资本利得税下的无套利资产在时间上的本地化程度如何

2022-6-8 17:51:32

特别是在正利率和直接税收抵免亏损的情况下，有动机立即变现亏损并推迟盈利的实现（后者被称为锁定效应）。如果没有进一步的限制，通过同时持有同一风险股票的多头和空头头寸，甚至可能存在税收套利。因此，尽管清算头寸立即重建（参见君士坦丁群岛（Constantinides）[5]或达蒙和格林（Dammon and Green）[7]），但当向税务局申报亏损时，亏损已实现。文献中一种流行的方法——我们在本论文中也遵循这种方法——是通过不*德国法兰克福歌德大学数学研究所，D-60054 Frankfurt a.M.，e-mail：ckuehn@math.uni-法兰克福。deI感谢编辑Riedel教授和一位匿名副编辑的宝贵评论。我特别感谢匿名仲裁人在2.15号提案的前一版本中发现了一个小错误，并提出了许多有价值的建议，从而大大改进了结果的呈现方式。考虑到风险股票的空头头寸。至少对散户投资者而言，这不是一种不切实际的限制（有关详细讨论，请参见Dybvig和Ross[9]）。当然，在实践中，对负税收支付和损失与收益的抵消方式有限制。在某些税收制度中，亏损只能用来避免对同一年实现的收益缴纳正税。在其他系统中，损失也可以及时结转。除了累进税率之外，这些限制也是非线性的另一个来源，这就需要Ross【21】和Gallmeyer以及Srivastava【11】提出的本地套利理论。

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2022-6-8 17:51:35

这些概念在细节上有所不同，但其基本思想如下：投资者不会像套利理论中的通常那样，在没有捐赠的情况下开始投资，而是尝试加入清算价值非负的投资组合，清算价值为正，概率为正。相比之下，套利是一种添加到另一种捐赠中的策略，它至少会导致相同的清算价值，尽管其概率为正，但绝对较高。另一个实际限制是禁止所谓的清洗销售。洗牌出售是一种旨在向税务机关申报损失的出售，但证券会立即被回购。在美国，如果在亏损证券清算后30天内购买了“基本相同”的证券，则不可能宣布亏损。Gallmeyer和Srivastava【11】表明，在有限使用损失或禁止洗牌销售以及正利率的情况下，在静态Arrow-Debreu证券模型中（即在没有冗余证券的模型中），无税前套利并不意味着本地税后套利。在一些参数限制下，对于包括按不同税率征税的股息在内的多期二项模型，得到了类似的结果。奥尔巴赫（Auerbach）和布拉德福德（Bradford）[1]以及詹森（Jensen）[14]对动态套利理论采用了不同的税收方法，他们认为更一般的“基于股票价值的”线性税收规则不需要以变现为基础，即税收可能取决于股票头寸的按市值计价，而不仅仅是实际获得的价格。对于这些税收规则，Jensen[14]描述了“估值中性”税收体系的子集。

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mingdashike22

2022-6-8 17:51:38

这意味着他从多期模型中免税投资者的阿马丁格尔测度开始，描述了所有“基于股票价值”的线性税收系统的特征，在这些系统下，相同的测度一致地评估了所有动态交易策略的税后财富。这导致了一个有趣的线性税分解为本地无风险利息税和ZF投资“风险部分”的风险分担部分。投资者的收益分解为其全部资本投资于无风险银行账户的利息和通过银行账户空头头寸进行实际投资的收益。分解取决于无风险利率。这意味着，一般而言，将全部资本投资于风险股票所获得的收益的税收取决于无风险利率。这些税收制度也是“持有期中性”的，这意味着股票的持有期不会影响投资者的出售决策，因此，上述税收选择毫无价值。特别是允许在riskystock做空头寸不会导致税收套利。【1】和【14】中的一个关键角色是应计但尚未实现的收益的税务账户，该账户支付利息。与上述常见的现实税收制度相比，利息支付产生了差异。实际上，本条中得出的分离措施取决于税率。当然，从实践的角度来看，非实现型税收制度有许多弊端。对于按市值计价，需要大量流动性较差的股票无法获得的信息。

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mingdashike22

2022-6-8 17:51:41

此外，即使不需要立即支付帐面收益税，而是在股票清算时支付利息，也很容易构建股票收益税负债超过其清算价格的例子，这可能会导致流动性问题。在本文中，我们讨论了基于线性变现的资本利得税下的动态套利理论。线性意味着我们允许因实现亏损而引发的负纳税（立即退税）。然而，值得注意的是，我们的结果仍然可以比照适用于更复杂的税收制度。一方面，我们模型中的无套利意味着在更严格的规则下没有套利。另一方面，充分利用损失的套利会导致Ross[21]定义意义上的局部套利，例如，投资组合中的损益只能在同一年内设定的模型。为此，我们可以考虑一个投资者，他可以获得足够的年度股息，而这些股息可以弥补损失，因此额外投资的收益实际上是线性征税的。对线性税收的限制意味着在单期模型中，税前和税后套利策略是一致的。这使我们能够集中分析问题的动态部分，即税收时机选择对无套利条件的影响。关于线性作为“整洁税制的要求”的进一步讨论，请参考Bradford【4】。在动态框架中，税后无套利性质明显强于税前无套利性质。最重要的是，在无摩擦的市场模型中，无套利在时间上是本地财产。

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2022-6-8 17:51:44

这意味着在离散时间模型中，可以仅基于当前的随机资产回报率，逐期检查无风险资产的可能性，这当然大大降低了复杂性。如果不存在单期套利，即只在一个预定期内投资的套利策略，也就不存在动态套利。相比之下，在具有比例交易成本或资本利得税的模型中，无一期套利严格地弱于无套利。首先，这一点非常明显，因为交易成本可能需要一段时间才能摊销（参见[20]中的示例4.1）。有了税收，与支付利息或股息的投资相比，允许递延账面利润税的资产变得更具吸引力，尤其是在长期投资期内（关于“股息支付的次优性”的一般性讨论参见Black[3]，关于随机股价动态的条件参见[18]，在这种情况下，这一广泛持有的观点是正确的）。本文的目的是量化非本地无套利资产在资本利得税模型中的表现。为此，我们引入了鲁棒局部无套利（RLNA）的概念，作为保证动态无套利的最弱局部条件。该条件在时间上是局部的，即可以仅基于当前随机股票收益率，在不知道当前时期以外的股票价格收益率的情况下，逐期验证。稳健性是指（RLNA）在考虑期内保证动态无套利，无论股价“合理”延长到该期以外。

