几何局部方差Gamma模型

2022-6-10 19:09:28

几何局部方差Gamma模型。Carr，A.ItkinTandon工程学院，纽约大学，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，USAbstracts本文描述了P.Carr于2008年最初提出的局部方差Gamma模型的另一个扩展，随后Carr和Nadtochiy，2017（CN2017）和Carr和Itkin，2018（CI2018）进一步阐述了该模型。与2018年开发的最新版本模型ELVG（扩展局部方差伽马模型）相比，这里我们提供了两项创新。首先，在之前的所有论文中，该模型是基于伽马时变算术布朗运动构建的：CI2017年无漂移，CI2018年有漂移，局部方差仅为现货水平的函数。相反，我们在这里开发了这个模型的几何版本，带有漂移。其次，在CN2017中，假设局部方差是罢工的分段常数函数，则将模型校准为期权微笑，而在CI2018中，局部方差是罢工的分段线性函数。本文考虑3个分段线性模型：局部方差作为罢工函数，局部方差作为对数罢工函数，局部波动性作为罢工函数（因此，局部方差是罢工的分段二次函数）。我们表明，对于所有这些新的构造，仍然可以推导出期权价格的普通微分方程，该方程起到Dupir e方程f或标准局部波动模型的作用，而且可以以闭合形式求解。最后，与CI2018相似，我们表明，给定多个微笑，可以恢复整个局部方差/波动率曲面，而不需要解决任何优化问题。

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2022-6-10 19:09:31

相反，它可以通过为每个快速成熟度求解一个非线性代数方程组来逐项完成。关键词：局部波动率、随机时钟、几何过程、伽马分布、分段线性波动率、方差伽马过程、闭式解、快速校准、无套利。1、简介P.Carr于2008年首次引入局部方差Gamma（LVG）波动率模型，随后在Carr和Nadtochiy（2014、2017）中提出，作为Dupire（1994）和Derman and Kani（1994）对局部波动率模型的扩展。后者是在庆祝邮件地址的顶部开发的：petercarr@nyu.edu（P.Carr），aitkin@nyu.edu（A.Itkin）提交给Elsevier的预印本2018年12月31日Black-Scholes模型，以考虑期权微笑的存在。所有局部波动率模型的主要优点是，考虑到欧洲期权价格或其在点（T，K）的隐含波动率，其中K，T是期权行使和到期时间，它们能够在这些点上精确地应用局部波动率σ（T，K）。该过程被称为局部波动率（或隐含波动率）表面的校准，参见Carr和Itkin（2018）中的Survey；Itkin和Lipton（2018）及其参考文献。然而，与经典的局部波动模型相比，LVG和ELVG有几个优点。首先，他们在财务上更富有。的确，值得注意的是，LVG/ELVG模型名称中的术语“本地”有点令人困惑。这是因为，例如，e LVG是通过随机时间变化ΓX（t）为算术布朗运动配备漂移和局部波动来构建的。这里，Γ是伽马随机变量，X（t）是时间t的确定函数。

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2022-6-10 19:09:35

由于随机变化是引入随机波动的一种方式，因此可以观察到，LVG/ELVG实际上是一种局部随机波动（LSV）模型，它结合了波动过程的局部和随机特征。有关LSV模型的更多信息，请参见Bergomi（2016）；Kienitz and Wetterau（2012年）。LVG/ELVG的另一个优点是，它们的校准在计算上更加高效。这是因为这种构造产生的不是偏微分方程（在经典情况下称为杜皮尔方程），而是偏微分方程（PDDE）。后者实际上是一个普通的微分方程（ODE），允许显式校准和快速数值计算。特别是，局部方差曲面的校准不需要任何优化方法，而只需要根解算器，Carr和Itkin（2018）。正如Itkin an d Lipton（2018）所述，考虑到各种到期日和s trikes的欧洲期权的市场报价，可以通过使用分析或数值方法直接求解Du-pire方程来获得局部（然后是隐含）波动率表面。suchan方法的优点是，如果相应的分析或数值方法保留无套利（包括各种插值等），则它可以保证无套利。显然，求解Dupire的PDE需要数值方法，如Coleman et al.（2001）中的数值方法，或如Itkin和Lipton（2018）中的半解析方法：i）首先使用Laplace-Carson变换，然后应用各种变换，以获得Kummer超几何函数中的tr固定方程的闭式解。然而，它需要一个反拉普拉斯变换来获得最终的解决方案。

