对数正态分数SABR模型下的目标波动率期权定价

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收藏 2022-06-06

英文标题：
《Target volatility option pricing in lognormal fractional SABR model》
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作者：
Elisa Alos, Rupak Chatterjee, Sebastian Tudor, and Tai-Ho Wang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
We examine in this article the pricing of target volatility options in the lognormal fractional SABR model. A decomposition formula by Ito\'s calculus yields a theoretical replicating strategy for the target volatility option, assuming the accessibilities of all variance swaps and swaptions. The same formula also suggests an approximation formula for the price of target volatility option in small time by the technique of freezing the coefficient. Alternatively, we also derive closed formed expressions for a small volatility of volatility expansion of the price of target volatility option. Numerical experiments show accuracy of the approximations in a reasonably wide range of parameters.
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中文摘要：
本文研究了对数正态分数SABR模型中目标波动率期权的定价问题。伊藤演算的分解公式为目标波动率期权提供了一个理论复制策略，假设所有方差掉期和掉期期权的可获得性。该公式还通过冻结系数的方法，提出了一个小时间内目标波动率期权价格的近似公式。或者，我们还导出了目标波动率期权价格的波动率扩张的小波动率的闭合表达式。数值实验表明，在相当宽的参数范围内，近似值具有较高的精度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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可人4

2022-6-6 18:33:46

对数正态分馏ABR模型中的目标波动率期权定价。alos@upf.eduRupak量子科学与工程金融工程中心（Financial EngineeringCenter for Quantum Science and EngineeringStevens Institute of Technology）ChatterjeeDivision电子邮件：Rupak。Chatterjee@stevens.eduSebastian史蒂文斯理工学院（Stevens Institute of Technology）金融工程研究所（TudorDivision of Financial Engineering Stevens Institute of Technology）邮件：studor@stevens.eduTai-Ho WangBaruch College，CUNY，New York Ritsumeikan University，Shiga，Japane邮件：tai Ho。wang@baruch.cuny.eduAbstractWe本文研究对数正态分数SABR模型中目标波动率期权的定价。根据It^o微积分的分解公式，假设所有方差掉期和掉期期权的可获得性，得出了目标波动率期权的理论复制策略。该公式还利用冻结系数的技术，提出了一个小时间内目标波动率期权价格的近似公式。或者，我们还推导出了目标波动率期权价格的波动率扩张的最小波动率的med闭合表达式。数值实验表明，在相当宽的参数范围内，近似值具有较高的精度。对数正态分数SABR模型中的目标波动率期权定价Elisa AL\'OS、RUPAK CHATTERJEE、SEBASTIAN TUDOR和TAI-HO WANGAbstract。本文研究了对数正态分数SABR模型中目标波动率期权的定价问题。由It^o的计算得出的分解公式得出了目标波动率期权的理论复制策略，假设所有变量掉期和掉期期权的可接受性。该公式还提出了通过冻结系数的技术，在短时间内对目标波动率期权的价格进行近似计算的公式。

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kedemingshi

2022-6-6 18:33:49

或者，我们还推导了targetvolatility期权价格波动率扩张的小波动率的封闭式表达式。数值实验验证了在相当宽的参数范围内近似值的准确性。简介目标波动率期权（TVO）是一种衍生工具，它明确依赖于标的资产及其已实现波动率的演变。此选项允许用户设置目标波动率参数，以确定杠杆率，否则将取决于价格。乘数杠杆系数是期权到期时标的资产的目标波动率与已实现波动率的比率。如果选择该目标波动率作为标的资产的隐含市场波动率，则该选项类似于纯波动率工具，如方差和波动率掉期，其中投资者将已实现波动率交换为隐含波动率。TVO略有不同，因为它们没有明确执行aswap，而是考虑两种波动率的比率，以增加或减少潜在的价格回报。TVO杠杆因子的典型形式在分子中有tar get波动率参数，在分母中有已实现波动率。当资产呈现平稳的总体上升趋势时，其已实现的波动性往往会下降，从而使欧洲呼叫版本的TVO比简单的普通版本的欧洲呼叫获得更高的回报（杠杆化）。从隐含波动率的角度查看目标波动率参数时，TVO杠杆因子允许使用关键词和短语。对数正态分数SABR模型，分解公式，目标波动率期权，波动率近似的小波动率。2 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H。

