共单调金融网络中债务和权益的定价

2022-6-10 21:14:11

这些相互联系有效地将不同银行的资产负债表联系起来，并使一家公司的价值取决于其他公司的业绩。这些共享的联系可能会为共享的繁荣开辟道路，但也会为本地区带来潜在的渠道。在金融危机期间，这些传染途径变得尤为重要，其中一家公司的失职可能会导致其他公司的倒闭。这种影响也被视为级联默认值。论文的其余部分组织如下。第1.1节对相关文献进行了回顾。第1.2节提供了共济会捐赠设置的详细动机，这是该工作的核心。第1.3节重点介绍了本文的主要创新点。在第2节中，我们描述了我们的数学设置和艾森伯格Noe框架的必要背景。第3节考虑了当基金获得共单调捐赠时的网络清算。我们提供了对等价物支付、股权和财富的预期。此外，我们证明了这些期望值可以为第4节中的一般随机禀赋设置提供上界和下界，例如Gouriéroux et al.（2012），Barucca et al.（2020）。第5节考虑了所提供的估价在常规设置下与不同系统参数相关的简单比较静态，以便与托顿【1974年】进行明确比较。第6节结束。所有证据可在在线附录J.1.1文献综述中找到。自2007-2009年金融危机以来，研究金融系统内相互联系的影响取得了显著成效，特别强调了系统风险的建模和量化。系统性风险建模的主要方法之一是基于基本网络的方法。

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2022-6-10 21:14:14

Eisenberg和Noe（2001）的开创性论文将这些财务依赖性建模为一个有向图。在这种方法中，企业必须通过转让资产来偿还全部债务，否则将被视为资不抵债，无法全额偿还。这种无法全额支付的情况反过来会导致其他银行违约，从而导致卡斯卡违约。已实现（清算）支付的这种相互依赖性被建模为一个定点问题。Eisenberg和Noe[2001]证明了清算付款的存在性和唯一性，并为清算付款的计算提供了一个优雅的算法。艾森伯格Noe的这一基线设置已在多个方向上扩展，以说明更现实的情况。Suzuki【2002年】、Gouriéroux等人【2012年、2013年】考虑了通过交叉持股实现互联。Elsinger【2009年】、Rogers和Veraart【2013年】、Glasserman和Young【2015年】、Weber和Weske【2017年】、Capponi等人【2016年】、Veraart【2020年】对破产成本形式的现实违约机制进行了研究。中央银行和监管机构已将这些网络模型纳入其金融系统的压力测试中（se e，例如，Anand等人【2014年】、Halaj和Kok【2015年】、Elsinger等人【2013年】、Upper【2011年】、Gai等人【2011年】）。因此，评估索赔时必须考虑到整个网络的影响，以便也考虑到索赔的真实风险。事实上，Siebenbrunner和Sigmund[20-18]从经验上得出结论，目前金融传染并没有计入银行间市场；因此，这项工作的重点是网络估值调整方案（NVA），以确定如果市场要准确地为这种传染定价，价格应该是多少。

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2022-6-10 21:14:17

NVA方法与Cossin和Schellhorn（2007年）的工作密切相关，他们构建了一个具有最终目的的债务网络，并在违约时为债务融资。在这项工作中，我们在Eisenberg-Noe框架中构建了一种易于处理的NVA方法。据我们所知，Gouriéroux等人【2012年】首次考虑了艾森伯格Noe框架中的NVA方法，并将其扩展至Barucca等人【2020年】中更为普遍的清算机制。我们希望注意到，正如Gouriéroux等人【2012年】所研究的那样，艾森伯格-诺伊框架中NVA的一般方法要求将捐赠空间划分为n个银行系统中的2种可能的违约场景。因此，从维度的过程中计算经验，对于现实系统来说，通常难以计算。事实上，现有文献的一个共同线索是，对于企业之间没有直接互连或系统中的企业数量非常少的情况，需要考虑明确的分析解决方案。如果我们按照Rogers和Veraart【2013年】的思路考虑破产成本，就会出现更多的问题。在没有破产成本的情况下，第2种违约情景将银行捐赠空间划分为2个相互排斥的凸区域。然而，从破产成本的角度来看，这些分区区域通常不是凸的。我们将读者转至在线应用程序endix B，以说明这一点。即使在小型s系统中，在这种情况下提供任何分析解决方案都变得非常具有挑战性（正如Suzuki[2002]等过去的作品中所强调的那样）。

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2022-6-10 21:14:20

因此，通常采用数值方法，即通过蒙特卡罗模拟。1.2共单调捐赠的动机我们首先注意到，在（可积和非负）随机捐赠X下，发现清算财富和支付预期的问题∈ （L+）在没有破产成本（αx=αL=1）但有交叉所有权的情况下，Gouriéroux等人[2012]考虑了nwas。我们复制了这些结果，并将其扩展到在线附录B中的破产成本案例。然而，在这项工作中，我们关注的是一个金融系统，其中银行持有共同捐赠；这在第3节中直接使用，并作为第4节中一般设置的界限。Brie fly，随机向量X∈ （五十）如果某个随机变量q的分布与f（q）相等，则称为共单调∈ 土地非减损功能F:R→ 注册护士；这适用于第2.2节中的恶意化。对于这项工作的基础，共单调捐赠设置有三个互补的激励理由：理论、经验和计算。（i）投资组合优化：首先，正如文献中的标准，如果所有公司都是投资组合优化公司，并且不考虑任何其他公司的投资，那么所选择的捐赠基金将与定价核心相反（参见Peleg和Yaari【1975】）。形式上，我们希望考虑Bühlmann[1980，1984]的风险分担均衡问题；在有限概率空间下，该问题相当于ArrowDebreu平衡Arrow和Debreu【1954年】（参见，例如，Anthropelos和Kardaras【2017年】、Bichuch和Feinstein【2020年】）。让(Ohm, F、 P）表示描述n个效用最大化代理的金融市场的概率空间。代理人i有一些初始（一致边界随机）禀赋Xi∈ L∞她可以和其他代理进行交易，以最大化自己的预期效用。

