新的报告风险成为αt，s=0.10·（0.20）秒∈Sat+s∈非官方假日·（0.01）s∈太阳+s∈节假日<2003年1月1日30.10·（0.50）s∈Sat+s∈非官方假日·（0.20）s∈太阳+s∈节假日>2003年1月1日。该报告模型与基线模型中相同的发生过程相结合，即泊松过程，其持续强度为每天100次索赔。图13的底部一行显示了此场景中的模拟。垂直黑线表示2003年1月1日的断点。在引入在线报告后，我们不再使用零报告的日期。3案例研究：保险中的报告延迟动态243.5.2校准模型：粒度与聚合我们使用三种模型比较隐藏事件计数预测的准确性，即我们模拟数据的精确粒度模型、近似粒度模型和年度聚合数据模型。历史信息（图12中的灰色区域）用于预测IBNR索赔的数量（图12中的阴影区域）。在粒度方法下，这些预测自然扩展到那些尚未观察到的延迟，而在聚合方法中，我们将预测窗口限制到最长的观察延迟。我们认为计算与估值日期之间有五天的差距。这五天的观测改善了对发生强度λ和报告概率pt，s的预测，但没有直接的方法将这些数据纳入年度聚合数据的方法中。使用这些额外数据的能力是粒度方法的优点之一。精确粒度模型我们利用我们对各种场景背后的分布形状和报告风险结构的了解，并校准与历史数据报告延迟完全相同的模型。

因此，我们估计了平滑报告延迟U的对数正态分布中的方差参数，以及报告暴露αt，s中协变量效应的参数γ。报告暴露αt改变了时间轴的尺度，这类似于对数正态分布的尺度参数exp（u）的效应。我们通过将u设置为零来避免可识别性问题。如第2节所述，对发生过程进行非参数建模。近似粒度模型该模型考虑了更现实的情况，即保险人想要拟合第2节的模型，但不知道确切的潜在分布。出于计算效益的考虑，保险公司为平滑的报告延迟U选择指数分布，并将报告风险敞口结构为αt，s=αdows·α节假日·α延迟-t（11）=exp（（xdows）·γdow+（xholidays）·γ假日+（xdelays-t） ·γ延迟）。在本规范中，αDOW定义了一周中的哪一天，αHolidaysidentifies国家和非官方假日以及α延迟-t根据索赔发生后经过的时间报告风险。对于单个模拟数据集，我们根据在线附录C中概述的策略，在13个箱子中报告延迟。然后重复使用这些相同的箱子来构建所有其他模拟的延迟协变量。在第四种情景（在线报告）中，我们估计了2003年1月1日之前和之后报告日期的γDow和γHoliday参数的不同参数值。3案例研究：保险25情景评估中的报告延迟动态。日期精确颗粒近似值。

颗粒链阶梯u（P E）σ（P E）u（P E）σ（P E）u（P E）u（P E）σ（PE）基线2003年12月31日-0.09 3.17 4.85 2.75 2.70 2.1731 2004年8月-0.01 2.75-0.18 2.82 1.20 2.36挥发性发生率2003年12月31日0.11 2.64 5.01 2.93 0.16 15.5231 2004年8月-0.04 2.27-0.20 2.51-0.82 14.90低索赔频率2003年12月31日-0.69 23.89 4.42 20.20 85 1.65 16.2531 2004年8月-2.30 20.19-2.52 20.72-1.33 17.96在线报告312003年12月-0.13 3.12 2.93 3.07-12.46 2.9131 2004年8月0.02 2.80 0.73 2.89-7.00 2.68表1：精确颗粒模型、近似颗粒模型和链梯法在四种不同情景和两个评估日期的性能评估。聚合数据模型：链梯第3.4节中描述的链梯法是预测未报告索赔数量的行业标准。我们按日历年对模拟数据进行聚合，并在此聚合数据上对我们的链梯法粒度方法进行基准测试。3.5.3结果与讨论我们通过预测评估日期的IBNR索赔总数（对应于图12中的阴影区域）来评估储备模型的性能。将此预测与模拟数据集中观察到的未报告索赔的实际数量进行比较。我们模拟了1000个数据集，并校准了第3.5.2节中所述的三个模型。预测精度由百分比误差（PE）来衡量，即PE=100·NIBNR（τ）-\\NIBNR（τ）NIBNR（τ）。正百分比误差反映了低估，而负值则表示IBNR计数高估。表1显示了两种颗粒模型和链梯法的百分比误差的平均值和标准偏差。

