分数阶Heston模型的渐近性态

2022-5-7 04:29:32

分数阶HESTON模型的渐近行为Hamza GUENNOUN，ANTOINE JACQUIER，PATRICK Room和FANGWEI SHIAbstract。我们考虑孔德、库廷和雷诺最初提出的分数赫斯顿模型[12]。受最近关于粗糙波动率的开创性研究[2,6,24,26]的启发，我们提供了隐含波动率微笑的短期和长期渐近特征，该研究表明，由分数布朗运动驱动的具有短记忆的波动率模型可以更好地校准波动率表面，并对历史波动率的时间序列进行更稳健的估计。我们的分析表明，短期记忆属性准确地为短期到期提供了微笑的跳跃式行为，从而证明了经典随机波动率模型无法满足波动率微笑的短端。1.引言自从Black-Scholes模型在40年前被引入以来，从业者和学者一直在提出该模型的要求，以考虑市场数据的特定行为。特别是，将收益率的Black-Scholes瞬时波动率转化为随机过程的随机波动率模型得到了广泛的研究和应用。[23,25,29,30,40,47]等专著是关于这一大类模型的重要信息来源，无论是从理论角度（这些过程的存在性和唯一性，渐近行为），还是从从业者的见解（这些模型实际表现如何，与市场数据相比应该表现如何）来看。尽管这些模型取得了成功，但现在人们普遍认为，对于短期到期，对观察到的隐含波动率面进行校准是失败的，观察到的微笑比连续路径的差异产生的微笑更陡峭。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:29:35

为了解决这个问题，几位作者建议增加跳跃，或者以独立的L’evy过程[5]的形式，或者在更一般的有效过程框架内[33,39]。（股价动态中的）跳跃意味着短期内隐含波动率的爆炸性行为（关于这种现象的回顾，请参见[51]），但能够捕捉到隐含波动率的陡峭程度。这可能是模特故事的结局；然而，这种方法也有（现在仍然有）争议，因为过程中的跳跃部分是众所周知的难以回避的，这使得其实际实施成为一个相当微妙（有时是哲学上的）问题。从时间序列建模的角度来看，由布朗运动驱动的经典随机波动率模型因没有考虑观察到的收益波动率的长记忆而受到批评。日期：2017年8月10日2010年数学科目分类。60F10，91G99，91B25。关键词和短语。随机波动率，隐含波动率，渐近性，分数布朗运动，赫斯顿模型。作者要感谢Jim Gathereal的有益讨论，感谢Mathieu Rosenbaum的鼓励。AJ感谢EPSRC第一批拨款EP/M008436/1的财政支持。财政司司长由伦敦帝国理工学院数学系的迷你DTC奖学金资助。2 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK ROOME和FANGWEI SHIIn ARCH和GARCH模型，记忆（通过自相关函数量化）以指数速度衰减，而对于这些模型的集成版本，它根本不会衰减。在离散时间环境中，这导致了分数积分模型的引入，如ARFIMA[27]和FIGARCH[3]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:29:38

在连续时间内，这种长记忆行为通过分数布朗运动[11,12]进行建模，赫斯特指数严格大于1/2。分数布朗运动也有它的缺陷，因为它不是半鞅，并产生套利机会[48,50]。使用重型机械可以避免这种情况【10、19、28、32】，但由于aby产品引入了不理想的经济特性【9】。如[52]所述，当分数布朗运动驱动瞬时波动而非股价本身时，这些问题并不相关。然而，这些分数随机波动率模型在计量经济学和统计学界颇受欢迎，却很少受到更经典的数学金融和随机分析团体的关注。Gatheral、Jaisson和Rosenbaum[26]最近建议考虑赫斯特指数，它不是波动性历史记忆的指标，而是要在波动性表面上校准的额外参数。他们的研究表明H∈ （0，1/2），这似乎表明对波动性的记忆不足，从而与数十年的时间序列分析相矛盾。通过考虑直接受Heston模型分数版本启发的特定分数挥发性模型[12,31]，我们为这一结果提供了理论上的证明。我们特别表明，当H∈ （0，1/2），该模型中的隐含波动率在跳跃意义上爆炸。从概率上讲，这意味着重新调整（按时间）的对数股价过程收敛较弱，但过程本身并不收敛，这让人想起跳跃差异情况下发生的情况。在H的情况下∈ （1/2，1），启发性地，长记忆没有时间影响过程的动力学，隐含的波动率收敛到一个严格的正常数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 04:29:42

对于大到期日，这种现象是相反的，即短记忆以某种方式被平均化，隐含波动性的行为类似于标准布朗驱动的扩散情况，而长记忆产生不同的渐近行为。最后，我们评论说，最近[16,17,18]中提出并分析了另一个Heston模型的分数版本，作者通过分数积分定义了方差过程的不同结构。特别是，El-Euch、Fukasawa和Rosenbaum[18]提出了一个微观价格模型，并表明它在长期内收敛到一个粗糙的Heston环境，从而在市场微观结构和粗糙波动性之间架起了桥梁。我们还请感兴趣的读者参考[1,6,7,22]，了解分数波动率建模的最新进展。本文的结构如下：第二部分介绍了该模型并研究了其主要性质。Wein特别指出，股票价格的特征函数是封闭形式的。在第3节中，我们验证了本文的主要、概率性和财务性结果，即对数股价过程重标度的大偏差原则和隐含波动率的渐近行为，无论是短期还是长期。在第4节中，我们提供了几个数值例子。第5节包含了主要结果的证明，我们在附录中增加了一个关于大偏差的简短提示。分数HESTON模型32的渐近性质。模型及其性质2。1.分数赫斯顿模型。让(Ohm, F、（Ft）t≥0，P）是一个给定的过滤概率空间，支持两个独立的标准布朗运动B和W。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:29:44

我们用（St）t表示≥0股票价格过程，且假设xt:=log（St）是随机微分方程（2.1）dXt=-Vdtdt+qVdtdBt，X=0，dVt=κ（θ）- Vt）dt+ξpVtdWt，V=V>0，Vdt=η+Id0+Vt，其中d∈ (-1/2，1/2），系数满足κ，θ，ξ>0。算子Id0+是d阶的经典左分式Liemann-Liouville积分：Id0+φ（t）：=Zt（t- s） d-1Γ（d）φ（s）ds，用于d∈0,,ddtId+10+φ（t），用于d∈-, 0,对任何函数都有效∈ L（[0，t]），其中Γ是标准伽马函数。关于这些积分的更多细节，我们请感兴趣的读者参阅专著[49，第1章，第2节]，关于离散化方案的应用，我们请参阅[12，第5节]。这对夫妇（X，V）对应于标准的赫斯顿-托卡斯蒂克波动率模型[31]，该模型允许山田渡边条件[37，命题2.13，第291页]给出一个独特的强解。附加参数η≥ 如[12]所述，0允许放松Vt均值和方差之间的紧密联系。过程V可以用积分形式写成Vt=ve-κt+θ（1）- E-κt）+ξRte-κ（t-（s）√VsdWs，因此它^o等距意味着协方差结构读取，对于任何t，u>0，hVu，Vti=ξθ2κe-κt-u |+ξκ（v）- θ） e-κ（t∧u）-ξ2κ（2v）- θ） e-κ（t+u）。Feller条件[38，第15章]，2κθ≥ ξ、确保来源是不可实现的（否则它是有规则的，因此是可实现的，并且具有强烈的反思性）；在这种情况下，由于Riemann-Liouville算子保持正性，Vdt≥ η几乎可以肯定≥ 0.现在，对于任何t≥ 0，我们有E（Vdt）=η+Id0+（ve-κt+θ（1）- E-κt），对于任何t，h≥ 0，hVdt+h，Vdti=Zt+hZt（t+h- s） d-1（t）- u） d-1Γ（d）hVs，Vuiduds。这种分数波动率模型的动机来自孔德和雷诺[11]关于奥恩斯坦-乌伦贝克过程的开创性工作。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-7 04:29:49

