不确定波动模型下的亚式期权定价

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收藏 2022-06-10

英文标题：
《Asian Option Pricing under Uncertain Volatility Model》
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作者：
Yuecai Han and Chunyang Liu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
In this paper, we study the asymptotic behavior of Asian option prices in the worst case scenario under an uncertain volatility model. We give a procedure to approximate the Asian option prices with a small volatility interval. By imposing additional conditions on the boundary condition and cutting the obtained Black-Scholes-Barenblatt equation into two Black-Scholes-like equations, we obtain an approximation method to solve the fully nonlinear PDE.
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中文摘要：
本文研究了在不确定波动率模型下，亚式期权价格在最坏情况下的渐近行为。我们给出了一个在小波动区间内近似亚式期权价格的过程。通过在边界条件上施加附加条件，并将得到的Black-Scholes-Barenblatt方程切割成两个Black-Scholes-like方程，我们得到了求解完全非线性偏微分方程的近似方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Analysis of PDEs 偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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nandehutu2022

2022-6-10 08:53:32

不确定波动下的亚式期权定价模型YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU摘要。本文研究了在不确定波动率模型下，亚洲期权价格在最坏情况下的渐近行为。我们给出了一个在小波动区间内近似亚式期权价格的过程。通过在边界条件上引入附加条件，将Black-Scholes-Barenblatt方程分解为两个Black-S-choles-like方程，得到了求解完全非线性偏微分方程的近似方法。关键词：亚式期权，非线性Black-Scholes-Barenblatt偏微分方程，不确定性波动率模型，随机控制1。简介交易账户期权是一种金融合同，允许合同买方在期权有效期内以特定价格（称为履约价格）交易标的资产。期权种类繁多，有欧式期权、美式期权、亚式期权和障碍期权。作为现代期权分析的基础，Black、Scholes[1]和Merton[2]引入了欧式期权的Black-Scholes-Merton定价公式。在Blcak-Scholes-Merton模型中，假设波动率为常数。然而，持续的波动性无法解释观察到的期权市场价格。继Black、Scholes和Merton的工作之后，一些学者研究了具有随机波动性的期权定价模型。在一系列论文中，介绍了几种随机波动率模型，如赫尔-怀特随机波动率模型[3]和赫斯顿随机波动率模型[4]。不确定波动率模型是描述非恒定波动率的另一种方法。1995年，Lyons【5】和Avellaneda等人【6】引入了不确定波动率模型。在这些模型中，假设波动率在一定范围内。因此，价格不再是唯一的。

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可人4

2022-6-10 08:53:35

我们只能得到最佳情况下的价格和最坏情况下的价格。对不确定波动率的几个问题进行了研究。我们可以在Lyons【5】、Avellaneda等人【6】、Dokuchaev、Savkin【7】、Forsyth、Vetzal【8】和Vorbrink【9】中看到这些结果。本文展示了包含非线性偏微分方程的不确定波动率2 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU模型的定价。Pooley、Forsyth、Vetzal【10】和Avellanda等人【6】提出了一些数值方法。2014年，Fouque和Ren【11】研究了不确定波动率模型下最坏情况下的欧洲衍生品价格。他们提供了一种对波动率区间较小的衍生品进行定价的近似方法。此外，本文还提出，对于具有凸支付的简单期权，其解归结为一个常数波动率问题。本文研究了亚式期权的定价问题。支付函数的路径依赖于风险资产价格过程。另一个变量用于解决该问题。在确定最坏情况下亚洲期权价格的估计过程中，我们遇到的第一个问题是获得价格的哈密顿·贾科比·贝尔曼（HJB）方程。HJB方程在金融数学中被称为BlackScholes-Barenblatt（BSB）方程。利用随机控制理论可以得到BSB方程。下一个困难是证明估计的一致性。为了控制误差项，我们通过Dynkin公式获得其期望形式，并通过证明和推导确定我们应该对Payoff函数施加什么条件。最后，我们得到了价格的近似过程。与Fouque和Ren的论文【11】相比，我们在随机控制系统中添加了一个方程，它也可以反映在BSB方程中。

