粗糙和非粗糙Heston模型之间的比较原则

2022-6-24 03:18:04

粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则——应用于挥发性表面Martin KELLER-Restel和ASSAD MAJIDAbstract。我们给出了一些相关的比较结果，可以比较随机波动率的粗糙和非粗糙Heston模型之间的矩爆炸时间、矩母函数和临界矩。所有结果都基于某些非线性Volterra积分方程的比较原理。我们的力矩爆炸时间上限不同于Gerhold、Gerstenecker和Pinter（2018）引入的上限，更严格的典型参数值。结果可以直接转化为粗糙和非粗糙Heston模型之间隐含波动率渐近斜率的比较原理。这一原理表明，对于小到期日，粗糙赫斯顿模型与非粗糙赫斯顿模型的隐含波动率斜率之比至少以幂律行为增加。1、导言众所周知，经典的随机波动率模型不能准确地产生所观察到的隐含波动率面的所有特征。特别是对于短期到期，人们经常看到，马尔可夫扩散驱动模型，如赫斯顿模型[Hes93]，产生的微笑比观察到的市场数据的隐含微笑更为明显和不那么令人厌恶[BCC97]。虽然股票价格动态增加跳跃可以缓解其中一些不足（参见[Bat96，JKRM13]），但最近出现的一种替代方法是粗糙波动率模型[GJR18]。在此类模型中，波动性由非马尔可夫随机过程建模，该过程类似于具有低赫斯特指数（例如H<<0.1）的分数布朗运动。除了隐含波动率的更现实行为外，波动率时间序列的计量经济学分析也支持粗糙波动率方法【GJR18，FTW19】。

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能者818

2022-6-24 03:18:07

虽然粗糙模型中隐含波动率的行为主要通过数值计算进行研究，但在[FZ17、GJRS18、FGS19]（短期和/或长期渐进性）和[Fuk17、BFG\'19]（货币倾斜的短期渐进性）中获得了分析结果。在这里，我们关注的是[ER19]的粗糙赫斯顿模型中隐含挥发力的机翼渐近（小走向和大走向）（另见[ER18]），该模型因其可跟踪性及其与精细过程的联系而越来越流行（见[AJLP17，GKR19，KRLP18]）。从[Lee04]的结果开始（另见[BFL09]），人们已经很好地理解了隐含波动率的翼渐近与基础随机模型中的动量爆炸密切相关（另见[FKR10]）。因此，Gerhold、Gerstenecker和Pinter对粗糙Heston模型中的力矩爆炸进行了首次研究【GGP18】。作者推导了力矩爆炸时间的下界M.KELLER-Resel和a.MAJIDand上界及其数值近似方法（在一定参数范围内有效）。我们以[GGP18]的结果为基础，推导出了粗糙赫斯顿模型（Thm.4.1）中力矩爆炸时间的新上界。我们的新界通常比[GGP18]的上界更紧，更重要的是，通过对经典Heston爆炸时间的变换，可以直接比较粗糙和非粗糙Heston模型。结果基于非线性Volterra积分方程的比较原理，并得出了许多进一步的比较结果：对于粗糙和非粗糙赫斯顿模型的矩母函数（Thm.5.1），对于它们的临界矩（Thm.6.3），最后是对于微笑翅膀中隐含的波动率斜率。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:18:10

我们强调定理7.2，这涉及（负杠杆）粗糙赫斯顿模型中左翼隐含波动率（AIVS'αpTq）的渐近斜率，该斜率依赖于成熟度T和粗糙度参数α“H”。该斜率可以由非粗糙赫斯顿模型（AIVS'pTq）的时变和重标度斜率下界asAIVS'αpTqěTα'1αpαqAIVS'Tαpαq'对于小于特定阈值Tα的所有T。定理7.4.2给出了同样适用于右翼的稍微较弱的结果。预备工作2.1。粗略的赫斯顿模型。我们考虑了风险中性资产价格S的粗赫斯顿模型[ER19，ER18]，现货方差为V，由DST“StaVtdWt（2.1a）Vt”给出的V′tκαpt'sqλpθpsq'Vsqds′ηtκαpt'sqaVsdBs（2.1b），其中V，λ和η为正，θp LlocpRě0，Rě0q，pB，Wq为布朗运动，具有常数相关性ρp p'1，1q和κα为幂律核καptq“pαqtα'1，αp p，1s。如[ER19，p，1s]所示第2.1条]V与指数inr0α'q是H¨older连续的，因此α控制方差过程V的“粗糙度”。粗糙赫斯顿模型的其他重要属性，如货币隐含波动率斜率的衰减，也与参数α有关，参见【ER19，第5.2节】。在特定情况下，α“1，核变为常数，即κ”1和V可以用熟悉的SDE形式（2.2）dVt“λpθptq'Vtqdt'ηaVtdBt来表示。在这种情况下，Vq成为具有时变均值回归水平的扩展Heston模型，正如[B–uh06，Ex.3.4]在方差曲线模型的上下文中所考虑的那样。如果θ也是常数，则[Hes93]的Heston模型（“经典赫斯顿模型”）已恢复。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则32.2。粗糙赫斯顿模型的矩母函数。

