的演变。改编自Lee等人[62]，在这项工作中，我们对系统能够提供金融传染传播预警的早期信号感兴趣。在这种情况下，非常重要的是要考虑到从最初认识到传染现象到采取行动应对传染之间的脆弱性窗口。这扇窗户可以开得很宽。在任何实际情况下，都存在一个不可忽略的时间间隔，在此时间间隔内，恢复工具还不可用，且恢复率等于零。Lee等人最近发现，在这个窗口内，SI模型比任何其他具有非零恢复率的模型（如SIRand SIS）更好地描述了扩散现象（见图1（b））。在此框架中，一个关键点是预测网络中“风险最大”的节点。

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2022-6-24 10:09:24

因此，我们感兴趣的是疫情的早期，通过在网络中的therisky节点上引入特定措施，可以限制或避免灾难传播。此外，为了有效减少摊铺现象，固化速率必须足够大。更准确地说，因为λ>max\'\'k，√kmax公司（k为平均度数，k为最大度数），固化速率必须至少为δ>γ·max\'\'k，√kmax公司以获得低于阈值的行为。但对于一个真正的大网络√Kmax可以非常大，即使平均度数很小。这意味着δ必须明显大于γ，或者换句话说，感染明显弱于自我恢复过程。在真实网络的真实传染过程中，这一事实可能是完全不可能的，正如Lee等人所说，这使得SIS或SIR模型在经济和金融网络中依赖于用户风险的中心地位非常不现实。即使δ很小且节点感染过程占主导地位，SI模型也能较好地捕捉到相应的流行病动态。从应用程序的角度来看，在约束环境下，在很大的时间范围内，这可能是真的，在这种环境中，应用大规模行动来限制传染实际上是不可行的。如前所述，网络中风险节点的检测可能与限制风险传播效应有关（参见，例如，[44，7]）。因此，为了确定最危险的危机震中，人们广泛探讨了给定机构作为传染过程中最佳传播节点的中心地位（例如，见[63]）。文献[81]还从拓扑中心性的角度研究了最佳扩展节点的概念，这一点以前曾以“振动中心性”的名义进行过研究（参见，例如，文献[31]）。

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2022-6-24 10:09:27

中央性也被用作评估银行间市场蔓延的指标。在这个框架中，Dimitrosand Vasileios[22]建议使用成熟的中心性度量，作为确定网络中最重要变量的一种方法。Battiston等人[8]引入了DebtRank，这是一种基于违约前发生损失的可能性来解释一家或多家银行困境的中心性指标。一些银行可能过于核心而不会倒闭的概念源于这项工作（例如，参见[8]）。2、前期工作。这里我们模糊地使用了术语“图形”和“网络”。下文定义的大多数网络理论概念可在[29]中找到。图Γ=（V，E）由一组n个节点（顶点）V和一组m个边E={（u，V）| u，V定义∈ 节点之间的V}。（u，u）∈ E是一个以u开始和结束的循环。节点的阶数，用ku表示，是入射到u inΓ的边数。图A=（Auv）n×n的邻接矩阵，其条目Auv=1 if（u，v）∈ 否则为E或零。这里我们考虑简单图，即无环图和多边图。将为未加权网络开发理论模型，我们还将在此回顾加权图的定义，因为我们在本文中考虑了两个对网络进行加权的实证实例。加权图Γ=（V，E，W）是wuv∈ W是分配给相应边（u，v）的正数∈ E、在这种情况下，与节点相关的所有边的权重之和称为加权度或强度。这里我们只考虑无向网络，例如（u，v）∈ E表示（v，u）∈ E、在这种情况下，矩阵A可以表示为A=U∧ut，其中U=h ~ψ····~ψnia是A的特征向量的正交矩阵，∧是特征值λ的对角矩阵≥ λ≥ ··· ≥ λn.~ψjare的条目用ψj，1。

