共同聚集函数是社会财富，即∧（V）：=Vn+1（参见Amini和Feinstein【2021】）。有了这个聚集函数，我们可以立即应用引理D.12来约束系统性风险。请注意，此处的社会节点没有什么特别之处，其他任何银行的财富∧（V）：=可以同等考虑。将在引理4.1的证明中采用这种方法（见附录J），以便将该结果视为这些标量系统风险度量界限的推论。我们希望通过对优化确定性等价物中出现的预期效用和共同单调ic环境中基于效用的短缺风险度量进行分析描述，从而结束对标量系统性风险度量的讨论。（虽然这些结果被表示为对聚合函数效用的预期，但同样适用于清算财富的任何函数的预期；这样，这种表示可以用于，例如，Dunkel和Weber【2010年】，Hamm等人【2013年】中提出的优化确定性等价物的草根搜索。）因此，如L emma D.12所述，这些系统性风险度量具有可计算的上下限。推论D.15。设禀赋由X=f（q）定义，满足假设3.2一致有界。Let∧：Rn+1→ R是一个非减量聚合函数。可用于表征优化确定性等效或基于效用的短期风险度量的预期效用可在[u（λ（V（X））+y）]=nXk=0Ehu（λ）的情况下计算(kf（q）- δk）+y）I{q∈【q】*k+1，q*k） }如果有任何y∈ R我们定义的位置kandδkas在定理3.6中通过：k：=Pkj=1ej如果k=1，2。。。，如果k=0和δk，则为nI：=δPkj=1ej如果k=1。。。，n（I）- Π)如果k=0，则为p, δ分别在（3）和（4）中定义，q*如定义3.4所示。证据

利用X的共单调性，推论A.4的fictiousdefault算法中V的分段线性构造，以及q的构造*:E[u（V（X））+y）]=E[u（V（f（q））+y）]=nXk=0Ehu（V（f（q））+y）I{q∈【q】*k+1，q*k） }i=nXk=0Ehu（λ(kf（q）- δk）+y）I{q∈【q】*k+1，q*k） }i.D.4集值系统风险度量集值系统风险度量在Feinstein等人【2017年】、Ararat和Rudloff【2020年】中进行了研究。这些风险度量在Ararat和Rudloff【2020年】中被称为“敏感”，因为总价值对特定注资敏感。虽然在Fainstein等人【2017】中提出了更一般的方法，但在此我们遵循Ararat和Rudloff【2020】的结构，因此这些集值风险度量是从标量系统风险度量中明确构建的。特别是，采用金融网络的标量系统风险度量（10），我们将把集值系统风险度量视为SYS定义的映射RSYS（X；π，’p，αX，αL）：={y∈ Rn |ρsys（X+y；π，\'p，αX，αL）≤ 0，X+y∈ （L）∞+)n} （11）对于任何金融网络（X；π，(R)p，αX，αl）。由于这种构造，我们能够通过应用引理D.12中提供的边界来约束这些集值系统风险度量。推论D.16。设ρ：L∞→ R是凸风险度量。Let∧：Rn+1→ R是一个非减量、方向凹的聚集函数。将Rsysby（11）定义为相关的集值系统性风险度量。让X∈ （L）∞+)与Z是它的共单调copula，即Z=（F-1X（U）。。。，F-1Xn（U））对于支持度[0，1]上的均匀随机变量U和边缘分布FX。。。，FXNx。。。，xn相应地，thenRsys（X；π，(R)p，αX，αL） {y∈ Rn |αxy∈ Rsys（αxZ；αL∏，(R)p，1，1），y≥ -Z a.s.}。进一步，设G={G F | G是σ-代数，E[X | G]是共单调的}是次σ代数集，使得E[X | G]是X的共单调投影。