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大多数88

2022-6-8 17:51:47

更准确地说，如果考虑期间的随机回报被消除，则考虑所有无套利扩展，并要求包括该期间在内的股价过程保持无套利。换言之，这表明在多期模型中，一个时期内的随机股票收益率可以触发套利。另一方面，无单期套利也是一种局部属性，动态无套利是必要的（而非有效的）。这意味着没有套利夹在两个本地标准之间。因此，利用（RLNA）的有效局部条件和无一期套利模型的特征化（不取决于税率），我们可以估计无套利资产在含税模型中的非局部性。有效局部条件是本文的主要结果（定理2.12）。它可以被看作是一个无摩擦市场中简单二分法条件的推广，其中包含一只不可卖空的风险股票，即：给定一个时期开始时的任何信息，要么存在股票收益率低于无风险利率的风险，要么有人确知它不会超过无风险利率。在税收模型中，与具有比例交易成本的模型中可能出现相同的现象，参见Schachermayer【23】，这在无摩擦市场中是不可能的，因为Dalang MortonWillinger定理【6】：在有限概率空间中，仅离散时间无套利并不意味着存在等价的分离度量。我们在税务模型中提供了一个明确的例子，其中有一个银行账户和一只风险股票（示例4.5）。在该示例中，就概率收敛而言，可获得的最终财富集不是闭合的。

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2022-6-8 17:51:50

相比之下，对于只有2种资产（例如，一个银行账户和一只风险股票）的多期比例交易成本模型，Gigoriev[12]证明，没有套利已经意味着存在分离措施。有关详细讨论，请参阅卡巴诺夫和萨法里的专著【17】。对于我们的示例，我们使用示例4.3中构造的价格过程，使得同一股票中的两个多头头寸相互对冲。这种令人费解的现象不可能发生在无摩擦的市场上，或者更普遍地说，在交易成本成比例的市场上（见备注4.4）。这种对冲（im）可能性使得吉戈列夫定理中的情况与例4.5之间存在差异。利用示例4.5背后的思想，我们提供了一个两阶段的示例，用于在一个无套利交易成本模型中，使用一个银行账户和2只风险股票进行近似套利（参见示例4.6）。我们讨论了与原始计数器样本的关系，如Schachermayer[23]中的示例3.1，该示例在一个具有4项资产的单期交易成本模型中显示了相同的现象。最后，我们通过引入几种有效证券，证明了税收模型可以写成具有比例交易成本的模型。我们提供了一个保证分离测度存在的充分条件，并刻画了分离测度集。在本文的分析中，我们考虑了所谓的精确计税基础或特定股份识别方法，该方法与美国的税收立法相对应，从经济角度来看，是最合理的计税基础。在这里，希望减少资产头寸的投资者可以自由选择其投资组合中的同类证券（即哪些苹果股票）与税收相关。

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2022-6-8 17:51:53

虽然所有这些证券都有相同的市场价格，但它们通常有不同的购买价格，这对税收很重要。其他常见的税基是先进先出规则和过去购买价格的平均值（关于这些税基下投资组合优化问题的解决方案，分别参见Jouini、Koehl和Touzi【15、16】和Ben Tahar、Soner和Touzi【2】）。定理2.12和示例3.20处理二分法条件的最优性，也适用于先进先出税基和平均税基。定理的证明需要一些调整，但考虑（3.18）这样的集合的方法在这里也适用。由于这需要很多额外的注释，我们仅限于确切的计税基础。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了鲁棒局部无套利（RLNA）的概念，将其与无套利（NA）联系起来，并陈述了本文的主要结果（定理2.12）。证明见第3节。第4节提供了上述现象的示例。在第5节中，税收模型与具有比例交易成本的模型相关，并描述了一组分离措施。文章以结论结尾。2无套利和稳健的局部无套利在Dybvig/Koo模型中贯穿本文，我们确定了一个有限的时间范围T∈ N和过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t=0,1，。。。，T、 P）。存在一只价格过程为S=（St）t=0,1，…，的不可卖空风险股票，。。。，Twhere街∈ L+(Ohm, 英尺，P）。按照Dybvig和Koo[8]中的符号，Ns，u∈L+(Ohm, Fu，P）表示在时间s购买的股票数量∈ {0，…，T}和keptin至少在时间u交易后∈ {s，…，T}。特别是，Ns，sis是在时间s购买的股份数量，即不能同时购买和转售头寸。

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2022-6-8 17:51:56

另一方面，一个职位可以同时出售和再融资，这称为洗牌销售。为简单起见，我们不排除洗涤销售，但这不会对备注4.7中讨论的主要结果产生重大影响。一个有约束≥ Ns，s+1≥ . . . ≥ Ns，对于所有s，T=0∈ {0，…，T}，（2.1），其中包含卖空限制和T处的强制清算。随机变量ηu∈ L(Ohm, Fu，P）表示在时间u交易后的货币单位数。存在无风险利率r∈ R+\\{0}。税率满足α∈ [0，1），即，除非另有说明，否则包括免税情况。为简单起见，银行账户的利息立即征税。这意味着银行账户随税后利率（1）增长- α） r.定义2.1。一个过程（η，N），N满足（2.1），η=（ηu）u=0,1，。。。，T、式中ηu∈L(Ohm, Fu，P），称为零初始资本的自我融资- ηu-1= (1 - α） rηu-1.- Nu，uSu+u-1Xs=0（Ns，u-1.- Ns，u）（Su- α（Su- Ss）），u≥ 0，（2.2），其中η-1:= 0. 初始资本为零的自我融资策略（η，N）是一种套利效应（ηT≥ 0）=1且P（ηT>0）>0。如果不存在此类策略，则市场模型满足无套利（NA）。备注2.2。如果模型满足（NA），则免税投资者的相同模型（即α=0）也满足（NA）。事实上，如果免税模式允许套利，那么就会存在单期套利。这也是一种税后单期套利。但是，福特≥ 2、反之亦然。考虑St=（1+r）t。通过延迟正税，股票头寸和银行账户空头头寸将导致套利。定义2.3。让t∈ {1，…，T}。定义2.1意义上的套利是t期内的单期套利，如果Ns，u=0表示所有（s，u）6=（t- 1，t- 1).

