扩展的局部方差Gamma模型

2022-6-8 18:17:29

通常，通过可处理性参数，相应的局部方差在对数走向空间中是分段常数，Lipton和Sepp（2011），或分段线性Itkin和Lipton（2018），在成熟时间空间中是分段常数。为了提高校准的计算效率，Carr和Nadtochiy（2017）采取了一个重要步骤，其中引入了局部方差Gamma（LVG）模型（第一个版本指2014年，可在Carr和Nadtochiy（2014）中找到）。该模型假设基础期货价格的风险中性过程是一个纯跳马尔可夫鞅，并且欧式期权价格是在连续的罢工和一个或多个到期日下给出的。作者构造了一个满足单个微笑的时间齐次过程和一个满足多个微笑的分段时间齐次过程。然而，与eg、Itkin和Lipton（2018）相比，他们的构造导致的不是偏微分方程，而是部分微分方程（PDDE），它允许显式校准和快速数值评估。特别是，它不需要应用任何优化方法，而只需要根解算器。在Carr和Nadtochiy（2017）中，该模型用于校准局部波动率表面，假设其在走向空间中的分段恒定结构。对这种校准方法的潜在批评之一是，由此产生的局部波动率函数具有一定数量的不连续性。因此，有利于放松表面的分段恒定行为。这类似于Itkin和Lipton（2018）的开发方式，以克服与Lipton和Sepp（2011）相同的问题。通过这种方式，最近Falck和Deryabin（2017）将LVG模型应用于外汇期权市场，通常期权价格只在五次罢工时报价。

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2022-6-8 18:17:32

他们假设局部波动率函数在四个内走向子区间中是连续的、分段线性的，在外走向子区间中是恒常的。在Carr和NadtochiyBut中导出的PDDE的闭合形式解，但仅当使用的分析或数值方法不保留套利时。这包括各种插值等。但是，请参见Itkin和Lipton（2018）中关于其假设的评论。（2014），并提供了一些波动率微笑的校准。然而，为了校准模型，作者使用最小二乘法依赖于残差最小化。所以，尽管使用了LVG模型的改进版本，但该方法的计算效率并不完美。Carr和Nadtochiy（2017）的另一个评论是关于假设标的风险中性价格过程为鞅的限制，即等式（1）中的主要驱动过程没有漂移。然而，漂移可能不容忽视。如果漂移是确定性的，例如，当利率和股息是确定性的，并且漂移是它们的确定性函数时，可以通过贴现将校准问题减少到无漂移的情况，但这种假设可能与市场不一致。因此，非常需要对所提出的模型进行扩展，以允许非零随机漂移。尤其值得一提的是，将LVG模型扩展为一个风险中性的价格过程，该过程是通过漂移效应的随机时间变化获得的。这样，与Madan et al.（1998）的局部方差Gamma模型类似，我们引入了随机波动率和随机漂移。有鉴于此，我们在本文中的最终目标如下。首先，我们提出了LVG模型的扩展版本，将漂移添加到控制底层流程中。

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2022-6-8 18:17:35

事实证明，要继续进行，我们需要重新推导和思考Carr和Nadtochiy（2017）提出的建设中的每一步。我们表明，仍然可以找到期权价格的普通微分方程（ODE），该方程在标准局部波动率模型中起着杜皮尔方程的作用，以及如何在这种情况下校准多重微笑（整个局部波动率表面）。此外，假设局部方差是走向的分段线性函数和时间的分段常数函数，我们根据一致超几何函数以闭合形式求解该常微分方程。将模型校准到市场微笑不需要解决任何优化问题。相反，它可以通过为每个成熟度求解非线性代数方程组来逐项完成，因此速度要快得多。论文的其余部分组织如下。在第2节中，建立了扩展的局部方差Gammamodel。在第3节中，我们使用齐次Bochner从属方法推导了看跌期权价格的远期方程（这是一个普通的微分方程（ODE））。第4节通过考虑局部方差为分段康斯坦丁时间，对该方法进行了推广。在第5节中，导出的ODE的闭合形式解是根据反超几何函数给出的。下一节讨论需要无套利插值的ODE源项的计算。利用Itkin和Lipton（2018）的思想，我们展示了如何构造非线性插值，该插值既能提供无套利，又能提供源项的良好易处理表示，从而可以以闭合形式计算源项中的所有积分。第7节详细讨论了模型中多重微笑的校准。

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2022-6-8 18:17:39

为了校准单一微笑，我们推导了模型参数的非线性代数方程组，并解释了如何对其初始值进行智能猜测。在第8节中，我们推导了模型参数极值处的ourODE渐近解，从而提高了计算精度和数值解的速度。第9节介绍了一些数值实验的结果，其中模型的标定是按给定的市场微笑逐项进行的。最后一节结束。2、在可能的情况下，我们遵循Carr和Nadtochiy（2017）的注释。设WT为时间指数为t的Q标准布朗运动≥ 0、将随机过程Dt视为时间齐次微分Dt=uDtdt+σ（Dt）dWt，（1）其中波动函数σ是局部的、时间齐次的，u是确定性的。如果σ（D）：R，则存在等式（1）的唯一解→ R在D中是Lipschitz连续的，在单位中满足生长条件。根据式（1），我们有Dt∈ (-∞, ∞) 而t∈ [0, ∞). 由于CED是一个时间齐次马尔可夫过程，其最小生成元a由aφ（D）给出≡uDD+σ（D）Dφ（D）（2）对于所有二次可微函数φ。在这里xis是x上的一阶微分算子。D过程的半群是Dtφ（Dt）=etAφ（Dt）=EQ[φ（Dt）| D=D]，t型≥ 0。（3）根据方差伽马模型的精神，Madan和Seneta（1990）；Madan等人（1998年），与Carr和Nadtochiy（2017年）相似，引入了一种新的过程DΓt，该过程由无偏伽马时钟t所从属≥ 0 isQ{t∈ dν}=νm-1e级-νm/t（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ 电汇/电汇*. （4）这里是t*> 0是过程的自由参数，Γ（x）是Gamma函数。很容易检查eq[Γt]=t.（5），因此，平均而言，随机伽马时钟Γ与日历时间t同步。对于期权定价问题，我们引入了更复杂的构造。

