在默顿（Merton）[19 74]中，只有当公司债务比率大于或等于0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6债务-公司1价值比率d0.20.40.60.81.21.41.6银行2在改变公司负债时的利率0.010.010.050.050.10.10.20.20.40.40.60.60.80.81.5（a）e有效利率对于由总负债决定的不同债务-企业价值比率下的企业2。0.5 1 1.5 2 2.5 3债务公司1价值比率d0.10.20.30.40.50.60.70.8银行2更改公司资产时的利率0.010.010.010.050.050.10.10.20.20.40.40.60.60.81.5（b）由捐赠总额决定的不同债务公司价值比率下，公司2的有效利率等值线图。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6债务公司2价值比d0.51.5银行2在改变公司负债时的利率债务公司1价值比d=0债务公司1价值比d=0.83333债务公司1价值比d=1.6667通过修改总债务。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8债务-企业2价值比d0.51.5银行2更改企业资产时的利率债务-企业1价值比d=0债务-企业1价值比d=1.6667债务-企业1价值比d=3.3333（d）企业2在其自身债务-企业价值比变化下的有效利率截面，以及完成更改后的三级债务-企业1价值比通过修改总资产。图2：第5.1.1节：企业2的有效利率与债务-企业价值比率的变化。1.同样，只有当企业2的债务价值比严格小于1时，才会出现企业2的有效利率所呈现的形状。

然而，如上所述，在没有交易对手风险的情况下，债务-企业价值比率在网络效应下的独特性不如默顿（Merton）[1974]中所述。因此，我们发现，当银行1的成熟度、有效利率和市值与网络效应为1.0 5 10 15时，形状无需发生变化（在本数字样本中也无需发生变化）。梅顿模型：无风险债务默顿模型：风险债务（a）表1的有效利率和市值在仅具有网络效应和单一效应的债务债权到期日。0 5 10 15成熟度T0.050.10.150.20.250.3具有网络效应的银行2的有效利率和市值梅顿模型：无风险债务默顿模型：风险债务（b）仅在具有网络效应和单一金融效应的债务债权到期日发生变化时，表2的有效利率和市值。图3：第5.1.2节：有效利率和市值与债权性质变化的关系。5.2欧洲银行体系我们现在将考虑一个更大的金融网络，由n=87家银行组成。这个庞大的网络为考虑本文中采用的共单调方法提供了清晰的理由。如上所述，有87家银行，违约银行z的潜在组合为2>10家∈ {0, 1}. 因此，考虑Gouriéroux等人【2012年】的预期薪酬的一般框架在计算上很难解决。然而，本文提出的共单调框架（在Eisenberg和Noe【2001】的设定下，提供了第4.1节中讨论的一般测试的最坏情况）在计算上是可处理的，因为只需要考虑87个违约区域。

因此，我们希望通过本案例研究来强调共单调设置的计算可处理性，以及我们的基线启发式算法在更大、更现实的网络上的性能。在这个例子中，我们将考虑这87家银行来自2011年欧洲银行管理局欧盟范围的压力测试。该数据已用于多个先前的银行间网络金融传染实证案例研究（如Gandy和Veraart【2017年】、Chen等人【2016年】）。为了校准该系统，我们将采用在线附录H中提供的Feinstein[2019]的相同方法。然而，我们注意到，虽然我们正在根据真实数据集校准金融网络，但银行捐赠的边际分布没有校准，并且由于校准方法的复杂性，我们只考虑了90家机构中的87家。DE029、LU45和SI058未包括在本分析中。因此，此示例仅用于说明目的。我们认为，进一步的、详细的案例研究将具有重大价值，可以从经验上确定银行捐赠的边际分布，并据此考虑收益率和债券价格，以与市场上的实际价格进行比较。然而，这超出了当前示例的范围。

事实上，在本例中使用此数据集的主要目的是为了证明有效利率（即债务价格）可以达到的数量级（与之前的2银行系统案例研究中给出的值相比），而不是大型功能网络。为了完成我们的模型，我们需要考虑系统的其余参数。首先，由于从欧洲银行业管理局（EBA）欧盟范围压力测试数据集中提取的所有经济数据已经是统一单位（百万欧元），我们将认为市场组合的（风险中性）价值为100万欧元。此外，在收集这些数据期间，中央银行正在建立一个低利率环境。因此，我们估计无风险利率为r=0（正如本节所假设的那样）。此外，由于这是一年一次的压力测试数据，我们将认为所有债权的到期日为T=1（年）。最后，与2011年欧洲市场的年化历史波动率相比，ris-ky资产的波动率估计为σ=20%。首先，我们希望考虑在没有破产成本的情况下，全网络效应对有效利率和市场资本化的影响（αx=αL=1）。为了进行分析，我们考虑了与上述相同的两个基线启发式模型。图4和图5分别提供了这些比较的数据。我们注意到，与ourintuition和上文第5.1节一样，具有全网络效应的债务价格通常与所有银行间资产被视为风险资产的单一企业效应情况下的价格相当。事实上，具有完全网络效应的债务利率低于将所有银行间资产视为风险资产时的利率，但明显高于将银行间资产视为无风险资产时的利率。