此外，如果ρ是非优化确定性等价物或基于效用的短期风险度量，且∧是凹的，则RSYS（X；π，(R)p，αX，αl）\\G∈GRsys（E[X | G]；π，\'p，1，1） Rsys（E【X】；π，’p，1，1）。证据让y∈ Rn使αxy∈ Rsys（αxZ；αL∏，(R)p，1，1）和y≥ -Z a.s.通过构造，这意味着ρsys（αx【Z+y】；αL∏，’p，1，1）≤ 通过简单应用引理D.12，这意味着ρsys（X+y；π，(R)p，αX，αL）≤ 0和X+y∈ （L）∞+)n、 即y∈ Rsys（X；π，(R)p，αX，αL）。注意，如果αx=0，则0·y∈ Rsys（0·Z；αL∏，p，1，1）当且仅当ρsys（~0；αL∏，p，1，1）：=ρ（λ（~0））≤ 0;因此，共单调界要么是空集，要么是{y∈ Rn | y≥ -X a.s.}。现在考虑优化确定性等价或基于效用的短缺风险度量的界限。通过简单应用引理D.12和fix e D G∈ G、 ρsys（X+y；π，(R)p，αX，αL）≥ρsys（E[X | G]+y；π，\'p，1，1）表示任意y∈ Rn使X+y∈ （L）∞+)n、 因此y∈ Rsys（X；π，(R)p，αX，αL）表示y∈ Rsys（E【X | G】；π，’p，1，1）以及。引理4.1中边界的严格性在这里，我们希望提供两个简单的例子，证明引理4.1中提供的上界和下界是严格的，因为存在网络，其中任何一个边界都具有约束力。示例E.1。考虑一个一般网络，其银行间债务由（π，(R)p）加总，回收率αx，αL∈ [0, 1].（i） 设X=X∈ Rn+a.s.–是共单调的–财务网络（π，(R)p），因此X+π\'\'p- \'\'p∈ -Rn++，即所有银行都（几乎肯定）违约。通过清算程序，清算财富（因此也包括清算付款）必须满足：V（x；π，’p，αx，αL）=我-αL∏-1αxx- \'p=V（αxx；αL∏，\'p，1，1）。也就是说，X上的期望值等于引理4.1中给出的下界。（ii）设X=X∈ 注册护士+助理护士。

-也就是说，E[X]=X–金融网络（π，(R)p）的X+π\'\'p- \'\'p∈ Rn+，即（几乎可以肯定）没有银行违约。通过清算程序，清算财富（因此也包括清算付款）必须满足：V（x；π，\'p，αx，αL）=x+π\'\'p- \'p=V（x；π，\'p，1，1）。也就是说，期望覆盖等于引理4.1中提供的上边界。债务和股本定价的默顿模型在本节中，我们希望对默顿【1974年】中定义的债务和股本的默顿模型进行正式描述。该模型被用作基线，以与本工作中提出的网络评估结果进行比较。与本研究中普遍使用的金融网络不同，默顿模型研究的是单一企业环境。该公司只有一种债务≥ 0，单个到期日t>0。在资产负债表的另一边，该公司在到期时拥有价值为berT+sq的资产，其中该公司投资了b∈ 利率为R的无风险债券中的R≥ 0和s≥ arisky资产中的0，随机支出q≥ 0几乎可以肯定。假设F.1。风险资产的对数正态收益q=exp（[u-σ] T+σZ√T）带漂移u∈ R和波动率σ>0，其中Z是一些标准正态随机变量。默顿模型的主要问题是关于到期前一段时间，尤其是在时间0时的债务和股权价格。到期时支付的总金额isp：=(R)pI{berT+sq≥\'\'p}+α伯特+平方米I{berT+sq<p}表示回收率α∈ [0，1]，即如果公司资产的价值至少等于负债，则公司支付其总负债，否则公司支付其所有资产（减去相应的破产成本1- α). 我们希望注意到，Merton【1974】只考虑了完全恢复的情况，即α=1。

到期股权具有欧洲看涨期权的支付：=（berT+sq- \'p）+，即支付所有负债后的盈余。这些债权的定价是在风险资产的风险中性度量Q下完成的，即dQdP=exp-u - rσT-u - rσZ√T（虽然本文以单周期设置表示，但我们假设q的对数正态分布是由几何布朗运动生成的。）也就是说，债务价格是由总负债p归一化的付款p的贴现qexpection，企业的市场资本化是权益E.引理F.2的贴现Q预期。在风险中性指标Q下，公司债务的贴现价格和市值分别由以下公式得出：e-rTp？p=e-rTif伯特≥ “”pe-rT+αs'pΦ(-d）-他-rT公司-αb'piΦ(-d） 如果berT<pEQe-rTE公司=b+s- e-如果伯特≥ (R)psΦ（d）-“”pe-rT公司- bΦ（d）如果berT<pwhereΦ：R→ [0，1]是标准正态累积分布函数，d=log标准普尔-是-rT公司+r+σTσ√Td=d- σ√T证据首先，如果berT≥ p那么公司将始终全额支付其债务，任何超出部分都是股本。考虑berT<\'p的情况。考虑支付pEQ定义后的债务价格e-rTp？p= e-rTQ（平方≥ \'\'p- berT）+α′pEQ[e-rT（berT+sq）I{sq<p-berT}]=e-rTQ（平方≥ \'\'p- berT）+αb'pQ（sq<p- berT）+sbQ（sq<p- berT），其中dbqdq=e-rTq。