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kedemingshi

2022-6-10 21:14:23

Bühlmann平衡是一对（Y*, Q）（a）效用最大化：对于每个代理i，Y*我∈ ar g马克西∈L∞E[ui（Yi）]| EQ[Yi]≤ 等式[Xi]（b）市场清算：Pni=1年*i=Pni=1Xi。正如Tsa nakas和Christo fides[2006]的引理3所证明的，投资组合的任何平衡向量Y*将是共单调的。这一论点的细节可以在在线附录I中找到。事实上，Tsanakas和Christo fides[2006]证明了投资组合持有量的共名性，即使对概率测度P（可能是异质的）扭曲也可以解释，例如，经济主体的模糊性。（二）经验相关性：经验证据表明，银行资产呈现出非常高的等级相关性。2015年1月1日至2020年12月31日，五家美国银行（JP Morgan Chase and Co、GoldmanSachs Group、Bank of America Corporation、Morg an Stanley和Citigroup Inc.）的每日回报率（股息和股票分割调整后）的斯皮尔曼相关性如表1所示。Elliott等人（2021）在美国和德国的银行系统中报道了这种同质金融系统的概念：“银行通常对其金融对手有类似的实际风险敞口。”（iii）计算和分析的可追溯性：通用随机捐赠设置，股票代码为JPM GS BAC MS CJP Morgan Chase和Co JPM 1.00 0.82 0.88 0.85 0.87高盛GS 0.82 1.00 0.81 0.86 0.81美国银行公司BAC 0.88 0.81 1.00 0.84 0.87摩根士丹利MS 0.85 0.86 0.84 1.00 0.83花旗集团C 0.87 0.81 0.87 0.87 0.87 0.83 1.00表1：每日收益的斯皮尔曼相关性五家大型美国机构。十、∈ （L+）n，如Gouriéroux等人[2012]所述，需要计算Rn中2n个区域的测量值。这通常需要蒙特卡罗模拟，并从维度诅咒中获得极大的帮助。

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2022-6-10 21:14:26

相反，共单调框架只要求计算R中n个区间的测度；这在计算和分析上都是可行的。因此，共单调框架允许进行弹性和稳定性分析，正如Acemoglu等人[20-15]所考虑的那样。这项工作将网络拓扑限制为由环形网络和完全连接的网络构成的拓扑，其i.i.d.为RNOULLISHOCK；通过考虑共单调禀赋，我们能够分析研究一般网络对pologies和更一般冲击类型的耐受性和稳定性。特别是，在第4节中，我们将证明，我们能够使用共单调设置在任何随机禀赋下提供系统行为期望的下限和上限。这是在线附录G中常见、系统性、特殊性电击的特例。通过关注共单调框架，我们能够利用可处理的分析结果，以最大的间隔进行考虑。1.3主要贡献根据当前文献中对NVA的上述分析和计算限制，以及第1.2节中突出的动机，我们定义并研究了共同捐赠下的债务和股权价格。在这项工作中，我们大致将价格等同于预期。也就是说，在贴现之前，总债务的预期付款E【pi】被视为债务价格，预期权益E【Ei】被视为权益价格。这一点在第5节中通过使用贴现和风险中性度量Q得到了明确说明。本文的主要贡献如下：（i）我们在第3节中制定了科摩诺强直性捐赠环境下NVA的分析公式。

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2022-6-10 21:14:29

在此设置中，默认区域的特征可以是在R+和bec上以最短的间隔进行分析。这种可处理性延伸到考虑破产成本的情况；这与之前对NVA的考虑相反，例如Gouriéroux等人【2012年】，其中需要评估2个非凸区域（见在线附录B）。因此，共单调设置允许我们从分析角度探索网络效应。（ii）在共单调fr-amework下，我们能够提供在任何一般随机禀赋下系统行为预期的界。从压力测试的角度来看，下限对于评估金融网络中的系统风险尤为重要。虽然银行会选择风险t情景（正如上文投资组合优化动机中所考虑的，并在推论4.6中的艾森伯格Noe网络设置下进行了具体考察）可能看起来相互矛盾，但对于机构本身而言，单个银行和股票的好处大于系统的下行系统风险。upp e r界限，通过系统因素条件，也遵循共单调禀赋设置，因此计算证明也可以应用于该界限。（iii）我们特别考虑了对银行业的冲击可以分解为所有企业都能感觉到的系统组件（异质）和特殊组件的分析界限。下限尤其可用于执行压力测试和评估系统的健康状况。通过这样做，我们能够量化投资策略多样性对定价的影响，从而也可以量化系统性风险。

