方差gamma下美式期权的快速定价方法

2022-6-14 07:47:00

方差gamma模型下美式期权的快速定价方法*Ali Hirsa+摘要我们研究了方差gammamodel下美式期权的定价方法。方差gamma过程是一个纯跳跃过程，它是通过将日历时间替换为带漂移的布朗运动中的gamma时间来构造的，这使得它成为一个时变的布朗运动。一般来说，有限差分法和模拟法可用于该模型下的定价，但其速度并不令人满意。因此，需要快速但准确的近似方法。在Black Merton-Scholes模型的情况下，有一些近似方法，但它们不能用于方差gamma模型。受二次近似法的启发，我们开发了一种新的快速方法，同时通过对预计算量使用机器学习技术来减少误差。我们将我们提出的方法与现有方法的性能进行了比较，表明该方法在实际应用中是有效和准确的。关键词：方差γ；美式期权；近似方法1简介提出了基于L’evy过程的金融模型，以克服影响模型的问题，如方差gamma模型（VG，[18]，[17]）、n正态inver-segamma模型（NIG，[2]，[21]）、回火稳定过程（也称为CGMYmodel，[4]）和方差gamma标度自分解模型（VGSSD，[5]）。他们在描述资产回报的厚尾和匹配期权市场中隐含的效用面方面都做得更好。美式期权在金融市场中很重要。有许多市场有美式期权，如黄金、白银和期货期权。

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nandehutu2022

2022-6-14 07:47:03

原油它们用于做市/做市、交易、即时模型和风险管理。然而，由于提前行使，美国期权更难定价。对于Black Merton-Scholes（B-M-S）模型，[3]提出了基于二次近似的美式选项的快速近似。后来，[14]阐述了[3]的方法，以进一步减少其误差。然而，对于纯跳跃模型，这种快速近似方法并不存在。因此，大量文献对VG过程下的美国期权定价、其推广CGMY以及更一般的L\'evyProcess进行了讨论。各种有限差分方法都基于差分方程。用隐式模式离散后向部分积分微分方程（PIDE）是定价的标准方法。在[1]中，快速傅立叶变换（FFT）用于计算每个时间步中的积分。其他一些突变有[8]和[22]。除后向PIDE外，还有【11】中的前向PIDE和fr actional partial*哥伦比亚大学IEOR系，wf2232@columbia.edu+哥伦比亚大学IEOR系，ah2347@columbia.edudi【7】和【19】中的微分方程（FPDE），专门用于CGMY模型。有限差分方法准确但耗时。[6] 使用FFT对欧洲期权进行定价。[16] 在多个时间步中使用FFT对百慕大期权和其他美式期权进行定价。蒙特卡罗模拟也可用于通过Longstaff-Schwartz方法（15）对生成的样本进行美式期权定价。在[20]中，作者提出了一种伽马桥，通过模拟来加速美式期权的定价。这些方法都可以用来为美国选项定价，但它们很耗时。

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2022-6-14 07:47:05

为了执行有限差分法或FFT，我们必须将时间轴和股票价格划分为许多小区间，并计算每个网格点上的值。为了进行模拟，我们必须生成大量的样本路径。我们想找到一些新方法来提高速度，同时保持准确性。一个方向是借用文献[3]中二次近似的思想。在[9]中，作者基于这一思想提出了一种近似方法。在他们的方法中，他们首先通过定点系统找到美式期权的行使边界，然后求解近似方程。然而，近似方程引入了误差，因为它不能完全描述美国期权溢价的表面。另一种方法是学习期权价格或价格表面的一些参数，这是一种有趣的行为。t、模型中涉及的所有参数。在[12]中，作者使用DEEP神经网络学习期权价格的函数w.r.t.模型参数，但为了为其监督学习神经网络创建实验室，他们仍然需要使用模型来创建这些标签来训练他们的网络。我们的论文旨在找到一种在purejump模型下定价美式期权的新方法，该方法可以提高速度和准确性。我们将重点讨论隐式的VG模型，而它可以推广到其他纯跳跃模型。该方法综合了二次近似和核回归的优点。首先，虽然westart来自PIDE，但我们避免使用与[3]中二次近似相同的精神来处理时间步，如有限差分法。