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2022-6-8 17:51:59

这意味着P（ηT≥ 0）=1和P（ηT>0）>0，ηT=（1- α） Nt公司-1，t-1（St- St公司-1.- rSt公司-1) (1 + (1 - α） r）T-t、注2.4。让t∈ {1，…，T}带P（St-1> 0) = 1. 对于α∈ [0，1），在t iff P期间没有单期套利PSt公司- St公司-第一个-1<r | Ft-1.> 0或PSt公司- St公司-第一个-1.≤ r | Ft-1.= 1.= 1.（2.3）证明很简单。在单期模型中，税前和税后套利策略明显重合。因此，（2.3）是有税动态无套利的必要局部条件，即仅取决于随机回报（St- St公司-1） /圣-1期注2.5。让t∈ {1，…，T}和R∈ L(Ohm, 英尺，P），右≥ -1，这样P（P（R<R | Ft-1） >0或P（R≤ r | Ft-1) = 1) = 1. 然后，存在一个自适应过程（Su）u=0，。。。，Twith P（St-1> 0）=1，（St- St公司-1） /圣-1=R，S满意度（NA）。证据考虑u的Su=1≤ t型- 1，对于u，St=1+R，Su=0≥ t+1。注2.5，“t中无一期套利”是最强的局部性质，即仅取决于随机回报（St- St公司-1） /圣-1在t期间，这可以从动态无套利税收中得出。换言之，从（NA）中，我们只能得出“t中无一期套利”属性的所有随机回报都能满足的属性。因此，（2.3）是（NA）的最佳必要局部条件。作为对应，我们引入了一个有效的局部条件来保证（NA）。这意味着对于每个周期t，我们再次寻找一个只依赖于周期t定义2.6（鲁棒局部无套利（RLNA））中随机回报的条件。给定一个过滤的概率空间，一个非负的适应股票价格过程在t期间满足（RLNA）∈ {1，…，T}i ff P（St-1=0，St>0）=0，对于所有非负自适应过程，bs=（bSu）u=0,1，。。。，t型-1，t+1，。。。，在限定的时域{0，1，…，t上触碰- 1，t+1。

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2022-6-8 17:52:02

，T}，以下含义成立。时域受限{0，1，…，t的模型中的IfbS满意度（NA）- 1，t+1，T}（关于模型的精确定义，请参见下面的定义2.9），则Nes=（eSu）u=0,1，。。。，ESU定义的Tde：=bSu：u≤ t型- 1bSt公司-1SST公司-1： u=tbSuStSt-1： u型≥ t+1，（2.4），约定0/0：=0，也满足（NA）。每个时期的满意度（RLNA）∈ {1，…，T}。备注2.7。如果P（St-1=0，St>0）>0，存在一个平凡的单期套利，税后收益（1- α） St{St-1=0}. 除此之外，零是资产价格的吸收状态，随后资产中的投资机会消失。备注2.8。（RLNA）可解释如下。周期t内的随机收益，即（St- St公司-1） /圣-1、无法触发套利–无论该过程在其他时期表现如何。要使该属性正式化，我们考虑所有具有与周期t中的S相同的随机回报的过程，这些过程在消除周期t的回报后是无套利的。我们要求所有这些过程在周期t中都是无套利的。该性质在时间上是局部的，因为只有周期t中的回报进入（尽管它显然取决于时间范围和整个过滤概率空间）。不同的是，t期的股票收益率与任意收益率粘贴在一起，形成了一个没有t期的无套利过程，应该导致一个无套利过程。这正好是“稳健”一词。通过构造，（RLNA）在保证（NA）的最弱局部条件之上所描述的意义上。对于α=0，它相当于（NA），但对于α>0，它的强度令人惊讶（参见位置2.11（ii）和示例4.2）。定义2.6尽可能笼统，允许S取零，具有正概率，尽管相关性较小。

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2022-6-8 17:52:05

对于S>0，eS可以很容易地解释为免税投资者以高价买入一只股票，然后以高价卖出的自我融资投资组合的财富过程-1在t期间投资奖励- 1和t，并在时间t回购。仍需将时间t的消除形式化。其思想是- 1和t被消除，因此在此期间累积的收益（股票和银行账户）消失。另一方面，可用于下一时期投资决策的信息与原始模型中的信息相同。定义2.9（消除t期）。消除周期t的模型∈ {1，…，T}和价格过程（bSu）u=0,1，。。。，t型-1，t+1，。。。，定义如下。策略由N=（Ns，u）s，u给出∈{0，…，t-1，t+1，。。。，T}，s≤无时间t的使用（2.1），其中Ns、uis-Fu可测量ifu 6=t- 1和Ns，t-1英尺可测量。在自融资条件下（2.2），t- 1和t以及t和t+1之间消失，并被ηt+1取代- ηt-1= (1 - α） rηt-1.- Nt+1，t+1，ST+1+t-1Xs=0（Ns，t-1.- Ns，t+1）（英国夏令时+1）- α（bSt+1-bSs））。（2.5）（当然，在特殊情况下t=t，需要Ns，t-1=0表示s=0，T- 1，液体值由ηT给出-1代替ηT，即（2.5）不适用）（2.5）意味着- 1，t+1是rηt-1，即自- 1和t被消除，利息只支付一个时间单位。从理论上讲，投资者必须以最低价抛售其股票头寸-1并以每股价格回购。为了使该程序能够自我融资，分数-1/t时间t的位置- 1已回购。

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mingdashike22

2022-6-8 17:52:08

这促使粘贴（2.4）中的价格过程。假设Ns，t-1必须是可衡量的是很自然的：关于ST+1投资的决定-英国夏令时-1可以以信息Ft为条件。这意味着-1和t对可用于下一期投资决策的信息没有影响。当S>0时，t和t+1之间的投资机会在安第斯市场是相同的。备注2.10。从模型中消除t期的一种更简单的方法是，投资者必须在t期清算其股票头寸- 1，并可能在时间t时重建。这将导致更强烈的（RLNA）-条件，因为在没有时间t的模型中，税收不能推迟到时间t之后- 1、这甚至可能将t期内股票的确定损失转化为“好交易”。然而，我们认为这将是错误的情况，因为在时域的内部增加一个周期不应成为税收可以推迟到这一点的原因。提案2.11。我们有α的（i）∈ [0，1），（RLNA）=> （NA）（ii）对于α=0，（RLNA）<=> （NA）在下文中，我们提供了（RLNA）的有效条件。示例4.2表明它在某种意义上是尖锐的。定理2.12。让t∈ {1，…，T}并假设p（St-1=0，St>0）=0（2.6）和PPSt公司- St公司-第一个-1<κt，t | Ft-1.> 0或PSt公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.= 1.= 1，（2.7）式中，κt，t：=-α + (1 - α） r(1 + (1 - α） r）T-t+α（1+（1- α） r）T-t型- α、（2.8）再次使用约定0/0：=0。然后，周期t中的满意度（RLNA）。条件（2.7）是一个二分法：在时间t中给定任何信息- 1，要么存在周期t内的随机收益率低于κt的风险，要么我们确信它不超过（1-α） r。