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能者818

2022-6-10 08:53:38

根据风险资产定价过程的动态性，我们给出了一个描述路径依赖的方程。在估计期望形式时，我们使用这两个过程之间的关系。在第4.4节中，我们首先确定两个变量中的一个，以简化问题。我们用来管理这两个变量的另一种方法是改变BSB方程的形式。本文的组织结构如下。在第2节中，我们简要描述了不确定波动率模型下的亚洲期权，并给出了期权价格的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程。在第3节中，我们找到了最坏情况下的亚式期权价格估计，该估计依赖于两个Black-Scholes-likePDEs。接下来，我们提出了本文的主要结果，这表明了估计的合理性。在第四节中，我们给出了主要结果的证明。通过对Payoff函数施加的条件，我们得到了err或项的收敛性。在此过程中，我们得到了误差项的期望形式，并将其分为三部分。利用随机控制理论和最坏情况下亚式期权价格过程的性质给出了这三部分的控制。最后，给出了本文的结论。2.不确定波动率模型下的亚式期权本节介绍不确定波动率模型下的亚式期权。然后给出了亚式期权价格的Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程。假设X是一个针对风险资产的亚式期权，到期日为T，支付金额为（·）。ν（·）是一个非凸函数，其结果与凸条件下的BlackScholes结果相同。

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nandehutu2022

2022-6-10 08:53:41

也就是说，本文的结果涵盖了广义亚式期权。假设风险资产XT的价格过程解出以下随机微分方程（2.1）dXt=rXtdt+σtXtdWt，其中r是恒定的无风险利率，WT是概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 P）和波动过程σt∈ A[σ，σ]表示每个∈ [0，T]，这是一系列渐进可测和[σ，σ]值过程。通过上述定义，我们知道，不确定波动性模型中的波动性不是具有概率分布的s-tochastic过程，而是具有未知先验信息的随机过程家族。因此，我们可以用模型的模糊性来区分不确定波动率模型之间的差异。由于路径依赖于风险资产价格过程，我们假设Yt，T的表达式如下（2.2）Yt，T=Yt- 年初至今- t、式中，Yt=RtXudu。然后我们可以得到最坏情况下的亚式期权价格，时间t<Tas遵循（2.3）V（t，Xt，Yt）=exp(-r（T- t））ess supσ∈A[σ，σ]E[Д（Y0，T）| Ft]，其中ess sup是基本上确界。通过不确定波动率模型的模糊性，我们将价格定义为方程（2.3）。显然，最坏的情况是期权卖方的价格。它与一致性风险度量有关，一致性风险度量量化了波动性不确定性引起的模型风险（见[12]）。此外，数学金融中的模型模糊性吸引了许多人的注意。因此，我们应该注意最坏情况下价格的重要性。4 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU通过随机控制理论（见[13]），V（t，Xt，Yt）满足HamiltonJacobi-Bellman（HJB）方程（Black-Scholes-Barenblatt（BSB）方程）。引理2.1。

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能者818

2022-6-10 08:53:44

V（t，Xt，Yt）满足以下Black-Scholes-Barenblatt方程电视+r（x十五- V）+xyV+supσ∈A[σ，σ]xσ二十五= 0,0 ≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0.（2.4）证明。注意，随机控制系统是dXt=rXtdt+σtXtdWt，σt∈ A[σ，σ]，dYt=Xtdt。然后对于所有（s、x、y）∈ [0，T]×R+×R+，我们首先建立动态程序框架dXt=rXtdt+σtXtdWt，dYt=Xtdt，Xs=x，Ys=y。（2.5）成本函数isJ（s，x，y；σ）=Eshe-r（T-s） ν（Y0，T）i，其中Es[·]=E[·| Fs]。值函数isV（s，x，y）=ess supσ∈A[σ，σ]J（s，x，y；σ）。对于所有0≤ s≤ ^s≤ T，σ∈ A[σ，σ]，我们有v（s，x，y）≥ 叶舍-r（T-s） ^1（Y0，T）i=EsZ^ss-重新-r（T-t） ^1dt+e-r（T-^s）Д.然后我们得到0≥ 锿Z^ss-重新-r（T-t） ^1dt+ V（^s，x，y）- V（s，x，y）。除以bs- 在不平等的两边，我们有0≥ Es“R^ss-重新-r（T-t） Дdt^s- s#+V（^s，x，y）- V（s，x，y）^s- s、这里，假设ν是Lipschitz连续的。然后根据It^o公式和方程式（2.5），我们得到了dV=Vtdt+VxdXt+VydYt+vxdxtdxt+Vy-ydYtdYt+VxydXtdYt=（Vt+rXtVx+XtVy+σtXtVxx）dt+σtxtdwt。让我们→ s、对于所有σ∈ A[σ，σ]，我们有0≥ -资源[e]-r（T-s） ^1]+Vt+rXsVx+XsVy+σsXsVxx≥ -rV（s，x，y）+Vt（s，x，y）+rxVx（s，x，y）+xVy（s，x，y）+σsXsVxx（s，x，y），即（2.6）0≥ -rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。另一方面，f或任何ε>0，则存在σ（ε）∈ A[σ，σ]使得v（s，x，y）- ε（^s）- s）≤ 叶舍-r（T-s） ^1i=EsZ^ss-重新-r（T-t） ^1dt+ 叶舍-r（T-^s）Дi.所以我们有-ε ≤ Es“R^ss-重新-r（T-t） Дdt^s- s#+V（^s，x，y）- V（s，x，y）^s- s、如上所述，我们得到（2.7）0≤ -rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。结合（2.6）和（2.7），我们得到0=-rV+Vt+rxVx+x Vy+supσ∈A[σ，σ]σxVxx。备注2.2。在这里，将变量Y添加到d Y动力学系统中会导致更复杂的随机控制系统，这会增加BSB方程的维数。备注2.3。