通过构造测度Q，bQ，这些概率就d，d，即Q（sq≥ \'\'p- berT）=Φ（d）和Bq（sq≥ \'\'p- berT）=Φ（d）。所以，通过正态分布的对称性，可以很容易地证明e-rTp？p= e-rT+αs'pΦ(-d）-e-rT公司-αb'pΦ(-d） 。同样，公司的市值可以按季度进行分解e-rTE公司= 等式[e-rT（berT+sq）I{sq≥\'\'p-伯特}]- e-rT'pQ（sq≥ \'\'p- berT）=sbQ（平方≥ \'\'p- 伯特）-“”pe-rT公司- bQ（平方英寸≥ \'\'p- berT）=sΦ（d）-“”pe-rT公司- bΦ（d）。G具有特殊风险的CAPM模型下的定价在此，我们希望考虑企业具有独立于市场投资组合的特殊风险，但可能在不同风险之间具有复杂的关联结构的情况。也就是说，企业捐赠遵循CAPM结构。CAPM是一个单因素资产收益模型；在这种结构下，银行i的回报基于其与市场投资组合q的相关性和额外的特殊风险。CAPM结构最早于Sharpe【1964年】，Lintner【1965年】引入。该模型提供了银行i的对数回报率riup到到期日T作为无风险利率r的函数≥ 0和标记t通过关系ri=rT+βi（rM）返回srm=log（q- rT）+i其中βi是银行i的市场回报率乘以银行i的投资标准偏差与市场投资组合标准偏差的比率（即银行i的市场β）的相关性，而i是银行i的一些特殊回报率。值得注意的是，这种设置不是协整的，尽管我们沿着引理4.1和备注4.3的线找到了该设置的共单调上界和下界。我们提供了简短的数值示例，以演示此设置中提供的所有边界的值作为市场beta的函数。假设G.1。让r≥ 0为无风险利率。

让我们∈ Rn+表示公司的投资规模。固定β∈ Rn+为每家公司和γ的市场beta向量∈ Rn+是特殊风险的标准偏差向量。考虑终端时间T>0。需求X：=诊断η几乎可以肯定，其中，对于每个银行i，ηi：=经验(1 - βi）r+βiuM-βiσM+γiT+（βiσMZM+γiZi）√T对于标准正态随机变量ZM，Z。。。，Zm使得Zm独立于每个Zi和（Z，…，Zn）遵循多元正态分布。此外，考虑遵循对数正态分布Q：=经验的市场组合uM-σMT+σMZM√T市场漂移uM和标准偏差σM≥ 也就是说，在前面介绍的CAPM语言中，银行i的回报率由ri=log（ηi）提供，市场回报率rM=log（q）和分异回报率i=-γiT+γiZi√T自始至终，我们还将考虑单个公司的波动率σi=pβiσM+γi。通过这一点，我们可以通过公司与市场投资组合ρiM的相关性来确定市场β，即βi=ρiMσiσM，我们还可以从这一相关性中确定特殊波动率，即γi=p1- ρiMσi。我们注意到，对于所有公司i，ρiM=1的设置提供了一个单调的设置。在本节中，虽然构建了一个单周期设置，但我们假设该结构是由具有动态交易策略（但是静态义务网络）的多元几何布朗运动生成的。因此，我们将考虑市场的（唯一）风险中性指标Q的预期，即dQdP=exp-uM- rσMT-uM- rσMZM公司√T因此，在Q下，市场投资组合在到期时的价值为T of Q=exp（r）-σM）T+σMZM√T其中，zm是风险中性度量Q下的标准正态随机变量。