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2022-6-24 03:18:14

我们的比较原理基于X“log S的矩母函数，该函数已在[ER18]和[GGP18]中进行了研究。定义了α-粗糙赫斯顿模型（2.3）Tαpuq的矩爆炸时间：“sup！Tě0:E”euXti259; 8），u P和二次多项式（2.4）Rpu，wq：“upu'1q'wpρηu'λq'ηw，在[Hoh98]的意义上可以被视为赫斯顿模型的‘符号’。此外，用iαf ptq：“Γpαqztpt'sqα'1f psqds”和Dαf ptq：“ddtI1'αtf ptqt”表示黎曼-刘维尔左侧分数阶积分和导数算子粗糙赫斯顿模型的矩母函数由以下结果给出：定理2.1(【ER18，GGP18】）。在粗略的赫斯顿模型中，对数价格X“log Ssatis fies（2.5）E“euXti”exp^λztθpt'sqψαps，uqds'VI1'αtψαpt，uq'对于所有u P R，t P r0，tαpuqq和ψαP¨，uq求解分数Riccati方程（2.6）Dαψαpt，uq“Rpu，ψαpt，uqq，I1'αψαp0，uq”0。对于非粗糙Heston模型（i.E，α“1）算符I1'α消失，Dα变成普通导数，分数Riccati方程（2.6）变成熟悉的Riccati方程。此外，在经典Heston情况下，解ψ和力矩爆炸时间Tpuq是明确已知的（参见[AP07，KR11]）。上述定理由以下结果补充：定理2.2（[GGP18]）。分数Riccati方程（2.6）等价于RiccatiVolterra积分方程（2.7）ψαpt，uq“ztκαpt'sqRpu，ψαps，uqd和tαpuq”^tαpuq，其中（2.8）^tαpuq：“sup ttě0：ψαpt，uqa8u。关于（2.6）和（2.7）的等价性，另请参见[KST06，Thm.3.10]。定理的第二部分指出，函数tTh~nE“euXt‰”和tThαpt，uq同时爆破是的。

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kedemingshi

2022-6-24 03:18:17

因此，（2.7）的解ψα包含了在粗糙Heston模型中分析力矩和力矩爆炸所需的所有相关信息。关于更一般的核κ和多变量推广（‘af fine Volterraprocesses’）的相关结果可在[AJLP17，GKR19]4 M.KELLER-Restel和A.MAJID2.3中找到。校准前向方差曲线。给定一个随机波动率模型和即期方差过程V，相关的前向方差曲线由（2.9）ξpTq给出：“ErVTs，并代表市场对未来方差的预期。我们很清楚，远期方差与方差掉期和其他依赖于波动性的产品的价格密切相关，对于这些产品，远期方差曲线与利率的远期曲线具有类似的作用。在拉夫赫斯顿模型（2.1）中，从[ER18，Prop.3.1]中可以看出这一点（另请参见[KRLP18]）前向方差曲线由（2.10）ξpTq“V1'Trα，λpsqds''TθpT'sqrα，λpsqds给出，其中rλ，α是λκα的所谓预解式，由（2.11）rλ，αpTq“#λTα'1Eα，αp'λTαq，αp p0，1qλe'λTα”1给出，其中eα，α表示Mittag Lef FLER函数，参见【HMS11】。给出一个具有适当规律性的方差曲线ξ，方程（2.10）可以对θ进行反演和求解，对于解（2.12）θptq“λDαpξptq'Vq'ξptq，另请参见[ER18，Rem.3.2]。我们将选择θp.q的模型称为校准到给定前向方差曲线的模型。对于校准模型，矩生成函数（2.5）可以用方差曲线ξp.q而不是θp.q表示，并写成（2.13）E“euXti”“exp^ztξpt'sqpRpu，ψαps，uqq'λψαps，uqqds'，对于所有u P R，t P r0，tpuqq，请参见[KRLP18]。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:18:21

Riccati-Volterra方程的比较原则rough Heston模型中的力矩、力矩爆炸时间和隐含波动率的比较结果将全部来自Volterra-Riccati积分方程（2.7）的比较结果。事实上，本节中的比较结果是针对更一般的Volterra积分方程（3.1）ψκpt，uq公司“tκpt'sqRpu，ψκps，uqds，其中仅对核κ施加以下假设：假设3.1。核κ”为非负且递减，且对所有ta0都满足tκpsqdsa8。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则5显然，该假设包括所有αP p0，1s的幂律核κα。我们对符号的滥用很轻引入的ve不应引起任何混淆：ψκ表示一般核κ的（3.1）解；ψα表示幂律核κα；和ψ表示普通Heston情况κ“1。解ψκ的性质，特别是其最大寿命，关键取决于Rpu，wq的性质。如【GGP18】所示，我们区分以下情况，如图1（A）Rpu、0qa0和BwRpu、0qě0、（B）Rpu、0qa0和BwRpu、0qa0和Rpu、¨q没有根、（C）Rpu、0qa0和BwRpu、0qa0和Rpu、¨q有正根、（D）Rpu、0qd0。wRpu、wqcase（A）wRpu、wqcase（B）wRpu、wqcase（C）wRpu、wqcase（D）图1。Rpu¨q的示意图，其中u P R满足情况（A）、（B）、（C）或（D）。这些情况可以通过将熟悉的二次方程理论应用于多项式Rpu，wq来分析。按照[GGP18]中的符号，我们将Rpu，wq重写为（3.2）Rpu，wq“cpuq`cpuqw`ηw，系数为“upu'1q，cpuq”ρηu'λ。wTh~nRpu，wq的判别式由（3.3）给出puq“'pρηu'λq'ηpu'uq'。6 M.KELLER-Resel和A.MAJIDIf，且仅当puq为正，Rpu，¨q有两个实根，位于ηp'cpuqapuqq。

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kedemingshi

2022-6-24 03:18:24

在ρa0的情况下（这在应用中是典型的），这导致以下分类，如下图3所示：引理3.2。假设ρa0表示puq by（3.4）d：“η'2ρapη'2ρq'4λp1'ρq2ηp1'ρq。然后λρηd'0；1ad'和'u saties case（A）d~nudλρηηηη，u satis case（B）d~nu P Pλρη，d'，8q，'u satis case案例（C）d~nu P rd'，0qYp1，d'，案例（d）d~nu P r0，1s.证明。案例映射（A-d）相应的间隔基于以下观察：Rpu，0q“cpuq在r0、1s上为负，外部为严格正；BwRpu，0q”cpuq在udλρη上为正，其他地方为严格负。最后，判别式Wu的puq，wq在rd'内为正，在rd'外为负。还需要说明d的所述不等式。直接从（3.4）中可以看出，d'a0和d'ě2pη'2ρq2ηp1'ρqě1'ρ261; 1。最后，e^λρη˙“'4ρpλ'λρηqa0表明λρηd'。如果sκpsqds“8，则上述四种情况与ψκ的性质有以下联系：”“在情况（A）和（B）中，解ψκ在有限的时间内爆炸。”“在情况（C）和（D）中，解ψκ全局存在。在幂律情况κ”κα中，这已在[GGP18]中显示出来。”. 然而，我们的目标不仅仅是描述ψκ全局存在的域，而是在ψκ和非拉夫赫斯顿解ψ之间给出更明确的比较原则。此类比较结果已在非爆炸性案例（C）中的【GKR19，附录A】中给出，我们将把这些论点推广到所有情况（A-D）。为了得出这些结果，让WPUq：“\'cpuqη”\'ηpρηu'λqA粗糙和非粗糙HESTON模型7之间的比较原则表示wTh~nRpu、wq和wpuq的全局最小值的位置：“η'cpuq'2apuq？其第一根的位置，无论何时 puqě0。下一个引理与[GKR19，Lem]密切相关。

