粗糙Heston模型中的矩爆炸

2022-6-6 19:16:24

虽然经典Heston模型的爆炸时间有一个明确的公式，但对于rough Heston，我们得出了一个众所周知的难题：计算第二类非线性Volterra积分方程（VIE）解的爆炸时间。目前还没有已知的通用算法，在文献中研究过的大多数情况下，只有边界可用。另一个概述见Roberts[30]。利用我们案例的具体结构，我们证明了爆炸时间是有限的当且仅当经典Heston模型是有限的，并且我们提供了一个下限和上限（第3-5节）。作为副产品，建立了分数Riccati方程（分别为VIE）对所有力矩的有效性，其在第6节中达到高潮。在第7节中，我们推导了一个算法来计算爆炸时间，并对参数进行了一些限制。所有到期日的临界时刻都是有限的（第8节），可以通过数值寻根（第9节）计算。我们的方法有两个局限性：首先，要计算临界时刻，成熟度不能太高。其次，我们的算法只能计算ρ>0时的上临界矩，而ρ<0时的下临界矩。由于后者在实践中更为重要，我们在回顾临界时刻和罢工症状之间的关系时，将重点放在隐含波动性的左翼（Lee’s矩公式；见第10节）。文献[10]中的推论3.1与我们的结果相关。对于每个成熟度，它给出了关键时刻的显式下界和上界。将其反转，会在爆炸时间内产生一个较低的边界；后者无法与我们的界限相比。2.PreliminariesEl Euch和Rosenbaum【9】在Rougheston模型中建立了对数价格Xt=对数（St/S）的矩母函数（mgf）的半显式表示。

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2022-6-6 19:16:27

mgf由（2.1）E【euXt】=exp给出\'vλItψ（u，t）+vI1-αtψ（u，t）,其中ψ满足分数Riccati微分方程（见下文）。约束ρ∈ (-1/√2, 1/√2] 最近在[10]中删除了[9]中的。论文[2]包含分数阶Riccati方程的另一种推导方法，[1]有更一般的结果，将粗糙的Heston模型嵌入到新的一类of fine Volterra过程中。回想一下以下定义（参见示例[21]）：粗略赫斯顿模型3De定义2.1中的瞬间爆炸。（左侧）Riemann-Liouville分数阶积分Iαtof阶α∈ (0, ∞) （2.2）Iαtf（t）：=Γ（α）Zt（t- s） α-1f（s）dS无论何时积分存在，（左侧）Riemann-Liouville分数阶导数Dαtof阶α∈ f的[0，1）由（2.3）Dαtf（t）：=ddtI1给出-αf（t），只要该表达式存在。（分数导数Dαtca也可以定义为α>1，但在我们的上下文中并不需要。）（2.1）中的函数ψ是分数Riccati初值问题的唯一连续解，αtψ（u，t）=R（u，ψ（u，t）），（2.4）I1-αtψ（u，0）=0，（2.5），其中R定义为（2.6）R（u，w）=c（u）+c（u）w+cw，系数c（u）=u（u- 1），c（u）=ρξu- λ、 c=ξ>0。对于α=1，这将成为一个标准的Riccati微分方程，它允许使用所有已知的显式解【14，第2章】。R（u，·）的根位于点C(-e（u）±pe（u）），其中e（u）：=c（u）=（ρξu- λ），（2.7）e（u）：=e（u）- cc（u）=e（u）-ξu（u- 1).（2.8）以下与分数阶微分方程和Volterra积分方程相关的结果是[21]中定理3.10的特例。定理2.2。

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2022-6-6 19:16:30

Letα∈ （0，1），T>0，假设ψ∈ C[0，T]和H∈ C（R）。然后ψ满足分数微分方程dαtψ（t）=H（ψ（t）），I1-αtψ（0）=0当且仅当满足Volterra积分方程（VIE）ψ（t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1H（ψ（s））ds。利用定理2.2，初始值为（2.5）的Riccati微分方程（2.4）可以转化为非线性Volterra积分方程ψ（u，t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1R（u，ψ（u，s））ds。文献[9]中使用该积分方程数值计算ψ。函数f（u，t）：=cψ（u，t）4 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD PINTERsolves（2.9）f（u，t）=Γ（α）Zt（t- s） α-1G（u，f（u，s））d具有非线性yg（u，w）=cR（u，w/c）=（w+e（u））- e（u），（2.10），其中e（u）和e（u）在（2.7）和（2.8）中定义。方程（2.9）是一个具有弱奇异核的非线性Volterra积分方程；在第3节中，它将用于分析f（以及ψ）的爆破行为。我们引用了这类方程的以下标准存在唯一性结果。定理2.3。Letα∈ （0，1），克∈ C[0，∞), 假设H:R→ R是局部Lipschitz连续的。然后是T*∈ (0, ∞] 使得Volterra积分方程ψ（t）=g（t）+Zt（t- s） α-1H（u（s））ds在[0，T]上有唯一的连续解ψ*), 在任何较大的右开区间上都没有连续解[0，T**).证据对于T>0的非常小的区间[0，T]上的存在性和唯一性，参见Brunner最近的专著[6]中的定理3.1.4。此处也讨论了最大右开区间的延续（第107页；另见Gripenberg等人[19]第12节）。在[9]中，建立了u的分数Riccati方程∈ iR，而我们对u感兴趣∈ R、（2.4）–（2.5）和（2.9）的调整∈ R取决于[10]的结果以及f（u，t）对u的解析依赖关系。详情请参见第5节和第6节。

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2022-6-6 19:16:33

我们写（2.11）T*α（u）：=sup{t≥ 0:E【Sut】<∞}, u∈ R、目前，粗略的赫斯顿模型中的爆炸时间。在经典情况下（α=1），显式表达式t*（u） =（R∞R（u，w）dw，R（u，·）在[0]上没有根，∞),∞, 否则，（2.12）=√|e（u）|π- 阿尔茨坦e（u）√|e（u）|, e（u）<0，√e（u）日志e（u）+√e（u）e（u）-√e（u）, e（u）≥ 0，e（u）>0，∞, e（u）≥ 0，e（u）<0，（2.13）已被Andersen和Piterbarg发现[3]（另见[20]）。这是显式特征函数的结果，它不适用于粗糙的Hestonmodel。我们区分以下情况：∈ R：（A）c（u）>0，e（u）≥ 0，（B）c（u）>0，e（u）<0和e（u）<0，（c）c（u）>0，e（u）<0和e（u）≥ 0，（D）c（u）≤ 由于我们的一些结果涉及ρ<0和u满足的情况（A），因此我们明确了ρ<0的notecase（A）：u≤λρξ.ROUGH HESTON模型5中的力矩爆炸注意，（A）和（B）组合的情况正是力矩爆炸时间T*（u）在经典的赫斯顿模型中，由（2.13）确定。我们现在可以陈述我们的第一个主要结果。定理2.4。对于u∈ R、瞬间爆炸时间T*粗糙Heston模型的α（u）是有限的，当且仅当u满足（A）或（B）。这相当于T*（u）（经典赫斯顿模型的爆炸时间）有限。定理2.4的证明包括两个主要部分。首先，命题3.2、3.4、3.6和3.7讨论了（2.9）的解在（A）（D）情况下的爆破行为，引理3.8表明f的爆破（毫不奇怪）导致（2.1）右侧的爆破。其次，我们在第5节中证明了f（u，·）（2.9的解）的爆炸时间与T一致*α（u）（拉夫赫斯顿模型的爆炸时间）对于所有u∈ R、如定理2.3之后所述，从现有文献的结果来看，这不是显而易见的。3.

