最坏情况下，单变量和双变量边际预期短缺

2022-6-6 14:20:10

最坏情况下，单变量和双变量预期短缺*Bikramjit Das+Karthik Natarajan§AbstractWorst case关于预期短缺风险的界限，鉴于随机变量分布的信息有限，已在文献中进行了广泛研究。在本文中，当单变量边际准确已知，并且可以获得关于双变量边际的额外专家信息时，我们开发了一个关于预期短缺的新的最坏情况界。这样的专家信息允许人们从许多可能的二元copula参数族中进行选择。通过考虑具有Kullback-Leibler散度测度的双变量边缘值周围距离ρ的邻域，我们建立了最坏情况风险测度中的稳健性与专家信息可信度之间的权衡模型。当二元边缘上唯一可用的信息形成一个树结构时，我们的边界就形成了，在这种情况下，它可以使用凸优化进行有效计算。对于一致的边缘，ρ接近∞, 该界减少到共单调上界，当ρ接近0时，该界减少到最坏情况下的界，且二元变量精确已知。我们还讨论了不一致边缘的扩展，以及可能使用其他参数（如相关性）获取专家信息的实例。关键词：预期差额（CVaR），分布稳健界，边际，KL分歧。1简介近年来，当潜在风险的概率分布不确定时，对投资组合联合风险度量的最坏情况界限的估计越来越感兴趣。这些边界在评估投资组合面临给定模型不确定性的最大风险时非常有用。

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2022-6-6 14:20:13

与本文特别相关的是预期短缺风险度量（也称为条件风险价值（CVaR）度量），该度量已在BaselAccord III中提出，作为银行业风险价值度量的替代方法（见Embrechtset al.2014）。对于具有有限期望绝对值Eθ（|c |））<∞其中θ是概率测度，F（·）是累积分布函数，即α置信水平下的预期短缺∈ （0，1）定义为：ESθα（℃）=1- αZαVaRθγ（~c）dγ，*工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编：487372。电子邮件：anulekha@sutd.edu.sg+工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编487372。电子邮件：bikram@sutd.edu.sg工程系统与设计，新加坡理工大学，新加坡索马帕路8号，邮编：487372。

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mingdashike22

2022-6-6 14:20:16

电子邮件：karthiknatarajan@sutd.edu.sg§本研究部分由SUTD-MIT国际设计中心关于“复杂离散选择优化”的IDG31300105号拨款和教育部关于“运输系统中消费者选择的分布式鲁棒优化”的第二级拨款资助。其中概率水平γ的风险值∈ （0，1）定义为：VaRθγ（~c）=inf{c∈ R | F（c）≥ γ} .Rockafellar和Uryasev（2002）推广的预期差额的另一种表示形式，对任何具有有限预期绝对值的随机变量c有效，由以下凸最小化问题的最佳目标值给出：ESθα（c）=infβ∈Rβ +1 - αEθ[℃- β]+.考虑投资组合优化问题：minx∈XESθαcTx（1.1）其中x是在凸集x中选择的n维决策向量（投资组合分配），c是具有联合分布θ的n维随机向量（资产损失）。投资组合的损失由随机变量▄cTx=Pi▄Cixi给出，其中预期缺口捕获了投资组合的风险。预期短缺风险度量有几个有吸引力的数学属性。首先，具有预期短缺风险度量的投资组合优化问题是一个凸优化问题（与VaR度量不同），其公式如下：∈X，β∈Rβ +1 - αEθcTx- β+. （1.2）此外，预期缺口是一个连贯的风险衡量指标（见Artzner et al.1999），鼓励风险分散。然而，在投资组合优化中使用这种风险度量仍然存在挑战。Lim et al.（2011）表明，由于模型对收益分布的尾部非常敏感，预计短缺风险度量的估计误差往往会增大。Hanasusanto等人。

