我们还通过配对t检验验证了平均波动率的差异是显著的，这有助于比较不同时间段的相同资产样本。将1-2001年的网络与涵盖危机期（2007年底或2008年底）的两个网络进行比较，我们得到24个P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADAp值约为10-5和10-8这有力地证明了两个样本之间的平均差异为零的无效假设。正如预期的那样，当比较覆盖全球金融危机时期的网络时，该测试在统计上并不显著（p值为0.31）。图8：图报告了基于Ri的节点排名相对于ζ的标准偏差分布。对于每个分布，结果集由计算的可选值ζ的Ric排名的标准偏差给出。结果分别与第一个窗口1中的网络有关- 2001年、2007年底和2008年底。虚线表示平均标准偏差：值分别等于2.31、4.27和4.80。关于特定资产的行为，我们观察到，例如，一些资产从低风险框架下降到高风险框架，下降了约60个头寸。Danaher Corporation和Honeywell International代表了两个例子（图9中分别为资产28和43）。相反，埃森哲公司（图9中的节点3）将其排名从第61位提高到了第11位。正如排名的波动性所示，即使是排名靠前的中心节点也会受到ζ的影响。

联合技术公司（图9中的节点编号82和图10中的节点编号83）的相关性已得到证实，该公司在2017年底再次位居榜首，与ζ无关。2008年底，该资产的中心地位也得到了确认，尽管该公司的排名存在一定的差异。经济和金融网络中的风险依赖中心性251 2 30 40 50 60 70 80资产数字0102030405060708090排名位置图9：图报告了基于Ri的节点相对于ζ的排名分布。对于每个分布，结果集由计算的可选值ζ的Ric排名给出。结果与2007年底的资产树有关。26 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA1 2 30 40 50 60 70 80资产编号0102030405060708090排名位置图10：图报告了基于ζ的Ri的节点排名分布。对于每个分布，结果集由计算的可选值ζ的Ric排名给出。结果与2008年底的资产树有关。6.2。美国企业网络。根据《福布斯》杂志的报道，我们现在分析1999年美国顶尖企业的网络。在开始分析之前，让我们解释一下研究网络传播动态的重要性。根据这一网络，某一特定公司的董事会由少数成员组成，其中一些成员也存在于其他公司的董事会中。然后，这些在多个董事会任职的董事可以充当相应公司之间的信息传播者。此类信息可以是关于未来（有利或不利）经济形势、警报、市场机会或董事所在公司可能感兴趣的任何信息。

由于系统的全球连通性，此类“信息”可以在相对较短的时间内传播到整个网络，感染所有公司。正如我们之前所提到的，流行病学模型也被用于建模此类传播动力学（见第1.1节）。因此，我们将本节用于调查风险依赖中心度的显著增加是否代表了企业对网络上传播的金融感染的脆弱性。首先，我们应该指出，我们正在考虑的网络是基于1999年的数据建立的。今年，国际经济体系的压力水平相对较高，因为东亚金融危机发生在1997年至1998年，随后是1998年的俄罗斯违约。上述两次金融危机对美国市场产生了连锁反应。例如，文献中充分记载了所谓的“再销售”FDIRISK在经济和金融网络中的中心地位27（外国直接投资）现象，即在金融危机期间大量外国收购国内企业的激增（[2，24]）。因此，在1999年之后的未来几年（我们最终将看到这些与2000-2002年相对应的时期），该系统的压力和传染性水平预计将显著高于这些危机的影响逐渐缓解后的随后几年。因此，我们继续分析，考虑到1999年的感染水平很高，我们调查了缓解这种状况对降低压力水平的影响。

