取ρ=1>Cεn，我们就得到了φ（Xεn）n-1Xi=0ζni[1>Cεn]ieZεi#=Ehφ（Xεn）1>（Zε- mn）i，并应用支配收敛定理，我们最终得到“φ（Xn）n”-1Xi=0ζni[1>Cn]ieZtni#=Ehφ（Xn）1>（Ztn·- mn）i，其中Cn是Ztn的协方差矩阵，Ztnn公司-1，即使这个矩阵是退化的。假设|φ|≤ 1，Jensen不等式表示“φ（Xn）n-1Xi=0ζni[1>Cn]iZtni#≤ Eh（1>（Ztn·- mn））i=（1>Cn1）。现在，将两边乘以并传递到极限，因为n趋向于完整的yieldEφ（X）Zx（u）eZuZC（u，v）dvdu≤ZduZdvC（u，v），因此e[Xφ（X）]≤RduRdvC（u，v）西撒特派团（u，v）dv。通过协方差函数和Z函数的连续性，以及高斯过程的支配收敛定理和标准界，证明了极限的通过。现在，对于0<a<b<∞,选择φ（x）=0表示x<a，φ（x）=log（x/a）log（b/a）表示a≤ x<b且b的φ（x）=1≤ x、 上述界限变成sp[a<x<b]log（b/a）≤RduRdvC（u，vminuRC（u，v）dv，引理的陈述直接跟在后面。A、 3命题2的证明在证明中，C表示一个常数，不依赖于n，它可能会随着行的变化而变化。利用f的lipschitz性质，利用路径x的正性（·），| f（t，x）- Fn（t，x）|≤CΘZT+ΘTx（u）E[| Et，T（u）- Et，T（η（u））|]du，（16）| F（T，x）-bFn（t，x）|≤CΘZT+ΘTx（u）E[| Et，T（u）- θn（u）Et，T（ηn（u））- (1 - θn（u））Et，T（ηn（u））|]du。（17） 现在，我们估计这两种近似的积分符号下的期望值。

对于矩形近似，对于u∈ [tni，tni+1），存在θ∈ [0，1]（可能是随机的）这样e（| Et，T（u）- Et，T（tni）|）=E|祖- Ztni | eZtni+θ祖-Ztni公司= 2E类ZTt（g（u，s）- g（tni，s））>dWseZtni+θ（Zu-Ztni）+ 2.ZTt（kg（u，s）k- kg（tni，s）k）dsEheZtni+θ（Zu-Ztni）i≤ 2E类ZTtkg（美国）- g（tni，s）kds1/2He2Ztni+2θ（Zu-Ztni）i1/2+2ZTt（kg（u，s）k- kg（tni，s）k）dsEheZtni+θ（Zu-Ztni）i≤ 2E类ZTtkg（美国）- g（tni，s）kds1/2Ee2M公司1/2+ 2ZTt（kg（u，s）k- kg（tni，s）k）dsE相对长度单位,（10）中定义了Z，其中M：=最大值≤u≤T+ΘZu。根据高斯过程上确界上的经典结果[2，第2.1节]，M允许所有指数矩，因此[| Et，T（u）- Et，T（tni）|]≤ 总工程师ZTtkg（美国）- g（tni，s）kds1/2+CZTt（kg（u，s）k- kg（tni，s）k）ds.上述第二项可进一步估计为ZTt（kg（u，s）k- kg（tni，s）k）ds≤ZTtkg（美国）- g（tni，s）kds+2ZTtkg（u，s）- g（tni，s）kkg（tni，s）kds≤ c（u- tni）（u- T）2β-2+2CZTtkg（美国）- g（tni，s）kdsZTtkg（tni，s）kds≤ C（tni+1- tni）（u- T）β-1，其中在上一次估计中，我们使用了假设（2）。最后，E[| Et，T（u）- Et，T（ti）|]≤ C（tni+1- tni）（u- T）β-这个命题来自于（u）的可积性- T）β-1关于[T，T+Θ]和x的有界性。对于梯形近似，对于u∈ [tni，tni+1），E[| Et，T（u）- θn（u）Et，T（tni）- (1 - θn（u））Et，T（tni+1）|]≤ 呃埃祖- eθn（u）Ztni+（1-θn（u））Ztni+1i+Eheθn（u）Ztni+（1-θn（u））Ztni+1- θn（u）eZtni- (1 - θn（u））eZtni+1我≤ 呃祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+1eθZu+θZtni+θZtni+1i+CEeZtni+| Ztni+1-Ztni公司|Ztni+1- Ztni公司对于某些（可能是随机的）θ，θ，θ≥ 0，θ+θ+θ=1。