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可人4

2022-6-6 18:33:52

WANGan投资者可能会收回在高波动率时期购买的看涨期权的昂贵溢价。对于put风格的tvo，杠杆因素的典型形式往往以相反的方式工作（即去杠杆）。资产倾向于更不稳定地向下移动，从而在熊市中增加其已实现的波动性，从而降低看跌期权。因此，我们可以想象创建看跌期权样式，其中波动率杠杆因子与典型形式相反，即已实现波动率放在分子中，目标波动率放在分母中。这与典型的呼叫optionTVO有着本质上的不同，因此是未来研究的主题，在此不再讨论。TVO的风险管理很困难，因为人们不能简单地执行标准的Delta gamma vega式对冲，因为这没有充分考虑波动率杠杆因素中嵌入的风险。在本文中，我们提出了一种使用相同到期日风险互换的TVOs静态波动边缘。当目标波动率参数cho sen接近方差掉期执行的平方根时，这种对冲变得更加准确。股票回报的标准程式化事实，如波动率聚类、厚尾和杠杆效应，将在电视运营商的定价中发挥重要作用。特别是，平方收益的时间相关性对已实现的波动率有重要影响。因此，我们选择使用分数布朗运动（fBM）对瞬时挥发过程进行建模，因为它在赫斯特指数方面具有非常简单的相关结构。理想情况下，人们希望从市场价格中得出隐含的赫斯特参数，以便量化TVO的时间相关性。

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nandehutu2022

2022-6-6 18:33:55

由于TVO市场仍然充满异国情调，这将不得不等到OTC市场变得更具流动性。最后，明确支付对波动率和罢工的依赖性要求使用与随机价格差异模型相关的随机波动率（由fBM驱动）。在本文中，我们研究了最近提出的fractio na l SABR（fSABR）模型，并根据[10]中的市场数据进行了实证检验。关于对数正态fSABR模型概率密度的更详细讨论，请参阅[1]。在[9]中，作者使用单因素随机波动率模型提供了TVO的价格，其中假设标的资产的瞬时波动率是不现实的，独立于驱动资产回报的布朗运动。[13]中使用了诸如theHeston模型和3/2随机波动率模型等模型，对TVOs提出了这一不切实际的假设。在[11]中，这种方法是对数正态FSABR模型3中的进一步herTVO定价，通过多因素随机波动性模型增加随机偏斜。[8]作者使用傅立叶分析方法，对以支付为特征的各种产品进行定价，这些产品取决于股票及其波动性，TVO就是这样一种情况。文献[14]研究了指数左旋动力学下TVO的变量最优套期保值方法。据我们所知，现有的TVO定价文献都没有涉及fr波动过程。在瞬时波动率中引入分数过程，就产生了赫斯特指数风险。换言之，如果赫斯特指数不准确，对电视转播价格的影响有多大？是否有针对赫斯特指数相对稳健的复制/对冲策略？我们不打算在本论文中回答所有这些问题。

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大多数88

2022-6-6 18:33:58

然而，第3节中（3.6）给出的分解公式从理论上为电视通话提出了一种稳健的复制策略，因为所有掉期和掉期都可以访问。论文的其余部分组织如下。第2节简要说明了模型并介绍了TVO的定价。第3节显示了电视通话价格的It^o演算和Malliavin导数的分解公式。通过指定对数正态fSABR模型的模型，我们在第4节和第5节推导了电视通话价格的近似值。本文在第6节和第7节中总结了数值实现和讨论。技术计算和证明在第8.2节中作为附录。模型规范和目标波动率选项纵观全文，Bt和Wt表示在过滤概率空间上定义的两个独立的标准布朗运动(Ohm, Ft，Q）满足通常条件。定义了所有随机变量和随机过程(Ohm, 英尺，Q）。用St表示标的资产的价格过程和αt表示瞬时波动率。为简单起见，假设无风险率为零，因此，发育迟缓的演变风险中性概率Q由dstst=αtdWt=αt（ρdBt+(R)ρdWt）控制，其中ρ∈ (-1，1）和？ρ=p1- ρ. 目前，除了积极性和技术条件外，我们还没有指定αT的动力学，但假设它是一个平方可积过程，适用于布朗4 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANGmotion B产生的过滤。出于计算目的，第4节及其后对αT的进一步规定。对于固定K>0，定义Xt：=对数和Yt：=αt。然后定义xtsatiesdxt=YtdWt-年初至今。（2.1）我们将主要处理以下X，Y变量。