此外，每家公司i的投资组合在到期时的价值为ηi=exp（r）-σi）T+βiσMZM√T+γiZi√T（12） =经验值(1 - βi）r-γiT+γiZi√T经验值(1 - βi）βiσMTqβi.（13）对于这个设置，我们现在希望考虑引理4.1的分析界限。这些边界决定了投资策略多样性对定价的影响的数量，因此也决定了系统风险。通过将任何银行的收益分解为系统或市场成分q和特质成分，CAPM设置可以适当地恢复系统风险和特质风险对系统风险的权衡。特别是，通过利用引理4.1中的共单调界限，我们可以分析地考虑，例如，债务价格（系统风险的代理）对各种网络参数的敏感性；下面的示例G.4中显示了此类结果的示例。引理G.2。在风险中性措施Q下，公司i债务的贴现价格EQ[e-rTpi（diag（s）η）/(R)pi]上下边界为：EQe-rTpi（αxdiag（s）^η（σ）；αL∏，\'p，1，1）\'pi≤ 均衡器e-rTpi（diag（s）η；π，\'p，αx，αL）\'pi(14)≤ 均衡器e-rTpi（diag（s）^η（βσM）；π，`p，1，1）`pi式中^η：Rn+→ （L+）由^ηi（z）=exp定义（r）-zi）T+ziZM√T= 经验值(1 -ziσM）（r+ziσM）TqziσM，即^η（σ）和^η（βσM）分别是η的共单调版本和条件期望版本（w.r.t.q）。

事实上，可以通过一般结构计算共单调边界：EQe-rTpi（diag（s）^η（z）；π，`p，1，1）`pi= e-rT+饼图inXk=ihkdiag（s）Φ(-^dk（z））- Φ(-^dk+1（z））-e-rTδkΦ(-^dk（z））- Φ(-^dk+1（z））i（15）其中门槛市场价格^q*（z） 与定义3.4中的假设3.5中提供的银行排序相同，Φ：R→ [0，1]是标准正态累积分布函数，^dk（z）=log（1/^q*k（z））~1+（r~1-（σM~1- 2z）σM）TσM√Tk=0，1。。。，n+1^dk（z）=对数（1/q*k（z））+（r-σM）TσM√Tk=0，1。。。，n+1，和k、 δkar如定理3.6所定义，即：。，k：=Pkj=1ej如果k=1，2。。。，如果k=0和δk，则为nI：=δPkj=1ej如果k=1。。。，n（I）- Π)如果k=0，则为p, 根据^q的顺序，分别在（3）和（4）中定义δ*（z） 。证据我们将分两部分来证明这个结果。首先，我们将演示（14）hold的上下两个键。其次，我们将证明（15）中给定的共单调结构的定价结构。（i） 通过引理4.1的应用，我们将证明上界和下界，证明^η（σ）是η的共单调copula，^η（βσM）=EQ[η| q]是η的共单调投影。首先，考虑ηifor bank i w.r.t的边际分布。Q：对数正态分布（对于高斯平均值（r-σi）T和方差σiT），如（12）所示。因此η的共单调copula是对数正态分布的随机向量，具有一些一致的基本标准正态分布。因此，^η（σ）是ηw.r.t的共单调copula。标准nor-malZM（在量度Q下）。

现在，我们将利用（13）中给出的形式来考虑等式[η| q]：EQ[ηi | q]=EQ经验值(1 - βi）r-γiT+γiZi√T经验值(1 - βi）βiσMTqβi | q= 均衡器经验值(1 - βi）r-γiT+γiZi√T经验值(1 - βi）βiσMTqβi=经验值(1 - βi）r+βiσMTqβi=^ηi（βiσM）。此外，^ηi（βiσM）通过指数的正性（即exp(1 - βi）（r+βiσM）T)以及每个银行i的q的幂的非负性（即βi）。（ii）我们现在希望证明（15）中提供的给定共单调结构的定价结构。为此，我们将考虑生成函数f（q）：=diag（s）^η（z）（它隐式地是q的函数），如第2.4条所述。因此，根据定理3.6中的定价结构，我们确定e-rTpi（diag（s）^η（z）；π，`p，1，1）`pi=e-rT'pi'pi+einXk=ihkEQhf（q）I{q∈【^q】*k+1（z），^q*k（z））}i- δkQ（q∈ 【^q】*k+1（z），^q*k（z）））i！=e-rT+饼图inXk=ihkdiag方程-rT^η（z）I{q∈【^q】*k+1（z），^q*k（z））}i- e-rTδkQ（q∈ 【^q】*k+1（z），^q*k（z）））i.现在考虑等式e的结构-rT^η（z）I{q≤^q*k（z）}]和Q（Q≤ ^q*k（z））。这些期望值将与引理F.2中针对（单一形式）默顿模型所做的期望值进行比较，即让^Q表示概率测度向量，使得d^QidQ=e-rT^ηi（z）对于每个银行i。通过构造措施Q，^Q，这些经验是关于^d（z），^d（z），即等式[e-rT^ηi（z）i{q≤^q*k（z）}]=^Qi（q≤ ^q*k（z））=Φ(-^dk（z）），Q（Q≤ ^q*k（z））=Φ(-^dk（z））。因此，通过构造，我们可以立即恢复（15）的形式。尽管上述引理中没有给出，但可以为有效利率和全系统市值提供类似的界限，分别如备注4.2和推论4.5所示。

