主要的一点是Kummer函数取一个很小的值，然后常数C（1）j，i，C（2）j，应该是大的来补偿，反之亦然。解决这一问题需要高精度的算法，更重要的是，在Kummer函数的一系列表示中采用许多术语，这会显著降低该方法的总体性能。另一方面，为了消除这些问题，我们可以从一开始就考虑小参数的存在，寻找方程（53）的渐近解。Itkin和Lipton（2018）成功阐述了这一方法，下面我们以类似的精神继续进行。8.1. 小型aWe可以直接使用自变量x（因此不切换到变量z）构建等式（54）的解。我们将其表示为小参数a上的一个系列，即V（x）=∞Xi=0aiVi（x）。（72）在零级近似中，通过将公式（72）插入公式（54）并忽略与 1我们得到V（x）的以下方程式- bVxx（x）+bxVx（x）+bV（x）=c.（73）该方程比公式（66）简单。尽管如此，它的解是由一个通用公式v（x）=Cy（x）+Cy（x）+I（x）给出的，但基本解y（x），y（x）现在就绪（x）=H-bb，rb2bx！，y（x）=Mb2b，，b2bx,其中H（a，x），a，x∈ R是广义Hermite多项式Ha（x），Abramowitz和Stegun（1964）。8.2. 小| z |根据z=（b+ax）b/a的定义，这可能发生在两种情况下：要么在走向空间的某个特定间隔| a | |bx |，| a | |b |，或者只是z很小，所以带A的符号是相反的。在任何情况下，我们在高阶导数下有一个小参数。该方程属于Wasow（1987）提出的奇摄动微分方程类。可以使用Nayfeh（2000）提出的匹配渐近展开法或Vasil\'eva等人（1995）提出的边界函数法来求解。

Itkin和Lipton（2018）在类似情况下使用了后者，因此，有关更多详细信息，请读者参阅该论文。然而，我们可以通过使用原始变量x构造等式（53）的解来部分消除这一点。然后，我们必须考虑各种情况，其中一些其他参数组合可以小或大，而不是小参数z。但如果是这样，作为原始自变量x函数的一般解可以表示为新小参数上的正则级数。然后，截断序列，得到一个简化的解决方案。为了使其更透明，让我们用变量x表示等式（53）的通解，而不是用z表示，因为这是在等式（55）V（x）=C（1）j，iy（x）+C（2）j，iy（x）+I（x），（74）yi（x）=ak（b+ax kVi中完成的-1.-bb+bba，2-bba、ba（b+ax）, i=1，2。k=1-工商管理学士。观察，这基于bin公式（50）b的定义≈ （r）-q）T，通常很小。因此，小z并不意味着w一定小。下面我们考虑两种情况。8.2.1. w 1As | z | 1和w 1我们有w |a/b |。所以a≥√b、 在这种情况下，w 1是一个实际的小参数。因此，通解式（74）可以在小w上展开为级数。条件0<w 1表示A和B的符号相反。如果a>0（因此b<0），则在零级近似下，我们得到（w）=（aw）k-1.Γ(-k） Γ（b/b）aw+O（w）-文学士1.-kΓ（k- 1） bΓ（k+b/b1）（abb- baw）+O（w），y（w）=（aw）k-1.aw+O（w）. （75）当b>0时，我们有k- 1 > 0.如果a<0且b>0，则等式（75）中的两个RHS应乘以系数exp(-2iπbb/a）。8.2.2. 一 |bw |在这种情况下，我们还可以将等式（74）中的解展开为小z上的级数，以获得（z）=Γ（1+q- q） [Γ（1- q）- qΓ(-q） z]+z-qΓ（q- 1） Γ（q）z+O（z）+ O（z），（76）y（w）=1+qqz+O（z）。注意，根据定义q=bb/a，总的来说，系数q也很小。但z/q=1+ax/b=w/b=O（1）。9