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2022-6-10 21:14:33

通过将任何银行的收益分解为系统或市场部分和特质部分，我们可以恢复系统风险和特质风险之间对系统风险的权衡。这种所谓的多元化与多元化问题在价格介导的传染病文献中得到了很好的研究；我们请感兴趣的读者参考，例如，卡波尼和韦伯【2021】、威丁等人【2020年】。（iv）从应用的角度来看，我们希望注意到NVA设置与Merton（1974）在单一企业设置中所做的比较（另见在线附录F）。给出了数值案例研究，以研究与重要系统参数有关的系统性能的比较静力学，并强调与Merton【1974】的差异。这些说明性练习使我们能够通过直接比较等价资产负债表，研究银行间网络在没有网络传染效应的情况下对价格的影响程度。事实上，我们在第5节中构建了两个没有金融网络的基线启发式资产负债表，其近似于网络对债务和股权价格的影响。虽然这项工作没有进行，但我们的结果考虑了Acemoglu等人[2015]中的金融网络，以比较各种网络拓扑与随机冲击的健康和稳定性。与Acemoglu等人【2015年】不同的是，该设置允许在任何网络拓扑下计算稳定性结果，而不仅仅是在该工作中使用的两个样式化网络（环形和完全连接）。我们希望强调的是，尽管出于这一目的，同音序列可能会受到限制，但Acemoglu等人【2015年】提出了强制要求。i、为了得到分析结果，对对称系统进行d.s分析。

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mingdashike22

2022-6-10 21:14:36

据作者所知，另一项工作分析研究了一般网络拓扑的稳定性和弹性；Amini和Feinstein【2021】的这项工作基于本文的结果，目的是解决系统冲击下的最优网络压缩问题。2设置我们从一些简单的符号开始，这些符号将在本文的整个过程中保持一致。Letx，y∈ Rnfor so me正整数n，thenx∧ y=（最小（x，y），最小（x，y），最小值（xn，yn））,x个-= -（十）∧ 0）和x+=(-x）-. 此外，为了便于记法，我们将表示[x，y]：=[x，y]×[x，y]×。×【xn，yn】 Rn为y的n维紧致区间-x个∈ Rn+。同样，我们将考虑x≤ y当且仅当y- x个∈ Rn+。我们还将广泛使用vectorsej∈ {0，1}对于j=1，2。。。，n、定义此向量时，EJ的J元素中有1，所有其他元素中有0。2.1金融网络在本方案中，我们将考虑金融机构网络。我们通常会考虑n个额外的节点n+1，它包括n家银行之外的整个金融系统；该节点n+1也将被称为s社会或社会节点。我们参考Feinstein等人【2017年】、Glasserman和Young【2015年】，进一步讨论社会节点背后的含义和概念。在本文中，我们考虑单一到期日的债务，如Eisenberg和Noe[2001]所述。任何银行i∈ {1，2，…，n}可能有义务Lij≥ 0致任何其他公司或社会j∈ {1，2，…，n+1}。我们将假设没有任何公司对自己有任何义务，即所有公司的Lii=0∈ {1，2，…，n}，社会节点没有任何责任，即Ln+1，j=0，对于所有企业j∈ {1，2，…，n+1}。

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mingdashike22

2022-6-10 21:14:39

因此，银行i的总负债∈ {1，2，…，n}由'pi：=Pn+1j=1Lij给出≥ 0和i银行的相关负债∈ {1，2，…，n}至银行j∈ {1，2，…，n}由πij给出：=Lij'piif'pi>0，否则为任意值；为简单起见，在π=0的情况下，我们将让πij=0表示所有j∈ {1，2，…，n}。请注意，对于任何一家公司i，我们恢复的财产为Pnj=1πij≤ 在这项工作中，我们将考虑平方矩阵∏∈ [0，1]n×n；企业i对社会节点n+1的相对负债可定义为1-Pnj=1πij≥ 0、在资产负债表的另一端，假设所有公司都从一些捐赠开始≥ 0代表所有i∈ {1，2，…，n}。网络模型中探讨的核心问题是网络清算后企业财富的确定。让V给予清理财富∈ 注册护士。在本文中，为了确定清算财富，我们根据标准文献，假设以下程式化规则，即Eisenbe rg和Noe【2001】、Rogers和Veraart【2013】：（i）有限责任：任何公司支付的总金额永远不会超过银行可用的总资产。（ii）债务债权的优先顺序：除非公司的所有债务全部付清，否则股东不会获得任何价值。（iii）所有债务的资历相同：如果银行违约，债务将按照名义债权的大小按比例偿还。在这项工作中，我们考虑了一个在违约情况下具有一些外生恢复率的系统，即Rogers和Veraart[2013]提出的模型。

