正交多项式亚式期权定价

2022-6-6 20:00:17

正交多项式亚式期权定价*Sander Willems+2018年9月14日即将出版的《定量金融》摘要本文推导了Black-Scholes环境下连续抽样算术亚式期权价格的级数展开式。展开式基于与对数正态分布正交的多项式。序列中的所有项都是完全明确的，不涉及数值积分或任何特殊函数。我们提供了保证级数收敛的充分条件。对数正态分布的矩不确定性在序列中引入了一个渐近偏差，但我们在数值上表明，该偏差在实践中可以安全地忽略。JEL分类：C32，G13关键词：亚式期权，期权定价，正交多项式1简介亚式期权是一种衍生合同，其支付取决于特定时期内标的资产的平均价值。由于支付的路径依赖性，这些合同的估值并不直接。即使在standardBlack和Scholes（1973）的设定中，（算术）平均股票价格的分布也是未知的。本文利用与对数正态分布正交的多项式，推导出Black-Scholes条件下亚式期权价格的级数表达式。这些系列中的术语是完全明确的，因为平均价格的所有时刻都是已知的。通过显示平均价格分布的尾部被对数正态分布的尾部所支配，我们证明了这些序列没有分歧。由于众所周知的对数正态分布的矩不确定性（见Heyde（1963）），理论上无法保证级数收敛到真实价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-6 20:00:20

我们从数值上表明，对于标准参数化，这种渐近偏差很小，而真正的近似挑战在于控制在有限个项之后截断序列所产生的误差。关于亚式期权定价问题，已有大量文献。我们做了一个简短的概述，但绝不是详尽无遗的。一种方法是用更容易处理的方法近似平均价格的未知分布。Turnbull和Wakeman（1991），Levy（1992），*我感谢达米恩·阿克勒（DamienAckerer）、达米尔·菲利波维奇（DamirFilipovi\'c）、在布达佩斯举行的第九届应用概率国际研讨会的与会者，以及两位其他裁判的宝贵意见。导致这些结果的研究已获得欧盟第七框架计划（FP/2007-2013）/ERC赠款协议（编号307465-POLYTE）下欧洲研究理事会的资助+EPFL和瑞士金融研究所，1015 Lau sanne，Switzerland。电子邮件：sander。willems@epfl.Chrithken等人（1993），Li和Chen（2016）使用对数正态参考分布周围的Edgeworth表达式来近似几何布朗运动算术平均值的d分布。Ju（2002）和Sun等人（2013）使用泰勒级数方法从对数正态近似未知的n平均分布。米列夫斯基（Milevsky）和波斯纳（Posner）（1998）使用了数量匹配的逆伽马分布作为近似值。他们的选择是基于这样一个事实，即有限期平均股价具有反伽马分布。最近，Aprahamian和Maddah（2015）使用了矩匹配的复合伽马分布。虽然这些类型的近似导致了解析期权价格公式，但它们的主要缺点是缺乏可靠的误差估计。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:23

第二部分文献集中于Monte Carlo和PDE方法。Kemna和Vorst（1990）建议使用连续抽样的几何期权价格作为控制变量，并表明它会导致显著的方差减少。Fu等人（1999）认为这是一个有偏差的控制变量，但有趣的是，偏差大约会影响模拟中离散计算连续平均值得出的偏差。Lapeyre等人（2001年）对不同的MonteCarlo方案进行了数值比较。Rogers和Shi（1995年）、Zvan等人（1996年）、Vecer（2001年、2002年）、Marcozzi（2003年）对定价PDE进行了数值求解。另一种方法是推导亚洲期权价格的界限，参见Curran（1994）、Rogers和Shi（1995）、Thompson（2002）和Vanmaele et al.（2006）。最后，有几篇论文推导出了亚洲期权价格的精确表达式。Yor（1992）将期权价格表示为三重积分，并进行数值评估。Geman和Yor（1993）推导了期权价格的拉普拉斯变换。然而，拉普拉斯变换的数值反演是一项微妙的任务，参见Eydeland和Geman（1995），Fu等人（1999），S haw（2002）。Carverhill和Clewlow（1990）将离散算术平均值的密度与密度的迭代卷积联系起来，后者通过快速傅立叶变换算法进行数值逼近。卷积法后来的扩展和改进包括Debenhamou（2002）、Fusai和Meucci（2008）、Cern\'y和Kyr iakou（2011）以及Fusai等人（2011）。Dufresne（2000）使用拉盖尔正交多项式导出了一个级数表示。Linetsky（2004）使用涉及Whittaker函数的谱展开导出了一个级数表示。本文采用的方法与Dufresne（2000）密切相关，因为两者都基于正交多项式展开。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:26

拉盖尔级数展开在直接展开平均价格密度时可以表现为发散，这与平均价格分布的尾部比伽马分布的尾部更重有关。作为一种变通方法，Dufresne（2000）建议使用平均数的倒数，拉盖尔级数确实会收敛。这种方法的主要缺点是，倒数平均的动量不能以闭合形式获得，需要通过数值积分来计算，这会带来较高的计算成本和额外的数值错误。Asmu-ssen等人（2016年）使用不同的解决方法，并使用拉盖尔级数对对数正态随机变量和的密度进行指数倾斜转换。结果表明，指数倾斜变换保证了扩展的收敛性。然而，出现了一个与inDufresne（2000）相似的问题：指数倾斜密度的力矩在闭合形式下不可用，必须进行数值计算。相反，我们的方法是完全明确的，不涉及任何数值积分，这使得它非常快。仅在一个期限后截断ou r系列相当于在平均价格为对数正态分布的假设下对期权进行定价。因此，可以将序列中的其余项视为对数正态分布的修正。这与围绕对数正态分布使用Edgeworth展开的方法非常相似（cfr.Jarrow和Rudd（1982）以及Turnbull和Wakeman（1991））。与我们的方法的关键区别在于，Edgeworth表达式很容易发散，因为它缺乏适当的理论框架。相反，我们在本文中给出的序列保证收敛，可能具有较小的渐近偏差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:30