也就是说，我们首先假设在1999年，外部市场动荡可以用ζ=1来表示，我们想找出公司是如何改变其在风险相关的中心地位ζ消失的。为此，我们在（3.10）描述的传染模型中设置了不同的初始条件，根据市场环境条件，每年为传染参数γ分配不同的值。因此，我们让ζ因子逐年减少，以反映网络整体压力的减少。特别是，我们在1999-2003年期间将ζ从1线性减少到0。因此，基于ζ=1计算的风险依赖中心度的排名允许评估1999年每个公司的相关性。降低ζ，我们测试当外部风险降低时，公司的头寸如何随时间变化。值得注意的是，该参数与风险之间的联系可能非常松散，但正如以下分析所提供的，该模型在描述期间降低SVC的公司时似乎运行得很好。然后将排名的变化与股东价值创造（SVC）随时间变化的模式进行比较。根据经合组织公司治理原则，公司的运营首先应符合股东利益（经合组织，1999年）。因此，公司应该努力提高股东价值。增加股东价值离不开风险。众所周知，在股东价值模型中，为了最大化SVC，公司通常承担比需要更多的风险。作为这一额外风险的后果，公司获得的债务可能会使其不稳定，更容易面临破产风险。

收购大额债务被视为有助于提高股东价值，因为当公司从较低的基线开始时，它有可能增加价值。因此，SVC与风险之间存在联系，因为在寻找大型SVC的过程中，公司会增加其风险，以吸引更多投资者并增加潜在的价值收益，但同时，风险也会使公司更容易破产和倒闭。为了支持我们的解释，我们使用了Fernndez和Reinoso收集的1999-2003年标准普尔500指数中公司的SVC（见[35]）。因此，我们使用SVC作为风险的代理。事实上，SVC的全球平均值很好地反映了1999-2003年期间发生的情况。1998年金融危机后，世界处于更高的风险水平，这反映在2000年SVC从1999年的正值大幅下降到2000年的负值。这种情况一直持续到2002年，但最终在2003年恢复到积极的水平（见图11）。值得注意的是，分析报告的SVC数据也针对循环率和传递率进行了开发，但是，由于RIA和Ti之间存在显著的高阶相关性（斯皮尔曼相关系数大于0.99），因此我们在此仅关注Ri。特别是，我们在网络中使用了337家公司的样本，这些公司的SVC在[35]中提供的数据集中可用。28 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI、E.ESTRADAFernandez和Reinoso，1993-2003年。从这段较长的时间里，我们选择了1999-2003年的数据段，该数据段恰好包含了1998年金融危机产生的山谷，也可能是因为用于构建企业网络的数据是1999年的数据。

也就是说，它对应着一段时间，在这段时间里，世界经济因危机而下降，然后最终从中恢复过来。-2000020001999 2000 2001 2002 2003年创造股东价值（十亿美元）图11:1999-2003年期间构成标准普尔500指数的公司的总创造股东价值（十亿美元）（数据取自[35]）。我们将统计分析的重点放在SVC演变的风险依赖中心性的可预测性上。我们考虑了1999-2003年期间公司SVC的演变，这一时期是美国企业精英网络建立后的第一个时期。作为公司SVC演变的代表，我们考虑了基于SVC的公司排名与年度回报的皮尔逊相关系数ρ。在这种情况下，ρ的负值（正值）表示，当全球外部影响性降低时，相应的公司从1999年到2003年降低（增加）其SVC。因此，我们应用线性判别分析（LDA）将这些公司分为两组：（i）这一时期SVC呈负趋势的公司，以及（ii）呈正趋势的公司。用于该分类的唯一预测因素是参数等级（Ri）。该参数是当ζ=1时公司排名与当ζ=0.01时同一公司排名之间的差异。换句话说，负（正）值等级（Ri）意味着当系统的传染性较低时，公司降低（增加）了风险暴露。在对处置的整个样本进行LDA应用之前，我们将排除一些SVC与当年回报之间的相关系数很小（即接近于零）的公司。

我们根据经验测试了移除ρ<a的公司所产生的影响，对于阈值a的不同值，例如，a=0.01、0.025、0.05、0.075、0.1。通过剔除ρ|<0.05的公司，可以将这些公司最好地划分为所分析的两组。在这种情况下，经济和金融网络中的风险依赖中心性29 LDA模型的总精度为60.5%。也就是说，332家公司中有200家在各自的集团中被正确分类，代表了SVC收缩或扩张的趋势。特别是，已确定的LDA模型为^Yi=-0.3177 + 0.0102Rank（Ri），其中^yi是我们分析的预测响应变量，允许将公司分类到各自的组中。变量的正系数等级（Ri）表明：（i）增加风险敞口(等级（Ri）>0）倾向于扩大公司的SVC，以及（ii）减少风险敞口(秩（Ri）<0）倾向于缩小公司的SVC。对于这两个群体，我们在图12（a）中报告了预测值与LDA之间的比较以及每个企业的观察值。线下的红色方块和线上的蓝色圆圈分类正确，而线下的蓝色圆圈和线上的红色方块分类错误。此外，在图12（b）中，我们报告了相关的混淆图，其中，真阴性和真阳性的数量位于反对角线上（分别为底部和上部），假阴性和假阳性的数量位于主对角线上（分别为底部和上部）。值得注意的是，当只考虑扩张SVC的公司时，模型的分类绩效较低（在这方面，见图12（b）中，属于观察类别的公司，用符号+表示）。