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2022-6-8 18:17:43

也就是说，考虑在基本过程St上写下的期权。在不丧失一般性的情况下，为了清晰起见，让我们将下面的STA视为股价过程。在这里，与Carr和Nadtochiy（2017）相比，我们不忽略利率r和连续股息q，假设它们是确定性的（下面为了简单起见，我们将它们视为常数，但这可以很轻松）。然后，让我们确定Statsst=DΓX（t），X（t）=1- e-（r）-q） tr公司- q、（6）很明显，在极限r→ 0，q→ 0我们有X（t）=t，即在该极限下，我们的构造与Carr和Nadtochiy（2017）中的构造一致，他们考虑了无漂移差异，并假设t=DΓt。也基于等式（5）等式[X（t）]=X（t）。（7）函数X（t）从零开始，即X（0）=0，是时间t的连续递增函数。实际上，如果r- q>0，则X（t）在t上的t中增加∈ [0, ∞), 和at t→ ∞ 它趋于恒定。在有限的时间范围内实际上并不重要，但对于任何有限的时间，t函数X（t）可以被视为t中的递增函数。如果r- q<0，函数X（t）严格递增t型∈ [0, ∞).因此，X（t）具有良好时钟的所有特性。因此，ΓX（t）具有随机时间的所有属性。在风险中性度量Q下，以无风险利率贴现后的总收益过程，包括基础价格升值和股息，应为鞅，见Shreve（1992）。该过程遵循以下随机微分方程de-rtSteqt= e（q-r） t[（q- r） Stdt+dSt]。（8）对我们得到的两部分进行期望e（q-r） tSt公司] = e（q-r） t{（q- r）等式【St】dt+dEQ【St】}。（9）从式（6）中可以观察到，式（1）式[dSt]=式[dDΓX（t）]=u式[DΓX（t）DΓX（t）]+式[σ（DΓX（t））dWΓX（t）]=u式[DΓX（t）]，（10），因为过程是局部鞅，见Revuz和Yor（1999），第6章。

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2022-6-8 18:17:46

因此，过程WΓX（t）从WΓt继承该属性，因此等式[σ（DΓX（t））dWΓX（t）]=0。进一步假设伽马过程Γ独立于Wt（因此，ΓX（t）独立于WΓX（t））。然后，可以通过对ΓX（t）的初始条件进行计算，然后通过将t替换为X（t），对ΓX（t）的分布进行积分，从而计算公式（10）中RHS的期望值，即公式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]=Z∞等式[DΓX（t）DΓX（t）|ΓX（t）=ν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）（11）=Z∞等式[Dν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ X（t）/t*.我们考虑式（1）得出的最终等式[Dν]=式[dDν]=式[uDνDν+σ（Dν）DνdWν]=uEQ[Dν]Dν。（12）对于y（ν）=EQ[Dν| Ds]求解该方程，我们得到EQ[Dν| Ds]=Dseu（ν-s）。由于时间s上的we条件，这意味着Ds=DΓX（s）=Ss，因此EQ[Dν| Ds]=Sseu（ν-s）。此外，我们将其代入式（11），设置伽马分布的参数t*打赌*= X（t）（so m=1）并积分以获得dEq[St | Ss]=EQ[dSt | Ss]=uEQ[DΓX（t）DΓX（t）]=Sse-su1- uX（t）。（13）现在设置m=r- q并求解该方程，我们发现q[St | Ss]=Ss（r- q） e（q-r）（s）-t）。（14）将式（14）和式（13）代入式（9），得到de-rtSteqt= 因此，如果我们选择u=r-q、等式（8）的右手部分消失了，考虑非零利率和连续股息的贴现股票过程变成了鞅。因此，建议的构造可用于期权定价。这种设置可以很容易地推广到与时间相关的利率r（t）和连续股息q（t）。我们把它留给读者。下一步是考虑原始流程和时变流程之间的联系。Bochner（1949）指出，过程GΓtde定义为dgt=σ（G）dw是一个时间齐次马尔可夫过程。

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大多数88

2022-6-8 18:17:51

由于确定性过程ut也是时间齐次的，等式（1）中定义的整个过程dt也是时间齐次的马尔可夫过程。因此，半群TStof Stand TDtof DΓX（t）通过Bochner积分tstu（S）=Z连接∞TDνU（S）Q{ΓX（t）∈ dν}，t型≥ 0，（15），其中U（S）是TDT和TSt域中的函数。它可以通过利用D过程的时间均匀性，首先以伽马时间为条件，并考虑Γ和Wt的独立性（或者在我们的例子中为ΓX（t）和WΓX（t））来推导。我们设置参数t*伽马时钟的*= X（t）。然后等式（15）和等式（4）implyTStU（S）=Z∞TDνU（S）e-ν/X（t）X（t）dν。（16）为了简洁起见，在下面的内容中，我们将此模型称为扩展局部方差gamma模型，或ELVG。3、看跌期权价格的远期方程如下Carr和Nadtochiy（2017）所述，我们解释了估值时间t=0的欧洲债权的半群TSTA的指数t，即成熟日期t。也让测试函数U（S）作为该欧洲主张的结果，即U（ST）=e-rT（K- ST）+。（17）然后，定义（S，T，K）=TSTU（S）（18）为ELVG模型中T=0时到期日为T的欧洲看跌期权价值。类似地，Pd（S，ν，K）=TDνU（S）（19）将是式（1）模型中t=0时到期日为ν的欧洲看跌期权价值。然后，式（16）中的Bochner积分的形式为p（S，T，K）=Z∞PD（S，ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T）。（20）因此，P（S，X（T），K）由PD（S，ν，K）的拉普拉斯-卡森变换表示，P是该变换的参数。注意p（S，0，K）=PD（S，0，K）=U（S）。（21）要继续，我们需要模拟PD（S，ν，K）的Dupire前向PDE。3.1.