对近似误差的深入研究表明，交感偏差与股票价格过程的波动性和期权到期日呈正相关。我们使用Malliavin微积分中的分部积分公式来推导近似误差的上界。本文的其余部分结构如下。第2节分析了问题并导出了算术平均值分布的有用属性。第3节描述了用于近似期权价格的densityexpansion。在第4节中，我们将研究app roximationerror。第5节用数值例子说明了该方法。第6节结束。所有证明见附录C。2算术平均值的分布是随机基础(Ohm, F、（Ft）t≥0，Q）满足通常条件，设Q为风险中性概率测度。我们考虑了Black-Scholes模型，其中股价St服从几何布朗运动：dSt=rStdt+σStdBt，其中r∈ R为短期利率，σ>0为资产波动率，Bta为标准布朗运动。为了便于记法，我们假设S=1，这不会失去一般性。我们将平均价格过程定义为t=tZtSudu，t>0。连续算术平均的亚式期权，行使K>0，结果T>0时的价格由π=e给出-rTE公司（位于-K）+.由于我们不知道AT的分布，因此无法明确计算期权价格。然而，我们可以得到关于其分布的有用结果。我们首先计算AT的所有时刻。利用布朗运动的时间反转性质，我们在法律上具有以下恒等式（cfr.Dufresne（1990），Carmona et al.（1997），Donati Martin et al.（2001），Linetsky（2004））：引理2.1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-6 20:00:33

随机变量T的分布与以下时间T的解相同：SDEdXt=（rXt+1）dt+σXtdBt，X=0。（2.1）由于（2.1）中的SDE定义了多项式微分（参见Filipovi\'c和Larss on（2016）），我们可以计算其解在给定时间内的所有闭式矩。因此，根据引理2.1的恒等式定律，我们也得到了阿汀闭式的所有矩：命题2.2。如果我们用Hn（x）=（1，x，…，xn）表示, n∈ N、那么我们有e[Hn（AT）]=eGnTHn（0），其中Gn∈ R（n+1）×（n+1）是以下下对角线矩阵gn=Tr。。。。。。nT（nr+n（n- 1)σ).（2.2）鉴于矩阵指数是大多数科学计算软件包中的标准内置函数，上述矩公式非常容易实现。也有有效的数值方法可以直接计算矩阵指数的作用，参见Al-Mohy和Higham（2011）和Caliari等人（2014）。inGeman和Yor（1993）提出了一种等效但更为繁琐的力矩表示法。下面的命题表明，Atadmin是一个光滑密度函数g（x），其尾部由对数正态密度函数的尾部控制：命题2.3.1。随机变量A具有完全可微分的密度函数g（x）。2、密度函数g（x）具有以下渐近性质：g（x）=O经验值-对数（x）σT对于x→ 0，O经验值-对数（x）σT对于x→ ∞.3多项式展开根据与Ackerer et al.（2017）和Ackerer and Filipovi'c（2017）类似的结构，我们在本节中使用Filipovi'c et al.（2013）描述的密度展开方法来近似亚洲期权价格。将加权希尔伯特空间Lw定义为R上的可测函数集SF，Lw范数定义为kfkw=Z∞f（x）w（x）dx，w（x）=√2πνxexp-（对数（x）- u)2ν,（3.1）对于某些常数u∈ R、 ν>0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-6 20:00:37

权重函数w是对数正态分布的密度函数。两个函数f，h之间的对应标量积∈ Lwis definedashf，hiw=Z∞f（x）h（x）w（x）dx。由于与密度g和w相关的度量是等效的，我们可以定义相似比函数l 这样g（x）=l（x） w（x），x∈ (0, ∞).使用命题2.3，我们现在得到以下结果：命题3.1。如果ν>σT，则l ∈ Lw，我。e、 Z∞g（x）w（x）w（x）dx<∞.用Pol（R）表示R上的多项式集，用PolN（R）表示R上的多项式子集，最多N次方∈ N、由于对数正态分布具有任何程度的有限矩，因此我们有PolN（R） LW适用于所有N∈ N、让b，b，bn构成poln（R）的正交多项式基。例如，可以使用Cholesky分解从单项式基数值构造这样的基。事实上，确定Hankel矩矩阵M=（Mij）0≤i、 j≤NasMij=hxi，xjiw=eu（i+j）+（i+j）ν，i，j=0，N、（3.2）这是建筑业的积极定义。如果我们用M=LL表示M的唯一Cholesky分解，然后（b（x），bN（x））= L-1HN（x）构成PolN（R）的正交多项式基。例如，构建正交基的替代方法是三项递推关系（详见Lemma.1）或Asmu-ssen等人（2016）定理1.1中导出的正交多项式的解析表达式。备注3.2。由于接地误差，（3.2）中定义的矩阵实际上可能是非正定义的。这个问题对于大型和/或大型ν变得越来越重要，因为M中的元素增长非常快。类似地，At的矩也会变得非常大，这会导致有限精度算法中的舍入误差。在附录a中，我们描述了一种在许多情况下解决这些问题的便捷缩放技术。确定贴现支付函数F（x）=e-rT（x-K） +。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:41

自F（x）起≤ e-所有x的rTx≥ 0，我们立即得到F∈ Lw。表示byPol（R）Lw中Pol（R）的闭合。我们定义了预测期权价格'π=E['F（AT）]，其中'F表示Lw中F ontoPol（R）的正交投影。初等泛函分析得出‘∏=h’，liw=Xn≥0fnln、（3.3）我们定义了可能性系数ln=hl, BNI和支付系数fn=hF，bniw。将（3.3）中的系列在有限个条款后截断，最终得出亚式期权价格的以下近似值：π（N）=NXn=0fnln、 n个∈ N、（3.4）利用命题2.2的矩，以闭合形式提供似然系数：(l, . . . , lN）= L-1接地（0）。支付系数也可以明确推导，如以下命题所示。提案3.3。设Φ为标准正态累积分布函数。支付系数f，由（f，…，fN）决定= e-rTL公司-1（▄f，▄fN）,带▄fn=eu（n+1）+（n+1）νΦ（dn+1）-Keun+nνΦ（dn），n=0，N、 dn=u+νN- 对数（K）ν，n=0，N+1。（3.5）等效地，我们也可以通过投影l, 代替F，在多项式集上。这导致了（3.4）的解释，即当真实密度g（x）乘以g（N）（x）=w（x）NXn=0时获得的期权价格lnbn（x）。（3.6）函数g（N）（x）通过构造Z集成为1∞g（N）（x）dx=NXn=0lnhbn，b=1iw=l= 其中，最后一个等式来自于g（x）积分为1的事实。然而，它不是一个真正的概率密度函数，因为它不能保证是非负的。4近似误差（3.4）中近似引入的误差可分解为π- π（N）=（π- π) +π - π（N）.第二项保证收敛到零，即N→ ∞. 为了使第一个术语消失，我们需要F∈Pol（右）和/或l ∈ Pol（右）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:44