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mingdashike22

2022-6-10 08:53:47

注意，（2.4）是一个完全非线性的偏微分方程，它没有像Black-Scholes方程那样的解。因此，我们决定通过将其简化为求解两个Black-Scholes-like偏微分方程来解决这个问题。3、Black-Scholes等人的偏微分方程和主要结果在本节中，我们首先重新参数化不确定波动率模型，以研究最坏情况下的价格。假设风险资产价格过程Xεthasa动态dXεt=rXεtdt+σtXεtdWt，dYεt=Xεtdt，（3.1）6 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU，其中σt∈ Aε={σt |σtis A[σ，σ+ε]-有值过程可测量过程}和σ∈ [σ, σ].成本函数为jε（t，x，y；σ）=e-r（T-t） Etxy公司Д（Yε0，T）,式中，Etxy[·]表示关于Xεt=X，Yεt=Y的条件期望。值函数为vε（t，X，Y；σ）=ess supσ∈Aε[Jε（t，x，y；σ）]。通过引理2.1，我们得到了Vε的Black-Scholes-Barenblatt方程。tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε+supσ∈AεxσxxVε=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，Vε（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0，（3.2），相当于tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε+supγ∈A[0,1]x（σ+εγ）xxVε=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，Vε（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0，（3.3），其中A[0，1]={γt |γtis A[0，1]-有价值的过程可测量过程}。很明显，最坏情况下的价格比任何波动率σ为常数的Black-Scholesprice价格都要大∈ [σ, σ]. 在下一节中，我们将证明亚式期权的最坏情景价格收敛于其具有常数波动率σ的Black-Scholes价格。此外，还可以得到亚式期权价格作为波动率区间shr的收敛速度。然后，当区间足够小时，我们可以通过这个结果来估计价格。设Vbe为Black-Scholes价格，V=Vε|ε=0，V=εVε|ε=0。现在，我们假设Vε相对于ε是连续的。然后，通过Vε和方程（2.3）的连续性，我们得到V=V=Vε|ε=0。

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nandehutu2022

2022-6-10 08:53:50

众所周知，V满足以下偏微分方程。电视+r（x十五- 五） +x个yV+σxxxV=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=Д（yT），x≥ 0，y≥ 0。（3.4）另一方面，我们有V=εVε|ε=0，即当ε接近0时，亚式期权价格的收敛速度。为了得到表征V的方程，我们对方程（3.3）的两侧进行ε微分，并设ε=0，然后我们得到电视+r（x十五- 五） +x个yV+σxxxV+supγ∈A[0,1]γσxxxV=0,0≤ t型≤ T、 x个≥ 0，y≥ 0，V（T，x，y）=0，x≥ 0，y≥ 0。（3.5）现在，我们有两个如上所述的Black-Scholes-like偏微分方程。接下来，我们想找出Vε和V，V之间的关系。然后，我们试图证明我们是否可以在支付函数上施加附加条件，使误差项Vε- （V+εV）有序o(ε). 也就是说，当模型模糊性消失时，对最坏情况下亚式期权价格的估计将接近真值。它还将向美国展示估计最坏情况下亚式期权价格的方法。通过下一节的推导，我们得到了以下定理，这是本文的主要结果。定理3.1。假设∈ Cp（R+）是Lipschitz连续的，而ν的二阶导数是连续的。Thenlimε↓0Vε- （V+εV）ε=0。此处^1∈ Cp（R+）表示其2阶导数具有多项式增长。备注3.2。要证明定理3.1，有一些困难。第一个问题是如何将误差项转换为可估计的形式。我们得到了它的期望值，并在下一节中将其分为三部分。第二个问题是如何估计这三个部分。我们将使用随机控制理论、方程（4.1）的零集性质、次线性期望的性质以及最坏情况下亚洲期权价格过程的性质。备注3.3。