考虑随机微分方程dx（t）=-κX（t）dt+σdWd（t）从零开始，带d∈ （0,1/2）、κ、σ>0和Wda分数布朗运动；其分数阶导数X-dde通过标识Xt=I1+d0+X定义-d（t），对于所有的t≥ 0，奥克斯-d（t）=滴滴涕Zt（t- （s）-dΓ（1）- d） Xsds=Zt（t- （s）-dΓ（1）- d） dXs4 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI Shisaties将SDE dX-d（t）=-κX-d（t）dt+σdB（t），X-d（0）=0，其中B是标准布朗运动。相反，如果X（t）满足Ornstein-Uhlenbeck SDE dX（t）=-κX（t）dt+σdW（t），X（0）=0，则dI1+d0+X（t）=-κI1+d0+X（t）dt+σdWd（t），其中I1+d0+X（0）=0。最后，请注意，持续监控的、到期日为T readsTEZTVdtdt的方差互换的公平执行=TZTη+Id0+ve-κt+θ（1）- E-κt）dt=η+vTdΓ（d+2）+κ（θ）- v） e-κTTΓ（d+2）ZTtd+1eκtdt。（2.2）特别注意，当η=d=0时，该表示与[25，第11章]中提供的标准赫斯顿情况下的预期方差公式一致。此外，对于小T>0，等式（2.2）readsTEZTVdtdt=vTdΓ（d+2）+η+O（Td+1），因此在粗糙的赫斯顿情况下，当d<0且利率为Td时，方差交换率爆炸。图1。我们生成五个平滑（d=0.4，以上）和粗糙（d=-0.3，底部）股票价格（左）及其波动性运动路径（右）。方差过程的其他参数为（κ，θ，ξ，v，η）=（2.1,0.05,2,0,0.03）。分数HESTON模型的渐近行为52.2。累积量生成函数。设m（u，w，t）≡ 日志E（euXt+wVdt），对于任何t≥ 0和（u，w）∈eDt，表示耦合（X，Vd）的累积量生成函数，其中eDt：=（u，w）∈ R:|m（u，w，t）|∞是m的有效域。以下定理为其提供了一个封闭形式的表达式：定理2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:29:51

无论如何≥ 0，（2.3）对数EeuXt+wVdt= wη+u（u- 1） ηt- B（t）v+A（t），适用于所有（u，w）∈其中函数A和B满足普通微分方程（2.4）A（s）+κθB（s）=0，B（s）+κB（s）+ξB（s）+u（u- 1） 2Γ（d+1）sd+wΓ（d）sd-1=0，代表0≤ s≤ t、初始条件A（0）=B（0）=0，其中Γ是通常的伽马函数。有趣的是，这对夫妇（X，Vd）仍然是[15]意义上的一对夫妇。如备注2.2所述，相关性将破坏过程的马尔可夫特性及其有效特性。当η=d=w=0时，Riccati方程（2.4）与标准（不相关）Heston模型中的方程相同。这特别说明，当相关性为空时，我们的模型（2.1）和赫斯顿模型具有相同的边缘。下面对隐含波动率的渐近行为的分析只需要了解在w=0时计算的函数m，我们将用有效域Dt写出m（u，w，t）=m（u，t）。证据地图（南、美）→ 11{0≤s≤u} （s）-u） d-1Γ（d）vu在[0，t]×[0，t]a.s.上是非负的，因此，根据托内利定理，Zt（Vds- η） ds=ZtZs（s）- u） d-1Γ（d）Vududs=zt{0≤U≤s} （s）- u） d-1Γ（d）Vudsdu=Zt（t- u） dΓ（d+1）Vudu。由于集成CIR的时刻已经存在，直到爆炸[36，第一部分，第6.3章]，Novikov条件将为任何∈ Dt，通过氡Nikodym导数（2.5）deppp测量英尺：=expuZtqVdsdBs-uZtVdsds.然后，力矩生成函数可以写成heuxt+wVdti=ewηeE经验u（u）- 1） ZtVdsds+wZt（t- s） d-1Γ（d）VSD= 经验wη+u（u- 1） ηteE经验ZTVu（u）- 1） 2Γ（d+1）（t）- s） d+w（t）- s） d-1Γ（d）ds.此外，在EP下，过程V满足（2.6）dVt=κ（θ- Vt）dt+ξpVtdWt。现在设置ψ（z，s）：=eEhexpnRtsVru（u）-1） 2Γ（d+1）（t）- r） d+w（t）-r） d-1Γ（d）德罗Vs=zi。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 04:29:55

我们希望ψ（v，0）和ψ使用费曼-卡克公式求解以下偏微分方程：sψ（z，s）+κ（θ）- z）zψ（z，s）+zξzψ（z，s）+u（u）- 1） 2Γ（d+1）（t）- s） d+wΓ（d）（t）- s） d-1.zψ（z，s）=0,6哈姆扎·格农、安托万·贾奎尔、帕特里克·鲁姆和方伟·希弗0≤ s≤ t、终端条件ψ（z，t）=1表示z≥ 0.变量的变化φ（z，s）≡ ψ（z，t）-s）屈服-s~n（z，s）+κ（θ）- z）z~n（z，s）+zξz~n（z，s）+u（u）- 1） 2Γ（d+1）sd+wΓ（d）sd-1.z~n（z，s）=0，代表0≤ s≤ t且初始条件为φ（z，0）=1时，所有z≥ 0.使用ansatz~n（z，s）=eA（s；u，t）-B（s；u，t）z，我们发现A（·；u，t），B（·；u，t）解（2.4）中的里卡蒂常微分方程。备注2.2。对于非零相关性，（2.6）中EP下的方差动态变化为vt=κ（θ- Vt）dt+ρξuqVtVdtdt+ξpVtdWt，这是非马尔可夫的，因此不适用于费曼-卡茨技术，留待未来研究。备注2.3。在κ=0的情况下，常微分方程（2.4）可以显式求解[46]，m（u，t）=u（u- 1） ηt-2vξtlog√t“CJd+2ξd+2su（u- 1） Γ（d+1）td/2+1！+CYd+2ξd+2su（u- 1） Γ（d+1）td/2+1！#！，其中J和Y分别是第一类和第二类贝塞尔函数，C是由边界条件确定的关心常数。使用J1/2（x）=p2/（πx）sin x和Y1/2（x）=-p2/（πx）cos x当d=0和η=0时，我们恢复了Heston mgf[20]（κ=0），即m（u，t）=vξpu（u- 1）棕褐色ξtpu（u- 1)/2.图2。我们用t=1数值计算了定理2.1中常微分方程的mgf。在左边（κ，θ，ξ，v，η，d）=（2.1,0.05,0.2,0.03,0.03，-0.3). 作为右侧的合理性检查，我们将d=0、v=0.06、η=0的数值解mgf与[25，第2章]中提供的Heston设置（圆圈）中mgf的显式表示进行比较。大偏差和隐含波动性渐近3。1.原木股票价格过程存在较大偏差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:29:58