例如，从1999-2003年期间增加SVC的147家网络公司中，只有36家通过他们班的排名（Ri）。相反，在1999-2003年期间，175家缩减SVC的公司中，变量排名（Ri）准确预测了这一类中的157家公司。也就是说，仅使用1999年的数据，公司的风险依赖中心性就清楚地确定了约90%的公司将在1999-2003年期间缩减其SVC。简单地说，我们的结果表明，在感染性的外部条件较低的情况下，减少风险暴露，很可能会降低公司的SVC。30 P.BARTESAGHI，M.BENZI，G.P.CLEMENTE，R.GRASSI和E.ESTRADA-100-50 0 50 100-1-0.500.51 SVC的趋势（a）（b）图12：（a）线性判别分析（LDA）模型的说明，将公司的趋势分为收缩SVC（红色方块）和扩张SVC（蓝色圆圈）。黑线表示基于Ri（ζ）变化的LDA模型，其值为ζ=0.01和ζ=1.0，以预测SVC的趋势。线下的红色方块和线上的蓝色圆圈被很好地分类，而线下的蓝色圆圈和线上的红色方块被错误地分类。大约90%的缩减SVC的公司（红色方块）的LDA分类正确。（b） 混淆矩阵图。在x轴上报告真实类（观察类），在y轴上报告预测类（输出类）。真阴性和真阳性病例数位于反对角线上（分别为底部和上部），假阴性和假阳性病例数位于矩阵的主对角线上（分别为底部和上部）。

在负（正）类中，我们考虑1999-2003年SVC呈负（正）趋势的公司，让我们用以下备注来结束。即使“好”公司在ζ消失时增加其风险中心度排名，但值得注意的是，这发生在全球市场压力非常低的时候。当感染率很低时，“好”和“坏”公司被感染的绝对概率也很低。为了说明这一事实，让我们考虑一下，根据我们的模型，给定公司不受网络内传播的危机影响的概率为1- xi（t）=αe-βα（Ri-1） ，其中β和α=1- β分别是已感染和未感染节点的初始概率。因此，两个节点i和j成功通过危机的概率之比由eβα（Rj）给出-Ri）。我们计算了在类似行业运营的不同公司的这些比率，一个是“好”的，一个是“坏”的（图13）。经济和金融网络中的风险依赖中心性31（a）（b）图13：数据显示了两对不同公司未感染危机的概率之间的比率：a）朗讯科技（股份有限公司）优于通用电气（General Electric Co.b）摩根士丹利（Morgan Stanley Co.）优于Bank One Corp。值得注意的是，朗讯科技（股份有限公司）和摩根士丹利（Morgan Stanley Co.）降低了排名随着时间的推移，通用电气公司（General Electric Co.）和第一银行（Bank One Corp.）的排名有所上升。正如预期的那样，在低ζ下，高风险和低风险中心性公司不受危机影响的概率是相同的。