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大多数88

2022-6-10 08:53:53

根据eorem 3.1，我们可以计算亚式期权价格Vε（t，Xεt，Yεt）及其近似值，V（t，Xεt，Yεt）+εV（t，Xεt，Yεt），其中V（t，Xεt，Yεt）是亚式期权的Black-Scholes价格，V（t，Xεt，Yεt）可以根据（3.5）的简单差分格式进行数值计算。（见【10】）备注3.4。注意，（3.4）和（3.5）与ε无关。所以，当我们用不同的ε计算vε时，我们只需要用T heorem 3.1.4计算所有小ε值的Vand Vonce。主要结果的证明在本节中，我们试图控制误差项，以证明我们可以用其估计值V+εV来计算Vε。作为8 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG Liu定理3.1中提到的关于ν的条件，我们有以下证明过程。另一方面，我们的思考过程也将在接下来的部分中反映出来。4.1. Payoff函数的Lipschitz连续性。从第3节我们知道，只有在Vε连续的情况下，我们才能得到V（=Vε|ε=0）和V（=εVε|ε=0）。因此，为了得到Vε的连续性，我们假设ν是lipschitz连续的。然后，存在一个常数Ksuch |Д（x）- ^1（y）|≤ K | x- y |，对于所有x 6=y，x，y∈ R+。因此，我们有如下引理。引理4.1。假设ν是Lipschitz连续的。那么Vε相对于ε是连续的。证据让0≤ ε≤ ε < 1.

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可人4

2022-6-10 08:53:57

注意vε（t，x，y；σ）=ess supσ∈Aεne-r（T-t） Etxy公司Д（Yε0，T）o、我们有那个-t） Vε（t，x，y；σ）=ess supσ∈AεEtxyhИ（Yε0，T（σ））i=ess supσ∈AεEtxyД（Yε0，T（σ∧ (σ+ ε))).根据ν的Lipschitz连续性和方程（2.1），存在常数Ksuch thater（T-t） | Vε（t，x，y；σ）- Vε（t，x，y；σ）|≤ ess supσ∈AεEtxy公司φYε0，T（σ）- Etxy公司φYε0，T（σ∧ (σ+ ε))≤ Kess supσ∈AεEtxy公司Yε0，T（σ）- Yε0，T（σ∧ (σ+ ε))1/2≤ （K/T）ess supσ∈AεEtxyZT | Xεu（σ）- Xεu（σ∧ （σ+ε））| du1/2.对于s-tochastic微分方程解的矩估计（第2.9节中的定理9和[15]第2.5节中的推论12），有常数N=N（q，r，σ），N′=N′（q，r，σ），和C=max{NN′，N+N′}，因此etxysups公司≤u | Xεs（σ）- Xεs（σ∧ （σ+ε））| 2q≤ 努克-1纽特西Zu | Xεs（σ）| 2q·|σs- σs∧ （σs+ε）| 2qds≤ 努克-1eNuN′eN′uu（1+x2q）|ε- ε| 2q=CuqeCu（1+x2q）|ε- ε| 2q。因此，我们有了thater（T）-t） | Vε（t，x，y）- Vε（t，x，y）|≤ （K/T）ess supσ∈AεZTEtxysups∈[0，u]| Xεu（σ）- Xεu（σ∧ （σ+ε））| du！1/2≤ （K/T）ess supσ∈AεZTCueCu（1+x）|ε- ε| du1/2≤ K′（1+x）1/2ε- ε|，其中K′=K′（K，C，T）。Letε→ ε. 我们有| Vε（t，x，y）- Vε（t，x，y）|→ Vε相对于ε的连续性可以用ε来证明≤ ε.4.2. 误差项的期望形式。在这一部分中，我们对误差项进行了分析，并给出了误差项的期望形式作为准备工作，然后证明了V+εV.Let^σtbe最坏情景波动过程和^Xεtbe最坏情景风险资产过程的收敛性。