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能者818

2022-6-8 17:52:11

事实证明，这两种情况都不可能使无套利模型的周期相加导致套利。选择的边界κt足够小，以便在其不足的情况下，亏损期t决定了可能的税收递延收益-1至T。乍一看，κt、Tmay看起来不必要的小，无法保证（RLNA）；即，截至timet的应计收益税- 在比较模型B中，1也可以推迟到T，消除了T期，通过定义，它必须是无套利的。然而，由于只需要κt，t低于正概率，在t期可以有收益。该收益可用于对冲t后市场中的abad结果，并允许在包括t期在内的模型中进行套利。在示例4.2中，我们构建了这样一个市场。该示例仅满足（2.8）较大的边界κ<r，不满足（RLNA）。备注2.13。将α=0，（2.7）减少到（2.3），这对于“t中无一期套利”是必要和有效的，无论是否含税（见注2.4）。备注2.14。将注释2.5和备注2.8放在一起，（NA）表示某些α∈ [0，1）被夹在两个局部条件之间，这两个局部条件是上述意义上最必要和最有效的局部条件。此外，根据定理2.12，（2.7）担保（RLNA），它在某种意义上是严格的（参见示例4.2）。因此，比较（2.7）和（2.3）中的界限可以很好地估计无套利财产的非局部纳税情况（参见结论）.提案2.15。Letα∈ （0，1），并假设（2.6）和St公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.> 0，P-a.s.（2.9）保持所有t=1，T，同样使用约定0/0：=0。然后，模型满足（NA）。备注2.16。

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2022-6-8 17:52:14

条件（2.9）意味着投资者永远无法确保股票的税前利润严格超过银行账户的税后利润。这确保了股票收益税的减免不能用于产生套利。另一方面，对于命题2.15中排除的α=0，（2.9）是比（NA）更弱的条件。3证明下列数量在所有证明中都是有用的。对于s<u的每一对（s，u），s和u之间的股票自融资投资在T时的税后收益由XS给出，u：=[Su- α（Su- Ss）]（1+（1- α） r）T-u- Ss（1+（1- α） r）T-s、 s<u.（3.1）对于初始资本为零的任何自我融资策略（η，N），由N唯一确定的清算价值ηT可以写为v（N）：=ηT=T-1Xs=0TXu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u.（3.2）对于价格过程，而不是S，eXs，uandeV（N）进行了相应的定义。在时域{0，…，t较小的市场中- 1，t+1，T}和股票价格过程b（参见定义2.9），这些数量读取bxs，u：=hbSu- α（bSu-bSs）i（1+（1- α） r）T-u-1（u≤t型-1)-bSs（1+（1- α） r）T-s-1（s）≤t型-1），s，u 6=t，s<u，（3.3）和bv（N）：=t-1Xs=0，s6=tTXu=s+1，u6=t，u6=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+（Ns，t-1.- Ns，t+1）bXs，t+1. （3.4）命题2.11的证明。Ad（i）：假设（St）t=0，。。。，t不满足（NA）和lett：=最小{u∈ {1，…，T}| P（Ns，l=0）=1的所有l的套利（η，N）≥ u} 。这意味着t是最小的数字u，因此清算时间为u的模型，即所有股票头寸必须清算到时间u，允许套利。让我们证明在t.W.l.o.g.P（St-1=0，St>0）=0，因为否则（RLNA）不适用于定义。我们考虑作用于时域{0，…，t-1，t+1。

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2022-6-8 17:52:17

，T}并由BSU定义：=Su（u≤t型-1). （2.4）中的对应关系与{0，…，t}上允许套利的s一致。因此，仍需证明定义2.9中模型中的BS满意度（NA）。由S≥ 0和r>0，一个有bxs，u≤ (1 + (1 - α） r）-1Xs，u∧（t-1）对于所有s≤ t型- 2，u 6=t，bXt-1，u≤ 0表示所有u≥ t+1和bxs，所有s的u=0≥ t+1。对于市场中的每个策略N，这意味着bv（N）=t-1Xs=0TXu=s+1，u6=t，u6=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+（Ns，t-1.- Ns，t+1）bXs，t+1≤1 + (1 - α） r“t-2Xs=0吨-2Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u+t-2Xs=0Ns，t-2Xs，t-1#，（3.5）使用该Ns，T=0。（3.5）的RHS可以通过价格过程S和清算时间t在市场中生成- 但是，根据t的最小值，如果必须在t之前清算股票头寸，S不允许套利-因此，（3.5）意味着（NA）forbS，我们完成了。Ad（ii）：有待展示”<=”. 当然，对于α=0，在无摩擦市场中，（2.2）降低到标准的自我融资条件。假设S在某个时间段t内不满足（RLNA）∈ {1，…，T}。如果P（St-1=0，St>0）>0，S允许套利，我们完成了。因此，我们可以假设存在满足（NA）的过程，但（2.4）中的对应允许套利。由于α=0，因此存在一些u∈ {1，…，T}这样ES允许在周期u中进行一个周期的套利，即在u之间- 1和u（参见F¨ollmer和Schied[10]中命题5.11的证明，该命题在一些资产的卖空约束下也成立）。根据定义2.9中的模型构造∈ {1，…，T}\\{T}，在u中的单期套利会导致在BS中的单期套利（注意，对于u=T+1，单期套利会导致在T- 消除周期为t的模型中的1和t+1。对于这一模型，需要Ns，t-1在带有BS的模型中仅可测量Ft）。