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可人4

2022-6-6 18:34:01

在K进行的targetvolatility（TV）看涨期权在到期时支付金额|ΜqTRTαtdt（ST-K） +=K'σ√TqRTYtdt公司提取- 1.+, （2.2）其中“σ”是（预先指定的）目标波动率水平。显然，如果到期时，实现的波动率高于（低于）目标波动率，则收益将按目标波动率和实现波动率之间的比率递减（上升）。对于t≤ T，在到期时间为T的K的电视通话的时间T价格由风险中性概率Q asK'σ下的条件预期给出√T E公司qRTYτdτ提取- 1.+英尺（2.3）前提是预期是确定的。通过暂时忽略前面的常数因子，我们将在以下部分中评估（2.3）中的条件期望。3、分解公式本着【4】的精神，我们在本节中推导出了TV调用的分解公式，从而得出了一种理论复制策略，假设所有方差掉期和掉期期权都是可获得的。理论3通过“冻结系数”得出了电视通话价格的近似值。本文其余部分也将使用以下符号。标准化的Black-Scholes函数C=C（x，w）定义为asC（x，w）：=exN（d）- N（d），（3.1），其中d=x√w+√棒d=d-√w、请注意，C满足（远期）BlackScholes PDECw-Cxx+Cx=0（3.2）对数正态FSABR模型5中的TVO定价，初始条件C（x，0）=（ex-1)+. 对于任何t∈ [0，T]，定义：=ZtYsds，^wt：=ZTtEtYs公司ds，Mt：=ZETYs公司ds=wt+^wt，其中Et[·]是条件期望E[·| Ft]的简写符号，表示0≤t型≤ T我们注意到M是一个鞅，并注意到WT表示截至时间t的综合/实现的方差，而^WT表示观察时间段[t，t]的方差Swap（零利率）的价格。

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可人4

2022-6-6 18:34:05

还请注意，在t=0时，M=^w等于t=0和t=t之间的价值互换价格。此外，我们定义F=F（x，w，^w）asF（x，w，^w）：=C（x，^w）√w+^w.（3.3）注意，因为^wt=Mt-wt，我们有d^wt=dMt-载重吨。因此，dhX，^wit=dhX，Mitand d d h^w it=DhMit，因为w是有限变化的。我们将提出以下假设。（H1）假设过程Y的鞅表示形式为Y=E[Yt]+νZta（t，s）dBs，其中ν>0，并且对于任何t，a（t，·）是满足| a（t，s）|的自适应过程≤ A | t- 对于某些δ，s |δ（3.4）∈ (-,) 对于一些随机变量∈ ∩p≥1磅。（H2）^wt+wt-wt公司≤在-t、对于一些随机变量A∈ ∩p≥1磅。备注1。注意，（H1）表示dmt=νZTta（u，t）dudBt。下面的定理1根据函数C和F给出了TV调用的分解公式。定理1。（电视通话的分解公式）考虑模型（2.1），并假设（H1）和（H2）保持不变。然后，在到期日为t的K时，目标波动率看涨期权的价格可以分解为asK'σ√T Et√wT公司提取- 1.+6 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG=K'σ√T√MtC（Xt，^wt）+EtZTtFx^wdhX，Mis+ZTtF^w^wdhMis（3.5）这恰如其分地扩展了确定性波动率的情况。请注意，分解公式（3.5）不依赖于挥发性过程的规定，只要定义了tegra l s中的对应关系。因此，（3.5）中的第一项表示使用方差交换作为未来（确定性）实现变量的电视通话价格。证据这个证明类似于[4]中定理3.1的证明，所以我们只做了一个草图。表示wt：=w+wt，wt：=w+w，Mt：=wt+wt。