但这一比率随着ζ的增加而迅速下降，这意味着对于降低风险的公司（如朗讯科技、摩根斯坦利、联合碳化物公司和美国运通），与增加风险的公司（如通用电气、第一银行、阿什兰和美国银行）相比，危机期间保持安全的可能性非常小。7、分层排列。在对所研究的两个真实网络进行分析的过程中，我们注意到，随着ζ的变化，一些节点的排名发生了显著变化，甚至改变了它们相对于彼此的位置。例如，在图14中，weillustrate展示了六对公司，它们的位置与网络中的全球可感染性的变化交织在一起。在第一对图14（a）中，我们看到在低水平的可感染性，即ζ→ 0，J.P.Morgan&Co Inc.（红色）在Cimore排名中的位置低于美国银行（蓝色）。也就是说，在全球传染性较低的情况下。P、 摩根公司面临的风险低于美国银行。然而，当网络中的全局可感染性增加时（ζ→ 1） ，美国银行面临的风险低于日本银行。P、 摩根公司（Morgan&Co.）在图14中观察到了其他夫妇之间的类似交错。例如，在图14（f）中，通用汽车公司（红色）和波音公司（蓝色）的排名之间的交错出现在比之前情况更小的ζ值。在对这一现象进行分析之前，我们想指出的是，存在32 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADAof排名交错意味着基于风险相关中心度的网络中节点排名并不像其他经典中心度度量那样是唯一和固定的，例如度、特征向量、贴近度、，中间性。

相反，节点的排名取决于网络提交的全球外部条件。经济和金融网络中的风险依赖中心性33（a）（b）（c）（d）（e）（f）图14：a）摩根大通公司和CoInc公司的流通性排名交错说明。（红色）和美国银行股份有限公司（蓝色）b）P fizer Inc.（红色）和Ashland Inc.（蓝色）c）Morgan Stanley&Co.（红色）和Bank One Corp.（蓝色）d）AT&T Corp.（红色）和AirtouchCommunications Inc.（蓝色）e）Union Carbide Corp.New（红色）和AON Corp.（蓝色）f）General Motors Corp.（红色）和Boeing Co.（蓝色）34 P.BARTESAGHI，M.BENZI，G.P.CLEMENTE，R.GRASSI和E.ESTRADAIn为了阐明排名交错的问题，我们将使用风险相关的总可传播性Ri（ζ）和循环性Ci（ζ）度量的不同表示（可传播性是作为这两种度量的不同而获得的，并且可以根据这两种度量进行处理）。首先，将矩阵指数展开为幂级数，得到表示（7.1）Ri（ζ）=eζA~我=∞Xk=0ζkk！w（k）i，其中w（k）i=Ak公司~IDE记录从节点i开始的长度为k的行走次数，其中w（0）i=1。特别地，w（1）i=ki，节点i的阶数。类似地，（7.2）Ci（ζ）=eζA二=∞Xk=0ζkk！w（k）i，i，where now w（k）i，i=Ak公司ii是通过节点i的长度为k的闭合行走数；特别是，w（0）i，i=1，w（1）i，i=0，w（2）i，i=ki，w（3）i，i=2ti，其中Ti是节点i参与的三角形数。其次，我们回顾了谱定理得出的公式（7.3）Ri（ζ）=nXk=1eζλkψTk~ψk，i，Ci（ζ）=nXk=1eζλk（ψk，i）。使用（7.1）-（7.2），我们很容易看到，当ζ>0时，ζ的两个函数都是绝对单调的，即它们是正的，并且在（0，∞), 所有的导数都是非负的。特别地，这两个函数都是严格递增和严格凸的。定义7.1。

我们说节点i和节点j的排名基于ζ处的循环交错*> 如果Ci（ζ）为0*) = Cj（ζ*) 存在ε>0，使得Ci（ζ）- Cj（ζ）在（ζ）中只更改一次符号*- ε, ζ*+ ε).换句话说，节点i和j在ζ处交错*> 如果Ci（ζ）和Cj（ζ）的曲线相交于ζ=ζ，则为0*. 我们注意到，原则上，可以有Ci（ζ*) = Cj（ζ*) 对于某些ζ值*没有发生交错。可能有两种情况：在第一种情况下，两条曲线在隔离点ζ处接触*（无交叉），在第二个函数中，这两个函数在ζ的开放邻域上是相同的*因此，对于所有ζ，因为它们是解析函数。在实践中，这两种情况都不太可能发生，至少在现实网络中是这样。注意，切点必须满足附加条件Ci（ζ*) = Cj（ζ*).基于其他ζ依赖性度量，例如总可传播性Ri（ζ），可以对排名给出类似的定义。在下文中，我们将讨论限制在根据循环性对排名进行交错，但类似的观察结果适用于总的可传播性和传递性函数。识别交错点（如果存在）需要找到超越方程Ci（ζ）的根- Cj（ζ）=0，或ψ（ζ）：=nXk=1eζλkψk，i- ψk，j= 0.经济和金融网络中的风险依赖中心性35即使我们明确知道A的特征值和特征向量，超越函数ψ的根也没有通用的闭式表达式。当然，人们可以求助于数字寻根技术，但这对于大型网络来说是不切实际的。在这里和下面，我们给出了一个定性的讨论，然后是一个启发式的方法，该方法可以简化在实践中似乎运行良好的编程。我们从以下结果开始。