类似的界限同样适用于附录D中所述的系统性风险度量；这在下面的示例G.5中进行了数值计算。我们希望注意到，引理G.2中规定的债务价格上限是由捐赠X对市场投资组合q的共单调预测提供的（因为所有银行都在市场投资组合中做多βi≥ 0表示所有i）。事实上，由于CAPMmodel是一个单因素模型，该上限遵循Remark 4.3中考虑的拟议结构。这表明单因素模型可以真正导致可解释的协单调投影。备注G.3。在上述表述中，我们注意到银行的顺序可能会根据参数z发生变化（即，所使用的有效顺序将不同于下限和上限）。^q的计算*（z） 如果所有公司都有相同的r iskpro文件，即对于所有公司i，j，βi=βjandγi=γjj，则显著简化。在这种情况下，q*k（z~1）=exp(1 -σMz）（r+zσM）T^q*k（σM~1）σMzwhere^q*k（σM~1）的计算与命题C.1中的计算完全相同（f（q）=s^η（σM~1）隐式依赖于q）。如上所述，引理G.2中给出的债务价格界限允许对多样性与多样性问题的系统性风险进行权衡。这是价格中介传染中一个经过充分研究的问题（参见，例如，卡波尼和韦伯【2021】）；据作者所知，这一问题以前没有在默认传染的背景下进行过研究。如引理G.2所示，每个银行σ的系数为k∈ Rn+，即通过投资市场投资组合而实现的纯粹多元化投资组合，提供了最大的系统风险；然而，通过投资的多样性（即通过特殊性）实现的改善受到每家银行对市场风险敞口的限制。

因此，从违约蔓延的角度来看，通过特殊风险和回报进行的投资的多样性在总体上优于多样性。我们希望注意到，在价格中介区域文献中，Detering等人[2020]对系统风险多元化的负面影响得出了类似的结论，其中可比术语是投资组合相似性。我们希望通过提供简单的数值示例来结束本节，说明引理4.1（和引理D.12）中首次提出的边界性质，并将其应用于本节中考虑的CAPM设置（引理G.2）。在本例中，我们将重点关注具有社交节点的simple2银行网络，如图1所示。示例G.4。考虑图1所示的有两家银行和一个额外社会节点的金融系统，第5.1节对此进行了详细讨论；也就是说，银行1的外部资产s=3，银行间债务L=7，社会债务L=3，银行2的外部资产s=4，银行间债务L=3，社会债务L=3。为简单起见，我们将考虑完全恢复αx=αL=1的金融系统。在此，我们希望可视化在引理G.2中发现的关于var-ying marketbetas的界限。为了简化此设置，我们将采用σM=σ=σ=1和β=β（以下简称β）。我们首先请注意图8a。在这张图中，我们看到共单调下界和Jensen上界对β的选择不敏感∈ [0, 1]. 然而，当市场β趋于1时，条件上界接近下界（即共单调设置）。因此，对于高相关性，我们认为界限是紧的，并且有很大的界限。

