在这种情况下，极端因素是整个经济的补充。如果这一结果成立，“一个强Rybczynski结果”成立，即三个Rybczynski符号模式成立。（ii）此外，他推导了EWS比率向量存在于特定子区域（P1、P2或P3）的充分条件。如果这一点成立，则特定的Rybczynski符号模式成立。此外，Nakada（2016a）表明，在某些情况下，极端因素必须是经济范围的补充。在这种情况下，假设生产函数的函数形式是不合理的，例如科布-道格拉斯（Cobb-Douglas）或每个部门的所有常数CE，这不允许任何两个因素成为Allen互补因素。因此，我们推导出（1,1,1），（，）ijhccc, c是常数。（108）示例4：此外，Nakada（2016b）将Nakada（2016a）的结果应用于泰国的数据，并由此得出1920-1929年间泰国的要素禀赋-商品产出关系。由于数据可用性，他将分析限制在这一时期。我展示了他的成果的精髓。在该模型中，Nakada（2016b）将大米视为可出口（或商品1），将棉纺织品视为可进口（或商品2）。他认为土地、资本和劳动力是三个因素。Nakada（2016b）表明，因子强度排序的某种模式，如公式（23）所示，适用于泰国。此外，他假设中间因子的因子强度排名（如公式（24）所示）成立。也就是说，第一部门相对土地密集，第二部门相对资本密集，劳动力是中间因素，土地和资本是极端因素。他假设中间因素在部门1中使用相对集中。对于1920-1929年间与泰国有关的数据，他可以得出以下结论。

EWS比率向量 ’,   ’象限IV（或分区P1-P3）中存在的问题，换句话说，资本和土地，极端因素，是整个经济的补充。因此，一个强大的Rybczynski结果必然成立。他推导出了三种Rybczynski符号模式。然而，通过作出更详细的估计，他可以将三名候选人减少到两名。土地禀赋对第一部门和第二部门商品产出的影响分别为正和负。资本禀赋对第一部门和第二部门商品产出的影响分别为负和正。然而，劳动力供应的增加如何影响商品1和商品2的产出尚不确定。（iv）如果EWS比率向量 ’,   ’在P1分区，劳动力禀赋对1区和2区商品投入的影响分别为负和正。（v） 如果EWS比率向量存在于P2分区，则劳动力禀赋对1区和2区商品产出的影响均为正。结果表明，Feeny（1982年，第28页）关于劳动力（或中间因素）存量的增长导致泰国大米产量相对于纺织品产量的大幅增长的说法可能并不一定成立。在某种程度上，我的结果显示了1920年至1929年间中国移民对泰国商品产出的影响。例如，斯金纳说，“[在1918-1931年期间]，中国人以前所未有的速度涌入暹罗……中国人的大量涌入，很简单，是暹罗的有利条件和华南的不利条件造成的”（斯金纳，1957，pp。

172-174).例5：调用等式（40）、（15）和（9）     ’,   ’ / ,   / / , /LK LT KT LTS U S T U T g g g g g g g,            （109），，，ijih j ij hg i h T K L  ,             (110)/   .ij ijh ij h hj hloga日志w     （111）ihgis是IH的骨料. 因此，我们得出   ’,   ’ / ,   / （，）Lj Kjj Lj K j Kj TLj Ljj Lj T j Lj TS U S T U T =（，）Lj Kjj Lj Kj K j Tj TLj Ljj Lj Tj T j Lj Tj T   .              （112）EWS比率向量包含AES。例如，如果我们替换上的数据，ij ij , 并且假设AES的值，我们可以计算EWS比率向量的笛卡尔坐标。这是一种模拟。然而，如例3所述，EWS比率向量存在于线段上。这意味着EWS比率向量由观察到的数据进行训练，因此，它不能是任意的。此外，通过类比EWS比率向量，我预计AES的值受到观察数据的限制，因此，该值不能是任意的。然而，我不讨论这一点。例如，如果我们假设每个部门的柯布-道格拉斯生产函数，则AES都是单位：（1,1,1）ijh对于所有i，h，j。如果我们将其替换为等式（112），我们将得出EWS比率向量，如下所示。   ’,   ’ ,苏  .它存在于象限I中，即子区域P1-P5。根据公式（92），如果EWSRITO向量存在于子区域P1、P2或P3中，则强Rybczynski结果成立。EWS比率向量的位置取决于Ij的值安迪. 然而，请注意，这种模拟在某些情况下并不合理（见（108））。4、结论我们假设了一定的因子强度排序模式，包括一定的中间因子因子强度排序模式。

