那么我们有e[N（ξ）]=Nu√1 + σ（8.1）E[ξN（ξ）]=uNu√1 + σ+σ√1+σN′u√1 + σ（8.2）EeaξN（ξ）= eau+aσNu+aσ√1 + σ（8.3）EξeaξN（ξ）= 对数正态FSABR模型27中的eau+aσ×TVO定价u+aσNu+aσ√1 + σ+σ√1+σN′u+aσ√1 + σ（8.4）EξeaξN（ξ）= eau+aσh（u+aσ）（u+aσ）+σNu+aσ√1 + σ+2u+aσσ√1+σN′u+aσ√1 + σ+σ1+σN′\'u+aσ√1 + σi（8.5）表示y常数a证明。我们只证明了（8.3），因为（8.1）可以通过设置a=0轻松获得，而（8.4），（8.5）可以通过区分（8.3）来获得eaξN（ξ）= EeaξP[Z≤ ξ|ξ]= Eeaξ{Z≤ξ}= Eeaξ{Y≤0}其中Y=Z- ξ. 注意，我们可以将ξ分解为ξ=u+cov（ξ，Y）var（Y）（Y- E[Y]+p1- ρσB其中B为标准正态，与Y无关，ρ为ξandY之间的相关性。实际上，在我们的例子中ξ=u-σ1+σ（Y+u）+σ√1+σB。它允许，由于Y和B是独立的，Eeaξ{Y≤0}= E“eau-σ1+σ（Y+u）+σ√1+σB{Y≤0}#=eauEe-aσ1+σ（Y+u）{Y≤0}Eheaσ√1+σBi。最后，通过straightforwar d计算，可以显示最后一个表达式被定义为等于（8.3）的右侧。用hn（·）表示归一化的厄米多项式，即f或n≥ 0，hn（x）=(-1） n个√nexdndxn（e-x） 。（8.6）注意，由于[hn（Z）hm（Z）]=δNm对于标准正态分布随机变量Z，集合{hn（Z）}∞n=0为Z.28 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANGLemma 3生成的σ-代数形成了一个非正则基。设ut=cHBTTtH+，σt=t2H-cHTt2H+1。那么，对于k≥ 1，E（BHt）k英国电信= Mk（ut，σt），（8.7）EZT（BHt）kdBt英国电信=ckHp（k+1）！kH类++ 1公里+香港+1英国电信√T, （8.8）式中，Mk（u，σ）是具有平均u和方差σ的正态随机变量的第k个矩。cH=是一个常数。特别是，对于k=1，2，我们有ZTBHtdt公司英国电信=2cH2H+3TH+BT，EZT（BHt）dt英国电信=2H+1-cH2H+2T2H+1，EZTBHtdBt英国电信=2小时+3小时+英国电信-T,EZT（BHt）dBt英国电信=cH2（H+1）T2H+(英国电信√T-3BT√T） 。证据

（8.7）源自直接计算，因为以BT为条件，Bhti以平均u和方差σt为标准分布。对于（8.8），请注意σ-代数Fbti跨越了bynhn英国电信√To∞n=0，其中hn是（8.6）中定义的埃尔米特多项式。考虑人ZT（BHt）kdBt=∞Xn=0cnhn英国电信√T+ ξ、 式中，ξ的平均值为零，且与n的跨度正交英国电信√To∞n=0。自随机变量n起英国电信√To∞n=0构成正交基，它遵循cn=EZTBHTDBTN英国电信√T.对于k≥ 1表示为s=（s，···，sk），ds=ds···dsk，dBs=dBs···dBsk，以及k={s:0≤ s≤ ··· ≤ sk公司≤ t} 以下为符号的简单性。请注意，自hn起英国电信√T可以写成常数函数1ashn的n次迭代维纳积分英国电信√T=注册护士！TnZ公司对数正态FSABR模型中的NDB、TVO定价29one可以轻松验证所有n 6=k+1的cn=0。对于n=k+1，我们有k+1=EZT（BHt）kdBthk+1英国电信√T=r（k+1）！Tk+1k！EZTZ公司kK（t，s）DBDBTZZkdBsdBt=r（k+1）！Tk+1k！ZTZ公司kK（t，s）dsdt=r（k+1）！Tk+1ZTZtK（t，s）dskdt=ckHr（k+1）！Tk+1ZTtk（H+）dt=ckHr（k+1）！Tk+1Tk（H）++1kH类++ 1=ckHp（k+1）！