数值试验在我们的数值试验中，我们使用与Itkin（2015）中相同的数据集；Itkin和Lipton（2018）。首先，比较所有这些模型的性能和质量。此外，我们已经知道，这些微笑很难精确地表达出来，参见Itkin（2015）中的讨论；Itkin和Lipton（2018）。为了提醒您，我们从http://www.optionseducation.org2014年3月25日，XLF在NYSEArca交易。该指数的现货价格为S=22.64，r=0.0148，q=0.01。表2,3给出了期权隐含波动率（Icall、Iput）。我们采用所有OTM报价和一些ITM报价，这些报价与ATM非常接近。当为呼叫和PutsConcide罢工时，我们取Icaland Iput的平均值，权重与1成比例- ||坎德1- ||预测，其中c减持期权买入和卖出Delta。我们已经提到，在我们的模型中，每个术语在正负单位vj、Nj和vj为0时的微笑斜率都是自由参数。交易员往往对这些价值有直觉。然而，在我们的数值实验中，我们只取一些看似合理的值。更详细地说，对于公式（50）中定义的归一化方差v（x），对于所有笑容，我们使用vj，0=-0.1，vj，nj=0.1。因此，对于瞬时方差σ（x）=2Sv（x）/pj，零和正单位处的斜率都是时间相关的，可以使用上述公式计算。当根据市场数据校准模型时，我们使用标准的Matlab fsolve函数，并使用“信赖域狗腿”算法（请参阅Matlab fsolve文档）。必须仔细选择参数“TypicalX”，以加速计算。通过这样做，我们确实考虑到了Ahoniemi（2009）中报告的影响，他指出，根据相同行使的看涨期权和看跌期权价格计算的IVs并不一致，尽管它们在理论上应该相等。

我们的权重是根据纯粹的经验法则选择的，需要对这种影响进行更详细的调查。图5给出了逐项校准的结果。此处，每个子图对应一个到期日T（在图例中标记），并显示市场数据（离散点）和计算值（实线）。可以看出，这种简单的局部校准算法为所有术语提供了非常精确的fit。图5：使用表中的整套数据构建的市场看跌期权价格的逐项拟合。2,3.我们构建的校准算法足够聪明，可以根据每次迭代时的参数值来决定在该迭代中应该使用哪个特定解（完全解或渐近解）。我们还观察到，在校准这些市场微笑时，该算法使用了所有的完全解和渐近解。表4给出了我们算法的一些性能度量。可以看出，延迟时间取决于收敛到给定公差所需的迭代次数和功能评估（我们使用相对公差ε=10-4). 这又取决于评估的Kummer函数的数量（对于完整解），或指数函数和Gamma函数的数量（对于渐近解）。当然，渐近解的计算速度要快得多，值得注意的是，在Itkin和Lipton（2018）的最后一个子地块中，在X=-0.5，其中X=对数K/F，F=Se（r-q） 因此，校准典型项的平均时间小于1秒。最后一学期8 inTab。4校准速度慢有两个原因：i）根据参数值使用完整解决方案，以及2）敲击次数高于其他术语。但主要原因是这一时期的市场数据非常不规则。

在任何情况下，该模型的性能都比Itkin（2015）和Itkin and Lipton（2018）的报告要好得多。术语T，年流逝时间，秒迭代函数评估罢工1 0.0274 0.86 97 1202 62 0.0466 2.83 97 1808 93 0.0685 1.43 95 1200 64 0.1452 0.64 48 433 85 0.2411 0.90 37 470 126 0.3178 2.98 82 1523 127 0.7397 6.60 106 3017 158 0.8164 149.67 56 1317 21表4：所述实验中算法的性能特征。图6中逐项给出了通过该拟合获得的局部方差曲线。相应的局部方差曲面如图7b所示，通过将该曲面与Itkin和Lipton（2018）中给出的曲面进行比较，可以注意到该形状非常不同，而对于校准，我们使用相同的市场微笑。这是因为在Itkinand Lipton（2018）中，使用了标准的局部波动率模型，其中基础价格遵循年龄计量布朗运动，配备了瞬时局部波动率函数，而在本文中，模型截然不同。为了观察更规则的曲面，我们继续使用Balamaman（2016）的另一个示例。本文给出了标准普尔500指数的隐含波动率面，并利用杜皮尔公式构造了局部波动率面。在我们的测试中，我们获取了Balaraman（2016）中给出的前12个到期日和所有罢工的数据，并应用我们的模型校准局部方差面，如上所述。进行此操作时，我们设置vj，0=-0.3，vj，nj=0.1表示所有笑容。校准结果如图8、9、10所示。通过构造，我们的曲面保持无套利，而对于Balaraman（2016）中的方法，他们必须解决一些额外的问题。在表5中，我们展示了本实验中我们算法的性能。

