粗糙波动率模型中的波动率期权

2022-6-6 20:08:59

粗略波动率模型中的波动率期权斯里兰卡Horvath*伦敦国王学院和伦敦帝国理工学院数学系。horvath@imperial.ac.ukAntoineJacquierDepartment of Mathematics，Imperial College Londonand and Baruch College，CUNYa。jacquier@imperial.ac.ukPeterTankov+ENSAE ParisTechpeter。tankov@polytechnique.orgJanuary2019年12月31日摘要我们讨论了一些粗略波动率模型中波动率期权的定价和对冲。首先，我们开发了有效的蒙特卡罗方法和渐近近似方法，用于计算对数波动率遵循高斯-沃尔泰拉过程的模型中的期权价格和对冲比率。虽然为欧洲期权提供了良好的拟合，但这些模型无法再现市场上观察到的VIX期权微笑，因此不适用于VIX产品。为了解决这些问题，我们引入了一类调制Volterra过程，并证明它们成功地捕获了VIX微笑。2010年数学学科分类：60G15、60G22、91G20、91G60、91B25关键词：粗糙波动率、VIX微笑、蒙特卡罗、Volterra过程1简介近年来，波动率轨迹比标准布朗运动轨迹更不规则的粗糙随机波动率模型在学者和实践者中广受欢迎。如【7，24】所示，在波动率模型中，用其（粗糙）分数计数器部分代替标准布朗运动，可以捕获和解释观察到的关键现象*布兰卡·霍瓦思感谢SNSF早期博士后的财政支持。流动补助金165248+这项研究的一部分是在Peter Tankov访问伦敦帝国学院（ImperialCollege London）数学系时完成的。

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2022-6-6 20:09:02

他要感谢数学系、CFM帝国量化金融研究所和法国国家科学研究中心使此次访问成为可能。Peter Tankov的研究也得到了Soci’et’e G’en’erale赞助的“金融风险”主席的支持。在波动性时间序列和期权价格的隐含波动性中。从那时起，粗略的波动性模型已经成为一种流行的模型，能够再现金融市场的风格化事实，并提供一种统一的理论，其含义跨越金融学科。越来越多的研究贡献为这种建模选择带来了合理性，其根源在于市场微观结构考虑【18】，短期校准SPX微笑【4、8、21、31】，对冲【1、20、22】直至其潜力（在【34】中探索），以提供广受欢迎的能够联合处理SPX和VIX衍生品的节俭模型；在过去十年中，这一目标一直是波动率建模研究的核心驱动因素[3、5、9、11、12、13、28、29、39]。从实际角度来看，一个自然的问题出现了：对于一个对冲头寸的交易员来说，粗糙波动率的咒语是什么？由于分数驱动因素的非马尔可夫性质，粗波动下的套期保值构成了一个微妙的挑战，甚至很难定义hedgingstrategies。特别是，偏微分方程已不再使用，模拟是目前唯一可用的途径。尽管有有效的蒙特卡罗方案[10、32、38]，但粗波动率模型中的定价和模型校准仍然很耗时；对于一个有效的粗波动率模型，可以绕过这种重模拟程序【1、19、25、27】。我们在此重点讨论粗糙波动率模型中波动率期权的定价和对冲。

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2022-6-6 20:09:05

首先，我们证明，通过关注远期方差而不是瞬时波动率，我们恢复了鞅框架，特别是期权价格的经典鞅表示性质。这使得计算对冲比率成为可能，尽管该模型是非马尔可夫模型，但在许多情况下，期权可以使用一定数量的流动资产进行对冲，就像在经典环境中一样。我们的第二个目标是评估粗波动率期权的性能，以校准VIX期权的微笑。我们从数值和理论上证实了[7]的观察结果，即对数正态粗糙波动率模型无法校准波动率微笑，因为这些模型中的波动率指数非常接近对数正态。因此，为了适应VIX微笑，我们通过在Volterra积分中添加一个独立的随机因子来增加波动率调制，从而扩展了对数正态模型的类别。此附加因子的独立性保留了对数正态分布的部分分析可处理性，因此我们能够开发基于傅立叶变换技术的近似选项定价和校准算法。利用真实波动率数据，我们证明了这类新模型能够完全捕捉波动率期权的偏斜。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们将重点放在对数波动率遵循高斯过程的一个玩具示例上，并考虑一个写在瞬时波动率上的期权。尽管没有任何马尔可夫结构，但使用单一风险集进行完美对冲是可能的，期权价格由Black-Scholes公式给出。有了这些知识，在第3节中，我们考虑了对数正态波动率模型中更现实的波动率指数期权，并再次证明了完美对冲是可能的。

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大多数88

2022-6-6 20:09:08

虽然在这种情况下，期权价格的显式公式不可用，但我们提出了一种非常有效的蒙特卡罗算法，并表明Black-Scholes公式仍能很好地逼近期权价格。然而，一个缺点是对数正态波动率模型无法捕捉VIX期权市场中观察到的微笑，因此在第4节中，我们提出了一类新的模型，以包括随机波动率调制，为此我们制定了有效的校准策略，并在实际市场数据上对其进行测试。2一个玩具示例：对数正态波动率模型中的瞬时远期方差我们首先考虑一个简单的示例，即对数正态（粗糙或非粗糙）波动率模型中瞬时远期方差的期权定价，并表明尽管波动率没有马尔可夫性，但定价降低到Black-Scholes框架。我们假设内在波动过程由σt=ΞeXt给出，其中X是风险中性概率下R上的中心高斯过程，Ξ是严格的正常数。对于所有s≥ 0，设Fs：=σ（Xr，r≤ s），和Fs：=∩s<tFt。利率被定为零。固定时间范围T，让Zt（T）：=E[XT | Ft]，以便（Zt（T））T≥0是Gaussianmartingale，因此是一个具有独立增量的过程[33，定理II.4.36]），完全由函数c（t）：=E[Zt（t）]=E[XT | Ft]表征。如果我们另外假设c（·）是连续的，那么（Zt（T））T≥0几乎肯定是连续的。使用总方差公式，正向方差可以表示为ξt：=E[σt | Ft]=ΞE[e2XT | Ft]=Ξe2E[XT | Ft]+2Var[XT | Ft]=Ξexp2（Zt（T）+E[下]- c（t））.在瞬时远期方差t<t时到期的看涨期权的时间t价格由Pt：=E[（ξt- K） +|英尺]。