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2022-6-24 10:09:30

，ψj，n。研究网络中通信过程的一个重要量是可通信性函数[30]，定义为一对节点u和v asGuv=∞Xk=0Ak公司uvk！=（exp（A））uv=nXj=1eλjψj，uψj，v。它计算从节点u开始到节点v结束的行走总数，按其长度的降序加权系数k！。长度为k inΓ的行走是一组节点i，i，ik，ik+1所有1≤ l≤ k、（il，il+1）∈ E、闭合行走是指i=ik+1的行走。因此，古维斯认为短距离步行比长距离步行更有吸引力。矩阵指数是一类一般矩阵函数的例子，它们是6 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estradae，可表示为（2.1）f（A）紫外线=∞Xk=0ckAk公司uv，其中CKA系数赋予较短步行者比较长步行者更多权重，并使序列收敛。术语Guu计算从节点u开始的闭合行走的数量，使短的比长的权重更大，称为节点u的子图中心性。这里我们还考虑了无向网络上的易感感染（SI）模型。每个易受感染节点的感染率为每条链路的感染率γ乘以受感染的相邻节点数。让t*是节点i被感染的瞬间。节点i保持此状态t型≥ t型*而且不会回来容易受影响。让我们引入一个随机变量Xi（t），表示节点i在时间tXi（t）的状态=如果t≥ t型*否则（2.2），我们定义（2.3）xi（t）=P[xi（t）=1]=E[xi（t）]∈ [0，1]，这是节点i在时间t被感染的概率。换句话说，节点i在时间t是健康的，概率为1-xi（t）。对于整个网络，我们定义了概率向量：（2.4）~ x（t）=[x（t），…，xn（t）]t.3。模型让我们考虑金融网络上的SI模型。

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2022-6-24 10:09:35

图Γ=（V，E）的节点表示金融机构，连接它们的边表示可以将“疾病”从一个机构传播到另一个机构的相互作用。节点可能易受感染，然后从最近的邻居处感染，或者它被感染，并可以将感染传播到其他易受感染的节点。设γ为感染率，xi（t）为节点在时间t从任何受感染的最近邻居处感染的概率。然后，（3.1）dxi（t）dt=~˙x（t）=γ[1- xi（t）]nXj=1Aijxj（t），矩阵向量形式为：（3.2）~˙x（t）=γ[1- diag（~x（t））]A~x（t），初始条件为~x（0）=~x的经济和金融网络中的风险依赖中心性7。众所周知，在强连通网络上[67]：1。如果~ x∈ [0，1]n次x（t）∈ [0，1]对于所有t>0；2.~ x（t）在t中单调非递减；3、有两个平衡点：~ x=~ 0，即无流行病，~ x=~ 1（变异体载体），即完全传染；4、模型在点0附近的线性化由（3.3）~˙x（t）=γA~x（t）给出，它是指数不稳定的；事实上，因为在一个非空无向图中，AHA至少有一个正特征值，所以在相应特征向量方向上的任何解分量都会随着t的增加无限增长；5、每一条~x6=~ 0的轨迹渐近收敛到~x=~ 1，即流行病单调地传播到整个网络。具体而言，线性化问题来自以下观察结果。可以检查（3.4）˙xi（t）=γ[1- xi（t）]nXj=1Aijxj（t）≤ γnXj=1Aijxj（t）或（3.5）~˙x（t）≤ γA~x（t），我和t、然后，我们可以使用线性动力系统（3.6）~˙x？（t） =γA~x？（t），作为原始非线性动力系统的上界，已在文献中用作精确问题的近似值（见[67]）。

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2022-6-24 10:09:38

它的一个主要优点是可以用解析法求解，其解为x？（t）可以写为：（3.7）~ x？（t） =eγtA~x？，用A的谱分解，哪个可以写成（3.8）~x？（t） =nXj=1eγtλj ~ψj ~ψTj ~ x？。线性化模型的这种解决方案受到以下主要问题的影响：图Γ=（V，E）强连通当且仅当每对节点i，j∈ V有一条从i开始到j结束的定向行走，还有一条从j开始到i8结束的定向行走P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA1~x？（t）尽管~x？（t）是不应超过单位的概率向量；2.~ x？（t）仅当t→ 0和~x？→ Mugnolo在【68】中广泛研究了线性动力系统3.3以及解3.7的数学性质。我们指导读者参考此参考以了解详细信息。此后，我们将关注Lee等人[62]最近的工作，他提出了以下变量变化，以避免线性化SI模型的解决方案出现上述问题：（3.9）yi（t）：=-日志（1- xi（t）），这是一个递增凸函数。然后，作为1- xi（t）是节点i在给定时间t未被感染的概率，新变量yi（t）可以解释为节点i的信息内容或未被感染的惊喜（参见，例如，[19]）。