在对比中，再次匹配我们的直觉，并与第5节中的直觉相比较。如上所述，企业的市值在全网络效应和单一企业效应之间惊人地相似，银行间资产被视为无风险资产。将银行间资产视为风险资产的单一企业效应可以在很大程度上与单个企业市值的网络效应不同。第二，尽管我们在上文中考虑了无银行破产成本的情况，但我们现在希望考虑破产成本对债务和股权价格的影响。从分析上看，在进行任何模拟之前，我们可以得出结论，有效利率将下降，网络效应默顿：无风险默顿：风险0.020.030.040.050.060.07比较网络效应和单一金融效应下有效利率的实际利率（a）方框图。（b） 包括全网络效应的有效利率相对变化柱状图。图4：第5.2节：仅在无破产成本的情况下，比较网络效应和单一效应下的有效利率（αx=αL=1）。网络效应默顿：无风险默顿：风险比较市场资本化（a）仅在网络效应和单一企业效应下的市场资本化方框图。（b） 市场资本化的相对变化柱状图，包括完整的网络效应。图5：第5.2节：仅在无破产成本的情况下，网络效应和单一企业效应下的市值比较（αx=αL=1）。市值将随着回收率αx和αL的增加而增加。

在本案例研究中，我们仅限于Veraart[2020]中αx=αLas的特殊情况，并且仅绘制债务（将银行间资产视为风险资产）和权益（将银行间资产视为无风险资产）的相关基线模型。图6描述了87家考虑中的银行的中值有效利率和市值；这表明，在αx=αL的高值下，启发式是合理的，但如果αx=αL<1，则会失去其预测能力。因此，如果银行破产成本高于预期，将银行间资产视为无风险资产或风险资产可能会导致风险定价错误。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1回收率x=L0.20.40.60.81.2具有网络效应的中间实际利率梅顿模型：风险债务（a）回收率对中间有效利率的影响。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1回收率x=L11.5511.611.6511.711.7511.8具有网络效应的中等市值默顿模型：无风险债务（b）回收率对中等市值的影响。图6：第5.2节：债务和股权市场价格回收率（αx=αL）的比较静态数据。6结论在这项工作中，我们提出了考虑共同捐赠下金融网络中债务定价和企业均衡的公式。该方法扩展了CVA对估值调整的考虑，从而考虑了交易对手的整个财务网络。此外，虽然这仅在市场数据中近似，但科莫诺-托尼框架在理论上是合理的；在这些近似下，我们提供了艾森伯格-诺埃框架下债务价格的上下限。

这一点尤其重要，因为金融网络在进行压力测试和研究系统风险方面具有特殊的利益。与许多现代金融工具定价流程相比，本文所考虑的模型非常简单。虽然更新风险资产的随机模型会很有意义，但在这里，我们仅提出一些扩展，用于更完整的金融网络模型。首先，我们建议利用Eisenberg-Noe框架的扩展，即债务既不是零息票，也没有相同的到期日。Capponi和Chen【2015年】、Kusnetsov和Veraart【2019年】、Banerjee等人【202 1】提出了这样一个潜在的金融网络。特别是，Banerjee等人【202 1】已经提出了随机禀赋的设置。我们认为，使用按市值计价的债务定价和市值将允许更现实地确定前代债务水平上的违约时间。其次，由于在系统性危机期间，银行倒闭与资产价格下跌有着莫名其妙的联系，我们认为，将更复杂的零售动态纳入这一体系将是有意义的。特别是，我们强调Amini等人【2016年】、Feinstein【2017年】、Feinstein和El Masri【2017年】、Cont和Wagalath【2013年、2016年】可能是价格影响动态定价的基础模型。最后，正如Halaj和Kok【2013年、2015年】、Elsinger等人【201 3年】、Anand e t等人【2018年】等许多实证研究所强调的，网络通常未知，需要根据部分信息进行估计。因此，在网络规格错误的情况下对定价进行敏感性分析将很有意义。在Eisenberg和Noe【2001】的静态、确定性背景下，Feinstein等人【2018】对此进行了研究。参考KNUT K Aase。再保险辛迪加的均衡；存在性、唯一性和特征化。

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然后，在具有特殊风险的CAPM设置中考虑默顿模型的对数正态分布，并将其置于附录G中的金融网络中。接下来，我们简要描述了附录H第5.2节中银行间网络的校准。在附录I中，我们查看了第1.2节中提出的风险分担问题的详细信息。最后，附录J中提供了本文主体部分的结果证明。A财务网络详情在本节中，我们希望给出本文所考虑的财务网络所有细节的正式构建。我们从第2.1节中提出的设置开始。首先，我们要将清除过程ψ：Rn形式化→ Rnin丰富地描述了这个系统。我们参考Veraart【2020年】、Barucca et al【2020年】、Banerjee et al【2021】、Banerjee和Feinstein【2019年】，详细讨论了清算财富及其与Eisenberg和Noe【2001年】、Rogers和Veraart【2013年】更典型的清算付款的关系。正如Banerjee等人（2021）所述，我们可以将财富V中的支付和权益定义为p=（(R)p-五、-)+E=V+。所有公司i的清算过程定义为ψi（V）：=i{Vi≥0}xi+nXj=1πji（(R)pj- 五、-j）+- “”pi+ I{Vi<0}αxxi+αLnXj=1πji（(R)pj- 五、-j）+- “”pi.（6） 因此，清算程序ψ意味着：如果银行i拥有非负财富Vi≥ 0则其具有偿付能力，其财富等于其总资产减去总负债；如果i银行的负财富Vi<0，则该银行违约，其资产减少了回收率αx，αL。我们注意到，在αx=αL=1的情况下（即在无破产成本的情况下），我们恢复了Eisenberg和Noe【2001】的模型。我们现在将考虑清算财富V的存在性和唯一性结果。一般来说，我们可以通过应用Tarski的定点定理来获得存在性。提案A.1。