可以看出，此处经过的时间与表4中所示的先前测试相似或更短。正如Balaraman（2016）所述，本地波动率面的正确定价需要无套利隐含波动率面。如果输入隐含波动率曲面不是无套利的，这可能导致负转移概率和/或负局部波动率，并可能导致错误定价。图6：瞬时局部方差σ（x，T）的逐项拟合。术语T，年经过时间，sec迭代函数评估删除1 0.0822 1.09 99 1604 82 0.1671 0.56 40 377 83 0.2521 2.32 94 1615 84 0.3315 1.70 97 1186 85 0.4164 0.10 15 64 86 0.4986 2.35 111 1600 87 0.5836 2.40 111 1584 88 0.6658 2.25 131 1604 89 0.7507 1.51 95 1072 810 0.8356 2.30 98 1603 811 0.9178 0.07 13 46 812 1.0027 72.80 74 795 8表5：校准算法的性能特征的S&P500表面。图7：使用所提出的方法构造的瞬时局部方差面σ（x，T）。图8：利用巴拉曼（2016）的数据构建的市场标普500看跌期权价格的逐项拟合。图9：标准普尔500指数瞬时局部方差σ（x，T）的逐项拟合。图10：使用拟定方法构建的标准普尔500指数的瞬时局部方差面σ（x，T）。结论在本文中，我们提出了Carrand Nadtochiy（2017）局部方差Gamma模型的扩展版本，我们称之为扩展局部方差Gamma模型，或ELVG。与LVG模型相比，本文介绍了两个主要的改进。首先，我们将漂移添加到治理基础流程中。事实证明，这是一个相对较小（乍一看）的改进，需要一个有趣的技巧来保持模型的可跟踪性，这是一个非平凡的时间变化。

我们表明，在这个新模型中，仍然可以推导出期权价格的普通微分方程，该方程在标准局部波动模型中起到了Dupire方程的作用。与LVG模型相比，本文的第二个新颖之处在于，与Carrand Nadtochiy（2017）相比，我们认为局部方差是罢工的分段线性函数，而Carr和Nadtochiy（2017）认为局部方差是分段常数。我们遵循Itkin和Lipton（2018）的精神，描述了无套利插值，然后根据超几何和广义超几何函数构造了ODE的闭式解。这种方法的一个重要优点是，根据市场微笑对模型进行校准不需要解决任何优化问题，可以通过为每个成熟度求解非线性代数方程组来逐项完成，这通常要快得多，特别是因为我们提供了一种构建智能初始猜测的算法。我们还提供了各种渐近解，在相应情况下（即，当模型参数在某些迭代中遵守应用相应渐近解的条件时），可以显著加速数值解并提高其精度。原则上，有人可能会声称，用genericsolver解决非线性方程组与解决非线性优化问题没有太大区别。显然，当我们将ourODE用作Dupire方程的替代品时，不同之处在于，基于Dupire方程的校准要求在每次迭代时通过数值或半解析方式使用拉普拉斯变换求解该偏微分方程，这显然较慢。

正如导言中所述，存在许多其他校准算法，这些算法可简化为非线性优化问题（例如，采用大量局部波动性函数的参数族，并选择提供最佳观测价格的参数）。对于后一种情况，目标函数的计算速度很快，但优化必须受到约束以保持无套利，因此速度很慢。在我们的数值测试中，我们使用了与Itkin（2015）相同的市场数据；Itkin和Lipton（2018）。测试结果从速度和准确性两个角度证明了拟议方法的稳健性，尤其是在上述论文在实现完美测试方面遇到一些困难的情况下。对Balaraman（2016）提供的标准普尔500指数数据进行的额外测试得出了相同的结论。参考Abramowitz，M.，Stegun，I.，1964年。数学函数手册。多佛出版公司，股份有限公司.Ahoniemi，K.，2009年。建模和预测隐含波动率。博士论文。赫尔辛基经济学院。Balamaman，G.，2016年。使用QuantLib Python对波动率Smile和Heston模型校准进行建模。可用位置：http://gouthamanbalaraman.com/blog/volatility-smile-heston-model-calibration-quantlib-python.html.Bochner，S.，1949年。《扩散方程和随机过程》，摘自《美国国家科学院院刊》，第368-370页。Carr，P.，Nadtochiy，S.，2014年。局部方差gamma和期权价格的显式校准。可用位置：https://arxiv.org/abs/1308.2326.Carr，P.，Nadtochiy，S.，2017年。局部方差Gamma和期权价格的显式校准。数学金融27，151–193。Coleman，T.、Kim，Y.、Li，Y.、Verma，A.，2001年。具有确定性局部波动率函数模型的动态套期保值。《风险杂志》4，63–89。Cox，J.，Rubinstein，M.，1985年。期权市场。普伦蒂斯大厅。Derman，E.，Kani，I.，1994年。

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