众所周知（参见Heyde（1963）），对数正态分布不是由其矩决定的。因此，多项式集在Lw:Pol（R）（Lw）中不是稠密的。因此，F，l ∈ LW不能保证误差分解中的第一项为零。本文的目标之一是量化误差项的重要性。因此，在本节中，我们将研究与投影F和l 关于多项式集。F和的Lw距离l 它们在PolN（R）上的各自正交投影由FN给出：=F-NXn=0bnfnw=kF kw-NXn=0fn，l编号：=l -NXn=0亿lnw=kl千瓦-NXn=0ln、 Payoff函数F的Lw范数可以按照非常类似的步骤明确推导，如在命题证明3.3中：kF kw=e-2rTe2u+2νΦ（d）-2Keu+0.5νΦ（d）+KΦ（d）,其中（3.5）中定义了d、d和dare。因此，我们可以显式地评估FN。的计算l自k以来更困难lKw取决于未知密度g（x）。下面的引理使用Malliavin演算的p部分公式积分到g（x）在期望方面的derivea表示，这可以通过蒙特卡罗模拟进行评估：引理4.1。对于任何x∈ R我们有g（x）=E{在≥x}- c（x）σ装货单- ST AT+σ- 老鼠,（4.1）其中，c是任何确定性的有限值函数。备注4.2。函数c的目的是保证模拟的g（x）实际为零→ 确实，如果我们设置c（x）≡ 0，则由于蒙特卡罗误差，g（0）可能与零不同，这可能导致计算时出现数值问题l（x）。这可以通过使用指示器功能c（x）=1x来避免≤ξ、对于某些ξ>0。作为（4.1）的直接结果，我们得到了似然比Lw范数的以下表达式。推论4.3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-6-6 20:00:47

Lw标准l 是否为gi ven b yklkw=E（1{在≥在}- c（￠AT））σ装货单-ST AT+σ-老鼠w（￠AT）,其中，随机变量ATis独立于所有其他随机变量，并具有与AT相同的分布。这使我们能够得到的估计值l通过模拟随机向量（ST、AT、~AT）。在附录B中，我们描述了如何使用已知的几何平均密度函数作为有效控制变量，以显著减少蒙特卡罗模拟中的方差。利用Cauchy-Schwarz不等式，我们也有以下关于投影误差FNand的近似误差上界lK、提案4.4。对于任意N≥ 0我们有|π- π（N）|≤qFNlN（4.2）因此，如果F和/或l 用多项式Lw很好地逼近。计算上边界d涉及蒙特卡罗模拟来计算lN、这使得将其用作N的决策规则不切实际。与期权价格的直接模拟相比，该界限应被视为近似误差的更保守估计。5数值示例在本节中，我们使用（3.4）中的级数展开计算亚式期权价格。正交基是使用Ap pendixA中描述的缩放技术构造的。我们设置ν=σT+10-4使命题3.1得到满足，并选择u，以便W的第一时刻与AT的第一时刻相匹配。因此，我们总是l=Z∞b（x）g（x）dx=hb，白车身=0。备注5.1。由于命题3.1中的限制ν>σT，选择u和ν以使前两个ATare矩通常不可能匹配。Kerer e t al.（2017）的Jacobi随机波动率模型也出现了类似的问题，其中期权的定价使用正态密度作为权重函数的多项式展开。Ackerer和Filipovi\'c（2017）通过使用两个正常密度的混合物作为权重函数来解决这个问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:50

将W指定为正常密度的混合物在我们的环境中不起作用，因为在这种情况下l /∈ Lw。相反，我们可以使用两个对数正态密度的混合物：w（x）=cw（x）+（1- c） w（x），其中c∈ [0，1]是混合物重量，wand ware对数正态密度函数的平均参数为u，u∈ R、和波动性参数ν，ν>0。为了应用命题3.1，必须选择ν>σT。剩下的参数可以自由选择，并用于高阶矩匹配。我们考虑一组七个参数化，这些参数化在amongothers、Eydeland and Geman（1995）、Fu et al.（1999）、Dufresn e（2000）和Linetsky（2004）中用作一组测试用例。表1的第一列包含七种情况的参数值。这些情况按τ=σT的增大大小排序。请注意，在所有情况下，S6=1 f，但我们将初始股价标准化为1，并相应地调整履约和期权价格。列LNS10、LNS15、L NS20（对数正态序列）分别包含n=10、15、20时使用（3.4）的期权价格近似值。列LS（Laguerre级数）和EE（特征值表达式）分别对应于Dufresne（2000）和Linetsky（2004）的级数展开式。VEC列显示了VECER（2001、2002）使用agrid的PDE方法（400个空间点和200个时间点）产生的价格。最后一列包含使用几何亚式期权价格作为控制变量cfr的蒙特卡罗模拟的95%置信区间。Kemna和Vorst（1990年）。我们模拟了时间步长为10的2×10价格轨迹-3并用离散平均值近似连续平均值。[表1在此附近]对于前三种情况，我们发现价格与Linetsky（2004）几乎相同，这是文献中最准确的基准之一。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-6 20:00:53