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mingdashike22

2022-6-14 07:47:08

其次，我们在近似方程中添加了一个修正项，以减少近似步骤造成的误差。第三，我们使用核回归，这是一种非参数机器学习技术，使用预先计算的数据估计校正项。该方法不需要太多的数据，直接学习期权价格面。本文的结构如下：在第2节中，我们快速回顾了VG模型以及VG下欧洲和美国选项的定价。在第3节中，我们找到了一种简单的方法，将鞠忠法【14】应用于VG。尽管我们并不认为这种幼稚的方法是一种解决方案，但我们认为值得对其进行研究，我们的数字测试表明，这种错误可能在买卖价差内，但往往超出了它。在第4节中，我们阐述了我们的主要方法，总结了算法，并给出了一些高层次的直觉。在第5节中，我们给出了数值实验的结果，并表明主要方法在速度和误差方面都很好。在第6节中，我们总结了本文并讨论了一些可能的未来研究。2方差gamma模型b（t；θ，σ）=θt+σW（t）是具有漂移θ和波动率σ的布朗运动，其中W（t）是一维标准布朗运动。同样，设γ（t；1，ν）是平均速率为1、方差速率为ν的gammaprocess。它在长度h的间隔上具有独立的伽马增量，平均值h和方差vh。三参数方差γ过程X（t；σ，θ，ν）由X（t；σ，θ，ν）=b（γ（t；1，ν），θ，σ）定义。得到的过程是一个带漂移的时变布朗运动，其增量服从厚尾分布。VG p过程的L′evy密度由k（x）=e给出-λpxνxx>0+e-λn | x |ν| x | x<0，（1）其中λp=θσ+σν-θσ和λn=θσ+σν+θσ.

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2022-6-14 07:47:11

此外，VG过程的特征指数由φ（ξ）=-νln（1+σνξ）- iθνξ）使得ln EeiξX（t）= tφ（ξ）保持不变。方差gamma（VG）模型下股票价格的风险中性过程由S（t）=S（0）exp（（r- q） t+X（t）+ωt，（2）其中r是风险利率，q是股票的股息率，ω=vln（1-σν/2 -θν). ω的计算使得E（S（t））=Sexp（（r- q） t），这与无套利条件等价。设Θ={r，q，T，σ，ν，θ}为参数集。然后，在参数Θisp（S（T），T；K、 Θ）=e-r（T-t） Et（（K- S（T））+）。根据[17]，由（2）isp（S（0），0；K、 Θ）=K exp(-rT）ψ-dr1- cν，-αrν1- c、 γ！-S（0）扩展(-qT）ψ-dr1- cν，-（α+s）rν1- c、 γ！其中d=slnS（0）K+（r- q） T+Tvln1.- c1类- c,c=v（α+s）/2，c=vα/2，α=ξs，ξ=θ/σ，s=σ/q1+θv2σ，函数ψ根据第二类修正贝塞尔函数和两个变量的退化超几何函数定义（见[17]）。当股票价格的风险中性动态为S（t）时，根据其马尔可夫性质，美式期权的定价为p（S（t），t；K、 Θ）=支持≤τ≤TEt（e-rτ（S（τ）- K） +），其中，在股票价格S（t）产生的过滤概率空间中定义的所有停止时间τ上取上确界。对于美式看跌期权，在每t，存在一个临界股价S（t）≤ K、如果S（t）>S（t），期权的价值大于即时行使价值，最佳行动是等待，而如果S（t）≤ S（t）期权的价值与即时行使价值相同，最佳行动是行使期权。

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2022-6-14 07:47:14

在二维空间的第一象限，{（S，t）：S>S（t），0≤ t型≤ T}称为延拓区域{（S，T）：S≤ S（t），0≤ t型≤ T} 被称为运动区。3 VGWe下的一种简单定价方法提出了两种ap代理方法。第一种是一种简单的方法，它利用了鞠忠法【14】。采用巨中法对B-M-S模型下的美式期权进行定价。在这里，我们想测试B-M-S模型下的定价方法是否可以借鉴到VG模型中。步骤如下：o首先，我们计算B-M-S模型的美式和欧式期权的差异，用pσ（）代替波动率，用q代替股息- ω（）当eσ（）=Z | y时|≤yk（y）dyω（）=Z | y|≤(1 - ey）k（y）Dy其中k（x）是VG过程的L’evy d密度。美式期权的价格由居中法给出然后，我们将差异添加到VG欧洲pr ice中，以获得近似的VGAmerican pr ice。在附录A中，我们讨论了σ（）和ω（）的推导。基于实证测试，我们将设置为0.65。多亏了鞠忠法，这种方法速度非常快，但我们的经验结果表明，它并不“总是”在买卖价差内。4主要方法的开发我们需要一种比第3节中介绍的简单方法更准确的方法。因此，在本节中，我们提出并发展了VG下美式期权定价的主要思路。从第4.1节到第4.3节，我们解释了VG的偏积分微分方程（PIDE）方法的发展，包括使用二次近似加速计算和使用非参数回归减少误差。第4.4节引入了简化计算的属性。第4.5节将该方法总结为一个算法。