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nandehutu2022

2022-6-6 20:09:11

注意（ξt）t≥0是连续对数正态鞅，根据总方差公式，E[ξT | Ft]=ξtand，Var[logξT | Ft]=4Var[E[XT | Ft]| Ft]=4（c（T）- c（t））。换句话说，Pt=P（t，ξt），其中P是由P（t，x）=E给出的确定性函数xeY公司-Var（Y）- K+,Y是方差为4（c（T）的中心高斯随机变量- c（t））。Black-Scholes公式则得出Pt=ξtN（dt）- KN（dt），其中N是标准正态分布函数，d1,2t=logξtK±（c（T）- c（t））pc（t）- c（t）。应用It^o公式（ξ是连续鞅！）考虑到期权价格的鞅性质，我们得到了dpt=N（dt）dξt。因此，远期方差期权可以通过包含即时方差掉期和无风险资产的投资组合进行完美对冲。这是因为前向方差过程是一个时间不均匀的几何布朗运动，因此是一个马尔可夫过程。在本文的其余部分，我们表明，对于更复杂的产品，使用有限数量的资产进行完美对冲是可能的。出于分析可处理性的原因，我们将重点放在一类高斯过程上，这类过程可以用有限维标准布朗运动的积分形式表示，称为Volterra过程。特别是，这些过程可以很容易地引入股价和波动性之间的相关性。3对数正态粗糙Volterra随机波动率模型上一节是一个简单的框架，只考虑了瞬时远期方差的期权。

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2022-6-6 20:09:14

我们现在更深入地探讨这个主题，并仍然在对数正态（粗糙）波动率模型的背景下考虑综合远期方差的期权，特别是VIX期权。为此，我们考虑σt=Ξ（t）exp{Xt}形式的波动过程，其中Xt=Ztg（t，s）>dWs，（1）其中W是关于过滤F的d维标准布朗运动≡ （Ft）t∈R、 g是满足可积条件ztkg（t，s）kds<∞, 对于所有t≥ （1）中的高斯过程X是一个高斯-沃尔泰拉过程。这里给出的表示是一般性的，因为它是所谓高斯过程规范表示的特例【30，第VI.2段】。每一个满足一定正则性假设的连续高斯过程都允许这样一种表示【30，定理4.1】。这里，Ξ（·）是一个局部平方可积确定性函数，能够精确校准初始方差曲线。分数布朗运动的Mandelbrotvan-Ness公式【37】要求积分从-∞而不是0。由于波动过程以定价时间为零为条件，因此这两个公式实际上是等价的，并且Ξ考虑了该过程的过去历史。公式（1）扩展了文献[7]中引入的所谓粗糙Bergomi模型。对应于一维布朗运动W和g（t，s）=α（t）形式的函数g的粗糙Bergomimodel- s） H类-, 对于s∈ [0，t），α=2νsΓ（3/2- H） Γ（H+1）Γ（2- 2H），（3）其中ν>0是波动率的波动率，H∈ （0，1）分馏布朗运动的赫斯特参数。该核g（·）明显满足可积条件（2）。我们在这里的目标是发展理论，并为形式（1）的通用模型中的定价和混合期权提供数值算法。

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2022-6-6 20:09:17

选择适当数量的因子d和适当形状的核函数G对远期波动率曲线进行实证分析是我们正在进行的研究主题。与上一节的玩具示例类似，Weintroducing通过考虑条件期望过程引入鞅框架，条件期望过程对于任何t≤ u、 byZt（u）：=E【Xu | Ft】=Ztg（u，s）>dWs。因此，正向方差ξt（u）：=E[σu | Ft]具有显式鞅动力学dξt（u）=2ξt（u）g（u，t）>dWt，对于t≤ u、（4）[7]中的精确公式使用了Dol\'eans-Dade指数，而不是简单指数。这两个表达式是等效的，因为附加的确定性项可以包含在Ξ中。我们在此有兴趣对一个期权定价，该期权在时间T由fΘZT+ΘTξT（u）du！给出！，（5）在一段时间内。由于时间T的波动率指数值可通过连续时间监控公式vixt计算：=sΘZT+ΘTξT（u）du，（6）其中Θ为一个月，因此波动率指数上的看涨期权对应于f（x）=(√x个-K） +。此类选项的时间价格由pt给出：=E“fΘZT+ΘTξT（u）du！Ft#=F（t，ξt（u）t≤u≤T+Θ），其中F是从[0，T]×H到R的确定性映射，由F（T，x）定义：=E“FΘZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！，（7）其中Et，T（u）：=EZ·tg（u，s）>dWsT=expZTtg（u，s）>dWs- 2ZTtkg（美国）kds！（8）是Dol\'eans-Dade指数。这种表述可以很容易地推导出此类产品的套期保值策略，如下节所述。3.1波动率期权的鞅表示和套期保值以下定理提供了波动率期权的鞅表示，作为套期保值策略的基础。提案1。设函数f是分段可微的，f是连续且有界的。

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2022-6-6 20:09:20

然后期权价格Pt接受鞅表示Pt=Pt-2ZTtZT+ΘTDxF（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du dWs，其中Fr'echet导数DxF由DxF（t，x）（v）=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，t（u）du！Et，t（v）Θ证明得出。步骤1。设fε∈ C（R）是函数f的软化版本，使得fε和fε有界且连续，| fε（x）|≤ |f（x）|+C对于所有x，fε在ε上一致有界并收敛到fat，当ε趋于零时，fε（x）的连续点在所有x上收敛到f（x）。例如，takefε（x）=ZRf（x+z）pε（z）dz，其中pε是一组光滑的紧支撑密度，当ε接近零时收敛到δ函数。第一步是通过应用有限维It^o公式，证明带pay-o fffε的期权价格的鞅表示。Let（v，w）∈ [T，T+Θ]，定义ε（T，x）：=E“fεΘZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！#，其中Et，T（·）定义于（8）。对于h∈ H、中值定理暗示θδ的存在∈ [0，1]使得limδ↓0Fε（t，x+δh）- Fε（t，x）δ=limδ↓0E“fεΘZT+ΘT（x（u）+θδh（u））Et，T（u）du！ΘZT+ΘTEt，T（v）h（v）dv#=ΘZT+ΘTh（v）dvE”fεZT+ΘTx（u）Et，T（u）du！Et，T（v）#，其中我们使用了支配收敛定理和Fubini定理。由于积分下的期望值是有界的，因此Fε的Fr'echet导数由dxfε（t，x）（v）=E“FεΘZT+ΘTx（u）Et，t（u）du！Et，t（v）Θ给出#∈ H、此外，一个类似的论点表明，它在[0，T]×H上的x上是一致连续的。迭代该过程，我们发现第二个Fr'echet导数xxfε（T，x）（v，w）=E“fεZT+Tx（u）Et，T（u）du！Et，T（v）Et，T（w）Θ#∈ L（H，H），也是一致连续的，其中L（H，H）表示从Hto到H的线性算子类。最后，对于Fε相对于t的导数，我们可以写efε（t+δ，x）- Fε（t，x）δ=-δE“fεΘZT+ΘTx（u）XuYut+δdu！- fεΘZT+ΘTx（u）XuYutdu！#，Xu：=Et+δ，T（u）和Yur：=Et，r（u）。

