为了推导出看跌期权价格的精确渐近展开式，我们引入了一个附加假设，该假设由第4节和第5节中的模型所满足。定理2.2假设我们有（5），其中qθ的形式为qθ（x）=φx+σ（θ）！（1+κ（θ）Hx+σ（θ）！- σ（θ）Hx+σ（θ）！！θH）+φ（x）κ（θ）H（x）+κ（θ）H（x）！θ2H（7），有界函数κ（θ）和θ的κ（θ），其中hk是第k个Hermite多项式：H（x）=x，H（x）=x- 1，H（x）=x- 3x，H（x）=x- 6倍+3倍。那么，对于任何z∈ R、 p（Feσ（θ）z，θ）Fe-rθσ（θ）=σ（θ）Φz+σ（θ）！eσ（θ）z- Φz-σ(θ)!!+ κ（θ）φz+σ（θ）！Hz+σ（θ）！eσ（θ）zθH+φ（z）κ（θ）H（z）+κ（θ）H（z）！θ2H+o（θ2H）在z上均匀分布≤ z、 第3.3节给出了证明。在相同的假设下，Black-Scholes隐含波动率的渐近展开如下。在波动率参数σ>0的Black-Scholes模型下，用pBS（K，θ，σ）表示执行价为K，到期日为θ的看跌期权价格。给定看跌期权价格p（K，θ），K=Fek，Black-Scholes隐含波动率σBS（K，θ）通过hpbs（K，θ，σBS（K，θ））=p（K，θ）定义。货币隐含波动率偏斜和曲率分别定义为k=0时Black-Scholes隐含波动率的第一和第二导数，单位为k。为了论证模型与经验观察到的幂律的一致性，倾斜行为尤其重要。定理2.3假设有（5），qθ的形式为（7）。那么，对于任何z∈ R、 σBS(√θz，θ）=κ1+κzκ+κ√θ!θH+3κ- κ+ (κ- 3κ）zκθ2H+ o（θ2H），其中κ=κ（θ）=σ（θ）/√θ、 κ=κ（θ）和κ=κ（θ）。定理2.4假设有（5），qθ的形式为（7）。然后kσBS（0，θ）=κ（θ）θH-1/2+o（θ2H）-1/2),kσBS（0，θ）=2κ（θ）- 3κ（θ）κ（θ）θ2H-1+o（θ2H-1).第3.4节和第3.5节分别给出了证明。注：上述渐近估计在H中不一致；假设的随机膨胀（3）在H中是不均匀的，因此，似乎没有希望有均匀性。

我们将在H中具有一致性∈ [H，1/2]对于某些H>0的情形，如果我们能加强条件（3）使其在[H，1/2]上一致收敛。似乎不可能论证H的一致性∈ （0，1/2）因为引理3.2下面需要-δ变元依赖于H.3证明3.1特征函数展开这里我们给出了Xθ特征函数的渐近展开式。LetYθ=M（0）θ+θHM（1）θ+θ2HM（2）θ-σ(θ)1+θHM（3）θ.引理3.1设H∈ （0，1/2）和 ∈ （0，H）是（3）保持不变的常数。那么，对于任何α∈ N∪ {0}，sup | u|≤θ-|E[XαθeiuXθ]- E[YαθeiuYθ]|=o（θ2H+).证明：自| eix- 1| ≤ |x |，我们有| E[xαθeiuXθ]- E[YαθeiuYθ]|≤ |E[（Xαθ- Yαθ）eiuXθ]|+| E[YαθeiuYθ（eiu（Xθ-Yθ）- 1)]|≤ E[| Xαθ- Yαθ|]+uE[| Yθ|α| Xθ- Yθ|]分别乘以（1）和（2），Xθ和Yθ具有任意阶矩。因此，通过H¨older不等式，E[| Yθ|α| Xθ- Yθ|]≤ C（α，)kXθ- Yθk1+对于常数C（α，) > 0.自Xαθ起- Yαθ=（Xθ- Yθ）Pα-1β=0(-1） βXα-1.-βθYβθ，h¨older不等式也给出[| Xαθ- Yαθ|]≤ C（α，)kXθ- Yθk1+对于常数C（α，) > 由于σ（θ）=O（θ1/2），我们得到了kXθ- Yθk1+=o（θ2H+2) 由（3）得出结果////引理3.2设H和 如Lemme 3.1所示。