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mingdashike22

2022-6-14 07:47:17

第4.6节给出了该方法的一些见解，并解释了其工作原理。4.1从PI D E到OID EIt，在【13】中，欧洲期权p（S，t；K，Θ）的价格和美国期权p（S，t；K，Θ）在延续区域的价格满足此PID：Z∞-∞V（性别，t）- V（S，t）-五、S（S，t）S（ex- 1)k（x）dx+五、t（S，t）+（r- q） S五、S（S，t）- rV（S，t）=0，其中V（S，t）是价格，k（x）是方程式（1）给出的L’evy密度。通过改变变量，x=ln S，τ=T- t和w（x，τ）=V（S，t），我们得到wx（x，τ）=S五、S（S，t），wτ（x，τ）=-五、t（S，t），w（x+y，τ）=V（Sey，t），感谢郑成军一、阿米尔·奥斯科伊、阿比舍克·桑加尼和王乐天对该方法的贡献。和以下等式z∞-∞w（x+y，τ）- w（x，τ）-wx（x，τ）（ey- 1)k（y）dy-wτ（x，τ）+（r- q）wx（x，τ）- rw（x，τ）=0。（3）考虑ω=-R∞-∞（安永- 1） k（y）dy，方程可以简化为z∞-∞[w（x+y，τ）- w（x，τ）]k（y）dy-wτ（x，τ）+（r- q+ω）wx（x，τ）- rw（x，τ）=0。（4）早期行使溢价isw（x，τ；K，Θ）=P（ex，T- τ ; K、 Θ）- p（ex，T- τ ; K、 Θ），这是美式期权和欧式期权价格的差异，在连续区域x>ln（S）中满足方程（4）（T- τ）），且等于K- 前任- p（ex，T-τ; K、 Θ）在运动区域x>ln（S（T- τ)).有限差分法准确但耗时，因为该方案利用PIDE，将时间间隔划分为多个步骤，并且必须在每个时间步骤求解。加速的关键思想是摆脱时间轴，只关注最后一步。所以我们想用一个普通的积分微分方程（OIE）来近似PIDE。我们以类似于二次近似的方式近似w（x，τ），如【3】所示。

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2022-6-14 07:47:20

设w（x，τ）=h（τ）f（x，h（τ）），其中h（τ）=1- e-rτ，thenZ∞-∞[f（x+y，h（τ））- f（x，h（τ））]k（y）dy+（r- q+ω）fx（x，h（τ））-rh（τ）f（x，h（τ））- r（1- h（τ））fh（x，h（τ））=0在实践中，（1- h（τ））fh（x，h）接近0，但不完全为0。为了近似求解方程，我们省略了项r（1- h（τ））fh（x，h）。同时，我们在方程的r.h.s.上添加了一个修正项E（x；K，Θ），这意味着方程的l.h.s.不完全是0。因此我们有∞-∞[宽（x+y，T）- w（x，T）]k（y）dy+（r- q+ω）wx（x，T）-r1级- e-rTw（x，T）=E（x；K，Θ）（5）让x= ln（S）（0））是到期时的行权限制ary。保费w（x，T；K，Θ）应满足x>x时的（5）（连续区域）和w（x，T；K，Θ）=K- 前任-x上的p（ex，0；K，Θ）≤ x个（练习区域）。4.2通过参数化求解OIE在方程（5）中，E（x；K，Θ）是一个校正项。与l.h.s.上的其他项相比，它接近于0。在这一部分中，我们将其视为接近于0的任意函数，并寻求一种方法来求解任意项E（x；K，Θ）的方程（5）。我们将其留给第4.3节来确定E（x；K，Θ）的值。虽然我们得到了近似方程（5），但由于积分项的存在，我们无法显式求解它。所以我们考虑数值求解它。我们使用指数函数作为连续区域中w（x，T；K，Θ）的近似，这与[3]中近似函数的显式解一致：w（x，T；K，Θ）=K- 前任- p（ex，0；K，Θ）x≤ x个exp（λ（x- x个) + b） x>x（6）其中，w（x，T；K，Θ）设置为在x=x时连续. 这是三个参数不等式（6），但b可以通过b=log（K）计算得出- 前任- p（ex, 0; K、 Θ））。因此，近似函数中有两个独立的参数。在参数化保费w（x，T；K，Θ）之后，我们参数化E q值的l.h.s.（5）。