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2022-6-6 19:16:36

Volterra积分方程的爆炸时间我们首先引用Brunner和Yang[7]的结果，该结果描述了由正函数和递增函数定义的非线性Volterra积分方程的爆炸行为。我们注意到，我们随后的证明（从命题3.2开始）中的一些论点与[7]中使用的论点相似。或者，可以扩展[16]附录A中的论点；这里，u is in[0，1]。提案3.1。假设G：[0，∞) → [0, ∞) 是连续的，以下条件保持不变：（G1）G（0）=0，G严格递增，（G2）limw→∞G（w）/w=∞,（P） φ：[0，∞) → (0, ∞) 是一个正的、非递减的连续函数，（K）K：（0，∞) → [0, ∞) 是局部可积的，K（t）：=Rtk（z）dz>0是一个非递减函数。此外，假设限制→∞φ（t）=∞ k（z）=czα-1α>0，c>0。那么Volterra积分方程的解h（t）=φ（t）+Ztk（t- s） G（h（s））ds在有限时间内爆炸当且仅当（3.1）Z∞UwG（w）1/αdww<∞对于所有U>0。证据这是Brunner和Yang[7]中推论2.22的一个特例，G不依赖于时间。在案例（A）中，命题3.1的所有假设均已满足，仅需检查可积性条件（3.1），以确定（2.9）的解f是否在有限时间内爆炸。提案3.2。在（A）的情况下，（2.9）的溶液f从0开始，随后为正，并在有限时间内爆炸。证据修复u∈ R使得c（u）>0和e（u）≥ 0、注意e- e> 本例中为0。

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2022-6-6 19:16:39

（在这里和下面，我们通常会在符号中抑制u。）如果we6 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD Pinter将Volterra积分方程（2.9）写成f（t）=φ（t）+Ztk（t- s）非线性的G（f（s））Ds G（w）=w+2ew且φ（t）=e-eΓ（1+α）tα，使用（2.10）和（7.3），然后条件c>0和e≥ 0保证φ和'G为正，并且在（0，∞) φ（0）=G（0）=0。因此，对于正值，解f为正值，且f（0）=0。（正性来自于[7]中的引理2.4，或[6]中的引理3.2.11。）很容易检查命题3.1的所有假设（G1）、（G2）、（P）和（K）是否满足。此外，limt→∞φ（t）=∞ andZ公司∞Uw'G（w）1/αdww≤Z∞华盛顿大学-1.-1/αdw<∞对于所有U>0。根据命题3.1，解f在有限时间内爆炸。在（B）情况下，命题3.1不能直接应用于（2.9）的解f。因此，必须对Volterra积分方程进行修改，以满足命题3.1的假设，即f仍然是修改后方程的亚解，即f满足（2.9）“≥” 而不是“=”。首先，我们提供了解和子解的比较引理。引理3.3。设G:[0，∞) → (0, ∞) 是严格递增的连续函数，T＞0。假设g是Volterra积分方程g（t）=Ztk（t）的唯一连续解- s） G（G（s））ds，t∈ [0，T]，其中k满足命题3.1中的条件（k）。如果f是一个连续的次分辨率，f（t）≥Ztk（t- s） G（f（s））ds，t∈ [0，T]，然后是f（T）≥ g（t）适用于所有t∈ [0，T]。证据对于任何c∈ （0，T）定义fc（T）：=f（T+c）表示T∈ [0，T- c] 。从G的正性可以看出，fc（0）=f（c）>0和fc（t）≥Ztk（t- s） G（fc（s））ds，t∈ [0，T- c] 。由于g（0）=0，因此g（0）<fc（0）。我们想在整个间隔[0，T]上显示g<fc- c] 。

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2022-6-6 19:16:43

因此，假设t∈ （0，T- c] 存在，因此0≤ g（s）<fc（s）（对于所有s）∈ [0，t）和g（t）=fc（t）。然而，由于g严格地增加，我们有0=fc（t）- g（t）≥Ztk（t- s）G（fc（s））- G（G（s））ds>0，这是一个矛盾。因此，不等式g（t）<fc（t）=f（t+c）适用于所有t∈ [0，T- c] 。自c起∈ （0，T）是任意的，结果很容易得出。提案3.4。在（B）的情况下，（2.9）的溶液f从0开始，随后为正，并在有限时间内爆炸。证据修复u∈ R使得c（u）>0，e（u）<0，e（u）<0。注意，在这种情况下，非线性G明显为正（2.10）。然而，严格来说，G是粗略赫斯顿模型7中的力矩爆炸，在[0，-e] 。为了解决这个问题，让0<a<-定义修改后的非线性“Gaas（3.2）”Ga（w）=（wa+ee+a，0≤ w<-e、 G（w），w≥ -e、然后是一个正的、严格递增的Lipschitz连续函数，从a和Ga开始≤ G、设f为Volterra积分方程（3.3）的唯一连续解（回忆定理2.3）(R)f（t）=Ztk（t- s） \'Ga（\'f（s））ds=φ（t）+Ztk（t- s） \'G（\'f（s））DSG=\'Ga-a和φ（t）=aΓ（1+α）tα。请注意，（3.3）中的第二个等式位于（7.3）之后。由于φ和'G的正性（0，∞), 溶液f在（0，∞) 也函数φ、G和k满足命题3.1中的假设（G1）、（G2）、（P）和（k）。此外，limt→∞φ（t）=∞ 和“G满意度”（3.1）。根据命题3.1，“f”在限定时间内爆炸。因为f满意度（2.9）和“Ga”≤ G、因此，f是修正Volterra积分方程的一个子解，即f（t）≥Ztk（t- s） \'Ga（f（s））ds。引理3.3意味着f≥\'f。因此，f也会爆炸。情况（C）和（D）是指（2.9）中的溶液f在一定时间内不会爆炸的情况。事实上，正如我们将看到的，f根本不会爆炸。