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大多数88

2022-6-10 08:54:00

然后方程（3.1）可以重写如下。d^Xεt=r^Xεtdt+^σt^XεtdWt，d^Yεt=^Xεtdt。（4.1）我们可以通过方程（3.3）得到^σ的表达式，并且^σ（ε）=σ+εγ，其中^γ（t，x，y；ε）=1.xxVε（t，x，y）≥ 0,0, xxVε（t，x，y）<0。（4.2）类似地，通过求解V的方程（3.5），我们得到了波动过程：’σ（ε）=σ+εγ，其中‘γ（t，x，y）=1.二十五（t、x、y）≥ 0,0, xxV（t，x，y）<0。（4.3）在这里，我们使用短符号^γtand‘‘γtfor^γ（t，x，y；ε）和‘‘γ（t，x，y））。设Zε=Vε- （V+εV）。为了估计误差项Zε，我们定义了运算符l（σ）=t+rxx个- r+σxxx+xy、根据偏微分方程10 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU（3.2），（3.4）和（3.5），我们得到L（σt）Zε=L（σt）（Vε- （V+εV））=0- L（σt）（V+εV）=-（L（σt）- L（σ））V- L（σ）V- ε（L（^σt）- L（σ））V- εL（σ）V=ε（(R)γt- γt）σx二十五- （ε/2）（（γt）xxxV+2σ^γtx二十五）- （ε/2）（γt）xxxV=-fε（t，x，y），边界条件Zε（t）=Vε（t）- V（T）- εV（T）=0。通过Dynkin公式，我们得到了Zε的以下期望形式。Zε=EtxyZTtfε（s，x，y）ds= εEtxyZTt（γs）- γs）·σ·（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds+εEtxyZTt{（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）+σ（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）}ds+εEtxyZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds= εI+εI+εI，其中I=EtxyZTt（γs）- γs）·σ·（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds,（4.4）I=EtxyZTt{（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）+σ（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）}ds,（4.5）I=EtxyZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds.（4.6）因此我们有| Zε|≤ ε| I |+ε| I |+ε| I |。（4.7）所以我们可以通过控制| I |、| I |和| I |来估计Zε。4.3. Payoff函数的多项式增长条件。从第4.2节我们知道，为了控制误差项，我们需要分析三个部分。到（4.7），我们有Zεε≤ |I |+ε（| I |+ε| I |）。因此，有必要证明ε↓0 | I |+ε（| I |+ε| I |））=0。显然，有必要对| I |和| I |进行控制。当谈到| I |时，我们需要证明它的收敛性。

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大多数88

2022-6-10 08:54:03

现在，让我们先考虑控制| I |和| I | I。通过I和I的表达式，我们可以看到涉及Vand-Vare的偏导数。因此，在给出I和I的控制之前，我们应该考虑对它们进行估计。接下来，我们可以通过经典结果得到Vand Vε的期望形式。当ε=0时，我们有x（u）=x exp{（r-σ）（u）- t） +σ（Wu- Wt）}。ThusV（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д（Y0，t）]=e-r（T-t） Etxy公司φTZTX（u）du= e-r（T-t） Etxy公司φT·x·（中兴通讯（r-σ）（u）-t） +σ（Wu-Wt）du）= e-r（T-t） Etxy[Д（x·H）]，（4.8），其中H（=（1/t）RTexp{（r- σ/2）（u- t） +σ（Wu- Wt）}du）是固定t的随机变量∈ [0，T]。类似地，有vε（t，x，y）=e-r（T-t） ess supσ∈AεEtxy公司Д（Yε0，T）= e-r（T-t） Etxy[Д（x·G）]，（4.9），其中G（=（1/t）RTexp{（r-（σu）/2）（u-t）-^σu（Wu-Wt）}du）是固定t的随机变量∈ [0，T]。通过等式（4.8）和等式（4.9），我们注意到有必要在Д上施加多项式生长条件以控制二十五和xxVε。然后我们给出xxV（t，x，y）和dxxVε（t，x，y）在下面的引理a.12中，粤菜汉和春阳六引理4.2。假设Payoff函数的二阶导数满足多项式g增长条件，即存在常数Kand和m，使得ν′（x）≤K（1+| x | m）。那么，我们有常数k，比如二十五（t、x、y）≤ K（1+| x | m），（4.10），其中Kdepends on T，T，Etxy|H类|, Etxy公司|H | m+2此外，还有常数K，比如xxVε（t，x，y）≤ K（1+| x | m）。（4.11）其中Kdepends on T，T，Etxy|G级|, Etxy公司|G | m+2和K.Proof。作为引理中的假设，我们有二十五（t、x、y）= e-r（T-t） Etxy公司И′（xH）H≤ e-r（T-t） Etxy公司K（1+| xH | m）H≤ K（1+| x | m）。这里Kdepends在T，T，Etxy上|H类|, Etxy公司|H | m+2实际上，对于常数m>0，我们有thatEHm=（1/（T））mEZT公司-t型-texp{（r- σ/2）u+σWu}dum级≤ （T） mE（ZT-t型-te | r-σ/2 |（T-t） +σ武都）m≤ （T）内存| r-σ/2 |（T-t） Esups∈(-t、 t型-t）eσWs!m<+∞.另一方面，我们可以控制xxVε类似。