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mingdashike22

2022-6-8 18:17:54

Dupire forward PDED的推导尽管可以通过多种不同的方式进行，但为了兼容性，我们遵循Carr和Nadtochiy（2017）的精神进行推导。首先，用ν区分等式（19），并考虑等式（3）的产量νPD（S，ν，K）=e-rνeνA【A】- r] U（S）=e-rνEQ[A- r] 美国。（22）我们考虑了式（2）中发电机A的定义，并提醒在t=0时，我们有D=S。然后式（22）转换为νPD（S，ν，K）=-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）+e-rνEQσ（S）SU（S）. （23）然而，我们需要使用一对自变量（ν，K）表示正向方程，而等式（22）是根据（ν，S）推导的。要做到这一点，请注意-rνEQσ（S）SU（S）= e-rνEQσ（S）δ（K- S）= e-rνEQσ（K）δ（K- S）（24）=e-rνEQσ（K）KU（S）= σ（K）KPD（S，ν，K）。下面为了简单起见，我们将下标“0”放在S中，其中Dirac delta函数δ（S）的筛选性质- K）已使用。而且-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）（25）=e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） S（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S）+- （r）- q）（K）- S）（K）- S）+S+（r- q） K级（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q）（K）- S）+- （r）- q） K级（K）- S）+K= -qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）。因此，使用公式（24）和公式（25），可以将公式（22）转换为νPD（S，ν，K）=-qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）≡ AKPD（S，ν，K），（26）AKPD=-q- （r）- q） K级K+σ（K）KK、该方程与杜皮尔方程非常相似，具有非零利率和连续股息，参见Ekstrom和Tysk（2012）及其参考文献。请注意，AKis还支持atime均质生成器。3.2. 正向部分微分方程最后一步是将式（26）中定义的线性微分算子应用于式（20）的两部分。

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大多数88

2022-6-8 18:17:57

利用Dtand的时间均匀性，再次利用Dupire方程公式（26），我们得到-qP（S、T、K）-（r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KP（S，T，K）（27）=Z∞体育课-pν-qPD（S，ν，K）-（r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KPD（S，ν，K）dν=Z∞体育课-pννPD（S，ν，K）dν=-pPD（S，0，K）+pZ∞PD（S，ν，K）pe-pνdν=pP（S、T、K）- PD（S，0，K）= p[p（S，T，K）- P（S，0，K）]，其中在最后一行中考虑了等式（21）。因此，最终P（S，T，K）解决了以下问题-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KP（S，T，K）（28）=P（S，T，K）- P（S，0，K）X（T），P（S，0，K）=（K- S） +。当r=q=0时，该方程转化为Carr和Nadtochiy（2017）中的相应方程。与属于偏微分方程类的杜皮尔方程相比，等式（28）是一个常微分方程，或者更准确地说，是一个偏微分方程（PDDE），因为右手部分的时间导数现在被一个分微分所取代。以颂歌的形式写着σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（T）P（S，T，K）=-P（S，0，K）X（T）。（29）对于本文稍后讨论的某些特定形式的局部波动函数σ（K），可以解析地求解该方程。同样，对于看涨期权价格C（S，T，K），也可以用同样的方法推导出一个类似的方程，其读数为σ（K）K+（r- q） K级K-q+X（T）iC（S，T，K）=-C（S，0，K）X（T），C（S，0，K）=（S- K） +。（30）求解式（29）或式（30）提供了确定σ（K）的方法，给出了到期日为T的看涨期权和看跌期权的市场报价。然而，这只允许校准单个术语。如果公式（29）和公式（30）可以推广到这种情况，则原则上可以逐项校准整个局部挥发性表面（因为时间均匀性假设）。我们将在下一节中考虑这一点。4.

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2022-6-8 18:18:00

局部方差分段时间常数为了解决多重微笑的校准问题，我们需要放松关于等式（1）中定义的过程数据的时间同质性的一些假设。这包括以下更详细描述的几个步骤。4.1. 局部方差这里我们假设局部方差σ（Dt）不再是时间齐次的，而是时间σ（Dt，t）的一个分段常数函数。让T，T，TMbe方差率σ（Dt）确定性跳跃的时间点。换句话说，在间隔t∈ [T，T），方差率为σ（Dt），T∈ [T，T）是σ（Dt），等等。这也可以表示为σ（Dt，T）=MXi=0σi（Dt）wi（T），（31）wi（T）≡ 1吨-Ti公司- 1吨-Ti+1，i=0，M、 T=0，TM+1=∞, 1x=（1，x≥ 00，x<0。注意，Mxi=0wi（t）=1t- 1吨-∞= 1.t型≥ 因此，如果所有σi（Dt）都相等，即独立于指数i，则公式（31）将减少到前面章节中考虑的情况。需要注意的是，我们的构造意味着波动率σ（Dt）在日历时间T，T，…，随着时间的变化而跳跃，TM，而不是在伽马时钟确定的营业时间ν。否则，波动率函数将在随机（业务）时间发生变化，这意味着它是随机的。但这完全超出了我们模型的范围。因此，我们需要将公式（31）更改为σ（DΓX（t），ΓX（t））=MXi=0σi（Dt）(R)wi（公式（ΓX（t）），（32）(R)wi（t）=1X-1（t）-Ti公司- 1台-1（t）-Ti+1，i=0，M、 X个-1（t）=q- rlog[1- （r）- q） t）]。（33）因此，当使用公式（6）时，我们有σ（Dt，t）t=ΓX（t）=MXi=0σi（Dt）(R)wi（X（t））=MXi=0σi（Dt）wi（t）。（34）因此，如果日历时间t属于间隔t≤ t<t，半群TDν的最小生成元是σ（Dt）的函数（而不是σ（Dν））。截至T≤ t<t我们假设σ（D）=σ（D），即时间常数，它不依赖于ν。