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2022-6-6 19:16:46

下面的引理为这两种情况提供了关键论点。引理3.5。设G:[0，∞) → [0, ∞) 是在[0，a）和G上正的Lipschitz连续函数≡ [a]上的0，∞) 对于a>0。那么Volterra积分方程的唯一连续解f（t）=Ztk（t- s） G（f（s））数据统计0≤ f（t）≤ a代表所有t≥ 0.证明。G的非负性意味着f≥ 假设t>0的存在使得f（t）>a。通过f的连续性，存在满足f（t）=a和f（s）>a的0<t<t∈ （t，t）。来自G≡ [a]上的0，∞), 我们有ZTTK（t- s） G（f（s））ds=0。因为G是非负的，k是递减的，所以0<f（t）- f（t）=Zttk（t- s） G（f（s））ds+Ztk（t- s）- k（t- s）G（f（s））ds=Ztk（t- s）- k（t- s）G（f（s））ds≤ 0，这是一个矛盾。因此，f满足0≤ f（t）≤ a代表所有t≥ 0提案3.6。在（C）的情况下，（2.9）的解f是非负且有界的，并且全局存在。8 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。修复u∈ R使得c（u）>0，e（u）<0和e（u）≥ 0。请注意，它们的内部质量为0≤ e=e- cc<eimplies a：=-e-√e> 0。此外，从（2.10）可以看出，a是G的最小正根。定义非线性“气体”G（w）：=（G（w），0≤ w≤ a、 0，w>a。那么，G是从e开始的非负Lipschitz连续函数-e> 0。因此，引理3.5得出的唯一连续解f（t）=Ztk（t- s） \'G（\'f（s））D以0为界≤\'f（t）≤ a代表所有t≥ 0。由于[0，a]上的“G=G”，函数“f”求解原始Volterra积分方程“f（t）=Ztk（t- s） G（\'f（s））d，从解的唯一性，我们得到f=\'f。提案3.7。在（D）的情况下，（2.9）的解f是非正且有界的，并且全局存在。证据修复u∈ R使得c（u）≤ 0，相当于u∈ [0, 1]. 注意e=e-cc>e>0表示：=√e-e> 0。此外，从（2.10）可以看出，a是G的最小正根。

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2022-6-6 19:16:49

定义f-:= -f、满足（3.4）f-（t） =-Ztk（t- s） G级(-f-（s））ds。如果我们将非线性G定义为G（w）：=(-G级(-w），0≤ w≤ a、 0，w>a，则'G是从e开始的非负Lipschitz连续函数- e> 0。利用引理3.5，我们得到了f（t）的唯一连续解f=Ztk（t- s） \'G（\'f（s））D以0为界≤\'f（t）≤ a代表所有t≥ 0。此外，f解（3.4），因为G（w）=-G级(-w）对于所有w∈ [0，a]。解的唯一性产生'f=f-= -f、因此，解f的界为-一≤ f（t）≤ 0我们已经证明，（A）和（B）正是Volterra积分方程（2.9）的解，以及初始值为（2.5）的分数阶Riccati微分方程（2.4）的解ψ在有限时间内爆炸的情况。下面的引理表明ψ的爆破等价于（2.1）右侧的爆破。引理3.8。如果f是一个非负的连续函数，在有限时间内爆炸，爆炸时间为T，那么Iαtf也在有限时间内爆炸，爆炸时间为T。如果f是有界连续函数，则Iαtf在有限时间内不会爆破。粗糙的赫斯顿9Proof模型瞬间爆炸。首先，假设非负连续函数f在^T处爆炸，且M>0。然后我们可以找到ε∈ （0，^T/2）使得f（T）≥ M代表全部∈ （^T- ε、 ^T）。因此，Iαtf（t）≥ZtT公司*-εk（t- s） f（s）ds≥ M（^T- ε)αΓ(1 + α)≥ M（^T/2）α（1+α）表示所有T∈ （^T- ε、 ^T）。对于第二个断言，假设f是连续的，并且以M>0为界。那么我们有| Iαtf（t）|≤所有t的MΓ（1+α）tα≥ 0爆炸时间的界限我们现在为^Tα（u）建立下限和上限，只要它是有限的（案例（A）和（B））。我们用^Tα（u）表示（2.9）的溶液f（u，·）的爆炸时间。

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2022-6-6 19:16:52

正如我们稍后将看到的，它与T一致*α（u），因此该部分的两个边界都适用于粗糙赫斯顿模型的爆炸时间。我们首先证明它们，因为我们将在T的证明中应用下界*α（u）=^Tα（u）。定理4.1。在（A）和（B）情况下，（2.9）的溶液f（u，·）的爆破时间^Tα（u）满足（4.1）^Tα（u）≥ Γ（1+α）1/αmaxr>1（rα- 1） 1/αr（r- 1） Z∞a（u）wG（u，w）1/αdww，其中（a）情况下a（u）=0，且a（u）=-在情况（B）中，e（u）>0。证据修复满足情况（A）或（B）要求的u。从命题3.2和3.4可以看出，在任何一种情况下，解f都是非负的，从0和limt开始↑^Tαf（T）=∞. 对于任意n∈ Nchoosetn：=最小值{t>0:f（t）=（crn）α+a}，r>1，c>0。使用不等式k（tn-s） <k（tn-1.-s）对于s∈ （0，tn-1），G的非负性，G在[a]上严格递增，∞), 我们有forn∈ Nf（tn）=Ztn-1k（tn- s） G（f（s））ds+ZTNTNT-1k（tn- s） G（f（s））ds≤ f（tn-1） +G（f（tn））ZTNTNTN-1k（tn- s） ds=f（tn-1） +Γ（1+α）G（f（tn））（tn- 田纳西州-1)α.10 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERThus，我们获得的n∈ Ntn公司- 田纳西州-1.≥ Γ(1 + α)1/αf（tn）- f（tn-1） G（f（tn））1/α=Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αcrn-1G（（crn）α+α）1/α=Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） ·crn+1- crnG（（crn）α+a）1/α≥ Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） Zcrn+1crnG（sα+a）1/αds。最后，^Tα=T+∞Xn=1（tn- 田纳西州-1)≥ Γ（1+α）1/α（rα- 1） 1/αr（r- 1） Z∞cr公司G（sα+a）1/αds。最大化c>0，然后r>1，并且替代w=sα+a产生Inequality（4.1）。对于α↑ 1，（4.1）简单到（4.2）Z的右侧∞a（u）G（u，x）dx=Z∞a（u）/cR（u，x）dx。在情况（A）中，下限（4.1）在极限α中是尖锐的↑ 1：我们有一个（u）=0，因此（4.2）正是经典赫斯顿模型的瞬间爆炸时间（2.12）。^Tα的另一个下界可从[10]的推论3.1中获得。数值例子表明，它与定理4.1的界不可比。定理4.2。