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2022-6-10 21:14:42

这意味着，如果银行i的负财富VI<0，则该银行将违约，其资产负债表将随着回收率αx而减少∈ [0，1]关于其外部资产和αL∈ [0，1]o其银行间资产。我们将从数学上对该设置进行定义，详细信息可在Eisenberg和Noe【2001】、Roge rs和Vera art【2013】中找到，并在在线附录A中复制用于我们的讨论。根据规则集，我们将清算过程形式化*: 注册护士→ Rnin将该系统描述为ψ*一（五）：=I{Vi≥0}+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}+I{Vi<0}αLnXj=1πji（(R)pj- 五、-j）- (R)pi（1）同样，清算程序ψ*暗示：如果银行i拥有非负财富Vi≥ 0则其为溶剂，其财富等于其总资产减去总负债；如果银行i的负利率Vi<0，则其违约，其资产减少了回收率αx，αL。根据Roge rs和Vera art【2013年】，我们立即将最大和最小的清算解决方案恢复到V=ψ*（V）晶格内[-\'p，x+π“‘p’”。我们注意到，当αx=αL=1时（即在无破产成本的情况下），我们恢复了Eisenberg和Noe[2001]的模型；此外，如果所有公司对社会节点n+1负有义务（即所有公司i的Pnj=1πij<1，π>0），则存在唯一的清算解决方案V=ψ*（V）在此设置中。假设2.1。在本文的其余部分中，我们将假设所有企业都对社会节点n+1负有义务（即所有企业i的Pnj=1πij<1，pi>0）。在整个工作过程中，我们将重点关注最大的clearing wealths解决方案V↑. 我们选择这种均衡，因为所有公司和监管机构如果有选择的话，都会倾向于这些ClearingWealth，而不是所有其他公司，因为没有一家公司可以在V↑. 我们希望注意到，如果希望获得最少的清算财富，那么本文随后的所有结果都将是可比较的。定义2.2。

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2022-6-10 21:14:46

确定映射V:Rn+→ 因此，V（x）是捐赠x下的最大clearingwealth解∈ Rn+。此外，定义x 7→ p（x）：=(R)p- V（x）-andx 7→ E（x）：=V（x）+为关联付款和权益。2.2共单调性对于本文的其余部分，我们将考虑概率空间(Ohm, F、 P）。表示byL：=L(Ohm, F、 P）所有可测量的随机变量。此外，用L表示 l具有明确绝对期望的随机变量，即X∈ Lif X为(Ohm, F、 P）可测量的andE[| X |]<∞. 我们将用L+表示那些几乎肯定是非负的随机变量。正如第1.2节所强调的，在这项工作中，我们将重点关注共单调随机向量。定义2.3（Dhaene等人[2002]的定义4）。十、∈ （五十） nis Comononic，如果它具有Comononic支持，即x≤ y或y≤ x表示任意x，y∈ supp（X）最小的Borel毛 Rn使得P（X∈ A） =1。我们不会对上述共名性进行正式定义，而是将重点放在使用不当的等效公式上，例如McNeil等人[2015]的第7.18号提案。命题2.4（McNeil等人[2015]的命题7.18）。十、∈ （五十） nis共单调当且仅当X（d）=f（q）（即分布相等）对于某个随机变量q∈ 土地f：R→ RN不减损。3共同捐赠下的债务和权益预期考虑了第1.2节中所述的共同捐赠金融系统的动机。由于理论上银行会选择共同捐赠，而且数据支持这一点（近似）准确，因此不需要一般捐赠空间来理解系统风险和金融传染。因此，在本节中，我们将考虑共单调天赋。本文将给出一般共单调禀赋下的期望和概率分布。

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2022-6-10 21:14:49

我们希望强调，在本文中，我们按照Eisenber g和Noe【2001】、Rogers和Veraart【201 3】的思路考虑一个单一的到期模型，即网络在时间0形成并固定，所有债权在时间T>0时到期（并确定偿付能力）。虽然本节的所有结果都表示为概率测度P下清算解决方案的预期，但我们认为这些结果是公式的定价。也就是说，在贴现之前，我们将术语E【pi（X）】视为债务价格，E【Ei（X）】视为银行i的股权价格，系统捐赠X∈ （L+）n.在第5节中，我们明确考虑了一个具有风险中性测度Q的市场模型，在该模型下可以给出价格。此外，在整个工作过程中，我们将有效利率视为债务价格的等效衡量标准；根据某些定价指标Q，银行i的利率Ri（X）为-Ri（X）T=等式[π（X）]e-rTwith无风险利率r≥ 0，网络成熟度T>0。定义3。1、考虑成熟度T>0的金融网络和无风险利率r的市场≥ 0和由概率测度Q确定的价格。D确定企业i债务的有效利率：Ri（X）=T日志（(R)pi）- 对数（等式[e-rTpi（X）]）. （2）对于银行i，我们可以定义Ri（X）- r为默顿（Merton）[1974]的风险溢价。请注意，由于预期与利率之间的单调关系，有效利率或风险溢价通常被视为债务价格的衡量标准（参见Merton[197 4]）。假设3.2。

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能者818

2022-6-10 21:14:53

在本节中，我们将仅考虑赋能X的共单调非负随机向量∈ 对于一些非负随机变量q，其分布与f（q）相等∈ L+和非减量映射f:R+→ Rn+。3.1清算财富的分段线性公式从Rogers和Veraart[2013]的实际默认算法（见推论A.4）我们可以给出清算向量的线性构造，前提是默认集已知。这由以下结构给出。当仅考虑Eisenberg和Noe【2001】的模型时，我们将该线性结构与Liu和Staum【2010】中提出的方向导数以及Chen等人【2016】中的“网络乘数”进行比较，即完全恢复（αx=αL=1）。对于本文的其余部分，我们将使用以下定义：（z） :=我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏诊断（z）-1（一）-(1 - αx）diag（z））（3）δ（z）：=我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏诊断（z）-1.我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏\'p（4）表示z∈ {0，1}按照实际默认算法指定默认机构集。ThusV（x）：=（I{V（x）<0}）x- 任意禀赋x的δ（I{V（x）<0}）∈ Rn+施工。备注3.3。这项工作的结果可以与Gouriéro ux等人（2012年）的结果进行比较，他们对eq-uity拥有交叉所有权。在这种情况下，股权所有权用Γ表示∈ [0，1]n×n j银行拥有i银行的股权。假设没有一家公司将其所有股权出售给金融系统内的其他公司，我们只考虑PNJ=1γij<1的情况。虽然Gouriéroux et al.（2012）没有考虑破产成本，但我们通过使用破产率αx，αL在我们的广义框架中考虑了这些成本∈ [0，1]作为演示文稿。也就是说，清算财富满足=I{Vi≥0}+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}+I{Vi<0}αLnXj=1πji(R)pj- 五、-j+ γjiV+j- 每一家银行的PII。