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2022-6-6 14:20:19

（2016）表明，计算形式为θ的随机变量线性组合的非负部分的期望值cTx- β+,对于x和β的固定值，即使是均匀分布的独立随机变量，也是#P-hard。解决这些困难的一种方法是在一组可能的分布Θ中考虑联合概率分布θtolie。给定这组分布，将分布鲁棒投资组合优化问题表述为一个最小值问题∈Xmaxθ∈ΘESθαcTx, （1.3）选择投资组合分配向量，以最小化集合Θ中所有可能分布的最坏情况预期短缺风险。在集合Θ的特定假设下，公式（1.3）已被证明是有效可解的。对于离散分布，可有效解决最坏情况预期短缺和相应分布稳健优化问题的集合示例有：（a）具有固定单变量边际的分布集合（见R¨uschendorf 1983），（b）具有固定非重叠多元边缘的分布集（见Doan和Natarajan 2012，Embrechts和Pucetti 2006），（c）具有固定重叠多元边缘的分布集，其中重叠边缘的结构满足规律性（见Doan、Li和Natarajan 2015），（d）假设情景概率位于箱形不确定性集或椭球体不确定性集的分布集（见Zhu和Fukushima 2009），（e）假设情景概率位于标称概率分布周围使用φ-散度度量定义的不确定性集的分布集（见BenTal et al.2013）。

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2022-6-6 14:20:23

这包括Kullback-Leibler散度、Burg熵和χ-距离作为特例。注意，在（b）、（c）、（d）和（e）情况下，集合Θ的表示本身可能是随机变量数的指数。例如，如果n个随机变量中的每个都取m个可能值，则联合分布最多可以取mn个可能值。因此，情况（b）-（e）中的有效可解性通常是指在多项式时间内以联合离散分布的支撑点数量解决问题的算法。1.1动机在文献中，提出了几种方法来模拟分布，其中关于边缘的信息可用，并且只知道有限的依赖性信息。一种普遍的方法是找到最大熵分布（见Jaynes 1957），其中选择联合分布来最大化满足给定信息的香农熵测度（见香农1948）。例如，给定一元边缘，最大熵分布就是独立分布。类似地，给定形成树结构的二元信息，最大熵分布是树上的条件独立分布，称为马尔可夫（Chow Liu 1968）树分布。另一种方法是使用总体理论，其中联合分布根据单变量边缘和copula建模（见Sklar 1959）。然而，在高维中指定和估计copula仍然具有挑战性。建立在双变量copulas基础上的高维分布的一个密切相关模型是vine copula（见Bedford和Cooke 2002）。

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kedemingshi

2022-6-6 14:20:26

与只依赖于n的n个随机变量的Chow-Liu树分布不同- 1可以指定边，在vine copula中，可以使用双变量copula指定变量之间的其他依赖信息。使用vine copula的最初动机源于需要将依赖性方面的专家意见纳入分布规范。在我们的工作中，我们没有通过指定一个总体结构来描述与一元和二元信息一致的联合分布，而是专注于寻找预期空降风险度量的最坏情况联合分布。在本文中，我们假设一元边际分布是精确已知的，但允许以各种方式生成关于二元分布的信息，包括可能涉及噪声、不精确或不完整数据观测和专家观点的历史数据。因此，很可能不存在与给定的单变量和双变量边际信息一致的分布。例如，在投资组合优化中，经常使用股票之间的相关性来建模依赖关系。这些相关性可以在不同时期的成对股票之间测量。此外，专家通常根据预测提供成对股票之间的相关性估计。结合不同的专家观点，可以得出负半定义或不定义的相关矩阵。这导致了人们对“最近相关矩阵问题”的兴趣，其目标是找到一个最接近给定矩阵的正半细相关矩阵。