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2022-6-6 19:16:55

在（A）和（B）情况下，（2.9）的溶液f（u，·）的爆破时间^Tα（u）满足（4.3）^Tα（u）≤ 4Γ（1+α）1/αZ∞w^G（u，w）1/αdww，式中（A）中的^G=G，以及^G≡ -eon[0，-e）和^G=G开[-e∞) 案例（B）。证据修复满足情况（A）或（B）要求的u。根据命题3.2和3.4，在任何一种情况下，解f都是正的（0，∞), 从0和极限开始↑^Tαf（T）=∞. 对于任意n∈ n选择（4.4）tn：=最大{t<tα：f（t）=（crn）α}，r>1，c>0。（A）中的定义“G：=G”，而（B）中的定义“G：=”Ga来自（3.2）。自'G≤ G和'G是正的，并且严格递增，对于n∈ Nf（tn）≥Ztnk（tn- s） \'G（f（s））ds≥Ztntn公司-1k（tn- s） \'G（f（s））ds≥Γ（1+α）(R)G（f（tn-1））（tn- 田纳西州-1)α.粗糙HESTON模型中的矩爆炸11因此，我们得到了n∈ Ntn公司- 田纳西州-1.≤ Γ(1 + α)1/αf（tn）(R)G（f（tn-1))1/α=Γ（1+α）1/αcrn'G（（crn-1） α）1/α=Γ（1+α）1/αrr- 1·crn-1.- crn公司-2？G（（crn-1)α)1/α≤ Γ（1+α）1/αrr- 1Zcrn公司-1科恩-2.\'G（sα）1/αds。因此，^Tα=T+∞Xn=1（tn- 田纳西州-1)≤ t+Γ（1+α）1/αrr- 1Z∞cr公司-1.\'G（sα）1/αds。请注意，从t的定义来看，它取决于c>0和r>1。事实上，在t=0时，fis仅为零，这意味着t→ 0作为c↓ 0.接受极限c↓ 0，然后在r>1上最小化，替换w=sα产生^Tα≤ 4Γ（1+α）1/αZ∞w'G（w）1/A dwwIn案例（A），我们完成了。在（B）的情况下，我们得到了'G='Ga。然后，a的支配收敛定理↑ -埃耶尔德不等式（4.3）。这些界限的数值示例见图1-3。5、爆炸时间在粗略的赫斯顿模型中，我们在第3节中确定了（2.1）的右侧，使用VIE（2.9）的解决方案f定义，当且仅当满足情况（A）或（B）的条件时爆炸。如前所述，我们将f（u，·）的爆炸时间写成^Tα（u）。回想一下T*α（u）表示粗糙赫斯顿模型的爆炸时间，如第（2.11）节所述。

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2022-6-6 19:17:00

本节的目的是说明^Tα（u）=T*α（u），且（2.1）适用于所有u∈ R和0<t<t*α（u）。在介绍的最后，已经提到了[10]中的以下结果。引理5.1（推论3.1 in【10】）。对于每一个t>0，都有一个开放区间（2.1）适用于该区间中的所有u。引理5.2。Volterra积分方程（2.9）的解f是不同的。r、 t.u及其衍生产品满意度f（u，t）=Zt（t- s） α-1Γ(α)G（u，f（u，s））+G（u，f（u，s））f（u，s）ds。（5.1）证明。我们检查了Gripenberg等人[19]中定理13.1.2的要求。多项式G（u，w）是可微分的。内核（t- s） α-1/Γ（α）=：k（t- s）是[19]意义上的连续类型；见定理12.1.1的备注，其中说明了k的局部可积性是该性质的一个有效条件。引理5.3。（i）如果（A）我们有f（u，t）<0表示u<0，且f（u，t）>0表示u>0。（ii）如果u满足情况（B），那么如果^Tα（u）也同样适用-t非常小。12 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。我们只讨论u<0的情况，因为u>0是类似的。（i）注意，（5.1）是一个“线性可变利益实体”，可以写成（5.2）f（u，t）=g（t）+Zt（t- s） α-1K（u）（t，s）f（u，s）ds，其中我们定义（t）：=Zt（t- s） α-1Γ(α)G（u，f（u，s））ds，（5.3）K（u）（t，s）=K（u）（s）：=G（u，f（u，s））Γ（α）（5.4），使符号接近[5]中第6.1.2节的符号。显然，（5.2）不是真正的线性VIE，因为未知函数f出现在g和K（u）中。但我们的目标不是解决它，而是控制f、这个观点很好。与案例（A）一样，我们从c（u）>0和e（u）得到≥ 0该u≤ λ/(ρξ) < 0.此外，我们有e（u）=ξρ/2<0，c（u）=u- 1/2<0，因此前（u，s）e（u）+cc（u）<0，因为c=ξ/2>0和f（u，s）≥ 提案3.2中的0。

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kedemingshi

2022-6-6 19:17:03

由此我们获得G（u，f（u，s））<0，因此所有t的G（t）<0∈ [0，T*α（u））。根据runner[5]的定理6.1.2，我们可以用预解核Rα（·，·），（5.5）表示（5.1）的解f（u，t）=g（t）+ZtRα（t，s）g（s）ds。预解核具有显式表示（见[5]）（5.6）Rα（t，s）=（t- s） α-1.∞Xn=1Qα，n（t，s），其中Qα，1（t，s）：=K（u）（t，s）=K（u）（s），Qα，n（t，s）：=（t- s）（n）-1） αΦα，n（t，s），n≥ 2，Φα，n（t，s）：=K（u）（s）Z（1- z） α-1z（n-1)α-1Qα，n-1（t，s+（t- s） z）dz，n≥ 2.（5.7）从预解核的这种表示，以及（5.4）在（A）情况下非负的事实，很明显Rα≥ 由于g<0，因此我们从（5.5）得出以下结论：f（u，t）<0表示所有t∈ [0，^Tα（u））（ii）回想一下，我们假设u<0，因为u>0是类似的。我们必须说明（5.8）τ（u）：=inf{0<T<^Tα（u）：f（u，·）<0 on（t，^tα（u））}满足τ（u）<^tα（u）。我们使用以下事实：G（u，w）<0表示w大，G（u，w）>0表示w大，f（u，t）爆炸为t↑^Tα（u）。因此，g来自（5.3）满意度（5.9）极限↑^Tα（u）g（T）=-∞,和K（u）满足极限↑^Tα（u）K（u）（T）=+∞. 因此，我们可以选择ε>0，使得对于^tα（u），g（t）<0，K（u）（t）>0- ε ≤ t<^tα（u）。粗糙HESTON模型13Z中的力矩爆炸∈ [0，1]和满足^tα（u）的任何s，t<^tα（u）- ε ≤ s≤ t、我们有S+（t- s） z≥ s≥^Tα（u）- ε.使用（5.7）中的观察结果，我们从一个简单的归纳证明中看到，qα，n（t，s）>0，n≥ 1，^Tα（u）- ε ≤ s≤ t<^tα（u）。这同样适用于预解核（5.6），（5.10）Rα（t，s）>0，^tα（u）- ε ≤ s≤ t<^tα（u）。通过（5.5），我们得到（5.11）f（u，t）=g（t）+Zt-εRα（t，s）g（s）ds+Ztt-εRα（t，s）g（s）ds。现在请注意（5.12）Zt公司-εRα（t，s）g（s）ds -Ztt公司-εRα（t，s）g（s）ds as t↑^Tα（u），其中右侧为正。实际上，（5.12）源自（5.9）和（5.10），因为（5.12）左侧的g（s）是O（1）。