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2022-6-14 07:47:22

定义负（x；K，λ，x, Θ）=（r- q+ω）wx（x，T；K，Θ）-r1级- e-rTw（x，T；K，Θ）+Z∞-∞（w（x+y，T；K，Θ）- w（x，T；K，Θ））K（y）dy（7）参数化的OIDE isg（x；K，λ，x）, Θ）=E（x；K，Θ）。我们试图得到g（x；K，λ，x, Θ）接近E（x；K，Θ），在区域x>x上的每x处通过最小化损失函数w.r.t.λ和x:l（λ，x; Θ）=NXi=0（g（xi；K，λ，x, Θ) - E（xi；K，Θ））（8）我们在数值实验中选择N=6。我们也选择xi=x+2iN（ln（K）-x个) 它们是对称的w.r.t.ln（K）。选择是使等式（5）同时适用于货币内期权和货币外期权。注释x处的th< K始终持有预售期权，因此这些期权有效，与x的值无关.在我们求解参数λ和x之后使损失函数（8）最小化，即美式看跌期权isP的近似价格（ex，0；K，Θ）≈K- exx公司≤ x个p（ex，0；K，Θ）+exp（λ（x- x个) + b） x>x4.3选择修正项E（x；K，Θ）。近似值（6）给出了保费与参数λ和x之间的关系. 求解损失函数（8）给出了参数λ和x之间的关系安第斯山脉（xi；K，Θ）。如果我们能够确定Θ和E（xi；K，Θ）之间的关系，我们就可以将Θ与pr emium联系起来。我们可以通过以下方式确定E（xi；K，Θ）的值。首先，我们可以用有限差分法（实际上是任何有效的currentmethod）计算美式期权的价格，用显式表达式或FFT计算欧式期权的价格，然后得到x的真值根据有限差分法和回归ln得到的λ（P（ex，0；K，Θ）- p（ex，0；K，Θ）），x>x在x上，取斜率。那么x的值λ使近似值（6）非常接近pr emium的真值。我们可以考虑这些最佳参数。基于经验结果let x（Θ）和λ（Θ）是取决于参数Θ的最佳参数的函数。

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2022-6-14 07:47:26

然后g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）是方程式（5）的最佳l.h.s。如果我们取（xi；K，Θ）=g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ），它是最优的r.h.s.，很明显，对于最优解λ（Θ）和x，（8）的最优值为0(Θ).现在我们知道了如何选择E（xi；K，Θ），但我们已经计算了美国期权的价格，在价格之后了解E（xi；K，Θ）以实现新的定价方法是毫无意义的。因此，我们需要使用灵活的机器学习技术来学习E（xi；K，Θ）的值。为了详细说明，我们首先计算E（xi；K，Θ）=g（xi；K，λ（Θ），x的值（Θ），Θ）在Θ的参数空间中的一组网格点处的每个i。然后我们拟合G（xi；K，λ（Θ），x的曲面（Θ），Θ）对于每个i，使用非参数回归。通过回归，我们假设g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）接近连续函数w.r.t.Θ。这样我们就不必计算g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）对于每个Θ，通过这样做，我们将大大加快定价。对每个i调用回归^gi（K，Θ）的估计值，我们让E（xi；K，Θ）=损失函数（8）中的^gi（K，Θ）。通过做SO，我们在（8）中使用了一个近似最优的E（xi；K，Θ）以及解λ和x也接近最优。此外，我们可以使用类似的方法来估计λ（Θ）和x（Θ）从预先计算的数量，并将估计值作为方程（8）优化问题的初始解，以节省时间。4.4根据美国和欧洲期权的性质以及w（x，0；K，Θ）和g（x；K，λ，x）的定义，价格w.r.t.S和K的可扩展性, Θ），p（αS，0；αK，Θ）=αp（S，0；K，Θ），p（αS，0；αK，Θ）=αp（S，0；K，Θ），w（x+lnα，0；αK，Θ）=αw（x，0；K，Θ）。因此，运动边界x随ln（K）变化，因为x=inf{x:P（ex，0；K，Θ）>K- 例如}。