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2022-6-24 03:18:28

A、 3）。引理3.3。设u P R和Qpu，由（3.5）Qpu定义，wq：“zwdζRpu，ζq，w P R。此外，我们定义了nevpuq：“a'”puq▄π'arctan▄cpuqa'puq,,，vpuq：“apuqlog▄cpuq▄2apuqcpuq'2apuq,。（a）如果满足情况（a）和 puqa0，函数Qpu¨q映射r0，8q到r0，vpuqq，严格递增，并且有一个逆q'1pu¨q，它映射r0，vpuqqo到r0，8q。如果puqa0，vpuq必须替换为vpuq。（b）如果u满足情况（b），则与（a）中相同的断言成立（限制条件是只需要vpuq）。（c）如果满足情况（c），则认为wpuqa0和函数Qpu¨q mapsr0，wpuqq到r0，8q严格递增，并且具有反向q'1pu¨q，将r0，8q映射到r0，wpuqq。（d）如果满足情况（d），则认为wpuqa0和函数Qpu¨q mapspwpuq，0s到r0，8q是严格递减的，并且具有反向q'1pu¨q，将r0，8q映射到pwpuq，0s。备注3.4。虽然引理主要是关于函数Qpu，wq，从Tpuq可以写成asTpuq“limw~n8Qpu，wq”zdζRpu，ζqin情况（A）和（B），参见[KR11，第6.1节]这一事实，可以明显看出与赫斯顿模型中力矩爆炸的联系。证据。（A）由于被积函数1{Rpu，ζq在r0上为正，如果usatis情况（A）为8q，我们可以得出结论，Qpu，¨q严格地在增加。它只是表明积分达到极限vpuq resp。vpuq。如果puqa0，我们得到limw~n8Qpu，wq“dζRpu，ζq”a'puqarctan？ηw\'cpuqa'puq,“vpuq，8 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDand ifpuqa0，我们得到了zdζRpu，ζq“apuqlog^ηw\'c\'2apuqηw\'c\'2apuq˙ˇˇˇˇ“vpuq.（b）限制为puqa0，案例（B）的证明类似于（a）。（c）在案例（c）中，我们可以提出类似的论点，因为被积函数1{Rpu，ζq在r0，wpuqq上为正。

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2022-6-24 03:18:31

如果我们将上述积分的上限替换为wpuq，则断言如下。（d）案例（d）的证明类似于（c），只需考虑Rpu的不同符号¨q onpwpuq，0s。现在，我们准备将[GKR19，附录A]的结果调整到我们的框架中。定理3.5。设u P R.（a）如果u满足情形（a），则ψκP¨，uq满足（3.6）0dψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uq，tě0。（b）如果u满足情况（b），则ψκp¨，uq满足（3.7）0dψ^tκpsqds，u˙ψκpt，uq，tě0，其中ψ是ψpt的解，uq“ztR\'u，ψps，uqds，tě0，R由（3.8）Rpu，wq给出：“#Rpu，wpuqq wdwpuqru，wq wawpuq。（c）如果u满足情况（c），则ψκp¨，uq全局存在，且满足（3.9）0dψκpt，uq^tκpsqds，u˙wdpuq，tě0。（d）如果u满足情况（d），则ψκp¨，uq在全球存在且满足（3.10）wpuqaψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uqa0，tě0。备注3.6。（3.8）中引入的函数wTh~nRpu，wq应解释为增加wTh~nRpu，wq的下包络，即从下方将其包围的最大增加函数。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则9Proof。根据[GLS90，Thm.12.11]，方程（3.1）在一些非空时间间隔r0，Tκpuqq上有一个连续的局部解ψκp¨，uqo。此外，ψκp¨，uq可以延续到（但不能超过）存在的最大区间r0，^Tκpuqq，该区间向右开放，对于^Tκpuqa8，它认为（3.11）lim supt^Tκpuqψκpt，尤其是，这意味着^Tκpuq可以写成^Tκpuq“suptta0：ψκpt，uqa8u，与（2.8）一致。（a）让u满足情况（a）。回想一下非粗糙Hestonmodel中的Riccati方程：（3.12）Btψpt，uq”Rpu，ψpt，uqq。我们声称其解满足（3.13）Qpu，ψpt，uqq”T，@T P r0，^Tpuqq，其中Q由（3.5）给出。