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2022-6-24 10:09:42

根据文献[62]，SI模型（3.1）现在可以写成（3.10）dyi（t）dt=˙yi（t）=γnXj=1Aijxi（t）或（3.11）~˙y（t）=γA~x（t）。【62】提供的SI模型的近似解由（3.12）~ x（t）=~ 1给出- e-~y（t），其中e-~y（t）是第i个条目为e的向量-yi（t）和~y（t）=eγtAdiag（~1-~x）[-日志（1- ~x） ]+∞Xj=0（γt）j+1（j+1）！哈迪亚格~1.- ~x个ijA公司~x个+~1.- ~x个日志~1.- ~x个.（3.13）正如【62】所强调的，动力学的有趣情况是~x<~1，在这种情况下，解简化为（3.14）~y（t）=~y+heγtDiag（~1-~x）- Ii·诊断~1.- ~x个-1~x.现在，我们可以进一步假设每个节点的初始感染概率相等，即在开始时，每个节点在经济和金融网络中都具有相同的被感染的概率β托里斯克依赖的中心性，并且是流行病开始的概率。这意味着我们要求（3.15）x0i=β=cn，i=1，对于一些标量常量c。在本例中，diag~1.- ~x个=1.-中国大陆I=（1- β） I.如果我们设置α=1- β、网络上SI的近似解为：（3.16）~ y（t）=~ y+1- ααeαγtA- 我~1.自~ y=(-对数α）~1，（3.17）~y（t）=α- 1.eαγtA~1-对数α+1- αα~组件（eαγtA~1）称为节点i的总可通信性，它将用Ri表示。因此，组件方面我们有：（3.18）yi（t）=α- 1.国际扶轮社-对数α+1- αα.记住-对数α=yi（0）和α=1- β、我们可以将前面的方程也写成（3.19）yi（t）=yi（t）- yi（0）=βα（Ri- 1），这意味着Ri- 时间t的1与节点i的信息含量从时间0到时间t的变化成正比。最后，节点i在时间t被感染的概率可以用Rias（3.20）xi（t）=1表示- (1 - β） e类-β1-β（Ri-1).当参数β固定时，受感染节点的数量仅取决于αγtA~1，然后取决于总通信能力Ri。

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能者818

2022-6-24 10:09:45

值得注意的是，3.20给出的节点i的概率表示SI模型精确解的上界。因此，通过这种方式，我们不会低估传染概率。例如，让我们考虑在具有100个节点且边缘密度δ=0.1的Erd"os Rnyi网络上感染传播的时间演化。图2显示了感染率的两个不同值，γ=0.001（左）和γ=0.002（右）。红色虚线表示节点在时间t感染的平均概率，如等式3.20所示。蓝色实线表示的概率与Kermack-McKendrickSI模型的精确解所给出的概率相同，平均度数相同。在这两个图中，初始概率为β=0.01.10 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA（a）（b）。图2：在具有100个节点和边缘密度δ=0.1的Erd"os Rnyi网络上模拟SI流行病的发展。模型中使用的参数为：β=0.01和γ=0.001（左）和γ=0.002（右）。虚线（红色）代表3.20给出的上限；实线（蓝色）表示Kermack-McKendrickSI模型中相同概率的值，平均度数k=（n- 1)δ.4、风险依赖中心性。让我们指定ζ=αγt，它确定了整个网络在时间t提交到的风险级别。例如，对于γ=0，即ζ=0，网络上没有感染风险，因为节点不能将疾病传播到最近的邻居。这种情况对应于孤立节点（无边）的情况。当ζ→ ∞由于c的固定值的传染性是有限的，因此感染风险非常高。因此，我们称之为Ri=eζA~i节点i的风险依赖中心性。