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2022-6-6 19:17:06

因此，让t↑^Tα（u），我们发现负项g（T）+Rtt-ε在（5.11）的右侧占优势。这就完成了证明。引理5.4。让u∈ R和0<t<^tα（u）。那么f（·，t）在u证明下是解析的。根据【6】中的第3.1.1节，可以通过连续迭代和延拓来构造解。我们只是表明，第一个迭代步骤导致了一个解析函数，因为到达任意t<^tα（u）所需的更多步骤可以类似地处理。定义迭代f=0和fn+1（v，s）：=Γ（α）Zs（s- τ)α-1G（v，fn（v，τ））dτ，n≥ 在一个非常小的时间间隔内，fn（v，·）一致收敛到f（v，·），然后可以通过求解更新的积分方程等方法继续求解（见[6]），直到我们达到^Tα（v）。现在，用引理的陈述来表示u和t。对于一个非常小的开放复杂邻域U 3 U，很容易看出T<^Tα（v）对v成立∈ U、定义γ：=1∨ supv公司∈U | v |和η：=1∨tαΓ（α+1）。然后是c≥ 1这样，对于任意v∈ U和w∈ C、 | G（v，w）|≤ c（| w）|∨ 1)∨ γ（| w |∨ 1) ∨ γ≤ cγ（| w|∨ 1） =：θ（| w |∨ 1).通过fn的定义，一个简单的归纳证明表明（5.13）supv∈我们∈[0，t]| fn（v，s）|≤ （θη）n-1，n≥ 根据参数积分的标准结果（文献[11]中的定理IV.5.8），界限（5.13）意味着每个函数fn（·，t）都是以U为单位解析的。从文献[6]第3.1.1节的界限来看，很容易看出收敛性fn（v，t）→ f（v，t）是局部均匀的。r、 t.v表示固定t。众所周知（见[18]中的定理3.5.1），这意味着极限函数f（·，t）是解析函数。引理5.5。功能u 7→^Tα（u）随u增加≤ 0，u减小≥ 1.14 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERProof。回想一下，^Tα（u）=∞ 在情况（C）和（D）中，包括u∈ [0, 1]. 对于案例（A），这个断言来自引理5.3的第（i）部分。

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2022-6-6 19:17:09

让u满足情况（B），这里我们再次假设w.l.o.g.，u<0。假设^Tα（·）不增加。然后我们可以选取u<0，使得u的任何左邻域都包含一个点u，其^Tα（u）>^Tα（u）。从连续性f（见引理5.4），引理5.3的第（ii）部分，以及（5.8）中τ的连续性，有u<usatising^Tα（u）>^Tα（u）和T<^Tα（u），使得矩形{（u，t）：u中的f（u，t）<0≤ u≤ u、 t型≤ t<^tα（u）}。那么，limt↑^Tα（u）f（u，T）=∞ 意味着（5.14）极限↑^Tα（u）f（u，T）=∞,因为不平等f（u，t）<0表明f（u，·）的爆炸速度必须至少与f（u，·）一样快。但（5.14）与^Tα（u）>^Tα（u）是矛盾的。引理5.6。让u∈ R和0<t<^tα（u）。那么（2.1）成立，其中（如上）f=cψ，f（u，·）是（2.9）的解。证据我们假设u<0，作为u≥ 0的处理方式类似。引理5.5，u 7→^Tα（u）增加。在这个证明中，我们为（2.1）的右侧写M（u，t），为mgf写M（u，t）=E[euXt]。现在fix u<0和0<t<^tα（u），使得（u，t）与递增函数^tα（·）的图有正距离。显然，它需要考虑具有此属性的对（u，t）。根据引理5.1，有v-< v+使（5.15）M（v，t）=▄M（v，t），v-< v<v+。我们现在证明（5.15）扩展到u≤ v≤ v+通过解析延拓。根据特征函数的一般结果（文献[34]中的定理II.5a和II.5b），v 7→~M（v，t）在垂直条带w中是解析的-< 复平面的Re（v）<w+，且在v=w处具有奇点-. 如果我们假设w-> u、引理5.4导致了一个矛盾：（5.15）的左侧将在v=w时进行分析-,右边单数。这表明，通过解析延拓，可以将（5.15）扩展到最左边的u。下面的定理完成了定理2.4的证明。定理5.7。让u∈ R、则^Tα（u）=T*α（u）和（2.1）保持0<t<t*α（u）。证据

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2022-6-6 19:17:12

根据引理5.6，只剩下证明^Tα（u）≥ T*α（u）。（显然，引理5.6意味着^Tα（u）≤ T*α（u）。）但从地图t 7的连续性可以清楚地看出这一点→~M（u，t）=间隔（0，t）上的E【euXt】*α（u））。此连续性源自t 7的连续性→ Xt，Doob的次鞅不等式，并支配收敛。为了以后使用（第9节），我们给出了以下替代论点：另一个证明是^Tα（u）≥ T*α（u）。让我们假设有uwith^Tα（u）<T*α（u）。从定理4.1很容易看出，连续函数u 7→^Tα（u）倾向于+∞ 当u<0接近^Tα（u）=∞. 因此，有u>uw，其中^Tα（u）<^Tα（u）<T*α（u）。我们在引理5.4中看到，u 7→ f（u，t）对任何固定t都是解析的。但它对固定u也是解析的w.r.t。根据Lubich[27]中的定理1，它本身基于Miller和Feldstein[28]早期的工作，因此f（u，·）对整个区间（0，^tα（u））是解析的。根据哈托格斯定理（文献[22]中的定理1.2.5），粗糙赫斯顿模型15中的weMOMENT爆炸得出结论，二元函数f（·，·）是连续的。因此，^Tα（u）处的爆破（u，·）意味着（5.16）limu↓uM（u，^Tα（u））=∞.（同样，我们在（2.1）的右侧写M，在mgf的右侧写M。）ByLemma 5.6，~M（·，^Tα（u））也在那里爆炸，因此在u处有一个奇点。由于u<u，我们从推论II得出结论。[34]中的1b，即M（u，^Tα（u））=∞.当S=存在鞅时，这意味着M（u，t）=∞ 对于所有t≥^Tα（u）。特别是，它与^Tα（u）<T相矛盾*α（u）。分数Riccati方程对复杂UAL的有效性尽管本文的重点是实际u，但当用于期权定价时，需要在复杂参数下评估mgf。下面的结果完全符合分数Riccati方程（2.4），分别是VIE（2.9），因此。