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kedemingshi

2022-6-24 03:18:34

除以Rpu，ψpt，uqq并积分（3.12）的两侧，得到ztBsψps，uqRpu，ψps，现在我们替换η“ψps，uq，dη”Bsψps，uqds，得到（3.14）ψpt，uqdηRpu，ηq”t，验证（3.13）。我们记住，对于满足u的情况（A），函数Rpu，¨q是正的，并且在r0，8q上递增。由于核κ是递减的，我们可以推导出以下不等式ψκpt，uq“tκpt'sqRpu，ψps，uqdsě380; tκpt'sqRpu，ψκps，uqqds“：vpt，Tq，（3.15）对于0dtdtatκpuq。很容易看出，上述定义的函数vpt，Tq具有边界值Vp0，Tq“0，vpt，Tq”ψκpt，uq，（3.16），并且由于wTh~nRpu，wq在r0，8q上增加，满足微分不等式（3.17）Btvpt，Tq“κpt'tqRpu，ψκpt，uqqěpt'tqRpu，vpt，Tqq。现在，我们可以使用微分方程的标准比较原理（参见第二章，【BW98】第9节）来获得（3.18）vpt、Tqěrpt、Tq、10 M.KELLER-Restel和A.MAJIDwith rpt、Tq是（3.19）Btrpt的解决方案，Tq“κpT'tqRpu，rpt，Tqq。请注意，该微分方程与（3.12）的区别仅在于因子κpT'Tq。因此，如果我们除以Rpu，rpt，Tqq，将两侧积分到T，并用η“rpt，Tq，dη”Btrpt，Tqdt代替（3.14）中的Heston情况的公式，我们得到（3.20）Qpu，rpt，Tqq“zrpt，TqdηRpu，Tqq“zTκTqdt”“zTκptqdt，TaTκpuq。应用Q'1pu，¨Q到（3.13）和（3.20），它认为ψpt，uq“Q'1pt，uq，rpt，tq“Q'1^u，zTκpsqds'，，（3.21），我们可以推断（3.22）rpt，tq“ψu，zTκpsqds'，T P”0，^Tκpuq'”。不等式（3.15）和（3.18）最终产生（3.23）ψκpt，uq“limtvpt，tqělimT'Otrpt，tq”ψu，zTκpsqds，T P“0，Tκpuq”。（b）如果美国的情况（B）令人满意，那么不平等（3.15）仍然成立。但是，我们不能像（3.17）中那样讨论，因为函数Rpu¨q在r0 wpuqq上减少。

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能者818

2022-6-24 03:18:38

为了克服这个障碍，我们使用（3.8）中的调整函数Rpu，wq，并得出不等式btvpt，Tq“κpT'tqRpu，ψκpT，uqqěκpT'tqRpu，ψκpT，uqqěκpT'tqRpu，vpt，Tqq，对于所有0dta^tκpuq。从这一点出发，我们可以按照（a）中的步骤进行，函数rpt，Tq是trpt的解，Tq“κpT'tqRpu，rpt，Tqq。（c）让u满足情况（c）并设置（3.24）rTκpuq：“inft P'”0，^tκpuq：ψκpT，uq“wpuq或ψκpT，uq”0（.由于函数Rpu的行为，情况（C）中为¨q，并且由于（3.1），我们可以得出（3.25）ψκpt，uqa0，@t P'0，rTκpuq'。这清楚地表明ψκp¨，uq对于t p'0，rTκpuq'是增加的，因此（3.24）中的上界总是在下界之前到达。现在我们可以继续类似于（a）：考虑到0dtdtdrTκpuq，可以看出不等式（3.15）是满足的。粗糙和非粗糙HESTON模型11In（3.17）之间的比较原则，但是，不等式符号必须颠倒，因为Rpu，¨q在r0，wpuqq上递减。因此，（3.19）的解决方案rpt，Tq满足（3.26）rpt，Tqěvpt，Tq，0dtdrTκpuq。利用（3.15），（3.16），（3.22）和（3.26），我们得到（3.27）ψ^u，ztκpsqds˙“limT'Otrpt，TqělimT'Otvpt，Tq”ψκpt，uq，对于所有t P r0，rTκpuqq。通过（3.21），（3.22）和引理3.3（c），这意味着（3.28）limT~nrTκpuqψpt，uqdu，rTκpuqκpsqds,wpuq.24），我们现在得到rTκpuq“^tκpuq，即界限（3.9）保持所有P r0，^Tκpuqq，我们有limt^Tκpuqqψκpt，uq P r0，wpuqs。如果^Tκpuqqa8，这与（3.11）相矛盾，我们得出结论，^Tκpuq“8。（d）情况（d）中的边界证明类似于（c），具有以下适应性：必须反转（3.15）中的不等式符号，因为函数rpu¨q在pwpuq，0s上为负数。因此，与（c）相比，（3.17）中的不等式符号仍然存在。

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2022-6-24 03:18:41

因此，（3.25）、（3.26）、（3.27）和（3.28）的不等式符号必须颠倒，证明是完整的。3.1. 第一个后果。我们陈述了定理3.5的两个直接推论。第一个将[GGP18，Thm.2.4]从幂律核推广到一大类其他核。推论3.7。设κ为满足假设3.1且具有sκpsqds”8的核。则^Tκpuq是有限的，当且仅当u满足情况（a）或（B），且当且仅当u满足情况（C）或（D）时，它是有限的。特别是，setu P R:^Tκpuqa8（独立于κ证明）。在情况（a）中，已知ψpt，uq在有限时间内爆炸，参见【AP07，KR11】。自351;κpsqds“8并且，根据定理3.5，ψ^ztκpsqds，u˙ψκpt，uqf对于所有的tě0，以及ψκpt，uq必须在有限的时间内爆炸。在（B）情况下，ψpt，uq必须使用，而不是ψpt，uq。通过直接计算可以看出，ψpt，uq也在有限的时间内爆炸，参见下面的引理4.2。在（C）和（D）情况下，定理3.5显示了ψκpt，uq的全局存在性，即，则不会发生实时爆炸。在许多感兴趣的情况下，时间变化TThsTκpsqds将smallT的时间缩短到时间Tκ；见图2。这允许在不改变时间的情况下重新表述定理3.5，代价是削弱不等式。12 M.KELLER-RESSEL和A.Majid推论3.8。假设κ严格下降，存在tP p0，8q与κptq“1。然后，有一个唯一的解决方案TκP p0，（3.29）T”TκpSqd的8q，并且以下情况成立：（a）如果u满足情况（a），它认为ψpt，uqdκpt，uq，@TdTκ。（b）如果u满足情况（b），它认为ψpt，uqdκpt，uq，@TdTκ。证明。在给定的假设下，函数TTh351; Tκpsqds开始于T“0，是递增的，严格凹的，在tP p0，8q处有导数。很明显，这意味着存在唯一的固定点tκP p0，8q，即（3.29）的唯一解。