那么，对于任何δ∈ [0，（H- )/3） ，sup | u|≤θ-δE[YαθeiuYθ]- EeiuM（0）θ（M（0）θ）α+A（α，u，M（0）θ）+B（α，u，M（0）θ）= o（θ2H+),式中θ（α，u，x）=iuxα+αxα-1.（E[Yθ| M（0）θ=x]- x） ，Bθ（α，u，x）=-uxα+iuαxα-1+α(α - 1） xα-2.×θ2HE[| M（1）θ| M（0）θ=x]- σ（θ）θHE[M（1）θ| M（0）θ=x]+σ（θ）！。证据：这源于以下事实：eix公司- 1.-ix+x≤|x |对于所有x∈ R、 实际上，这意味着SUP | u|≤θ-δE[YαθeiuYθ]- E“YαθeiuM（0）θ1+iu（Yθ- M（0）θ）-u（Yθ- M（0）θ）#= o（θ2H）+).展开Yαθ=（M（0）θ）α+α（M（0）θ）α-1（Yθ- M（0）θ）+。取给定M（0）θ的条件期望得到结果。

////引理3.3用qθ（x）=φ（x）定义qθ（x）-θHa（1）θ（x）- θ2Ha（2）θ（x）-σ（θ）（xφ（x）- θHa（3）θ（x））+θ2Hcθ（x）-θHσ（θ）bθ（x）+σ（θ）（x- 1） φ（x），（8），其中a（i）θ、bθ和cθ由（4）定义。那么，ZReiuxxα′qθ（x）dx=EeiuM（0）θ（M（0）θ）α+A（α，u，M（0）θ）+B（α，u，M（0）θ）.证明：由于M（0）θ的密度根据假设为φ，因此这只是部分积分的结果////3.2密度展开式在这里，我们导出了Xθ密度的渐近展开式。引理3.4存在密度Xθ，对于任何α，j∈ N∪ {0}，supθ∈（0,1）Z | u | j | E[XαθeiuXθ]| du<∞证明：注意Xθ在Gθ上的分布是高斯分布，条件平均值uθ=-2σ（θ）hMiθ+σ（θ）Zθ√vtρtdwt和条件方差vθ：=σ（θ）Zθvt（1- ρt）dt。因此，对于任何有界连续函数f，我们有E[f（Xθ）]=E[E[f（Xθ）| Gθ]]=E[Zf（X）φ（X，Uθ，Vθ）dx]，其中φ（·，U，V）是具有平均U和方差V的正态分布的密度。这意味着Xθ允许密度θ（X）=E[φ（X，Uθ，Vθ）]。此外，密度函数在Schwartz空间中，每个Schwartz半范数在θ上一致有界（1）。因此，supθ∈（0,1）Z | u | j | E[XαθeiuXθ]| du=supθ∈（0,1）ZZujxαeiuxpθ（x）dxdu=supθ∈（0,1）ZZeiux公司jx（xαpθ（x））dxdu<∞由于傅里叶变换是从S到S的连续线性映射。////定理2.1的证明：如引理3.4的证明所示，密度pθ存在于Schwartz空间中。注意，对于Schwartz空间中的函数f，byTaylor定理，f（x+a）- f（x）- f（x）a- f（x）a≤asup | b|≤|a | | f（x+b）|≤asup | b|≤|a |（1+（x+b））αsupy∈R（1+y）α| f（y）|和so，supx∈R（1+x）αf（x+a）- f（x）- f（x）a- f（x）a= O（a）。这给了SSUPX∈R（1+x）α| qθ（x）-\'qθ（x）|=O（θ1+H）=O（θ2H），其中\'qθ由（8）给出。

根据傅里叶恒等式，（1+x）α（pθ（x）-\'qθ（x））=2πZ Zeiuy（1+y）α（pθ（y）-\'\'qθ（y））染料-iuxdu组合上一节中的引理，取δ∈ （0，最小值{, （H）-)/3} ），我们有|≤θ-δZeiuy（1+y）α（pθ（y）-\'qθ（y））dydu=o（θ2H）。另一方面，Z | u|≥θ-δZeiuy（1+y）αpθ（y）dy杜邦≤ θjδZ | u|≥θ-δ| u | j | E[（1+Xθ）αeiuXθ]| du=O（θjδ），对于任何j∈ N通过引理3.4。