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2022-6-6 14:20:28

虽然在寻找和构建最接近的相关矩阵方面已经做了很多工作（参见Higham 2002、Qi和Sun 2010），但研究其对投资组合优化的影响的工作却很少。我们的方法与四个工作流程密切相关。Glasserman和Yang（2016）最近提出了一个优化公式，通过结合市场和信用风险模型来计算最坏情况下的信用估值调整风险。在他们的方法中，边际分布是固定的，而最坏情况下的风险是通过对市场和信用风险模型之间依赖关系的双变量参考模型的偏差进行惩罚来计算的。当他们的优化公式为n=2时，我们将其推广到保留多项式时间可解性的任意n。第二项工作是Ben Talet提出的模型。al（2013）研究了稳健优化问题，其中联合分布集位于参考概率分布的一个大范围内，距离是使用φ-散度概念定义的。它们的凸优化公式在联合分布的支撑点数量上是多项式，但在随机变量数量上可以是指数的。另一方面，在我们的工作中，通过考虑低维概率分布的邻域、特定的二元边缘并假设树结构，我们开发了一个凸重新公式，该公式在随机变量数量上呈多项式增长。第三组结果是Byrougarden和Kearns（2013），他们讨论了验证给定的单变量和双变量边际是否存在联合分布的困难，以及找到最接近的一致边际到不一致边际的相应问题。

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mingdashike22

2022-6-6 14:20:32

虽然他们的重点是在一个完整的图上显示这些问题的NPHardent，但我们表明这些问题很容易在树上解决，而且可以评估鲁棒边界。最后，我们的结果建立在Doan、Li和Natarajan（2015）早期工作的基础上，他们利用单变量和双变量边际信息确定了预期短缺的界限。与他们的工作相反，我们允许边缘不一致，即使是一致的，我们也通过考虑边缘周围的邻域，为专家意见的可信度建模提供了灵活性。因此，我们明确建模了最坏情况下风险度量的稳健性与专家信息的可信度之间的权衡。论文概要如下。在第2节中，我们提供了一组分布的正式描述，其中包含给定的单变量边缘值ui和关于双变量边缘值uij的专家信息。我们研究了通过使用给定二元边缘的Kullback-Leibler散度来确定最小ρ邻域（假设Θ为非空）来确定最近一致边缘的问题。我们还通过假设一个树结构，为这个问题提供了一个多项式大小的凸重新表述。我们还将在本节中讨论几个扩展。在第3节中，我们使用二元分布的ρ-邻域来确定分布的不确定性集，例如Θ是非空的。我们提供了一个凸优化问题，以找到预期短缺的最坏情况上界。我们证明了当二元边缘信息形成树结构时，该界是可有效计算的。在第4节中，我们介绍了数值实验。附录中提供了所有证据。在本节中，我们提供了分布集的正式描述。

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2022-6-6 14:20:35

我们将注意力限制在单变量和双变量边际信息上。用▄c=（▄c，▄c，▄cn，▄cn）表示随机向量，并定义索引集N={1，2，…，N}。让Cidenote表示▄cifor i所取的值集∈ N对于i∈ N，让ui注意给定的单变量分布，其中ui（ci）=Pθ（~ci=ci）表示ci∈ Ci。让N N×N表示二元边际信息的指标集。Thenfor（i，j）∈ n当i<j时，让uij表示二元边际，其中uij（cij）=Pθ（~cij=cij）=Pθ（~ci=ci，~cj=cj），其中ci为▄cij=（~ci，~cj），cij=（ci，cj）∈ Ciand cj公司∈ Cj。我们假设二元边际信息是从专家信息中获得的。这种二元边际可以使用二元copula的许多可能参数族中的一个来选择。我们还讨论了何时可以使用更简单的参数（如相关性）获取有关双变量的专家信息。与这组边值相关的图由顶点集nw组成，其中每个顶点i对应于随机变量cIAN，而弧集nw中，顶点i和j之间的每个无向边（i，j）对应于一对随机变量cIAN和cJ，为其提供了二元边值。设（N，N）表示相应的图。设Θ表示联合分布的Fr'echet类，给定的单变量和双变量边际值定义为Θ={θ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=uij，（i，j）∈ N} ，其中proji（·）和projij（·）表示联合分布对第i个和（i，j）-个变量的投影。一个重要的问题是确定一元和二元边界上的条件，以保证集合Θ是非空的。