值得注意的是，在案例1中，我们的方法并没有遇到任何波动性非常低的问题。许多其他现有方法不是近似AT的分布，而是近似log（AT）的分布，并相应地重写折扣payoff函数。在这种情况下，我们可以证明，将w指定为正态密度函数可以得到收敛于真实价格的级数近似。问题是，我们不知道log（AT）的矩，只知道AT的矩，因此无法明确计算序列中的项。此网格选择对应于inVecer（2001）使用的网格。通过显著增加网格中的空间点数量，PDE方法可以达到与Linetsky（2004）相同的精度。然而，这样做会使该方法非常慢。对此参数化有严重困难。事实上，Dufresne（2000）系列甚至没有接近真实价格，而Lelinesky（2004）需要400个术语才能获得准确的结果。Vecer（2001、2002）的价格接近真实价格，但仍超出95%蒙特卡罗置信区间。基于Geman和Yor（1993）的拉普拉斯变换数值反演的方法也与低波动性作斗争，因为它们涉及高度振荡被积函数的数值积分（见Fu et al.（1999））。当对案例1使用精确算法时，我们的20+1项序列与Lintsky（2004）的400项序列一致，小数点后八位。当使用本节中用于所有数值结果的双精度算法时，价格同意四位小数，以四舍五入误差为准。对于案例4至7，LNS价格与EE基准略有不同。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:56

然而，它们仍然非常接近，除案例4外，它们都在蒙特卡罗模拟的95%置信区间内。[图1在此附近]图1绘制了N范围为0到20的LNS价格近似值，以及Monte Carlo价格和相应的95%置信区间作为基准。我们观察到，在所有情况下，这些序列都收敛得非常快。事实上，在N=10时截断序列将得到几乎相同的结果。理论上，N可以选择任意大的值，但在有限精度算法中，舍入误差不可避免地会在某一点开始起作用。请注意，N=0和N=1的价格是相同的，这是因为辅助分布与AT的第一时刻相匹配。图2绘制了模拟真实密度g（x）和（3.6）中定义的近似密度g（0）（x）、g（4）（x）和g（20）（x）。使用附录B中的（B.2）模拟真实密度，这是（4.1）的扩展，使用几何平均值的密度作为强大的控制变量。注意，g（0）（x）=w（x），因为b（x）=l= 我们可以看到，近似密度接近真实密度，因为我们在展开式中包含了更多项。在图2a和2b中，近似值g（20）（x）与真实密度几乎无法区分。然而，在图2c和2d中，g（x）和g（20）（x）之间存在明显差异。这与我们之前在表1中观察到的定价错误一致。以上结果表明，对于τ不太高的情况，Lns提供了非常精确的期权价格近似值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:00:59

这并不完全令人惊讶，因为τ决定了辅助对数正态密度w的挥发度参数，从而决定了w的尾部归零的速度。粗略地说，当τ很小时，在Lwis中的多项式集上投影支付函数或似然比函数几乎就像在紧致区间多项式上逼近连续函数一样。然而，当τ变大时，w的尾部衰减缓慢，用Lw中的多项式逼近函数变得越来越困难。换言之，对于较大的τ值，对数正态分布的矩不确定性开始发挥更重要的作用。因此，一个自然的问题是，这是否会对期权定价目的造成问题。在图3A中，我们确定T=1，并绘制σ的值范围，平方相对误差re=^πMC- π(20)π(20)!,其中^πMCdenotes为蒙特卡罗价格估算。错误开始变得明显。图1和图2仅显示案例1、3、5和7。其他情况下的曲线图看起来非常相似，可以根据需要使用。σ=80%左右，其中√SRE公司≈ 0.5%. σ值越大，误差越大。在图3B中，我们使用（4.2）中的上界绘制了相对误差平方的更保守估计。该图显示，σ大于约70%时，上界仅与零显著不同。图4给出了σ=100%的极端情况下更详细的细节。虽然LNS系列收敛速度相对较快，但从图4A可以清楚地看出，它并没有收敛到真正的价格。如前所述，原因是支付函数和似然比函数不能用Lw范数中的多项式精确近似，如图4c和4d中的投影误差所示。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:03

通过保持σ固定并改变到期日T，我们将获得类似的结果，因为渐进定价误差的关键参数是τ=σT。根据经验，我们建议在τ≤ 0.5.【图3和图4】本文提出的方法的主要优点是易于实现和计算速度。序列中的所有项都是完全显式的，只涉及简单的线性代数运算。表2显示了具有N的LNS的计算时间∈ {10、25、20}，以及基准方法的计算时间。LNS计算时间均以毫秒为单位。虽然EE非常精确，但它的代价是对Whittaker函数进行昂贵的计算，从而导致计算时间过长（几秒钟左右）。LS不需要调用特殊函数，但该方法通过计算平均值倒数的矩所涉及的数值积分而降低。EE和LS的实现都需要使用能够处理符号数学的软件，与LNS的实现相反。在本文考虑的基准测试中，VEC方法速度最快，但仍比LNS慢一个数量级。[表2在此附近]6结论我们使用与对数正态分布正交的多项式对连续采样算术亚式期权进行了系列展开。这些级数中的项是完全明确的，不需要任何数值积分或特殊函数，这使得该方法非常快速。我们已经证明，如果辅助对数正态分布的波动率足够高，则序列不会发散。然而，无法保证该系列收敛于真实价格。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-6 20:01:07

我们对这种不对称偏差进行了数值研究，发现其大小与τ=σT的大小有关。对于LS，所有与平均值倒数矩相关的符号计算都是使用Matlab的符号数学工具箱进行计算的。我们在序列中使用15+1项，在双精度算法中，项数越多，则会导致严重的舍入问题。对于EE，已实现inLinetsky（2004）中的积分表示（16），而不是级数表示（15）。级数表示的实现涉及Whittaker函数相对于其指数的偏导数。这些导数在Matlab的符号数学工具箱中不可用，数值有限差分近似不能给出准确的结果。所有数值积分均使用Matlab的内置函数积分进行。对于案例1，EE中的数值积分没有在合理的时间内完成。对于VEC方法，我们使用Jan Vecer教授的Matlab实现，可以在http://www.stat.columbia.edu/~vecer/asiancontinuous。m、所有计算均在配备Intel Xeon 3.50GHz CPU的台式计算机上执行。我们的方法有几个扩展。首先，我们可以使用完全相同的设置处理离散monitoredAsian选项，但将连续平均值的矩替换为离散平均值的矩。后者很容易使用迭代期望来计算。其次，我们在本文中只研究固定行使亚式期权。自流程开始St，RtSudu是一个多项式微分，我们可以计算它的所有混合矩。然后，通过使用二元对数正态分布作为辅助分布，我们的方法可以扩展到价格浮动的行使亚洲期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:09