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2022-6-10 19:09:38

为了使第二种方法易于处理，应该对不知道市场报价的罢工和到期日的本地/隐含波动率表面的行为做出一些假设。通常，在对数走向空间中，假设相应的局部方差为分段常数，Lipton和Sepp（2011），或分段线性Itkin和Lipton（2018），在成熟时间空间中为分段常数。为了使LVG/ELVG模型易于处理，也需要类似的假设。特别是，在Carr和Nadtochiy（2017）中，假设局部方差是罢工的分段恒常函数，则将模型校准为期权微笑，而在Carr和Itkin（2018）中，局部方差是罢工的分段线性函数。尽管ELVG具有这些优良的特性，但一个可能的问题是该模型是基于带漂移的算术布朗运动开发的。这意味着基础资产原则上可能会获得负值，在某些情况下这是不可取的，例如，如果基础资产是股票价格。因此，在本文中，我们描述了LVG模型的另一个扩展，该模型具有带漂移的伽玛-时变几何布朗运动，局部方差仅是光斑水平的函数（因此不是时间的函数）。其次，在Carr和Nadtochiy（2017）中，模型被校准为期权微笑，因为局部方差是罢工的分段常数函数，而在Carr和Itkin（2018）中，局部方差是罢工的分段线性函数。本文考虑了3个分段线性模型：局部方差作为罢工的函数，局部方差作为对数罢工的函数，局部波动作为罢工的函数（因此，局部方差是罢工的分段二次函数）。

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kedemingshi

2022-6-10 19:09:42

我们表明，在这个新模型中，仍然可以推导出期权价格的普通微分方程，该方程在标准局部波动模型中起着Dupire方程的作用。此外，在所有三种情况下，该方程都可以用封闭形式求解。最后，s im ilarto Carr和Itkin（2018）表明，在给定多个微笑的情况下，可以恢复整个局部方差/波动性曲面，这不需要解决任何优化问题。相反，它可以逐项进行，对于每一个成熟度，整个校准都是通过求解一个速度明显更快的非线性代数方程组来完成的。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了新的模型，出于特殊原因，我们称之为几何局部方差伽马模型或GLVG。在第3节中，我们使用h齐次Bochner从属方法推导出了一个预测卖出期权价格的远期方程（这是一个普通的微分方程（ODE））。第4节通过考虑局部方差在时间上是分段常数来推广该方法。对于各种局部方差或波动性模型，用超几何函数给出了导出ODE的闭合f orms解。下一节讨论需要无套利插值的ODE源项的计算。利用Itkin和Lipton（2018）的思想，我们将介绍如何构造非线性插值，该插值既能提供无套利性，又能提供一个很好的可处理的s OURCE项表示，从而可以以闭合形式计算源项中的所有积分。第6节详细讨论了模型中多重微笑的校准。为了校准单一微笑，我们推导了模型参数的非线性代数方程组，并解释了如何对其初始值进行智能猜测。