然而，如第4.2节所述，市值超过了条件和完整Jensen上界sce narios（银行1和2）下的值。最后，在图8b中，我们绘制了最小s olvency pric e s^q*（σ） 和^q*（βσM）从共单调和条件预期设置。尽管^q*（σ） 对市场β不敏感，我们发现*（βσM）单调递减，但^q*（βσM）在β中单调递增。这表明，在两种极端情况下，企业之间违约的相互作用会大大简化最低偿付能力阈值。此外，这些最低偿付能力阈值与OREM 3.6中总结的违约概率是一一对应的。因此，图8b展示了一个违反直觉的结果，即对于银行2，在共单调设置下，违约概率小于在条件设置下。由于与债务价格的关系，这与预期相反，并表明这些界限通常不适用于违约概率。示例G.5。再次考虑示例G.4中描述的金融系统。在此，与考虑债务价格相比，我们将考虑附录d中描述的标量系统性风险度量的界限。特别是，我们将考虑附录d.3中的系统性风险度量，其中一致性风险度量ρ：=ES10%（参见示例d.2）和社会财富∧（V）：=Vn+1给出的聚合函数。图9显示了引理D.12中提供的边界。对于上例中的债务价格，共单调上界和Jensen下界对β的选择不敏感∈ [0，1]，当市场β趋于1时，条件下限接近共单调上限。

因此，0.2 0.4 0.6 0.8 1贝塔0.70.750.80.850.90.95市场贝塔对银行2债务价格的影响同调下限条件预期上限Jensen上限（a）根据同调上限（实线和虚线）和下限（虚线）的市场贝塔变化，银行2的债务价格。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1贝塔0.10.20.30.40.50.60.70.80.9市场贝塔对最低偿付能力价格的影响q*共单调设置：q*（）条件预期设置：q*（M）（b）市场贝塔从条件（实线）^q变化时的最低偿付能力价格*（βσM）和辅音音调设置（虚线）^q*(σ).请注意，这些no LONGER构成upp e r和LOWERBOUND。图8：示例G.4：债务价格和最低偿付能力价格作为市场贝塔函数的界限演示。关于前面例子中边界的结论仍然成立。值得注意的是，与示例G.4相比，对于市场β>0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Beta-5-4.5-4-3.5-2-2-1.5-1-0.5市场β对标量系统风险度量的影响单调上界条件期望下界Jensen下界图9：示例G.5：标量系统风险度量作为市场β函数的界限演示。H校准第5.2节中的银行间网络，以进行第5节中的网络校准。2、我们为每家银行考虑一份风格化的余额表。我们考虑只有两种资产的银行：银行间资产PNJ=1和外部（风险）资产si。同样，我们考虑了各大银行的负债类型：银行间负债Pnj=1Lij、外部负债Li、n+1和资本Ci。

相比之下，EBA数据集为每家银行i提供了总资产Ai、资本Ci和银行间负债PNJ=1LIJ。因此，为了校准我们的银行间网络，我们需要做出一些简化假设，并利用以前文献中的技术。特别是，正如Feinstein【2019年】、Chen等人【2016年】、Glasserman和Young【2015年】所述，外部（风险）资产是总资产和银行间资产之间的差异，外部债务（欠societalnode Li，n+1）等于总负债减去银行间负债和资本，银行间资产将被假定为等于银行间负债，也就是说，对于所有银行i，Pnj=1Lij=Pnj=1lji。因此，我们可以通过等式系统ssi=Ai构建我们风格化资产负债表的其余部分-nXj=1Lij，Li，n+1=Ai-nXj=1Lij- Ci，’pi=Li，n+1+nXj=1Lij。为了验证该校准的一致性，我们注意到公司i的净值等于其资本，即Ci=Ai- ？pi。最后，为了进行校准，我们需要考虑完整的名义负债矩阵L∈ R87×87+，而不仅仅是银行间资产和负债总额。为了完成这项任务，我们考虑了Gandy和Veraart【2017】的方法论。本文提出了一种MCMC方法，以构建与银行间资产和负债总额一致的名义负债矩阵，并允许（随机）稀疏结构。如第5节所述。2，此示例仅用于说明目的，因此我们将仅考虑银行间网络的单一校准。详细介绍了Bühlmann平衡和共单调性在第1.2节中，我们介绍了Bühlmann平衡的基本细节。在本节中，我们希望介绍Bühlmann e平衡（Y*, Q） 为了提供推动这项工作的共名性论点。