最后，我们可以将辅助密度w定义为对数正态密度的混合，正如inAckerer和Filipovi\'c（2017）所研究的那样。使用mixtu re允许匹配高阶矩，这可以加快近似序列的收敛速度。参考Sackerer，D.和D.Filipov i'c（2017）。正交多项式展开的期权定价。工作文件。Ackerer，D.、D.Filipovi\'c和S.Pulido（2017年）。雅可比随机波动模型。财务与随机，1-34。Al Mohy，A.H.和N.J.Higham（2011年）。计算矩阵指数的作用，并将其应用于指数积分器。暹罗科学计算杂志33（2），488–511。Aprahamian，H.和B.Maddah（2015年）。通过复合gamma和thogonal多项式为亚洲期权定价。应用数学与计算264，21–43。Asmu ssen，S.、P.-O.Go Offard和P.J.Laub（2016年）。正交多项式展开和对数正态和密度。arXiv预印本arXiv:1601.01763。Bally，V.（2003年）。Malliavin微积分的初步介绍。INRIA博士论文。Benhamou，E.（2002年）。离散亚式期权的快速傅立叶变换。计算金融杂志6（1），49–68。Bj¨orck，k.和V.Pereyra（1970年）。Vandermonde方程组的解。数学计算24（112），893–903。Black，F.和M.Scholes（1973年）。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》81（3），637–654。Calari，M.、P.Kandolf、A.Ostermann和S.Rainer（2014年）。计算矩阵指数作用的软件比较。位数字数学54（1），113–128。Carmona，P.、F.Petit和M.Yor（1997年）。关于L'evy过程的指数泛函的分布和渐近结果。与布朗运动相关的指数泛函和主值，73–121。Carverhill，A.和L.Clewlow（1990年）。评估平均利率（亚洲）期权。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:13

风险3（4），25–29。ˇCern\'y，A.和I.Kyriakou（2011年）。一种改进的离散抽样期权卷积算法。定量金融11（3），381–389。Curran，M.（1994年）。以几何平均价格为条件对亚洲期权和投资组合期权进行估值。管理科学40（12），1705–1711。Donati Martin，C.、R.Ghomrasni和M.Yor（2001年）。关于布朗运动的指数泛函上的某些马尔可夫过程；亚洲期权的应用。《伊比利亚美洲材料评论》（Revista Matematica Iberoamericana）17（1），179。Dufresne，D.（1990年）。永续经营的分配，应用风险理论和养老基金。斯堪的纳维亚精算杂志1990（1），39–79。Dufresne，D.（2000年）。拉盖尔系列适用于亚洲和其他选项。数学金融10（4），407–428。Eydeland，A.和H.Geman（1995年）。多米诺效应：反转拉普拉斯变换。风险8（4），65–67。Filipovi\'c，D.和M.Larsson（2016年）。多项式微分和金融应用。《金融与随机》20（4），931–972。Filipovi\'c，D.、E.Mayerhofer和P.Schneider（2013年）。多变量跳跃扩散过程的密度近似。《计量经济学杂志》176（2），93–111。Fourni\'e，e.、J.-M.Lasry、J.Lebuch ou x、P.-L.Lions和N.Touzi（1999年）。Malliavin微积分在蒙特卡罗金融方法中的应用。金融与随机3（4），391–412。Fu，M.C.、D.B.Madan和T.Wang（1999年）。连续亚式期权定价：蒙特卡罗和拉普拉斯变换反演方法的比较。计算金融杂志2（2），49–74。Fusai，G.、D.Marazzina和M.Marena（2011年）。通过到期日随机化对离散监控的亚洲期权进行定价。《暹罗金融数学杂志》2（1），383–403。Fusai，G.和A.Meucci（2008年）。在列维过程中对离散监控的亚洲期权进行定价。《银行与金融杂志》32（10），2076–2088。Gautschi，W.（2004年）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-6-6 20:01:16

正交多项式：计算和近似。牛津大学出版社。Geman，H.和M.Yor（1993年）。贝塞尔过程、亚式期权和永续。MathematicalFinance 3（4），349–375。Heyde，C.（1963年）。关于对数正态分布的一个性质。在CC Heyde的精选作品中。施普林格科学与商业媒体。Jarrow，R.和A.Rudd（1982年）。任意随机过程的近似期权定价。《金融经济学杂志》10（3），347–369。Ju，N.（2002年）。通过泰勒展开为亚洲和篮子期权定价。《计算金融杂志》5（3），79–103。Kemna，A.G.和A.Vorst（1990年）。基于平均资产价值的期权定价方法。《银行与金融杂志》14（1），113–129。Lapeyre，B.，E.Temam等人（2001年）。亚洲期权定价的竞争蒙特卡罗方法。计算金融杂志5（1），39–58。Levy，E.（1992年）。欧洲平均汇率货币期权定价。《国际货币与金融杂志》11（5），474-491。Li，W.和S.Chen（2016）。通过Edgeworthseries扩展方法对算术亚洲期权进行定价和对冲。《金融与数据科学杂志》2（1），1–25。Linetsky，V.（2004年）。亚洲（平均价格）期权的特殊扩展。运筹学52（6），856–867。Marcozzi，M.D.（2003年）。关于亚式期权的变分估值。SIAMJournal on Scientic Computing 24（4），1124–1140。Milevsky，M.A.和S.E.Posner（1998年）。亚式期权、对数正态和倒数伽马分布。《金融与定量分析杂志》33（3），409–422。Nualart，D.（2006年）。Malliavin微积分和相关主题。斯普林格。Ritchken，P.、L.Sankarasub ramanian和A.M.Vijh（1993年）。路径依赖合同的估值取决于平均值。管理科学39（10），1202–1213。Rogers，L.C.G.和Z.Shi（1995年）。亚式期权的价值。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:19