本节收集了本文的主要结果，即（2.1）中定义的对数股价过程X的重新缩放版本的大偏差原则，无论何时变大或变小。我们请读者参考附录A，以了解分数HESTON模型7到[13,14]的大偏差和症状行为，以便进行彻底治疗。在陈述（和证明）本文的主要结果之前，先介绍函数λ*±, Λ*±：R→ R+，λ+：[0,1]→ R和∧-: R→ R:（3.1）∧+（u）≡ -κθξ（1+d/2）su（1）- u） Γ（1+d），λ-（u）≡u（u）- 1)η,Λ*+（十）≡ U*（x） x+κθξ（1+d/2）su*（x）（1）- U*（x） Γ（1+d），λ*-（x） :=（x+η/2）2η，如果x∈ [Λ-（u）-), Λ-（u+），u+x- Λ-（u+，如果x>∧-（u+），u-十、- Λ-（u）-), 如果x<∧-（u）-),λ*+（十）≡x2η，λ*-（十）≡Γ（2+d）x2v。真正的数字在哪里-, u+在定理3.3和u中定义*（十）≡1+sgn（x）VUUT1-1+xξpΓ（1+d）κθ！-1.,有sgn（x）：=11{x≥0}- 11{x<0}。表达式∧-（u）-) 和∧-（u+）分别是Limu的简写符号↓U-Λ-（u）利木呢↑u+λ-（u）。简单的计算表明，函数u*在R上是光滑的*,R上的减凹*-在R上增加和凹*+, 和你*（0）=1/2和极限↑0u*（n）（x）=-利克斯↓0u*（n）（x），如果n是奇数；利克斯↑0u*（n）（x）=limx↓0u*（n）（x）=0，如果n是偶数。所以∧*+是严格凸且光滑的，并将R映射到R+。简单的计算也可以得到∧函数*-在实线上是平滑的。注意∧*-和∧*+就是∧的芬切尔勒让德变换形式-和∧+。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-7 04:30:01

同样，函数λ*+λ*-在整条实线上都是严格凸的。定理3.1。（i）当t趋于零时，（a）如果d∈ （0，1/2），然后（Xt）t≥0满足具有良好速率函数λ的LDP*+还有速度t-1.（b）如果d∈ (-1/2，0），然后（Xt）t≥0满足具有良好速率函数λ的LDP*-还有速度t-（1+d）；（ii）当t趋于完整时，（a）如果d∈ （0，1/2），然后T-（1+d/2）Xtt> 0满足具有良好速率函数∧的LDP*+还有速度t-（1+d/2）；（b）如果d∈ (-1/2，0），然后T-1Xtt> 0满足（λ）上的部分LDP-（u）-), Λ-速率函数∧的（u+）*-还有速度t-1.你在哪里-, u+在提案3.3中定义。在实践中，情况（ii）（b）中的部分LDP在这里就足够了，因为罢工的形式是ext，用于大到期日和固定x；此外，0∈ (Λ-（u）-), Λ-（u+），因此对于固定的小x和足够大的t，甚至可以计算大的罢工，详情见定理3.6（ii）（b）。对于第2.2节中定义的DTM（·t）的有效域，让D∞:= ∩t> 0∪s≤tDt=∪t> 0∩s≤tDt和D（δ）点态极限u7的有效域→ m（t）-δu，t）随着t趋于零（δ>0）。定理3.1的证明依赖于对8 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI Shi累积量生成函数的极限行为的研究，这些函数是过程（Xt）t的（一个重标版本）≥0，我们在以下两个命题中陈述（并将其证明推迟到第5.1节和第5.2节）：命题3.2。当t趋于零时，以下保持不变：（i）如果d∈ （0，1/2），设δ=1，然后D（δ）=R和limt↓0tmut，t= ηu，代表u∈ D（δ）；（ii）如果d∈ [-1/2，0），设δ=1+d，然后d（δ）=R和limt↓0t1+dmut1+d，t=vu2Γ（2+d），代表美国∈ D（δ）。提议3.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 04:30:05

当t趋于完整时，累积量生成函数有以下行为：（i）如果d∈ （0，1/2），然后是D∞= [0,1]和limt↑∞T-（1+d/2）m（u，t）=∧+（u），表示u∈ D∞;（ii）如果d∈ (-1/2，0），那么就存在u-≤ 0，u+≥ 1.限制↑∞T-1m（u，t）=∧-（u），给你∈ D∞= [u]-, u+]。备注3.4。上述限值在原点d中不是连续的。在d=0（标准赫斯顿）的情况下，重标累积量生成函数的逐点极限在[21]中进行了计算，其极限为：↑∞T-1m（u，t）是某个区间[u]上的光滑凸函数-, u+] [0，1]。在命题3.3中，极限域D的特征∞这并不是完全明确的。然而，使用theODEs（2.4）和标准（不相关）Heston模型中相应的比较原则，很容易看出区间[u-, [uH+]中含有铀-, uH+]，这是不相关Heston模型中重标力矩生成函数的极限域（有关uH±的详细信息和显式表达式，请参见[21]）。定理3.1的证明。从命题3.2来看，（i）（a）-（b）中所述的大偏差原理源自G¨artner-Ellis定理（定理a.3）的直接应用。现在考虑大时间行为，从案例（ii）（a）开始，即d∈ (0, 1/2). 从命题3.3来看，函数∧+在D上本质上是光滑的∞, 但起源不在D的内部∞, 因此，盖特纳-埃利斯定理并不直接适用。然而，在一维情况下，可以使用[45]中的重新定义版本，这放松了这一假设。案例（ii）（b）是G–artner-Ellis定理在有效域[u]上的直接应用-, u+]。备注3.5。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:09