在图14中，百分比误差的方框图显示了四种场景下的模型性能。评估日期的影响我们观察到，在所有四种情况下，未报告的索赔在除夕增加（参见图13中的最后一列）。这是年底多次度假的结果，这使得客户无法报告他们的索赔。我们比较了表1中2003年12月31日和2004年8月31日的平均百分比误差，以量化这些节假日对预测准确性的影响。精确的颗粒模型符合模拟中使用的分布规格。因此，该模型可以完美地捕捉到3个案例研究：保险中的报告延迟动态26-50050基线波动发生缓慢索赔频率内部报告场景错误（%）（a）2015年12月31日基线波动发生缓慢索赔频率内部报告场景错误（%）（b）2008年8月31日精确颗粒近似颗粒链Ladder图14:IBNR百分比错误（PE）的箱线图在四个场景和两个评估日期进行评估。这两个日期的平均误差接近于零。当季节性效应的季节周期与链梯周期重合时，其不会违反链梯假设。由于年终假期可视为年度季节性事件，因此不会影响年度链梯法的预测精度。这解释了链梯法在两个评估日期上的错误非常相似。表1显示了对12月31日所有四种情景下近似粒度模型的IBNR计数的估计。对于平滑报告延迟，数据采用对数正态分布进行模拟，而在近似粒度模型中，我们采用指数分布。由于这些分布非常不同，我们将延迟效应α延迟包括在内-锡（11）。

这种影响可以增加特定延迟时的报告概率，从而使时变数据更接近指数分布。然而，延迟协变量不能消除这些分布之间的所有差异，这导致对2004年12月31日所有情景的小幅低估。对于所有三种模型，评估日期的选择不影响误差百分比的标准偏差。基线图13的顶行显示了基线场景中的单个数据集。事件和报告过程都是稳定的。这导致了IBNR计数的年度周期性模式，这很容易预测。由于这三个模型都表现良好（见图14），因此在这种情况下，没有理由用粒度模型取代链梯方法。不稳定事件与其他三种情况相比，这种情况下全年遇到的IBNR值范围要小得多。表1和图14显示，粒度模型的性能与其在基线场景中的性能一致。由于我们对发生过程进行了非参数建模，因此发生过程对预测精度的影响很小。链梯法平均表现良好，但与基线方案相比，标准偏差有所上升。在一半以上的案例中，4结论27链梯在预测未报告的索赔数量时产生的误差超过10%。链梯法按发生年份汇总索赔，从而丢失准确的发生信息。当模型在评估日处于不良状态时，这会导致对IBNR总数的大量低估。

这种情况将不稳定的事故发生过程确定为考虑颗粒模型的原因。索赔频率低发生频率从平均100起每日索赔减少到只有两起索赔。图13的第三行显示了此场景中的数据集。由于平均每天只发生两起事故，我们对发生过程强度λtin的预测不太可靠。如图14所示，这导致所有模型的预测误差较大。这种不确定性主要来自数据生成过程中的泊松假设（A1）。强度为λ的泊松分布的变异系数σu由下式给出：√λ. 泊松过程的强度越低，变化系数越大，因此数据的不确定性越大。我们得出结论，只有当预期的事件数量足够大时，才能准确估计隐藏事件的数量。在线报告2003年1月1日，保险公司推出了一种在线索赔报告工具，这在报告过程中创造了一个断点。颗粒模型在两个评估日期都表现良好，因为我们在断点后估计了不同的暴露参数。两个估值日期都对应于大约一年的断点后数据，这对于应用链梯法来说是不够的。因此，我们在所有可用数据上校准了链梯法，这导致了对IBNR计数的高估。该场景展示了颗粒储备模型的好处，即可以在数据中识别断点。4结论我们提出了一种新方法来模拟过去发生但由于观察延迟尚未记录的事件数量。