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2022-6-8 17:52:19

但是，由于满足条件（NA），因此u=t，S也允许t的单期套利。定理2.12的证明。LetbS是定义2.9的模型中满足（NA）的任意非负适应价格过程，时域{0，…，t- 1，t+1，T}和leteS是（2.4）中定义的作用于{0，…，T}的相关过程。我们观察到P英国夏令时-1=0，某些u的bSu>0∈ {t+1，…，t}= 0。（3.6）此外，在整个证明过程中，我们在时域{0，…，T}上的市场中确定了策略N。我们必须证明，N不能是套利，即eS也不能满足（NA）。步骤1：定义：=nbSt-1=0度∪PSt公司- St公司-第一个-1.≤ (1 - α） r | Ft-1.= 1..让我们首先表明，在{0，…，t上的市场中存在一种战略- 1，t+1，T}（参见定义2.9），即BNS，u=Ns，UF或所有s≤ u≤ t型- 2和BV（bN）≥1 + (1 - α） B上的版次（N）∪（t-1Xs=0Ns，t-1=0）P-a.s.，（3.7），其中bv和v分别定义为（3.4）和（3.2）。我们定义（bNs，美国）≤u、 s，u6=tbybNs，u：=Ns，u，s≤ t型- 2，u 6=t- 10亿，吨-1： =Ns、t、s≤ t型- 20个NT-1，t-1： =Nt-1，t+1+（1- α） rStSt公司-1Nt，tbNt-1，u：=Nt-1，u+1+（1- α） rStSt公司-1Nt、u、u≥ t+1十亿，u：=1+（1- α） rStSt公司-1Ns，美国≥ t+1。注意BNS，t-1必须是Ft可测量的。bNt公司-1，t-1是按价格B购买的股票数量-1，即“t之间- 时间域较小的模型中为1和t+1“。这些购买必须模仿以最高价购买的金额-1并在具有较大时域的模型中。在setnPt上-1s=0Ns，t-1=0，市场中的股票头寸完全清算- 1，且在t时未购买新股- 1.（2.1）得出在这个集合上一个hasNs，所有s的u=0≤ t型- 1，u≥ t型- 1，因此，eV（N）减小到v（N）=t-2Xs=0吨-1Xu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u+T-1Xs=tTXu=s+1（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u。

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2022-6-8 17:52:23

（3.8）通过构造BN，在上述集合上，一个具有BNS，所有s的u=0≤ t型- 2，u≥ t型- 1，bNt-1，t-1=1/(1 + (1 - α） r）St/St-1Nt、t和BNT-1，u=1/（1+（1- α） r）St/St-1Nt、UF或所有u≥ t+1。这产生了与（3.8）类似的简化：bV（bN）=t-2Xs=0吨-1Xu=s+1（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u+TXu=t+11+（1- α） rStSt公司-1（Nt，u-1.- Nt，u）bXt-1，u+T-1Xs=t+1xU=s+1（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u.（3.9）用于s≤ t型- 2，u≤ t型- 1，一个有BNS，u-1.-bNs，u=Ns，u-1.- Ns，u，bXs，u=eXs，u/（1+（1- α） r），因此（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u=（Ns，u-1.- Ns，u）eXs，u/（1+（1- α） r）。另一方面，BN在{t上的子市场中产生相同的收益- 1，t+1，t+2，T}作为N在子市场{T，T+1，T+2，…，T}上直到前因子1/（1+（1- α） r）。由于两个增益在集合{St=0}上都消失了，我们只需在集合{St>0}上检查这个断言，它与{St]重合-1> 假设为0，St>0}。对于s≥ t+1，u>s，我们有BNS，u-1.-bNs，u=1/（1+（1- α） r）St/St-1（Ns，u-1.- Ns，u），bXs，u=St-1/STEX，u，因此（bNs，u-1.-bNs，u）bXs，u=1/（1+（1-α） r）（Ns，u-1.-Ns，u）eXs，u。此外，一个hasbXt-1，u=St-1/SteXt，u。将（3.8）和（3.9）中的“对应”总和加在一起，等于前因子1/（1+（1- α） r），这意味着（3.7）满足《不扩散核武器条约》的平等要求-1s=0Ns，t-1=0度。现在，我们分析B的收益，这当然是有趣的部分。没有假设-1s=0Ns，t-1=0，需要估计gainseXs，uwith s≤ t型- 1安图≥ t、我们得到了，u=h（1- α） eSu+αeSsi（1+（1- α） r）T-u-eSs（1+（1- α） r）T-s≤h（1- α)(1 + (1 - α） r）bSu+αbSsi（1+（1- α） r）T-u-bSs（1+（1- α） r）T-s≤ (1 + (1 - α） r）h（1- α） bSu+αbSsi（1+（1- α） r）T-u-bSs（1+（1- α） r）T-s-1.= (1 + (1 - α） r）bXs，向上-B，s上的a.s≤ t型- 1，u≥ t+1，（3.10），其中对于集合{bSt）上的估计-1=0}我们使用{bSt-1= 0} {bSu=0，eSu=0}，P-a.s.by（3.6）和ofeS的构造。

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2022-6-8 17:52:26

在相同的估计下，它遵循x，t≤h（1- α)(1 + (1 - α） r）英国夏令时-1+αbSsi（1+（1- α） r）T-t型-bSs（1+（1- α） r）T-s≤ (1 + (1 - α） r）bXs，t-1P-B、s上的a.s≤ t型- 2（3.11）及以下-1，t≤ 0 P-a.s.在B.（3.12）上，不假设PT-1s=0Ns，t-1=0，（3.8）和（3.9）的RHSs仍然与前因子1/（1+（1）重合- α） r），但会出现额外的summandst-1Xs=0TXu=t（Ns，u-1.- Ns、u）eXs、u（3.13）和T-1Xs=0TXu=t+1（Ns，u-1.- Ns，u）bXs，u+t-2Xs=0（Ns，t-1.- Ns，t）bXs，t-1（3.14）foreV（N）和BV（bN）。由（3.10）和（3.11）可知，（3.14）中的每个求和都支配着（3.13）中的“对应”求和，直到前因子1/（1+（1- α） r）在集合B上。总结（Nt-1，t-1.- Nt公司-1，t）外部-1，tin（3.13）是左边的，但到（3.12）时，它在B上是非正的，我们得到（3.7）。这意味着如果t期的税前股票回报率肯定不超过（1- α） r，投资者总是希望消除周期t。请注意，冲销意味着她可以在不投资于t期的情况下延期纳税，并且她不需要支付t期债务的利息。步骤2：定义：=nbSt-1> 0o个∩St公司-1> 0，PSt公司- St公司-第一个-1<κt，t | Ft-1.> 0.注意，根据（2.6）和约定0/0：=0，我们得到{St-1= 0} B、因此，我们通过假设（2.7）得到∪ B） =1。（3.15）在B上，以下分解起着至关重要的作用。对于s≤ t型- 1，u≥ t、我们将eXs、uin分解为四部分：在t清算股票时的收益- 1、在时间t购回股票后的收益，即在时间t之前递延应计收益税所产生的财富- 1到时间u，以及在时间u征税的期间t中的利润。形式上，分解也定义为s<u和s>t- 1或u<t，但随后退化，即，Is，u=Is，u=0。