即使在陡峭条件不满足的情况下，也可以通过引入精心选择的与时间相关的度量变化来证明整个实线的下限，如[8]或[34]；然而，这需要了解累积量生成函数的高阶渐近行为。我们把这个留给未来的研究。3.2. 隐含波动渐近性。现在，我们将上述大偏差原理转化为隐含波动率的渐近性。对于任何（x，t）∈ R×R+，设∑（x，t）表示与到期日为t且执行日为ex的欧式期权价格相对应的隐含波动率。以下定理在第5.3节（小时间）和第5.4节（大时间）中得到了证明。定理3.6。（i）当t趋于零时，（i）如果d∈ （0，1/2），则对于任何x 6=0，∑（x，t）收敛于η；分数HESTON模型的渐近行为9图3。我们计算了Xt（蓝色）的重标cgf，并将其与命题3.2中给出的小时间限制（红色）进行了比较。时间参数在左列为t=1/10，t=10-3.在右边。第一行是粗略情况，其中d=-0.3，对于光滑的情况，底部的d=0.2。（κ，θ，ξ，v，η）=（2.1,0.06,0.2,0.03,0.03）。（ii）如果d∈ [-1/2，0），那么对于任何x6=0，t-d∑（x，t）收敛到v/Γ（d+2）；（ii）由于t趋于一致，隐含波动率表现如下：（a）如果d∈ （0，1/2），然后限制↑∞T-d/2∑（xt1+d/2）=22Λ*+（十）- x+q∧*+（十）Λ*+（十）- 十、, 为了所有的x∈ R（b）如果d∈ (-1/2，0），然后是D∞ [0,1]和limt↑∞∑（xt，t）=η，对于所有x∈ (Λ-（u）-), Λ-（u+）；对于大型到期日，随着d从上方接近零，我们恢复了[21]中得出的标准赫斯顿隐含波动性符号；在长记忆情况下（d>0），由于td/2因素，对于非常大的到期日，隐含波动率的陡度比标准赫斯顿模型更为显著。小型成熟酶尤其有趣。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:11

在长记忆（d>0）的情况下，隐含波动率以与Black-Scholes相同的速度收敛到一个常数（或与任何具有连续路径的扩散一样）。在短期记忆记录中，隐含波动率以td/2的速度增长。文献[4]充分证明，经典的随机波动率模型（由标准布朗运动驱动）无法捕捉观察到的隐含波动率的陡度。几位作者[43,51]建议增加跳跃以适应这种陡度。假设鞅股价由S=eX给出，其中X是一个L’evy过程，L’evy测度在整条实线上得到支持。随着成熟度t趋于零，相应的隐含可用性表现为limt↓02t对数（t）∑（x，t）=-x、对于所有x 6=0。然后将发散速度t log（t）与td（d）进行比较∈ (-1/2，0）在上面的分数框架中：显然，对于足够小的t，theL’evy隐含波动率的爆发速度要快得多。进一步注意，在到期日趋于零的限额内，后者确实取决于执行，但分数隐含波动率则不取决于执行。因此，我们的结果表明，分数布朗运动（驱动瞬时波动率）是跳跃的替代方法，并提供了10 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIsmiles比标准随机波动率陡峭，但比L’evy模型不那么陡峭。此外，它们还有绕过跳跃模型中的对冲问题的优势。我们还应该将这种爆炸率与标准赫斯顿模型中的隐含波动率进行比较，在标准赫斯顿模型中，瞬时方差是从初始分布开始的。在[34]中，作者选择了一个非中心卡方初始分布，并表明，在一些适当的重标度下，隐含波动率以t的速度增长-1/2.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:15

Jacquier和Shi[35]也受到了[42]的启发，他们通过研究随机初始数据对微笑短时爆发的影响，进一步推动了这一分析。4.数值在本节中，我们提供了描述模型行为的数值示例，参数（κ，θ，ξ）=（2.1,0.06,0.2）。在图4中，我们提供了由标准Heston模型生成的挥发性表面的比较。我们观察到，在Hurst参数小于（d<0）的情况下，较大的Vpush值会使小时间波动率微笑，与定理3.6中的小时间分析产生共鸣。还请注意，对于类似的参数选择，在分馏阶段，货币隐含波动率更高。图5进一步证实了这一点，图5代表了货币总方差的期限结构。图4。挥发性表面的比较。第一行代表分数情况，其中（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3）和（v，η，d）=（0.02,0.02，-0.3）在右边。下图为标准赫斯顿案例（d=0），v=0.06。分数HESTON模型的渐近行为11图5。货币总方差的期限结构分数（蓝色，（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3）和标准赫斯顿（青色，v=0.06）。图6。（2.2）中预期年化方差（蓝色）的期限结构，其中（v，η，d）=（0.03,0.02，-0.3). 青色虚线表示其小时间近似值vTdΓ（d+2）+η.5.校样。1.命题3.2的证明。我们在证明中将κ=0和κ>0分开。5.1.1. κ=0例。可以使用注释2.3中矩母函数的明确知识来计算其极限行为。然而，我们在这里遵循不同的路线，我们可以在以后适应κ>0的情况。函数B是ODE（5.1）B（t）的解-ξB（t）+u（1）- u） 2Γ（d+1）td，边界条件B（0）=0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:19

设ζ：=u（1）-u） 2Γ（d+2），考虑ansatz B（t）=Pi≥1αiζitid+2i-1，对于某些实数序列（α）i≥1.因此B（t）+ξB（t）-u（1）- u） 2Γ（d+1）td=Xi≥1αiζi（id+2i）- 1） tid+2i-2+ξXi，j≥1αiαjζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2.-u（1）- u） 2Γ（d+1）td=α（1+d）ζ-u（1）- u） 2Γ（d+1）td+Xi≥2“αi（id+2i- 1） +ξi-1Xk=1αkαi-k#ζitid+2i-2.当且仅当α=1和αi=-ξ2（i（d+2）- 1）我-1Xk=1αkαi-k、因为≥ 2.我们现在对上述推导进行严格的推导。以f:R地图为例+→ f（t）定义的R:=12哈姆扎·格农、安托万·贾奎尔、帕特里克·鲁姆和方伟-1Pi≥1αiζtd+2i、对于t≥ 0.因为我足够大，ξ2（i（d+2）-1)< 因此|αi |<|γi |，其中序列（γ）i≥1定义为γ=1和γi=Pi-1k=1γkγi-k、因为我≥ 2.繁琐而直接的计算表明幂级数m（x）≡圆周率≥1γixih是收敛半径的1/4，m（x）=Pi≥1γiixi-1对于allx∈ (-1/4, 1/4). 因此，幂级数g（x）≡圆周率≥1αixih是大于1/4的收敛半径，g（x）=Pi≥1αiixi-1对于所有x∈ (-1/4, 1/4). 对于足够小的ζxd+2，ddxXi≥1αiζxd+2i=（d+2）ζxd+1Xi≥1αii（ζxd+2）i-1，所以f（x）=Pi≥1αiζi（id+2i）- 1） tid+2i-此外，利用托内利定理，对于足够小的ζtd+2，Xi≥j，1≥1 |αi | |αj |ζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2=xi≥1 |αi | |ζ| itid+2i-1.现在是最后一天。然后直接应用富比尼定理得到f（t）=Pi，j≥1αiαjζi+jt（i+j）d+2（i+j）-2，因此f是小|ζtd+2 |的5.1的解。我们首先在案例d中证明这个命题∈ (0, 1/2).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-7 04:30:22