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2022-6-24 10:09:48

也就是说，Rire的值反映了节点在网络上“发展”流行病方面的中心地位。由于所考虑的网络是无向的，这种中心性既考虑了节点感染的设施，也考虑了该节点感染其他节点的倾向。指数Rican表示为（4.1）Ri=I+ζA+ζA2！+ζA3！+···~i、这表明它计算了在相应节点处开始的不同长度的行走次数，通过因子ζkk！进行加权！。从风险依赖中心性的定义可以很容易地认识到，它可以分为两种贡献。也就是说，Ri由从i开始和结束的所有闭式行走的加权和组成，eζAII和从节点i开始到其他地方结束的行走的加权和，Pj6=ieζAIJ经济和金融网络中的风险依赖中心11（4.2）Ri=eζAii+Xj6=ieζAij：=Ci+Ti，其中右侧的第一项表示疾病在给定节点周围的循环性，第二项表示疾病从给定节点到网络中任何其他节点的传播性。循环性非常重要，因为它解释了这种疾病成为地方病的方式。例如，一个节点的大循环性意味着该疾病可以感染其最近的邻居，并将以循环的方式反复传播。我们从证明这些风险相关中心性的一些结果开始。下面的定理是一个特例，例如在[11]中发现的结果。定理4.1。由风险相关中心度Ri（ζ）给出的节点排名，i=1，n、降低至风险ζ极限中kiin的等级→ 0，由特征向量中心度给出的排名为ζ→ ∞.证据

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2022-6-24 10:09:51

我们首先观察到，如果所有的中心位置都以相同的数量移动和重新缩放，则节点在其风险依赖中心度方面的排名不会受到影响。也就是说，使用Rior或等效度量^Ri=Ri获得相同的排名- 1ζ，其中ζ>0。现在，我们有（4.3）^Ri=A+ζ2！A+···~i=ki+ζ2！（A～1）i+O（ζ）。因此，在ζ的限制范围内→ 0，Ri给出的排名与学位排名相同。为了研究ζ大的极限，我们写下（4.4）Ri=heζA ~ ii=nXk=1eζλk（ψTk ~ 1）ψk，i=eζλ（ψT ~ 1）ψ1，i+nXk=2eζλk（ψTk ~ 1）ψk，i。我们再次注意到，为了排名的目的，我们可以使用通过将所有风险相关中心度除以相同的数量eζλ（ψT ~ 1）得到的等效度量，这是严格正的。也就是说，我们可以使用（4.5）~Ri=ψ1，i+ψT~nXk=2eζ（λk-λ）（ψTk~1）ψk，i.由于网络是连通的，Perron–Frobenius定理确保λ>λ≥ ··· ≥λn。因此，每个项eζ（λk-λ）对于k=2，n在ζ的极限内消失→ ∞, 从（4.5）中我们可以看到，对于ζlarge，风险相关的中心性度量给出了与特征向量中心性相同的排名。12 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADAIt有趣地发现，每个节点的风险依赖中心性也取决于（严格正）数量ψT~1=nXj=1ψ1，j，见方程（4.4）。该数量越大，每个节点的风险依赖中心度越高。假设主特征向量被归一化，使得欧几里德范数等于1，众所周知，该量始终介于1和√n、对于连通图，永远无法获得值1。它只能在极限范围内接近，因为所有的IGenvector中心都集中在一个节点上，比如节点i，其中它的值取任意环1，所有j 6=i的值ψ1，j取任意小的值。n的星图就是一个例子→ ∞.

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2022-6-24 10:09:54

在所有节点具有相同特征向量中心性的情况下，可获得最大值：ψ1,1=ψ1,2=···=ψ1，n（即，在正则图的情况下）。让我们回到将阳极的风险依赖中心性分解为循环性和传递性这两个组成部分的分解Ri=Ci+TiO。类似的考虑也适用于这些数量。我们在下面的结果中总结了它们。定理4.2。当外部风险水平ζ分别降低至零或增加至完整性时，通过度Ki和特征向量中心度给出的节点排名可作为风险依赖循环性Ci（ζ）的极限情况。风险相关的可传递性Ti（ζ）也是如此。证据循环性的证明是对总体可传播性的直接改编；另见【11】。我们给出了透射率的详细信息，这是以前没有分析过的。对于i 6=j，我们有eζAij=ζAij+ζ2！w（2）i，j+O（ζ），其中w（2）i，jdenotes表示节点i和节点j之间长度为2的行走次数。除以ζ>0，对所有j 6=i求和，取极限为ζ→ 0，我们发现ζ-1Ti=ζ-1Xj6=ieζAij公司→Xj6=iAij=ki，其中我们使用了Aii=0这一事实，对于所有i。因此，在小ζ极限下，传递率等于节点度。对于较大的ζ极限，我们写下i=Xj6=inXk=1eζλkψk，iψk，j=eζλψ1，iXj6=iψ1，j+nXk=2eζλkXj6=iψk，iψk，j.除以正常数eζλPj6=iψ1，jand取极限为ζ→ ∞, 右侧的第二部分消失，我们再次得到特征向量中心度ψ1，iof nodei。我们记得星图snn由n组成- 1节点v，越南-1，每个节点通过边缘连接到中心节点VN。经济和金融网络中的风险依赖中心性13备注4.3。