我们的方法通过引入观察暴露的概念，为受日历日协变量影响的观察延迟建模提供了一个优雅而灵活的框架。该框架可用于预测保修的未来成本、维护合同定价以及运营研究中观察到延迟事件的许多其他应用。我们在一个广泛的保险案例研究中说明了我们的方法。与为聚合数据设计的方法相比，我们的粒度方法有三个优点。首先，引入协变量可以深入了解观察过程。其次，我们的颗粒模型可以预测每个未来日期的预期观测数量。这样可以快速检测报告过程中的更改。第三，通过引入协变量，预测性能对选择的评估日期不太敏感。参考文献28模拟研究进一步确定了波动发生过程和事件观察过程中的断点，作为选择本文开发的数据驱动细粒度模型的重要参数。5致谢作者感谢匿名推荐人和副主编的有用评论，这些评论对论文的改进意义重大。这项工作得到了库鲁汶Argenta研究主席的支持；库鲁汶研究委员会【项目契约C24/15/001】；科技创新署（IWT）[批准号131173]；和佛兰德研究基金会（FWO）[授权编号11G4619N]。参考Sakbarov，A.和Wu，S.（2012）。考虑销售延迟的保修索赔数据分析。质量与可靠性工程国际，29113–123。https://doi.org/10.1002/qre.1302.Antonio，K.和Plat，R.（2014）。一般保险的微观随机损失准备金。斯堪的纳维亚精算杂志，7649–669。

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https://doi.org/10.1214/14-AOAS752.Supplementary“受观测延迟影响的隐藏事件数量建模”材料，Jonas Crevecoeur1,3，*，Katrien Antonio1,2,3,4和Roel Verbele1,3,4比利时鲁汶经济与商业学院。荷兰阿姆斯特丹大学经济与商业学院。LRisk，比利时库鲁汶鲁汶保险和金融风险分析研究中心。比利时库鲁汶鲁汶统计研究中心LStat*通讯作者。电子邮件：jonas。crevecoeur@kuleuven.beMarch2019A年7月27日观测暴露参数的最大似然估计我们建立了构成观测暴露的参数向量γ模型`（γ；χ）=τXt=1τXs=tNt，s·log（pt，s）-τXt=1NRt（τ）·log（pRt（τ））（12）=τXt=1τXs=tNt，s·logF▄U（Дt（s- t+1））- F▄U（Дt（s- t） （）-τXt=1NRt（τ）·logF▄U（Дt（τ- t+1））,式中，Дt（d）=t+d-1Xv=texp（xt，vγ）。最优参数γ不存在解析解，需要进行数值优化。我们使用Newton-Raphson算法来最大化可能性（12）。Newton Raphson算法迭代更新参数估计，如下所示：^γ（k+1）=^γ（k）- H-1（γ（k））·S（γ（k））。（13） 该公式中观测暴露参数32的最大似然估计S表示得分向量，H是（12）中对数似然的Hessian，即一阶向量和二阶偏导数矩阵。下面我们推导了当F是已知的两次连续可微分布函数时，对数似然的一阶和二阶导数的表达式。