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2022-6-8 17:52:28

分解readsexs，u=Is，u+Is，u+Is，u+Is，u，其中，u：=h（1- α）伊苏大学∧（t-1） +αeSs∧（t-1） i（1+（1- α） r）T-u∧（t-1)-字母S∧（t-1)(1 + (1 - α） r）T-s∧（t-1），Is，u：=h（1- α）伊苏大学∨t+αeSs∨ti（1+（1- α） r）T-u∨t型-字母S∨t（1+（1- α） r）T-s∨t、 Is，u：=αheSu∧（t-1)-字母S∧（t-1） ih（1+（1- α） r）T-u∧（t-1)- (1 + (1 - α） r）T-ui，Is，u：=0表示s>t- 1或u<t，否则，u：=eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1) (1 + (1 - α） r）T-u、是的≥ 0，我们有，即，u+Is，u（3.16）≤ αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- (1 + (1 - α） r）T-ui+eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1) (1 + (1 - α） r）T-ufor所有s≤ t型- 1，u≥ t、拜厄斯特≥ 0，则（3.16）的RHS在u=T时达到最大值，这意味着，u+是，u（3.17）≤ 一： =αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- 1 I+eSt（1+（1- α） r）T-t型-美国东部时间-1(1 + (1 - α） r）T-（t-1)- α（eSt-美国东部时间-1)≤ αeSt-1h（1+（1- α） r）T-（t-1)- 1i+eSt-1h（1+κt，t）（1+（1- α） r）T-t型- (1 + (1 - α） r）T-（t-1)- ακt，Ti<0开英国夏令时-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t对于s≤ t型- 1，u≥ t、（3.17）可被视为证据的关键估计。这意味着在事件B上∈ 英尺-1、存在一种风险，即t期的亏损占t期递延税款的主要利益。该估计值在s期同时成立∈ {0，…，t- 1} 和u∈ {t，…，t}。现在定义为：=X（s，u），s<u（Ns，u-1.- Ns，u）是，ui，i=1，2，3，4。终端财富EV（N）由EV（N）=V+V+V+V给出。首先注意，Vis Ft-1可测量，可通过将其写成V=Xs，s<t-1.Xu，u>s，u<t-1（Ns，u-1.- Ns，u）Is，u+Ns，t-2Is，t-1..我们还考虑w：=X（s，u），s≤t型-1，u≥t（Ns，u-1.- Ns，u）I=IXs，s≤t型-1Ns，t-1、根据（3.17），一个有W≥ V+V在任何地方，与V+V相比，W是Ft可测量的。步骤3：现在，我们准备一个案例差异以完成证明。定义：=不适用∈ 英尺-1| {0，…，t上的bN- 1，t+1，T}使得（3.18）bNs，u=Ns，uP-a.s。

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2022-6-8 17:52:32

s≤ u≤ t型- 2和P（bV（bN）≥ 0 |英尺-1） =1在P-A.s.o上，MN：=nA∈ 英尺-1| eN在{0，…，T}上，这样Ens，u=Ns，uP-a.s。s≤ u≤ t型- 2和P（eV（eN）≥ 0 |英尺-1） =1在P-A.s.o上，cMN：=esssupcMN（即1cMN=Esssup1a | A∈cMN}），和MN：=esssup MN（3.19），当然，函数族{1A | A的基本上确界∈cMN}是{0，1}值，允许定义（3.19），参见[13]中的备注1.14。让我们证明（3.19）中的suprema已实现，即cMN∈cMN（3.20）（当然，MN也是如此，尽管不需要）。实际上，根据教授上确界的一般性质，存在一个序列（An）n∈NC确认∪n∈NAn=cMNP-a.s（参见[13]中的备注1.14）。LeteN（n）是对应的策略，其中en（n）s，u=Ns，uP-a.s.用于所有s≤ u≤ t型- 2和P（eV（eN（n））≥ 0 |英尺-1） =1在AnP-a.s上。现在，我们将这些策略粘贴到definingens，u:=Ns，ufor u中≤ t型- 2，eNs，u：=P∞n=1An \\（A∪...∪一-1） N（N）s，u或u≥ t型- 1（当然还有s≤ u）。这将产生（3.20）。setcMN∈ 英尺-1是指战略在t之前- 1“可延伸至市场中的误入歧途{0，…，t- 1，t+1，T}这不会造成损失。在无套利摩擦的市场中，这一条件相当于t时清算价值的非负性- 但是，由于税收延期，随着时间的推移，负的清算价值肯定会变为正。注意，在（3.18）中，一个有u≤ t型- 2和非u≤ t型- 1、这意味着给定信息Ft-1，在时间t交易- 1可以与n不同，例如，所有股票头寸都可以在t清算- 1、来自（3.7）和B∈ 英尺-1，如下所示mn∩ BcMN公司∩ BP-a.s.（3.21）现在，我们区分了四种可能重叠的情况，但包括了（3.15）中的所有情况，表明N不可能是套利。案例1：PB∩nPt-1s=0Ns，t-1> 0o个= 通过（3.15），一个有PB∪nPt-1s=0Ns，t-1=0度= 1.

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2022-6-8 17:52:37

然后，到（3.7），市场中存在anbN{0，…，t- 1，t+1，T}带P（bV（bN）≥eV（N）/（1+（1- α） r））=1。自市场{0，…，t- 1，t+1，T}满意度（NA），N不能是套利。案例2：PB∩nPt-1s=0Ns，t-1> 0o个> 0和P（cMN）=1。到（3.20），存在BNS的anbN，u=Ns，uP-所有s的a.s≤ u≤ t型- 2和P（bV（bN）≥0) = 1. 如果事件{V>0}∈ 英尺-1有正概率，由BNS定义的策略B，u：=Ns，ufor u≤ t型- 2和BNS，u：=1{V≤0}bNs，ufor u≥ t型- 1将是套利，因为bv（bN）=1{V>0}V+1{V≤0}bV（bN）。因此，由于市场{0，…，t-1，t+1，假设T}是无套利的，我们必须有P（V≤ 0) = 1. 由{Pt-1s=0Ns，t-1> 0} ∈ 英尺-1和（3.17），一个0<Pt-1Xs=0Ns，t-1> 0，英国夏令时-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t！≤ P（W＜0）。（3.22）自{W<0}∈ Ft，随机增益1{W<0}vc也可以在价格过程（bSu）u=t的子市场中生成-1，t+1，t+2，。。。，T、在这种情况下，最初的购买只需进行Ft测量。由于该子市场是无套利的，（3.22）意味着P（W+V<0）>0和thusP（eV（N）<0）>0。案例3：P((Ohm \\cMN）∩ B） >0。通过选择BNS，u：=Ns，ufor u≤ t型- 2和BNS，u：=0表示u≥ t型- 1，可以看出{V≥ 0} ∈cMN。因此Ohm \\cMN公司 {V<0}P-a.s.和P（{V<0}）∩ B） >0。这与{V<0}一起∈ 英尺-1 and（3.17）表示0<PV<0，bSt-1> 0，St-1> 0，St- St公司-第一个-1<κt，t≤ P（V<0，W≤ 0).然后，再次通过V+W的Ft可测性和子市场价格过程（bSu）u=t的无套利性-1，t+1，t+2，。。。，T、一个到达P（V+W+V<0）>0和thusP（eV（N）<0）>0。案例4：P((Ohm \\cMN）∩ B） >0。根据（3.21），一个具有P(Ohm \\ MN）>0。另一方面，通过MN的最大值，我们可以Ohm\\明尼苏达州 {P（eV（N）<0 | Ft-1） >0}P-a.s.综合起来，我们得出P（eV（N）<0）>0。命题2.15的证明。