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2022-6-10 21:14:56

对于Gouriéroux等人【2012年】的清算，我们可以复制本节的所有结果，即共同捐赠下的预计债务支付和股权价值的公式，通过简单的重新定义即可获得破产成本, δas：（z） :=我-（一）- (1 - αL）diag（z））Π对角线（z）+Γ（一）-diag（z））-1×（一）- (1 - αx）diag（z））δ（z）：=我-（一）- (1 - αL）diag（z））Π对角线（z）+Γ（一）-diag（z））-1×我- （一）- (1 - αL）diag（z））∏(R)p无需任何其他修改。我们在这项工作中考虑的共单调ca将解决Gouriéroux等人[2012]工作中存在的维度诅咒问题。我们希望强调的是，虽然本节中提出的共同单调捐赠设置可以通过股权交叉所有权来实现，但第4节中提出的界限并不适用于这种更一般的设置。3.2违约地区对于任何满足假设3.2的随机捐赠，我们现在可以考虑违约地区，即不同银行组合被视为部分负债违约的地区。事实上，在本文考虑的共单调设置下，q空间中的所有这些区域都必须是R+中的凸区间。这与一般分布空间形成对比，在一般分布空间中，如果恢复率严格小于than1（min{αx，αL}<1），则区域不需要是凸的；有关该分析的更多信息，请参考Gouriéroux等人【2012年】和在线附录B。因此，通过共名性假设，我们可以唯一地确定不同公司违约的qunder区域，我们将使用向量q*∈ Rn+。值得注意的是，默认区域的这种构造完全以定义共单调禀赋的单调映射为特征，而不考虑潜在的随机变量。定义3.4。修正一些满足假设3.2的随机禀赋。

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2022-6-10 21:14:59

定义q*∈ Rn+sothat q*iis是指i类物质具有溶解性的最小值，即q*i=inf{q≥ 0 | Vi（f（q））≥ 0}.关于q计算的讨论*在线附录C中提供了Q值*如果结构f被视为单因素模型，则具有明确的财务含义。备注4.3对此进行了扩展。具体而言，q值*从某种意义上讲，iis表明了银行i的财务稳定性。假设3.5。在不丧失一般性的情况下，我们将在本文的其余部分（除非另有明确提及）假设银行按q的降序排列*, i、 e.因此q*≥ q*≥ ... ≥ q*n、此外，定义q*= ∞ 和q*n+1=0.3.3债务和股本价格，立即构造最小值q*对于一家有偿付能力的公司（如第3.2节所述，并通过在线附录C中提供的计算），我们能够推导出每家银行的违约概率公式以及每家公司的财富、付款和权益预期；这种最低门槛价格的构造通常存在于本文假设的共单调模型中。因此，与Gouriéroux et al.（2012）中的一般公式要求将禀赋空间划分为非断层区域相比，以下理论中给出的公式仅要求划分为n个区间，这是由于共单调性。此外，如下面引理4.1所示，在Rogers和Veraart[2013]的设定中，该公式提供了一个关于大型网络的一般预期的可处理范围，例如Gouriéroux等人[2012]，Barucca e t等人[2020]。定理3.6。假设禀赋由X=f（q）定义，满足假设3.2。

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2022-6-10 21:15:02

违约概率、预期财富、预期付款和预期权益分别由以下公式得出：P（Vi（X）<0）=P（q<q*i） E[六（X）]=EinXk=0小时kE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k））iE[π（X）]=(R)π+einXk=ihkE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k））iE[Ei（X）]=e二-1Xk=0hkE[f（q）I{q∈【q】*k+1，q*k） }]- δkP（q∈ 【q】*k+1，q*k））我在哪里定义kandδkby：k：=Pkj=1ej如果k=1，2。。。，如果k=0和δk，则为nI：=δPkj=1ej如果k=1。。。，n（I）- Π)如果k=0，则为p, δ分别在（3）和（4）中定义，q*如定义3.4所示。这些期望公式隐含了Rogers和Vera art【2013】的网络和清算模型的两个关键点：（i）通过分段线性构造k、 δkand（ii）通过最低偿付能力价格q*. 利用这些组件对网络进行编码，通过对所有可能的默认集进行调节，可以找到各种体验；在这个协同框架中，需要将q空间划分为n个区间，其端点由q确定*. 在联机附录G中，我们使这些公式在对数正态分布中更加明确，类似于Merton【1974年】（在线附录F中总结）针对单个企业所采用的对数正态分布。备注3.7。定理3.6提供了折扣价格的显式表示-rTE【pi（X）】和股权e-rTE[Ei（X）]对于到期日T>0、无风险利率r的金融网络，在共同单调捐赠X=f（q）下≥ 0和定价度量P。同样，可以通过（2）显式计算有效利率R（X）。4共单调定价边界在本节中，我们将利用共单调禀赋来考虑一般随机禀赋债务定价的上界和下界。我们希望注意以下阈值q*对于共单调版本（见定义3.4），可能没有物理解释。