对于V，V=ψ（V）存在最大和最小的清除解∈ r任何最终清除溶液都属于晶格[-\'p，x+π\'\'p- “‘p’”。证据首先要注意的是，ψ在财富V中是不变的。现在我们要证明这一点-\'\'p≤ 五、≤x+π\'\'p- 任意V的p=ψ（V）∈ 注册号：对于任何银行i:Vi≥ I{Vi≥0}[-\'\'pi]+I{Vi<0}[-\'\'pi]=-？皮比建筑公司通过清除过程的单调性，我们恢复了V≤ ψ（V+）=x+π\'\'p- p.证明是通过应用塔尔斯基在晶格上的固定点theo-rem来完成的[-\'p，x+π\'\'p- “‘p’”。然而，总的来说，清算财富V并不是唯一的。在没有破产成本的特殊情况下（αx=αL=1），这将减少到Eisenberg和Noe[2001]中描述的网络。在这种情况下，我们可以在非常温和的假设下得到唯一性。推论A.2。考虑一个没有破产成本（αx=αL=1）的环境，所有企业对社会节点n+1都有义务（即Pnj=1πij<1，所有企业i的π>0），则存在唯一的清算解决方案V=ψ（V）。证据外部节点n+1意味着系统是一个规则网络【Eisenberg和Noe，2001，定义5】。因此，根据Eisenberg和Noe（2001）的定理2，我们恢复了清除解的唯一性。提案A.3。让V↑= ψ（V↑) 表示命题A.1中的最大清算解决方案。然后V↑= Ψ*（五）↑) 是ψ的最大实值固定点*（定义见（1））。证据根据提案A.1，V↑≥ -？p和V↑= Ψ*（五）↑) 也与命题A.1的证明类似，我们可以将Tarski的不动点定理应用于格上的（1）[-∞, x+π\'\'p-“‘p’”。让V*= Ψ*（五）*) 是ψ的最大实值固定点*假设V*≥ 五、↑带V*i> 五↑如果是某个银行i。

那么它必须跟在V后面*≥ 五、↑≥ -\'\'p，表示V*= ψ（V*).然而，这与V相矛盾↑是对ψ最伟大的清除解决方案。我们可以通过Rogers和Veraart【2013】中所述的实际默认算法计算最大清算解决方案，如前所述。推论A.4。以下算法收敛到最大清除解V↑=ψ（V↑):（i） 初始化V（0）=x+π\'\'p- \'p，z（0）=0∈ Rn，k=0。（ii）迭代k=k+1，确定z（k）=I{V（k-1)<0}∈ {0，1}n.（iii）如果z（k）=z（k-1） 然后V↑= V（k-1） 并终止。（iv）定义∧=diag（z（k））为对角线矩阵，主对角线由z（k）和v（k）=（I）定义- ∧）hx+π\'p+π∧V（k）- (R)pi+λhαxx+αL∏\'p+π∧V（k）- “”pi=我- （一）- (1 - αL）∧）πΛ-1.（一）-(1 - αx）∧x+（I-(1 - αL）∧）π\'\'p- \'\'p.（v） 转至步骤（ii）。证据该算法对最大清算财富解决方案的收敛性源自Eisenberg和Noe【2001】中的实际违约算法逻辑。矩阵I的非奇异性-（一）-(1 -αL）∧）π∧源自【Feinstein et a l.，2018，定理2.6】中详述的输入-输出结果。在继续之前，我们希望回顾Milgrom和Roberts（1994）提出的固定点的单调性概念，我们在这些附录中定期回顾这些概念。定理A.5（Milgro m和Roberts[1994]的定理em 3）。设X为完备格，Ta为偏序集，f:X×T→ 十、 假设f是单调的非减量。LetxL（t）=inf{x | f（x，t）≤ x} 和xH（t）=sup{x | f（x，t）≥ x} 。然后：（i）xL（t）和xH（t）是f（·，t）的最小和最大固定点，（ii）xL（·）和xH（·）是不递减的，以及（iii）如果对于所有x∈ 十、 f在t中严格增加，然后xL（·）和xH（·）严格增加。对于本节的其余部分，我们使用定义2.2中引入的符号d。提案A.6。