kH类++ 1TkH+，其中在第三个等式中，我们使用了定义在上的任何给定确定性函数f（s）的性质thatk、 E类Zkf（s）dBsZk1dBs=Zkf（s）Ds通过迭代使用It^o等距获得。我们的结论是ZT（BHt）kdBt英国电信= ck+1E香港+1英国电信√T英国电信=ckHp（k+1）！kH类++ 1公里+香港+1英国电信√T.引理4。对于t<r，以Ft为条件，BHris正态分布，平均值m（r | t）和方差v（r | t）分别由m（r | t）=ZtK（r，s）dBs，v（r | t）=ZrtK（r，s）ds给出。证据考虑在ftetheiurbri=eiuRtK（r，s）dBsEtheiuRrtK（r，s）dBsi=eiuRtK（r，s）dBsEheiuRrtK（r，s）dBsi=eiuRtK（r，s）dBs上的BHR条件的特征函数-uRrtK（r，s）ds。因此，在Ft条件下，BHris正态分布，平均值和方差分别由m（r | t）和v（r | t）给出。30 E.AL\'OS，R.CHATTERJEE，S。

TUDOR和T.-H.WANG8.1。推论2的证明。我们在下面的定理4中计算每个单独的期望。对于第一项或第二项，我们分别计算这两项：EhCww（1）Ti=ECwYZTBHtdt公司= 2年CwE公司ZTBHtdt公司英国电信= 2Y2cH2H+3TH+E【CwBT】，在传递到第二个等式时，我们使用了Cwis FBT可测量的事实，在传递到最后一个等式时，我们使用了（8.7），k=1。对于另一项，EhCxξ（1）Ti=ECx公司ρYZTBHtdBt-ρw（1）T= ρYECxE公司ZTBHtdBt英国电信- ρYECxE公司ZTBHtdt公司英国电信=2cHρY2H+3TH+ECx公司英国电信- T- ρYBT,其中，在传递到第二个等式时，我们使用了Cxis FBT measureable这一事实，在传递到最后一个等式时，我们使用了（8.7）和（8.8），其中k=1。此外，由于C满足Cw=（Cxx-Cx），一阶项为hcxξ（1）T+？ρCww（1）Ti=2cH2H+3TH+E2〃ρYCwBT+ρYCx英国电信-T- ρYBT=2cH2H+3TH+E(R)ρYCxxBT- YCxBT+ρYCx英国电信-T.通过类似的论证，我们可以计算：Ehw（1）TCi=2Y2cH2H+3TH+EhBTeξ（0）TN（d）i- E【BTN（d）】因此，对ν的第一阶TV调用的价格为：TVO=(R)σKYC（X，YT）+Xj=1κjEj+O（ν），其中κ=qπcHKνp1- ρ′σTH2H+3κ=2cHKν′σTH-（2H+3）Yκ=-2cHKν′σTH-对数正态FSABR模型中的（ρYT+1）（2H+3）YTVO定价31κ=2cHKνρ′σTH+2H+3κ=-2cHKνρ′σTH+2H+3E=EBTe公司-dE=E[BTN（d）]E=EhBTeξ（0）TN（d）iE=EhBTeξ（0）TN（d）iE=eXN（d），d1,2=XpYT±qYT。最后，通过应用Lemma2中的恒等式和简单但繁琐的计算，我们得到了波动率扩展到一阶的小波动率。请注意，该公式可以很容易地在数值上实现。8.2. 引理3的证明。回想一下mt=zet年dris是一只母夜莺。通过应用Clark-Ocone公式（假设我们可以），我们得到Mt=E[Mt]+中兴通讯DBsMT公司星展银行。我们计算EsDBsMT公司如下所示。注意，对于fSABR和f或s<tDBsYt=νYtK（t，s），其中K（t，s）是（4.1）中定义的内核。

因此，DBsMT=ZTDBs（Yr）dr=ZTsDBsYe2νBHr博士∵ DBsYr=0r<s= 2νZTsYrDBs（BHr）dr=2νZTsYrK（r，s）dr.32 E.AL\'OS、r.CHATTERJEE、s.TUDOR和T.-H.WANGThus，EsDBsMT公司= 2νZTsEs年K（r，s）dr。此外，我们有dhmit=4νZTtEt公司年K（r，t）drdtdhX，Mit=2νρYTZTET公司年K（r，t）drdt。