Cauchy-Schwarz不等式与高斯过程上确界的指数可积性- θn（u）Et，T（tni）- (1 - θn（u））Et，T（tni+1）|]≤ 总工程师祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+11/2+CEhZti+1- Zti公司i1/2≤ CZTtkg（美国）- θn（u）g（tni，s）- (1 - θn（u））g（tni+1，s）kds1/2+CZTt（kg（u，s）k- θn（u）kg（tni，s）k- (1 - θn（u））kg（tni+1，s）k）ds+ CZTtkg（tni，s）- g（tni+1，s）kds+CZTt（kg（tni，s）k- 千克（tni+1，s）k）ds≤ C（tni+1- tni）（tni+1- T）β-2+C（tni+1- tni）（tni+1- T）2β-2+CZTt（kg（u，s）k- θn（u）kg（tni，s）k- (1 - θn（u））kg（tni+1，s）k）ds其中，对于中心高斯随机变量X，E【X】=3E【X】，我们使用证明的第一部分的估计。剩余期限估计为千克（u，s）k- θn（u）kg（tni，s）k- (1 - θn（u））kg（tni+1，s）k≤ 千克（美国）- θn（u）g（tni，s）- (1 - θn（u））g（tni+1，s）k+2kg（u，s）- θn（u）g（tni，s）- (1 - θn（u））g（tni+1，s）kkθn（u）g（tni，s）+（1- θn（u））g（tni+1，s）k+kθn（u）g（tni，s）+（1- θn（u））g（tni+1，s）k- θn（u）kg（tni，s）k- (1 - θn（u））kg（tni+1，s）k.现在，这三项中的每一项都可以类似于证明的第一部分进行估计，从而得出结论E[| Et，T（u）- θn（u）Et，T（tni）- (1 - θn（u））Et，T（tni+1）|]≤ C（tni+1- tni）（tni+1- T）β-2、利用x（u）的有界性，估计离散化误差现在归结为计算nxi=1（tni+1- tni）（tni+1- T）小时-让Θ=1而不丧失一般性，并用表达式代替tni，这将成为snxi=1i+1nκ-在里面κi+1nκ（H-2)≤ C（n-κ（H+1）nXi=1（i+1）κ（H+1）-3+n-κ（H+1））。当κ（H+1）>2时，右侧的和以nκ（H+1）的速率爆炸-因此，整个右手边以命题5的C/n.A.4证明为界。在证明中，C表示一个常数，不依赖于n，它可能会随着行的变化而变化。只要不会引起混淆，我们就会删除超级脚本（t，γ）。

与命题2的证明类似，我们需要估计（16）和（17）的整数符号下的期望。我们表示et，T（u）=exp（Zt，T（u））：=expZt，T（u）+Zt，T（u）,带ZT，T（u）：=2ZTt√Γsg（u- s） >dWsandZt，T（u）=ψ（u- T）ΓT+φ（u- T）- ψ（u- t） γ- φ（u- t） 。第一部分：泰勒公式，| Et，T（u）- Et，T（tni）|≤ |Zt，T（u）- Zt，T（tni）| eZt，T（u）+Zt，T（u）- Zt，T（tni）| eZt，T（tni）。例如，让我们关注第一学期；第二个问题可以用类似的方式处理。首先，通过采用条件期望并使用ψ和φ的正性，E[| Et，T（u）- Et，T（tni）|]≤ E|Zt，T（u）- Zt，T（tni）| expZt，T（u）+ZuTΓskg（u- s） kds公司使用三角形不等式、Cauchy-Schwarz不等式和It^o等距，我们得到e[| Et，T（u）- Et，T（tni）|]≤E|Zt，T（u）- Zt，T（tni）|1/2+E|Zt，T（u）- Zt，T（tni）|1/2×E经验值ZTtΓskg（u- s） kds+2ZuTΓskg（美国- s） kds公司1/2≤ CE[| Zt，T（u）- Zt，T（tni）|]1/2+CE[| Zt，T（u）- Zt，T（tni）|]1/2，（18），因为根据该命题的假设，最后一个因子在u上一致有界。满足以上要求的第一次总结[| Zt，T（u）- Zt，T（tni）|]≤ 2E类ZTtΓskg（u- s）- g（tni- s） kds公司≤ 2rE[最大值≤s≤TΓs]sZTtkg（美国- s）- g（tni- s） kds公司≤ CsZTtkg（u- s）- g（tni- s） kds。这个术语对全局错误的贡献是命题2中的ordernas。为了估计第二个求和，请注意，根据命题3，可以得出|ψ（u- t）- ψ（tni- t） |≤ C | u- tni |+2Zu-ttni公司-tkg（s）kds和|φ（u- t）- φ（tni- t） |≤ C | u- tni |，对于某些常数C<∞, 因此，呃Zt，T（u）- Zt，T（tni）我≤ C | u- tni |+Zu-ttni公司-tkg（s）kds+Zu-Ttni公司-Tkg（s）kds！另请注意，ZTNI+1tniduZu-Ttni公司-Tkg（s）kds=Ztni+1TNID（tni+1- u） 千克（s）- T）kds≤ΘnZtni+1tniskg（s- T）kds。因此，矩形格式的命题陈述来自kg（s）k的可积性。第二部分。