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2022-6-6 20:09:23

对于r≤ t+δ、Xuand和yurd依赖于不相交区间上W的增量，因此是独立的；因此，关于Y的有限维It^o公式【16，第一部分，定理4.32】，保持X恒定，屈服强度fεΘZT+ΘTx（u）XuYut+δdu！- fεΘZT+ΘTx（u）XuYutdu！=2Zt+δtfεΘZT+ΘTx（u）xyurdu！ΘZT+ΘTx（v）XvYvrg（v，r）>dvdWr+ΘZT+δtfεΘZT+ΘTx（u）xyurdu！ZT+ΘTZT+ΘTx（v）x（w）XvYvrXwYwrg（v，r）>g（w，r）dvdwdr。取下期望值后，由于X和Y的独立性，第一项消失。除以δ，当δ趋于零时取其极限，然后通过支配收敛，得到DtFε（t，x）=-2ZT+ΘTZT+ΘTx（v）x（w）g（v，t）>g（w，t）DxxFε（t，x）（v，w）dvdw。因此，dtfε（t，ξt）dt=-hdξt，dxfε（t，x）dξti，正如Fε（t，ξt）的局部鞅性质所期望的那样。现在，应用It^o公式，我们得到了正则化期权价格Fε（T，ξT）=Fε（T，ξT）的鞅表示-2ZTtZT+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du dWs。第2步。当ε趋于零时，它仍需通过极限。通过控制收敛，Fε（T，ξT）收敛到F（T，ξT），Fε（T，ξT）收敛到F（T，ξT）。对于随机积分的收敛性，我们应用了亚尔索支配收敛。首先，观察x 6=0时，随机变量rt+ΘTx（u）Et，T（u）没有原子（附录中的引理1）。然后，支配收敛允许我们得出结论，对于每个t，x和v，limε↓0DxFε（t，x）（v）=DxF（t，x）（v）。

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mingdashike22

2022-6-6 20:09:26

此外，该导数以上ε，x | fε（x）|Θ为界，这意味着内部积分zt+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>duconverge并允许以下界：ZT+ΘTDxFε（s，ξs）（u）ξs（u）g（u，s）>du≤ZT+ΘTsupε，x | fε（x）|ξs（u）kg（u，s）kds。这反过来意味着我们可以使用随机积分的支配收敛性（定理IV.32in【40】）来证明外积分的收敛性。3.2蒙特卡罗VIX期权定价3.2.1离散化模式从（7）开始，对数正态随机波动率模型中远期方差期权价格的计算简化为对相关对数正态随机变量族上积分的预期函数的计算。为了通过蒙特卡罗计算该期权价格，我们通过离散积分来近似（7）。我们将考虑离散化gridTκ：=tni=T+Θ在里面κi=0，。。。，对于κ>0，（9）和以下两种离散化方案：oT上的矩形方案（ζni：=Rtni+1tnix（u）du和ηn（u）：=max{tni:tni≤ u} ）：Fn（t，x）：=E“fΘn-1Xi=0ζniEt，T（tni）！#=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，T（ηn（u））du！#；oTκ上的梯形格式（θn（u）：=tni+1-utni+1-tni和ηn（u）：=最小值{tni:tni>u}）：bFn（t，x）：=E“fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）Et，T（tni）+（1- θn（u）Et，T（tni+1））du！#=E“fΘZT+ΘTx（u）（θn（u）Et，T（ηn（u））+（1- θn（u））Et，T（ηn（u）））du！#。注意，随机变量序列（Zi）n-1i=0定义单位：zi=log Et，T（tni）=2ZTtg（tni，s）>dWs- 2ZTtkg（tni，s）kds（10）形成平均mi=-2RTKG（tni，s）kds和协方差矩阵CIJ：=Cov[Zi，Zj]=4ZTtg（tni，s）>g（tnj，s）ds。附录A.3中证明的以下命题描述了这些方案的收敛速度。提案2。

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kedemingshi

2022-6-6 20:09:30

设f为Lipschitz，x（·）有界，并假设存在β，c>0，使得zttkg（t，s）- g（t，s）kds！1/2≤ c（t- t）（t- T）β-1，对于所有T≤ t<t.o对于t上的矩形方案，| F（t，x）- Fn（t，x）|=On;o 如果另外，对于所有T≤ t型≤ t<t，ZTtg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）-t型- tt- tg（t，s）ds！1/2≤ c（t- t）（t- T）β-2，然后对于κ（β+1）>2的Tκ上的梯形格式，| F（T，x）-bFn（t，x）|=On.3.2.2控制变量在我们的模型中，平方VIX指数VIXT：=ΘRT+ΘTξT（u）du是一组非正态随机变量上的积分。模仿Kemna和Vorst[36]的控制变量技巧（最初是在对数正态模型中的亚式期权的背景下提出的），很自然地通过相应高斯随机变量族的积分的指数来近似该积分：VIXT：=expΘZT+ΘTlogξT（u）du！。（11） VIX期权价格的相应近似值，可作为蒙特卡罗方案中的控制变量，由pt：=Ehf给出VIXT公司Fti=：F（t，ξt（u）t≤u≤T+Θ），其中F（T，x）：=EfeY公司, 和Y高斯分布，平均值为My，方差为σYgiven by My=ΘZT+ΘT（对数x（u））- 2ZTtkg（u，s）kds）du，σY=ΘZ[T，T+Θ]dudvZTtg（u，s）>g（v，s）ds。对于波动率指数上的看涨期权，f（x）=(√x个- K） +，因此近似价格为pt=EeY公司- K+=Y NlogYK+σYσY/2！- KNlogYK公司-σYσY/2！，Y=exp时mY+σY.3.3数值说明考虑到（1）中介绍的模型以及特征描述（2），基本上是[7]中的roughBergomi模型。从（4）中，前向方差的动力学为：ξt（t）ξt（t）=2α（t-t） H类-dWt，对于所有0≤ t型≤ T、由于所有远期方差都是由相同的布朗运动驱动的，因此投资于单个方差掉期就足以实现完美的套期保值。例如，考虑一个带pay-o fffΘZT+ΘTξT（u）du！，用时间t的Ftits价格表示，Ft=F（t，ξt），F如（7）所示。