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2022-6-6 14:20:38

保证集合非空的一组必要条件是由质量条件Xcj给出的一元和二元边缘的一致性∈Cjuij（cij）=ui（ci），ci公司∈ Ci，我∈ N：（i，j）∈ N、 Xci公司∈Ciuij（cij）=uj（cj），cj公司∈ Cj，j∈ N：（i，j）∈ N、（2.1）然而，单变量和双变量边缘的一致性并不是保证Θ非空的有效条件（见Vorob\'ev 1962）。例如，考虑N={1，2，3}和二进制随机变量。单变量边缘表示为u（0）=u（1）=1/2，u（0）=u（1）=1/2，u（0）=u（1）=1/2，双变量边缘表示为u（0，1）=u（1，0）=1/2，u（0，1）=u（1，0）=1/2。虽然在本例中，单变量和双变量精变量是一致的，但集合Θ是空的。当图形满足称为“运行交叉点特性”的图论条件时，在多元边缘一致性的情况下，确保Fr'echetclass分布Θ的非空性。树就是这样一种图形结构。在这种情况下，单变量和双变量边缘的一致性将确保Θ是非空的。树结构在当前工作中起着重要作用，因为它简化了下面讨论的公式。2.1最接近一致性边缘在本节中，我们考虑当分布的原始集Θ为空时查找最接近一致性边缘的问题。为此，我们找到所有给定双变量边缘的最小扰动ρ，使得新的双变量边缘{θij}（i，j）∈Nlie在{uij}（i，j）的ρ-邻域内∈存在与给定的单变量边缘{ui}i一致的联合分布∈与新的二元边值{θij}（i，j）∈N、为了确定ρ-邻域，我们使用了Kullback-Leibler（KL）-散度的概念。对于任意两个非负向量p=（p，…，pm）和q=（q。

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2022-6-6 14:20:41

，qm）T，KL散度定义为：IKL（p，q）=mXi=1pilog皮奇.KL散度是φ-散度的一个例子（见Pardo 2006），最近在分布稳健优化领域得到了广泛的应用（见Ben-Tal等人2013），其中概率分布集被定义为参考概率分布的ρ-邻域。为了验证Θ的非空性，我们需要检查给定单变量边缘{ui}i的联合分布θ的存在性∈Nand二元边缘{uij}（i，j）∈N、如果存在这样的θ，则最小偏差由ρ=0或ρ>0给出。接下来，我们提出一个优化问题，以找到给定二元边值的最小邻域，从而保证Θ的非空性。设C=C×C×。Cnbe是c的所有可能实现和θ（c）=P（~c=c）的集合∈ C、使用KL散度度量寻找最接近的一致边缘的问题被表述为凸优化问题的解决方案：minρ，θ，θijρsubject toXc∈C | ciθ（C）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xc∈C | cijθ（C）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj、Xc∈Cθ（C）=1，θ（C）≥ 0, c∈ C、 IKL公司θij，uij≤ ρ, （i，j）∈ N、（2.2）在公式（2.2）中，目标是使ρ给出的相邻距离最小。前四个约束确保单变量ui和双变量θij存在联合分布，而最后一个约束确保双变量θij位于uij的ρ-邻域内。注意，对于一致的边缘uianduij，存在联合分布θ，则（2.2）的最佳解为ρ=0。然而，（2.2）中的凸优化问题中的变量数量与变量数量n成指数关系。接下来，我们将确定一个实例，其中最接近的一致性问题可以作为多项式大小的凸优化问题来解决。