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大多数88

2022-6-8 18:18:03

因此，A（在此时间间隔内，我们将其表示为A）仍然是时间均匀的。类似地，我们可以看到，对于T≤ t<t半群TDν的最小生成元ao也是时间齐次的，并且取决于σ（D）等4.2。Bochner从属关系我们从公式（18）和公式（19）的定义开始。现在，我们在ELVG模型中确定了评估时间T=X（T）时到期日为T的欧洲看跌期权价值p（S，T+T，K）=TST[e-rTP（S、T、K）]。（35）很明显，我们对T的值很感兴趣，T=T- T、同样，我们定义了评估时间T=T时到期日为ν的欧式看跌期权价值。公式（1）asPD（S，T+ν，K）=TDν[e-rνP（S，T，K）]。（36）根据这些定义P（S、T+T、K）T=0=PD（S，T+ν，K）ν=0=P（S，T，K）]。与公式（20）相比，如果t>时出现多次微笑，我们需要将公式（16）中的定义从t 7更改为t→ X（t）总计7→ X（T+T）- X（T）≡ x（T，T）。（37）这一定义意味着两个观察结果。首先，功能x（T，T）在T=0时从零开始，是时间的递增函数。同样，如果r=q=0，我们有x（T，T）=T。因此，x（T，T）可以用作一个好的时钟。因此，与式（5）类似，我们有式[Γx（T，T）]=x（T，T）。（38）其次，在我们的模型中，第2节给出的折扣股票价格是鞅的证明可以重复t次：t<t≤ T、进行此操作时，在T>Twe时，重置SttoST+T=DΓ的定义x（T，T），T≥ 0。那么，我们现在得到的不是公式（10），而是公式[dST+t]=公式[dDΓx（T，T）]=uEQ[DΓx（T，T）dΓx（T，T）]+等式[σ（DΓ）x（T，T））dWΓx（T，T）]（39）=uEQ[DΓx（T，T）]dx（T，T）=uEQ[DΓx（T，T）]dX（T+T）。另一方面，等式[de（q-r）（T+T）ST+T] = e（q-r）（T+T）{（q- r）等式[ST+t]dt+dEQ[ST+t]}（40）=e（q-r） t[u+（q- r） STe公司-（r）-q） T]dtOne可以检查u=r时- q等式的RHS。

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可人4

2022-6-8 18:18:07

（40）消失，因此该构造可用于期权定价。式（37）中的定义意味着伽马随机时钟的参数t在点t重置，即在0≤ t型≤ Tit为t 7→ X（t）=X（t）- X（0），当T<T时≤ 第七题→ X（T+T）- X（T）。使用公式（31）中wi（t）的定义，这可以写成ast 7→MXi=0wi（Ti+t）[X（Ti+t）- X（Ti）]（41）重置t也是Carr和Nadtochiy（2017）首次提出的，但形式不同。然后，式（16）中的Bochner积分将toTSTP（S，T，K）=Z变换∞TDνP（S，T+ν，K）νm-1e级-νm/X（T，T）（T*)mΓ（m）dν。（42）由于可处理性的原因，我们仍然希望m≡ X（T，T）/T*= 1、我们需要重新定义*根据公式（41）。基于此，式（20）中的Bochner积分现在最终为sp（S，T+T，K）=Z∞PD（S，T+ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T，T）。(43)4.3. 第二项的正向偏分微分方程现在，我们需要推导第二项的正向偏分微分方程，类似于第3.2节中的方法。显然，卖出价格PD（S，T+ν，K）解出了相同的Dupire方程（26）。因此，按照与第3.2节相同的方式，我们将式（26）中定义的线性微分算子L应用于式（43）的两部分。利用间隔[T，T]处dt的时间均匀性和Dupire方程式（26），我们得到-qP（S、T+T、K）- （r）- q） K级KP（S，T+T，K）+σ（K）KP（S，T+T，K）=Z∞体育课-pνh- qPD（S，T+ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，T+ν，K）（44）+σ（K）KPD（S，T+ν，K）idν=Z∞体育课-pννPD（S，T+ν，K）dν=-pPD（S、T、K）+pZ∞PD（S，T+ν，K）pe-pνdν=pP（S，T+T，K）- PD（S、T、K）= p[p（S，T+T，K）- P（S、T、K）]。最后，取T=T- 我们获得卖出价格P（S、T、K）的ODE。σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（T）- X（T）P（S，T，K）=-P（S，T，K）X（T）- X（T）。

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2022-6-8 18:18:11

（45）这里的局部方差函数σ（K）=σ（K），因为它对应于求解上述ODE的区间（T，T）。我们继续以相同的方式推导出卖出价格P（S，Ti，K），i=1，M、最终显示σ（K）K- （r）- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1)P（S，Ti，K）=-P（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1). （46）这是一个递归方程，可用于所有i=1，M从i=1开始，受一些边界条件的约束。看跌期权价格的自然边界条件为，Hull（1997）P（S，Ti，K）=0，K→ 0，P（S，Ti，K）=DiK- 合格中介机构≈ 迪克，K→ ∞,（47）其中Di=e-Rtis是折扣系数，Qi=e-qTi。对于看涨期权价格，可以得到一个类似的方程式，其内容如下σ（K）K+（r- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1)C（S，Ti，K）=-C（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1），（48）根据边界条件c（S，Ti，K）=QiS，K→ 0，C（S，Ti，K）=0，K→ ∞.(49)5. 下面ODE公式（46）的解决方案，我们使用类似于Itkin和Lipton（2018）的方法，假设局部方差为走向的分段线性连续函数。与Itkin和Lipton（2018）相比，本文使用的是ELVG模型，而不是标准的局部波动率模型。因此，与偏微分（Dupire）方程不同，我们面临的问题是求解等式（46）中的ODE。首先，将因变量从P（S，Tj，K）更改为v（S，Tj，K）=P（S，Tj，K）是有用的- DjK，即所谓的有盖看跌期权。