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2022-6-6 19:17:14

如上所述，我们写T*α（u）表示S的瞬间爆炸时间，^Tα（u）表示VIE的爆炸时间（2.9）。定理6.1。让u∈ C、然后T*α（u）=T*α（Re（u）），和（2.1）保持0<t<t*α（u）。引理6.2。让u∈ C、然后^Tα（u）≥ T*α（u）。证据假设^Tα（u）<T*α（u）。VIE（2.9）转化为（Re（f），Im（f））的二维真实VIE。As^Tα（u）<∞, 我们从[19]中的定理12.1.1得到，（Re（f），Im（f））分解为t↑^Tα（u）。这与7的连续性相矛盾→ E【euXt】，其中后者如定理5.7的证明所示。定理6.1的证明。第一条语句从| euXt |=eRe（u）Xt中清晰可见。现在，lett>0是任意的。如上所述，我们为（2.1）的mgf和右手侧分别写▄M和M。根据定理5.7，对于实区间中的v，我们有M（v，t）=~M（v，t）：={v∈ R:T*α（v）≥ t} 。函数M（·，t）在条带（6.1）{v上是解析的∈ C：Re（v）∈ 一} ={v∈ C:T*α（v）≥ t} 。根据引理5.4中的相同论点，函数M（·，t）在集合{v上是解析的∈ C：^Tα（v）≥ t} ，其中包含引理6.2的条带（6.1）。因此，通过解析延拓，M（·，t）和▄M（·，t）同意（6.1）。这意味着评估。计算爆炸时间回想一下，对于固定的u∈ R、爆炸时间T*粗糙赫斯顿模型的α（u）是f（t）=f（u，t）=cψ（u，t）的爆破时间，其中ψ解决了分馏里卡蒂初值问题（2.4）–（2.5）。从定理2.4我们知道，T*α（u）<∞ 在第2节中定义的（A）和（B）情况下。我们现在开发了一种方法（算法7.5）来计算T*α（u）表示u满足情形（A）的条件。在案例（B）中，可以计算出一个下限，这个下限有时比明确的下限（4.1）更尖锐。

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2022-6-6 19:17:19

函数f满足分数Riccati方程（7.1）Dαf=D+df+f，16 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter，其中D（u）：=c（u）cand D（u）：=c（u），初始条件为I1-αf（0）=0。（回想一下，我们经常在符号中抑制对u的依赖。）我们尝试使用分式幂级数ansatz（7.2）f（t）=∞Xn=1an（u）tαnw，系数未知an=an（u）。引理7.1。（参见例[21]）Letα∈ (0, 1). 对于ν>-1，（7.3）Dαttν=tν-αΓ(ν + 1)Γ(ν - α+1）对于ν>-1 + α.（7.4）通过（7.3），分数幂级数（7.2）（形式上）满足初始条件（2.5）。将（7.2）插入（7.1）并使用（7.4），我们得到∞Xn=0an+1vn+1tαn=d+∞Xn=1dantαn+∞Xn=2n-1Xk=1akan-ktαn=d+datα+∞Xn=2dan+n-1Xk=1akan-ktαn，（7.5），其中vn：=Γ（αn+1）Γ（αn- α + 1).注意，VN是一个递增序列；这很容易从以下事实得出oΓ是凸的（参见[32]中的示例11.14）。根据斯特林公式，vn~ （αn）α表示n→ ∞.从（7.5）中，我们得到了an=an（u）：a（u）=d（u）/v，（7.6）an+1（u）=vn+1的卷积递推d（u）和（u）+n-1Xk=1ak（u）an-k（u）, n≥ 1.（7.7）因此，函数f可以表示为f（u，t）=f（u，tα），其中f（u，z）：=∞Xn=1an（u）zn。引理7.2。让u∈ R、满足案例（A）（回顾第2节中的定义）。然后F（u，·）在零处解析，具有正且有限的收敛半径R（u）。证据为了证明收敛半径为正，我们证明了存在isA=A（u）>0，使得（7.8）| an |≤ Annα-1，n≥ 1.（添加因子nα-1此几何界限有助于归纳证明。）我们有α-α| d | n-1（n+1）α-1+2α-αΓ（α）nα-1Γ（2α）（n+1）α-1.→2α-αΓ（α）Γ（2α），n→ ∞.选择nsuch，使左侧为≤ 3α-所有n的αΓ（α）/α（2α）≥ n、并使2vn≥ （αn）α表示所有n≥ n

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可人4

2022-6-6 19:17:23

后者是可能的，因为vn~ （αn）α。用a固定数字a≥ 3α-αΓ（α）/Γ（2α），这样Annα-1.≥ |粗糙的HESTON 17型中的| holdsMOMENT爆炸1≤ n≤ n、让n≥ nand归纳地假设| ak |≤ Akkα-1等待1≤ k≤ n、从递归（7.7）中，我们得到| an+1 |≤ 2（αn+α）-α| d | Annα-1+Ann-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.≤ 2（αn）-α| d | Annα-1+Ann-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.自xα起-1（n- x） α-1是（0，n）上x的严格凸函数，最小值为atn/2，很容易看出n-1Xk=1kα-1（n- k） α-1.≤Znxα-1（n- x） α-1dx=n2α-1Zyα-1(1 - y） α-1=Γ（α）Γ（2α）n2α-1，其中最后一个等式来自已知的beta函数在gamma函数方面的表示（见[33]中的12.41）。我们得出| an+1 |≤ 2α-α| d | Ann-1+2α-αΓ（α）Γ（2α）Annα-1=An（n+1）α-1.2α-α| d | n-1（n+1）α-1+2α-αΓ（α）nα-1Γ（2α）（n+1）α-1.≤ An（n+1）α-13α-αΓ(α)Γ(2α)≤ An+1（n+1）α-这就完成了（7.8）的归纳证明。收敛半径的完整性将取决于数量B=B（u）>0的存在，因此（7.9）a≥ Bn，n≥ 为此，定义：=d+n- 1vn+1，n≥ 根据斯特林公式，我们有rn/rn-1= 1 + (1 - α） /无+无（n-2）作为n→ ∞, 因此最终会增加。让n≥ 2应确保n的Rn增加≥ n、 anddefineb：=最小值{rn，a，a1/2，…，a1/nn}。该数字满足≥ BN代表n≤ nby定义。让我们来确定一些n≥ nand假设，归纳地，ak≥ BK保持1≤ k≤ n、（7.7）an+1≥vn+1（dBn+（n- 1） Bn）=Bnrn≥ Bnrn公司≥ Bn+1。因此，（7.9）由归纳法证明。18 STEFAN GERHOLD，CHRISTOPH GERSTENECKER，ARPAD Pinter根据引理7.2中的估计，很明显，序列（7.2）的逐项分数导数是允许的，因此（7.2）的右侧实际上代表了初始条件为I1的（7.1）的解f-αf（0）=0，只要满足0≤ t<R（u）1/α。