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2022-6-24 03:18:44

此外，tdtκpsqdsmust适用于所有tdtκ。由于ψp¨，在情形（A-C）中，uq严格递增（见[Gat06]第2章），我们从定理3.5中得出ψpt，uqdψ^ztκpsqds，u˙ψαpt，uqfortdtκ，完成情形（A）。（b）的证明是类似的。1212ttααΓpαqα“1α”0.75α“0.6图2。不同α的时间变化图stκαpsqds”tαΓpαqf。在具有幂律核καptq“Γpαqtα'1的粗糙赫斯顿模型中，相关的时间变化可以轻松计算，并由stκαpsqds“tαΓpαq”给出。核κα也满足推论3.8的要求，并给出了（3.29）的解按tα“pαΓpαqq1{pα'1q。图2A给出了粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则134。力矩爆炸时间的比较在本节中，我们研究了粗糙HESTON模型（2.1）中价格过程中力矩的时间演化. 虽然在Black-Scholes模型中，所有到期日都存在所有订单的矩，但众所周知，随机波动率模型中的矩可以在特定时间内变得有限（参见[FKR10]）。回顾（2.3）力矩爆炸时间Tαpuq“supttě0:ErSutsa8u的定义，在指数为αP P，1s的粗略赫斯顿模型中，u阶力矩。在赫斯顿情况下，Tpuq明确已知，并由（4.1）Tpuq“$”&“%”%？”给出puq^π'arctan^cpuq？'puq˙˙˙，puqa0，（A）或（B）？puqlog^cpuq\'2？puqcpuq'2？puq˙，puqa0，cpuqa0，（A）8，puqě0、cpuqa0、（C）或（D），见【AP07，KR11】。相反，对于αa1，ψαpt，uq不明确已知，因此也无法导出Tαpuq的明确表达式。正如引言中所讨论的，Tαpuq的上界、下界和近似方法（在（a）情况下有效）已在[GGP18]中推导出来。在这里，我们根据Tpuq得到Tαpuq的替代上界，这是第3.5条定理4.1的直接结果。

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2022-6-24 03:18:48

让u P R，这样情况（A）成立。然后爆破时间Tαpuq满足（4.2）TαpuqdpαΓpαqTpuqqq1{α。此外，如果TpuqdTα，其中Tα“pαΓpαqqqq1{pα'1q（如推论3.8），那么（4.3）TαpuqdTTpuq。当Tpuq被Tpuq替换为T时，这两个不等式在（B）情况下也成立。在（C）情况下，puq成立“8.证明。根据定理3.5，我们知道ψ^tκαpsqds，u˙ψαpt，uqfor all t P r0，^tαpuqq。很明显，右手侧必须在左手侧之前爆破，因此ψPstκαpsqds的爆破时间，uq代表了ψtαpuq的上限。由于ψpt的爆破时间tpuq已知，我们可以通过求解方程来确定tαpuq。380; t′αpuqκαpsqds“Tpuq，这导致我们得出`αpuq“pαΓpαqTpuq1{α.14 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDBy定理2.2 Tαpuq”Tαpuq，它证明了（4.2）。在推论3.8的证明中使用相同的论点，我们得出T `αpuqdT `αpuqκαpsqds“Tpuq，只要Tα，和（4.3）如下所示。案例（B）的证明是类似的。（4.1）给出了Tpuq的明确形式。也可以显式计算与B相关的界限Tpuq：引理4.2。对于情况（B）中的u，ψpt的爆炸时间Tpuq，uq由（4.4）Tpuq“a”给出puq▄π'cpuqa'puq,。备注4.3。（4.1）和（4.4）的直接比较表明，Tpuq和Tpuq之间的差异可以减少到零附近弧切的线性化arctanpxq"x。该观察结果可用于表明，对于ρ0，分段定义的函数rtpuq：“#Tpuq，udλρηTpuq，u P Pλ{Pρηq，d'qYpd\'，8qis在切割点uλ{Pρηq连续可微，即Tpuq在情况（A）和（B）之间的边界平滑过渡到Tλpuq。有关说明，请参见图3。Tcritρηd'd`<<情况（A）（B）（C）（d）（C）（B）图3。

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2022-6-24 03:18:51

负杠杆情况ρa0（见引理3.2）、经典赫斯顿爆炸时间Tpuq（蓝色固体）和辅助爆炸时间Tpuq（灰色虚线）中情况（A-D）之间边界的图示。还指示了（6.7）中介绍的时间Tcriti。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则15证明。从初始条件ψp0，uq“0”的微分方程bbtψpt，uq“Rpu，ψpt，uqq，我们推导出t”ψpt，uqdηRpu，ηqSending t~ntpuq，并考虑到Rpu，wq in（3.8）yieldsTpuq“dηRpu，ηq”wpuqdηRpu，wpuqq“wpuqdηRpu，wpuqq”wpuqdηRpu，ηq.A原语Th~n1{Rpu，ηq由fpwq给出：“A'”puqarctan？ηw\'cpuqa'puq,。请注意，Fpwpuqq“0和wpuq{Rpu，wpuqq”cpuq{p2puqq。因此，Tpuq“cpuq2puq\'Fp8q'Fpwpuqq“a'”puq▄π'cpuqa'puq,如所述。5、力矩比较为了比较力矩，我们确定了粗糙和非粗糙Heston模型的参数ρ、λ和η，但不确定θp.q。相反，我们假设θp.qi是通过将每个模型校准为固定的前向方差曲线确定的；见第2.3节。我们写Φαpt，对于依赖于α和pt，uq的矩母函数，uq“E rSuts，S是α-粗糙集。此外，我们设置了αptq：“ztκαpsqds”tα{pαΓpαqqqlα，λptq“λtrα，λpsqds”1Eα，αp'λSαqds，（5.1），其中rα，λ是（2.11）中的λ-预解核。请注意，两者都是连续、正、严格递增的函数（“时间变化”）对于有限导数att“0”。然而，Kαptq~n8表示t~n8，而Lα，λptqλ。对于这两种时间变化，Kαptq“t的p0，8q和Lα，λptq”t中存在唯一解，我们分别用tα和tα，λ表示；另请参见Cor.3.8，其中这些时间是针对通用核κ引入的。很容易计算出tα“pαΓpαqqq1{pα'1q，而Tα，λ不能以显式形式给出。定理5.1。