剩余Z | u|≥θ-δZeiuy（1+y）α′qθ（y）dyDU的处理方式相同////3.3看跌期权价格扩张在这里，我们考虑看跌期权价格。如前所述，用pθ表示Xθ的密度，并考虑归一化看跌期权价格p（Feσ（θ）z，θ）Fσ（θ）=e-rθZz-∞Zζ-∞pθ（x）dxeσ（θ）ζdζ。引理3.5设qθ（x），θ>0是R上的一系列函数（不一定是（8）给出的函数）。Ifsupx∈R（1+x）α| pθ（x）- qθ（x）|=o（θβ），对于某些α>5/4且β>0，则对于任何z∈ R、 p（Feσ（θ）z，θ）Fσ（θ）=e-rθZz-∞Zζ-∞qθ（x）dxeσ（θ）ζdζ+o（θβ）在z上均匀分布≤ z、 证明：通过Cauchy-Schwarz不等式，e-rθZz-∞Zζ-∞|pθ（x）- qθ（x）| dzeσ（θ）ζdζ≤ e-rθZz-∞sZζ-∞dx（1+x）2α-1sZζ-∞（1+x）2α-1 | pθ（x）- qθ（x）| dzeσ（θ）ζdζ≤√πe-rθ+σ（θ）zsupx∈R（1+x）α| pθ（x）- qθ（x）| Zz-∞sZζ-∞dx（1+x）2α-1dζ，如果α>5/4，则为o（θβ）////定理2.2的证明：这是前面引理的直接结果。例如，ddz（e-σ（θ）zddz（σ（θ）Φz+σ（θ）！eσ（θ）z- Φz-σ(θ)!!))= φz+σ（θ）！。Hk（z）φ（z）的导数为-Hk+1（z）φ（z）。也可回忆σ（θ）=O(√θ). ////3.4隐含波动率扩展在这里，我们证明了Black-Scholes隐含波动率的扩展公式。定理2.3的证明：步骤1）。固定z∈ R、 注意pθ（σ）：=pBS（Fe√θz，θ，σ）Fe-rθ√θ=√θΦzσ+σ√θ!e√θz- Φzσ-σ√θ!!（9） pθ：[0，∞] →（e）√θz- 1)+√θ、 e类√θz√θ是一个严格递增函数。

根据（9）和命题2.2，我们得到了p（Fe√θz，θ）Fe-rθ√θ=Pθ（κ）+κκφzκ+κ√θ!Hzκ+κ√θ!e√θzθH+κφzκκHzκ+κHzκθ2H+o（θ2H）=Pθ（κ）+o（θH）。因此σBS(√θz，θ）=P-1θ（Pθ（κ）+O（θH））。通过（1），κ以θ为界，例如，通过L>0。函数Pθ收敛为θ→ 0顶部（σ）：=zΦzσ+ σφzσ在点上，根据Dini定理，这个收敛在[0，L]上是一致的。由于极限函数Pis严格递增，逆函数P-1θ收敛到P-同样根据Dini定理，这种收敛是一致的，尤其是P-1θ是等连续的。因此，我们得出σBS(√θz，θ）- κ→ 0为θ→ 0.然后，写出σBS(√θz，θ）=κ+β（θ），并将其替换为方程pθ（σBS(√θz，θ））=Pθ（κ）+O（θH）。泰勒展开式给出了β（θ）=O（θH）。步骤2）。从（9）我们得到pθ（σ）=σFzσ+σ√θFzσ+σθFzσ+ o（θ），其中F（x）=xΦ（x）+φ（x），F（x）=xΦ（x）+xφ（x），F（x）=xΦ（x）+x个-φ（x）。使用该σσFzσ= φzσ,我们有κFzκ+κ√θFzκ+ κφzκκHzκe√θzθH=σBS(√θz，θ）FzσBS(√θz，θ）+σBS(√θz，θ）√θFzσBS(√θz，θ）+ O（θ2H）=κFzκ+κ√θFzκ+ φzκ（σBS(√θz，θ）-κ） +O（θ2H），由此得出σBS(√θz，θ）=κ+κze√θzθH+O（θ2H）。步骤3）。使用该σσFzσ=zσφzσ, σσFzσ= zφzσ,我们得到κφzκ+κ√θ!κHzκ+κ√θ!e√θzθH+κHzκ+κHzκθ2H=p（Fe√θz，θ）Fe-rθ√θ- Pθ（κ）+o（θ2H）=Pθ（σBS(√θz，z））-Pθ（κ）+o（θ2H）=σσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ) +σσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ)+√θσσFzσσ=κ（σBS(√θz，θ）-κ） +o（θ2H）=φzκ（σBS(√θz，θ）-κ) +√θzφzκ（σBS(√θz，θ）-κ） +z2κφzκ（σBS(√θz，θ）-κ） 定理2.2和步骤2的+o（θ2H）。