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能者818

2022-6-10 21:15:05

在考虑单个fa c tor模型的特殊情况下，q*重新获得关于此因子分析的明确含义。这在下面的备注4.3中进行了阐述，并在在线附录G.4.1财富和支付的一般上限和下限中进行了明确考虑。我们现在想考虑一下，上述单调捐赠下的财富和债务预期公式如何为更一般的随机捐赠提供一个界。如前所述，Gouriéroux et al.（2012）、Barucca et al.（2020）对债务和权益的预期进行了研究，但这些公式需要避免维度诅咒。更一般而言，如果企业捐赠之间的相关性未知，那么从压力测试的角度来看，以下引理是有用的，因为我们发现共单调酶对系统健康的影响较低。我们希望注意到，这些界限是以数学方式考虑的，而不是关于投资组合再平衡的声明。在在线附录E中，我们证明这些边界可以具有约束力。引理4.1。让X∈ （L+）和Z是它的共单调copula，即Z=（F-1X（U）。。。，F-1Xn（U））对于支持度[0，1]上的均匀随机变量U和边际分布FX。。。，FXnforX。。。，xn相应地。进一步，设G={G F | G是σ-代数，E[X | G]是共单调的}是子σ-代数的集合，使得E[X | G]是X的共单调投影≤ E[六（X；π，\'p，αX，αL）]≤ infG公司∈GE[六（E[X | G]；π，\'p，1，1）]≤ Vi（E【X】；π，’p，1，1），对于非连续分布，我们定义F-1Xi（u）：=inf{xi∈ R+| FXi（xi）≥ u} 正如McNeil等人【2015年】所述。E[π（αxZ；αL∏，\'p，1，1）]≤ E[π（X；π，\'p，αX，αL）]≤ infG公司∈GE[π（E[X | G]；π，\'p，1，1）]≤ pi（E【X】；π，’p，1，1）适用于任何银行i。财富的界限也适用于社会节点，其中欠社会的相对负债由∏固定，即。

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kedemingshi

2022-6-10 21:15:08

因此，社会财富明确定义为Vn+1（Y；￠∏，\'p，αx，αL）：=Pni=1πi，n+1pi（Y；￠∏，\'p，αx，αL）。备注4.2。如前所述，如备注3.7所述，我们将经验e【pi（X）】视为债务价格（直至通过贴现进行修改）。因此，我们可以将引理4.1中提供的预期的界限视为债务价格的界限。同样，由于有效利率R（X）与债务价格之间的单调关系，我们可以确定thatRi（e[X]；π，\'p，1，1）≤ supG公司∈GRi（E[X | G]；π，\'p，1，1）≤ Ri（X；π，(R)p，αX，αL）≤ Ri（αxZ；αL∏，(R)p，1，1），对于每个组i，使用引理4.1中的符号。一类次σ-代数G的赋能条件上界E[X | G]∈ G inLemma 4.1是共单调的。这意味着，通过定理3.6中的公式，我们正在优化的每个可能的目标值在计算上都是可处理的。虽然我们将这个上界表示为所有此类共单调投影的上限，但在实践中，它可能会对确定所有合适的子σ-代数集带来挑战。如引理4.1所示，平凡σ-代数始终是G的一个元素，它提供了这个界。在标记4.3中，当考虑单因素模型时，我们考虑了另一种特定的、具有财务意义的亚σ-代数选择。在继续之前，我们希望简要讨论一下引理4.1的一些直觉。当银行拥有同业关系时，这些资产可作为一种多元化的方法。然而，如果银行都受到共同的冲击，那么这种分散效应就会消失，从风险角度来看，这种相互联系变得无关紧要。从计算的角度来看，我们还通过共单调设置构造了预期财富和支付的上界，因此这不仅仅是最坏情况下的情况。备注4.3。

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2022-6-10 21:15:11

为便于说明，请考虑Eisenberg和Noe【2001】的完全恢复设置αx=αL=1。考虑一个捐赠的单因素模型，该模型允许预测错误或特殊条件，其中每个公司都是长因子：X=f（q，），其中f和qare如假设3所示。2和∈ （五十） nis独立于q（f在中不必是单调的）。引理4.1中考虑的条件上界意味着E[Vi（X）]≤ E[Vi（E[X | q]）]和E[pi（X）]≤ 所有银行i的E【pi（E【X | q】）】（即G=σ（q））。我们希望注意到，这个上界又是关于同单调禀赋的，因此，可以通过定理3.6中的公式计算。当q是一个“系统因素”并且定义了特殊风险时，这种设置尤其重要；有关此设置的详细示例，请感兴趣的读者参阅联机附录G。备注4.4。从压力测试的角度来看，本节讨论的下限对于评估金融网络中的系统风险具有特别重要的意义。如Acemoglu等人【2015年】所述，这可用于构建稳定性和弹性的度量。然而，Acemoglu et al.（2015）中讨论的稳定性和弹性结果仅适用于环形和完全连接的网络。相反，我们的共单调设置允许将这些结果扩展（分析）到任何一般网络拓扑。这些界限可以进一步应用于标量系统性风险度量（Chen等人[2013]，Kromer等人[2016]）和集值风险度量（Feinstein等人[2016]）。