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2022-6-8 17:52:41

假设（2.6）和（2.9）保持不变。步骤1：定义为：={St≤ (1 + (1 - α） r）St-1.t=s+1，T}。让我们通过s=T中的反向归纳来证明P（As | Fs）>0 P-a.s.（3.23）-1，T-2.0.对于s=T- 1，断言已包含在（2.9）中。ss- 1：我们有-1=As∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1}. 让C∈ Fs公司-1当P（C）>0时。通过（2.9），这意味着p（C∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1} ）=EEC{Ss≤(1+(1-α） r）不锈钢-1} | Fs-1.= E（1CP（Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1 | Fs-1)) > 0. （3.24）连同C∩ {Ss≤ (1 + (1 - α） r）不锈钢-1} ∈ F和归纳假设，（3.24）意味着P（C∩ 像-1） =E（1C∩{Ss≤(1+(1-α） r）不锈钢-1} P（As | Fs））>0，我们完成了。设s<t。在s满足时购买的股票在t时的清算价值- α（St- Ss）≤ Ss（1+（1- α） r）t-s- α(1 + (1 - α） r）t-s- 1.不锈钢≤ Ss（1+（1- α） r）t-s- α(1 - α） rSs和thusXs，t≤ -α(1 - α） rSs（1+（1- α） r）T-As上的t<0∩ {Ss>0}对于所有t≥ s+1，（3.25），其中X在（3.1）中定义。另一方面，通过（2.6），对于所有t，在{Ss=0}P-a.s上，一个hasXs，t=0≥ s+1。（3.26）步骤2：现在，让N是股票中的任意策略，清算值V（N）来自（3.2）。确定停止时间τ：=inf{s≥ 0 | Ns，s>0和Ss>0}∧ T、情况1：P（τ=T）=1。要么该策略根本不交易，要么仅以消失的股价进行交易。要了解这一点，请定义τ：=inf{s≥ 0 | Ns，s>0}∧ T我们在{τ<T}上有Sτ=0，P-a.S。通过（2.6），这意味着对于所有t=τ，τ+1，…，St=0，T，P-a.s.{τ<T}。因此，Nsatis fies（Ns，u-1.- Ns，u）Xs，u=0对于所有s=0，T- 1，u=s+1，T，P-a.s.和不能豆套利。情况2：P（τ=T）<1。（3.23）表示p（A）>0，其中A：={τ<T}∩ {St≤ (1 + (1 - α） r）St-1.t=τ+1，T}。注意{τ<T} {Nτ，τ>0，Sτ>0}。通过（3.25），我们得到所有t的Xτ（ω），t（ω）<0≥ τ（ω）+1和ω∈ A.

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2022-6-8 17:52:45

加上Nτ，t-1.- Nτ，t≥ 0表示所有t≥ τ+1和ptt=τ+1（Nτ，t-1.- Nτ，t）=Nτ，τ，这意味着txt=τ（ω）+1（Nτ（ω），t-1(ω) - 对于所有ω，Nτ（ω），t（ω））Xτ（ω），t（ω）<0∈ A、（3.27）另一方面，对于s<t（Ns，t）的所有对（s，t），我们都有-1.- Ns，t）Xs，t≤ A上的0，P-A.s.（3.28）实际上，到（3.26），仍然需要考虑Ss（ω）>0的情况。如果加上Ns，t-1(ω) -Ns，t（ω）>0，然后τ（ω）≤ s和（3.28）从（3.25）开始。从（3.27）和（3.28）中，得到A上的SV（N）<0。因此，N不能是套利。4（反-）示例在示例中，我们有α∈ （0，1），F=2Ohm, 所有状态都有正概率。此外，以下简单的观察结果在许多地方证明是有用的。注4.1。（i）让R∈ R+，实数R由（1+R）（1+R）（1）给出- α） +α=[（1+R）（1- α) + α] (1 + (1 - α） r）。（4.1）那么∈ ((1 - α） r，r]，其中r=r i ffr=0，对于每一个r>r，（1+r）（1+r）（1+r）（1- α) + α >（1+R）（1）- α) + α(1 + (1 - α） r）。（4.2）（ii）让n∈ Nand实数R由（1+R）（1）给出- α) + α = (1 + (1 - α） r）n.（4.3）那么，存在一个∈ R+带（1+R）（1+R）（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）n+1，（4.4）但（1+r）（1+r）（1- α) + α > (1 + (1 - α） r）n+2。（4.5）（iii）让r∈ R+和m，m∈ N带m≤ m、我们有（1+r）m（1）的蕴涵- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m==> （1+r）m（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m.Proof。Ad（i）：从（4.1）中，可以得出'r>（1- α） r.自（4.2）和（4.1）的LHS差异为（r- R）（1+’R）（1- α），RHSs的差异由（R）给出- R）（1）-α)(1 + (1 - α） r），一个到达（4.2）。Ad（ii）：让R由（4.3）给出，并通过（4.4）中的等式定义R。这意味着（4.1）被满足。应用于Rgiven的1+R=（1+R）（1+R），断言（i）产生（4.5）。