函数B，解决方案（5.1），满足条件：t1-分贝ut，t= T-dXi≥1αiutd+12Γ（2+d）-utd2Γ（2+d）i=t-dXi≥1αitidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i=Xi≥1αit（i-1） dut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i=ut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+Xi≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i+1。而且，对于一个不够小的，xi≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）i+1≤ td/2ut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）xi≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）我.因为他不够小，ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）<, thenPi≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-utd/22Γ（2+d）定义明确。左手边≥1αi+1tidut2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）当t趋于零时，i+1趋于零，t也趋于零-dB（u/t，t）至-u2Γ（2+d）。在案例d中∈ [-1/2,0），函数B，（5.1）的解，满足1+dB（u/t1+d，t）=tdXi≥1αiut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）i=ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+tdXi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）i+1=ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）+ut1+d2Γ（2+d）-u2Γ（2+d）xi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）分数HESTON模型13的iSymptotic行为此外，对于足够小的t，圆周率≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）我≤ T-d/2圆周率≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-美国犹他州-d/22Γ（2+d）我. 从那以后≥1αi+1ut1+d/22Γ（2+d）-美国犹他州-d/22Γ（2+d）I的定义足够小，Pi≥1αi+1ut2Γ（2+d）-美国犹他州-d2Γ（2+d）当t趋于零时，它趋于零，t1+dB（u/t1+d，t）也趋于零-u2Γ（2+d），这证明了这个命题。5.1.2. κ>0病例。与κ=0的情况类似，插入ansatz B（t）：=Xi，j≥1βi，jtid+jinto（2.4）产量β1,1（d+1）+u（u- 1） 2Γ（d+1）td+ξXi，j≥1βi，jtid+j+ κXi，j≥1βi，jtid+j+X（i，j）6=（1,1）βi，j（id+j）tid+j-1.≡ 0.以下陈述成立，并与上述情况κ=0有关：（1）βi，对于任何i，j=0≥ 2和1≤ J≤ 2i- 2.（2） βi，2i-1=αiζi对于任何i≥ 1.将相同阶数的项组合得到β1,1=αζ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:26

此外，对于任何（i，j）∈ N*+×N*+\\ {1},βi，j（id+j）+κβi，j-1+ξi-1Xp=1j-2Xq=1βp，qβi-p、 j-1.-Qtid+j-1.≡ 0.然后可以通过归纳法轻松验证上述两种说法，其中B（t）=Xi≥1Xj≥2i-1βi，jtid+j，带（5.2）βi，j=”-κi，j-1.-ξi-1Xp=1j-2i+2pXq=2p-1βp，qβi-p、 j-1.-q#我们证明了级数是绝对收敛的。请注意（5.3）Xi≥1Xj≥2i-1 |βi，j | tid+j=Xi≥1tid+2i-1.Xj≥2i-1 |βi，j | tj-2i+1=xi≥1 |βi，2i-1 | tid+2i-1.1 +∞Xj=2iβi，jβi，2i-1.tj-2i+1.遵循引理5.1，1+P∞j=2iβi，jβi，2i-1.tj-2i+1<2i-1eiκtholds适用于任何i≥ 1和（5.3）则为（5.4）Xi≥1Xj≥2i-1 |βi，j | tid+j<t-1Xi≥1i-1 |αi||ζ| td+2eκti、我们已经证明了|αi |<γ如果i足够大，那么序列（Pi≥1i-1 |αi | xi）的收敛半径不小于1/8。因为（d+2）是严格正的，所以（5.4）意味着级数B（t）=Pi≥1Pj≥2i-1βi，jtid+jis绝对收敛于小t，使得|ζ| td+2eκt<1/8成立。因此，前面的ansatz B（t）是小t的Riccati方程的解。其余的证明基本上与κ=0的情况相同，因此我们省略了细节。引理5.1。无论如何，我≥ 1，以下（5.2）中定义的βi，jd的估计适用于任何j≥ 2i:|βi，j |<i-1（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βi，2i-1 | 14 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIProof。我们用归纳法证明。在i=1的情况下，直接计算产生β1，jβ1,1=Γ（d+2）Γ（d+1+j）κj-1.≤κj-1（j）- 1)!, 对于任何j≥ 1.假设|βp的上界成立，q |适用于任何p≤ 我- 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 04:30:30

然后我们有|βp，q |≤P-1（pκ）q-2p+1 |βp，2p-1 |（q）- 2p+1）|βi-p、 j-1.-q|≤我-P-1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p |βi-p、 2（i）-p）-1 |（j）- Q- 2i+2p）！。因此，对于任何固定的1≤ P≤ 我-j，1-2i+2pXq=2p-1 |βp，qβi- p、 j- 1.-q|≤J-2i+2pXq=2p-1i-2（pκ）q-2p+1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1 |（q）- 2p+1）！（j）- Q-2i+2p）=我-2 |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1 |（j）- 2i+1）！J-2i+2pXq=2p-1（j）- 2i+1）！（pκ）q-2p+1（（i）- p） κ）j-Q-2i+2p（q- 2p+1）！（j）- Q-2i+2p）=我-2（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1|.将其插入（5.2），注意|βi，2i-1 |=ξ2（id+2i）-1）圆周率-1k=1 |βk，2k-1βi-k、 2（i）-（k）-1 |这是因为所有的项βk，2k-1βi-k、 2（i）-（k）-1任何k都有相同的符号，然后|βi，j |≤κ|βi，j-1 | id+j+ξ2（id+j）i-1Xp=1j-2i+2pXq=2p-1 |βp，qβi-p、 j-1.-q|≤κ|βi，j-1 | id+j+ξ（id+2i）- 1） 2i-2（iκ）j-2i+12（id+j）（id+2i）-1）（j）- 2i+1）！我-1Xp=1 |βp，2p-1βi-p、 2（i）-p）-1|≤κ|βi，j-1 | id+j+i-2（iκ）j-2i+1（id+2i）- 1）（j）- 2i+1）！（id+j）|βi，2i-1|.迭代上述不等式，我们最终得到|βi，j |≤κj-2i+1 |βi，2i-1 | Qjk=2i（id+k）+2i-2κj-2i+1 |βi，2i-1 | jXk=2ik-2i+1（id+2i）- 1）（k）- 2i+1）！Qjm=k（id+m）≤我-2κj-2i+1 |βi，2i-1 |（j）- 2i+1）！jXk=2i-1ik-2i+1=i-2κj-2i+1 |βi，2i-1 |（ij）-2i+2- 1）（j）- 2i+1）！（一）- 1） <i-2（iκ）j-2i+1 |βi，2i-1 | i（j）- 2i+1）！（一）- 1)≤我-1（iκ）j-2i+1（j）- 2i+1）|βi，2i-1|.备注5.2。在d=0、η=0和κ=0的情况下，cgf m（u，t）对应于标准赫斯顿模型，ρ=0，平均回复速度κ=0。这里大家都知道，limt↓0tm（u/t，t）=vu/（ξcot（ξu/2））。使用上述（5.1）的系列扩展解决方案，我们发现该限制↓0tm（u/t，t）=vPi≥1(-1） i+1αi（u/2）i.显式计算我们发现的前几个项≥1(-1） i+1αi（u/2）i=u/2+ξu/24+ξu/240+O（ξu），这与u/（ξcot（ξu/2））对小ξu的泰勒展开完全一致。命题3.3的证明。我们从案例d开始∈ (0, 1/2).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:35