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2022-6-6 20:09:33

使用第3.2节中描述的蒙特卡罗方法，期权价格近似为fn（t，x）=E“fΘn-1Xi=0ζnieZi#矩形离散化或bybFn（t，x）=E“fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）eZi+（1- θn（u））eZi+1）#在梯形离散化中，其中（Zi）n-1i=0是均值为mi=-2αZTt | ti- s | 2H-1ds=-α| ti- T | 2H- |ti公司- t | 2hh和协方差矩阵（Cij）i，j=0，。。。，n-1，可计算如下：当i<j时，Cij=4αZTt（ti- s） H类-（tj- s） H类-ds=4αZti-t（tj- ti+s）H-上海-ds公司- 4αZti-T（tj- ti+s）H-上海-ds=4αH+（tj- ti）H-（ti- t） H+F- H、 +小时，+小时，-ti公司- ttj公司- ti公司-4αH+（tj- ti）H-（ti- T）H+F- H、 +小时，+小时，-ti公司- Ttj公司- ti公司,其中fis是超几何函数[26，积分3.197.8]，当i=j时，Cii=4αZTt（ti- s） 2小时-1ds=2αH（ti- t） 2小时- （ti- T）2H.命题2的以下推论提供了蒙特卡罗格式的收敛速度。为了简化符号，我们假设t≥ 本节其余部分为0。推论1。设f为Lipschitz，并假设x（·）有界。在粗糙Bergomi模型中，对于T上的矩形格式，我们有| F（T，x）- Fn（t，x）|=On;o 对于Tκ上的梯形格式（κ（H+1）>2），我们有F（t，x）-bFn（t，x）= On.图1和图2说明了VIX optionprice的蒙特卡罗估计的收敛性。模型参数为α=0.2，H=0.1，远期方差为√ξ=20%，成熟时间T=1年，Θ=0.1。我们使用50000条路径进行所有计算。为了减少方差，我们使用第3.2.2节中的控制变量的离散化版本，这意味着积分（11）被替换为使用相应离散化方案获得的和。这种替换是在蒙特卡罗估计量和精确计算中进行的，这样控制变量就不会引入额外的偏差。为了选择梯形模式的离散化日期，我们取κ=2。

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2022-6-6 20:09:36

图3绘制了不同参数值的粗略Bergomi模型中的隐含波动率微笑（图中未提及的参数与上述参数相同）。假设波动率指数期货为对数正态分布，并使用模型生成的波动率指数期货作为初始值，定义波动率指数期权的隐含波动率。在这种波动率为对数正态分布的模型中，波动率指数几乎是完全波动的。当然，这是因为VIX本身是0 100 200 300 400 500Ndisc0.13250.13300.13350.13400.13450.1350期权价格收敛MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）131211109876log（错误）log scale0 100 200 300 400 500Ndisc0.13250.13300.13350.13400.13450.1350期权价格收敛，二阶MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）14131211098Log（误差）对数标度误差，二阶图1：零敲定VIX上看涨期权价格的蒙特卡罗估计的收敛性。左上：矩形方案。左下：梯形方案。右图以对数刻度显示了各自的错误。当置信区间为零时，只显示上限。模型中几乎为对数正态分布，因为定义振动的平均间隔Θ（一个月）很短（事实上，该特征可有效用于近似目的，如[34]）。在波动率指数期权市场（图4）中观察到的实际隐含波动率当然不存在偏差，并且呈现出明显的正偏差。这种不一致性（已在[7]中观察到）表明，虽然粗略的Bergomi模型能够准确地索引选项微笑，但显然不足以校准VIX微笑。

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nandehutu2022

2022-6-6 20:09:39

因此，在下一节中，我们建议对该模型进行扩展，从而使此类校准成为可能。0 100 200 300 400 500Ndisc0.03740.03750.03760.03770.03780.03790.0380期权价格收敛MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）141312110987log（error）log scale0 100 200 300 400 500Ndisc0.03740.03750.03760.03770.03780.03790.0380期权价格收敛，二阶MC期权价格精确值0 1 2 3 4 5 6 7log（Ndisc）15141311109 log（error）log scale0，二阶图2:K=0.1的波动率指数上看涨期权价格的蒙特卡罗估计的收敛性。左上：矩形方案。左下：梯形方案。右图显示了对数刻度中各自的误差。

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大多数88

2022-6-6 20:09:43

当置信区间为零时，仅显示上限。0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50删除0.200.250.300.350.400.450.500.550.600.65隐含挥发分PHA=0.4，H=0.1，T=1.0alpha=0.2，H=0.1，T=1.0alpha=0.2，H=0.2，T=1.0alpha=0.2，H=0.1，T=0.3图3：不同参数组合下粗糙Bergomi中的VIX隐含微笑。10 12 14 16 18 20 22 24 260.60.81.01.21.41.61.82.02.214/05/2013，到期日8 Dayscalsputs10 20 30 40 50 60 70 800.51.01.52.014/05/2013，到期日36 Dayscalsputs10 12 14 16 18 20 22 260.40.50.60.70.80.91.014/05/2013，到期日64 Dayscalsputs14 16 18 20 22 24 26 300.600.700.750.800.850.9014/05/2013，到期日99 Dayscalsputs10 15 20 25 350.450.450 500.550.600.650.700.750.800.8514/05/2013，到期日127 DayscalsPuts14 16 18 20 22 24 261.01.52.02.516/05/2014，到期日5 DayscalsPuts10 20 30 40 50 60 700.51.01.52.016/05/2014，到期日33 DayscalsPuts10 12 14 16 18 20 220.30.40.50.60.70.80.916/05/2014，到期日61 DayscalsPuts10 12 14 16 18 200.300.400.450.500.550.650.7016/05/2014，到期日96 DayscalsPuts10 20 20 40 50 60 700.40.60.81.016/05/2014，到期日124 Dayscals Puts10 12 14 16 18 20 22 24 260.51.01.52.02.53.0到期日5 Dayscals Puts10 15 20 25 30 350.60.81.01.21.4到期日33 Dayscals Puts10 12 16 18 20 22 240.40.50.60.70.80.91.0到期日68 Dayscals Puts10 15 20 25 300.40.50.60.80.91.0到期日96 Dayscals Puts10 20 30 40 50 60.60.70.80.91.1到期日124 Dayscals Putsfigusfigu回复4：实际波动率指数隐含波动率微笑在不同的日期和不同的到期日。4调制Volterra随机波动率过程我们现在提出了一类新的粗糙波动率模型，能够捕捉波动率微笑的特定性。