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mingdashike22

2022-6-8 18:18:15

覆盖看跌期权的优点在于，根据公式（47），其价格服从齐次边界条件。利用这一定义，我们现在以更方便的形式重新编写等式（46）（同时使用一些松散的符号）- v（x）Vx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=cj，（50）b=（r- q） pj，b0，j=qpj+1，cj=V（Tj-1，x）+βx，pj=x（Tj）- X（Tj-1） >0，x=KS，V（x）=V（S，Tj，x），V（x）=pjσ（x）2S。β = -S[Dj（1+pjr）- Dj-1].在等式（50）中，x是货币的倒数。在下面的内容中，我们还假设r>q>0，但这个假设可以很容易地放宽。此外，假设对于每个到期日Tj，j∈ [1，M]市场报价在一系列罢工中提供，i=1，NJ，假设罢工按递增顺序排序。然后，区间【xi，xi+1】上相应的连续分段线性局部方差函数vj（x）读取svj，i（x）=vj，i+vj，ix，（51），其中我们使用超指数0表示v级，超指数1表示斜率v。vj中的子指数i=0，0，vj，0对应于区间（0，x）。由于vj（x）是连续的，我们有vj，i+vj，ixi+1=vj，i+1+vj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（52）vj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。我们还假设v（x，T）是时间的分段常数函数，即vj，i，vj，i不依赖于T的区间[Tj，Tj+1），j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。考虑到上述假设，可通过归纳法求解公式（50）。一个从t=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩ [1，M]解决了V（x）7的等式（50）问题→ P（S、Tj、x）- djSx。由于v（x）是一个分段线性函数，也可以为每个区间分别构造等式（50）的解【xi-1，xi）。

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2022-6-8 18:18:20

通过考虑v（x）inEq的显式表示。（51），根据公式（50），我们获得了第i个空间间隔-（b+ax）Vxx（x）+bxVx（x）+bV（x）=c（53）b=vj，i，a=vj，i。我们继续引入新的自变量z=（b+ax）b/a，z∈ R+，因此等式（53）转换为-zVzz（z）+（z- q） Vz（z）+qV（z）=χ（54）q=b/b，q=bb/a，χ=c/b。等式（54）是一个非齐次拉普拉斯方程，Polyanin和Zaitsev（2003），第155页。众所周知，如果y=y（z），y=y（z）是相应的齐次方程的两个基本解，那么方程（54）的通解可以表示为v（z）=Cy（z）+Cy（z）+bI（z）（55）I（z）=-y（z）Zy（z）f（z）W zdz+y（z）Zy（z）f（z）W zdz≡ I+I，f（z）=V（Tj-1，z）- k- kz，k=βba，k=-βab，其中W=y（y）z- y（y）zis是所谓的Wronskian，β在式（50）中定义。然后问题是确定齐次拉普拉斯方程的合适的基本解。基于Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0，他们准备好了（z）=Vi（q，q，z），i=1，2（56），这里Vi（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer\'s函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a、b、z）和U（a、b、z），它们是第一类和第二类Kummer函数。众所周知，存在多对这样的独立解。因此，对于所有可能的基本对中z的每个空间间隔，我们必须确定在该间隔内数值上令人满意的一个（关于满意解的详细定义和相应讨论，请参见Olver（1997））。

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2022-6-8 18:18:22

由于我们的边界条件设置为零且为正，因此我们需要一个数值上令人满意的实线正半解。与Itkin和Lipton（2018）相似，在原点附近，我们选择了数字合成对，Olver（1997）y（χ）=M（q，q，z）=ezM（q- q、 q，-z），（57）y（χ）=z1-qM（q- q+1，2- q、 z）=z1-qezM（1- q、 2- q-z），W=sin（πq）z-qez/π。然而，在整体附近，数值上令人满意的一对是，Olver（1997）y（χ）=U（q，q，z）=z1-qU（q- q+1，2- q、 z），（58）y（χ）=ezU（q- q、 q，-z） =ezz1-qU（1- q、 2- q-z），W=(-1） q-qezz公司-q、由于两个解J（q，q，z），J（q，q，z）是独立的，等式（55）是q的通解。(54). 应根据函数V（z）的边界条件确定两个常数C，C。走向K空间（或x空间）中ODE公式（53）的边界条件应设置为零和完整。基于局部方差曲线的通常形状及其正性，forx→ 0，我们期望vj，i<0。类似地，对于x→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个极限之间，假设给定到期日Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的，参见Itkin（2015）和其中的参考文献。此外，通过定义z=vj，i和Dom（z）=R+。因此，在高走向a=vj时，i>0。因此，公式（54）的边界条件应设置为z=b（对应于边界K=0）和z→ ∞. 这些是等式（47）中给出的边界条件。源项的计算公式（55）中源项pIin的计算可以通过几种方式实现。最前沿的方法是使用数值积分作为卖出价格P（x，Ti-1）当我们求解T=Ti的等式（50）时，作为xis的函数已经知道。