设B为常微分方程（2.4）的解，α：=d/2，β：=ξqu（1）-u） Γ（d+1），β=-κξ. 函数f（t）≡ B（t）- βtα- β满意度f（t）=-ξf（t）- ξβtαf（t）+κ2ξ- βαtα-1，对于t>0。现在定义ψ-, ψ+：R+→ R乘以（5.5）ψ±（t）≡ -κξ±ξsκξ+u（1- u） tdΓ（d+1）。我们现在宣称，对于任何t>0，下列不等式成立：（5.6）ψ-（t）≤ B（t）≤ ψ+（t）。注意，（5.7）ψ±（t）=±αβt2α-1pβ+βt2α，这意味着ψ-（t）≤ 0≤ ψ+（t），对于所有t>0和limt↓0ψ-（t） =-∞, B（0）=0，极限↓0ψ+（t）=+∞,ψ-(0) = -2κ/ξ≤ B（0）≤ ψ+(0) = 0.此外，请注意（5.8）B（t）=-ξ（B（t）- ψ+（t））（B（t）- ψ-（t））。如果τ：=sup{t>0:ψ-（s）≤ 乙(s)≤ ψ+（s），对于所有0≤ s≤ t} 是有限的，那么从B在[0，τ]上的单调性和连续性，我们得到了B（τ）=ψ+（τ）和B（τ）=0。因此，B（τ）=ξ（ψ+（τ）- ψ-（τ） ψ+（τ）/2>0，表示存在τ*> τ使得t的B（t）>B（τ）=0∈ (τ, τ*], 因此B（t）∈ (ψ-（t），ψ+（t））fort∈ (τ, τ*], 与τ的完整性相矛盾，因此τ=∞. 我们现在证明limt↑∞T-αB（t）=β。定义函数φ+，φ-: （t）*, +∞) → R乘以φ±（t）=-βtα±βt2α+ξκξ- 2βαtα-1.1/2，其中t*≥ 0足够大，因此φ±（t）作为实数（α）存在- 1<0）表示t>t*. 对于大t，我们有（5.9）φ+（t）=κ2ξβt-α+O（t）-3α）和φ-（t） =-2βtα+O（t-α).对于大t，φ+（t）<0和φ-（t） <0。自f（t）=-ξ（f（t）-φ+（t））（f（t）-φ-（t）），可能出现两种情况：o存在t>0，使得φ+（t）≤ f（t）；o尽管如此，t>t*, φ+（t）>f（t）；在第一种情况下，比较原则意味着对于所有t>t，φ+（t）≤ f（t）（类似于（5.6）的证明）。因此（5.6）和f的定义产生βtα+β+φ+（t）≤ B（t）≤ ψ+（t），这证明了结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:38

在第二种情况下，我们首先证明存在t>0，使得f（t）>φ-（t）：如果所有这些都是φ-很明确，我们有f（t）≤ φ-（t），然后ψ-（t）≤ B（t）=f（t）+β+βtα≤ φ-（t）这意味着A+Jacount，a+Jacount，a+Jacount~ -βtα与B的阳性相矛盾（见（5.6）和（5.8））。因此存在>0，使得f（t）>φ-（t）。因此，既然*,φ-（t） =-βαtα-1.-βαt2α-1+βα(1 - α） ξt2-αβt2α+ξκξ- 2βαtα-1.-1/2<0，比较原理意味着φ-（t）≤ f（t）≤ φ+（t）对于所有t>t，因此f在（t）上不递减，∞); 在φ+的约束下，它收敛到一个常数，且极限为零↑∞T-αB（t）=β。我们现在证明，当t趋于完整时，有效域dt收敛到[0,1]。对于任何你∈ R\\[0,1]，B（t）=-ξB（t）+2κB（t）ξ+u（1）- u） 2Γ（1+d）td=-ξB（t）+κξ+κ2ξ+u（1）- u） 2Γ（1+d）td。因此，B（t）≤κ2ξ+u（1）-u） 2Γ（1+d）td，因此B（t）≤ κt/2ξ+u（1-u） 2Γ（d+2）t1+d，因此limt↑+∞T-d/2B（t）=-∞.自A（t）=-κθRtB（s）ds，因为[0，1]总是在Dt中，对于任何t≥ 0（因为过程是一个鞅），命题的（i）部分来自定理2.1。现在我们进入命题的第（二）部分，当d∈ (-1/2, 0). 首先，让我们证明这一点↑∞B（t）=0。考虑函数ψ-, ψ+如（5.5）所定义。当t趋于零时，ψ+发散到+∞ 和ψ-到-∞, 如此有限↓0ψ-（t） <B（0）<limt↓0ψ+（t），因此，从（5.8）开始，在原点附近为正。此外，对于所有的t>0，等式（5.7）意味着ψ+（t）<0<ψ-（t）。设t:=sup{t>0:ψ-（s） <B（s）<ψ+（s），对于所有0<s<t}。如果是有限的，那么B（t）≥ ψ+（t）因为ψ-（t） <0和B在（0，t）中为正且递增。因此，B（t）=ψ+（t）和B（t）≥ ψ+（t）对于所有的t>t，根据比较原理，因此B在（t）上递减+∞).

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:41

因为它被限制在极限之下↑∞ψ+（t）=0，它收敛于某个常数C≥ 0.根据Riccati方程（2.4），b然后收敛到-κC-ξC，C=0。如果是有限的，那么B是递增的，并由ψ+从上方限定，在有限时趋于0；这个矛盾因为B在增加，所以limt↑∞B（t）=0。最后，因为S是鞅，动量母函数是凸的，[0，1] 对于所有的t>0，因此[0，1] D∞.5.3. 定理3.6（i）的证明。在本节和下一节中，流程（XBSt）t≥0表示从原点到Black-Scholes随机微分方程dXBSt=-∑dt＋∑dBt，对于某些给定的∑>0，对于t>0。在这个模型中，一个到期日为t，行使价为x的欧式看涨期权的价格∈ R）由cbs（x，t，∑）=N给出-x∑√t+∑√T- exN-x∑√T-Σ√T,其中N表示高斯累积分布函数。简单的计算得到对数E尤克斯布斯特=u（u）- 1） ∑t，对于所有的u∈ R