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kedemingshi

2022-6-6 20:09:47

具体而言，我们假设瞬时波动率过程满足σt=Ξ（t）eXt，其中Xt=ZtpΓsg（t，s）>dWs，（12），其中Ξ（·）是用于校准初始前向方差曲线的确定函数，相对于过滤F，是一个d维标准布朗运动≡ （Ft）t∈R+，g akernel，使RTKG（t，s）kds对所有t≥ 0和Γ独立于W的时间齐次正保守过程。这个模型让人想起了Barndorff-Nielsen和Schmiegel[6]提出的布朗半平稳过程。然而，随机积分从零开始，而不是-∞, 为了避免在整个实线上使用任何流程。根据【17，定理2.7和命题9.1】，Γ的微元生成器采用lf（x）=k（θ）的形式- x）fx（x）+δxfx（x）+Z∞{f（x+z）- f（x）}{m（dz）+xu（dz）}，其中k，θ，δ≥ 0和m，u是（0，∞) 这样的话∞（z）∧ 1） {u（dz）+m（dz）}是有限的。为了以后使用，我们定义了函数r（u）：=-ku+δu+Z∞（ezu- 1） u（dz）和F（u）：=kθu+Z∞（ezu- 1） m（dz）。我们进一步假设核g满足g（t，s）=g（t- s）对于0≤ s≤ t、我们让G（t）：=Rtkg（s）kds。接下来，我们将介绍以下技术假设：假设1。对于固定的时间范围T，存在一个>0的Z∞zezA{u（dz）+m（dz）}<∞ 和2G（T）+T（0∨ R（A））≤ A、该框架产生以下结果：命题3。在假设1下，普通微分方程tψ（t）=2kg（t）k+R（ψ（t））和tφ（t）=F（ψ（t）），连同初始条件ψ（0）=φ（0）=0，在[0，t]上有解，0≤ ψ(·) ≤ A和0≤ φ(·) ≤ TF（A），对于0≤ t型≤ u≤ t+t，E（t，γ）经验值Zutkg（u- s） kΓsds公司= 表达式γψ（u- t） +φ（u- t）在这里和之后，我们使用简写符号E（t，γ）来表示事件{t=γ}上的期望条件。

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大多数88

2022-6-6 20:09:50

同样，符号Γ（t，γ）应表示过程Γ在时间t.Proof的γ开始。我们首先证明了解的存在性。函数为ψ（t）：=ψ（t）- 2G（t），命题中的ODE等同于以下内容：tД（t）=R（Д（t）+2G（t））。（13）现在考虑修改后的颂歌tu（t）=R（（u（t）+2G（t））∧ A）。由于右侧是u中的Lipschitz，根据Cauchy-Lipschitz定理，该方程包含唯一解，表示为ДA（t）。由于R（0）=0，此解是非负的。此外，鉴于R的凸性，它可以从上面有界，如下所示：max0≤t型≤TДA（T）≤ T最大值0≤t型≤TR公司（ДA（t）+2G（t））∧ A.≤ T（0∨ R（A））。如果T（0∨ R（A））+2G（T）≤ A、然后，该解在[0，T]上与原始方程（13）的解一致，因此原始方程（13）存在并从上方有界。现在我们来证明拉普拉斯变换的公式。考虑processMs：=expZstkg（u- r） kΓ（t，γ）rdrexpnΓ（t，γ）sψ（u- s） +φ（u- s） o，对于t≤ s≤ u≤ T+T。根据It^o公式，dMsMs-= ψ（u- s） dΓcs+Z∞ezψ（u-s）- 1.eJΓ（ds×dz），其中Γcdenotes是Γ的连续鞅部分，并给出了其补偿跳跃测度。这意味着M是一个局部鞅。过程zs：=Zstψ（u- r） dΓcr+ZstZ∞ezψ（u-r）- 1.eJΓ（dr×dz）与Γ一起是一个二维时间非齐次线性过程，它满足[35，定理3.1]的条件，因此其随机指数，因此过程M是[t，u]上的一个鞅。以{Γt=γ}为期望条件，我们得到了表达式γψ（u- t） +φ（u- t） o=E经验值Zutkg（u- s） kΓ（t，γ）十二烷基硫酸钠.如第2节所述，处理远期方差ξt（u）：=E[σu | Ft]比处理瞬时波动性更为直接。以下结果由条件（第一部分）和It^o公式的应用得出：命题4。

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2022-6-6 20:09:55

在假设1下，前向方差过程由ξt（u）=ξ（u）exp给出ZtpΓsg（u- s） >dWs+ψ（u- t） Γt+φ（u- t）- ψ（u）Γ- φ（u）,对于0≤ t型≤ u≤ 其动力学读数为ξT（u）=2ξT（u）pΓtg（u- t） >dWt+ξt（u）ψ（u- t） dΓct+ξt-（u）锆eψ（u-t） z- 1.eJΓ（dt×dz）。与高斯Volterra情形类似，过程X是非马尔可夫的，但前向方差曲线（ξt（u））u≥t了解Γtis Markovian和远期方差曲线（可从期权价格中观察到）的当前状态，以及Γt确定未来动态。与第3节类似，VIX上的看涨期权在时间t的值由pt=E“fΘZT+Θtξt（u）du！Ft#=FΓ（t，Γt，ξt（u）t≤u≤T+Θ），f（x）=(√x个- K） +，其中FΓ是从[0，T]×R+×H到由FΓ（T，γ，x）定义的R的确定性映射：=E“FΝZT+Tx（u）Et，T（γ，u）du！，（14）with Et，T（γ，u）：=expZTtqΓ（T，γ）sg（u- s） >dWs+ψ（u- T）Γ（T，γ）T+φ（u- T）- ψ（u- t） γ- φ（u- t）！。示例1。设Γ为满足dΓt=-λΓtdt+dLt，其中E[euLt]=expψ（u）t,所以R（u）=-λu和F（u）=ψ（u）。命题3的假设适用于ψ（2G（T））是有限的任何Tsuch，在这种情况下，φ（T）：=Ztψ（ψ（s））ds，ψ（T）=2Zte-λ（t-s）千克（s）kds。根据命题4，向前方差过程的动力学因此由dξt（u）ξt（u）=2pΓtg（u）给出- t） >dWt+ZR+经验值2zZute公司-λ（s-t）千克（u- s） kds公司- 1.eJL（dt×dz），其中EJLI是L的补偿跳跃测度。例如，假设L具有跳跃强度∧>0和指数跳跃大小分布，参数a>0，则ψ（u）=a∧Z∞（欧盟）- 1） e类-axdx=∧aa公司- u- 1.=∧ua- u、对于所有u<a。示例2。设Γ为CIR过程，动力学dΓt=k（θ- Γt）dt+δpΓtdBt，其中B是独立于W的标准布朗运动。那么，F（u）=kθu和R（u）=-ku+δu。假设1可以证明满足任何T，例如4G（T）Tδ≤ 1.