《应用概率杂志》32（4），1077–1088。Shaw，W.（2002年）。等高线积分定价亚洲期权，包括低波动率的渐近方法。工作文件。Sun，J.、L.Chen和S.Li（2013）。算术亚洲选项的准分析定价模型。《期货市场杂志》33（12），1143–1166。Thompson，G.（2002年）。快速缩小亚洲期权价值的界限。技术报告，Judge管理研究所。Turnbull，S.M.和L。M、韦克曼（1991）。欧洲平均期权定价的快速算法。《金融与定量分析杂志》26（3），377–389。特纳，L.R.（1966）。范德蒙矩阵的反演及其应用。Vanm aele，M.、G.Deelstra、J.Liinev、J.Dhaene和M.J.Goovaerts（2006年）。离散算术亚式期权价格的界限。计算与应用数学杂志185（1），51–90。Vecer，J.（2001）。算术平均亚式期权定价的一种新的偏微分方程方法。计算金融杂志4（4），105–113。Vecer，J.（2002）。亚洲期权的统一定价。风险15（6），113–116。Yor，M.（1992年）。关于布朗运动的一些指数泛函。应用可能性进展24（3），509–531。Zvan，R.、P.A.Forsyth和K.R.Vetzal（1996年）。亚洲期权PDE模型的稳健数值方法。滑铁卢大学数学系技术报告。在本附录中，我们展示了如何通过使用辅助密度w的动量来缩放问题，从而避免舍入误差-1)L-1=米-我们从（3.4）中得到：π（N）=（f，…，fN）(l, . . . , lN）= e-rT（~f，…~fN）M-1接地（0）。定义∈ R（N+1）×（N+1）作为对角线矩阵，其对角线上的w的矩：S=对角线（S，…，sN），si=eiu+iν。我们现在可以写出π（N）=e-rT（f，…，fN）S-1毫米-1秒-1eGNTSS-1HN（0）=e-rT（f。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:22

，fN）米-1 GNTHN（0），（A.1），其中我们定义了矩阵（（GN）ij）0≤i、 j≤N、（Mij）0≤i、 j≤与矢量（f，…，fN）asMij=eijν，fi=eu+（2i+1）νΦ（di+1）-KΦ（di），（GN）ij=ir+i（i- 1） σj=iiTe-u+(1-2i）νj=i- 10 els e，对于i，j=0，Nm和（f，…，fN）的分量增长速度慢得多，因为它们的对应物M和（~f，，~fN）, 分别地向量eGNTHN（0）对应于at的矩除以w对应的矩。由于这两个矩的增长率大致相同，因此该向量的分量将围绕一个。这种缩放非常重要，因为对于大N来说，ATare的原始时刻是巨大的。这导致了麻烦，例如inDufresne（2000）。因此，我们通过直接计算相对力矩，避免了爆炸力矩行为产生的数值精度。可能性和支付系数可以通过执行Cholesky分解M而不是M来计算：（f，…，fN）= e-rTL公司-1（f，…，fN）,(l, . . . , lN）= L-1eGNTHN（0），其中m=L L是M的Cholesky分解。请注意，要计算（A.1）中的选项p rice，我们不一定需要进行Choleskydecomposition。实际上，我们只需要反转矩阵X。进行Cholesky分解是解决线性系统的一种方法，但还有其他可能性。特别是，M是Vandermond e矩阵，其逆可以解析计算（参见Turner（1966））。也存在求解线性Vandermonde系统的特定数值方法，参见。g、比约克和佩雷拉（1970）。然而，对于本文考虑的例子，我们没有发现Cholesky方法和替代矩阵反演技术之间有任何显著差异。对于非常大的ν值，甚至矩阵xm也可能病态。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:25

在这种情况下，建议使用三项递归关系：引理A.1来构造正交b基。多项式bn∈ Poln（R），n=0，1。，递归定义为b（x）=1，b（x）=β（x-α），bn（x）=βn（（x-αn-1） bn公司-1（x）- βn-10亿-2（x）），n=2，3，αn=eu+ν（n-)eν（n+1）+eνn- 1., n=0，1。βn=eu+ν（3n-2） peνn- 1，n=1，2，satisfyZRbi（x）bj（x）w（x）dx=（1 i=j0 else，i，j=0，1，…。证明。正规d分布矩母函数和定理1.29 inGautschi（2004）的直接应用。上述递归避免了小ν双精度算法中的舍入误差，但对大ν非常精确。B模拟g（x）的控制变量为了提高g（x）蒙特卡罗模拟的效率，我们在本附录中描述了如何使用几何平均密度作为控制变量。Kemna和Vorst（1990）提出了这一想法，他们报告称，在模拟算术亚洲期权价格时，将几何亚洲期权价格作为控制变量时，方差显著减少。用QT=exp表示TRTlog（Ss）ds几何平均价格。不难看出对数（QT）是正态分布，平均值（r-σ） T和方差σT。因此，QTis呈对数正态分布，我们清楚地知道它的密度函数，我们用q（x）表示。与引理4.1一样，我们也可以将q（x）表示为期望：引理B.1。对于任何x∈ Rq（x）=E{QT≥x}- c（x）2BTσT QT+QT,（B.1）其中c是任何确定的有限价值函数。我们现在为算术平均值的密度提出以下估计：g（x）=E（1{在≥x}- c（x））σ装货单- ST AT+σ- 老鼠+q（x）-{QT≥x}-c（x）2BTσT QT+QT,（B.2）对于某些确定性有限值函数，c。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:28