最大的清算财富映射V，以及支付和权益映射p和E，在捐赠x证明中是不变的。捐赠基金中清算财富的单调性源自定理A.5。支付和权益的结果直接来自清算财富映射的定义。提案A.7。考虑Eisenberg和Noe【2001】的设置，即αx=αL=1。最大清算财富映射V和支付映射p在捐赠x证明中是凹的和子模块。我们首先注意到，在Eisenber g和Noe【2001】的设定下，我们可以将该系统视为付款p（x）=p的固定点∧（x+π）p（x）），V（x）=x+πp（x）- 因此，如果p:Rn+→ [0，\'p]是凹的（子模），V也是凹的。（i） Eisenberg和Noe（2001）的引理5给出了清算支付向量p的凹度。（ii）为了证明学习支付向量p的子模块性，考虑paymentfunction是映射pk:Rn的逐点极限+→ [0，\'p]迭代定义为：p（x）：=\'p和pk+1（x）：=\'p∧（x+π）pk（x））k∈ Nx个∈ Rn+。p（x）=limk→∞pk（x）通过构造（其中收敛来自于参数0的单调性和有界性≤ pk+1（x）≤ pk（x）），如果所有K的pkis子模块，则结算付款p的情况必须相同。通常为pis子模块。Nowby归纳法假设pk-1是子模块。取x，y∈ Rn+和i∈ {1，2，…，n}；必须考虑三种情况：（a）如果pki（x）=pki（y）=pithen pki（x）+pki（y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 通过构造。（b） 如果pki（x）<pki（y）=pithen pki（x）≥ pki（x∧ y） 和pki（y）=pki（x∨ y） 通过单调性（位置A.6）；因此，pki（x）+pki（y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 。（c） 如果pki（x）<计划pki（y）<pithen pki（x）=xi+Pnj=1πjipk-1j（x）和pki（y）=yi+Pnj=1πjipk-1j（y）。

因此，我们发现pki（x）+pki（y）=xi+nXj=1πjipk-1j（x）+yi+nXj=1πjipk-1j（y）φ：Rn→ 如果φ（x），R是子模∨ y） +φ（x∧y）≤ φ（x）+φ（y）对于任何x，y。φ是超模，如果-φ是子模。=xi+yi+nXj=1πji主键-1j（x）+pk-1j（y）≥ xi∧ 易+xi∨ yi+nXj=1πji主键-1j（x∧ y） +主键-1j（x∨ y）=（十）∧ y） i+nXj=1πjipk-1j（x∧ y）+（十）∨ y） i+nXj=1πjipk-1j（x∨ y）≥ pki（x∧ y） +pki（x∨ y） 。提案A.8。对于任何x∈ Rn+和任何组i:Vi（x；π，(R)p，αx，αL）∈ [Vi（αxx；αL∏，\'p，1，1），Vi（x；π，\'p，1，1）]和pi（x；π，\'p，αx，αL）∈ [π（αxx；αL∏，\'p，1，1），π（x；π，\'p，1，1）]。财富的界限也适用于社会节点，其中欠社会的相对负债由∏确定，即社会财富由Vn+1（Y；∏，(R)p，αx，αL）明确定义：=Pni=1πi，n+1pi（Y；∏，(R)p，αx，αL）。证据请注意，如果计算结果适用于共享财富，那么它也必须适用于清算付款，因为所有边界都是针对相同的总债务给出的。p.（i）考虑提议的上限。考虑ψ*: [-\'p，x+π\'\'p- \'\'p]×[0，1]→ Rn明确考虑回收率αx，αL。通过构造，ψ*（共同）不减损。因此，根据定理A.5，必须允许（最大）净财富作为回收率的函数也是不递减的，并且证明了上限。（ii）考虑固定αx，αL的建议下界∈ [0, 1]. 考虑ψ+：[-\'p，x+π\'\'p- \'-p]×[αx，1]×[αL，1]→ Rnbe清算方程的修正，以便ψ+（V，（ax，aL））：=I{Vi≥0}ax+I{Vi<0}αxxi+I{Vi≥0}aL+I{Vi<0}αLnXj=1πji（(R)pj-五、-j）-？pi。值得注意的是，通过构造清算财富，V（x；π，(R)p，αx，αL）是ψ+（·，（1，1））a的最大执行点，V（αxx；αL∏，(R)p，1，1）是ψ+（·，（αx，αL））的最大固定点。此外，通过构造，ψ+是（联合）非减量的。