得分向量的分量为`(γ, ξ; χ)γi=τXt=1τXs=tNt、spt、s·f▄U（Дt（s- （t+1）·^1tγi（s- t+1）- f▄U（Дt（s- t） （）·^1tγi（s- t）-τXt=1NRt（τ）pRt（τ）·f▄U（Дt（τ- t+1））·^1tγi（τ- t+1），其中f▄U（·）表示f▄U（·）和pt的密度函数，s=f▄U（νt（s- t+1））- F▄U（Дt（s- t） ）pRt，s（τ）=FU（Дt（τ）- t+1））。时变算子νtwi对γ的导数为γiИt（s- t+1）=sXv=txt，v，i·αt，vwhere xt，s，iis报告日期为t的索赔的第i个参数的协变量值。Hessian H由`(γ; χ)γiγj=τXt=1τXs=tNt，spt，s·“fU（νt（s- t+1））·^1tγi（s- t+1）·^1tγj（s- t+1）- f▄U（Дt（s- t） （）·^1tγi（s- t）·^1tγj（s- t） +f▄U（Дt（s- t+1））·^1tγiγj（s- t+1）- f▄U（Дt（s- t） （）·^1tγiγj（s- t）#-τXt=1τXs=tNt、spt、s·“fU（νt（s- t+1））·^1tγi（s- t+1）·^1tγj（s- t+1）+fU（Дt（s- t） （）·^1tγi（s- t）·^1tγj（s- t）- f▄U（Дt（s- t+1））·fU（Дt（s- t） （）·^1tγi（s- t+1）·^1tγj（s- t）- f▄U（Дt（s- t+1））·fU（Дt（s- t） （）·^1tγi（s- t）·^1tγj（s- t+1）#-τXt=1NRt（τ）pRt（τ）·“fU（Дt（τ- t+1））·^1tγi（τ- t+1）·^1tγj（τ- t+1）B模拟程序33+fU（Дt（τ- t+1））·^1tγiγj（τ- t+1）#+τXt=1NRt（τ）pRt（τ）·f￠U（Дt（τ- t+1））·^1tγi（τ- t+1）·^1tγj（τ）- t+1），其中φtwith相对于γ的二阶导数为γiγjДt（s- t+1）=sXv=txt，v，i·xt，v，j·αt，v（13）中的Newton-Raphson算法对观测曝光参数γ进行建模。结合观测参数，第3.5节的模拟研究估计了对数正态时变分布中的方差参数σ。（13）中的Newton-Raphson算法可以很容易地扩展到这种情况，其中Fude的分布函数依赖于参数。B模拟程序我们概述了用于根据第3.5.1节规定的四种方案生成数据集的算法。

该算法将事件发生模型与第2节所述的观测延迟模型相结合。我们将算法分为三个步骤。第1步。事件我们首先生成已发生事件的数量。日常事件的数量遵循泊松分布~ 泊松（λt），其中强度λt从第3.5节场景的发生过程规范中获得。第2步。观察我们现在模拟每个发生事件的观察日期。结合方程式（6）和（7），我们可以写出从日期t开始的事件在日期s aspt上被观测到的概率，s=PU∈“s-1Xv=tαt，v，sXv=tαt，v！！。我们确定了观察日期随机变量ST=分钟s∈ NsXv=tαt，v>~U. （14） C时变观测延迟的标准分布34此表达式将时变观测延迟随机变量转换为相关观测日期。因此，Stsaties P（St=s）=pt，s。对于发生的每一个事件，我们从▄U的分布中生成一个实现。我们通过将（14）中的随机变量▄U替换为该采样值来获得相应的观测日期。第3步。通过步骤1和2，我们模拟了每个发生事件的观察日期。我们将此数据集分为观察事件和隐藏事件。我们使用观察事件的数据集来校准模型并预测隐藏事件的数量。隐藏事件仅用于评估预测精度。C时变观测延迟的标准分布将时变观测延迟建模为指数分布具有显著的计算效益。因此，本节重点讨论将指数分布用作时变观测延迟建模的标准分布。