最后，由于以Ft为条件，分数布朗运动BHris正态分布，其均值和方差由引理4中的m（r | t）和v（r | t）给出，我们得到了年= YEthe2νBHri=Ye2νm（r | t）+2νv（r | t）。参考文献s【1】A kahori，J.，Song，X.，和Wang，T.-H.，对数正态分数SABRmodel的概率密度，预印本，arXiv，2016年。[2] A kahori，J.、Song，X.和Wang，T.-H.，《桥梁表示和模态路径近似》，在随机过程及其应用中被接受，预印本可在2018年arXiv中获得。[3] A l\'os，E.，《赫尔和怀特公式的推广及其在期权定价、金融和随机学中的应用》，10，第353-365页，2006年。[4] A l\'os，E.，《赫斯顿模型中期权价格的分解公式及其在期权定价、金融和随机学中的应用》，16（3），第403-4222012页。[5] A l\'os，E.、Le\'on，J.A.和Vives，J.，《关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为》，《金融与随机》，11，第571-5892007页。[6] Benneds en、Mikkel和Lunde、Asger和Pakkanen、Mikko S，《布朗统计过程金融和随机的混合方案》，21（4），第931-9652017页。[7] McCrickerd，Ryan and Pakkanen，Mikko S，Tur bochar ing Monte Carlo pricing for the roughBergomi model，arXiv preprint arXiv:1708.02563，2017【8】Da Fonseca，J.，Gnoatto，A.，A and Grasselli，M.，A ffene models内波动性股票期权的分析定价：一种有效的调节技术，preprint，SSRN，2015年。[9] Di Graziano，G。

Torricelli，L.，目标波动率期权定价，国际理论与应用金融杂志，15，12500052012年。[10] Gathereal，J.、Jaisson，T.和Rosenbaum，M.，《波动性是粗糙的》，预印本，inSSRN可用，2014年。[11] Grasselli，M.和Romo，J.M.，《随机倾斜和目标波动率期权》，《期货市场杂志》，36（2），第174-193页，2016年。[12] Nualart，D.，Malliavin微积分和相关主题，Springer，2006年。[13] Torricelli，L.，在随机波动模型中对资产的联合债权及其实现方差进行定价，国际理论与应用金融杂志，16（1），2013年。[14] Wang，X.和Wang，Y。，目标波动率期权的方差最优对冲，《工业和管理优化杂志》，10（1），pp.207-2182014。LOGNORMAL FSABR模型33Elisa A l\'OSDepartment d\'Economia i Empresa和巴塞罗那蓬佩法布拉大学经济研究生院TVO定价，c/Ramon Trias Fargas，25-270800 5 Barcelona，SpainE邮箱：elisa。alos@upf.eduRupakChatterjeeDivision of Financial EngineeringStevens Institute of TechnologyCastle Point on Hudson，Hoboken，NJ07030电子邮件地址：Rupak。Chatterjee@stevens.eduSebastianTudo rDivision of Financial EngineeringStevens Institute of TechnologyCastle Point on Hudson，Hoboken，NJ07030电子邮件地址：studor@stevens.eduTai-Ho Wang纽约城市大学巴鲁奇学院数学系纽约市Bernard Baruch路1号，邮编：NY10010，日本东芝大学数学科学系，邮编：Dai Ho。wang@baruch.cuny.edu