我们假设部门1相对土地密集，部门2相对资本密集，劳动力是中间因素，土地和资本是极端因素。此外，我们假设中间因子在部门1中使用相对集中。我们使用EWS比率因子和Hadamard积分析了Rybczynski矩阵及其符号模式。该矩阵表示要素禀赋与商品产出的关系。总共有12种模式。EWS比率向量边界用于标定EWSRative向量可能存在的区域的边界。ij线将该区域划分为12个次区域。我们导出了每个chrybczynski符号模式成立的一个充分条件。也就是说，EWS比率向量的位置决定了Rybczynski符号模式。一些次区域的Rybczynski结果很强。我们导出了强Rybczynskiresult系统地成立（或不成立）的一个充分条件。值得注意的是，如果EWS比率向量 ’,   ’存在于象限IV（或子区域P1-P3）；换言之，如果资本和土地这两个极端因素是整个经济的互补因素，那么astrong Rybczynski的结果必然成立。这个结果本身听起来可能并不新鲜。然而，用EWS比率向量表示理论是新颖的。这使我们能够进行进一步的分析。我们还分析了StolperSamuelson矩阵及其符号模式，它表达了商品价格与要素价格的关系。介绍了一些应用。我们能估计EWS比率向量的位置吗？正如我在第3节中所述，Nakada（2016a）已经表明，EWS比率向量存在于线段上。利用这种关系，作者开发了一种估计EWS比率向量位置的方法。也就是说，如果我们有适当的数据，我们可以在一定程度上对其进行估计。

此外，Nakada（2016b）将Nakada（2016a）的结果应用于泰国的数据，并由此推导出1920年至1929年期间泰国的factorendowment–商品产出关系。关于这一点，请参见第3节。本文为此类应用程序提供了基础。这将有助于在一些国家推导要素禀赋与商品产出的关系。例如，这项研究有助于国际和能源经济学。例如，EWS比率向量可用于分析其他类型的3 x 2模型中的函数关系，例如，具有三个因素（资本、劳动力和进口能源）的3 x 2模型。在这个模型中，要素支付之一是外生的。关于这一点，见Nakada（2016c）。方程式第1节附录A：EWS之间重要关系的推导本附录是Nakada（2015b）的修订版。Thompson（1985，第618页）指出，“因子h和k之间的总替代用替代项表示 / ,   ,   1,  2,  3 .kh j j kj hs x a w k h    （A1）替换项的3 x 3矩阵是对称的和负半定的。成本最小化行为主义的结果对于每个系数h[，1，2，3]。h类’                                                      （A2）汤普森（1985）对这些符号的定义与本文中的定义相似，但他的解释似乎太短。成本最小化行为意味着，对于所有输入价格，每个aijfunction都是零度齐次的（见等式（3），注5）。由此，我们可以得出汤普森（1985）的结果（A2）。我们在下面证明了这一点。回想等式（9），/。ij ijh ij h hj hlog a log w     （A3）从式（A3）中，我们得到//、、、、1、2ijij h h ij ha w w i h T K L j    .

（A4）将skhin（A1）替换为sih，我们得出/。ih j j ij hs x a w i h T K L    （A5）在（A5）中替换（A4），我们得到jjj，/。ijih j h ij hs x a w i h T K L  （A6）因为每个aijfunction都是零度齐次函数（回忆公式（12））：0、、、、1、2。ij IHH hj hi T K L j       （A7）根据等式（A6）和（A7），我们可以显示0。h ih hs w i T K L  （A8）这相当于等式（A2）。AES在以下意义上是对称的（见等式（10））。ij hjhi公司（A9）此外，根据BC（第33页），“假设生产函数严格准凹且线性齐次”（见等式（11））0。iji公司（A10）从等式（A6）、（A3）和（A9）中，我们可以显示，ih hiss（A11）具体而言，聚合替换是对称的。将公式（A3）中的公式（A10）替换为派生的iji.  通过在公式（A6）中代入该方程，我们得到0iI.                                                                                                                          （A12）接下来，我们以与BC（第33页）分析AES（LjL). 从公式（A8）中去除Lsandkls，我们得出     2     1.LL T T TT K TK T KT K KKLs w s w w s w w sw   （A13）变换（A13）：LLs x Ax，（A14），其中x是向量，a是矩阵，以及x轴向量的内积；，K KK KTT TK TTw s sw s s         xA。引用BC（第33页）的一段话：“上面表达式右侧的二次型必须是有益的定数。