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2022-6-6 14:20:44

下一步提供结果，附录中提供了预防措施。定理2.1考虑给定的一元和二元边缘{ui}i∈Nand{uij}（i，j）∈N其中与（N，N）关联的图形是一棵树。然后，以下凸优化问题的解找到存在联合分布的最小ρ-邻域：minρ，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N、（2.3）在公式（2.2）中，决策变量的数量为O（mn），其中m是N个随机变量中每个随机变量的可能值的数量。另一方面，在公式（2.3）中，决策变量的数量仅为O（nm）。2.2扩展在本节中，我们将定理2.1与三个现有模型联系起来，并讨论可能的扩展。Roughgarden和Kearns（2013）考虑了通过扰动单变量边缘{ui}i获得一致联合分布θ的最小ρ-邻域的问题∈和二元边缘{uij}（i，j）∈N、在他们的工作中，作者通过最小化L-范数距离，而不是我们在（2.2）中使用的KL发散度量，制定了一个线性规划。然而，由于他们考虑了二元的一般图结构，他们的问题是NP难解决的。在单变量边缘信息不可靠的情况下，我们可以通过使用KL发散度量扰动单变量边缘来建立他们的方法。

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2022-6-6 14:20:48

在这种情况下，树结构的凸优化问题（2.3）可以扩展为以下公式：minρ，θi，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=θi（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=θj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θi，ui）≤ ρ, 我∈ N，IKLθij，uij≤ ρ, （i，j）∈ N、（2.4）其次，优化问题（2.2）和（2.3）与迭代比例拟合（IPF）程序的制定密切相关（见Deming和Stephan 1940、Fienberg 1970、Glasserman和Yang 2016、Ireland和Kullback 1968），也称为双比例拟合或耙削。在IPF程序中，调整双变量或高维多元边缘信息，保持给定的单变量或低维边缘分别固定，从而最大化双变量（或多变量，视情况而定）熵或相对熵，这相当于最小化KL散度。

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能者818

2022-6-6 14:20:56

对于给定的单变量和双变量边缘，与IPF方法相关的优化问题可以如下所示：maxθij-X（i，j）∈NXcij公司∈Ci×Cjθij（cij）对数θij（cij）uij（cij受试者toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj。（2.5）这个问题可以用ρ-邻域公式重新表述如下：minρ，θijX（i，j）∈Nρij受试者toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，IKL（θij，uij）≤ ρij，（i，j）∈ N、（2.6）注意，上述公式与（2.3）中的公式相似，但此处的目标是使用L-规范定义的，而在（2.3）中，目标是使用L-规范定义的∞-标准最后，在我们的模型中，我们将重点放在以双变量边缘给出的专家信息上。已研究的一个相关问题是，利用协方差矩阵指定的专家信息，生成具有给定单变量边际的分布。其中一种方法是NORTA（对任何事物都正常）方法（见Cario和Nelson 1997）。虽然很流行，但众所周知，NORTA方法可能无法在存在具有可行协方差矩阵的单变量边缘集的所有情况下生成联合分布（参见Ghosh和Henderson（2002）的反例）。Ghosh和Henderson（2002）提出了一个通用的线性优化公式，用给定的单变量边际和协方差矩阵构建联合分布，如果存在或表明问题不可行。然而，他们的线性程序的大小在随机变量的数量上呈指数增长，因此很容易仅在低维中求解。使用前面的结果，我们可以将其结果扩展如下。

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2022-6-6 14:20:59

假设，对于每个（i，j）∈ N、我们给出了用∑ij表示的i和j之间协方差的估计。将随机变量的平均值定义为E（~ci）=Pciciui（ci）。然后，我们可以使用如下协方差信息来推广（2.3）中的公式：minρ，θijρsubject toXcj∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj、Xcij∈Ci×Cjθij（cij）=1，（i，j）∈ N、 θij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xcij公司∈Ci×Cjcicjθij（cij）- E（▄ci）E（▄cj）- ∑ij≤ ρ, （i，j）∈ N-Xcij公司∈Ci×Cjcicjθij（cij）- E（▄ci）E（▄cj）+ ∑ij≤ ρ, （i，j）∈ N、（2.7）注意，在最优性条件下，ρ=max（i，j）∈N | E（▄ci▄cj）- E（▄ci）E（▄cj）- ∑ij |。如果（2.7）中的最优目标值为ρ=0，则通过使用定理2.1中的证明结构，在给定的单变量边缘和协方差矩阵下，存在一个点分布，否则不存在这样的分布。请注意，与Ghosh和Henderson（2002）中的原始线性规划不同，线性规划（2.7）中的变量数和约束数是随机变量数的多项式。这是因为我们在KnownC方差信息上假设了树结构。3最坏情况预期短缺（1.3）中投资组合优化的分布稳健CVaR（或预期短缺）问题通常表示为：minx∈X，β∈Rβ +1 - αmaxθ∈ΘEθ【~cTx- β]+在本节中，我们重点解决固定x和β的内部最大化问题，并找出对应的最坏情况分布。我们考虑形式为Eθ的函数的一个更一般的期望值最大值（maxk）∈KcTak（x）+bk（x）其中K={1，2，…，K}和ak（x），bk（x）区域假设为决策向量x的一个函数∈ 十、