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kedemingshi

2022-6-10 08:54:06

然后有一个常数，它依赖于T，T，Etxy|G级|, Etxy公司|G | m+2还有Ksuch that|xxVε（t，x，y）|≤ K（1+| x | m）。现在，通过遵循建议，我们可以控制I号土地。建议4.3。假设∈ Cp（R+）满足Lipschitz连续性条件。然后，方程（4.5）和方程（4.6）中存在满足| I |+| I |的常数Cand psuch≤ C（1+| x | p）。证据通过引理4.2，我们得到了（3.3）和（4.11）中的以下不等式|tVε+r（xxVε- Vε）+xyVε|≤（σ+ε）xxxVε≤（K/2）（σ+ε）|x |+| x | m+2.根据V的表达式，的确|电视+r（x十五- 五） +x个yV |≤Kσ|x |+| x | m+2.通过（3.5）和（4.10），我们得到x的控制二十五、，x个二十五=电视+r（x十五- 五） +x个yV+(R)gtσx二十五· (2/σ)≤|电视+r（x十五- 五） +x个yV |+|σx二十五|· (2/σ)≤ M|x |+| x | m+2,（4.12）式中，Mdepends on K，Kandσ。我们可以从[16]中的定理5.2.1得到^Xεt的存在唯一性。然后，通过对随机微分方程解的矩的估计（第2.5节的推论12），对于固定的q>0，存在一个常数N（q），使得etxy“sups”∈[t，t]^Xεsq#≤ N（q）eN（q）（T-t）（1+| x | q）。（4.13）通过（4.6）、（4.12）和（4.13），我们得到以下不等式|I |=Etxy公司ZTt（^γs）（^Xεs）xxV（s，^Xεs，^Yεs）ds≤ （M/2）EtxyZTt（|^Xεs |+| Xεs | m+2）ds≤ M′1+| x | m+2.（4.14）这里M′依赖于T，T，N（2），N（M+2）和M。通过（4.5），（4.10），（4.12）和（4.13），我们得到了| I |的控制|I |=Etxy公司ZTt（^γs）（^Xεs）xxV+σ（^γs）（^Xεs）xxVds≤ （K/2）EtxyZTt（^Xεs）+（^Xεs）m+2ds+ 梅特西ZTt（^Xεs）+（^Xεs）m+2ds≤ M（1+| x | p），（4.15），其中，Mdepends on T，T，M，K，N（2）和N（M+2），p≥ m+2。将（4.14）和（4.15）结合起来，有一个常数Csuch为| I |+| I |≤ C（1+| x | p）。14韩越才、刘春阳4.4. 支付函数二阶导数的连续性。通过命题4.3，我们获得了对I和I的控制。