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2022-6-24 10:09:57

一个自然的问题是度（对于ζ）的速度有多快→ 0）和特征向量（对于ζ→ ∞) 如果网络中的节点数n达到整数，则接近中心性限制。从泰勒展开式（例如，见等式4.3）中，我们可以看到，如果Agrow的行和为n，则degreelimit达到的速度较慢→ ∞. 在这种情况下，随着n的增加，在排名降低到度给定的排名之前，ζ必须越来越小。另一方面，如果网络的增长方式使任何节点的最大次数一致有界，则收敛速度与节点数n无关，至少是渐近的。特征向量中心度排序的收敛速度在很大程度上取决于光谱间隙λ- λ. 如果间隙保持在正常数n以下→ ∞,达到特征向量中心性极限所需的ζ值很容易在最接近O（ln n）的位置增长，实际上，收敛速度几乎不受网络大小的影响。另一方面，如果间隙闭合为n→ ∞, 然后，收敛到Igenvector中心的速度将变得任意缓慢。n的间隙闭合速度越快→ ∞, 收敛速度恶化得越快。在本节结束时，我们对度量Ri、cian和Ti进行了一些评论。虽然它们在小ζ限制和大ζ限制方面表现出相同的限制行为并提供相同的排名，但它们对网络结构（以及节点风险）提供了不同的见解。例如，众所周知，子图的中心性（与循环性相同，参见[32，29]）可以区分某些正则图的节点，即节点具有相同度的图。这同样适用于传递性。

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2022-6-24 10:10:00

另一方面，完全可通信性无法区分正则图的节点（当然，度和特征向量中心性也无法区分）。这些度量也不同于计算角度。基于总可传播性的风险中心性的一个优点是，它只需要计算矩阵指数eζa对向量1的作用。结果向量的条目可以有效计算，而无需计算eζA的任何条目，见【10】。现代Krylov型迭代方法（如基于Lanczos或Arnoldi过程的迭代方法）可以轻松处理具有数百万节点的大型网络。相反，循环性的计算需要明确计算eζA的对角线项（然后通过将循环性从总可通信性中细分来轻松获得节点的可传输性）。尽管有一些技术可以处理相当大的图形（见[9]），但这些计算比总可通信性的计算要昂贵得多。这限制了它们可以应用到的网络的大小。然而，对于大多数金融网络，循环率的计算仍然是可行的。最终考虑的是外部风险参数ζ假设的值。虽然原则上，它可以在0到1之间变化，但对于以下大多数应用程序而言，在0到1之间变化ζ可能是足够的。使用区间[0，1]的理由在于，在ζ=1时，Riare给出的排名已经稳定在特征向量中心性提供的排名周围，因此排名之间不可能有更多的交错。正如我们将要展示的，我们通常会观察到一个夹层点，并且通常在达到值ζ=1之前发生。

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2022-6-24 10:10:03

此外，这一选择相当于流行病模型解3.17中的fix t=1，并且随着ζ接近1,14，P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estrada，该模型中涉及的所有概率都变得完全可以忽略或等于1.5。随机网络上的风险依赖中心性。对于现实世界（金融和经济）网络的分析，有必要调查所获得的结果与所分析的实际系统的信息量。这一意义通常通过与从网络空模型获得的属性进行比较来解决。作为此类完整模型，我们在这里考虑具有n个节点和布线概率p的Erd"os Rnyi（ER）随机网络ΓER（n，p）（参见[27，28]），在本节中，我们提供了一系列分析结果。我们首先生成一系列模拟ER图，并丢弃所获得的图不连通的模拟。特别是，我们旨在测试外部风险ζ和概率p，以及图密度。δ、影响结果。为此，我们在不同的p值下生成了1000个n=100的图ΓER（n；p）。对于每个图，我们计算了ζ交替值的主要度量值。首先，我们在图3中报告了风险依赖的中心性指数、循环性指数和传递性指数的行为，假设外部风险水平固定，ζ=1。由于RIA的值随着图形密度的增加而显著增加，因此我们在图3（a）中显示了每个节点RIA的风险依赖中心度与其平均值E（Ri）之间的比率分布。正如所料，当δ→ 我们朝着完整的图形前进，即。