它既适用于循环性排名，也适用于基于总体公共性的排名，事实上，它适用于更大一类依赖于参数的中心度排名函数，包括卡茨中心度[53]。我们提醒读者，我们将风险率ζ限制为正值。定理7.2。设i和j是具有不同特征向量中心性的两个节点：ψ1，i6=ψ1，j。那么i和j的交错点的数量必然是有限的（可能为零）。证据让我们假设至少有一对节点，i和j，它们的排列空间，因此ψ（ζ）=0至少有一个正根。观察由Ci（ζ）提供的节点i的排名与使用^Ci（ζ）=e获得的节点i的排名相同-ζλCi（ζ）=ψ1，i+nXk=2eζ（λk-λ） ψk，i.当该量单调趋向于ψ1时，iforζ→ ∞, 存在一个ζ，使得在ζ>ζ时不会发生与节点j的rankinterlacing，因为所有节点排名必须在较大的ζ极限下稳定在特征向量排名上。因此，所有交错点必须落在紧致间隔[0，’ζ]内。假设交错点的数量是有限的。根据Bolzano-Weierstrass定理，这个集合有一个累积点。但由于^ψ（ζ）：=e-ζλψ（ζ）是解析的，在这个集合上为零，它必须处处为零，这与（0，∞).因此：推论7.3。如果网络中的所有节点具有不同的特征向量中心，则交错点的总数是有限的（可能为零）。对于节点i和j对，存在至少一个交错点的充分条件是ki≥ 千焦（或千焦≥ ki）而ψ1，i<ψ1，j（分别为ψ1，i>ψ1，j）。

这源于定理4.2：由于Ci（ζ）在度中心性和igenvector中心性之间平滑插值，因此阶数越高的节点的特征向量中心性越低的唯一方法是相应的循环在某个值ζ处交错*> 如果存在多个交错点，则该数字必须为奇数，否则阶数较高的节点也会比其他节点具有更高的特征向量中心性。考虑到偶数个交错点的可能性，上述条件是不必要的。存在至少一个层间点的一个必要条件是，至少存在两个k值，例如kand k，其中（Ak）ii- （Ak）jjand（Ak）ii- （Ak）JJ有不同的符号。事实上，从（7.1）-（7.2）中可以明显看出，如果（比如）（Ak）ii≥ （Ak）jj对于所有k，则不存在秩交错点。级数展开式包含一个完整的项，这表明该条件可能不充分。我们提到，对于不同的中心性函数（卡茨预解式），同样的问题已经由【56】独立于我们进行了研究。36 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA7.1。一种封闭式方法。我们现在考虑基于截断序列扩展的启发式算法。让k≥ 3是k的最小值，使得值序列{（Ak）ii-（Ak）jj}k≥2发生符号变化（此处零被视为正）。如果没有这样的kexists，那么就不会发生交错，正如我们已经观察到的那样。我们考虑将Ci（ζ）的截断近似为k阶≥ k： （7.4）Ci（ζ）≈ 1 +2!ζw（2）i，i+3！ζw（3）i，i+···+k！ζkw（k）i，i=~Ci（ζ），其中我们回忆起w（k）i，i=（Ak）ii。我们强调，这种多项式近似假设ζ很小，因为它的误差是O（ζk+1）。