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2022-6-6 20:09:58

在此假设下，前向方差过程的动力学由dξt（u）=2ξt（u）pΓtg（u）给出- t） >dWt+ξt（u）ψ（u- t） δpΓtdBt，其中ψ是命题3中定义的确定性函数。在这种情况下，ξ（u）是一个具有不相关随机波动率的Heston过程，因此，与向下跳跃产生偏斜的跳跃情况相反，我们这里有一个对称的隐含波动率微笑。波动率指数期权的鞅表示和套期保值在存在额外风险源的情况下，鞅表示的结果更为复杂，我们在没有证据的情况下提供它，假设有足够的规律性来应用it^o公式。由于Γ的跳跃部分具有有限的变化，我们可以应用简化的o公式，该公式给出了sdpt=ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）npΓtg（u- t） >dWt+ψ（u- t） dΓctodu+dΓFΓ（t，Γt，ξt）dΓctZRhFΓt、 Γt-+ z、（ξt-eψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ- FΓ（t，Γt-, ξt-)ieJΓ（dt×dz）。对于价值Vt=P+RTRT+ΘTηs（u）dξs（u）的套期保值组合，我们有等式[（PT- VT）]=EhRTdhP- V iti，其中DHP- V it=*Pt-ZT+ΘTηT（u）dξT（u）+T=4ΓT（ZT+ΘT[DxFΓ（T，ΓT，ξT）（u）- ηt（u）]ξt（u）g（u- t） >du）dt+ΔΓt（ZT+ΘtDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）ψ（u- t） +DΓFΓ（t，Γt，ξt）- ηt（u）ξt（u）ψ（u- t）du）dt+ZR（m（dz）+Γtu（dz））nFΓ（t，Γt+z，（ξteψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ）- FΓ（t，Γt，ξt）-ZT+ΘTηT（u）ξT（u）（eψ（u-t） z- 1）多特。因此，为了实现完美的套期保值，以下系统必须保持：ZT+ΘT（DxFΓ（T，ΓT，ξT）（u）- ηt（u））ξt（u）g（u- t） >du=0，ZT+Θt（DxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）ψ（u- t） +DΓFΓ（t，Γt，ξt）- ηt（u）ξt（u）ψ（u- t） du=0，FΓ（t，Γt+z，（ξteψ（u-t） z）t≤u≤T+Θ）- FΓ（t，Γt，ξt）-ZT+ΘTηT（u）ξT（u）（eψ（u-t） z- 1） du=0，其中最后一个是在m+u的支架上保持所有z。首先假设过程Γ没有跳跃部分。然后，只需求解前两个方程：只要能找到数字u，…，就可以求解，ud+1∈ [T，T+Θ]使得向量（g（uj- t）。

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nandehutu2022

2022-6-6 20:10:02

，g（uj- t） d，ψ（uj- t））对于j=1，d+1对所有t线性独立∈ [0，T]。在这种情况下，尽管存在随机波动，VIX期权可以仅使用远期方差曲线进行完美对冲：在利率语言中，不存在未经退火的随机波动。在存在跳跃的情况下，套期保值问题更加复杂。当m+u的支撑仅包含有限数量的点时，z，zk，只要你能找到数字u，…，完美对冲就是可能的，ud+k+1∈ [T，T+Θ]使得向量（g（uj- t），g（uj- t） d，ψ（uj-t），eψ（uj-t） z，eψ（uj-t） zk）对于所有t∈ [0，T]。然而，当相应矩阵接近奇异时，套期保值比率将不稳定。因此，当支持m+u的点的数量很小时，该方法可能会起作用，但对于大量的点，该方法很难实现，更重要的是，当试图用离散的跳跃大小分布近似连续的跳跃大小分布时。示例3。在CIR情况下（例2），VIX期权价格具有鞅表示dpt=（ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）g（u- t） >du）pΓtdWt+（DΓFΓ（t，Γt，ξt）+ZT+ΘTDxFΓ（t，Γt，ξt）（u）ξt（u）- t） du）δpΓtdBt。另一方面，考虑到方差交换的连续版本，T和T+Θ之间的正向方差交换的动力学由dst给出，ΘT=（ΘZT+ΘTξT（u）g（u- t） >du）pΓtdWt+（ΔΘZT+Θtξt（u）ψ（u- t） du）pΓtdBt。因此，很明显，我们可以构建一个由两个不同到期日的方差掉期组成的投资组合，这将完美地设置VIX期权的风险。4.1 Monte CarloWe的VIX期权定价在此将第3.2节的数值分析扩展到调制Volterra情况，基本上基于推导（14）的近似值。

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2022-6-6 20:10:05

这两种离散化方案如下所示：o矩形方案（如前所述定义了ζnian和ηn（u））：Fn（t，γ，x）：=E“fΘn-1Xi=0ζniEt，T（γ，tni）！#=E“fΘZT+ΘTx（u）Et，T（γ，ηn（u））du！#；o梯形方案：bFn（T，γ，x）：=E”fΘn-1Xi=0Ztni+1tnix（u）（θn（u）Et，T（γ，tni）+（1- θn（u）Et，T（γ，tni+1））du！#=E“fΘZT+ΘTx（u）（θn（u）Et，T（γ，ηn（u））+（1- θn（u））Et，T（γ，ηn（u）））du！#。与前一种情况类似，随机变量序列（Zi）n-1i=0，带Zi：=对数Et，T（γ，ti）=2ZTtqΓ（T，γ）sg（ti- s） >dWs+mi，形成条件高斯随机向量（在轨迹（Γs）t上条件时≤s≤T、给定ΓT=γ），平均主协方差Ci，jgiven bymi=ψ（ti- T）Γ（T，γ）T+φ（ti- T）- ψ（ti- t） γ-φ（ti- t），Cij=4ZTtΓsg（tni- s） >g（tnj- s） ds。然后分两个连续步骤进行蒙特卡罗计算：o对于协方差Cij：模拟轨迹（Γs）t≤s≤计算条件方差CijgivenΓ。当Γ是具有有限跳跃强度的L'evy驱动OU过程时，该模拟不会导致离散化错误，因为描述Ci、jis的积分实际上是L'evy过程跳跃的有限和。否则，我们需要模拟Γ的离散化区域，但这种模拟速度很快，因为Γ是马尔可夫的（见下文）模拟随机高斯向量（Zi）n-1i=0并计算期权报酬。以下命题扩展了命题2，并描述了这两种离散化方案的收敛速度，假设对Cijis的模拟没有错误。提案5。假设1成立。