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2022-6-24 03:18:55

设αP P，1q，ρa0和Φpt，uq和Φαpt，uq是非粗糙和粗糙Heston模型的矩母函数，它们被校准为相同的前向方差曲线ξ。然后Φpt，uqdΦαpt，uq16 M.KELLER-Restel和A.MAJIDholds（A）适用于所有udλ{pρηq和tdtα，以及（b）适用于所有u p pλ{pρηq，0s和tdtα，λ。该定理允许在足够小的时间t和负u的情况下，直接比较粗糙和非粗糙Heston模型的矩母函数。为了将结果推广到所有t，我们必须对正向方差曲线作单调性假设，并使用（5.1）中引入的时间变化.推论5.2。让定理5.1的假设成立。此外，假设正向方差曲线呈直线或增加。然后（a）对于所有udλ{pρηq，它认为Φ't^Kαptq，u'Φαpt，uq（b）对于所有u pλ{pρηq，0s，它认为Φ't^Lα，λptq，u'Φαpt，uq，具有Kα和Lα，λ，如（5.1）所示。定理5.1的证明。我们的起点是a（粗糙或非粗糙）中动量母函数的表示（2.13）Heston模型校准为正向方差曲线ξ。从这一表述中，很明显，（5.2）Φpt，uqdΦαpt，uqf对于某些t，tP Rě0等于（5.3）ztξpt'sqRpu，ψps，uqdsdtξpt'sqRpu，ψαps，uqds，其中我们设置（5.4）Rpu，wq“Rpu，wq `λw“pu'uq'ρηuw'ηw。从推论3.8a中，我们得到了所有sdTα和udλ{pρηq的ψps，uq，uq。由于wTh~nRpu，wq对于正变元是递增的，（5.3）遵循T，并显示了定理的（a）部分。对于u pλ{pηq，ρ0s，我们处于情形（B）或（C）的域中。而不是使用推论3.8b（不允许与非拉夫赫斯顿模型进行直接比较）我们使用（2.11）中的预解核rα，λ变换Volterra-Riccati积分方程（2.7）。

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2022-6-24 03:18:58

使用卷积表示法f媫g“stf pt'sqgpsqds，预解核的特征是性质λκα'rα，λ”λrα，λ媫κα，参见例如[GLS90，第2章]。将ψα与rα，λ进行卷积（并抑制其对u的依赖），我们得到rα，λ媫ψα“rα，λ媫κα媫Rpu，ψαq“καèRpu，ψαq'λrα，λèRpu，ψαq.17粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则从Volterra积分方程ψα中减去它”καèRpu，ψαq我们得到（5.5）ψαpt，uq“λztrα，λpt'sqRpu，ψαps，uqds，ψα的另一个Volterra积分方程，现在涉及核λrλ，α。该核满足假设3.1和推论3.8的应用，得出ψps，uqdψαps，uq用于所有sdTα，λ。注意，情况（A）的域必须相对于Rpu，wq来确定，wq现在包括所有ud0。第（b）部分的剩余证明然后重复（a）部分的参数。推论5.2的证明。假设udλ{pρηq，并观察到t^Kαptq“#t，tatαKαptq tětα。因此，对于tatα，定理5.1已经涵盖了推论的主张，并且仍然需要处理情况tětα。从Kα的凹度来看，可以得出（5.6）Kαptq'Kαprqdκαprqpt'rqdt'rf用于所有tαrdt；注意，对于任何这样的r，καprqd1。此外，从定理3.5我们知道ψpKαptq，uqdψαpt，uq对于所有tě0。因此，zKαptqTαξpKαptq'sqRpu，ψps，uqds“tTαξpKαptq'KαpsqqRpu，ψpKαpsq，uqqκαpsqdsdtTαξpt'sqRpu，ψαps，uqqdsw我们使用了（5.6）和ξ在最后一个不等式中增加的假设。将此估计与zTαξpKαptq'sqRpu，ψps，uqqdTαξpt'sqRpu，ψps，uqqqpart（a）相结合。第（b）部分的证明类似，将Kα替换为Lα，λ，并使用（5.5）如定理5.1的证明。粗糙Heston模型S的临界动量与核κα，αP p1{2，1s，较低的核κα，αP p1{2，1s，1s的临界动量的比较。

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2022-6-24 03:19:02

最高临界力矩由u'αptq定义：“inftua0：ErSutsa8u，ta0，（6.1a）u'αptq：“suptua1：ErSutsa8u，ta0。（6.1b）众所周知，这些临界力矩为S的边缘分布的尾部行为编码了重要信息。此外，临界18 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDmoments可以用力矩爆炸时间asu'αptq写成：“inftua0：tatαpuqu，ta0，（6.2a）u'αptq：“suptua1：tatαpuqu，ta0。（6.2b）这表明，在uTh~ntαpuq的适当条件下，映射tThu'αpTqu是其分段逆映射函数。在α的情况下“1这确实是这样的情况，在下面的引理中变得精确，可以通过元素演算从Tpuq的表示（4.1）中得出：引理6.1。让ρ0和d定义为（3.4）. 函数uTh~nTpuqis是从p′8，d′q到p0，8q的严格递增连续函数，以及从pd′，8q到p0，8q的严格递减连续函数。其逆函数由相应域上的tTh~nu'ptq和tTh~nu'ptq给出，因此，（6.3）Tpuptqq“T，@Ta0。我们注意到，d正是所有u P rd'，d's的情况（B）和（C）与Tpuq“8之间的边界。在粗略的赫斯顿模型（αa1）中，目前只知道（从[GGP18]），uThTαpuq是单调函数（不一定严格意义上）在与Tpuq相同的域上。然而，就我们的目的而言，以下性质已经足够好了：直接从（6.2）可以看出，uau'αptq表示tatαpuq，uau'α表示tatαpuq。通过对比，我们得到了（6.4）tětαpuqù~nudu'αptq if uad'uěu'αptq if uad`。在案例（B）中，定理4.1，力矩爆炸时间Tαpuq的关键比较原则是基于Tpuq，而不是基于Tpuq。