特别是，我们使用此构造来证明每个投资组合持有解决方案Y*将是一个共单调随机向量。此处的结构直接源自Bühlmann【1984年】。首先，回顾第1.2节对Bühlmann平衡的定义。也就是说，考虑到一个有n个参与者的市场，这些参与者具有凹型和非减损的效用函数ui:D→ 具有公共域D的R R和捐赠基金Xi∈ L∞（以便Xi∈ D a.s.）。Bühlmann平衡是一对（Y*, Q） 这是（i）效用最大化：对于每个代理i，Y*我∈ arg maxYi∈L∞E[ui（Yi）]| EQ[Yi]≤ 等式[Xi]（ii）市场清算：Pni=1年*i=Pni=1Xi=：X。注意，在有限概率空间下，Bühlmann平衡问题简化为Arrow-Debreu平衡Arrow和Debreu[1954]。由于每个市场参与者都有一个非减损的效用函数ui，在不损失一般性的情况下，我们可以假设等式Y*i] =等式【Xi】给定均衡测度Q。对于此类公式，效用最大化条件与重新公式等价*i=Xi+^Y*我- 等式[^Y*i] ^Y*我∈ ar g最大值^Yi∈L∞鄂惠Xi+^仪- 等式[^Yi]均衡中，市场份额重新计算为asPni=1^Y*i=0。通过这种重新表述，我们得到了一个无约束凹最大化问题。因此，我们可以考虑效用最大化问题的一阶条件，即u′i（Xi+^Y*我- 等式[^Y*i] ）=Ehu′i（Xi+^Y）*我- 等式[^Y*i] ）i{z}=：Ci∈R++dQdPa。s、 （16）事实上，任何平衡都必须依赖于仅通过X的概率空间；这是在Borch【1960年、1962年】中正式规定的。在此之前，我们将让Yi（γ）：=Xi+^Y*我- 等式[^Y*i] 对于pni=1Yi（γ）=γ和φ（γ）的每个i，是Q w.r.t.P.的关联Radon Nikodym导数。（以这种方式*= Y（X）。）使用这种表示法，对于任何γ，一阶条件（16）可以写成u′i（Yi（γ））=Ciφ（γ）。现在考虑一下导数（w.r.t.）。

γ） 一阶条件（16）的对数，即对于每个市场参与者iu′i（Yi（γ））u′i（Yi（γ））|{z}=-ρi（Yi（γ））Y′i（γ）=φ′（γ）φ（γ）（17），其中ρide表示银行i的风险厌恶。注意，通过构造，Pni=1Y′i（γ）=1，因此可以利用（17）来提供关系1=-φ′（γ）φ（γ）nXi=1ρi（Yi（γ））|{z}=：nρ（γ）-1（18）其中ρ是风险规避的调和平均值ρifor i=1。。。，n、 Bühlmann平衡（Y*, Q） ，通过公式（Y（X），Q），可以从（18）中构造。首先，让我们通过其Radon-Nikodym导数φ（γ）来考虑平衡测度Q。通过（18）的重新公式，φ′（γ）=-nρ（γ）φ（γ）。当我们希望φ定义一个测量值并回顾dqdp=φ（X）时，我们施加附加条件，即E[φ（X）]=1。因此，我们可以通过qdp=exp定义度量Q-nRXcρ（ξ）dξ进出口商品-nRXcρ（ξ）dξifor任意c∈ D、 现在让我们考虑一下Yi（X）。通过研究（17）和（18），我们可以构造初始条件为Yi（c）的微分系统y′i（γ）=nρ（γ）ρi（Yi（γ））（19）∈ 对于每个银行i（在上述构建的均衡测度Q下），公式[Yi（X）]=公式[Xi]。事实上，Bühlmann平衡问题的存在唯一性等价于这样一个初始条件forY的存在唯一性；这是Bühlmann（1984）所采取的方法。下面的定理I.2给出了关于存在性和唯一性的这样一个结果。备注I.1。根据（19）中的构造，所有银行的投资组合持有量在γ中没有减少。由于均衡投资组合持有量为Y*= Y（X），这些持股的共同性（如第1.2节所示）紧随其后。最后，我们给出了Bühlmann平衡的存在性和唯一性结果。定理I.2。