另一种方法是，我们也可以将同一多项式除以1，再除以ζ：~Ci（ζ）作为替代项- 1ζ=2!w（2）i，i+3！ζw（3）i，i+···+k！ζk-2w（k）i，i，其中现在的误差为O（ζk-1). 现在，我们可以使用这些多项式近似来近似地定位任何数量级非常小的交错点。这需要找到k次多项式方程的（正）根（如有）- 2： （7.5）q（ζ）=（w（k）i，i- w（k）j，j）k！ζk-2+（w（k-1） 我，我- w（k-1） j，j）（k- 1)!ζk-3+··+（w（3）i，i- w（3）j，j）3！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）2！=众所周知，对于大于或等于5的次数，代数方程的解不存在只涉及算术运算和根抽取的闭式表达式，因此通常如果k≥ 7我们将不得不求助于数值方法来解决（7.5）。系数的评估需要计算邻接矩阵A的幂的对角线项，这对于非常大的图和k的大值来说可能很昂贵。作为最简单的例子，我们考虑w（2）i，i>w（2）j，jand w（3）i，i<w（3）j，j（反之亦然）的情况，即k=3。取k=k，方程（7.5）变成线性方程（w（3）i，i- w（3）j，j）3！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）2！=0，这允许唯一解ζ*=3（w（2）i，i-w（2）j，j）w（3）i，i-w（3）j，j，这当然是正的。根据节点的角度和它们所处的三角形的数量，这可以写为：（7.6）ζ*=ki公司- kjti公司- tj公司.在加权网络的情况下，度被加权度或强度代替，三角形的数量被长度为3的循环的加权数代替，即长度为3的循环的权重是其三条边上权重的乘积。

先验地，经济和金融网络中的风险依赖中心性37没有理由期望该值接近实际交错点（假设它甚至存在），因为高阶项的行为可能会更有效地影响涉及风险的负项的影响-tj。通过考虑高阶近似可以获得更好的近似；例如，使用k=4可以得到ζ中容易求解的二次方程，k=5可以得到三次方程，依此类推。在任何情况下，这些都是启发式方法，其有用性只能通过具体实例进行实验评估。我们强调，使用幂级数截断需要了解k，因为以低于kwould的阶数截断级数会导致一个没有正解的方程，从而得出结论，给定的一对节点不存在交错点，即使这些点确实存在。还值得回顾笛卡尔的符号规则，根据该规则，多项式的正实根数（与它们的多重数一起计数）等于（非零）系数中的符号变化数，或者小于偶数，当幂按降序排列时。此外，如果已知多项式只有实根（如对称邻接矩阵，即无向网络的情况），则符号变化的数量正好等于正根的数量。因此，很明显，如果幂级数在k阶处截断，即一旦我们观察到系数的初始符号变化，那么将只有一个正根，因此通过这种方法只能找到一个（近似）交错点。高次k>kma的多项式截断可能有多个正根，这取决于系数的变化数量（假设网络是无向的）。

我们很快就会回到这个案子上来。为了举例说明之前的发现，让我们考虑一对在程度上有微小差异的节点，例如ki- kj=2，则-（千- 2)≤ （ti- tj）≤ ki，例如，如果ki≤ 10，让ζ在0到0.1之间变化，我们得到图15（a）中给出的曲线图。可以看出，以下是 = ti公司-tj<0，我们可以得到Ci的正值和负值- Cj。这如图15（b）所示，我们可以看到-100≤  ≤ -40 Ci既有正值，也有负值- Cj。换言之，可以找到Ci（ζ）>Cj（ζ），然后Ci（ζ）<Cj（ζ）的成对节点，这意味着即使在相对狭窄的窗口内，当ζ值发生变化时，这些节点也会改变其在风险依赖中心性方面的排名。注意，如果ki- kj=2，和 ≥ -30在所分析的ζ的相应范围内，未观察到此类变化。38 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADA-0.0210000.1Ci-Cj0.02ti-tj00.040.05-1000-0.02-0.0100.010.020.030.04（a）0 0.05 0.1-0.025-0.02-0.015-0.01-0.00500.0050.01Ci-Cj=-10=-20=-30=-40=-50=-60=-70=-80=-90=-100（b）图15（a）说明在程度上有微小差异的节点的风险依赖中心性差异的变化，ki- kj=2，作为三角形数量差异的函数，ti- tj和网络传染性风险ζ。（b） 为ki设计的一些曲线- kj=2，给定值为 = ti公司- tjas是ζ的函数。如果我们现在考虑节点度的巨大差异，例如ki-kj=100，以及三角形数量差异的相同变化量，例如。，-100≤  ≤ 100如图16（a）所示，我们未观察到节点对排名的任何变化。