这反过来意味着\'0KK TT KT TKA s s s  ,                                                                                          （A15）2 x 2行列式在哪里。将公式（A6）转换为导出//，ijiih j h h ih i hs V w g V w  ,   ,   ,   .i h T K L（A16）该方程式显示了骨料替代和EWS的关系。根据公式（A16），ihgis不对称。具体而言，ih hig i h一般来说将公式（A15）中的公式（A16）代入，我们得到0kK TT KT TKg g g g.                                                                                              （A17）该方程式表明JE的证明是不可能的。接下来，我们展示了JE的反证。JE（第75页）定义，1，2，3KIK, asEWS。JE在第5.2.4小节（第90页）中指出，“首先，我们假设两个极端因素【因素1和2】是完美的互补，因为任何因素价格变化都不会改变其使用意愿的比率( 12、1、2、3kkk).’在这里，对于作者来说，“完美互补”意味着12 kk. 如果我们换成Ki对于IHG，这意味着。Th Kh TT KT TK KK TL KLg g h T K L g g g g g g g g g g g     （A18）换句话说，作者发现，在“完全互补”假设下，三个方程组对EWS适用接下来，作者利用这组数据来证明商品价格是如何影响要素价格的。如果我们将公式（A18）与公式（A17）进行比较，我们发现后者与前者不一致。也就是说，如果等式（A18）成立，（A17）的L.H.S.等于零。因此，JE的结果是不可能的。具体而言，作者未能解释“完美互补”意味着什么。总之，他们的证据不可信。在第5.2.5小节（第91页）中，JE的分析与第5.2.4小节类似。

作者假设极端因子（因子2）是中间因子（因子3）的完美补充。作者表示，他们得出1132. 在作者的上下文中，这意味着32，1，2，3kkk.  我们可以用类似的方式证明这是不可能的。方程式部分（下一节）附录B： 是矩阵A的行列式，是线性方程组的系数矩阵（见等式（46））。我们可以证明 < 0 等价于BC中的3 x 3行列式D，并证明D<0（见BC（第25-26页））。然而，BC的方法需要一些技巧。我们利用EWS之间的重要关系给出了证明。根据等式（46）和（21），我们得出 = det（A）=1212121 12 2 20000。T K LT K LTT TK TLKT KK KLLTTTKKLL LLK Lg g gg g gg g  （B1）对第3列中的第1列和第2列求和，并从第1行中减去第2行。我们有121221220 0 0 01 0 0000tttktt TKKT KKLT kkllkabgggggg（B2）我们可以回顾式（26），即， 11 2 1 2 2,  ,   ,  ( , ).T T K LLEAB公司   将上述内容表示为沿第三列的系数展开：12121322001（1）。TT TKKT KKLT LTTKKLK LABGGGGGGG  （B3）回顾等式（17），即，（/），，ih h i higgi h T K L , 和（/）ij j i ij   . 使用这些方程式，转换方程式。（B3）：1 1 2 21 1 2 1 2 200//////////TT T KT K TTK TT T T T TKKL L L K K K KTL L KL K LABGGGGGGG                             （B4）将第2、3和4行除以1/1/，T K和1/L,  分别将第3列和第4列除以1和2,分别推导：12121200’，TT T KT KTK T KK KTL T KL KTKKLLABGGGG           （B5）其中12/KLT     . 对第4列中的第2行和第3行求和，并从第3行中减去第4列。