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2022-6-24 03:19:05

因此我们还定义了ptq：“suptua1：tatpuqu，ta0，（6.5）u'ptq：”inftua0：tatpuqu，ta0。（6.6）注意，不存在uptq表示临界力矩的随机模型，因此我们将其称为临界伪力矩。在与表6.1的类比中，以下可以通过初等微积分从（4.4）引理6.2得出。设ρ0，设ρ0 d定义如下（3.4）并设置（6.7）Tcrit：“Tλρη˙”|ρ|πaλpλ'ρηq。函数uTh~nTpuq是从pλ{pρηq，d'qo到pTcrit，8q的严格递增连续函数，是从pd\'，8q到p0，8q的严格递减连续函数。其逆函数由各自的域，以及henceTpu'ptqq“T，@TaTcrit，Tpu'ptqq“t，@ta0。（6.8）我们现在准备陈述关于临界力矩的主要比较结果。粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则19定理6.3。让ρa0和集（6.9）Tcrit：“pαΓpαqTcritq1{α”Γpαq |ρ|πAλpλ'ρηq'1{α。然后粗糙HESTON模型的临界力矩满足'αptqěu^tααΓpαq˙@t p p0，Tcrits（6.10a）u'αptqěu'tαpαq˙@t p pTcrit，8q（6.10b）u'αptqdu'tαpαq˙@t p p0，8q。（6.10c）对于任何tdtα，不等式也仍然有效，tααΓpαq替换为t.Proof。第一观察到u'ptα{pαΓpαqqq在情形（A）的域中，当且仅当iftαΓpαqdTλρη˙“Tcrit，它很容易转化为TdTcrit”(R)αΓpαq |ρ|πAλpλ'ρηq,1{α。对于任何这样的T，使用定理4.1和（6.3），我们得到Tu^TααΓpαq˙Thm.4.1αΓpαqTu^TαΓpαq˙1{α（6.3）“αΓpαqTααpαq˙1{α”T.By（6.4），这意味着udu'αptq，显示了（6.10）的第一个不等式。

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能者818

2022-6-24 03:19:08

其他两个不等式类似地显示，但由于情况（B）适用，必须使用临界伪矩uptq而不是uptq。最后一项权利要求源自以下事实：tdtα{pαΓpαqq表示所有tdtα，以及up.q和up.q的单调性。7、隐含波动率的应用从Roger Lee的工作【Lee04】中可以看出，瞬间爆炸和临界时刻与隐含波动率微笑的形状密切相关，无论是资金深度期权还是资金外期权。在本节中，我们将Lee\'smomet公式应用于我们的结果，并比较粗糙和经典Heston模型中微笑的渐近陡度。20 M.KELLER-Restel和A.MAJIDFor到期日为T的欧式期权的任何给定罢工K，设x“log'KS”表示对数货币性。设σivpT，xq为相关的隐含Black-Scholesvality，并将渐近隐含波动率斜率定义为（7.1）AIV'pTq“lim supx~n8σivpT，xq{x'。注意上标'表示左侧（'）和右侧（`）微笑的翅膀。我们还注意到，在大多数具有实际意义的模型中，如theHeston模型，“lim sup”可以被真正的极限所取代，例如，通过应用规则变化函数理论；参见[BF09]。然而，对于粗略的Hestonmodel，目前还存在一个悬而未决的问题，即（7.1）中的lim sup是否可以被真正的限制所取代。临界力矩和渐近隐含波动率斜率之间的关系由Lee力矩公式给出：命题7.1（[Lee04]）。对于所有的Ta0，它认为AIVS'pTq“p'u'pTqqT和AIVS'pTq“pu'pTq'1qT，其中'pyq“2'4pay'y'yq和u'pTq是临界力矩。将临界力矩的比较结果应用于命题7.1，我们得到以下结果。定理7.2。设ρ0，并设AIVS'αpTq和AIVS'pTq是粗糙响应中的渐近隐含斜率。

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2022-6-24 03:19:12

成熟度Ta0的经典赫斯顿模型。所有TdTcrit的NAIVs'αpTqěTα'1αpαqAIVS'Tαpαq'，Tcritas在（6.9）中。备注7.3。这一结果表明，对于小型成熟度，粗糙Heston模型中的左翼隐含效用斜率比非粗糙Heston模型中的明显陡峭。这补充了已知的at-the-money skewin粗糙模型的小时间行为结果，该模型以相同的速度爆炸，参见【Fuk17】。证据由于TdTcrit，我们可以应用定理6.3中的（6.10a）来估计较低的临界力矩。由于函数在Rě0上严格递减，粗糙和非粗糙HESTON模型之间的aA比较原则21命题7.1 yieldsAIVS'αpTq“'u'αpTq'Tě'u'pTααpαqq'Tα'1αpαq'u'pTαpαqq'Tα'1α5pαqAIVS'Tαpαq'。定理7.2在T中是非渐近的，可以由另一个在T中是渐近的结果补充，但也包含右翼隐含波动率斜率的信息。这里和下面，我们使用符号f ptq“gptqd~nlimt~n0f ptqgptq”1，f ptq'Agptqd~nlimt~n0f ptqgptqě1，并在指示时将其应用于其他极限（如t~n8）。定理7.4。让ρ259; 0和setC“π'2 arctanρa1'ρ184;，D”π'2ρa1'。在经典的赫斯顿模型，AIVp0q限值：“limt'O0AIVptq存在，由（7.2）AIVp0q给出“ηa1'ρ2C。在粗略的Heston模型中，它认为AIV'αpTq'ATα'1αΓpαqAIVS'p0q pas T~n0q（7.3a）AIV'αpTq'AC'DTα'1αpαqAIVS'p0q pas T~n0q（7.3b）备注7.5。这一结果表明，当T~n0时，粗糙Heston模型的右翼渐近隐含波动率斜率以与左翼渐近隐含波动率斜率相同的幂律速率爆炸。我们注意到，考虑到ρa0.Proof，区分左右翼估计值的常数C `{D始终在p0，1q范围内。我们首先分析Tpuq和Tpuq的行为为| u | ni8。