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可人4

2022-6-6 18:34:09

通过将It^o公式应用于过程F（Xt，wt，wt），我们得到√wT提取- 1.+- F（Xt，wt，wt）=ZTtFxdXs+ZTtFwdws+ZTtF^wd^ws+ZTtFxxdhXis+ZTtFx^wdhX，Mis+ZTtF^w^wdhMis=ZTtCxpMsYsdWs-Ysds公司-ZTtCM3/2sYsds+ZTtCwpMs-C（Ms）3/2！dMs系统-Ysds公司+ZTtCxxpMsYsds+ZTtFx^wdhX，Mis+ZTtF^w^wdhMis，其中d▄Wt=ρdBt+▄ρdWt。函数C及其所有偏导数在（Xt，^ws）处求值，而函数F及其所有偏导数在（Xs，ws，^ws）处求值。注意，由于C满足Black-Scholes方程（3.2），因此√wT提取- 1.+- F（Xt，wt，wt）（3.6）=ZTtFxYsdWs+ZTtFx^wdMs+ZTtFx^wdhX，Mis+ZTtF^w^wdhMis。最后，通过对（3.6）的双方进行有条件的期望，让→ 0，a因以下事实|nx公司wC（Xt，wt）|≤ Cw公司-（n+1）t，对于某些正常数C，我们得到了分解公式（3.5）。备注2。公式（3.6）表明，只要所有方差交换和交换都可以访问，就可以采用半参数动态替代策略。对数正态FSABR模型7右侧o f（3.6）中的VO定价的第一个术语实际上是BlackScholes模型中基础的经典de l ta对冲，但按√Mt，而第二个术语可以被称为方差掉期的“deltahedge”。第三个与基础和波动过程之间的协变量有关，波动过程可以通过持有gama掉期进行复制。最后，最后一项对应于持有随时间变化的对数合约面积，以进行方差交换。关于马利雅文导数，下面的定理2显示了电视通话价格的另一个分解公式，在不相关的情况下，ρ=0，与（5.3）一致。因此，这种新推导的分解可以被视为扩展赫尔和怀特公式的theTVO版本，就像香草选项[4]的情况一样。

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kedemingshi

2022-6-6 18:34:12

我们假设读者熟悉Malliavincalculus中的元素y结果，例如在[12]中给出的结果。在本文D1的其余部分中，2b表示Malliavin导数算子Db相对于Br ownian运动B的域。众所周知，D1,2b是L的稠密子集(Ohm) Db是从D1，2b到L（[0，T]×的闭无界算子Ohm). 我们还考虑了n＞1的迭代导数Dn，B，其域将表示为ba Dn，2B。我们将使用t值Ln，2B=L（[0，t]；Dn，2B）。我们将使用以下预期It^o公式，参见示例【3】。我们表示为：=wT- wt.提案1。假设在模型（2.1）中，流程满足∈ L1,2B。Letg=g（t，x，a）：[0，t]×R→ R是C1,2（[0，T]×R）状态下的函数，如果存在一个正常数M，则对于所有T∈ [0，T]，g及其在（T，Xt，at）中计算的偏导数以M为界。因此g（T，Xt，at）=g（T，Xt，at）+ZTtgt（s，Xs，as）ds-ZTtgx（s，Xs，as）Ysds+ZTtgx（s，Xs，as）YsdWs-ZTtga（s，Xs，as）Ysds+ρZTtgxa（s，Xs，as）Θsds+ZTtgxx（s，Xs，as）Ysds，（3.7），其中Θs：=（RTsDBsYrdr）Ys。8 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.Wang根据Malliavin导数，电视通话价格的分解公式f几乎是命题1的直接应用。为此，提出了以下假设。（H1’）假设Y∈ L1,2和| DsYt |≤ A | t- s |δ，对于某些δ∈ (-,) 对于一些随机变量∈ ∩p≥1磅。（H2’）重量-wt公司≤在-t、对于某个随机变量A∈ ∩p≥1磅。定理2。（Malliavin导数的分解公式）考虑模型（2.1），并假设（H1’）和（H2’）成立。