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2022-6-10 19:09:45

在第7节中，我们讨论了一些数值实验的结果，在这些实验中，模型对给定市场微笑的校准是逐项进行的。最后一节结束。2、随机模型Wtbe是时间指数为t的Q标准布朗运动≥ 0、将随机过程Dt视为漂移udDt=udtdtt+σ（Dt）DtdWt的时间齐次离散，（1）其中波动函数σ是局部的且时间齐次的。如果σ（D）：R，则存在等式（1）的唯一解→ R在D中是Lipschitz连续的，在单位中满足生长条件。由于D是一个时间齐次马尔可夫过程，它的有限生成元a由aφ（D）给出≡uDD+σ（D）DDφ（D）（2）对于所有二次可微函数φ。在这里xis是x上的一阶微分算子。D过程的半群（这里是Q的一个表达式）是Dtφ（Dt）=etAφ（Dt）=EQ[φ（Dt）| D=D]，t型≥ 0。（3）这一等式也可以被认为是终值问题解决方案的Feynm an-K ac定理表示（参见，例如，L¨orinczi et al.（2011）），它将右侧的期望与相应PDE的解决方案联系起来，然后将指数算子eta应用于初始条件φ（Dt），给出了该偏微分方程的形式解。本着Carr和Nadtochiy（2017）的精神；Carr和Itkin（2018）介绍了一种新的过程DΓt，该过程由无偏伽马时钟t决定。无偏伽马时钟t的密度≥ 0 isQ{t∈ dν}=νm-1e级-νm/t（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ 电汇/电汇*. （4）这里是t*> 0是过程的自由参数，Γ（x）是Gamma函数。很容易检查eq[Γt]=t.（5），因此，平均而言，随机伽马时钟Γ与日历时间t同步。对于期权定价问题，我们引入了更复杂的构造。也就是说，考虑写在底层流程St上的选项。

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2022-6-10 19:09:48

在不失概括性的情况下，为了清楚起见，让我们在下文中处理股票价格过程。让我们定义Statsst=DΓX（t）（6），其中X（t）是时间t的确定函数。我们需要确定X（t），以便在arisk中性测度Q下，总收益过程，包括在无风险利率r贴现后的价格增值和连续股息Q是鞅，参见Shreve（1992）。首先取^Std^St=d的导数e-rtSteqt= e（q-r） t[（q- r） Stdt+dSt]，（7）然后是我们得到的两部分的期望值e（q-r） tSt公司] = e（q-r） t{（q- r）等式【St】dt+dEQ【St】}。（8）所以为了使^sto成为鞅，等式（8）的Rhs应该消失。求解方程（q- r） y（t）dt+dy（t）=0，y（t）=等式[St | Ss]，s<twe-obtainy（t）=等式[St | Ss]=Sse（r-q）（t-s），（9）等式【dSt | Ss】=dEQ【St | Ss】=Ss（r- q） e（r-q）（t-s）。另一方面，从式（6）中，式[dSt | Ss]=式[dDΓX（t）| Ss]=u式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]+式[σ（DΓX（t））DΓX（t）dWΓX（t）| Ss]（10）=u式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]，因为过程WΓX（t）是局部鞅，见Revuz和Yor（1999），第6章。因此，过程WΓX（t）从WΓt继承该属性，因此等式[σ（DΓX（t））DΓX（t）dWΓX（t）]=0。为了继续，假设伽马过程Γ独立于Wt（因此，ΓX（t）独立于WΓX（t））。然后，可以通过对ΓX（t）的初始条件进行计算，然后通过将t替换为X（t），对ΓX（t）的分布进行积分，从而计算公式（10）中RHS的期望值，即公式[DΓX（t）DΓX（t）| Ss]=Z∞等式[DΓX（t）DΓX（t）|ΓX（t）=ν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）（11）=Z∞等式[Dν]νm-1e级-νm/X（t）（t*)mΓ（m）dν，ν>0，m≡ X（t）/t*.我们考虑式（1）得出的最终等式[Dν]=式[dDν]=式[uDνDν+σ（Dν）DνdWν]=uEQ[Dν]Dν。（12）求解关于y（ν）=EQ[Dν| Ds]的方程，我们得到EQ[Dν| Ds]=Dseu（ν-s）。