考虑到几何平均值和算术平均值之间通常具有很高的相关性，上述估计值的方差明显小于（4.1）中的估计值。在数值示例中，功能和注意选择如下：c（x）=1x≤mA，c（x）=1x≤mQ，其中Ma和mQ分别表示At和QT的第一时刻。最后，我们使用（B.2）来表示klkwas可使用蒙特卡洛模拟法评估的期望值：klkw=E（1{在≥在}- c（￠AT））σ装货单-ST AT+σ-老鼠w（▄AT）+q（▄AT）-{QT≥在}- c（￠AT）2BTσT QT+QTw（￠AT）,（B.3）其中，r是一个dom变量，与所有其他随机变量无关，且具有与AT相同的分布。在数值示例中，我们发现方差大约减少了一个系数。C证明本附录包含所有证明。C、 1引理的证明2.1利用布朗运动的时间反转特性，我们在法律中有以下等式，对于固定t>0:tAt=Zte（r-σ） u+σBudulaw=中兴通讯（r-σ）（t-u） +σ（Bt-Bu）du=StZtS-1杜邦。将It^o引理应用于Xt：=StRtS-1DU givesdXt=StS-1tdt+ZtS-1DU（rStdt+σStdBt）=（rXt+1）dt+σXtdBt。C、 2命题证明2.2将（2.1）中的微分对应的微元生成器G应用于单项式向量：Gxn=xn（nr+n（n- 1） σ）+nxn-因此，我们有GHn（x）=▄GnHn（x）分量，其中▄Gn定义为▄Gn=1 r。。。。。。n（nr+n（n- 1)σ).利用引理2.1分布中的恒等式，我们得到了e[Hn（AT）]=diag（Hn（T-1））E[Hn（XT）]=诊断（Hn（T-1))Hn（X）+中兴通讯[GHn（Xu）]杜= 诊断（Hn（T-1））Hn（0）+诊断（Hn（T-1））~GnZTE[Hn（Xu）]du=Hn（0）+诊断（Hn（T-1））～Gndiag（Hn（T））ZTE[Hn（Au）]du=Hn（0）+GnZTE[Hn（Au）]du，其中GN在（2.2）中定义。现在，通过求解上述线性一阶节点，可以得到以下结果。C、 3命题证明2.31。我们将证明（2.1）中SDE在时间T>0时的解允许一个光滑的密度函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:31

然后，在法律上的身份之后，才是这种主张。确定波动率和漂移函数a（x）=σx，b（x）=rx+1。在这种情况下，H¨ormander的条件（例如参见inNualart（2006）第2.3.2节）变为：a（X）6=0或a（n）（X）b（X）6=0 f或某些n≥ 1.当n=1时，满足H¨ormander条件，我们有a′（0）b（0）=σ6=0。由于CEA（x）和b（x）是具有所有阶有界偏导数的完全可微分函数，我们通过Nualart（2006）中的定理2.3.3得出结论，XT，因此AT，允许光滑密度函数。2、我们从以下两个观察开始：≤ sup0≤u≤TSU和Psup0≤u≤TσBu≥ x！=2P级Z≥xσ√T,其中Z~ N（0，1）。利用指数是一个递增函数的事实，我们得到≥ x）≤ Psup0≤u≤TSu公司≥ x！=Psup0≤u≤T（r-σ） u+σBu≥ 日志（x）！≤2P级Z≥日志（x）-（r）-σ） Tσ√T如果r≥σ2PZ≥对数（x）σ√T如果r≤σ.应用l\'H^opital giveslimx的规则→∞g（x）e-对数（x）2σT-1=极限→∞P（在≥ x）Z∞xe公司-对数（y）2σTdy-1.≤ 2.√2πTσlimx→∞Z∞xe公司-（对数（y）-（r）-σ） +T）2σTdyZ∞xe公司-对数（y）2σTdy-1=rπTσ。因此我们证明了g（x）=Oexpn公司-对数（x）σ至对于x→ ∞.由于指数是一个凸函数，我们知道算术平均值总是被几何平均值包围在下面：AT≥ QT=expTZTlog（Ss）ds.不难看出对数（QT）与平均值（r）呈正态分布-σ） T和方差σT。通过与前面一样的奇异参数，我们得到g（x）=O经验值-对数（x）σT对于x→ 命题3.1的证明我们可以写出l 问lkw=Z∞g（x）w（x）w（x）dx=Z形（x）w（x）dx+Zbag（x）w（x）dx+Z∞bg（x）w（x）dx，（C.1）对于某些0<a<b<∞. 第二项是有限的，因为函数在紧凑区间[a，b]上是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:34

根据命题2.3，我们得到g（x）=O经验值-对数（x）σT, 对于x→ ∞ 和x→ 对于对数正态密度，我们得到w（x）=O经验值-对数（x）2ν, 对于x→ ∞ 和x→ 0.由于假设2ν>σT，我们保证（C.1）中的第一项和最后一项对于a（b）的选择非常小（或较大）。C、 5命题证明3.3支付系数可以写成（f，…，fN）= e-rTC（▄f，▄fN）,带▄fn=√2πνZ∞（例如- K） +enxe-（十）-u）2νdx=√2πνZ∞对数（K）e（n+1）xe-（十）-u）2νdx- KZ公司∞对数（K）enxe-（十）-u）2νdx！。完成指数中的平方给出√2πνZ∞对数（K）enxe-（十）-u）2νdx=√2πνeun+nνZ∞对数（K）e-（十）-（u+νn））2νdx=√2πeun+nνZ∞对数（K）-（u+νn）νe-ydy=eun+nνΦ（dn），其中dn在（3.5）中定义。我们最终得到▄fn=eu（n+1）+（n+1）νΦ（dn+1）-Keun+nνΦ（dn）。C、 6引理的证明4.1该证明基于Malliavin微积分技术，我们参考Nualart（2006）对该领域标准结果的概述。Fourni\'e等人（1999年）采用类似的方法，通过蒙特卡罗模拟计算亚式期权的希腊人。用D表示：D1,2→ L(Ohm ×[0，T]），F 7→ {DtF，t∈ [0，T]}，Malliavin导数算子。根据（Nualart，2006）中的定理2.2.1，我们得到了St，At∈ D1,2对于t∈ （0，T）和灰尘=σSt{u≤t} ，DuAt=σtZtuSsds。用δ表示：Dom（δ）→ L(Ohm), {Xt，t∈ [0，T]}7→ δ（X）Skorohod积分和Dom（δ） L(Ohm×[0，T]）对应的域。Skorohodin积分被定义为Malliavin导数的伴随算子，可以将It^o积分扩展到非自适应过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:37