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nandehutu2022

2022-6-14 07:47:28

如果我们把K变成αK，那么x对x的更改+ lnα和g（x+lnα；αK，λ，x+ lnα，Θ）=αg（x；K，λ，x, Θ).λ是ln（P（ex，0；K，Θ）的斜率- p（ex，0；K，Θ）），x>x相对于x。将K改为αK后保持不变。如果t与x一起，则xim的定义为sh和ln（K）。Letx′i=x+ lnα+2iN（ln（αK））- （十）+ lnα））=xi+lnα表示当K变为αK时xi的对应关系。Theng（x′i；αK，λ，x+ lnα，Θ）=αg（xi；K，λ，x, 由于^gi（K，Θ）是g（xi；K，λ，x）的估计值, Θ），我们得到^gi（αK，Θ）=α^gi（K，Θ），因此我们不必计算g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ）对于不同的K。我们只需要一个固定的Kto来估计^gi（K，Θ），然后^gi（K，Θ）=KK^gi（K，Θ）4.5主要方法的总结。其t部分是在定价之前进行的预计算：o选择一组{j}nj=1，其中＝（r，q，t，σ，ν，θ）是参数集，通过有限差分法和FFT分别计算美国和欧洲期权P（S，0；K，Θj）和P（S，0；K，Θj）的价格≤ j≤ n和d K=1000。o获取练习边界x（j）来自有限差分法和回归Ln（P（ex，0；K，j）- p（ex，0；K，Θj）），x>x通过x获得每个Θj的斜率λ（Θj）。o计算g（xi；K，λ（Θj），x（Θj），Θj）来自方程式（7）中的1≤ j≤ n和0≤ 我≤N、 o存储数据。第二部分是定价：给定行权K，股票价格s（0），所有参数Θ=（r，q，T，σ，ν，θ）：o使用非参数回归例程从kkg（xi；K，λ（Θj），x估计^gi（K，Θ）（Θj），Θj），1≤ j≤ N、 o最小化损失函数w.r.t.λ和xl（λ，x; Θ）=NXi=0（g（xi；K，λ，x, Θ) - ^gi（K，Θ））o获取价格p（S（0），0；K、 Θ）≈K- S（0）S（0）≤ exp（x)p（S（0），0；K、 Θ）+exp（λ（log（S（0））- x个) + b） S（0）>exp（x)4.6对主要方法的见解图1显示了该方法的框架。

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何人来此

2022-6-14 07:47:32

带圆圈的数字强调了该方法中最重要的部分。首先，它将PIDE（4）转换为OIE（5），这是图1中的步骤。在这一步中，我们去掉了时间轴，它在有限差分方法中花费了大量时间。同时，我们保留了一个修正项以提高精度。其次，它将OID参数化，并将求解方程的问题转化为优化问题，如图1所示。为了求解直线上的方程，未知对象是整个实线上的函数w（x），实线是在有限维上的。然而，这一步骤提供了从美国期权溢价解到修正项（e（xi；K，Θ））Ni=0的映射，这只是一个N+1维向量。这一步基本上是尺寸控制。第三，如前所述，该方法使用非参数回归来利用预计算数据中的信息，如图1所示。其他方法将解决给定一组参数的价格问题视为单个问题。该方法将求解问题视为一组问题，将计算时间从O（M N）减少到O（N），其中M是参数化的损失函数（λ，x）的时间步长)最佳（λ，x)近似价格E（x；K，Θ）最优E（x；K，Θ）简化预计算定价路线图1：我们主要方法的框架。具有不同的参数Θ。

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2022-6-14 07:47:35

如果我们利用此方法中构建的从价格到修正项（E（xi；K，Θ））Ni=0的映射，我们可以学习函数E（xi；K，Θ）w.r.tΘ。如果我们将该方法的主要思想总结到一个较高的水平，那么该方法应该将PIDE（4）的解还原到修正项向量的低维空间中，使用非参数机器学习技术在向量空间中拟合曲面，然后增强对美式期权近似价格曲线的估计。5数值实验所考虑的参数范围为{Θ=（r，q，T，σ，ν，θ）：0≤ r、 q≤ 0.1, 0.1 ≤ T≤ 1,0.1 ≤ σ ≤ 0.4, 0.1 ≤ ν ≤ 0.6, -0.5≤ θ ≤ -0.1}我们选择S=2900，因为它接近标准普尔500指数点。我们在数值实验中比较了以下方法：o使用PIDE的有限差分方法【13】。我们使用隐式格式来求解每个时间步的价格，并使用百慕大方法来处理美式期权的早期行使。设N是ln（S）的网格点数，M是从0到T的时间网格。相比之下，我们使用两种版本的有限差分法。On称为FD FINE，N=3000，M=250。另一个称为FDRough，N=800，m=80。当网格更细时，有限差分法非常准确，可以用作比较标准。然而，这可能很耗时，因此我们希望在使用更粗的网格进行加速时，使用FDRough来测试执行有限差分方法的效率Longstaff-Schwartz方法的MC模拟【15】。模拟是定价的一般方法，Longstaff-Schwartz方法也是处理美国期权早期行使的一般方法。