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-7 04:30:44

在[21]中，作者证明了过程（XBSt）≥0满足速度t的大偏差原则-1和良好的速率函数x7→ x/（2∑），这意味着以下限制成立：limt↓0t对数E前任- eXBSt+= -x的x2∑≤ 0和limt↓0t对数EeXBSt- 前任+= -x的x2∑≥ 0.17d时分数HESTON模型的渐近行为∈ （0，1/2），从定理3.1（i）中，我们可以模拟这个证明来获得极限↓0t对数E前任- 提取+= -λ*+（x），为x≤ 0和limt↓0t对数E提取- 前任+= -λ*+（x），为x≥ 0，其中λ*±定义在（3.1）中，因此对于任何实数x，∑（x，t）收敛到√η随着t趋于零。同样，在d的情况下∈ (-1/2，0），从定理3.1（i）中我们得到↓0t1+dlog E前任- 提取+= -λ*-（x），为x≤ 0和limt↓0t1+dlog E提取- 前任+= -λ*-（x），为x≥ 0.考虑ansatz∑t（x）=σtd/2，对于某些σ>0；Black-Scholes看涨期权价格读取SCB（x，t，∑t（x））=Nσt1/2+d/2-xσt1/2+d/2- exN-σt1/2+d/2-xσt1/2+d/2.因为N（z）=e-z/2Z-2z+o（z-3)由于z趋于负值，经过简化后，我们得到CBS（x，t，∑t（x））=exp-xσt1+d- x+σt1+dσt3/2+3d/22x+ot3/2+3d/2.因此，取σ=x√2λ*-（x） =qvΓ（2+d），我们得到limt↓0t日志E（eXBSt- ex）+=-λ*+（x），对于所有x>0。同样，limt↓0吨原木E（ex- eXBSt）+=-λ*+（x），对于所有x<0.5.4。定理3.6（ii）的证明。考虑Black-Scholes模型中的一个看涨期权，其对数冲击xt1+d/2和时间相关的隐含波动率eσ（x，t）≡√2td/4p∧*+（x） +p∧*+（十）- 十、. 然后cbs（x，t，eσ（x，t））=eeXBSt- ext1+d/2+= N-xt1+d/2eσ（x，t）√t+eσ（x，t）√T- ext1+d/2N-xt1+d/2eσ（x，t）√T-eσ（x，t）√T= Nt1/2+d/4q2（λ）*+（十）- 十）- ext1+d/2N-t1/2+d/4q2∧*+（十）,在这里我们使用了identityp∧*+（x） +p∧*+（十）- x+x√Λ*+（十）+√Λ*+（十）-x=2p∧*+（x）在第二行。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:47

SinceN（y）=1- E-y/2Y-1+o（y）-1)对于大y，我们得到1- CBS（x，eσ（x，t））=exp（十）- Λ*+（x））t1+d/2√2t1/2+d/4p∧*+（x） +p∧*+（十）- x+o（1）！，因此限制↑∞T-（1+d/2）对数1.- CBS（x，t，eσ（x，t））= 十、- Λ*+（x）。现在让我们按照[33，定理13]的思路回到定理的证明上来。设f是一个函数，它在无穷远处发散到无穷远处，使得点态极限∧（u）：=limt↑∞f（t）-1日志E尤克斯存在于所有你∈ D∧ R.由于股票价格是一个真正的正鞅，我们可以通过deP/dP定义一个新的概率度量ePFt=St.UndereP，（Xt/t）t的极限累积量生成函数≥0读数∧（u）：=limt↑∞f（t）-1洛奇尤克斯, 对于所有的u，clearley∧（u）=∧（u+1）∈ De∧=v∈ R:1+v∈ D∧}。注意，0∈ Doe∧当且仅当1∈ DoΛ. 该身份还表明，芬切尔-勒让德变换与18 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK Room和FANGWEI SHIe∧有关*（x） =λ*（十）- x、为了所有的x∈ R.现在，如果家族（Xt/f（t））t≥1在速度f（t）和良好的速率函数∧下满足P和P下的大偏差原则*安第斯∧*, 然后，以下行为成立：（看跌期权）limt↑∞f（t）-1日志Eexf（t）- 提取+=（十）- Λ*（x）如果x≤ 十、*,如果x>x*,（看涨期权）限制↑∞f（t）-1日志E提取- exf（t）+=(-e∧*（x）如果x≥ 前任*,如果x<ex，则为0*,（有担保看涨期权）有限期↑∞f（t）-1日志1.- E提取- exf（t）+=如果x>ex，则为0*,十、- Λ*（x）如果x∈ [x]*, 前任*] ,如果x<x*,（5.10）其中x*还有前任*函数在哪里∧*安第斯∧*达到它们的最小值，并满足x*= Λ+(0) ≤ Λ-（1） =前*.此外，（i）-（iii）中的收敛性在R的紧子集上在x中是一致的。我们首先在d的情况下证明了该定理∈ (0, 1/2].

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:50

对于f（t）≡ t1+d/2，方程（5.10）简化↑∞T-（1+d/2）日志Eext1+d/2- 提取+= x、为了所有的x∈ R、极限↑∞T-（1+d/2）日志E提取- ext1+d/2+= 0代表所有x∈ R、极限↑∞T-（1+d/2）对数1.- E提取- ext1+d/2+= 十、- Λ*（x），为了所有的x∈ R.因此，隐含波动率满足极限↑∞T-d/4∑（xt1+d/2）=√p∧*+（x） +p∧*+（十）- 十、对于R中的所有x。d情况下定理的证明∈ (-1/2，0）与[33]中的类似，因此省略。附录A.加特纳-埃利斯定理我们在此简要回顾了大偏差和加特纳-埃利斯定理。有关这些的详细说明，感兴趣的读者应参考[13]。让（Xn）n∈Nbe R中的一系列随机变量，具有μ律和累积量生成函数∧n（u）≡ 日志E（euXn）。对于实线的Borel子集a，我们将分别用AO和“a”来表示其内部和闭包（在R中）。定义A.1。序列Xnis表示满足大偏差原则，对于R中的每个Borel可测量集E，速度n和速率函数Iif，- infx∈EoI（x）≤ 林恩芬↑∞nlog P（Xn）∈ （E）≤ 林尚↑∞nlog P（Xn）∈ （E）≤ - infx∈\'EI（x）。此外，如果速率函数在整条实线上严格凸，则称其为良好的。在说明主要定理之前，我们还需要一个概念：定义A.2。设∧：R→ (-∞, +∞] 是凸函数，D∧：={u∈ R:λ（u）<∞} 它的作用域。如果内部Do∧为非空，则函数∧称为基本光滑在整个Do∧中∧是可微的；分数HESTON模型19oλ的渐近行为是陡峭的：limn↑∞|∧（un）|=∞ 对于任意序列（un）n≥1in Do∧收敛到Do∧的边界点。现在假设极限累积量生成函数∧（u）：=limn↑∞N-1∧n（nu）作为所有u的扩展实数存在∈ R、让D∧表示其有效域。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:53