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可人4

2022-6-6 18:34:15

然后，目标波动率看涨期权在时间t到达K且到期日为t时的价格可以通过Malliavin导数asK'σ进行分解√T Et√wT公司提取- 1.+= K'σ√TEt公司√世贸中心（Xt，at）+ ρEtZTtFx^w（Xs、ws、as）YsZTsDBsYrdr公司ds公司,其中函数F在（3.3）中定义。显然，在不相关的情况下，（3.8）右侧的第二项消失，因此当t=0时，硬币与（5.3）重合。证据这个定理的证明类似于文献[5]中定理4.2的证明，所以我们只是简单地描述一下。使用g定义的asg（t，Xt，at）：=f（Xt，wt，at）应用预期It^o的f公式（3.7）=√wt+atC（Xt，at），利用C满足Black-Scholes方程（3.2）的事实，并考虑我们达到的预期√世贸中心（XT，aT）= Et公司C（Xt，at）√wt+at+ ρEtZTtFx^w（Xs，ws，as）Θsds.现在用f表示C（XT，aT）=提取-1.+由于aT=0，结果如下。我们通过分解公式（3.5）建议的电视通话价格的n近似值来结束本节，a s t接近t。我们将需要以下假设（H3）假设（H1）成立，并且对于任何t>s，a（t，s）=Es（a（t，s））+νZstb（t，s，θ）dBθ，其中ν定义为（H1）和f中的值，或者一些适应的过程b（t，s，·），例如| b（t，s，·）|≤ A（t- s） δ（s- θ）对数正态FSABR模型9中的δ，TVO定价∈ ∩p≥1磅。定理3。当t接近t时，t<t时，电视通话的价格在K处波动，其近似值如下。K'σ√T Et√wT公司提取-1.+= ∧（T，T）+R（T，T），（3.8），其中∧（T，T）：=K'σ√T√MtC（Xt，^wt）+Fx^w（Xt，wt，^wt）Et[hX，MiT- hX，Mit]+F^w^w（Xt，wt，^wt）Et[hMiT-hMit]andR（T，T）=O（ν+ρν）。特别是，在t=0时，公式稍微简化了√wT公司提取- 1.+(3.9)≈√MC（X，M）+Fx^w（X，0，M）E【hX，MiT】+F^w^w（X，0，M）E【hMiT】，因为M=^wand w=0。证据

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mingdashike22

2022-6-6 18:34:18

假设（H3）给出了dhx，Mis=νYsZTs公司Et（a（u，s）+νZstb（u，s，θ）dBθ杜邦ds（3.10）=：YsΓsdsanddhM，Mis=νZTs公司Et（a（u，s）+νZstb（u，s，θ）dBθ杜邦ds（3.11）=ΓsdsIt^o的公式给出了[（Fx^w（Xs，ws，ws）- Fx^w（Xt，wt，wt））YsΓs]=EZstFxx^w^wYsΓsdhX，Mis+ZstFx^w^wwYsΓsdhMis+Zst（FxxwΓudhX，Y iu+FxxwYudhX，Γiu）+Zst（Fx wwΓudhX，Y iu+Fx wwYudhX，Γiu）10 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG+Zst（Fx^w（Xu，wu，wu）- Fx^w（Xt，wt，wt））dhY，Γiu，从这里可以看出（let→ 0）ZTtE[（Fx^w（Xs，ws，^ws）- Fx^w（Xt，wt，^wt））YsΓs]ds=O（ρν+ν）。同样，我们可以证明Ztte（F^w^w（Xs，ws，^ws）- F^w^w（Xt，wt，^wt））Γsds=O（ρν+ν），现在证明完成了。我们注意到，通过简单的计算，函数Fx^和F^w^wc可以用Black-Scholes函数C asFx^w（x，w，w）=-Cx（x，^w）2(√w+^w）+Cxw（x，^w）√w+^w，（3.12）F^w^w（x，w，^w）=-Cw（x，^w）(√w+^w）+3C（x，^w）4(√w+^w）+Cww（x，^w）√w+^w.（3.13）因此，为了数值实现近似公式（3.8）和（3.9），我们必须能够计算Mt和二次变量hX、Mi和hMi。为此，需要明确规定波动过程Yt（或αt）。我们在下面几节中说明了对数正态分数SABR模型。4、对数正态fSABR模型中的目标波动率选择在本节中，我们详细而明确地计算了[1]和[10]中建议的对数正态fSABR模型下电视通话价格的近似公式（3.5）。标的资产价格在对数正态fSABR模型a中的瞬时波动率α由dstst=αt（ρdBt+(R)ρdWt），αt=αeνBHt控制，其中bt和wt是独立的布朗运动，(R)ρ=p1- ρ、 Bttis是Bt驱动的部分布朗运动。