特别是，我们立即得到{St，t∈ [0，T]}∈ Dom（δ）和（C.2）δ（S）=ZTSsdBs。对于φ∈ C∞cwe有φ（AT）∈ D1,2和ZT（Duφ（AT））Sudu=φ′（AT）ZT（DuAT）Sudu。利用Skorohod积分和Malliavin导数之间的对偶关系，wegetE[φ′（AT）]=E“ZT（Duφ（AT））SuRT（DuAT）sudududu#=E”φ（AT）δSRT（DuAT）Sudu！#。（C.3）通过引理1 Inbaly（2003）（参见Nu-alart（2006）中的命题2.1.1，了解类似的方法），我们得到了AT:g（x）=E{AT的密度函数的以下表示≥x} δSRT（DuAT）Sudu#=TσE{AT≥x} δSRTSuRTuSsds du！#。（C.4）交换整合顺序=ZTSudu公司-ZTZUSSDS du公司=ZTSudu公司-ztsSztsudu ds，它给出了srtsurtsuds du=TAT。将其插入（C.4）给定sg（x）=TσE{在≥x} δ坐.我们使用命题1.3.3 inNualart（2006）计算出随机变量A-2t自theSkorohod积分：δ坐= A.-2Tδ（S）-ZTDt公司A.-2吨Stdt=A-2Tσ装货单- S- RZTSDS-ZTDt公司A.-2吨Stdt，非正式地说，我们应用正则化参数来使用（C.3）表示（移位的）重微分函数φ（y）=1{y≥x} 。我们在上一个等式中使用了（C.2）。用链式法则求Malliavin导数wegetδ坐= A.-2Tσ装货单-S- RZTSDS+ 2A级-3TZTDtATStdt=A-2Tσ（ST- S- rT AT）+2A-3TTZTStZTtσSudu dt=A-2Tσ（ST- S- rT AT）+A-1TσT=A-2Tσ（ST- S） +TσA-1T（σ- r）。把所有的东西放在一起，我们最终得到：g（x）=σE{在≥x}装货单- ST AT+σ- 老鼠.由于Skorohod积分的期望值为零，因此我们也将g（x）=σE{在≥x}- c（x）装货单- ST AT+σ- 老鼠,对于任何确定性有限值函数c.c.7推论4.3的证明，结果紧随（4.1）和Klkw=Z∞l（x） w（x）dx=Z∞g（x）w（x）g（x）dx。C、 8命题的证明4.4使用C au-chy-Schwarz不等式和多项式b的正交性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-6 20:01:41

，bNweget |π- π（N）|=hF、liw-NXn=0fnln=*F-NXn=0bnfn，l -NXn=0亿ln+w≤F-NXn=0bnfnwl -NXn=0亿lnw=kF kw-NXn=0fn！kl千瓦-NXn=0lnC、 9引理B.1将Malliavin导数应用于QTgivesDuQT=QTDu的证明TZTlog（Ss）ds= QTσT（T- u） 1u≤T、类似于在Lemma4.1中，我们可以写eq（x）=E{QT≥x} δRTDuQTdu！#=E{QT≥x} δQTσT.（C.5）使用命题1.3.3 inNualart（2006）从Skoroh-odintegral得出的δ中计算出r和dom变量QTσT=2BTσT QT-σTZTDu（Q-1T）du=2BTσT QT-σTQ-2TZTQTσT（T- u） du=2BTσT QT+QT。将其插回（C.5）最终给定SQ（x）=E{QT≥x}2BTσT QT+QT.由于Skorohod积分的期望值为零，因此我们也可以求出q（x）=E{QT≥x}- c（x）2BTσT QT+QT,对于任何确定性有限值函数c。情况rσT SLNS10 LNS15 LNS20 LS EE VEC MC 95%CI1。02 .10 1 2.0 .05601 .05600 .05599 .0197 .05599 .05595 [.05598, .05599]2 .18 .30 1 2.0 .2185 .2184 .2184 .2184 .2184 .2184 [.2183 , .2185]3 .0125 .25 2 2.0 .1723 .1722 .1722 .1723 .1723 .1723 [.1722 , .1724]4 .05 .50 1 1.9 .1930 .1927 .1928 .1932 .1932 .1932 [.1929 , .1933]5 .05 .50 1 2.0 .2466 .2461 .2461 .2464 .2464 .2464 [.2461 , .2466]6 .05 .50 1 2.1 .3068 .3062 .3061 .3062 .3062 .3062 [.3060 , .3065]7 .05 .50 2 2.0 .3501 .3499 .3499 .3501 .3501 .3500[.3494，.3504]表1：不同参数化和不同方法的价格近似值。所有情况下，罢工价格均为K=2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-6-6 20:01:44

LNSX列指的是本文中提出的方法，其中包含序列的前1+X项，LS到Dufresne（2000），E到Linetsky（2004），VEC到Vecer（2001，2002），MC 95%CI到蒙特卡罗模拟的95%置信区间。案例rσT SLNS10 LNS15 LNS20 LS EE VEC MC1。02 .10 1 2.0 .006 .008 .009 .930 - .277 6.3442 .18 .30 1 2.0 .002 .002 .003 .666 2.901 .345 5.5183 .0125 .25 2 2.0 .002 .002 .002 .635 3.505 .374 12.1384 .05 .50 1 1.9 .001 .002 .003 .785 3.172 .404 6.8195 .05 .50 1 2.0 .001 .002 .002 .701 2.768 .404 5.4326 .05 .50 1 2.1 .001 .001 .002 .687 2.719 .398 5.4527 .05 .50 2 2.0 .002 .002 .004 .594 2.202 .438 11.699表2：计算时间（秒）。L NSX列指的是本文中提出的方法，包括序列的前1+X项、LS toDufresne（2000）、EE to Linetsky（2004）、VEC toVecer（2001、2002）和MC to Monte Carlo模拟。0 2 4 6 8 10 12 14 16 200.0540.0560.0580.060.0620.0640.0660.068多项式展开CMC 95%CI（a）案例10 2 6 8 10 12 14 16 200.170.1750.180.1850.190.1950.20.2050.21多项式展开CMC 95%CI（b）案例30 2 4 6 8 10 12 16 200.240.250.260.270.280.290.3多项式展开CMC 95%CI（c）案例50 2 4 6 8 10 12 16 200.340.360.370.380 390.40.410.42多项式展开式CMC95%-置信区间（d）案例7图1：多项式近似阶N函数中的亚式期权价格近似。案例对应于表1.0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2 1.3 1.4-1（a）案例10.2 0.4 0.6 0.8 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2 2.20.51.52.5（b）案例30.5 1 1 1.5 2 2 2 50.20.40.60.81.21.41.6（c）案例50 0.5 1 1 1.5 2 2 2 2.5 3 3.50.20.40.60.81.2（d）案例7图2：模拟真实密度函数g（x）和近似密度函数g（n）（x），n=0，4，20。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