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2022-6-14 07:47:38

时间步数为250，样本数为1e5简单方法使用鞠忠方法（第一种推荐方法）提议的主要方法（第二种提议的ap方法）。计算最佳参数λ（Θ）和x的网格点（Θ）然后g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ），是下列集合笛卡尔积中的点：r，q∈ {0.01、0.04、0.07、0.1}T∈ {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9, 1.1}σ ∈ {0.1, 0.2, 0.3, 0.4}ν ∈ {0.1, 0.3, 0.5}θ ∈ {-0.5, -0.3, -0.1}这里使用核回归作为非参数方法。解释变量为Θ=（r，q，T，σ，ν，θ），响应变量为（g（xi；K，λ（Θ），x（Θ），Θ））Ni=0。解释变量和响应变量的维度分别为6和N+1。在数值试验中，我们取N=6。在附录B中，我们给出了核回归的详细信息，并说明了如何选择核的参数。训练集的比率为75%。为了得到核的稳健选择，我们重复回归5次，并将核参数的平均值作为最终参数。结果如附录C中的表1-4所示。所有方法均为C语言编程，并在2.70GHz的Intel i7-6820HQ上在Matlab中进行测试。正如我们所看到的，主要方法在各种方法中实现了小误差和快速速度之间的良好平衡。第一种方法（JZ）通常是最快的，但我们的主要方法误差很小。此外，我们的主要方法比有限差分法和模拟法快得多。

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2022-6-14 07:47:40

即使我们将最终差异加速到比主要方法（FD更粗）慢10倍左右，当T≤ 0.5.当T=1时，主方法的性能不如T≤ 0.5，其原因是当T较大时，美式期权的真实溢价曲线不能用指数函数拟合，当T较小时也不能用指数函数拟合。本文提出了一种在VG模型下快速实用的美式期权定价方法。这种方法可以从两个方面来看。一方面，它用根据预先计算的数据估计的校正项来求解近似方程。另一方面，优化例程提供了从Premium曲面到校正项向量的映射，该映射位于欧几里德空间中，易于估计。映射将定价问题转化为简单的机器学习问题。对于未来的工作，许多涉及扩散和跳跃的金融模型中的期权价格可以用PDE或PIDE来描述。当我们需要该模型的快速近似方法时，主方法的相同思想可以应用于NIG、CGMY和dVGSSD。此外，该方法是一种数值定价方法。VG模型的PIDE的高精度闭式近似解仍然很吸引人。参考文献【1】A.Almendral和C。W、 Oosterlee。方差GammaProcess下的美式期权。《应用数学金融》，14（2）：131–152，2007年5月。[2] O.E.巴恩多夫-尼尔森。正态逆高斯型过程。《金融与Stoc hastics》，2（1）：41–681997年。[3] G.巴龙·阿德西和R.E.惠利。有效分析美式选择值的近似值。《金融杂志》，42（2）：301–3201987年。[4] P.Carr、H.Geman、D.B.Madan和M.Yor。资产收益的精细结构：一项实证研究。

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mingdashike22

2022-6-14 07:47:44

《商业杂志》，75（2）：305–3332002年4月。[5] P.Carr、H.Geman、D.B.Madan和M.Yor。自分解性和期权定价。《数学金融》，17（1）：31–572007年。[6] P.Carr和D.Madan。使用快速傅立叶变换进行期权估值。《计算金融杂志》，2（4）：61–731999年。[7] A.Cartea和D.del Castillo Negrete。跳跃市场中期权价格的分数差分模型。Physica A：统计力学及其应用，374（2）：749–7632007。[8] R.Cont和E.Voltchkova。跳跃扩散和指数L'evy模型中期权定价的有限差分方案。《暹罗数值分析杂志》，43（4）：1596–16262005年1月。[9] X.郭和Y.李。CGMY模型下的美式期权估值。《反垄断金融》，16（10）：1529–15392016年10月。[10] A.Hirsa。金融计算方法。CRC出版社，2016年。[11] A.Hirsa和P.Carr。为什么要落后？美式期权的远期方程式。风险，16（1）：103–107，2003年。[12] A.Hirsa、T.Karatas和O.Amir。监督深层神经网络（DNN）用于在各种不同过程下对普通/奇异期权进行定价/校准。https://arxiv.org/abs/1902.058102019。[13] A.Hirsa和D.B.Madan。方差gamma下的美式期权定价。《计算金融杂志》，7（2）：63–802004年。[14] N.Ju和R.Zhong。美式期权定价的近似公式。《衍生品杂志》，7（2）：31–401999年。[15] F.A.L on gsta OFF和E.S.Schwartz。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。《金融研究回顾》，14（1）：113–1472001。[16] 洛德（R.Lord）、方（F.Fang）、伯沃茨（F.Bervoets）和欧斯特利（C.W.Oosterlee）。一种快速准确的基于FFT的早期行使期权定价方法。暹罗科学计算杂志，30（4）：1678–17052008。[17] D.B.Madan、P.P.Carr和E。C、 Chan g.方差Gamma过程和期权定价。