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2022-6-24 10:10:06

我们观察到比率分布的可变性较低。CIAN和Ti也观察到类似的行为，循环性波动性较高（见图3（b）和图3（c））。在图3（d）中，我们显示了风险依赖中心度Ri上循环性cio的发生率分布，即作为密度δ函数的推理增益分布。当ζ=1时，对于所有分析的图形，平均值约为N，这意味着透射率的平均关联度为N-1非Ri。值得注意的是观察分布的可变性。当密度极低时，即我们参考verysparse图，节点度的异质性会影响推理。例如，当δ=0.1时，一个节点的循环性大约在同一节点的风险依赖中心性的0.15%到2.5%之间。密度越高，变化越小。例如，当δ=0.5时，Raticarival介于0.6%和1.3%之间。对于δ=0.95，我们观察到比率在0.9%和1.15%之间。经济和金融网络中的风险依赖中心度15（a）（b）（c）（d）图3：图a）显示了每个节点风险依赖中心度Ri与平均风险依赖中心度E（Ri）之间的比率分布，假设ζ=1。图b）和c）显示了循环率和传递率的类似分布。图d）显示了假设ζ=1计算的每个节点Ri的循环性cian和风险相关中心性之间的比率分布。所有数据均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），密度在0.1到0.9.16之间。p.BARTESAGHI、M.BENZI、G.p.CLEMENTE、R.GRASSI和E。

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2022-6-24 10:10:10

在图4中，我们显示了风险依赖中心度Ri、循环率Cian和传递率Tias密度函数的相应行为，但假设外部风险水平较低，ζ=0.1。同样，所有数字均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），δ在0.1和0.9之间变化。关注风险依赖的中心度比率（Ri），我们观察到，低风险框架（ζ=0.1）中节点之间的标准偏差低于高风险框架（ζ=1）。例如，当密度等于0.1时，比率的标准偏差从0.20（ζ=0.1）变为0.37（ζ=1）。从现象学的角度来看，这种行为可以通过以下事实来证明：当网络高度风险暴露时，节点之间的差异往往会增强。此外，ζ=0.1时的IE（Ci）模式非常奇特。在这种情况下，当网络非常稀疏时，节点显示出类似的循环性，而当密度在0.5左右时，观察到更大的差异。经济和金融网络中的风险依赖中心度17（a）（b）（c）（d）图4：图a）、b）、c）和d）分别显示了在外部风险较低（ζ=0.1）的情况下计算的比率Ri、CiE（Ci）、TiE（Ti）和Cirire的分布。所有数据均基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p），密度在0.1和0.9之间变化。最后，在图5中，我们将重点放在推理上，并将风险依赖中心度的循环发生率作为外部风险ζ的函数进行报告。在稀疏网络的情况下（图5（a）），当外部风险较低时，我们发现感染仍在较大的部分18 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.Estradaci在节点周围循环，而只有较低比例的风险倾向于传递到其他节点。

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2022-6-24 10:10:13

这是因为，对于稀疏且ζ较小的矩阵，矩阵ζA=I+ζA+ζA+O（ζ）是强对角占优的。如前所述，当外部风险较高时，我们有一个循环性的平均发生率，即风险依赖中心。相反，当考虑非常密集的网络时，外部风险对推理的影响非常小。在这种情况下，当ζ增加时，CIAN和Ri平均以相同的速率增加。然而，对于ζ的极低值，铱的下降行为是显而易见的。（a）（b）图5：图中报告了每个节点Ri的循环性Cian和风险依赖中心度之间的比率分布，分别使用密度等于0.1（图a）和0.9（图b）的生成ERgraphs计算不同的ζ。这两个图都基于1000个随机生成的ER网络ΓER（n；p）。在下文中，我们提供了迄今为止观察到的行为的详尽证据。让我们从理性主义的高密度模式开始（见图3（d）、4（d）和5（b））。该比率的渐近行为可以解释为附录中定理a.1的结果，其中我们推导出了完整图的三个风险相关中心度量的闭合表达式。实际上，作为δ→ 1，ER网络接近一个完整的功，对于ζ增加，推理接近1/n，如a.1所示。尽管如此，这个结果还是可以推广的。事实上，对于denseenough的ER网络，以下属性适用于任何ζ。定理5.1。设ΓER（n；p）是一个具有n个节点和概率的Erd"os Rnyi随机图。如果图的边缘密度为δ>（对数n）/n和p（1- p） >（log n）/n，则对于经济和金融网络中的任何节点iRISK依赖中心性19（5.1）limn→∞nCiRi=1，与ζ无关。证据让我们像往常一样考虑λ>λ≥ ··· ≥ λ在连通图中。