因此，根据定理A.5，下界必须成立。社会节点的边界与支付的边界pi，i=1，…，基本相同。。。，n、 提案A.9。确定随机捐赠X∈ 最大清算财富Sv（X），以及支付和股票p（X）和E（X），是一个可测量的向量。证据首先，我们希望回顾第3.1节中规定的清算财富的分段线性公式；特别是召回, δ分别在（3）和（4）中定义。对于nyω∈ Ohm 注意V（X）[ω]=Pz∈{0,1}nI{X（ω）∈X（z）}(（z） X（ω）- δ（z）），其中X（z）提供了导致z中编码的默认值的一组元素，即X（z） Rn+定义为：X（z）：=x个∈ 注册护士+e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0，e我（z） x<eiδ（z）i:zi=1∩\\\'\'zzX（(R)z）c。也就是说，X（z）被构造为有限个闭合和开放半空间的交点，以及X 6∈S'zzX（(R)z）。这个附加条件是保证x∈ 与最大清算解决方案V（X）相比，X（z）不能提供“更好”（即违约银行更少）的清算财富向量。通过在命题A.1的证明中使用Tar ski的不动点定理，我们能够保证X（z）的这种构造实际上是不相交的。由于V（X）[ω]是有限s e t上的总和，因此清洁财富的可测量性如下。B随机赋能下的期望在本节中，我们希望考虑将赋能空间Rn+划分为区域，以便默认集在第2个子集中保持不变。Gouriéroux et a l.[2012]在没有破产成本的情况下，即αx=αl=1，且具有交叉所有权的情况下，对这个问题进行了详细的考虑。在此，我们将提供一个考虑破产成本的快速扩展，即任何αx，αL∈ [0, 1].

值得注意的是，当min{αx，αL}<1时，分区不需要是凸集，而它们是系统中的凸多面体，没有破产成本，如Gouriéroux等人[2012]所述。在下文中，我们将考虑第3.1节中规定的清算财富的分段线性公式；如果需要交叉所有权，则我们参考第3.3节，以了解映射所需的修改 和δ。为了考虑分区，fix z∈ {0，1}表示违约银行。通过建造，捐赠x产生的财富∈ Rn+由V（x）=（z） x个- δ（z）。为了使赋能向量与默认集z一致，它需要是vi（x）≥ 0当且仅当zi=0时。也就是说，生成默认集合Z的禀赋集合由不等式系统给出：e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0e我（z） x<eiδ（z）i：zi=1。然而，除非在没有破产成本（αx=αL=1）的特殊情况下，这些区域不必是不相交的。如果捐赠x有两个清算财富向量V6=V，那么它必须是z6=zzzzzk=I{Vk<0}。如果z=zthen，通过构造（zk），δ（zk），它必须遵循V=V。特别是，我们对最大清算财富感兴趣，因此我们可以通过考虑从d到z乘以X（z）的捐赠集，构建从最小违约数到最大违约数的划分 命题A.9证明中提供的Rn+。也就是说，X（z）定义为：X（z）：=x个∈ 注册护士+e我（z） x个≥ eiδ（z）i:zi=0，e我（z） x<eiδ（z）i:zi=1∩\\\'\'zzX（(R)z）c.在图7中，我们提供了一幅关于捐赠spa ce的分区图像，该图显示了一个小型网络，其中包含2家银行和一个社会节点。

我们注意到，这幅图中的社会节点永远不会失败，这是因为它没有负债，因此总是非负财富。最后，我们希望考虑没有银行破产成本（αx=αL=1）的特殊情况，如Gouriéroux等人【2012年】所述。由于清算财富的唯一性（推论A.2），在这种情况下，我们只得到一个一致的默认集z∈ {0，1}对于每个捐赠x∈ 因此，在破产成本的情况下，无需采取二级交叉口。此外，在这种情况下，那些财富为0的银行可以被等同地认定为既有偿付能力又有违约能力；因此，产生z的禀赋集∈ {0，1}n可被视为仅闭半空间的有限交点，即凸多面体：X（z）：=x个∈ Rn+|（I-2诊断（z））（z） x个≥ （一）- 2 diag（z））δ（z）.我们注意到分区（X（z））z∈{0,1}不再是不相交的，因为边界将由分区共享。然而，在这个共享边界上，清算财富和支付将是等价的，并且这个交叉点的Lebesgue mea sure为0，因此我们（和之前的作者）已经对这种情况进行了贴现，以便于构建se ts X（z）。0 1 2 3 4 5 6 7 8 10企业1捐赠空间到默认区域的划分z=[0]z=[1 0]z=[1 1]z=[1 1]图7：2银行+社会节点网络的捐赠空间到默认区域的划分示例，带有破产成本。C计算门槛价格q*利用假设3.2中描述的共单调设置，我们可以提供最低价格q的迭代表示*∈ Rn+使得每家公司都是有溶剂的，如定义3.4所述。在本节中，我们将考虑使用Q表示订单统计信息*[k]≥ q*[k+1]对于每个银行k。

这种迭代方法与Eisenberg和Noe【2001年】、Rogers和Veraart【2013年】（见联席会议A.4）的实际违约算法相同，因为我们假设只有前k个违约发生，才能确定下一个阈值pr ice q*[k+1]。也就是说，首先，假设没有银行违约，我们发现最大价格q*[1] 这样一些银行就会违约。将此默认值纳入系统后，我们发现下一个最高价格q*[2] 发生违约时（最多q*[1] –在这种情况下，这是同时或连续违约）。一次添加一个单一违约并确定下一个最大阈值价格的过程将按顺序重复，直到找到所有银行违约水平。此过程成功地确定了违约顺序和阈值价格q*由于每家银行财富的单一性，w.r.t.违约机构的集合。提案C.1。最低价格，使各公司具有偿付能力，由q定义*定义3.4可通过以下递减值的迭代关系明确定义。初始化q*[0]= ∞ z（0）=0∈ 注册护士。那么对于任何k=1，2。。。，n： [k]∈ 参数最大值：z（k-1） i=0supnq≥ 0 | e我（z（k-1） f（q）<δi（z（k-1） ）o+q*[k] ：=最小值q*[k]-1] ，supnq≥ 0 | e[k]（z（k-1） ）f（q）<δ[k]（z（k-1） ）o+z（k）：=z（k-1） +e[k]带, δ分别在（3）和（4）中定义。按照惯例，假定排空集的上确界为0。如果[k]的集合定义的基数大于1，则只能任意选择一个参数。如果f是连续且严格增加的，则q*[1] =hmaxif-1i（(R)pi-Pnj=1Lji）i+和q*[k] 可以通过0和q之间的平分搜索找到*[k]-1].证据这直接源于命题A.6中给出的财富的单调性以及, δin（3）和（4）。