在这种情况下 必须大幅增加，以获得节点的PAIR排名的反转（见图16（b））。经济和金融网络中的风险依赖中心度3901000.050.1Ci-Cj0.1ti-tj00.05-100000.020.040.060.080.10.12（a）-1500000.1Ci-Cj1ti-tj020.05-50000-1-0.500.511.52（b）图16：节点风险依赖中心度差异的变化说明-kj=100，作为三角形数量差异的函数，-100≤  ≤ 100（a）和-5000≤  ≤ 5000（b），网络传染性（风险）ζ。为了说明估计值（7.6）的表现如何，我们使用它来近似几对公司的交错点，并将其与表2中美国公司网络加权版本的观察值进行比较。表2:1999年美国公司网络中几对公司排名交叉点的计算以及出现此类交叉点的观察值。地块公司1公司2ζ*计算ζ*观察（a）摩根大通（J.P.Morgan&Co.股份有限公司）美国银行（Bank of America Corp.）0.375 0.37（b）菲泽（P.Fizer）股份有限公司阿什兰（Ashland）股份有限公司0.441 0.41（c）摩根士丹利（Morgan Stanley&Co.Bank One Corp.）0.176 0.17（d）美国电话电报公司（AT&T Corp.）Airtouch Communications 0.273 0.27（e）联合碳化物公司（New AON Corp.）0.353 0.32（f）通用汽车公司（General Motors Corp.）波音公司（Boeing Co.）0.214 0.14关于幂级数截断启发式有效性的更多一般考虑因素可以是…制造的包含任何交错点的区间的大小在很大程度上取决于基于度量值Ci（ζ）（或￠Ci（ζ））的排名在使用特征向量中心性获得的排名附近稳定的速度。这又取决于光谱间隙λ- λ： 差距越大，ζ值增加时，特征向量中心度排名接近得越快。

因此，在间隙相对较大的情况下，我们预计任何层间40 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.EstradaValue都会出现在ζ的较小值上。在这种情况下，可以调整基于多项式近似的启发式，因为对于较小的ζ值，可能已经发生交错。然而，众所周知，要确定光谱间隙何时“足够大”并不容易。另一方面，当光谱间隙很小时，间隔[0，(R)ζ]将变大，因此有“更多的空间”发生交错。不幸的是，在这种情况下，不清楚多项式截断是否会对交错点的大致位置产生影响。在这种情况下，一种可能的解决方案是将函数Ci（ζ）展开，不围绕值ζ=0展开，但也围绕一些值ζ>0展开。该策略还可用于在找到第一个交错点ζ后找到可能的第二个交错点*. 展开圆ζ*通向ψ（ζ*+ η） =Ci（ζ*+ η) - Cj（ζ*+ η) =2!（w（2）i，i- w（2）j，j）η+3！（w（3）i，i- w（3）j，j）η+····+k！（w（k）i，i- w（k）j，j）ηk+O（ηk+1）。除以η，将结果设为零，得到一个k次代数方程-2对于η；最小正根η*如果有，则得出近似值ζ*+ η*对于下一个交错点，依此类推。当根据基于风险的总可通信性度量i（ζ）对节点进行排序时，完全类似的考虑适用于交错点的近似。在这种情况下，要求解的超越方程由χ（ζ）=Ri（ζ）给出- Rj（ζ）=nXk=1eζλkψTk~[ψk，i- ψk，j]=0。设w（k）i=（Ak~1）i。