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2022-6-6 19:17:26

我们继续展示爆炸时间T*α（u）可由系数an（u）计算得出。基本事实是R（u）1/α和T之间没有间隙*α（u）。为此，我们需要复杂分析的以下经典结果（[29]，第235页）。定理7.3（普林谢姆定理，1894年）。假设幂级数F（z）=P∞n=0n表示正的有限收敛半径R，所有系数都是非负实数。那么F在R处有一个奇点。定理7.4。假设u∈ 满足案例（A）。通过递归（7.7）和初始值（7.6）确定序列an（u）。然后我们有（7.10）lim supn→∞an（u）-1/（αn）=T*α（u）。证据回想一下，（7.1）的解f（u，·），也可以解Volterra积分方程（2.9）。根据前面（5.16）引用的关于平滑度的参考文献，f（u，·）在整个区间（0，T）上是解析的*α（u））。f（u，t）炸毁堡垒↑ T*命题3.2中的α（u）和t 7→ F（u，tα）在（0，R（u）1/α上是解析的，我们必须有R（u）1/α≤ T*α（u）。假设R（u）1/α<T*α（u）。那么f在R（u）1/α处是解析的。但从z 7开始→ z1/α在R（u）>0时是解析的，组合F（u，z）=F（u，z1/α）在z=R（u）时也是解析的，这与定理7.3相矛盾。因此，R（u）1/α=T*α（u）。众所周知，收敛半径由Cauchy-Hadamardformula[29，p.111]R（u）给出-1=lim supn→∞一个（u）1/n，它总结了证明。注意，在案例（B）中，我们可以像前面的证明一样进行论证。然而，系数不再为正，因此普林谢姆定理不适用。然后，不等式R（u）1/α≤ T*α（u）不必是等式。我们仍然可以计算爆炸时间的下限：（7.11）lim supn→∞|an（u）|-1/（αn）≤ T*α（u）。现在假设我们再次处于案例（A）中。我们现在讨论如何在（7.10）中加速收敛。

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2022-6-6 19:17:30

Roberts和Olmstead[31]研究了具有（渐近）分馏Kernel的非线性Volterra积分方程解的爆破行为。他们的论点取决于大变元非线性的渐近行为。特别是在我们的情况下，G（u，w）从（2.10）满意G（u，w）~ w或w→ ∞, [31]中的公式（3.2）得出（7.12）f（t）（？）~Γ（2α）Γ（α）（T*α（u）- t）-α、 t型↑ T*α（u）。我们写（？）~ 原因有二：首先，我们的积分方程（2.9）不能完全满足[31]中的技术假设。第二，并非[31]中的所有步骤都是严格的。我们继续试探性地从（7.12）中推断出an（u）的定义渐近。定义Φ（z）：=∞Xn=1an（u）R（u）nzn，通过引理7.2中R（u）的定义，粗糙HESTON模型19a幂级数中的矩爆炸，收敛半径为1。z的渐近性↑ 1可从（7.12）中得出。回想一下，F的爆炸时间和收敛半径与T有关*α（u）=R（u）1/α。Φ（z）=f（Rz）1/α(?)~Γ（2α）Γ（α）（T*α- （Rz）1/α）-α=Γ（2α）Γ（α）R-1(1 - z1/α）-α~ααΓ（2α）Γ（α）R-1(1 - z）-α、 z↑ 奇点分析方法（见[12]第六节）允许将Φ的渐近性转换为其泰勒系数anRn的渐近性。在地毯下扫过一些分析条件，我们得到了一个（u）R（u）n（？）~ααΓ（2α）Γ（α）R-1nα-1Γ（α），n→ ∞,因此（7.13）an（u）（？）~ R（u）-n-1nα-1ααΓ（2α）Γ（α），n→ ∞.数值试验证实（7.13），我们毫不怀疑这是真的（在案例（A）中）。总结，T*α（u）可通过以下算法计算，其收敛速度快于更简单的近似lim supn→∞一-1/（αn）n：算法7.5。设u为满足情形（a）的实数修复nmax∈ N（例如nmax=100），o计算a（u）。

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2022-6-6 19:17:33

，anmax（u）通过递归（7.7），o计算近似值（7.14）an（u）n1-αΓ(α)ααΓ(2α)-1α（n+1）n=nmax≈ T*α（u）表示爆炸时间。我们强调，虽然导致（7.13）的论点是启发性的，但我们在定理7.4中严格证明了T*α（u）是（7.14）左侧的lim sup。启发式部分是次指数因子n1-α×const将近似的相对误差从O（log nn）提高到O（n）。请注意，我们计算爆破时间的方法当然可以扩展到更一般的分数Riccati方程。最后，如上所述（见（7.11）），我们可以计算T的下界*α（u），如果它是有限的，但u在情况（A）之外：算法7.6。设u为满足情形（B）的实数修复nmax∈ N（例如nmax=200），o计算a（u），anmax（u）通过递归（7.7），o计算近似下界| an（u）|-1/（αn）n=最大值/吨*爆炸时间的α（u）。备注7.7。至于算法7.5的适用性，假设ρ<0（类似注释适用于不太常见的情况ρ>0）。从（2.7）开始，我们有（u）~ρξu>0表示u↓ -∞, 所以我们是在案例（A）中，对于足够大的| u |。更准确地说，情况（A）对应于间隔u∈ (-∞, λ/(ξρ)]. 对于u from20 STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD Pinter间隔，爆炸时间可通过算法7.5计算。在u=λ/（ξρ）的右侧，有一个（可能为空）间隔，对应于情况（B），其中t*α（u）仍然是有限的，但无法应用算法7.5。尽管如此，一个下界可以由（7.11）计算，并且我们有定理4.1和4.2中的下界，可以很容易地用数值计算。