左侧进一步扩展为κφzκ（κHzκe√θzθH-κHzκκθH+1/2+κHzκ+κHzκθ2H）+o（θ2H）。表示γ（θ）=σBS(√θz，θ）-κ- κze√θzθHand代入，得到γ（θ）=- κHzκκθH+1/2+κκHzκ+κHzκθ2H-κzθH+1/2-κ2κzθ2H+o（θ2H）=κ- zκθH+1/2+κ（κ- 3κ）zκ+κ- κ!θ2H+o（θ2H），由此得出结论。

////3.5关于货币倾斜和曲率的渐近性我们证明了定理2.4。定理2.4的证明：众所周知（参见Fukasawa[9]）kσBS（k，θ）=Q（k≥ σ（θ）Xθ）- Φ（f（k，θ））√θφ（f（k，θ）），kσBS（k，θ）=pθ（k/σ（θ））σ（θ）√θφ（f（k，θ））- σBS（k，θ）kf（k，θ）kf（k，θ），（10），其中f（k，θ）=k√θσBS（k，θ）-√θσBS（k，θ），f（k，θ）=k√θσBS（k，θ）+√θσBS（k，θ）。由于满足定理2.2的条件，我们得到q（0≥ Xθ）=Φσ（θ）！+κ(θ)φσ(θ)!θH+o（θ2H）。另一方面，根据定理2.3，f（0，θ）=√θκ（θ）+O（θ2H+1/2），因此，Φ（f（0，θ））=Φσ（θ）！+O（θ2H+1/2），φ（f（0，θ））=φ（0）-φ（0）θκ（θ）+O（θ2H+1）。那么，从（10）可以看出kσBS（0，θ）=κ（θ）θH-1/2+o（θ2H）-1/2). （11） 进一步，在这个条件下，我们有pθ（0）=φσ（θ）！(1 -κ（θ）σ（θ）θH+3κ（θ）- 15κ(θ)!θ2H）+o（θ2H）。另一方面，根据定理2.3和（11），σBS（0，θ）kf（0，θ）kf（0，θ）=σBS（0，θ）θ+O（θ2H）=κ（θ）θ1.-κ（θ）κ（θ）θH+1/2-κ(θ)- κ(θ)θ2H+ o（θ2H-1).那么，从（10）可以看出kσBS（0，θ）=2κ（θ）- 6κ（θ）κ（θ）θ2H-1+o（θ2H-1） ，这就完成了证明////4正则随机波动率模型我们简要讨论了正则随机波动率模型满足第2.1节中H=1/2的所有假设。考虑波动过程vt=v（Xt），其中X是满足随机微分方程dxt=b（Xt）dt+c（Xt）dw的马尔可夫过程，v是定义在X的状态空间上的光滑正函数。设ρ∈ (-1，1）是一个常数，{Gt}是由W生成的增强过滤。我们假设（1），这在包括对数正态SABR和Heston模型在内的常见情况下是可以满足的。用L表示X的生成器。用f表示=√v、 g=fc，H=vc。然后，根据It^o公式，我们得到了mθ=f（X）Bθ+ZθZtg（Xs）dWsdBt+ZθZtL f（Xs）dsdBt，hMiθ=v（X）θ+ZθZth（Xs）dWsdt+ZθZtLv（Xs）dsdt。设\'Bθt=θ-1/2Bθt，\'Wθt=θ-1/2Wθtand Xθt=Xθt。

THNMθ√θ=f（X）(R)Bθ+√θZZug（Xθv）d'Wθvd'Bθu+θZZuL f（Xθv）dvd'Bθu，hMiθ=v（X）+√θZZuh（Xθv）d'Wθvdu+θZZuLv（Xθv）dvdu。因此σ（θ）θ=E[hMiθ]θ=v（X）+Lv（X）θ+O（θ3/2），因此σ（θ）√θ=f（X）+Lv（X）f（X）θ+O（θ3/2），在轻度正则条件下。