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2022-6-14 07:47:46

《金融评论》，2（1）：79–105，1998年4月。[18] D.B.Madan和E.Seneta。股票市场收益的方差伽马（V.G.）模型。《商业杂志》，63（4）：5111901年1月。1990年【19】O.Marom和E.Momoniat。金融分馏扩散模型数值解的比较。非线性分析：真实世界应用，10（6）：3435–34422009年12月。[20] 里贝罗和韦伯。通过蒙特卡罗和gamma-br-idge对方差gammamodel中的路径相关期权进行估值。《计算金融杂志》，7（2）：81–1002003年。[21]T.H.里德堡。正态逆高斯-伊恩-列维过程：模拟和近似。统计通信。随机模型，13（4）：887–9101997。[22]I.Wang、J.Wan和P.Forsyth。CGMY过程下欧洲和美国期权的稳健数值估值。《计算金融杂志》，10（4）：31–692007年6月。附录A第一种拟定方法的发展本部分遵循【10】。我们可以将（3）中的积分项分为两项，即积分子| y |≤ 和| y |>。在区域| y |≤ ，w（x+y，τ）=w（x，τ）+ywx（x，τ）+ywx（x，τ）+O（y）andey=1+y+y+O（y）。使用这两种近似，我们得到z | y|≤w（x+y，τ）- w（x，τ）-wx（x，τ）（ey- 1)k（y）dy=Z | y|≤ywx（x，τ）-ywx（x，τ）+O（y）k（y）dy≈Z | y|≤ywx（x，τ）-ywx（x，τ）k（y）达因σ（）=R | y|≤是的，我们得到了∞-∞w（x+y，τ）- w（x，τ）-wx（x，τ）（ey- 1)k（y）dy≈σ()wx（x，τ）-wx（x，τ）区域| y |>，Z | y |>w（x+y，τ）- w（x，τ）-wx（x，τ）（ey- 1)k（y）dy=Z | y |>w（x+y，τ）- w（x，τ）]k（y）dy+wx（x，τ）ω（），其中w（）=R | y |>（1- ey）k（y）dy。将积分的两部分组合起来，将它们放回方程（3），得到σ（）wx（x，τ）+Z | y |>w（x+y，τ）- w（x，τ）]k（y）dy-wτ（x，τ）+（r- q+ω（）-σ())wx（x，τ）- rw（x，τ）=0。

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2022-6-14 07:47:49

（9）如果我们省略方程（9）中的积分项，我们可以得到一个B-M-S方程-wτ（x，τ）+σ（）wx（x，τ）+（r- q+ω（）-σ())wx（x，τ）- rw（x，τ）=0。它描述了波动率为pσ（）且股息为q的股票的期权价格- ω(). 因此，我们决定使用此B-M-S模型的保费来近似VG模型中的保费。B核回归核回归是一种非参数机器学习技术，用于发现一对变量x和y之间的非线性关系。x和y都可以是向量。设dx和dy为x和y的维数。假设我们收集数据x，x，xnandy，y，ynand希望在给定x的情况下找到y的合适估计值。首先，为了进行核回归，我们需要一个核函数κ（x′，x′），其中x′和x′是x空间中的两点。然后，给定x的估计值^y=f（x）是f（x）=Pni=1κ（x，xi）yiPni=1κ（x，xi）。（10）其次，我们需要选择一个合适的核函数κ（x′，x′），以获得良好的估计。高斯核通常是一个很好的选择，即κa（x′，x′）=exp(-dxXj=1aj（x′j- x′\'j）），其中aj，1≤ j≤ dx是正数，x′jand x′jare是向量x′和x′的第j个分量。有不同的方法来衡量装修的表现。一种方法是定义函数并通过优化选择参数。例如，如果y的分量是s imilar，则合理的损失函数可以定义为l（a） =nXi=1kyi- ^ySi（a）k，其中k·k是欧几里德范数，^ySi（a）=Pi∈Sκa（x，xi）一皮∈Sκa（x，xi）是y的估计，给定xind也是a的函数。S是随机选择的{1，2，…，n}的子集，用作训练集。