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大多数88

2022-6-6 18:34:21

也就是说，BHt=ZtK（t，s）dBs，对数正态FSABR模型11中的TVO定价，其中K是Molchan-Golosov-kernelK（t，s）=cH（t- s） H类-FH-,-H、 H+；1.-ts[0，t]（s），（4.1）带cH=2HΓ(-H） Γ（2-2H）Γ（H+）1/2和F是高斯超几何函数。回想一下，对于固定K>0，我们定义Xt=对数，Yt=αt，在SABR模型中满足Xt=Yt（ρdBt+(R)ρdWt）-Ytdt=Ytd~Wt-Ytdt，（4.2）Yt=YeνBHt。（4.3）备注3。很容易看出Y∈ L1,2B∩Lp，对于所有p>1。另一方面，通过应用Jensen不等式，我们得到了Tztysds≥ Yexp是的TZT2νBHsds.接下来就是这样≤Yexp是的-TZTνBHsds.现在，asRTνBHsds是一个高斯过程，具有以下表示形式ZTνBHsds=ZTZTsνK（s，u）dudBs，下面是RTYSDS∈ Lp、f或所有p>1。以类似的方式，可以检查假设（H1），（H1’），（H2）和（H2’）是否成立。下面的引理总结了在对数正态fSABR模型中计算电视通话价格的近似公式（3.8）和（3.9）中至关重要的基本数量。引理1。对于0<t≤ r≤ 定义函数m和v asm（r | T）：=ZtK（r，s）dBs，v（r | T）：=ZrtK（r，s）ds。然后，对于0≤ t<τ<r<u≤ T，则可以明确获得对数正态fSABR模型中的以下条件期望。Et公司年= Ye2νm（r | t）+2νv（r | t），EtYτYr= Yeν[m（τ| t）+2m（r | t）]+ν[v（τ| t）+4v（r | t）+4RτtK（τ，s）K（r，s）ds]，EtYrEτ于= Ye2ν[m（r | t）+m（u | t）]+2ν[v（u |τ）+v（r | t）+rτtK（u，s）ds+2RτtK（r，s）K（u，s）ds]。12 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANGThus，w E hav E^wt=ZTtEtYs公司ds=YZTte2νm（r | t）+2νv（r | t）dr，Mt=YZte2νBHsds+YZTte2νm（r | t）+2νv（r | t）dr。此外，由dhmit给出的X和Mare之间的二次变量hMi和协变量hX，Mi=4νZTtEt公司年K（r，t）drdt，dhX，Mit=2νρYTZTET公司年K（r，t）drdt。证据参见第8节中的附录。现在，我们在对数正态FSABR模型中给出近似公式（3.8）和（3.9），如下所示。推论1。

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mingdashike22

2022-6-6 18:34:26

（fSABR中电视通话的近似价格）ET给出了在对数正态fSABR模型（4.2）：（4.3）下，在K处用exp i ryT进行电视通话的概率公式（3.8）√wT公司提取- 1.+(4.4)≈√MtC（Xt，wt）+2νρFx^w（Xt，wt，wt）ZTtZTτEtYτYrK（r，τ）d rdτ+4νF^w^w（Xt，wt，^wt）ZTtZTτZTrEt耶尔年K（r，τ）K（r，τ）DRDτ。特别是，在t=0时，因为m（r | 0）=0和v（r | 0）=r2H，（4.4）可以更明确地表示为sE√wT公司提取- 1.+(4.5)≈√对数正态FSABR模型13ZTZTτZTre2ν[v（r |τ）+r2H+rτK（r，s）ds+2RτK（r，s）K（r，τ）d rdτ+4νF^w（X，0，M）Y×TVO定价r，s）ds]K（r，τ）K（r，τ）drdrdτ，其中M=YRTe2νt2Hdt。备注4。由于公式中涉及的多重积分的计算，近似公式（4.4）和（4.5）的数值实现非常复杂。我们进一步近似和简化（4.4），如下所示。Et公司√wT公司提取- 1.+(4.6)≈√MtC（Xt，wt）+2νρFx^w（Xt，wt，wt）YtZTtZTτK（r，τ）d rdτ+4νF^w^w（Xt，wt，wt）ytzttztrk（r，τ）K（r，τ）drdrdτ。特别是，如果t=0，我们计算（4.6）asZTtZTτK（r，τ）d rdτ=ZTZrK（r，τ）dτdr=κHZTr+Hdr=κH+HT+H右侧的两个积分，其中κH：=cHβ(-H、 H+，H+，β（·，·）为β函数（参见[2]中的instanceLemma 2.3以证明第二个等式），ZtztτZTrK（r，τ）K（r，τ）drdτ=ZTZTrZrK（r，τ）K（r，τ）dτdrdr=ZTZTrr2H+r2H- （r）- r） 2小时drdr=T2（1+H）4（1+H）sinceRrK（r，τ）K（r，τ）dτ等于BrBr的期望值。接下来就是√wT公司提取- 1.+(4.7)≈√MC（X，M）+2νρFx^w（X，0，M）YκH+HT+H+νF^w^w（X，0，M）YT2（1+H）（1+H）。第6.14节E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H中确实将实施（4.7）。