由于指数分布是轻尾分布，因此不太适合长尾或重尾延迟。我们概述了解决指数分布这一弱点的策略。我们的策略是对可能的观测延迟进行分类-t=0，1，…）并用延迟协变量xDelay对这些箱子进行分类-t、 然后将该协变量纳入观察暴露规范。对于每个箱子，我们估计一个参数，以捕捉其对观察暴露的影响。这些参数可以强烈地重塑分布，从而克服指数分布的许多缺点。我们在附录C.1中提出了一种最大似然驱动的装箱策略，然后附录C.2通过将我们的方法与非参数Kaplan-Meier估计量联系起来，得出了相同的装箱策略（Kaplan和Meier，1958）。C、 1装箱观察延迟当观察曝光量取决于事件发生后经过的时间，即αt，s=exp（γ延迟·xdelays），我们的装箱策略将（8）中的对数可能性最大化-t） =exp（γs-t），其中我们估计每个延迟s- t是一个单独的参数γs-t。此外，我们忽略了（8）中的最后一项，捕捉了右截断的影响。在这些限制条件下，要优化的时变观测延迟35loglikelion的标准分布为`（γ；χ）=-τXt=1τ-1Xv=tτXs=v+1Nt，sexp（γv-t）+τXt=1τXs=tNt，s·log1.- 经验值(-exp（γs-t）我们计算`（γ；χ）对于正延迟d的观测曝光参数γdF的导数∈ N`(γ; χ)γd=-exp（γd）·τ-d-1Xt=1τXs=t+d+1Nt，s+exp（γd）exp（exp（γd））- 1·τ -dXt=1Nt，t+d。此表达式中的两个和都有逻辑解释。第一和（Pτ-1.-dt=1Pτs=d+t+1Nt，s）统计延迟超过d天的观察事件的数量，而第二和（Pτ-dt=1Nt，t+d）计算延迟正好为d天的所有事件。

当nexp（γd）=-日志1.-|延迟=d | |延迟>d|, （15） 其中| delay=d |表示延迟d天观察到的事件数量，| delay>d |表示延迟超过d天的事件数量。我们建议通过将（15）近似为常数的延迟分组来划分观测延迟。图15显示了第3节讨论的责任保险数据集的这种方法。该图以红色显示了使用近似值（15）估计的延迟参数。顶部面板显示了最长31天的延迟估计，而最长400天的延迟参数显示在底部面板中。基于这一知识，observationdelay被分组在23个箱子中，由图15中的垂直灰色条分隔。对于短延迟，我们使用了更多的箱子，因为对于这些延迟（15）差异很大。此外，许多事故的观察延迟很短，这使得这些首次延迟更加重要。正如预期的那样，这种分类策略确定了整整一年后观察概率的增加。在第3节中，我们以分类延迟协变量xDelay构建这些箱子-并在最大似然框架下估计观测延迟。图15中，拟合参数以蓝色绘制。这些参数与使用近似法（15）发现的参数不同，因为其他协变量效应是同时估计的。

然而，最大似然估计值接近近似值，这使得该近似值适合在校准中选择初始值。C、 2与Kaplan-Meier估计器的联系我们表明，在附录C.1的装箱策略下，时变模型与Kaplan-Meier估计器具有相同的灵活性，因此适用于建模广泛的投资组合。C时间变化观察延迟的标准分布360.000.050.100.150.200.250 10 20 30索赔发生后的延迟暴露0.000.020.040.0632 100 200 300 400索赔发生后的延迟暴露近似最大似然估计图15：索赔发生后第一个月内延迟效应的观察暴露估计意外发生（顶部）和更长的延迟（底部）。在红色中，我们显示了使用（15）获得的每个时段的估计值。垂直线表示所选的箱子。第3.2节中提出的回归结构中每个箱子对应的观测延迟参数的最大似然估计值以蓝色绘制。观测延迟随机变量生存函数的Kaplan-Meier估计为P（延迟>d）=dYi=01.-|延迟=i | |延迟>i|, （16） 当我们使用指数分布对时变观测延迟分布U进行建模时，则事件从发生之日起的存活概率为t isP（延迟>d | occ.day=t）=PU>Дt（d+1）(17)= 1 - F▄Ud+1Xi=1αt，t+i-1!=dYi=0exp(-αt，t+i）。注意这个表达式和（16）中的Kaplan-Meier估计量之间的相似性。当观察曝光仅取决于事件发生后经过的时间，即αt，t+i：=αi，则p（延迟>d）=dYi=0exp(-αi），其中αi是延迟i时的观察暴露。

该表达式不再依赖于事件发生日期t的时变观测延迟37a的标准分布。当αi=-日志1.-|延迟=i | |延迟>i|. （18） 由于αi=exp（γi），这与我们在（15）中通过最大似然估计发现的估计量相同。这表明，通过估计每个延迟的单独延迟参数（d=0，1，…）我们得到了一个与非参数Kaplan-Meier估计具有相同灵活性的模型。