对于梯形近似，通过泰勒公式，对于u∈ [tni，tni+1），| Et，T（u）- θn（u）Et，T（tni）- (1 - θn（u））Et，T（tni+1）|≤埃祖- eθn（u）Ztni+（1-θn（u））Ztni+1+eθn（u）Ztni+（1-θn（u））Ztni+1- θn（u）eZtni- (1 - θn（u））eZtni+1≤祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+1+Zti+1- Zti公司eZu+eZtni+eZtni+1.与证明的第一部分类似，我们可以使用Cauchy-Schwarz不等式thatE[| Et，T（u）- θn（u）Et，T（tni）- (1 - θn（u））Et，T（tni+1）|]≤ 总工程师祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+11/2+CE|Zti+1- Zti公司|1/2（19）+CE祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+11/2+CEZti+1- Zti公司1/2（20）使用It^o等距：E估计（19）中的两项祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+1≤ EZTtΓskg（u- s）- θn（u）g（tni- s）- (1 - θnu）g（tni+1- s） kds公司≤RMAX文本≤s≤TE[Γs]（tni+1- tni）（tni+1- T）β-2，同样|Zti+1- Zti公司|1/2≤ 3R文本≤s≤TE[Γs]E“ZTtkg（tni+1- s）- g（tni- s） kds公司#1/2≤ Crmaxt公司≤s≤TE[Γs]（tni+1- tni）（tni+1- T）2β-因此，这些术语对最终误差估计的贡献与命题2相同。仍需估计（20）中条款的贡献。从命题3来看，φ和'φ（在命题3的证明中引入）都在[0，T]上有界。因此祖- θn（u）Ztni- (1 - θn（u））Ztni+1≤ C（1+γ+ΓT）（tni+1- tni）+ΓT | G（u- T）- θn（u）G（tni- T）- (1 - θn（u））G（tni+1- T）|+γ| G（u- t）- θn（u）G（tni- t）- (1 - θn（u））G（tni+1- t） |。由于kgk在减小，G是凹的，对于i≥ 1Ztni+1tni | G（u- T）- θn（u）G（tni- T）- (1 - θn（u））G（tni+1- T）| du=Ztni+1tniZutnikg（s- T）kds- (1 - θn（u））Ztni+1tnikg（s- T）kds！du=Ztni+1tnikg（s- T）ktni+1+tni- sds公司≤ 千克（tni- T）kZtni+1+tnitnitni+1+tni- sds公司- 千克（tni+1- T）kZtni+1tni+1+tnis-tni+1+tnids=（tni+1- tni）千克（tni- T）k- 千克（tni+1- T）k≤ C（tni+1- tni）（tni- T）β-2.≤ C（tni+1- tni）（tni+1- T）β-2，其中Cis是一个不同的常数。

另一方面，当i=0时，从kgk上的界可以得到相同的不等式。最后，| Zti+1- Zti |≤ C（1+γ+ΓT）（tni+1- tni）+ΓT | G（tni- T）- G（tni+1- T）|+γ| G（tni- t）- G（tni+1- t） |=C（1+γ+Γt）（tni+1- tni）+ΓTZtni+1尼克（s）- T）kds+γZtni+1tnikg（s- t） kds。使用g上的界和ΓT的可积性，再次单独处理i=0的情况，我们得出|Zti+1- Zti公司|≤ C（tni+1- tni）（tni+1- T）2β-2，这样（20）中的项对误差的贡献与（19）中的项相同，证明如下。