我们有2200英尺。0 0 0 1TT T KTK T KK KTKABg g Ag g B      （B6）将上述内容表示为沿第四行的辅因子展开，并排列第2行和第3行。我们有440（1）（1）（1）”。TK T KK KTT T KT KABg g Bg g A      （B7）从公式（17）中，我们得出。TK T KT Kgg使用该方程，展开式（B7）得出22’【2】。KK K TT T KT KA g B g ABg      （B8）转换公式（B8）以推导：22’[2]，KK TT T KT Kg x g xg A      （B9）其中/x B A. 这是一个二次公式。根据公式（18），我们得到0。TT Tg（B10）因此，2xin公式（B9）的系数为负值。式（B9）的判别式的四分之一是2）/4（KT K KK TT TD g g g  .                （B11）从等式（17）中，我们得出。KT K TK Tgg用公式（B11）代入该方程，得出：[/4]KK TT KT TK K Tg g g gD  .                   （B12）调用等式（A17），0。KK TT KT TKg g g g g将其替换为公式（B12）中的公式来推导：/4 0。D（B13）根据等式（B10）和（B13），我们得到了0。（B14）使用等式（19）和（17），转换等式（B8）以推导：2 2’[（）]。KT K LK L LT LB A g A g B        （B15）参考文献：Baldwin。R、 E.（1971年），“美国贸易商品结构的决定因素”，《美国经济评论》（American Economic Review），61126-146.Baldwin，R.E.（1979），“贸易和外国投资的决定因素：进一步证据”，《经济与统计评论》（Review of Economicsand Statistics），51，40-48.Ban，H.（2007a），“资本技能互补性、要素强度和相对要素价格：一个包含三个因素和两种商品的模型，”Kobe gakuin economic papers 39，101-122（日文）。Ban，H。

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（1995），“特定一般均衡模型中的要素强度与要素替代”，《经济一体化杂志》，10283-297。BC得出了一个结论（第34页），即在商品价格不变的情况下，一个要素的供应量增加，将相对集中地使用扩张要素增加商品的产量，并减少其他商品的产量。作者没有使用本文中所示的符号模式来显示这些结果，而是使用排名形式，如12***（0）**T L Kw p w p w    如果我们使用我们的表达。关于这一点，请参见JE（第79页，公式（22）），forOline T1line T2line L2line L1line K1line K2Fig。1 EWS比率矢量边界和ij线（Rybczynski符号模式的边界线）的图示注：S’=S/T=gLK/gLT，U’=U/T=gKT/gLT。M1M2M3M4M5M6M7P1P2P3P4P5QU’-轴’-轴RT1RT2RL2RL1RK2RK1Quad。伊瓜德。伊奎德。IVquad。IIIE示例。然而，他们的技术需要一些技巧，并不容易。此外，它对于分析Rybczynski符号模式成立的充分条件也没有用处。基于计算的分析要容易得多。此外，汤普森（1993）还使用了JE开发的图解技术，并补充了JE的分析。他总共得出了11种排名模式。显然，在某些情况下，两种排名形式对应相同的符号模式。铃木（1983）假设资本和土地（分别为中间因素和极端因素）是每个部门的“完美补充”，并使用AES得出了影响，即\'0，0，j j j jKK KT LK LT      和0.jjKT TT’吉克是第j个行业中第i个和第k个因素之间的AES。铃木在反驳中使用了这一点。

BC（p33）基于生产函数严格准凹且线性齐次的假设，即：2（0），导出了AES的关系。j j jKK TT KT  如果我们将这个不等式与铃木方程进行比较，我们会发现后者与前者不一致。关于这一点，请参见Nakada（2015a）。在第5.2.1至5.2.5小节（第86-92页）中，JE分析了以下案例。即，（1）中间因子的因子强度相同，或为12ll在我们的表达式中，（2）极端因子是独立的，或0千克在我们的表达中，（3）包括极端因素在内的所有因素都是替代因素，（4）极端因素是完美互补因素，（5）中间因素和极端因素是完美互补因素。具体而言，（1）和（2）都是特例。在（3）的情况下，JE（第88页）假设“中间因子在X[或扇区1]中的使用比在X[或扇区2]中的使用更为密集”，即12LL在我们的表达中。JE只显示了两种模式的共同价格-要素价格关系。（3）中的解释很复杂。我不确定他们是否可信。如果所有因素都是替代因素，   ,   ,       ,   ,  S T U   因此，   \',   ’ , 苏  保持（见等式（43））。因此，正如我们在本文第3节中所示，EWS比率向量存在于象限I中，即在子区域P1到P5中。这意味着商品价格-工厂价格关系的五种模式成立。这一点不作进一步讨论。根据公式（A16），如果因子i和h是聚合互补，则它们是经济范围的互补，反之亦然。Takayama（1982）只给出了一个强Rybczynski结果成立的充分条件。铃木（1987）得出了类似的结果。在Suzuki（1987年，第1章，第17-26页）中，作者假设极端因素是每个部门的“全部完成”（p。