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2022-6-10 19:09:51

由于时间s上的we条件，这意味着Ds=DΓX（s）=Ss，因此EQ[Dν| Ds]=Sseu（ν-s）。此外，我们将其代入式（11），设置伽马分布的参数t*打赌*= X（t）（so m=1）并积分以获得EQ[dSt | Ss]=uEQ[DΓX（t）DΓX（t）]=Sse-su1- uX（t）。（13）最后，将式（9）和式（13）中得到的式[dSt | Ss]的r表示相等，我们得出X（t）S（r- q） e（r-q）（t-s） =Sse-su1- uX（t）。（14）假设u=r- q、该方程可解为提供指数（t）=1- e-（r）-q） tr公司- q、（15）Carr和Itkin（2018）中也使用了X（t）的表达式表示ELVG。我们已经提到，ELVG可以被视为本文模型的算术模拟，它在Dt中是几何的。很明显，在极限r→ 0，q→ 0我们有X（t）=t。也基于等式（5）Eq[ΓX（t）]=X（t）。（16）函数X（t）从零开始，即X（0）=0，d是时间t的连续非递减函数。更详细地说，如果r- q>0，函数X（t）在t中除了t以外的所有点都在增加→ ∞, 其中It为常数。然而，有限时间范围没有太多实际意义，因此任何有限时间t函数X（t）都可以被视为t中的递增函数。在另一种情况下，当r- q<0，函数X（t）严格递增t型∈ [0, ∞). 这意味着，总的来说，X（t）具有良好clo-ck的所有属性。因此，ΓX（t）具有随机时间的所有性质。因此，我们成功地证明，通过选择u和X（t），EQ的右手部分。（8）消失了，我们的贴现股票过程，考虑到非零利率和连续股息，变成了鞅。因此，建议的结构可用于期权定价。这种设置可以很容易地推广到与时间相关的利率r（t）和连续股息q（t）。

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2022-6-10 19:09:54

我们把它留给读者。下一步是在原始流程和随时间变化的流程之间建立连接。Bochner（1949）指出，过程GΓtde定义为dgt=σ（G）gtdw是一个时间齐次马尔可夫过程。过程也是如此（r- q） Gtdt。因此，式（1）中定义的整个过程也是时间齐次马尔可夫过程。因此，这些半组TStof Stand TDtof DΓX（t）通过Bochner积分tstu（S）=Z连接∞TDνU（S）Q{ΓX（t）∈ dν}，t型≥ 0，（17），其中U（S）是TDT和TSt域中的函数。它可以通过利用D过程的时间均匀性，首先对伽马时间进行调节，并考虑Γ和Wt的独立性（或在ou r情况下的ΓX（t）和WΓX（t））得出。所以我们在上面所做的假设X（0）=0是一致的。这里，它代表了对第二个随机驱动因素——随机时钟ν的期权价格预期。当我们设置参数t时*伽马时钟的*= X（t），式（17）和E q。（4）implyTStU（S）=Z∞TDνU（S）e-ν/X（t）X（t）dν。（18）为了简洁起见，在下文中，我们将此模型称为几何局部方差Gammamodel，或GLVG。3、期权价格的远期方程在本节中，我们推导出了一个看跌期权价格的远期方程，它类似于标准局部波动率模型的迪皮尔方程。在这样做的过程中，我们严格遵循Carr和Itkin（2018）相应章节的描述，从衍生角度来看，仅通过过程Dt的微型发生器A的定义，ELVG的GLVGdi效应。让我们将半群TStas的指数t解释为欧洲债权的到期日t，估值时间tv=0。也可以将测试函数U（S）作为该Europeanclaim的结果，即U（ST）=e-rT（K- ST）+。