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可人4

2022-6-10 08:54:10

接下来，对于固定点（t、x、y）∈[0，T]×R+×R+，必须证明limε↓0 | I |=0。注意，如果∈ Cp（R+）（即其高达2阶的导数具有多项式增长），我们可以通过（4.4），（4.10），（4.13）和H¨older不等式得到以下不等式，| i |≤Etxy公司ZTt（σ（^Xεs）xxV）ds1/2Etxy公司ZTt（γs）- γs）ds1/2≤ M（1+| x | p）1/2Etxy公司ZTt |^γs- γs | ds1/2.（4.16）这里，Mdepends在K、T、T、σ和p上≥ 4+2m。此外，Mis独立于ε。设hε（t，x，y）=^γ（t，x，y；ε）- γ（t，x，y）。通过（4.2）和（4.3），我们得到了| hε（t，x，y）|=1.xxVεxxV<0,0，xxVε二十五≥ 因此，为了证明| I |→ 0为ε→ 0，必须证明limε↓0EtxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds= 0。（4.17）通过hε的表达式，我们应该分析Vand Vε的导数。在这里，我们发现连续性是必要的。引理4.4。假设И′是连续的。然后二十五和xxVε相对于（x，y）是连续的。证据通过（4.8），我们得到V（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д（xH）]和xxV（t，x，y）=e-r（T-t） Etxy[Д′（xH）H]。如果И′是连续的，那么对于所有x∈ R+，δ>0，有一个常数ξ=ξ（δ，x），使得|Д′′（xH）- И′（xH）|≤ 所有xH的δ∈ （xH- ξ、 xH+ξ）。所以对于所有（x，y）∈ R+×R+，xH∈ （xH- ξ、 xH+ξ），y∈ （y）- ξ、 y+ξ），我们有|二十五（t、x、y）- xxV（t，x，y）|=e-r（T-t） | Etxy[Д′（xH）H- И′（xH）H]|≤ e-r（T-t） Etxy[H |Д′（xH）- И′（xH）|]≤ e-r（T-t） δEtxy【H】。从而得到lim（x，y）→（x，y）xxV（t，x，y）=xxV（t，x，y）。同样，我们可以得到xxVε。备注4.5。根据emma 4.1，当ε接近0时，将k变薄，Vε及其导数收敛到相应的导数，这是合理的。备注4.6。为了模拟变量Y带来的复杂性，即路径依赖性，并研究hε的行为，我们定义了λty={x∈ R+|xxVε二十五≤ 0, ε> λ}.设Dty=limλ↓0Dλty。当xxVε是连续的，Dty={x∈ R+|xxV（t，x，y）=0}。备注4.7。

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kedemingshi

2022-6-10 08:54:14

为了控制hε，我们将DλTy分为两部分。设α（ρ）=[-ρ、 ρ]，我们将讨论Dλty的性质∩ α（ρ）和Dλty∩ α（ρ）c.Lemma 4.8。假设И′是连续的。然后我们有ptxy（Dty∩ α(ρ)) = 0.这里，Ptxy（·）表示关于Xεt=X，Yεt=Y的条件概率。通过（4.1）和（3.4），我们可以得到以下方程式2.电视+r（x十五- 五） +σxxxV=0，V（T）=Д（xH）。（4.18）设Q=二十五。然后到（4.18），我们有2.tQ+（r+σ）Q+（r+2σ）xxQ+σxxxQ=0，Q（T）=Д′′（xH）H。设x=log k。那么我们得到了2.tQ+（r+σ）Q+（r+2σ）kQ+σkQ=0，Q（T）=Д′（（log k）H）H.（4.19）注意，方程（4.19）中的系数是常数，Q是有界的∩ α（ρ）的连续性和引理4.4。此外，根据方程式（4.19），16 YUE-CAI HAN和CHUN-YANG LIU发现y与方程式无关。然后根据[17]的定理A和下面的标记，我们得到Q的零点的数目对于所有（s，y）都不可数∈ [t，t]×R。因此，XXV不超过可计数的零点。因此我们有Ptxy（Dty∩ α（ρ））=0，由[11]的引理4.10得出。然后完成了Lemma 4.8的证明。在前面分析的基础上，我们现在将证明（4.17）。我们将把期望分成两部分。通过证明各部分的收敛性，我们可以得到期望的收敛性。提案4.9。假设∈ Cp（R+）和Д′是连续的。然后我们得到方程（4.17）。证据设\'Dλty是Dλty的闭包，\'Dty=limλ↓0'DλTy和0≤ λ < ε < 1.根据Dλty的定义，我们有etxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds≤ Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）（^Xεs）ds= Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）∩α（ρ）（^Xεs）ds+ Etxy公司ZTtI'Dλ（s^Yεs）∩α（ρ）c（^Xεs）ds= Φ+ Φ.（4.20）现在，我们考虑（4.20）第一部分的第二部分。