那么，我们有（3），其中H=1/2，M（0）θ=\'Bθ，M（1）θ=g（X）f（X）Z'Wθud'Bθu，M（2）θ=-Lv（X）4v（X）’Bθ+g（X）c（X）f（X）ZZu’Wθvd‘Wθvd‘Bθu+L f（X）f（X）Zud‘Bθu，M（3）θ=2g（X）f（X）Z‘Wθuduagain，在温和的规则性条件下。Nualart等人（18）或附录Abelow，E[M（1）θ| M（0）θ=x]=g（x）f（x）ρH（x），E[M（3）θ| M（0）θ=x]=g（x）f（x）ρH（x），因此，a（1）θx+σ（θ）！-σ（θ）a（3）θx+σ（θ）！=-κHx+σ（θ）！- σ（θ）Hx+σ（θ）！！φx+σ（θ）！κ=ρg（X）f（X）。此外，E[M（2）θ| M（0）θ=x]=-Lv4v（X）X+gcf（X）ρH（X）+L f2 f（X）X=-g4 f（X）X+gcf（X）ρH（X）andE[（M（1）θ）| M（0）θ=X]=gf（X）ρ+ H（x）+H（x）+ (1 -ρ)+H（x）.因此，a（2）θ（x）-cθ（x）=-κH（x）φ（x）-κH（x）φ（x），其中κ=gcf（x）ρ+gf（x）1+2ρ。因此，我们观察到（6）具有（7）的形式，因此，第2.2节中的所有定理都适用。特别是，定理2.3证明了梅德韦杰夫·斯加列特公式（当fn为单位函数时，通过形式计算得出的[16]中的命题1）。5.粗糙Bergomi模型这里我们展示了[3]提出的粗糙Bergomi模型，将其纳入框架并计算展开项。设ρt=ρ∈ (-1，1）为常数，Vt=v（t）exp（η√2HZt（t- s） H类-1/2周-ηt2H）。假设确定性函数v（t）=E[vt]是连续的。定理5.1我们有（5）对于qθ，由（7）给出，其中κ（θ）=ρηrHθHσ（θ）ZθZt（t- s） H类-1/2pv（s）dsv（t）dt，κ（θ）=（1+2ρ）ηH（2H+1）（2H+2）+ρηHβ（H+3/2，H+3/2）2（H+1/2），其中β是β函数。证明：由于vtis对数正态分布，（1）符合Jensen不等式。条件（2）和（3）来自下面的引理5.1。下面的引理5.2、5.3、5.4和5.5计算了函数a（i）θ和cθ。函数bθ是由a（1）θ的导数得到的。

它们显然正在迅速减少平滑函数。然后，根据定理2.1，可以证明（8）定义的qθ的形式为（7）到o（θ2H），其中κ（θ）和κ（θ）如上所述////因此，定理2.2、2.3和2.4在此也有效。当H<1/2且前向方差曲线为FL（即vis常数）时，定理2.3给出了类似于[3]中正式推导的Bergomi-Guyon展开式的公式。事实上，当vis常数为常数时，文献[3]中给出的O（η）展开式与我们的O（θH）展开式一致。当vis不是常数时，或者当查看二阶项时，公式不相同；这并不奇怪，因为这些交感子是η→ [3]中的0，而θ→ 此处为0。此外，当vis常数为常数时，可以通过扩展[6]的大偏差结果的速率函数，得到与[4]相同的O（θH）公式。更精确地说，请注意定理5.1，κ（θ）=ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2），当vis常数和定理2.3暗示σBS时(√θz，θ）-σBS(√θζ, θ)√θz-√θζ=κ（θ）θH-1/2+O（θ2H）-1/2）对于z，ζ。较弱的断言，其中O（θ2H-1/2）替换为o（θH-[10]中已经用不同的方法显示了。通过速率函数的展开式，在[4]中所示的是，这个公式高达o（θH-1/2）保持有效，即使√θz和√对于β，θζ分别替换为θβz和θβζ∈ (1/2-H、 1/2）。对于我们的渐近公式的合理精度，θ必须有多小应该通过数值实验来检验。我们的广泛实验将ηθH<1作为一个粗略的标准。在这里，我们只给出了几个波动率曲面的例子。