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2022-6-10 19:09:58

（19）然后，定义（S，T，K）=TSTU（S）（20）为LVGE模型中到期时间T=0的欧洲Pu T值。类似地，Pd（S，ν，K）=TDνU（S）（21）将是式（1）模型中t=0时到期日为ν的欧洲看跌期权价值。那么式（18）中的Bochner积分的形式为p（S，T，K）=Z∞PD（S，ν，K）pe-pνdν，p≡ 1/X（T）。（22）因此，P（S，T，K）由PD（S，ν，K）的拉普拉斯-卡森变换表示，P是该变换的参数。注意p（S，0，K）=PD（S，0，K）=U（S）。（23）要继续，我们需要模拟PD（S，ν，K）的Dupire前向PDE。下面，为了简单起见，我们在S.3.1中删除了下标“0”。杜皮尔式前锋PDED尽管这可以通过多种不同的方式实现，但为了兼容性，我们本着卡尔和纳托奇（2017）的精神进行了这项工作。首先，用ν区分等式（21），并考虑等式（3）的产量νPD（S，ν，K）=e-rνeνA【A】- r] U（S）=e-rνEQ[A- r] 美国。（24）我们考虑了式（2）中发电机A的定义，并提醒在t=0时，我们有D=S≡ S、公式（24）转换为νPD（S，ν，K）=- rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）+e-rνEQσ（S）SSU（S）. （25）然而，我们需要用一对自变量（ν，K）表示正向方程，而等式（24）是根据（ν，S）推导的。要做到这一点，请遵守以下等式：σ（S）SSU（S）= 均衡器σ（S）Sδ（K- S）= 均衡器σ（K）Kδ（K- S）（26）=等式σ（K）KKU（S）= erνσ（K）KPD（S，ν，K）。其中Dirac delta函数δ（S）的筛选性质- K）已使用。

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2022-6-10 19:10:02

而且-rPD（S，ν，K）+（r- q） SSPD（S，ν，K）（27）=e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q） S（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S）+- （r）- q）（K）- S）（K）- S）+S+（r- q） K级（K）- S）+S= e-rνEQ-r（K- S） ++（r- q）（K）- S）+- （r）- q） K级（K）- S）+K= -qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）。因此，使用E q。（26）和E q。（27），式（24）可转换为νPD（S，ν，K）=-qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）≡ AKPD（S，ν，K），（28）AKPD=-q- （r）- q） K级K+σ（K）KK、该方程与Dupire方程非常相似，具有非零利率和连续股息，参见Ekstrom和Tysk（2012）及其参考文献。请注意，AKis还支持atime均质生成器。3.2. 单项PDDE我们的最后一步是将等式（28）中定义的线性微分算子L应用于Q的两部分。(22). 利用dt的时间均匀性和Dupire方程（28），我们得到-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KKP（S，T，K）（29）=Z∞体育课-pν-qPD（S，ν，K）- （r）- q） K级KPD（S，ν，K）+σ（K）KKPD（S，ν，K）dν=Z∞体育课-pννPD（S，ν，K）dν=-pPD（S，0，K）+pZ∞PD（S，ν，K）pe-pνdν=pP（S、T、K）- PD（S，0，K）= p[p（S，T，K）- P（S，0，K）]，其中在最后一行中，我们考虑了Eq。(23).因此，最终P（S，T，K）解决了以下问题-qP（S、T、K）- （r）- q） K级KP（S，T，K）+σ（K）KKP（S，T，K）=P（S，T，K）- P（S，0，K）X（T），P（S，0，K）=（K- S） +。（30）与属于PDE类的Dupire方程相比，E q。（30）是一种颂歌，或者更准确地说是一种部分划分的差异方程式（PDDE），因为右手部分的时间导数现在被划分的差异所取代。以颂歌的形式写着σ（K）KK- （r）- q） K级K-q+X（T）P（S，T，K）=-P（S，0，K）X（T）。（31）对于下一节中考虑的某些特定形式的局部波动率函数σ（K），可以解析地求解该方程。

