更准确地说，如果我们写ft表示ST的密度，那么ft（x）=x-u+（T）-1+o（1），x→ ∞,和（10.2）fT（x）=x-u-（T）-1+o（1），x↓ 我们的方法（见第9节）允许在T不太大的情况下，对粗糙Heston模型的（10.1）和（10.2）右侧进行数值评估。在[13]中，（10.1）–（10.2）对于经典的Heston模型进行了大幅锐化。我们预计，对于粗糙的赫斯顿，也可以用formfT（x）的密度渐近线进行这样一个重新定义的微笑扩展~ cx公司-u+（T）-1ec（对数x）1-1/（2α）（对数x）c，x→ ∞,其中cidepend在T和α上。在经典的赫斯顿模型中，factorec（log x）1-1/（2α）变为ec√日志x，符合[13]。将[13]的分析扩展到<α<1将需要详细研究Volterra积分方程（2.9）的爆破行为。除其他事项外，我们在第7节中已经提到的[31]中的启发式分析（一个特例）必须严格，并加以扩展，以确保参数u的一致性。我们将此工作推迟到未来。请注意，在这种情况下，近似值（7.15）可能很有用。参考文献[1]E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido，A ffene Volterra过程。预印本，arxiv:1708.087962017。[2] E.Alos、J.Gatheral和R.Radoicic，《股票波动率下的条件期望指数》。预印本，https://ssrn.com/abstract=2983180, 2017.[3] L.B.G.Andersen和V.V.Piterbarg，《随机波动率模型中的矩爆炸》，金融Stoch。，11（2007），第29-50页。[4] C.拜耳、P.K.弗里兹、P.加西亚、J.马丁和B.斯坦珀，粗糙波动性的规则结构。预印本，arXiv:1710.074812017。[5] H.Brunner，《Volterra积分和相关函数微分方程的配置方法》，剑桥大学应用和计算数学专著第15卷，剑桥大学出版社，2004年。[6] ，Volterra积分方程，卷。

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