然后，截断级数展开式（7.1）并除以ζ>0，得到近似值（7.7）（w（k）i- w（k）j）k！ζk-1+··+（w（2）i- w（2）j）2！ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）=0，对于其最小正解近似于节点i和j排名的第一个交错值的方程，假设存在；再来一次k≥ k现在在哪里k≥ 2是序列{w（k）i-w（k）i}k更改符号。最简单的可能情况是当k=k=2时，当w（2）i，i- w（2）j，jand w（2）i- w（2）j=（A~1）i- （A~1）j有不同的符号。在这种情况下（7.7）简化为线性方程（w（2）i- w（2）j）ζ+（w（2）i，i- w（2）j，j）=0，具有唯一根ζ*= 2w（2）i，i- w（2）j，jw（2）j- w（2）i＞0。经济和金融网络中依赖风险的中心地位418。风险预测和2019冠状病毒疾病。自从我们提交了这项工作的第一个版本以来，从2019年12月开始，一场大流行从中国湖北省武汉市开始蔓延。这种疾病是由一种名为SARSCoV-2的新型冠状病毒引起的[45]，在大约三个月内影响了全球200多个国家。目前的主要问题是医学性质的，但正如Balwing和Wederdi Mauro所说，这种冠状病毒“在经济上和医学上一样具有传染性”[4]。与近期疫情相比，此次疫情最重要的特点之一是，它对世界上最重要的经济体——中国、美国、德国、意大利、西班牙——的影响非常强烈。关于这种流行病对宏观经济的影响，有一些初步研究（例如，见[4]）。然而，重要的是应用数学和计算技术，在区域、国家和国际层面预测此次危机对金融机构、公司和小公司的影响。

在一个全球依赖的经济体中，它们都高度互联，形成了一系列复杂的网络。在这种新的情况下，当前的工作为建模人员提供了一个机会，可以提前预测不同机构在当前情况下面临的潜在风险。该建模场景由所分析的机构之间的交互网络组成，假设网络中的传染性很高。通过使用此处定义的可传递性和可循环性度量，建模人员可以了解一家公司如何面临将危机传递给他人的风险，或如何分别处于重复经济困难的循环中。同时，目前的工作可以模拟欧盟、美国或中国的区域或全球金融机构采取的不同缓解措施对这些公司的影响。在这种情况下，建模者应降低系统的传染性，并分析不同公司的风险排名如何变化，以了解其潜在的恢复或破产。9、结论。一般来说，网络中的节点中心性有两种类型：（i）时不变拓扑网络中的节点中心性[29]，或（ii）时变拓扑网络中的节点中心性（又称时态网络）[49]。在这项工作中，我们发展了一个新的节点中心性概念，这取决于网络的拓扑结构和网络作为一个整体所处的外部条件。特别是，我们将全球风险作为影响经济和金融网络的外部因素。我们首先考虑“易感感染”模型及其与网络中节点和边缘的可通信性函数的关系。

然后，我们开发了一个fewcentrality度量，它不仅依赖于节点的局部和全局拓扑环境，而且还依赖于强调系统整体的传染性水平。通过这种方式，我们能够在金融和经济系统中预测节点风险依赖中心的变化，作为系统中全球传染性水平的函数。我们观察到，在不改变网络拓扑的情况下，即在不改变节点之间任何连接的情况下，根据这些新的中心性指标，节点的排名会随着感染率的变化而显著变化。在本文研究的现实世界网络中，我们能够将节点风险依赖中心性的变化与这些网络所处的现实金融和经济世界的事件联系起来。包括在内，我们在这里提供了理论、计算和经验证据，证明即使系统的拓扑结构没有变化，节点中心度也不是一个静态函数42 P.BARTESAGHI、M.BENZI、G.P.CLEMENTE、R.GRASSI和E.ESTRADAat。预计这一新范式将在评估金融和经济系统对其所承担的外部条件变化的稳健性方面发挥重要作用。参考文献[1]F.Allen和A.Babus，《网络挑战中的网络融资：互联世界中的战略、利益和风险》，沃顿商学院出版社，2009年。[2] R.Alquist、R.Mukherjee和L.Tesar，甩卖外国直接投资还是照常营业？，国家经济研究局工作文件，2013年。[3] H.Amini、R.Cont和A.Minca，《金融网络中的传染韧性》，数学。《金融》，2016年第26（2）期，第329-365页。[4] R.Balwin和B.Weder di Mauro，（编辑）。2019冠状病毒疾病时代的经济学。CEPR出版社，伦敦，2020年。[5] A.Barja、A.Martnez、A.Arenas、P.Fleurquin、J.Nin、JJ。拉马斯科，E。

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