q级*[k] 选择的价格正好是最大的价格Q，这样银行就可以在之前的[1]到[k]之间拥有0个财富（即最低的价格，这样银行才有偿付能力）- 1] 银行已被视为资不抵债。q取的最小值*[k]-1] 只有在发生传染性损害的情况下才有必要，即如果银行支付的款项激增，则破产成本也会增加[k-1] 导致银行同时破产。D界定系统风险度量在本节中，我们希望扩展这项工作的主要结果，即引理4.1，为系统风险度量提供基础。事实上，我们将证明引理4.1（在附录J中），证明其结果是本节关于系统风险度量的界限的特例。在此，我们将从文献中提出系统性风险度量的两个概念。在第D.3节中，我们将考虑如Chen等人【2013年】、Kromer等人【2016年】所述的标量系统性风险度量，以证明我们可以在某些（弱）条件下通过共同通知约束设置来约束系统性风险。这在D.4节中扩展到集值风险度量的情况，如Feinstein等人【201 7】、Ararat和Rudloff【2020】；在这种情况下，边界不等式实际上是包含。为简化表达式，在本节中，我们将假设所有随机变量均一致有界，即L的元素∞.D、 1货币风险度量在本节中，我们将介绍货币风险度量的概念。我们请感兴趣的读者参考[F"ollmer and Schied，2004年，第4章]，了解这些对象的详细描述；定义D.1中提供的定义见F"ollmer and Schied【2004】第4.1章。

简而言之，货币风险度量是将投资组合的盈亏映射到资本需求的函数。定义D.1。A映射ρ：L∞→ 如果R满足以下属性，则称为货币风险度量单调性：ρ（X）≤ ρ（Y）对于任意X，Y∈ L∞和X≥ Y a.s.o现金不变性：ρ（X+m）=ρ（X）- m表示任意X∈ L∞和m∈ R、 货币风险度量ρ：L∞→ 如果R满足以下性质，则称为凸风险度量凸度：ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）对于任意X，Y∈ L∞和λ∈ [0, 1].o 上面的连续性：ρ（Xn）ρ（X）如果XnX a.s.a凸风险度量ρ：L∞→ 如果R满足以下属性，则称为一致性风险度量正均一性：ρ（λX）=λρ（X）对于任何X∈ L∞和λ∈ R+。虽然通常不会将上述连续性假设为凸风险度量定义的一部分，但该属性对于下文D.5理论中考虑的稳健表示是必要的。我们将在D.3和D.4节中广泛使用该报告。示例D.2。最常用的货币风险度量方法之一是预期缺口（也称为“ris k的平均值”或“条件风险值”）。该风险度量提供了必要的资本，以便尾部预期为非负。通常，如F"ollmer和Schied【2004】第4.4章所述，在λ级的预期s水平为λ（X）∈ （0，1）和位置X∈ L∞由λ（X）=λZλV aRγ（X）dγ给出，其中V aRγ（X）：=inf{m∈ R | P（X+m<0）≤ γ} 是γ级X的风险值∈ （0，1）。预期的s水平是一个一致的风险度量。事实上，如Ben Tal和Teboulle[2007]所述，预期的短缺是优化确定性等价物ρ（X）：=infy的一个例子∈R（y- E[u（X+y）]）（7）对于任何位置X∈ L∞凹效用函数u（t）：=λmin{0，t}。

事实上，任何适当的闭凹和非减量效用函数u:R的优化确定性等价物（7）→R∪ {-∞} 提供凸风险度量。任何货币风险度量都是接受集类的双射度量，即非空s etsA L∞这样（i）如果X∈ A和X≤ Y a.s.然后Y∈ A和（ii）inf{m∈ R | m∈ A} >-∞. 以下命题中风险度量和接受集之间的关系表示通常被称为“原始表示”提案D.3（F"ollmer and Schied[2004]的提案4.6和4.7）。设ρ：L∞→ R bea货币风险度量，thenAρ：={X∈ L∞| ρ（X）≤ 0}（8）是接受集。如果ρ是凸的（相干的），那么ρ是弱*闭凸集（弱*闭凸锥）。此外，ρ可以从其接受集恢复：ρ（X）=inf{m∈ R | X+m∈ Aρ}十、∈ L∞.相反，让A L∞是接受集，则ρA（X）：=inf{m∈ R | X+m∈ A}十、∈ L∞定义货币风险度量。如果A是一个弱*闭凸集（弱*闭凸锥），那么ρAis是一个凸（相干）风险度量。此外，A可以从其风险度量中恢复：A={X∈ L∞| ρA（X）≤ 0}示例D.4。除了优化的确定性等价物外，基于适当的闭凹和非减损效用函数，还存在另一种常见的凸风险度量选择u:R→ R∪ {-∞}. 第4.9章ofF"ollmer和Schied【2004年】中提出的基于公用事业的短缺风险度量由验收集提供{X∈ L∞| E【u（X）】≥ c} （9）对于某些阈值实用程序c∈ R、 也就是说，基于效用的短缺风险度量提供了必要的资本，以便预期效用超过给定的阈值效用。最后，我们希望为凸风险度量提供一个对偶或鲁棒表示。