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2022-6-6 19:17:36

继续沿u轴向右移动，ween计算一个包含[0，1]的间隔，其中T*α（u）=∞ （案例（C）和（D））。之后，T*α（u）再次变为有限，但这些u属于情况（B），为T留下了界限*仅α（u）-14-12-10-8-6图1。u<0的力矩爆炸时间和界限。参数为α=0.6，ρ=-0.8，λ=2，ξ=0.2。灰色矩形位于间隔上方(-∞, λ/(ξρ)] = (-∞, -12.5]对应于情况（A）。左实心曲线：T*α、按算法7.5计算。右实心曲线：下限，由算法7.6计算。虚线：分别来自定理4.1的边界。4.2.虚线：T*（经典赫斯顿模型）-14-12-10-8-6图2。如图1所示，但α=0.75。在本节结束时，我们注意到可以通过将（7.2）中的系数替换为（7.13）的右侧来近似f。让我们在粗略的赫斯顿模型21-14-12-10-8-6图3中写出瞬间爆炸的bn（u）。如图1所示，但α=0.9。请注意，T*α（左solidcurve）接近T*（经典Heston模型，即α=1；dottedcurve）。后者的保留前N个精确系数，得出近似值f（u，t）≈∞Xn=10亿（u）tαn+NXn=1an（u）- bn（u）tαn=ααΓ（2α）Γ（α）t*α（u）αLi1-α（吨/吨*α（u））α+NXn=1an（u）- bn（u）tαn，（7.15），其中Liν（z）：=P∞n=1zn/nν表示多段对数。虽然这种近似即使对于较小的N（见[17]）也非常准确，但它仅限于满足实际u的情况（A），因此不适用于期权定价。8、临界力矩的有限性虽然我们分析了迄今为止粗糙赫斯顿模型的爆炸时间，但在力矩爆炸的大多数应用中（见引言），临界力矩su+（T）：=sup{u∈ R:E【euXT】<∞},u-（T）：=inf{u∈ R:E【euXT】<∞}, T>0，（8.1）值得关注。

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2022-6-6 19:17:39

使用力矩爆炸时间T的上限*α在定理4.2中，我们现在将显示每个成熟度t>0的临界时刻的完整性。计算u+（T）和u-（T）在第9节中讨论。定理8.1。在粗糙赫斯顿模型中，临界力矩u+（T）和u-（T）对于每T>0是有限的。证据只有u+（T）的完整性被证明，作为u的证明-（T）非常相似。表示T的上界*（4.3）中的α（u）乘以所有u的B（u）∈ 在（A）和（B）情况下为R。首先，我们证明，对于足够大的u，我们总是在（A）或（B）情况下，这取决于相关参数ρ的符号。从（2.7）和（2.8）中，很容易看出（8.2）e（u）~ξρu和e（u）~ -ξ′ρuas u→ ∞,其中ρ=1- ρ. 因此，对于足够大的u，最终e（u）<0。在下一步中，我们表明，上界B（u）收敛到0，因为u→ ∞. 事实上，在22年，STEFAN GERHOLD、CHRISTOPH GERSTENECKER、ARPAD PINTERcase（A）是（4.3）satis fiesz中的积分∞wG（u，w）1/αdww=ZuwG（u，w）1/αdww+Z∞uwG（u，w）1/αdww≤ G（u，0）-1/αZuw-1+1/αdw+Z∞华盛顿大学-1.-1/αdw≤ 铜-1/α，u→ ∞,对于某些c>0，使用单调性G（u，w）≥ G（u，0），不等式G（u，w）≥wand G（u，0）=cc（u）~cuas u→ ∞.如果我们最终在案例（B）中是u→ ∞, 然后-e（u）>0和-e（u）>0适用于所有足够大的u。注意，在这种情况下，G（u，·）在-e（u），最小值为-e（u）。因此，（4.3）中的积分满足∞wG（u，w）1/αdww=Z-2e（u）wG（u，w）1/αdww+Z∞-2e（u）wG（u，w）1/αdww≤ (-e（u））-1/αZ-2e（u）w-1+1/αdw+41/αZ∞-2e（u）w-1.-1/αdw=α(-e（u））-1/α(-2e（u））1/α+41/α(-2e（u））-1/α≤ 铜-1/α，u→ ∞,对于某些c>0，使用单调性G（u，w）≥ -e（u），不等式G（u，w）≥（w+e（u））≥ 带4开[-2e（u），∞) 和（8.2）。总之，我们有limu→∞B（u）=0。自0起≤ T*α（u）≤ B（u），爆炸时刻T也是如此*α、即limu→∞T*α（u）=0。现在让T>0任意。

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2022-6-6 19:17:43

然后存在u∈ R使得T*α（u）<T表示所有u≥ u、这个不等式意味着E[euXT]=∞ 适用于所有u≥ u、因此u+（T）≤ u根据前面的证明，很容易得出u+（T）和u-（T）属于订单T-α为T↓ 这与经典的Heston模型（α=1）一致，其中衰变阶为T-1，通过反转（2.13）。9、计算临界力矩我们首先收集一些关于力矩爆炸的文献中显然没有明确说明的简单事实。力矩爆炸时间和临界力矩的定义分别如（2.11）所示。(8.1).引理9.1。设S=（St）t≥0=（外部）t≥0是一个正随机过程。其瞬间爆炸时间用T表示*（u），u∈ R、以及关键时刻byu-（T）和u+（T），T>0。（i） T型*（u） u的增加≤ 0，u减小≥ 0。（ii）如果S是鞅，则u+（T）减小，并且u-（T）增加。（iii）假设S是鞅。如果T*（u）严格按间隔D+：={u减少≥ 1:T*（u） <∞},然后T*= （u+）-1开D+。类似地，如果T*（u）严格按照间隔增加-:= {u≤ 0:T*（u） <∞},然后T*= （u）-)-1月日-.粗略的赫斯顿23Proof模型瞬间爆炸。（i）作为T*（u） =∞, 我们可以假设u>0（u<0类似）。该估计遵循Jensen不等式，自x 7→ 对于0<u，xv/uis凸面≤ v、（ii）我们只考虑u+。因为S是鞅，所以我们有u+≥ 1、对于任意数字u≥ 1和0<T≤ T、我们有东[南|英尺]≥ 条件Jensen不等式。这显示了断言。（iii）我们仅证明第一个陈述。注意，（i）表示D+是一个区间。现在假设u∈ D+满意度<u+（T*（u））=支持*（u） ]<∞}.这意味着有v>u满足E[SvT*（u） ]<∞. 因此，T*（v） =T*（u），与T的严格减少相矛盾*. 最后，假设u≥ 1饱和度u>u+（T*（u））。

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