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2022-6-8 18:18:27

然而，正如Itkinand Lipton（2018）中详细讨论的那样，函数P（x，Ti-1）只知道x中的一组离散点。因此，需要某种插值来确定其他点的值。6.1. 无套利插值如Itkin和Lipton（2018）所示，该插值必须保持无套利。因此，例如，标准线性插值不是一个好的候选，因为它违反了无套利条件。事实上，给定三次行权K<K<K的三个看跌期权价格P（K），P（K），P（K），无套利系统的必要和有效条件为，Cox和Rubinstein（1985）P（K）>0，P（K）<P（K），（59）Bs=（K- K） P（K）- （K）- K） P（K）+（K- K） P（K）>0。假设我们想要在区间[K，K]的行权空间中使用线性插值，以确定未知的看跌期权价格P（K），给出P（K），P（K），P（K）的值≡ Pl（K）=P（K）K- P（K）KK- K+P（K）- P（K）K- KK。将此表达式插入公式（59）的第二行时，后者的左手侧消失，因此违反了第三个无套利条件。在Itkin和Lipton（2018）中，我们发现，如果我们使用线性插值（linearinterpolation）和修改后的自变量（进一步将其表示为PF（K）），P（K），这个问题就可以得到解决≡ PF（K）（60）=P（K）f（K）- P（K）f（K）f（K）- f（K）+P（K）- P（K）f（K）- f（K）f（K），其中f（K）是[K，K]中的凸增函数。实际上，如果f（K）是凸的，那么p（K）=PF（K）=Pl（K）- ε、 ε>0（参见Itkin和Lipton（2018）中的图2）。将该表达式代入式（59）的第二行，得到（K- K） ε>0，这是真的。等式（59）中的第二个条件现在为（P（K）- P（K））（f（K）- f（K））（f（K）- f（K））>0，这也是正确的，因为f（K）是K的递增函数。或者，可以使用非线性插值。

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2022-6-8 18:18:30

在Itkin和Lipton（2018））中，这两种方法都被合并，并且证明了新的插值方案不存在套利。此外，修改后的认沽价格的最终表示形式（这是其方法中的因变量）获得了一个很好的易于处理的表示形式，因此可以以封闭形式计算积分Ican。在这里，我们希望利用相同的想法，从而与数值积分相比，显著提高我们模型的性能。因此，这里我们提出以下插值模式ep（x）≡ PF（x）=γ+γx，x≤ x个≤ x、（61）γ=P（x）x- P（x）xx- x、 γ=P（x）- P（x）x- x、然后可以证明类似于Itkin和Lipton（2018）的命题。提案6.1。等式（61）中的插值方案在区间[K，K]是无套利的。证明观察到，等式（59）中的无套利条件是条件sp>0，PK>0，PK，K>0的离散版本，它们依次对应于条件sp>0，Px>0，Px，x>0，x（K）=1/S>0。通过区分公式（61）的第一行，可以检查提议的干扰是否符合这些条件，前提是P是K（或x）的递增函数，假设所有其他参数的值为常数。例如，黑人学者就是这样。由于定义z是x的线性函数，因此可以在zspace中使用类似的插值方案，并提供类似的无套利证明。6.2. 连续区间无套利命题6.1保证，如果任何三次罢工属于同一区间[K，K]，则建议的插值不会在解决方案中引入套利。然而，如果我们考虑K，K，Kas，这是图。

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2022-6-8 18:18:34

1.KP（K）KPoKPoKPoKPoKPoKPoKPo精确解极化图1：属于连续间隔的三个走向K、K、K。这里，在区间[K，K]处，精确解用红线表示，而我们的二次插值用蓝色表示。相应地，看跌价格P，削减了市场报价，因此它们假设为没有市场套利的准确价格。根据我们的构造，这些价格也没有模型套利。在连续间隔[K，K]处，类似的构造适用。我们必须强调，该图是纯粹的说明性图，无套利插值保证P（K）>0，而图1中的蓝线不支持这一点。然而，如果我们用上述公式画出一幅准确的图，几乎不可能区分红蓝线。因此，我们更改了蓝线的凸度和倾斜度，以使差异可见。根据命题6.1，给定一组K，K，K，插值得出的价格不存在套利。Pgiven的看跌期权价格P，Pat strikes K，K也是如此。现在假设给定K，K，Kand P，P，P，Pwe想要检查这组行权K，K，K的无套利条件。6.1命题在这种情况下没有帮助，所以我们需要对这种情况进行特别考虑。显然，在这种情况下，等式（59）中的第一和第二个条件仍然满足，因此我们需要检查黄油的扩散是否为正。不幸的是，目前我们还没有这个问题的全面分析解决方案，而一些特殊情况可以解决。因此，这仍然是一个悬而未决的问题。然而，我们在数值上检查了这个条件。在这样做的过程中，我们使用Black-Scholes Put价格P，P，Pand构建了一个Bs的2D图，它是等式（59）中第三行的左侧。表1中给出的两种情况的结果如图所示。

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可人4

2022-6-8 18:18:37

2, 3.试验S rσBST KKK1 100 0.01 0.5 2 80 100 1302 100 0.1 0.1 0.1 90 100 105表1：黄油抹布非负性试验参数。σb是Black-Scholes隐含波动率。总的来说，我们进行了大量的测试，没有发现任何一种情况下，黄油的粘性会变差。这部分支持我们的无套利插值。在更复杂的情况下，例如，在K、K、Kwe处涂抹的黄油不是strike Kin，而是使用另一个K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K<K）。同样，我们的数字测试并没有揭示任何黄油差价会变成负值的情况。6.3. 使用上文提出的插值方案计算远离z=0的公式（55）中的积分，考虑公式（55）中的第一个积分。记住，我们以一定的间隔z计算∈ [zi，zi+1]，我∈ Z∩[1，新泽西州]。

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2022-6-8 18:18:41

选择解决方案这样做是为了保持P（S，K，T，r）的看跌期权价格的上界≤ Ke公司-rT？。图2：表1中测试1中计算的一组删除线K、K、K的黄油抹布Bs。图3：表1中测试2中计算的一组删除线K、K、K的黄油抹布Bs。式（57）中，P（z，Tj）的插值方案-1）和式（57）中的Wronskian，并将其替换为式（55）中的第一个积分，我们得到zy（z）f（z，Tj-1） W zdz=Ah- B+BM(-2.- q-1.- q-z） +BM(-1.- q-q-z）（62）+BM(-q、 1个- q-z） i，A=bqπ（1- q） csc（πq），B=a（q+1）（q+2）hab（q+2）aβq- b（q+1）（βb- aγ）+ γ2aq（q+1）- 2abb（q+2）q+bb（q+1）（q+2）i、 B=2aγq（q+1）（1+q）（2+q），B=（abβ- 2bbγ+2aγz）q1+q，B=ahabaβz+abγ- βbb+ γbb型- 亚利桑那州i、相似（z）f（z，Tj-1） W zdz=‘Ah’BM（q- q、 1+q，-z） +(R)B2 2F（q- q、 1+q；q、 2+q；-z） +(R)B3 2F（q- q、 2+q；q、 3+q；-z） i，（63）A=πzqcsc（πq）Γ（q），B=Aγ- aβb+bγaΓ（1+q），b=Γ（q+1）Γ（q）Γ（2+q）b（aβ- 2bγ）z，B=Γ（q+1）Γ（q）Γ（3+q）ba（1+q）γz，其中pfq（a，…，ap；B，…，bq；z）是广义超几何函数，Olver（1997）。6.4. 计算公式（55）中远离z的积分=±∞在这里，我们以与上一节相同的方式进行操作。