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2022-6-24 10:10:17

在ER图中，已知光谱间隙（λ- λ) 事实上，正如【51】所证明的，limn→∞λnp=1，而λ和λngrow比limn慢→∞λnε=0和limn→∞λnnε=0，每ε>0.5。那么，如果np（1- p） >（logn），除最大特征值外，所有特征值都在区间Pnp（1）内具有高概率- p）[-2+o（1），+2+o（1）]（见[82]和[57]）。因此，（5.2）limn→∞CiRi=limn→∞ψ1，ieζλ+Pnk=2ψk，ieζλkψ1，i~ψT~eζλ+Pnk=2ψk，i~ψTk~eζλk=ψ1，iPnj=1ψ1，j。ER图的边密度是δ=p。在[26]中，证明了对于np>（log n），存在一个正常数C，使得以下不等式成立（5.3）~ψ-√n个~∞< C√nlog nlog（np）slog nnp，简单地说，这意味着当n→ ∞. 那是limn→∞√nψ1，对于每个节点i，i=1。因此，结果立即如下。值得指出的是，当ER网络的密度非常低时，相对于密度较大的ER网络，比率的标准偏差非常大（如图3（d）所示）。正如我们之前所证明的，这个比率对值n的收敛性-1仅当图形的密度相对较大时才放置。现在让我们分析当大型图的边密度非常小时会发生什么。在这种情况下，我们观察到，在[0，1]范围内，作为外部风险的函数，推理的衰减速度较慢（见图5（a））。这一事实可以很容易地证明如下。通常，该比率的分子和分母都可以表示为以下类型的有限系列：C（ζ）i=Q（ζ）=1+aζ+·····+akζk+···········································································································································。

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2022-6-24 10:10:20

ESTRADAwhere Ak计算从节点i开始和结束的长度为k的闭合走行数，Bk计算从i开始到任何节点j 6=i结束的长度为k的所有开放走行数。让我们考虑dζQ（ζ）Q（ζ）+L（ζ）=L（ζ）Q（ζ）- L（ζ）Q（ζ）[Q（ζ）+L（ζ）]=2abζ+···+2abkζk+1+···-b+2bζ+abζ+···+bakζk+···[Q（ζ）+L（ζ）]然后，对于某些ζ<1的情况，前面表达式的分子为负，这意味着比率（ζ）Ri（ζ）随ζ单调递减。例如，让我们对多项式Q（ζ）和H（ζ）进行二阶近似。然后，我们得到q（ζ）H（ζ）=1+ζki1+ζki+ζ（ki+P2，i），其中P2，iis是从节点i开始的长度为2（楔形）的路径数。在ER图中（ki）=（n- 1） p和E（P2，i）=（n- 1） p- （n）- 1） p.因此，Q（ζ）H（ζ）≈1+ζ（n- 1） p1+ζ（n- 1） p+ζ（n- 1） p=1+？kζ1+？kζ+？kζ，其中？k=（n- 1） p是平均度数。该有理函数的一阶导数为dζQ（ζ）H（ζ）=\'kζ-\'\'k“k”- 1.ζ+4？k2+2'kζ+'kζ,对于任何k都是负值≥ 1和0≤ ζ ≤ 1如图6所示。此外，该导数的绝对值随着'k的减小而增大，这意味着对于较低密度，函数ci（ζ）Ri（ζ）的衰减较慢。在本节结束时，我们想重点关注RIAN和CIAN两个主要中心性指标所产生的排名，以及它们之间的相似性。特别是，我们感兴趣的是确定不同的中心性指标是否提供类似的排名，或者针对何种类型的网络。为此，我们在表1中显示了不同图形密度和各种ζ值的风险依赖中心度Ria和循环性Cif之间的斯皮尔曼相关系数。平均而言，我们观察到两个中心性度量之间存在强的正单调依赖关系。正如所料，随着密度的增加，这两个度量趋向于完美单调性。