在图1和图2中，这些点是由Monte CarloNote提出的，但在[3]中的二阶项中存在拼写错误。注意，ηθHis是对数点方差的标准偏差-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.15 0.20 0.25 0.30k-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.15 0.20 0.25 0.30k图1:v≡ .04和（H，ρ，η）=（.07，-.9, .9） （左）或（H，ρ，η）=（.07，-.7.9） （右）-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.10 0.15 0.20 0.25 0.30k-0.10-0.05 0.00 0.05 0.100.10 0.15 0.20 0.25 0.30k图2:v≡ .04和（H，ρ，η）=（.05，-.9，2.3）（左）或（H，ρ，η）=（.07，-.9，1.9）（右）。曲线由定理2.3和5.1给出的渐近公式确定。不同的颜色适用于不同的成熟时间；θ=为黑色。02，红色表示θ=。05，绿色表示θ=。1，蓝色表示θ=。2，青色表示θ=。3和洋红色表示θ=。请注意，图2中的参数集是拜耳等人[3]根据期权数据校准的参数集。为了证明下面的引理，我们需要一些准备。设Hk，k=0，1。如前所述为Hermite多项式：Hk（x）=(-1） kex/2dkdxke-x/2和Hk（x，a）=ak/2Hk（x/√a） 对于>0。众所周知，我们有EXP（ux-au）=∞Xk=0Hk（x，a）ukk！对于任意连续局部鞅M和n∈ N、 dL（N）t=nL（N-1） tdMt，（12），其中L（k）=Hk（M，hMi）表示k∈ N

例如，参见Revuz和Yor【21】。通过^Wt=σ（θ）Zτ定义^W，^W，^B-1（t）pv（s）dWs，^Wt=σ（θ）Zτ-1（t）pv（s）DWS和^B=ρ^W+p1- ρ^W，其中τ（s）=σ（θ）Zsv（t）dt。那么，（^W，^W）是E下的二维布朗运动，对于任何平方可积函数f，Zaf（s）dWs=σ（θ）Zτ（a）f（τ-1（t））pv（τ-因此，Mθ=σ（θ）Zexp（θHFtt-η|τ-1（t）| 2H）d^btu其中ftu=ηrHσ（θ）θHZu（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s）d^Ws，u∈ [0，t]。LetG（k）t=Hk（Ftt，hFtit）。那么，我们有mθ=σ（θ）Zexp(-η|τ-1（t）| 2H）exp（θHFtt-θ2hhfit）d^Bt=σ（θ）Zexp(-η|τ-1（t）| 2H）∞Xk=0G（k）tθHkk！d^Bt.Lemma 5.1我们有（3），其中M（0）θ=^B，M（1）θ=Zhθ（t）G（1）td^Bt，M（2）θ=Zhθ（t）- 1θ2H+hθ（t）G（2）td^Bt，M（3）θ=2ZFttdt，其中hθ（t）=exp(-η|τ-1（t）| 2H）。证明：对于M（i）θ，i=0，1，2，必须显示Zhθ（t）∞Xk=JG（k）tθHkk！d^Bt= 任意J的O（θHJ）≥ 3、M（3）θ的证明类似，因此省略。It支持展示Z∞Xk=JG（k）tθHkk！dt公司= O（θ2HJ）。根据Cauchy-Schwarz不等式，左侧由∞Xk=JθHk∞Xk=JθHk（k！）ZE[| G（k）t |]dtLetG（k）t，s=Hk（Fts，hFtis），s∈ [0，t]。然后，通过（12），E[| G（k）t |]=E[| G（k）t，t |]=kZtE[| G（k-1） t，s |]dhFtis=k（k-1） 中兴通讯[| G（k-2） t，s |]dhFtisdhFtis≤ （k！）hFtikt=（k！）η|τ-1（t）| 2Hθ2H！k、 注意τ-1（t）≤ τ-1(1) = θ. 因此，对于非常小的θ，∞Xk=JθHk∞Xk=JθHk（k！）ZE[| G（k）t |]dt≤η!Jθ2HJ（1- θH）（1- θHη/4），这就完成了证明////现在我们根据引理5.1计算a（i）θ、bθ和cθ。