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2022-6-6 20:10:10

进一步假设f是Lipschitz，x（·）有界的，并且存在c<∞ 且β>0，因此对于所有T≤ t<t，ZTtkg（t- s）- g（t- s） kds！1/2≤ c（t- t）（t- T）β-1.oIfE经验值ZutΓ（t，γ）skg（u- s） kds公司（15）对于u一致有界∈ [T，T+Θ]，且E[（T，γ）s）]对于s一致有界∈ [t，t]，然后在t上，| F（t，x）- Fn（t，x）|=On;o 如果除上述假设外，E[（Γ（t，γ）s）]对于s一致有界∈ [t，t]，kgkis阳性，呈下降趋势，存在c<∞ 因此，对于所有T≤ t型≤ t<t，kg（t- T）k≤ c（t- T）β-1千克（t- T）k- 千克（吨- T）k≤ C（t- t）（t- T）β-2，ZTtkg（t- s）-t型- tt- tg（t- s）-t型- tt- tg（t- s） kds！1/2≤ c（t- t）（t- T）β-2、然后在κ（β+1）>2的Tκ上，| F（T，x）-bFn（t，x）|=On.备注1。与命题3类似，可以证明（15）在u上一致有界的充分条件∈ 是吗∞zezA{u（dz）+m（dz）}是有限的，对于一些A>0,8G（T+Θ）- t） +（t+Θ）- t）（0）∨ 此外，跳跃大小的指数可积性确保E[（Γ（t，γ）s）]一致有界。4.2近似定价和控制变量在高斯-沃尔泰拉情况下，我们可以通过将条件对数正态随机变量族上的积分替换为其对数积分的指数，来获得VIX期权价格的简单近似公式。换言之，我们用近似值（11）代替平方VIX指数（6）。根据命题4中的正向方差表达式，我们有log VIXT=ΘZT+ΘTlogξt（u）du+2ZTtΓ（t，γ）sdWsΘZT+ΘTg（u- s） >du+Γ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du+ΘZT+ΘT（φ（u- T）- φ（u- t））du-γΘZT+ΘTψ（u- t）因此，log VIXTis的特征指数由ψ（z）给出：=log Eheiz log VIXTFti=izΘZT+ΘTlogξt（u）du+izΘZT+Θt（φ（u- T）- φ（u- t））du-izγΘZT+ΘTψ（u- t） du+日志E“exp-2zZTtΓ（t，γ）sG（s，t，Θ）ds+izΓ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du！#，其中G（s，T，Θ）：=ΘRT+ΘTg（u-s）杜。

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2022-6-6 20:10:13

与命题3类似，在适当的可积性条件下，该期望可以简化为普通微分方程。在示例1的theL'evy驱动OU过程的上下文中，可以显式地进行计算。在这种情况下，Γ（t，γ）s=γe-λ（s-t） +Zste-λ（s-r） dLr，因此E“exp-2zZTtΓ（t，γ）sG（s，t，Θ）ds+izΓ（t，γ）tΘZT+Θtψ（u- T）du！Ft#=exp-2zZTtγe-λ（s-t） G（s，t，Θ）ds+izγe-λ（T-t） ΘZT+Θtψ（u- T）du！×E“扩展-2zZTtdLrZTre-λ（s-r） G（s，T，Θ）ds+izRTte-λ（T-r） dLrΘZT+ΘTψ（u- T）du！#=经验值-2zZTtγe-λ（s-t） G（s，t，Θ）ds+izγe-λ（T-t） ΘZT+Θtψ（u- T）du！×expZTtψ-2zZTre公司-λ（s-r） G（s，T，Θ）ds+ize-λ（T-r） ΘZT+ΘTψ（u- T）du！博士4.3数值说明我们在此考虑具有幂律核g（t，s）=（t）的波动率调制模型（12- s） H类-,其中，Γ是示例1中的LΓevy驱动的OU过程。使用第4.1节中的蒙特卡罗方法，命题5保持提供的ψ（8G（T+Θ-t））<∞, 因此，收敛速度为n-1矩形方案，n-2对于具有适当离散网格的梯形格式。驱动L'evy过程L是一个单边指数跳跃的复合泊松过程；实验测试表明，双侧跳跃不会显著改善校准。模型参数为λ（OU过程的平均回归）、∧（跳跃强度）、a（指数律参数）、γ（OU过程的初始值）、ξ（T）（初始前向方差曲线）和H（根据[24]中的发现，固定为0.1）。图5表明，第4.2节中的近似公式非常精确；与具有90个近似步骤的蒙特卡罗模式（图上的Ndisc）相比，我们的近似具有计算速度更快的优点。

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2022-6-6 20:10:17

这种收敛性用以下参数来说明：到期日为一个月，且（λ，λ，a，γ，ξ（T））=（0.08，0.71，6.18，0.05，0.013）（对应于下面的一组校准参数）。图5：与蒙特卡罗方案相比，近似公式的精度。2014年5月14日，我们使用第4.2节的近似定价公式，通过使用L-BFGS-B算法（Python优化工具箱），最小化市场价格和模型价格之间的平方差之和，对五个到期日的VIX期权模型进行校准。4.3.1逐片校准在该测试中，每个到期日都已单独校准，每个到期日的远期方差值ξ（T）也已校准为VIX期权。校准结果如图6所示，校准参数如表1所示。误差是期权价格（美元）均方误差的平方根。标准PC上的校准时间范围为20到100秒，具体取决于参数的起始值。校准质量显示出低于3美分的总体误差，并且参数在所有到期日内似乎都相当稳定。到期日（天）λ∧aγξ（T）误差7 0.08 0.71 6.18 0.05 0.013 0.00535 0.01 5.82 19.81 0.007 0.014 0.0363 0.01 6.61 25.41 0.01 0.012 0.1698 0.01 5.63 28.70 0.001 0.012 0.008126 0.92 4.97 25.19 0.001 0.011 0.023表1：与图6相对应的校准参数值。图6：在单侧指数跳跃模型中校准（逐片）的市场中观察到的期权价格和波动率指数期权的隐含波动率。从上到下，期限分别为7、35、63、98和126天。

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2022-6-6 20:10:20

远期方差根据VIX期权价格进行校准。4.3.2使用预先规定的远期方差曲线逐片校准我们现在考虑一种联合校准程序，其中每个到期日分别进行校准，但远期方差ξ（·）是使用VIX复制公式从SPX期权价格计算得出的。图7显示了校准结果，校准参数如表2所示。价格误差现在略大，但仍然可以接受。到期日（天）λ∧aγξ（T）误差7 0.086 0.583 5.410 0.272 0.013 0.01335 0.008 0.597 9.903 0.088 0.018 0.04163 0.01 0.08 15.24 0.13 0.022 0.06698 0.009 0.06 0.028 0.11 0.027 0.095126 0.922 0.094 0.001 0.149 0.030 0.074表2：与图7相对应的校准参数值。图7:VIX微笑和SPX隐含波动率期限结构的联合校准。4.3.3多个到期日的联合校准我们最终会同时测试多个到期日的校准。图8显示了同时校准三个到期日（35、63和98天）的结果，其中远期差异与SPX期权价格分开校准，如表2所示。最佳参数和误差为（λ，λ，a，γ）=（0.29771,0.915,9.576,0.028），到期日（以天为单位）35 63 98误差0.084 0.12 0.15图8：VIX期权的期权价格和隐含波动率，同时校准到所有三个到期日。这些图表表示35、63和98天的到期日。参考文献【1】E.Abi Jaber、M.Larsson和S.Pulido。一个有效的Volterra过程。arXiv:1708.087962017。[2] R·J·阿德勒和J·E·泰勒。随机场和几何体。Springer，2007年。[3] 阿克多根方差曲线模型：有限维实现和超越。博士论文，ETH Z¨urich，研究收藏。ethz。2016年第三季度。[4] E.Al\'os、J.Le\'on和J.Vives。