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能者818

2022-6-6 18:34:29

WANGWe在下一节中推导了对数正态fSABR模型中TV通话价格波动率近似的小波动率，该模型在数值上更易于处理，在某种意义上可以视为近似公式（4.5）的进一步近似。波动率扩张的小波动率通过对波动率过程产生的σ-代数进行调节，直到电视通话的结果，我们在本节中展示了电视通话定价的另一种方法。这种间接方法导致了一种称为波动率小波动率制度的电视价格的渐近性，通过确保一定的准确性，该制度在计算上比（4.5）更易于处理。更具体地说，回想一下，在Kand到期t时发出的电视通话在t=0时的价格是由（2.3）中的预期给出的，我们在以下问题中重新计算了该预期‘∑√T E公司qRTYtdtEh公司提取- 1.+FYTi公司, （5.1）其中fy是由过程Y到时间t生成的σ-代数。当然，FYTis等价于直到timeT的布朗运动B生成的σ-a代数fbtg。在接下来的计算中，我们将再次暂时忽略（5.1）中的常数因子outfront。注意，从（4.2）中，我们得到xt=X+ρztytdbtbt-由于两个布朗运动bt和wt是独立的，因此XT | FYTis正态分布，平均uTand方差vt分别由uT=X+ρZTYtdBt给出-ZTYtdt，vT=(R)ρZTYtdt。因此，可以根据asEh（3.1）中定义的Black-Scholes函数来评估（5.1）中的内部条件期望提取-1.+FYTi=CuT+vT，vT.它允许（5.1）中的期望可以用C asE重写qRTYtdtCX+ρZTYtdBt-ρZTYtdt，(R)ρZTYtdt.

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可人4

2022-6-6 18:34:32

（5.2）对数正态FSABR模型15中的TVO定价，特别是在不相关的情况下ρ=0，TVO价格降低toEqRTYtdtC十、 ZTYtdt公司（5.3）这是具有独立随机总方差的经典Black-Scholes。备注5。我们注意到，如果一个人用其期望值代替Ytin（5.2），并通过简单的计算对结果表达式进行评估，那么可以表明i tre覆盖了（3.9）中的最低阶项，即√MC（X，M）。回想一下，wT=RTYtdt，定义ξTbyξT：=X+ρZTYtdBt-ρwT.我们还可以根据（3.3）asE中定义的函数更简洁地重写（5.2）F（ξT，ρwT，’ρwT）. （5.4）在lognor-ma l fSABR模型Yt=YeνBHt中，我们将wt和ξTin扩展为挥发性参数νaswT的挥发性=∞Xk=0νkk！w（k）TandξT=∞Xk=0νkk！ξ（k）T，其中w（k）T=YkZT（BHt）kdt，对于k≥ 0，ξ（0）T=X+ρYBT-ρYT，ξ（k）T=ρYZT（BHt）kdBt-ρw（k）T，对于k≥ 借助于第8节中引理2和3中的恒等式，我们现在显示了（5.2）中给出的电视通话价格波动率扩展的小波动率，当ν接近零时。定理4。（TV看涨期权价格波动率Asymotics的小波动率）在K和实验中达成的TV看涨期权价格具有以下一阶渐近式，如ν→ 0.E√wT公司提取- 1.+（5.5）16 E.AL\'OS、R.CHATTERJEE、S.TUDOR和T.-H.WANG=Y√TE[C]+νY√Tecxξ（1）T+(R)ρCww（1）Ti-ν2YTEhw（1）TCi+O（ν），其中最后一个表达式中的函数C及其所有部分导数在ξ（0）T，(R)ρw（0）T.证据