下面的引理由A部分的结果通过简单的计算得出。引理5.2a（1）θ（x）=-H（x）φ（x）ρηrHσ（θ）θHZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt=-H（x）φ（x）ρηrH×θHσ（θ）Zθexp(-ηt2H）Zt（t- s） H类-1/2pv（s）dsv（t）dt~ -H（x）φ（x）ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2）。引理5.3a（2）θ（x）=-H（x）φ（x）Zhθ（t）- 1θ2Hdt- H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt公司~ H（x）φ（x）Zη8θ2H |τ-1（t）| 2Hdt- H（x）φ（x）ρηH（2H+1）（2H+2）。引理5.4a（3）θ（x）=-2H（x）φ（x）ρηrHσ（θ）θHZZt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt~ -2H（x）φ（x）ρη√2H2（H+1/2）（H+3/2）。引理5.5cθ（x）=H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt+ H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dsdt+H（x）φ（x）ρηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））ds×Zthθ（u）（τ-1（u）- τ-1（t））小时-1/2pv（τ-1（t））dudt+H（x）φ（x）ηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zs（τ-1（t）- τ-1（s））小时-1/2pv（τ-1（s））dtds+H（x）φ（x）ηHσ（θ）θ2HZhθ（t）Zt（τ-1（t）- τ-1（s））2H-1v（τ-1（s））dsdt~ H（x）φ（x）ρηH2（H+1/2）（H+3/2）+H（x）φ（x）2（1+ρ）ηH（2H+1）（2H+2）+H（x）φ（x）ρηHβ（H+3/2，H+3/2）（H+1/2）+H（x）φ（x）Zη4θ2H |τ-1（t）| 2 HDT。Wiener It^o积分的条件期望我们收集了Nualart等人[18]命题3中关于Wiener It^o积分的条件期望的结果。让x∈ R和B是标准布朗运动（B=0）。设f是n（s，t）上的连续函数∈ (0, 1); s<towithZZt | f（s，t）| dsdt<∞.引理A.1E“ZZtf（s，t）dBsdtB=x#=H（x）ZZtf（s，t）dsdt，E“ZZtf（s，t）dBsdBtB=x#=H（x）ZZtf（s，t）dsdt，EZZtf（s，t）dBs！dBt公司B=x= H（x）ZZtf（s，t）ds！dt+H（x）ZZtf（s，t）dsdt，EZZsf（s，t）dBt！ds公司B=x= H（x）ZZsf（s，t）dt！ds+ZZsf（s，t）DTD。引理A.2EZZtf（s，t）dBsdBt！B=x-ZZtf（s，t）dsdt=H（x）ZZtf（s，t）dsdt！+H（x）ZZtf（s，t）ds+Ztf（t，u）du！dt。参考文献【1】Al\'os，E.，Le\'on，J.A。

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