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2022-6-8 18:18:45

同样，我们将等式（58）中的解与P（z，Tj）的插值方案结合在一起-1）将它们代入式（55）中的第一个积分，我们得到zy（z）f（z，Tj-1） W zdz=(-1） q-q[CJ+CJ+CJ]，（64）Ji=ZziU（1- q、 2- q-z） dz，C=bγa-βba+γ，C=aβ- 2bγb，C=aγb。众所周知，Abramowitz和Stegun（1964），thatJ=-qU公司(-q、 1个- q-z）。然后，J，jc可以使用部件积分来求yieldJ=zJ+q（1+q）U(-1.- q-q-z），J=zJ+q（2+3q+q）U(-2.- q-1.- q-z）- zq（1+q）U(-1.- q-q-z）。相似（z）f（z，Tj-1） W zdz=(-1） q-q[CJ+CJ+CJ]，（65）Ji=Zzie-zU（1+q- q、 2- q、 z）dz。Itkin和Lipton（2018）采用Ng和Geller（1970）的方法考虑了积分Ji。从那里借用结果j=Ze-zU（1+q- q、 2- q、 z）dz=-e-zU（q- q、 1个- q、 z），并使用分部积分，我们得到j=zJ+e-zU（q- q- 1.-1.- q、 z），J=zJ-ZJdz=（z- 1） J-Ze公司-zU（q- q- 1.-1.- q、 z）dz=（z- 1） J+e-zU（q- q- 2.-2.- q、 z）。6.5. 一些补充说明基于无套利插值和本节中提出的一些分析，我们设法以闭合形式找到远期方程方程（50）的解方程（55）。如果公式（51）中定义的局部方差函数是线性的，则此构造解决方案在任何区间都是无套利的。换句话说，我们证明了，如果我们考虑，假设3次打击0<K<K<K<K∞ 例如，x=K/S∈ [xi，xi+1]，x=K/S∈ [xi，xi+1]，x=K/S∈ 【xi，xi+1】，则这3点的解服从无套利条件。7.

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能者818

2022-6-8 18:18:49

局部波动率模型中给定术语的smile校准TiCalibration问题可表述如下：给定看涨期权和/或看跌期权的市场报价，对应于一组N次打击{K}：=Kj，j∈ [1，N]和相同成熟度Ti，求出局部方差函数σ（K），这样这些引号就可以解出等式Inq。（46），等式（48）。正如Itkin和Lipton（2018）所述，有两种主要方法可以解决这个问题。第一种方法试图通过使用一些参数或非参数回归来构建与市场报价匹配的连续隐含波动率（IV）曲面，然后通过局部方差和隐含方差之间的众所周知的关系生成相应的LV曲面，也称为Dupire公式，参见例如Itkin（2015）和其中的参考文献。实际上，这种构造应该保证所有的行权和到期日都没有套利，这对于任何基于插值的模型来说都是一个严峻的挑战。如果满足无套利条件，则可以使用Dupire公式计算LV曲面。第二种方法依赖于使用分析或数值方法对相应正演方程（BlackScholes世界中的Dupire方程，或我们模型中的公式（48）、公式（46））的直接解。这种方法的优点是它可以保证没有套利。然而，Coleman等人（2001年）指出，直接解的问题可能是不适定的，并且计算量相当大。在本节中，我们表明，当使用ELVG模型时，第二种方法可以显著简化，因此可以非常快速和准确地校准微笑。此外，为了确定起见，假设所有已知的市场报价都是看跌期权，尽管这很容易放松。此外，假设局部方差的形状由某个函数σj（K）=fj（K，p，…）给出。

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2022-6-8 18:18:53

，pL），其中p，PLI是一组待确定的模型参数。例如，Lipton和Sepp（2011年）；Carr和Nadtochiy（2017年）假设局部方差是罢工的分段常数函数，而在Itkin和Lipton（2018年）中，这是罢工的分段线性函数。在本文中，我们还假设局部方差是罢工的分段线性函数。此外，对于我们的模型，我们通过第5、6节给出的模型参数获得了看跌期权价格的闭合形式表示。因此，可以按如下方式提供模型到微笑给定集的校准。首先，在模型参数不变的情况下，使用上述x中固定区间的闭式解，我们构造了对所有x有效的组合解∈ R+。第二步，通过求解非线性代数方程组，可以找到局部方差函数vj，i，vj，ican的参数以及积分常数C，Cin公式（55）。7.1. x中的组合解∈ R+假设T=Tjar的卖出价因NJ有序罢工而闻名。图4中示意性地描绘了x线上这些罢工的位置。xv（x）xoBxoBxoB。xnjoBNJ图4:x中组合溶液的构造∈ R+：1（红色实线-实（未知）局部方差曲线），2（蓝色虚线）-分段线性解。回想一下，卖出价格由等式（55）给出，其在区间xi中以更方便的形式给出-1.≤ x个≤ T=tjc处的xind可以表示为asPi（x）=C（1）j，iJ（q，q，z）+C（2）j，iJ（q，q，z）+bI（z）+DjK，（66）z≡ （b+ax）b/a=（vj，i+vj，ix）b/a。这里，为了一致性，我们将属于x和j-th成熟度的i-thinterval的两个积分常数的表示法更改为C（1）j，i，C（2）j，i。对于开放区间Bin图4，因为函数Kν（z）在z时发散→ 0，我们必须把c（1）j，1=0作为边界条件。