让∧*: R→ R+表示其（对偶）芬切勒让德变换，通过变分公式∧*（x）：=supλ∈D∧{λx- Λ(λ)}. 然后，以下是成立的：定理A.3（G–artner-Ellis定理）。如果0∈ Do∧，是下半连续的，本质上是光滑的，那么序列（Xn）是一个带有速率函数∧的大偏差原理*.当满足G–artner-Ellis定理的部分条件时，可能无法使用完全大偏差原则，但可以定义部分原则，如下所示：定义a.4。我们可以说，序列（Xn）满足速度为n的偏大偏差原理-1在某区间i上，速率函数∧*如果定义A.1适用于所有子集A I.很明显，如果0∈ Do∧和∧在某些区间I上是下半连续且严格凸的 R、然后（Xn）满足了I=I，速率函数为∧的偏大偏差原理*（x）：=supu∈我{ux- ∧（u）}。参考文献[1]E.Al`os，J.Gathereal和R.Radoiˇci`c.随机波动下条件预期的指数化。ssrn:29831802017。[2] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007。[3] R.T.贝利、T.博勒斯列夫和H.O.米克尔森。分数积分广义自回归条件异方差。《计量经济学杂志》，74:3-302996。[4] G.Bakshi、C.Cao和Z.Chen。另类期权定价模型的实证表现。《金融杂志》，52（5）：2003-20491997。[5] D.S.贝茨。跳跃和随机波动：德国马克期权隐含的汇率过程。《金融研究回顾》，1996年9:69-107。[6] C.拜耳、P.K.弗里兹和J.加泰尔。剧烈波动下的定价。《定量金融》，16（6）：887-9042016。[7] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:56

在粗略的分数波动模型中，货币附近的短时间是倾斜的。arXiv:1703.05132，2017年。[8] B.Bercu和A.Rouault对Ornstein-Uhlenbeck过程的偏差较大。《暹罗概率论及其应用》，46:1-192002。[9] T.比约克和H.霍尔特。关于Wick积和分数Black-Scholes模型的注记。鳍斯托克。，9: 197-209, 2005.[10] 切里迪托。分数布朗运动模型中的套利。《金融与随机》，7:533-5532003。[11] F.孔德和E.雷诺。连续时间随机波动模型中的长记忆。数学金融，8（4）：291-3231998。[12] F.孔德、L.库廷和E.雷诺。一个有效的分数随机波动率模型。《金融年鉴》2012年第338期。[13] A.Dembo和O.Zeitouni。大偏差技术和应用。琼斯和巴特莱出版社，波士顿，1993年。[14] J.D.Deuschel和D.Stroock。大偏差。美国数学学会，第342卷，2001年。[15] D.杜菲、D.菲利波维奇和W.沙切迈耶。一套财务流程和应用。《应用概率年鉴》，13（3）：984-1053，2003年。[16] O.El Euch和M.Rosenbaum。在粗糙的赫斯顿模型中完美的对冲。arXiv:1703.05049，2017年。[17] O.El Euch和M.Rosenbaum。粗糙Heston模型的特征函数。arXiv:1609.021082016。[18] O.El Euch、M.Fukasawa和M.Rosenbaum。杠杆效应和粗波动的微观结构基础。arXiv:1609.05177，2016.20 HAMZA GUENNOUN、ANTOINE JACQUIER、PATRICK ROOME和FANGWEI SHI[19]R.Elliott和J.van der Hoek。一般分数白噪声理论及其在金融中的应用。《数学金融》，13:301-330，2003年。[20] M.福特和A.杰奎尔。赫斯顿模型下隐含波动率的小时间渐近性。IJTAF，12（6）：861-8762009。[21]M.Forde和A.Jacquier。海斯顿模型的成熟微笑。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:30:59

《金融与随机》，15（4）：755-7802011。[22]M.福德和H.张。粗糙随机波动率模型的渐近性。暹罗财经杂志。数学8: 114-145, 2017.[23]J.P.Fouque、G.Papanicolaou、R.Sircar和K.Solna。股票、利率和信贷衍生品的多尺度随机波动。2011年世界杯。[24]M.Fukasawa。随机波动率的渐近分析：鞅展开。《金融与随机》，15:635-6542011。[25]J.Gathereal。《波动表面：从业者指南》。威利，2006年。[26]J.Gatheral、T.Jaisson和M.Rosenbaum。波动很剧烈。预印本，arXiv:1410.33942014。[27]C.W.J.Granger和R.Joyeux。长记忆时间序列模型和分数差分介绍。时间序列分析杂志，1:15-391980。[28]P.Guasoni。交易成本下的无套利，分数布朗运动及其他。数学鳍16: 569-582, 2006.[29]A.Gulisashvili。分析可处理的随机股票价格模型。Springer Finance，2012年。[30]P.亨利劳累了。金融学中的分析、几何和建模：期权定价的高级方法。CRC，2008年。[31]S.赫斯顿。具有随机波动性的期权的封闭形式解，应用于债券和货币期权。《金融研究回顾》，6:327-3421993。[32]Y.Hu和B.Oksendal。分数白噪声演算及其在金融中的应用。有限维分析，量子概率和相关主题，6:1-322003。[33]A.Jacquier，M.Keller Rescel和A.Mijatovi\'c.大偏差和带跳跃的随机波动性：有效模型的渐近隐含可用性。《随机统计》，85（2）：321-345，2013年。[34]A.Jacquier和P.Room。小海斯顿向前微笑。暹罗财经杂志。数学4(1): 831-856, 2013.[35]A.Jacquier和F.Shi。随机赫斯顿模型。arXiv:1608.071582017。[36]M.Jeanblanc、M.Yor和M。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-7 04:31:02

切斯尼。金融市场的数学方法。斯普林格，2009年。[37]I.Karatzas和S.E.Shreve。布朗运动与随机微积分。斯普林格·维拉格，1997年。[38]S.卡林和H.泰勒。随机过程的第二门课程。学术出版社，1981年。[39]M.凯勒·雷塞尔。一个有效随机波动率模型的瞬间爆炸和长期行为。《数学金融》，21（1），73-982011年。[40]A.刘易斯。随机波动下的期权估值。金融出版社，2000年。[41]V.马里克。规则变化和微分方程。数学课堂讲稿1726，柏林，斯普林格·维拉格，2010年。[42]S.梅奇科夫。赫斯顿模型的热启动初始化。风险，2016年11月。[43]A.Mijatovi\'c和P.Tankov对跳跃资产价格模型中的短期隐含波动性进行了新的研究。《数学金融》，26（1）：149-1832016年。[44]Y.Mishura。分数布朗运动和相关过程的随机演算。斯普林格，2008年。[45]G.L.O\'Brien和J.Sun。线性空间上的大偏差。《概率与数学与统计学》，16（2）：261-273，1996年。[46]A.D.波利亚宁和V.F.扎伊采夫。普通微分方程精确解手册，第二版，Chapmanand Hall/CRC，Boca Raton，2003年。[47]R.北约。波动性和相关性：完美的对冲工具和狐狸。约翰·威利父子公司；第二版，2004年。[48]L.C.G.罗杰斯。分数布朗运动套利。《数学金融》，7:95-1051997。[49]S.G.桑科、A.A.基尔巴斯和O.I.马里切夫。分数积分和导数。理论与应用。戈登和科学出版社，1993年。[50]A.Shiryaev。分形模型的套利和复制。研究报告20，丹麦奥胡斯大学数学科学系MaPhySto，1998年。[51]P.坦科夫。指数L’evy模型中的定价和套期保值：近期结果综述。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