23），他得出了一个很强的Rybczynski结果。显然，如果极端因素在每个部门都是互补的，那么极端因素就是互补的总和，反之亦然。此外，Ban（2010）修改了一个重要的基本假设。她认为商品价格是内生的。她在一项理论研究中分析了要素禀赋如何影响要素价格。此外，正如我在Nakada（2016a）中所展示的，在某些情况下，假设生产函数为Cobb-Douglas型或每个部门的全常数CES型是不合理的，正如Thompson（1995）所假设的那样，这不允许任何两个因素相互补充。此外，按照Ban（2007a）的假设，假设生产函数为两级CES类型是不合理的。EWS包含两个扇区中的AE。奇怪的是，JE根本没有提到AES。有九个EWS。我表明，分析只需要三个EWS。EWS的绝对值对于分析每个Rybczynski符号模式成立的充分条件并不重要。只有定义EWS比率向量，我们才能使用二维图对其进行系统分析。例如，Nakada（2016b）将Nakada（2016a）的结果应用于泰国的数据，并由此得出1920-1929年间泰国的要素禀赋-商品产出关系。在某种程度上，这些结果显示了1920年至1929年间中国移民对泰国商品产量的影响。我们使用5 x 5矩阵的方法不需要其他研究使用的特殊技术。例如，BC使用一些技术转换了一些方程，并使用3 x 3矩阵生成了一个线性方程组。另一方面，在第3节（第73-77页），JE使用了其他技术，并建立了三个线性方程组。

事实上，这些方法不容易重新应用。我们假设部门1相对土地密集，部门2相对资本密集，劳动力是中间因素，土地和资本是极端因素。此外，我们假设中间因子在扇区1中的使用相对紧张。然而，估计参数值属于部分平衡分析。在第4节中，Teramachi（2015，第50页）展示了12种“Jsign模式”，它们表达了商品价格-要素价格关系（log/logJ W p  ,*/ *ijJ w p公司在我们的表达中）。根据toTeramachi（2015，第52页），该表达与JE的排名形式不存在一一对应关系。也就是说，oneJsign模式可以在JE中包含两种排名形式。在第5节（第55-61页）中，Teramachi（2015）展示了JSIGN模式成立的一些充分条件。他分析了以下案例（案例A-F）。即，（A）特定因子模型，（B）极端因子是独立的，（C）极端因子是互补的（或完全互补的），（D）中间因子的因子强度相同，（E）中间因子和极端因子是完全互补的，（F）所有因子都是替代的。正如他所说，他的分析主要基于JEshowed的情况。也就是说，Teramachi给出的充分条件与JE分析的充分条件相似。Teramachi显示的六个充分条件中，有五个条件没有显示与JSign模式的一对一对应关系。见Teramachi中的表格（2015年，第61页）。例如，Ban（2008）的因子强度排名如下所示。也就是说，1 2 1 2 1 21S L K       , 其中ij表示成本份额（我们表达式中的分配份额）；S是熟练劳动力，K是资本，L是非熟练劳动力。

这意味着非熟练劳动力是中间因素，熟练劳动力和资本是极端因素。Ban（2008年，附录表）没有计算分配份额，在此基础上，我们显示了中间因子的因子强度，即12ll或12LL例如，如果非熟练劳动力（L）是中间因素，则保持不变。她只展示了12LLAA或12LLAA保持住，如果我们用我们的表达。同样，Ban（2011年，第4章，第107页，附录表4-1）没有计算分配份额。这令人困惑。需要一些解释。萨缪尔森（1953年，第4章，第59页）定义了函数，1（，，，，，，）ii nv f x w i n   .IVI是“每个生产要素的最佳值”，用于推导“每个产出的最低总成本”（第58页）、“xis生产”和“WIS生产要素的价格”萨缪尔森（1953年，第4章，第68页）指出，IV\'在变量1（，）nww中必须是零阶齐次的,xbeing constant”（参见第61页的Samuelson（1986年，第4章，公式（5））；第70页等式（52））。这意味着，从成本最小化的条件来看，我们可以证明IJAS在所有投入价格中都是零度齐次的。Takayama（1982，第5页，定理1，注5）分析了一般的m x n模型，他指出，因为“替代矩阵”是负半定的 1毫米S、 the 1米x个    1米矩阵是负有限的，其中0，1，2。iis i m   SDER记录特定矩阵的秩，以及 ihs公司S、 Teramachi（1993，第44页）给出了与（A16）等价的方程式。