存在唯一的Bühlmann平衡（Y*, Q） 如果：（i）D=R和绝对风险规避z 7→ ρi（z）：=-u′i（z）/u′i（z）>0对于每个i=1，…，是Lipschitz连续的。。。，n或（ii）D=R++，INDA条件满足（即limz→0u′i（z）=∞ 和limz→∞u′i（z）=0）和z 7→ zu′i（z）对于每个i=1，…，都是不变的。。。，n、 证明。这一点在Bühlmann（1984）中得到了证明，如果D=R a，而在Aase（1993）中，如果D=R++。J主要结果的证明定理3.6的证明。在推论D.15的证明中，这直接源于X的共名性、推论A.4的实际默认算法中V的分段线性构造以及q的构造*.引理4.1的证明。我们将证明这个结果作为引理D.12的推论。具体而言，考虑基于效用的短缺风险度量，线性效用函数u（z）：=z，阈值效用c=0（参见示例D.4）。通过构造，该ris k度量可以写成负期望ρ（y）=-E[Y]。我们将考虑两类聚合函数，每一类由banks i索引∈ {1，2，…，n+1}；设∧Vi（V）=Viand∧pi（V）=pi- 五、-If对于任何银行i.请注意，这两类聚集函数都是凹函数和子模函数（因此命题D.9是方向凹函数）。进一步注意，对于任何构造的金融系统，pi（x；π，\'p，αx，αL）=∧pi（V（x；π，\'p，αx，αL））。因此，边界立即遵循引理D.12的应用。推论4.5的证明。与引理D.12的证明一样，我们将首先在完全恢复设置下证明这些结果，即αx=αL=1。首先，考虑确定性禀赋x∈ Rn+注意，Ei（x）=xi+Pnj=1πjipj（x）-pi（x），如Eisenberg和Noe【2001年】所示。因此，金融系统中的总均衡由总系统禀赋给出，即任何银行j的Pn+1i=1Ei（x）=Pn+1i=1xisincePn+1i=1πji=1。

出于我们的考虑，由于社会节点没有返回系统的义务，xn+1是任意的，只是作为该节点的公平转移出现。其次，考虑随机禀赋X∈ （L+）及其共单调copula Z。根据上述全系统公平性，它紧接着是Pn+1i=1E[Ei（X）]=Pn+1i=1E[Ei（Z）]。然而，对于社会节点n+1，E【En+1（X）】∈ [E[En+1（Z）]，E[En+1（E[X | G]）]表示任何∈ G因为En+1≡ Vn+1作为社会节点，没有义务，因此不能通过构造违约。这立即提供了所需的边界。现在让αx，αL∈ [0，1]任意。根据命题A.8，对于任何x∈ Rn+和任意banki，Vi（x；π，’p，αx，αL）∈ [Vi（αxx；αL∏，\'p，1，1），Vi（x；π，\'p，1，1）]。由于公平是财富的正部分，Ei（x；π，’p，αx，αL）∈ [Ei（αxx；αL∏，\'p，1，1），Ei（x；π，\'p，1，1）]。由于破产成本的上限和下限都是完全恢复的清算解决方案，预期系统权益的边界遵循上述论点。推论4.6的证明。首先，在大联盟中，按照C orollary 4.5，所有银行都是统一投资的；这源于一个简单的自相矛盾的论点，因为任何捐赠计划的共单调copula都提供了总市场资本的上界。其次，我们希望证明Shapley值是一种插补。如第二章所规定。Driessen【2013】第2条，如果v:2N，则为真→ R+是超加的。

让C，D N be不相交集：v（C∪ D） =supXC∪D∈气∈C∪DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈C∪DE[Ei（XC∪D、 X个-（C）∪D） ）]=supXC∪D∈气∈C∪DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC∪D、 X个-（C）∪D） ）]+Xi∈DE[Ei（XC∪D、 X个-（C）∪D） ）]！≥ supXC公司∪D∈气∈C∪DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC∪D、 X个-（C）∪D） ）]+infX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈DE[Ei（XC∪D、 X个-（C）∪D） ）]！=supXC公司∈气∈CBisupXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]+infX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈DE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]！≥ supXC公司∈气∈CBiinfXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]+supXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈DE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]！≥ supXC公司∈气∈CBiinfXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]+infXC∈气∈CBisupXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈DE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]≥ supXC公司∈气∈CBiinfXD∈气∈DBiinfX-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈CE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]+supXD∈气∈DBiinfXC∈气∈CBiinfX公司-（C）∪D）∈Qj6∈C∪DBjXi∈DE[Ei（XC、XD、X-（C）∪D） ）]=supXC∈气∈CBiinfX公司-C∈Qj6∈CBjXi公司∈CE[Ei（XC，X-C） ]+supXD∈气∈DBiinfX-D∈Qj6∈DBjXi∈DE[Ei（XD，X-D） ]=v（C）+v（D），证明完整。