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可人4

2022-6-8 18:18:56

因此，等式（66）仅包含一个未知的常数c（2）j，1。对于闭合间隔x∈ 【xi】-1，xi]，我∈ [2，nj]式（66）中的解有两个已知常数C（1）j，i，C（2）j，i，因为x在相应区间上是有限的，并且两个解y（x），y（x）都表现良好。最后，对于间隔x∈ [xnj，∞), 根据式（47）中的边界条件，我们必须设置C（2）2，nj+1=0。严格地说，我们还必须证明在极限x→ 0和x→ ∞ 式（55）中的源项i（z）也消失。这可以类似于Itkin和Lipton（2018）中的提案2。因此，我们有2njunknown常数需要确定。由于局部波动率函数viiscontinuous at points xi，i=1，因此，看跌期权的价格应该是P（x，Tj）。因此，我们要求在点xi，i=1。。。，nj看跌期权及其在x中的一阶导数的解应该是x的连续函数。因此，如果已知局部方差函数，则上述常数可以解出一个2njalgebraic方程组。该系统具有块对角结构，其中每个块是2x2矩阵。因此，它可以很容易地用线性复杂度O（nj）来求解。在计算一阶导数时，我们考虑了这一点，Abramowitz和Stegun（1964）M（a、b、z）z=abM（a+1，b+1，z），U（a、b、z）z=-aU（a+1，b+1，z），（67）zI（z）=y（z）y（z）I+y（z）y（z）Ia、因此，计算解的导数不会引起任何新的技术问题。7.2. 标定的其他方程式如上文所述，标定局部挥发模型的标准方法如Itkin和Lipton（2018）所述。

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2022-6-8 18:18:59

也就是说，给定成熟度tjan和局部方差参数vj，i，vj，i的一些初始猜测，我∈ [1，nj]，必须实现面板1中所述的以下步骤，例如，在标准最小二乘法中，实际上，从x开始→ 0表示z=v→ b、所以b应该是非负的，b≥ 因此，当→ x处为0→ 当b=0时为0。输入：Strokes zi，i∈ [1，nj]，卖出价格Vmarketi，i∈ [1，nj]输出：vj，i，vj，i，我∈ [1，nj]初始化：vj，i，vj，i的初始猜测，我∈ [1，nj]，公差 ;而1 do1。求解C（1）j，i，C（2）j，i的系统；2、计算看跌期权价格V（x）；3、计算总误差 =Pnji=1[V（xi）- V市场（xi）]；如果 > vj，i，vj，i的新猜测，我∈ [1，nj]；elsebreak；endendAlgorithm 1：使用最小二乘法校准局部波动率模型。这里的Vmarket（zi）是在给定的行权和到期日的市场看跌期权报价。显然，当校准参数的数量（击数）很高时，即使已知闭式解并且可以在步骤2使用，该算法也很慢。如果闭式解不可用，则必须使用步骤2的数值解，情况会变得更糟。然而，在我们的例子中，这个繁琐的算法可以完全消除。事实上，在打击空间的每一点上，我∈ [1，nj]我们有四个未知变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i。我们还有四个包含这些变量的方程，即Pi（x）| x=xi=Pi+1（x）| x=xi，（68）Pi（x）| x=xi=Pmarket（xi），Pi+1（x）x个x=xi=Pi（x）x个x=xi，vj，i+vj，ixi=vj，i+1+vj，i+1xi，i=1，新泽西州。此外，根据等式（52），等式（68）中的最后一行可以重写为循环表达式vj，i=vj，nj+njXk=i+1xk（vj，k- vj，k-1），i=0，新泽西州- 1.（69）式（68）是关于4个（nj+1）变量vj，i，vj，i，C（1）j，i，C（2）j，i的4nj非线性方程组。

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2022-6-8 18:19:03

我们提醒大家，根据边界条件C（1）j，1=C（2）j，nj=0。因此，我们需要两个附加条件来提供唯一的解决方案。例如，交易者通常对单位波动率曲面的渐近行为有了解，根据我们的构造，这是由vj，nj和vj，0决定的。总的来说，求解方程组（68）的非线性方程组提供了问题的最终解决方案。这可以通过使用标准方法来完成，因此，不需要任何优化过程。然而，良好的初始猜测仍然有助于更好（更快）的收敛。7.3. 智能初始猜测公式（66）解的初始猜测可以构造如下。我们利用了这样一个事实，即根据式（50），局部方差函数v（x）可以明确表示为v（x）=bxVx（x）+bV（x）- cVx，x（x）。（70）考虑到成熟度Tjand通过走向空间中步骤h中的二阶近似值的中心有限差来近似衍生工具（参见，例如Itkin（2017）），公式（70）可以用vj，i+vj，ixi=bxVx（xi）+b0，jV（xi）表示- cjVx，x（xi），（71）Vx（xi）=α-1V（xi-1） +αV（xi）+αV（xi+1），Vx，x（xi）=δ-1V（xi-1） +δV（xi）+δV（xi+1），α-1= -hi+1hi（hi+1+hi），α=hi+1- hihi+1hi，α=hihi+1（hi+1+hi）。δ-1=hi（hi+1+hi），δ=-hi+1hi，δ=hi+1（hi+1+hi）。hi=xi- xi-1，我∈ [1，新泽西州]。此外，将卖出价格P（S，Tj，xi）与给定的市场报价相关联，可以明确地找到等式（71）中第一行的右侧。然后可以将其与最后一行ofEq结合起来。（68）产生2（nj）的系统-1） vj，i和vj，i，i的方程∈ [1，新泽西州]。最后，我们考虑了x中波动率曲面在零和完整时的渐近行为，根据我们的构造，它由vj，nj和vj，0确定，并且假设已知。

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