这种表示将风险度量表示为“合理”概率度量的上确界（例如，与P的偏差）。定理D.5（F"ollmer and Schied[2004]的定理4.31和推论4.34）。设ρ：L∞→R是凸风险测度，则ρ（X）=supQ∈M-α（Q）- 等式[X]十、∈ L∞α（Q）：=supY∈A.-等式[Y]Q∈ M：={Q<< P} 全概率测度集是否绝对连续w.r.t.P。如果ρ是一致风险测度，则ρ（X）=supQ∈MQ公司-等式[X]十、∈ L∞其中MQ：={Q∈ M |α（Q）=0}。D、 2随机序在继续本节的主要结果之前，我们希望回顾一些随机序，这些随机序将在以下证明中广泛使用。具体而言，我们将关注超模和方向凸序。值得注意的是，对于这项工作中的结果，一个随机向量总是在这两个阶中的任何一个阶下由其共单调copula支配（见定理D.7和推论D.11）。D、 2.1超模序首先，我们将考虑超模序。第9章更详细地介绍了这种随机排序。A、 Shaked和Shanthikumar的第4条【20 07】。定义D.6。设X，Z是两个n维随机向量，使得e[φ（X）]≤ E[φ（Z）]对于所有超模函数φ：Rn→ R（前提是存在预期）。那么X被称为在超模序中比Z小的t（用X表示≤smZ）。超模序对我们很重要，因为它与共名性有关。特别是，随机向量的共单调copula在超模序中总是占主导地位。定理D.7（Shaked和Shanthikumar的定理9.A.21【2007】）。设X=（X，…，Xn）为随机向量，设fxib为Xi的边际分布，i=1。。。，n

然后，对于支持度为[0，1]的auniform随机变量U，我们得到了≤sm（F-1X（U）。。。，F-1Xn（U））。D、 2.2方向凸序我们现在想考虑方向凸序；这是一个比超模阶弱的阶。第7章更详细地介绍了这种随机排序。A、 Sha ked和Shanthikumar【2007】的第8页。定义D.8。设X，Z是两个n维随机向量，使得e[φ（X）]≤ E[φ（Z）]对于所有方向凸函数φ：Rn→ R（前提是存在预期）。那么X在方向上凸的顺序上小于Z（用X表示≤dcxZ）。正如在下一个命题中明确指出的那样，如果X在超模序中小于Z，那么它也必须在方向凸序中。这是因为每个方向凸函数都是一个超模函数。利用这一结果，我们可以证明任意随机向量在滚动D.11中的方向凸阶小于其共单调copula。φ：Rn→ 如果φ（x）+φ（x），R是方向凸的≤ φ（x）+任意x的φ（x）≤ x个≤ x和x：=x+x- x、 φ是方向凹的，如果-φ是方向凸的。提案D.9（Shaked和Shanthikumar[2007]的提案7.A.27）。以下语句是等效的：（i）函数φ：Rn→ R是方向凸的。（ii）函数φ：Rn→ R是超模的，坐标方向是凸的。（iii）对于任何x、x、y∈ RN使x≤ X和y≥ 0，一个有φ（x+y）- φ（x）≤ φ（x+y）- φ（x）。虽然由超模序隐含，但方向凸序的一个优点是，方向凸函数的组合保证产生方向凸函数。

我们在D.3和D.4节中广泛利用了这种组合结构，因为系统风险度量的结构是功能的组合。提案D.10（Shaked和Shanthikumar[2007]的提案7.A.28（A））。Ifψ：Rm→Rkis非减量方向凸（凹）和φ：Rn→ Rmis为非减量方向凸（凹），则合成ψo φ为非减量方向凸（凹面）。推论D.11。设X，Z是两个n维随机向量。如果X≤smZ然后是X≤dcxZ。证据由于每个方向凸函数φ都是超模的（根据命题D.9），因此结果很简单。D、 3标量系统风险度量现在考虑的是标量系统风险度量，如Chen等人【2013年】，Kromer等人【2016年】。此类系统性风险度量定义为宏观风险度量ρ：L的组成部分∞→ R和一个非减损聚集函数∧：Rd→ Rρsys（Z）：=ρ（(R)∧（Z））Z∈ （L）∞)d对于d系统≥ 1组件。Ararat和Rudloff【2020年】将这些标量系统性风险度量称为“不敏感”，因为聚合对资本注入不敏感。在此讨论中，我们将重点讨论聚集函数∧：=λo V被构造为一些非减量聚集函数∧：Rn+1的组合→ R和系统财富V。也就是说，在本节中，我们特别考虑满足ρsys（X；π，’p，αX，αL）：=ρ（λo V（X；π，\'p，αX，αL））（10）适用于任何金融网络（X；π，\'p，αX，αL）。通过这一构建，我们可以立即提供DELEMMA D.12，它提供了这些系统性风险度量的共单调界限。引理D.1 2。设ρ：L∞→ R是凸风险度量。Let∧：Rn+1→ R是一个非减量、方向凹的聚集函数。将ρsysby（10）定义为相关的标量系统风险度量。