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2022-6-6 14:21:02

观察K={1，2}，定义a（x）=x，b（x）=-β和a（x）=0，b（x）=0，对于鲁棒期望短缺问题，问题归结为内部最大化问题。对于给定的单变量ui和双变量uij，分布集Θρ定义为：Θρ=nθ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=θij，（i，j）∈ N、 Xc公司∈C | ciθ（C）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xc∈C | cijθ（C）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj、Xc∈Cθ（C）=1，θ（C）≥ 0, c∈ C、 IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ 否，（3.1）对于给定ρ≥ 当给定的边缘信息不存在联合分布时，ρ必须至少是通过求解（2.2）得到的集为非空的最小扰动。对于边值具有一致联合分布的情况，对于任何非负ρ，分布集都是非空的。因此，在确定分布集时选择ρ可以获得专家信息的可信度。接下来，我们提供一个等价公式来计算紧上界。结果是Doan和Natarajan（2012）中提供的线性规划问题公式的扩展，其中我们考虑了围绕双变量边缘的ρ-邻域，从而在风险度量的保守性和专家信息的可信度之间进行了权衡。附录中提供了证明。定理3.1考虑一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈n使用（3.1）中定义的集合ρ。

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kedemingshi

2022-6-6 14:21:05

设V表示以下凸规划的最优值：maxvk，vki，vkij，wk，θ，θijXk∈KXc公司∈CcTakvk（c）+Xk∈Kbkwksubject-toXc∈C | cijvk（C）=vkij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，k∈ K、 Xc公司∈C | civk（C）=vki（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，k∈ K、 Xc公司∈Cvk（c）=周，k∈ K、 Xk公司∈Kwk=1，Xk∈Kvki（ci）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xk∈Kvkij（cij）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xk∈Kvk（c）=θ（c），c∈ C、 IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N、 vk（c）≥ 0, c∈ Ck∈ 科威特克朗≥ 0, k∈ K、（3.2）那么V与Fr'echet界M=maxθ一致∈ρEθ最大值（maxk）∈KcTak+黑色.3.1树结构在定理3.1中，我们考虑了（3.1）中的一般分布集，并且没有关于二元边缘信息结构的附加条件。在定理2.1的基础上，在指数集（N，N）上的树结构假设下，分布集Θρ可以根据单变量和双变量边缘定义为：Θρ=Nθ：proji（θ）=ui，我∈ N，projij（θ）=θij，（i，j）∈ N、 Xcj公司∈Cjθij（cij）=ui（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nci公司∈ Ci，Xci∈Ciθij（cij）=uj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Ncj公司∈ Cj，IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ No.（3.3）接下来提供最坏情况界限的公式，并在附录中提供证明。定理3.2考虑一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈Nsuchthat（N，N）具有（3.3）中定义的集合ρ的树结构。