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2022-6-10 21:15:14

【2017年】、Ararat a和Rudloff【2020年】）通过r obust代表；这一点在在线附录D.4.2市场资本化的价格界限中有详细说明，有趣的是，尽管在共同捐赠条件下，支付和财富达到了最坏的情况，而在预期捐赠条件下达到了最好的情况，在共单调禀赋下，金融系统中不同类型资产的权益明显高于其他相关结构，而在预期禀赋下则较低。（我们希望注意到，社会节点将表现出与引理4.1中给出的相同的边界属性，因为其公平性等于其富足结构。）事实上，正如下面推论4.5 b所证明的那样，金融部门的总市值以引理4.1中给出的相反顺序为界。推论4.5。考虑定理4.1的符号和设置。然后，金融部门的总预期权益从上到下以共单调的禀赋设定为界，即nXi=1Ei（αxE[X]；αL∏，\'p，1，1）≤ supG公司∈GnXi=1E[Ei（αxE[X | G]；αL∏，\'p，1，1）]≤nXi=1E【Ei（X；π，’p，αX，αL）】≤nXi=1E[Ei（Z；π，(R)p，1，1）]。事实上，如Acharya【2009年】、Elliott等人【2021】所述，这些市值使得我们能够在完全恢复αx=αL=1的网络框架内考虑投资组合选择问题，即Eisenberg和Noe【2001年】。我们这样做是为了重申共单调捐赠框架的投资组合优化动机（不同）。为了研究这个问题，考虑那些在最坏的情况下寻求自身预期权益最大化的银行，这些银行受到一些预算和监管约束 L+，即银行i寻求s来解决相对于所有其他机构的极大极小问题supxi∈BiinfX公司-我∈Qj6=iBjE[Ei（Xi，X-i）】。

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2022-6-10 21:15:17

（5）我们假设每个银行i，即如果Xi∈ Biand Xi（d）=Yi（均衡分布），然后Yi∈ 偏差很好。考虑银行可以协调并共同制定策略，以最大化市值共享的联盟的总股本，即联盟C寻求优化修改后的极小极大问题V（C）：=supXC∈气∈CBiinfX公司-C∈Qj6∈CBjXi公司∈CE[Ei（XC，X-C）】。下表证明，大联盟将对科摩诺进行投资，并对个人叛逃保持稳定，因此，银行将制定投资科摩诺捐赠空间的内生性战略。推论4.6。考虑一个完全恢复（即αx=αL=1）的金融系统，其中所有银行都是（5）中的权益最大化者，它们可以协调投资策略。Shapley值φi：=XCN \\{i}| C |！（n）- |C |- 1)!n[v（C∪ {i} （）- v（C）]，i=1，2。。。，大联盟的N：={1，2，…，N}是一种插补，即它是一种有效的公平分配安排（Pni=1φi=v（N）），它是个体理性的（φi≥ v（{i}）对于每一家银行，i）因此没有一家银行会单方面选择在这种安排下离开大联盟。此外，大联盟中的所有银行将共同投资。作为这一推论的结果，尽管我们认为随机禀赋的一般速度受共单调禀赋的限制，但由于一个简单的公平最大化原则，共单调的环境可能会在阿内森伯格-诺伊框架内产生。由于考虑了完全恢复后的市值上限，以下结果仅保证在设定值时保持不变。5比较静力学在这一节中，我们通过数值例子为具有重要系统参数的系统的性能提供了比较静力学。

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2022-6-10 21:15:20

在这些数值示例中，我们将假设对数正态分布，如假设5.1所示。假设5.1。对于持股向量s，让银行捐赠由X=sq给出∈ Rn+且风险投资具有对数正态收益q=exp（[r-σ] T+σZ√T）无风险利率r≥ 0，波动率σ>0，和matu-rity T>0，其中Z是一些标准正态随机变量。为了进一步简化设置，我们将在本节中假设r=0，T=1。假设5.1给出了在线附录G的简化设置（在风险中性测量下），使得共单调条件ρiM=1，附加限制σi=σM=：所有企业i的σ，无风险率r=0。我们利用这些说明性的数字样本，通过将本研究中制定的价格与默顿（Merton）[1974]中没有银行间负债的价格进行比较，强调了违约通过银行间网络蔓延的影响（另请参见在线App endix f）。我们注意到，前面部分的共单调结构将允许我们考虑更复杂的基础市场模型，例如，一个泵扩散模型；这将通过考虑成熟期T时q的适当分布来实现。但为了简单起见，并且由于默顿在开创性工作中使用了它，我们将自己限制在对数正态分布。如上所述，在以下数字示例中，我们希望将债务和权益的比例与默顿公式的网络调整进行比较【197 4】，该公式也在在线附录F中给出。