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kedemingshi

2022-6-10 08:54:17

根据（4.13）和切比雪夫的sinequality，有Φ≤ Etxy公司ZTtIα（ρ）c（^Xεs）ds≤ZTtPtxysups∈[t，t]|^Xεs |≥ ρ!ds公司≤ （（T- t） /ρ）Etxy“sups∈[t，t]|^Xεs|#≤（T- t） N（1）ρeN（1）（t-t）（1+| x |）。因此，我们有limρ→∞Φ= 0.（4.21）关于第一部分，我们注意到Φ=ZTtPtxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)ds。Letθ(Ohm) = supλ∈[0,1]Ptxy(Ohm), 然后是isPtxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)≤ θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ).（4.22）注意λ<ε。那么，Dλsy是一系列递减的闭集，如ε↓ 显然，^Xε弱收敛于Xs。因此{Xs}是弱紧的。根据[14]中的定理8，可以看出θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)↓ θ\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)asε↓ 通过引理4.4，我们得到了“Dsy=Dsy”。因此，存在isPtxy^Xεs∈\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)= 0.然后定义θ(Ohm), 我们有limε↓0θ\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)= θ\'D（s^Yεs）∩ α(ρ)= 因此，存在imε↓0Ptxy^Xεs∈\'Dλ（s^Yεs）∩ α(ρ)= 然后，我们得到limε↓0Φ= 0.（4.23）根据方程（4.21）和方程（4.23），对于任何δ>0，ρ=ρ（t，x，y，δ）>0，使得Φ<δ/2，对于所有ρ>ρ。接下来，对于给定的ρ和δ，ε=ε（t，x，y，δ，ρ（t，x，y，δ）），使得Φ<δ/2，对于所有ε<ε。因此，对于任何δ>0，ε=ε（t，x，y，δ），使得Φ+Φ<δ，f或所有ε<ε，即limε↓0EtxyZTt | hε（s，^Xεs，^Yεs）| ds= 018韩月才和刘春阳4.5。主要结果的证明。现在，正如上面的分析，我们可以给出定理3.1的简要证明。主要结果的证明。通过不等式（4.16）和命题4.9，我们得到了↓0 | I |=0。（4.24）通过不等式（4.7），我们得到Vε- （V+εV）ε≤ |I |+ε（| I |+ε| I |）。通过命题4.3和方程（4.24），我们得到了定理。结论在本文中，我们分析了最坏情况下亚式期权价格的行为。本文研究的模型是一个波动区间为[σ，σ+ε]的不确定波动模型。

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nandehutu2022

2022-6-10 08:54:21

当ε接近0时，模型的模糊度消失。我们还可以看到，在最坏的情况下，随着时间间隔的缩小，亚式期权的价格会收敛到其布莱克-斯科尔斯价格，波动性也会保持不变。通过研究，我们得到了一种估计最坏情况下亚洲期权价格的方法。同时，这意味着我们通过在边界条件上施加附加条件并将其切割成两个Black-Scholes型方程，给出了求解完全非线性PDE（3.2）的估计方法。参考文献[1]F.Black，M.Scholes，《期权定价与公司负债》，政治经济杂志81（3）（1973）637–659。[2] R.C.Merton，《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志4（1）（1973）141-183。[3] J.赫尔，A。White，《随机波动资产期权价格》，金融杂志42（2）（1987）281-300。[4] S.L.Heston，《随机波动期权的封闭形式解及其在债券和货币期权中的应用》，修订版。金融研究6（2）（1993）327-343。[5] T.J.Lyons，《不确定波动性与衍生品的无风险合成》，应用。数学《财政》2（2）（1995）117-133。[6] M.Avellanda，A.Levy，A.Paras，《波动性不确定市场中衍生证券的定价和对冲》，应用。数学财务2（2）（1995）73-88。[7] N.G.Dokuchaev，A.V.Savkin，《具有交易成本和不确定波动性的金融市场模型中的期权定价》，J.跨国财务管理8（2-3）（1998）353-364。[8] P.A.Forsyth，K.R.Vetzal，具有离散观察障碍的不确定波动率/交易成本期权定价模型的简化解，应用。数字。数学36 (4) (2001) 427-445.[9] J Vorbrink，《波动性不确定性金融市场》，数学经济学杂志53（2014）64–78。[10] D.M.Pooley，P.A.Forsyth，K.R。

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mingdashike22

2022-6-10 08:54:23

Vetzal，波动率不确定的期权定价的数值收敛性，IMA J.Numer。An al.23（2003）241-267。[11] J.-P.Fouq ue，B.Ren，《不确定波动率下的期权价格近似》，暹罗金融数学杂志5（2014）360-383。[12] R.Cont，《模型不确定性及其对衍生工具定价的影响》，数学。《金融》16（2006）519-547。[13] J.Yong，X.Zhou，随机控制，哈密顿系统和HJB方程，纽约：Springer，1999。[14] L.Denis，M.H u，S.Peng，《与次线性期望相关的函数空间和容量：g-布朗运动路径的应用》，势分析。34 (2011) 139-161.[15] N.Krylov，《受控扩散过程》，纽约：柏林斯普林格，1980年。[16] B.Oksendal。随机微分方程。纽约：施普林格，柏林，2003年。[17] 抛物型方程解的零集，J.Reine Angew。数学390 (1988) 79-96.

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