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2022-6-6 14:21:08

设V表示下列原凸规划的最优值maxvki，vkij，wk，θijXk∈KXi公司∈NXci公司∈Ciciakivki（ci）+Xk∈Kbkwksubject托克∈Kvkij（cij）=θij（cij），（i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，Xk∈Kvki（ci）=ui（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，Xcij∈Cijvkij（cij）=周，（i，j）∈ Nk∈ K、 Xci公司∈Cvki（ci）=周，我∈ Nk∈ K、 Xk公司∈Kwk=1，Xci∈Civkij（cij）=vkj（cj），j∈ N：（i，j）∈ Nk∈ Kcj公司∈ Cj、Xcj∈Cjvkij（cij）=vki（ci），我∈ N：（i，j）∈ Nk∈ Kci公司∈ Ci，（3.4）。IKL（θij，uij）≤ ρ, （i，j）∈ N、 vkij（cij）≥ 0, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，k∈ K、工作时间：≥ 0, k∈ K、那么V与Fr'echet界M=maxθ一致∈ρEθ最大值（maxk）∈KcTak+黑色.在公式（3.2）中，决策变量的数量为O（Kmn），其中m是n个随机变量中每个随机变量的可能值的数量，而在公式（3.4）中仅为O（Knm）。因此，在树结构公式下，问题是多项式时间可解的。在具有最小-最大公式的分布稳健CVaR问题（1.3）中，目标是找到使最坏情况下预期短缺最小化的最优决策变量x。由于内部最大化问题是凸规划问题，因此可以使用对偶公式将其重新表示为最小化问题，从而将分布鲁棒CVAR问题简化为最小化问题。

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2022-6-6 14:21:13

一元和二元边缘{ui}i∈Nanduij（i，j）∈确保（N，N）具有树结构以及ρ>ρ的不确定性集Θρdefinedin（3.3）*式中ρ*是问题（2.3）的最优值，最坏情况下的CVARP问题（1.3）可以重新表示为以下Minx∈X，β，λ≥0,ξ,ζ,τ ,νβ +1 - αν+X（i，j）∈Nλijρ+Xi∈NXci公司∈Ciξi（Ci）ui（Ci）+X（i，j）∈NXcij公司∈Ci×Cjλijuij（cij）eξij（cij）/λij- 1.受制于ν≥xi∈Nτi+X（i，j）∈Nτij- β,ν ≥xi∈Nτi+X（i，j）∈Nτij，ξi（ci）≥ 慈溪市- τi+Xj∈N：（i，j）∈Nζ1ji（ci）+Xl∈N：（l，i）∈Nζ1li（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，ξi（Ci）≥ -τi+Xj∈N：（i，j）∈Nζ2ji（ci）+Xl∈N：（l，i）∈Nζ2li（ci），我∈ Nci公司∈ Ci，ξij（cij）≥ -τij+ζ1ij（cj）+ζ1ji（ci）, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj，ξij（cij）≥ -τij+ζ2ij（cj）+ζ2ji（ci）, （i，j）∈ Ncij公司∈ Ci×Cj。4数值实验在本节中，我们给出了分布鲁棒CVaR公式中内部最大化问题的Fr'echet上界的数值结果。我们考虑这样的例子，其中完整的单变量和部分二变量信息由（N，N）构成树结构。考虑最坏情况的上界：maxθ∈ρEθhXi∈Nci- βi+。当参数ρ变大时，该界收敛到已知单变量分布时得到的最坏情况界，这相当于已知的共单调上界。对于一致的边缘，当ρ趋于零时，边界收敛到最坏情况下的边界，二元分布精确已知，而对于不一致的情况，当ρ趋于ρ时*式中ρ*是通过求解最近的一致边际（2.3）得到的最小扰动，对于最大熵问题（2.5），该界收敛到具有最优双变量分布的最坏情况界。