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nandehutu2022

2022-6-6 18:34:35

Asν→ 0，考虑（5.4）EF（ξT，ρwT，’ρwT）= E“F∞Xk=0νkk！ξ（k）T，ρ∞Xk=0νkk！w（k）T，’ρ∞Xk=0νkk！w（k）T！#。对于第一阶，我们有ehf（ξ（0）T，ρw（0）T，|ρw（0）T）i+νEhFxξ（1）T+Fwρw（1）T+F^w|ρw（1）T）i+O（ν）=ECqw（0）T+ νECxqw（0）Tξ（1）T+(R)ρCwqw（0）Tw（1）T-Cw（0）T3/2瓦（1）吨+ O（ν）=Y√TE[C]+νY√Tecxξ（1）T+(R)ρCww（1）Ti-ν2YTEhw（1）TCi+O（ν），其中最后一个表达式中的函数C及其所有偏导数的计算ξ（0）T，(R)ρw（0）T. 注意ξ（0）是一个随机变量，因为它是T的线性函数，而w（0）T=YT是确定性的。可以明确获得（5.5）最后一个表达式中的期望值，从而得出电视通话价格的明确近似公式。以下推论为计算目的给出了完整的定价公式。推论2。设X=logsk，并假设Yis给出n。然后，在T>0时到期的TV看涨期权的价格，行权K和目标波动率|σ的初始近似值为ν→ 0:TVO：=K'σ√T E公司qRTYτdτ提取-1.+（X，Y）≈K′σYC（X，T Y）+K′σ√π（2H+3）ρY×hcHνTH-经验值-ρXT Y-2ρ+ 1T Y公司-Y√T×√πeρXT Y+Y√TNT Y+2倍√T Y公司e2ρ+1对数正态FSABR模型17中的T Y+X×TVO定价4T X+4XT Y公司ρ-2ρT+T+ 1.+T Y公司- 4ρ+TY4ρ（T- 1) + 2ρ(1 - 2T）+T-4ρ+ 2.+p1级- ρT Y+2倍e3ρ+√1.-ρT Y公司+√1.-ρXTYρ（2T- 1) - T-2倍- 1.+√T√T×e3T Y+XN′T Y+2倍√T Y公司×-2.√T XY2ρ- 4ρ+ρ- 2.√T Y公司+ T Y×2ρ+ρ-1.r1级- ρρ+ 1(-T）Y-2ρ5ρ- 2.√T Y公司+ 4倍+4ρYN′十、√T Y公司-√T Y公司e2ρ+1T Y公司- e3ρ+√1.-ρT Y公司+√1.-ρX×TYρ-2ρT+T+ 2倍+ 1.+√ρ- 1.ρ√T Y公司T Y公司-2倍×经验值XT3/2Y+3ρ+ 2T Y+ρXi（5.6）证明。我们首先计算第零项或阶项，如下所示。E【C】=EhCξ（0）T，(R)ρw（0）Ti=Eeξ（0）TNξ（0）Tq′ρw（0）T+q′ρw（0）T- ENξ（0）Tq′ρw（0）T-q′ρw（0）T= eXNXpYT+pYT！- NXpYT公司-pYT！=C（X，YT），它与ρ和ν无关。不，在传递到lastequality时，我们使用了（8.1）和（8.3）。

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何人来此

2022-6-6 18:35:21

Wang在本文的第二部分，我们专门研究了对数正态分馏ABR模型，该模型最近在随机波动率模型的文献中被提出，因为它对方差掉期的经验数据具有惊人的拟合能力。换言之，波动过程被定义为缩放分数布朗运动的指数化。该模型中的显式闭式近似公式s由分解公式和小波动率及波动率展开式推导而来。蒙特卡罗模拟的数值例子表明，在合理的参数范围内，两种近似公式都能很好地工作。然而，如图所示，波动率扩张的一阶小波动率在极端参数中分解；而从分解公式得到的数值近似在更大的参数范围内通过了测试。当需要根据市场数据校准参数时，高效准确的资产价格计算或近似值至关重要，尤其是当存在由分数布朗运动驱动的过程时。本文中得到的近似公式由于其简单和准确，使这项任务变得容易。因此，可以相应地确定市场指标、目标波动率看涨期权的隐含收益率和目标波动率期权价格的隐含赫斯特指数。我们将所有这些讨论留在未来的研究中。AcknowlementTea部分得到西班牙MEC MTM2013-40782-P的支持。部分得到中国自然科学基金会拨款116018.8的支持。附录-技术成果引文2。Le tξ是一个具有mea nu的正态随机变量，方差σ和n（·）表示标准正态分布函数。

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