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2022-6-24 10:10:23

值得注意的是ζ的行为。在低风险框架（ζ=0.1）中观察到较高的依赖性，而在分析高风险环境时，轻微的减少是显而易见的，这再次提供了一个经验证据，证明节点之间的差异在压力条件下会增加。此外，经济和金融网络中的这种风险依赖中心性21-1001100-50比率的一阶导数0.505000-100-80-60-40-200图6：0≤ ζ ≤ 1和参数“k”≥ 1.结果与前面讨论的Cion Riasζ消失的较高发生率一致。为简洁起见，我们不报告RIA和Ti之间的斯皮尔曼相关性。然而，在所有情况下，系数都大于0.9999。表1:CIAN和Riin ER图之间的Spearman相关系数，在不同密度和不同ζ值下具有100个垂直度。密度0.1 0.3 0.5 0.7 0.90.1 0.9947 0.9967 0.9971 0.9994 0.9998ζ0.5 0.9844 0.9950 0.9966 0.9994 0.99981.0 0.9813 0.9950 0.9966 0.9994 0.99986。现实世界金融网络分析。在本节中，我们进行了一些实证研究，以评估拟议方法的有效性。我们考虑两种不同的网络。在第一个数据集中，我们收集了2001年1月至2017年12月期间的数据集每日收益，其中包括2017年底标普100指数的102只主要美国股票成分。数据已从彭博社下载。已使用每月阶梯式六个月窗口分割收益。这意味着第一个六个月宽样本窗口的数据用于构建22 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA的第一个网络。

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2022-6-24 10:10:27

重复该过程，将窗口向前滚动一个月，直到数据集结束，总共获得199个网络。第一个网络表示为“1-2001”，涵盖2001年1月1日至2001年6月30日期间。后者（“7-2017”）涵盖2017年7月1日至2017年12月31日期间。因此，对于每个窗口，我们有一个网络Γt=（Vt，Et）（t=1，…，199），其中资产是节点和链接，通过计算每对资产的经验回报之间的相关系数ttρi，jb进行加权。请注意，资产的数量可以随时间变化。事实上，如上所述，我们已经考虑了2017年底标普100指数的102项资产构成。其中一些资产在某些特定时期内没有可用的信息。因此，在每个窗口中，我们只考虑其观测值足够大的资产，以确保对相关系数进行显著估计。然而，本文的目的不是处理替代估算方法的影响。因此，在这段时间内，199个网络中的节点数量从83个到102个不等。然后，我们遵循[65，72]中提出的方法，使用基于距离stdi，j:tdi，j=p2（1）的非线性变换-tρi，j）。距离矩阵Dt=[tdi，j]i，j∈Vt，含元素0≤tdi，j≤ 2，成为图Γt的加权邻接矩阵。如[72]所述，我们提取最小生成树Tt。这是一个简单的连接图，它用nt连接图的所有ntnodes-1条边，使得所有边权重的总和sptdi，j∈Tttdi，jis最小值。如【72】所示，这个最小生成树作为整个相关矩阵的强约简代表，承载着关于集合相关性的基本信息。

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2022-6-24 10:10:30

此外，节点中心性的研究和树随时间的演化分析是投资组合选择问题中的两个关键问题（见[72，75，77]）。据《福布斯》杂志报道，第二个数据集由1999年美国顶级企业网络组成。网络结构如下所示。首先，我们考虑一个两部分工作，其中一组节点由公司组成，另一组节点由此类公司的首席执行官（CEO）组成。由于一个首席执行官可以在多个公司任职，我们将此二部图投影到公司空间。这样，如果nodesrepresent公司和两个公司共享至少一个董事，它们就会通过一条边连接在一起。我们考虑该网络的两个版本，第一个版本使用两家公司共享的董事人数作为边缘权重，第二个版本使用第一个版本的二进制版本。我们将分别将其称为加权网络和二进制网络。该网络有824个节点，由814个节点组成的一个巨大组件组成。我们选择了giantcomponent及其二进制和加权邻接矩阵。有关此网络的全面描述，请参见，例如，[20]。通过计算总可通信性，研究了由这两个数据集导出的网络，ζ变化的每个节点的循环性和传递性（0，1）步骤0.01.6.1：资产网络。从资产树Tt开始，我们通过使用风险依赖的中心性RIA和测试不同的ζ值来衡量每个节点的相关性。我们在图7中考虑了每个资产的排名分布。通过根据interval（0，1），步骤0.01。

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