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2022-6-6 14:21:16

因此，随着ρ的降低，专家信息的可信度也越来越高，当已知的或从集合N中的最大熵获得的精确双变量边缘值时，边界从共单调上界降低到最坏情况下的边界。在我们的计算中，边界是通过样本建模语言访问的KNITRO解算器估计的。对于数值示例，我们将N={1，2，3，4，5}与随机变量citakingvalues in Ci={1，2，…，10}混合，用于i∈ N设二元边值为N={（1，2），（2，3），（3，4），（4，5）}，其中索引集（N，N）形成一个系列图。我们首先考虑一个边际信息一致的例子。与一致的单变量和双变量边缘相对应，可以使用Chow Liu treedistribution生成联合分布，从而确保（3.3）定义的分布类ρ对于任何ρ都是非空的≥ 为了计算界，我们用k={1，2}，ai=1来求解凸优化问题（3.4）∈ N，b=-i的β和ai=0∈ N，b=0。辛塞皮∈在{5，6，…，50}中，我们可以在[5，50]中改变β。我们假设每个▄Ci是一个离散均匀随机变量，其取Ci中的值的概率为0.1。我们考虑了三种不同类型的依赖关系，通过以下方式对集合中的专家信息进行建模：（i）非常正相关的随机变量对，（ii）成对独立的随机变量和（iii）非常负相关的随机变量对。对于正相关随机变量，NAR中的二元分布采用离散均匀边缘和相关参数为0.69的高斯copula（离散化）。

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大多数88

2022-6-6 14:21:19

图1表示通过求解β=15、30、45上的凸优化问题（3.4）得到的随机变量cand的最优双变量分布的概率热图，对应于参数ρ=0.00001、0.01、0.1、0.5的不同值。我们还在图中提供了最坏情况的界限（在每个子图的标题中写为“界限”）。集合中其他二元分布的最优分布与图1（通过构造）中观察到的相同，因此此处未显示。在图1中，我们观察到，当ρ减小时，双变量分布与微小变化呈正相关，其中界限略有减小。在图2中，我们考虑了专家信息在集合N中是成对独立的二元分布（可以是具有相关参数0的高斯copula）的情况。如图所示，最坏情况下的二元分布随着ρ的减小，从正相关分布移动到独立分布。与图1相比，这些实例中的边界减少更多。最后，在图3中，我们考虑了这样一种情况，即Nare中的二元分布是用均匀边缘和相关参数为0.69的高斯copula选择的。在这种情况下，随着ρ的减小，最坏情况下的二元分布从正相关分布变为负相关分布。在这种情况下，由于专家信息与最坏情况下的具有共单调随机变量的双变量分布非常不同，因此边界减少得更多。在图4中，我们将摄动参数ρ=0.1的Fr'echet界限与从准确已知的二元分布和仅从三种情况下已知的不同β的单变量分布获得的界限进行了比较。

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mingdashike22

2022-6-6 14:21:22

观察到，根据已知的专家信息（即双变量分布），Fr'echet界限在单变量和双变量信息获得的界限之间变化。对于正相关情形，ρ=0.1的Ffr'echet界更接近单变量界，而对于负相关情形，则更接近双变量界。因此，我们观察到，该模型能够捕获最坏情况下风险度量的稳健性与专家信息的可信度之间的权衡。对于我们的下一个示例，与上述单变量边缘的离散均匀分布不同，我们考虑了i的非均匀离散单变量分布∈ N和表1中给出的边缘，同时生成（i，j）的三个不同的二元分布∈ 如上例所示，使用离散高斯copula，即相关系数为0.69、0和-0.69.c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10ui（c）0.025 0.050 0.075 0.15 0.20 0.20 0.15 0.075 0.050 0 0.025表1：单变量边缘通常在所有三种情况下边缘都不一致（因为离散化高斯copulas是离散均匀边缘）。因此，我们解决了最近一致性问题（2.3），并将分布类Θρ考虑为ρ≥ ρ*式中ρ*是获得的最小扰动。对于相关系数为0.69、0和-0.69，ρ值*通过求解（2.3）得到的结果分别为0.342356、0.434234和0.342356。此外，通过求解相对最大熵问题（2.5）得到的与给定单变量一致的最优二元分布θij对于ρ与ρ是可行的≥ ρ*. 对于β=5，10，45、50和ρ>ρ的不同值*, 使用（3.4）计算Ffr'echet界限，该界限始终大于给定单变量计算的界限和根据最大熵计算的双变量计算的界限。

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