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2022-6-8 17:52:48

评估之后，选择略小的r，使（4.5）保持不变。Ad（iii）：设m：=inf{m∈ N |（1+r）m（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m}。最终结果如下（1- α） r.我们可以假设这一点，因为否则就没有什么可显示的了。一个有（1+r）m-1（1+r）（1- α） +α=（1+r）m（1- α) + α≥ (1 + (1 - α） r）m≥（1+r）米-1(1 - α) + α(1 + (1 - α） r），这意味着对于r=（1+r）m-1.- 1（4.1）满意度中相应的“r”≤ r、（4.6）现在，我们可以通过归纳法证明（1+r）m+k（1- α) + α ≥ (1 + (1 - α） r）m+k，k∈ N、这就完成了证明。假设断言适用于某些k∈ N、我们推导出（1+r）m+k+1（1- α） +α=（1+r）m+k（1+r）（1- α) + α≥ （1+r）m+k（1+r）（1- α） +α>h（1+r）m+k（1- α） +αi（1+（1- α） r）≥ (1 + (1 - α） r）m+k+1。这里，第一个不等式由（4.6）确定，第二个由（i）部分确定，适用于R=（1+R）m-1.- 1和R=（1+R）m+k- 第三个是归纳假设。注4.1考虑了以下经济解释。考虑一个未实现账面利润与税前价值之间的比率为R/（1+R）的股票头寸。那么，（4.1）中的数字r是下一阶段的最小确定性回报，因此值得再持有一段时间，而不是立即清算。对于R>R，比率R/（1+R）大于R/（1+R），并且下一期股票收益的上述盈亏平衡点降低。本节的第一个示例是关于边界κ<r大于κt，Tfrom（2.8）s.tP（（St- St公司-1） /圣-1<κ|英尺-1） >0 P-a.s.，但t中的（RLNA）不成立。这意味着损失的风险大于-κSt-1这并不意味着t期的多头头寸不可能引发套利。例4.2（关于κt，t的最大值）。

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大多数88

2022-6-8 17:52:51

让t，t∈ N带2≤ t型≤ T- 1和Ohm = {ω, ω}.结果ω在时间t显示，即Fu={, Ohm} 对于u≤ t型- 1和Fu=2Ohm对于u≥ t、设κ为满足κ>（1）的边界- α)(1 + (1 - α） r）T- α[(1 + (1 - α） r）t-1.- α] [(1 + (1 - α） r）T-t型- α]- （4.7）（4.7）的RHS倾向于κt，t，t→ ∞ 和T- 固定。下面，我们用P（（St- St公司-1） /圣-1<κ|英尺-1） >0，但S不满足t中的（RLNA）。我们假设St（ω）=St-1（ω）（1+r）和St（ω）=St-1（ω）（1+r），参数Sr<rTh仍需规定。要证明S在t中不满足（RLNA），必须找到一个满足模型定义2.9中的（NA）的过程，其中时域{0，…，t- 1，t+1，T}使得（2.4）中的对应项允许套利。WeconsiderbSu（ω）：=（1+r）u：u≤ t型- 1（1+r）t-1（1+r）u-t： u型≥ t+1，ω=ω（1+r）t-1： u型≥ t+1，ω=ω，其中参数r，r>0也尚未规定。相关过程readseSu（ω）=（1+r）u：u≤ t型- 1（1+r）t-1（1+r）（1+r）u-t： u型≥ t、 ω=ω（1+r）t-1（1+r）：u≥ t、 ω=ω在下文中，我们陈述了四个条件，从中我们可以证明，通过适当选择参数r、r、r和r，可以同时满足这些条件。随后，我们表明，BS Satifies（NA）andeS允许在以下条件下进行套利：（1+r）t-1(1 - α) + α < (1 + (1 - α） r）t-1 t以下无套利- 1，（4.8）（1+r）T-t（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）T-揭示ω后无套利，（4.9）（1+r）t-1（1+r）（1+r）T-t（1- α) + α> (1 + (1 - α） r）t如果ω出现，则按买入0卖出t进行预测，（4.10）和（1+r）t-1（1+r）（1- α) + α> (1 + (1 - α） r）如果出现ω，则通过买入0卖出t。

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2022-6-8 17:52:54

（4.11）根据（4.7），存在一个r<κ和（1+r）(1 + (1 - α） r）t-1.- α(1 + (1 - α） r）T-t型- α> (1 - α)(1 + (1 - α） r）T- α.（4.12）固定这样的r，可以找到（4.8）、（4.9）和（4.10）同时保持的rand rsuch。事实上，如果分别通过（4.8）和（4.9）中的等式定义兰德，那么（4.10）将只是（4.12）的重新表述。现在，人们选择兰德公司，但规模稍小的标准普尔（4.10）仍然成立。在这些参数已经指定后，由r>-1，可以选择足够大的（4.11）值。将不等式（4.8）-（4.11）放在一起可以同时满足。让我们展示一下这一点（NA）。我们考虑（3.3）中定义的收益。根据（4.8）和注释4.1（iii），一个具有（1+r）n（1- α) + α < (1 + (1 - α） r）n，n∈ N带N≤ t型- 1.（4.13）由于股票的收益在t之后的{ω}上消失- 1，我们得到bxs，u（ω）=h（1+r）u∧（t-1)-s∧（t-1)(1 - α) + α - (1 + (1 - α） r）u-s-1（s）≤t型-1<u）i×（1+（1- α） r）T-u-1（u≤t型-1） <0，s，u 6=t，s<u，（4.14），其中不等式来自（4.13）。另一方面，通过（4.9）和注释4.1（iii），我们得到了bxs，u（ω）=（1+r）u-s∨t（1- α) + α - (1 + (1 - α） r）u-s∨t型× (1 + (1 - α） r）T-u<0，t- 1.≤ 现在，让N是市场{0，…，t中的任意策略-1，t+1，T}带BV（N）≥ 0，参见（3.4）。从（4.14）可以看出，Ns，u-1(ω) - Ns，u（ω）=0表示所有s<u，因此Ns，s（ω）=PTu=s+1（Ns，u-1(ω) - Ns，u（ω））=0。自Ft起-2很简单，这意味着Ns，s=0表示所有≤ t型- 2、此外，对于所有s，Ns，s=0≥ t型- 1乘（4.15）/（4.14）。因此，（3.4）中的bV（N）消失，BS满足（NA）。另一方面，在具有价格过程的模型中，策略，u（ω）=1（ω=ω，s=0，u≤T-1） +1（ω=ω，s=0，u≤t型-1），导致v（N）=eX0，T{ω}+eX0，T{ω}，是一种套利。即，一个haseX0，T（ω）>0和x0，T（ω）>0分别乘以（4.10）和（4.11）。

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