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2022-6-6 20:10:23

关于随机波动率跳跃扩散模型隐含波动率的短期行为。《金融与随机》，11（4），571-5892007。[5] C.Bardgett、E.Gourier和M.Leippold。从标准普尔500指数和波动率指数市场推断波动性动态和风险溢价。即将发表在《金融经济学杂志》上。[6] O.E.Barndorff Nielsen和J.Schmiegel。布朗半平稳过程与波动/间歇。H.Albrecher、W.Runggaldier和W.Schachermayer主编，《高级金融建模：1-26》。Walter de Gruyter，柏林，2009年。[7] C.拜耳、P.弗里兹和J.Gatheral。粗略波动下的定价。《定量金融》，16:887-9042016。[8] C.拜耳、P.K.弗里兹、A.古利萨什维利、B.霍瓦思和B.斯坦珀。粗略分数波动率模型中的短期近货币倾斜。将于2019年出版《定量金融》。[9] C.拜耳，J.Gatheral，M.卡尔斯马克双均值回复模型的快速Ninomiya-Victoir校准。《定量金融》，13（11）：1813-18292013。[10] M.Bennedsen、A.Lunde和M.S.Pakkanen。布朗半平稳过程的混合格式。《金融与随机》，21:931-9652017。[11] L.Bergomi。微笑动力学II。风险，2005年10月：67-73日。[12] L.Bergomi。《微笑动力学III.风险》，2008年10月90-96日。[13] H.B–uhler。波动性市场：方差掉期市场模型的一致建模、对冲和实际实施。柏林理工大学博士论文，2006年。[14] P.Carr和D.Madan。走向波动性交易理论，风险：417-4271998。[15] P.Carr和D.Madan。使用风险管理应用程序在单一和通用成熟度下对VIX和SPX期权进行联合建模。IIE交易，46（11）：1125-11312014。[16] G.Da Prato和J.Zabczyk。有限维随机方程，第2版。剑桥大学出版社，2014年。[17] D.Duffie、D.Filipovi\'c和W.Schachermayer。

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2022-6-6 20:10:26

金融中的一个流程和应用程序。《应用概率年鉴》，13（3）：984-10532003。[18] O.El Euch、M.Fukasawa和M.Rosenbaum。杠杆效应和粗波动性的微观结构基础。《金融与随机》，22（2）：241-280，2018年。[19] O.El Euch和M.Rosenbaum。粗糙Heston模型的特征函数。《数学金融》，29（1）：3-382019年。[20] O.El Euch和M.Rosenbaum。粗糙Heston模型中的完美对冲。《应用概率年鉴》，28（6）：3813-38562018。[21]M.Fukasawa。短期货币倾斜和粗略分数波动。QuantitativeFinance，17（2）：189-1982017年。【22】M.Fukasawa。对数正态粗糙波动率模型的套期保值和校准。2017年在纽约举行的吉姆·加泰尔60岁生日会议上的演讲。【23】J.Gatheral。SPX和VIX选项的一致建模。演讲，BachelierCongress，伦敦，2008年。【24】J.Gatherel、T.Jaisson和M.Rosenbaum。波动很剧烈。《定量金融》，18（6）：933-9492018。【25】J.Gatheral和M.Keller Ressel。一个有效的远期方差模型。SSRN:31053872018。[26]I.S.Gradshteyn和I.M.Ryzhik。积分、系列和乘积表。院士出版社，2014年。【27】H.Guennoun，A.Jacquier P.Roome和F.Shi分馏赫斯顿模型的渐近行为。《暹罗金融数学杂志》，9（3），1017-10452018。【28】J.Guyon、R.Menegaux和M.Nutz。标准普尔500指数波动率指数期货的界限《金融与随机》，21（3）：593-6302017。[29]S.Hendriks和C.Martini。扩展的SSVI波动面。SSRN:2971502，2017年。[30]T.Hida和M.Hitsuda高斯过程。美国数学学会，1993年。【31】B.Horvath、A.Jacquier和C.Lacombe。随机分馏效用模型的渐近行为。arXiv:1708.011212017。【32】B.Horvath、A.Jacquier和A.Muguruza。粗糙波动率的泛函中心极限定理。

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mingdashike22

2022-6-6 20:10:29

arXiv:1711.030782017。【33】J.Jacod和A.Shiryaev。随机过程的极限定理。Springer Science&Business Media，2882013年。【34】A.Jacquier、C.Martini和A.Muguruza。关于粗糙Bergomi模型中的VIX期货。《定量金融》，18（1）：45-612018年。[35]J.Kallsen和J.Muhle Karbe。指数鞅、指数测度变化和指数过程的指数矩。随机过程及其应用，120:163-1812010。【36】A.G.Z Kemna和A.C.F.Vorst。基于平均资产价值的期权定价方法。《银行与金融杂志》，14（1）：113-1291990年。[37]B.Mandelbrot和J.W.van Ness。分数布朗运动，分数噪声和应用。《暹罗评论》，10（4）：422-4371968年。[38]R.McCrickerd和M.S.Pakkanen。roughBergomi模型的涡轮增压蒙特卡罗定价。《定量金融》，18（11）：1877-18862018年。【39】S.M.乌尔德阿里。远期方差动态：重新审视Bergomi模型。《应用数学金融》，21（1）：87-104，2013年。【40】P.Protter。随机积分和微分方程。Springer Verlag纽约，2014年。附录A。1推论的证明1我们考虑α=1，但不丧失一般性，并假设H≤, H>相似的情况。证明依赖于检查命题2的假设。让我们从矩形方案开始。一方面，当t- T≥ 2（t- t），然后也是t- T≤t型-T、以下估计是正确的：ZTtkg（t，s）- g（t，s）kds1/2=ZTt公司|t型- s | H-- |t型- s | H-ds公司1/2≤ CZTt（t- t）（t- s） 2小时-3ds1/2≤ C（t- t）（t- T）小时-1.≤ C21型-H（t- t）（t- T）小时-1、另一方面，当t- T<2（T- t），我们有边界ZTtkg（t，s）- g（t，s）kds1/2≤Z∞（t- T+s）H-- （t- T+s）H-ds公司1/2≤Z∞上海-- （t- T+s）H-ds公司1/2≤ C（t- T）小时≤ 2C（t- t）（t- T）小时-现在考虑梯形方案。

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