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2022-6-10 21:15:23

特别是，我们希望研究单银行默顿环境下的两个简单的基线启发式算法，我们从数值上发现，这两个算法分别近似于高回收率αx，αL市场中的债务和股权价格≈ 1费率。（i）债务的风险近似值：假设所有银行间资产——以某种方式减少了回收率（在此我们选择考虑[αx+αL]）——全部投资于风险集合（即呈现对数正态分布，不受总债务的限制）。特别是，如下所示，该设置提供了高回收率企业债务价格的近似值。启发性的是，由于这项工作中使用的共单调消费，银行违约发生在重叠的市场条件下，与对风险资产的共单调支付。因此，将这些想法发挥到极致，任何银行只有在所有其他银行都违约的情况下才会违约，而这些银行也会按照其债务和（低）资产价值的比例进行支付；如果（未来）SSETV价值较高，则这些银行间支付的价值可比较，这将导致全额支付，而无违约。（ii）股权的无风险近似值：假设所有银行间资产均以无风险资产的单位全额支付。特别是，如下所示，该设置提供了企业市值的（上限）近似值。启发性的是，由于这项工作中使用的假设的同质性，银行的偿付能力发生在重叠的市场条件下。因此，将这一想法发挥到极致，任何银行只有在所有其他银行全额支付债务的情况下才拥有正股本。值得注意的是，这些启发式算法还有一个额外的优势，即它们可以仅在聚合网络信息（即知道银行间总资产）下进行计算，而无需粒度网络信息。

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2022-6-10 21:15:26

正如网络重建文献（例如，见Upper和Worms【2004年】、Gandy和Veraart【2017年】）以及第5.2节所述，尽管银行间资产和负债总额已知，但通常无法获得有关银行间债务的详细信息。因此，这些启发式算法具有很大的r重要性，因为它们可以近似网络估值调整，而不需要精确的网络构造。5.1两银行系统银行1s=3银行2s=4社会3L=3L=7L=3图1：第5.1节的简单网络拓扑。如图1所示，考虑有2家银行和一个额外的社会节点的金融系统。这一具有额外社会节点的两银行系统是这样的：银行1欠银行2 7个单位，银行3欠社会节点7个单位，银行2欠银行1和社会节点3个单位。此外，为了简单起见，如果我们不改变该参数，我们认为风险资产的波动率σ=1，债权的到期时间t=1。此外，回想一下，假设无风险利率为r=0。我们认为这是一个简单、说明性的例子，以证明金融网络的影响（与默顿（1974）中没有银行间债务的两个基准系统中的相同系统相比）。为了进行清楚的比较，我们将采用无破产成本（αx=αL=1）的系统，并将一个常见的r isky作为集，在到期时呈现对数正态分布。具体而言，我们将考虑默顿（Merton）[1974]对有效利率进行的一系列比较静态分析，即通过改变债务公司价值比率和债权期限。我们省略了对不同波动性的考虑，因为该研究得出的结论与修改债权期限的结论直接一致。

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kedemingshi

2022-6-10 21:15:29

我们希望注意，由于我们假设DR=0，风险溢价Ri（sq）-默顿[1974]使用的r相当于本文中的有效酯。我们希望强调本案例研究中的两个关键见解。首先，我们希望研究网络效应对债务和股权价格的影响。与默顿（Merton）[1974]的单一企业环境的比较表明，一旦考虑到网络效应和系统风险，定性结论就不再适用；也就是说，债务现值比率并不能唯一确定债务和股权的价格（第5.1.1节），也不能确定债务结构的形状，即有效利率对到期日T的依赖性（第5.1.2节）。其次，我们考虑上述基线启发式的性能，以证明其在估计债务和股权价格方面的相关性。5.1.1债务-企业价值比率的影响首先，我们将考虑债务-企业价值比率d=diag的影响s+π\'\'p-有效利率为1欧元，因此每个公司的债务价格为1欧元。在默顿（Merton）[19 74]中，没有固定的银行间资产（Pnj=1πji'pj=0），表明单个企业的债务-固定价值比率可以完全确定其自身的利率R（sq）。然而，我们在此明确考虑了银行间资产的影响。

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2022-6-10 21:15:32

在我们的情况下，我们可以通过以下方式改变d：（i）改变负债p并保持投资s不变，即p=1.-πd-πd-1.sdsd公司给定所需的债务-企业价值比率d∈ R+受dd约束≤ ππ; 或（ii）改变资产s并保持负债p不变，即s=diag（d）-1.\'\'p- 诊断（d）∏\'\'p给定所需的债务-企业价值比率d∈ R+使d≤ 诊断（∏）“-p）-除非另有说明，破产成本的选择不会改变本案例研究中的任何结论。这两种改变d的方法之间的区别很重要，因为我们发现，修改债务-企业价值比率的方法可以极大地影响债务价格，如通过有效利率衡量的那样。图2a和图2b分别显示了2号银行关于负债表1价值比率和负债表2价值比率的利息率等值线图，用于通过改变负债和资产来改变负债表价值。为了进一步明确各个债务公司的价值如何相互影响，我们考虑了该数据的三个部分，分别通过改变图2c和图2d中的负债或资产来划分数据和变化数据的水平。值得注意的是，如果表1通过资产变动构建了较低的企业价值比率，那么表2对于所选的任何债务-企业比率都具有较低的有效利率。然而，当通过负债率的变化构建债务-企业价值比率时，不存在这样的单调性。5.1.2到期日的影响第二，我们将考虑债权到期日T对各公司的有效利率（以及债务价格）和市值的影响。考虑到这一点，我们希望将网络效应与两个没有网络呈现的基线模型进行比较。

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