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2022-6-14 07:47:54

这一步骤旨在避免过度装配。通过最小化l（a），我们可以得到一个合适的核函数κa（x′，x′），用于使用方程（10）进行预测。最后，由于沙子的随机性，我们可以多次重复第二步，取a的平均值以获得稳健性。C数值试验结果SR q K FD FINE FDROASE主模拟simple0.10 0.01 2600 141.939 141.594 141.801 139.954 135.2970.10 0.01 2800 198.588 198.301 198.886 195.562 192.6700.10 0.01 3000 272.532 272.391 273.172 265.878 269.9610.10 0.01 3200 368.504 368.685 368.549 361.026 372.5500.05 2600 156.313 4 156.145 156.433 155.903 156.2120.05 0.05 2800 217.980 217.979 218.195 217.055218.7040.05 0.05 3000 297.861 298.157 298.187 295.774 300.2860.05 0.05 3200 400.214 401.009 400.580 399.892 405.5260.01 0.10 2600 184.019 183.824 184.156 186.316 184.1350.01 0.10 2800 256.889 256.903 256.947 257.258 256.9160.01 0.10 3000 351.540 351.923 351.443 351.943 351.3970.01 0.10 3200 473.366 474.375 472.958 472.758 472.931RMSE-0.429 0.291 3.224 3.378MAE-1.010 0.640 7.479 6.642CPU（s）5.270 0.129 0.009 5.479 0.004表1：美式看跌期权价值。S=2900，T=0.5，σ=0.1，ν=0.6，θ=-0.5.RMSE是均方误差的根。MAE是最大绝对误差。

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2022-6-14 07:47:57

CPU是平均计算时间。σνθK FD fine fdrough main simple0.10 0.10-0.50 2800 26.961 27.062 27.040 26.882 26.4790.40 0.60-0.50 2800 80.429 80.563 80.484 79.724 81.2410.10 0.60-0.10 2800 12.088 12.114 12.596 11.976 11.9270.40 0.10-0.10 2800 71.324 71.735 71.317 72.177 71.4510 0.10-0.50 2900 53.119 53.372 53.191 52.564 52.2480.40 0.60-0.50 2900 100.103 100.741 100.121 98.937 101.7650.10 0.60-0.102900 24.642 23.303 24.863 24.880 24.6800.40 0.10-0.10 2900 110.992 111.634 110.895 110.727 111.2510.10 0.10-0.50 3000 104.401 104.780 104.275 103.621 102.5070.40 0.60-0.50 3000 130.478 132.460 130.763 129.990 132.7380.10 0 0 0.60-0.10 3000 99 99 99 99.990 100.000 100.000 96.1030.40 0 0.10-0.10 3000 170.431 170.888 170.459 170.141 171.060RMSE-0.772 0.189 0.575 1.549MAE-1.982 0.508 1.165 3.896CPU（s） 5.085 0.129 0.010 5.340 0.017表2：美式看跌期权的价值。S=2900，T=1/12，r=0.05，q=0.01。RMSE是均方误差的根。MAE是最大绝对误差。

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2022-6-14 07:48:00

CPU是平均计算时间。σνθK FD fine fdrough main simple0.10 0.10-0.50 2800 59.653 59.862 59.513 59.787 57.9200.40 0.60-0.50 2800 185.871 186.004 186.024 187.613 188.5290.10 0.60-0.10 2800 30.065 30.105 30.303 29.745 29.1880.40 0 0 0.10-0.10 2800 158.556 159.291 158.513 157.752 158.9270.10 0-0.10 50 2900 94.364 94.800 94.134 93.273 91.7720.40 0.60-0.50 2900 218.131 218.341 218.325 219.145 222.4960.100.60-0.10 2900 52.210 52.428 52.392 51.713 51.3980.40 0.10-0.10 2900 205.451 206.251 205.350 203.691 206.0400.10 0.10-0.50 3000 143.833 144.524 143.769 142.954 140.1620.40 0.60-0.50 3000 255.864 256.189 256.130 255.742 262.5320.10 0.60-0.10 3000 99.999 100.454 100.000 100.000 95.9360 0.10-0.10 0.10 3000 260.438 261.227 260.350 260.751 261.350RMSE-0.495 0.163 0.924 3.069MAE-0.800 0.2651.760 6.668CPU 5.161 0.126 0.009 5.567 0.007表3：美式看跌期权的价值。S=2900，T=1/4，r=0.05，q=0.01。RMSE是均方误差的根。MAE是最大绝对误差。

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