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nandehutu2022

2022-6-24 03:19:15

在本尾注中，从（3.3）可以看出puqa0表示| u |足够大，且thatlimu8cpuqa'puq“ρa1'ρ22 M.KELLER-RESSEL和A.MAJIDInserting进入（4.1），我们得到puq'u''1C'ηa1'ρpas u8q，并从（4.4）中得到puq'u'1Dηa1'ρpas u728q。临界（伪-）矩是矩爆炸时间和henceuptq't'1C'ηa1'ρpas t ni0qu'ptq't'1Dηa1'ρpas t ni0q的分段反函数。为了获得渐近隐含波动率斜率的小时间行为，需要将这些关系插入Lee矩公式中。第一注意Limε~n0p1{εqε”。因此，在关注右翼的情况下，我们得出结论，对于经典的Heston模型（7.4）limT~n0AIVS ` pTq“limT~n0pu ` pTq'1qT“ηa1'ρ2C”，在左翼也是如此。对于粗糙的Heston模型，我们使用定理6.3（同样在右翼）估计limT~n0αΓpαqTα'1AIVS'αpTq“limT~n0αΓpαqTαpu `αpTq'1qělimT~n0αΓpαqTαu'u'TαΓpαq'1'1'ηa1'ρ2D与（7.4）的比较（7.3b）。左翼的计算使用“u”代替“u”1，并给出Slimt~n0αΓpαqTα'1AIVS'αpTqěηa1'ρ2C'，完成证明。粗糙和非粗糙赫斯顿模型之间的比较原则238。数值说明在本节中，我们以图形方式说明并比较了矩爆炸（Thm.4.1）和渐近隐含波动率斜率（Thms.7.2和7.4）的界限，以具体选择粗糙赫斯顿模型的参数。我们设置ρ“'0.8，λ”2，η“0.2，和α”0.6，这对应于H“0.1的赫斯特参数，这接近于[GJR18]的基于挥发度的估计值。8.1。力矩爆炸时间。为了提供更好的可读性，我们使用以下符号：\'T\'KMpuq“$&%`αΓpαqTpuq1{αu sat.情况（a）\'pαqTpuq1{αu sat。

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2022-6-24 03:19:18

案例（B）表示定理4.1中引入的Tαpuq的组合上界，“TGGPpuq和TGGPpuq表示[GGP18]中定理4.1和4.2中引入的Tαpuq的上界和下界，”“Tα，aprxpuq表示爆炸时间Tαpuq的近似值，由[GGP18]中的算法7.5计算，在案例（A）中对u有效。图4显示了给定设置下力矩爆炸边界与近似值Tα，aprxpuq的比较。可以看出，在u“0”的两侧，边界T ` KMpuq比T ` GGPpuq更紧。数值实验证实，除了非常接近边界情况α外，这种关系在很大的参数范围内都存在“0.5.8.2隐含波动率渐近。在图5和图6中，我们说明了定理7.2和7.4中隐含波动率渐近斜率的边界。图中显示的边界如下所示：首先，我们使用Tpuq作为函数，通过数值根查找计算经典赫斯顿模型的临界矩uptq。然后，我们使用Lee矩公式确定AIVSpTq，经典Heston模型中的渐进隐含波动率斜率。然后，根据AIV计算定理7.2和7.4中粗略赫斯顿隐含波动率斜率AIVα的边界。在微笑的左翼（其中案例（A）适用于小T），我们通过对近似爆炸时间Tα，aprxpuq应用相同的程序，另外计算了AIV'αpTq的近似值。参考文献[AJLP17]EduardoAbiJaber、MartinLarsson和SergioPulido。Af fine Volterra过程。arXiv:1708.087961017.24 M.KELLER-RESSEL和A.MAJID0\'10\'2012案例（A）案例（B）案例（C）`（D）50100 150案例（B）<<图4。u P r'20、150s和α“0.6的粗糙Heston模型中力矩爆炸时间的界限。

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2022-6-24 03:19:21

灰色虚线曲线：我们的组合上界T\'KMpuq，绿色虚线曲线：T\'GGPpuq和T\'GGPpuq，来自[GGP18]，红色实心曲线：近似值Tα，实际爆炸时间的近似值，适用于udλρη“'12.5.0 0.25 0.5 0.750.10.20.30.40.50.6TAIVS'αpTqFigure 5。经典赫斯顿模型（蓝点）中的左翼渐进隐含波动率斜率（AIV'），粗糙赫斯顿模型（灰色虚线）的定理7.2的下界为α“0.6，以及AIV'αpTq的近似值，源自Tα，aprxpuq（红色实心），在（A）情况下有效，即，直到Tα，aprxpλ{pρηqq<<0.81。[AP07]Leif B.G.Andersen和Vladimir V.Piterberg。随机波动模型中的矩爆炸。金融与随机，11（1）：29–502007年1月。[Bat96]David S.Bates。跳跃与随机波动：汇率过程隐式指数期权。金融研究综述，9（1）:69–107, 1996.粗糙和非粗糙HESTON模型之间的比较原则250 0.25 0.5 0.750.020.040.060.08TAIVS `αpTqFigure 6。经典Heston模型（蓝点）中的右翼渐近隐含波动率斜率（AIVS `），以及α“0.6”的粗糙Heston模型（greydashed）的定理7.4中的渐近lowerbound（7.3b）。[BCC97]Gurdip Bakshi，Charles Cao和Zhiwu Chen。替代期权定价模型的实证表现。金融杂志，52（5）：2003-491997。[BF09]Shalom Benaim和Peter Friz。规则变化和微笑渐近。MathematicalFinance：国际数学、统计和金融经济学杂志，19（1）：1-12009。克里斯蒂安·拜尔、彼得·弗里兹、阿切尔·古利萨什维利、布兰卡·霍瓦思和本杰明·斯坦珀。粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜。QuantitativeFinance，19（5）：779–79812019年。Shalom Benaim、Peter Friz和Roger Lee。布莱克-斯科尔斯指数暗示了极端罢工时的波动性。

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2022-6-24 03:19:25

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