让X∈ （L）∞+)与Z是它的共单调copula，即Z=（F-1X（U）。。。，F-1Xn（U））对于支持度[0，1]上的均匀随机变量U和边缘分布FX。。。，FXNx。。。，xn相应地，则ρsys（X；π，(R)p，αX，αL）≤ ρsys（αxZ；αL∏，(R)p，1，1）。进一步，设G={G F | G是σ-代数，E[X | G]是共单调的}是子σ代数集，使得E[X | G]是X的共单调投影。此外，如果ρ是非优化确定性等价物（7）或基于效用的短缺风险度量（9），且∧是凹的，则ρsys（X；π，(R)p，αX，αL）≥ supG公司∈Gρsys（E[X | G]；π，\'p，1，1）≥ ρsys（E【X】；π，’p，1，1）。证据首先，我们将考虑这些标量系统性风险度量的共单调上界。考虑完全恢复的情况，如Eisenberg和Noe【2001年】，即αx=αL=1。根据命题D.10，并注意到通过应用命题A.7和命题D.9，V是方向凹的∧oV为不减薄且方向凹形。请注意，X≤通过应用定理D.7和推论D.11，讨论了关于方向凸阶的dcxZ。因此-等式[λ（V（X；π，’p，1，1））]≤ -对于任何测量Q，等式[λ（V（Z；π，\'p，1，1））]∈ M（即Q<< P） 。特别是，通过应用定理D.5中给出的ro-bus t表示，这意味着：ρsys（X；π，’p，1，1）=supQ∈M-α（Q）- 等式[λ（V（X；π，’p，1，1））]≤ supQ公司∈M-α（Q）- 等式[λ（V（Z；π，’p，1，1））]= ρsys（Z；π，’p，1，1）。现在，考虑αx，αL∈ [0，1]任意。根据命题A.8，风险度量和聚合函数的单调性，以及完全恢复设置的结果：ρsys（X；π，(R)p，αX，αL）≤ ρsys（αxX；αL∏，(R)p，1，1）≤ ρsys（αxZ；αL∏，(R)p，1，1）。我们现在将考虑Jensen不等式对于这些特定类别的标度系统风险度量的下界。

与之前一样，我们将首先考虑完全恢复αx=αL=1的情况。如命题A.7∧所示，财富映射V的凹度o V为凹面。通过迭代应用Jensen不等式E[u（V（X；π，\'p，1，1））+y）]=E[u（V（X；π，\'p，1，1））+y）]≤ E[u（E[λ（V（X；π，\'p，1，1））| G]+y）]≤ E[u∧（V（E[X | G]；π，\'p，1，1））+y）]对于任何y∈ R和G∈ G、 我们现在将分别考虑这两类风险措施设ρ为优化确定性等价物。根据上述不平等- E[u（λ（V（X；π，\'p，1，1））+y）]≥ y- E[u∧（V（E[X | G]；π，\'p，1，1））+y）]对于任何y∈ R和G∈ G、 因此，对y进行内部控制∈ R保留了这个不等式，因此ρsys（X；π，’p，1，1）≥ ρsys（E[X | G]；π，\'p，1，1）对于任何G∈ G、 o设ρ为基于效用的短缺风险度量。通过上述不等式，对于任何y∈ R、 ifE[u（λ（V（X；π，\'p，1，1））+y）]≥ c然后E[u∧（V（E[X | G]；π，\'p，1，1））+y）]≥ c a s井，因此ρsys（X；π，’p，1，1）≥ ρsys（E[X | G]；π，\'p，1，1）对于任何G∈ G、 （注意，取平凡σ-代数G：={, Ohm} 提供最终下限。）现在，考虑αx，αL∈ [0，1]任意。根据命题A.8，风险度量和聚集函数的单调性，以及全记录设置的结果：ρsys（X；π，’p，αX，αL）≥ ρsys（X；π，’p，1，1）≥ ρsys（E[X | G]；π，\'p，1，1）对于任何G∈ G、 备注D.13。虽然引理D.12中的下界仅针对两种特定类别的风险度量提供，但我们希望回顾一下，如示例D.2所述，预期短缺是一个优化确定性等效的示例。Amini和Feinstein【2021】研究了具有系统（即共单调）冲击的预期s hortfall，作为系统风险度量。（这些界限在示例G.5中进行了数值演示。）示例D.14。