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2022-6-10 19:10:05

同样地，对于看涨期权p rice C（S，T，K），也可以推导出一个类似的方程，其读数为σ（K）KK+（r- q） K级K-q+X（T）iC（S，T，K）=-C（S，0，K）X（T），C（S，0，K）=（S- K） +。（32）求解式（31）或式（32）提供了确定σ（K）的方法，给定到期日为T的看涨期权和看跌期权的市场报价。然而，这只允许校准单个术语。原则上，如果公式（31）和公式（32）可以推广到这种情况，则可以逐项校准整个局部挥发性表面（因为时间均匀性假设）。3.3. 多个术语的PDDE可采用与Carr和Itkin（2018）第4节所述相同的方法进行归纳。因此，我们建议读者阅读该部分，而她的e仅提供一些有价值的评论。为了解决多重微笑的校准问题，我们需要放松式（1）中定义的Dtprocess的时间均匀性假设。我们假设局部方差σ（Dt）不再是时间齐次的，而是时间σ（Dt，t）的分段常数函数。让T，T，TMbe方差率σ（Dt）确定性跳跃的时间点。换句话说，在间隔t∈ [T，T），方差率为σ（Dt），T∈ [T，T）是σ（Dt），等等。这也可以表示为σ（Dt，T）=MXi=0σi（Dt）wi（T），（33）wi（T）≡ 1吨-Ti公司- 1吨-Ti+1，i=0，M、 T=0，TM+1=∞.注意，Mxi=0wi（t）=1t- 1吨-∞= 1.t型≥ 因此，如果所有σi（Dt）都相等，即独立于指数i，则等式（33）将减少到前面章节中考虑的情况。这意味着波动率σ（Dt）在日历时间T，T，…，随着时间的推移而跳跃，TM，而不是伽马时钟确定的营业时间ν。否则，波动率函数将在随机（业务）时间更改，这意味着它是随机的。但这完全超出了我们模型的范围。

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kedemingshi

2022-6-10 19:10:08

因此，我们需要将公式（33）更改为σ（Dt，t）=MXi=0σi（D）(R)wi（Eq（t）），（34）(R)wi（Eq（t））=1X-1（t-Ti）- 1台-1（t-Ti+1），i=0，M、 X个-1（t）=q- rlog[1- （r）- q） t）]。（35）根据最后一行，X（t）存在t型≥ 如果q>r，则为0，并且t<1/（r）- q）如果r>q。因此，当使用公式（6）时，我们有σ（Dt，t）t=ΓX（t）=MXi=0σi（D）(R)wi（X（t））=MXi=0σi（D）wi（t）。（36）因此，如果日历时间t属于间隔t≤ t<t，s emigroup TDν的最小生成元是σ（Dt）的函数（而不是σ（Dν））。截至T≤ t<t我们假设σ（D）=σ（D），即时间常数，它不依赖于ν。因此，A（在此时间间隔内，我们将其表示为A）仍然是时间均匀的。类似地，我们可以看到，对于T≤ t<t半群TDν的最小生成元AO也是时间齐次的，并且取决于σ（D）等。此外，与Carr和Itkin（2018）类似，可以看出，提出的P（s，Ti，K），i=1，M读取σ（K）KK- （r）- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1.P（S，Ti，K）=-P（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1).（37）这里的局部方差函数σ（K）=σi（K），因为它对应于区间（Ti-1，Ti]，其中上述ODE已解决。公式（37）是一个可求解所有i=1，…，的回归方程，M按顺序从i=1开始，受一些边界条件的约束。3.4. 边界条件在许多金融模型中，股票价格的动态表现为几何布朗运动（局部或随机波动），例如，庆祝BlackScholes模型，K→ ∞ 设置为beP（S、Ti、K）→ DiK公司- QiS，K→ ∞ ,其中Di=e-Rtis是折扣系数，Qi=e-qTi。事实上，由于可以很容易地进行检查，该条件是Dupire正向方程公式（28）的有效解，并且也反映了在K→ ∞ 卖出期权价格应以K为单位呈线性。

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2022-6-10 19:10:11

然而，该边界条件无法解决公式（31），因此无法在我们的模型中使用。因此，我们建议将边界条件设置为K→ ∞ 仍然假设它是formlimK的K的线性函数→∞P（S，T，K）=A（T）K- B（T）S，（38），其中A（T），B（T）是要确定的成熟度T的一些函数，因此等式（38）中的表达式解出了等式（31）。显然，T=0意味着A（T）=B（T）=1。然后我们可以递归进行。对于下一个到期日T=T将公式（38）推至公式（37），我们在K处获得→ ∞-（r）- q） KA（T）p- （pq+1）（A（T）K- B（T）S）=-P（S，T，K），（39）P（S，T，K）=A（T）K- B（T）S=K- S、 pj=X（Tj）- X（Tj-1) > 0.从这些方程中，我们得到b（T）=pq+1，A（T）=pr+1。（40）所以在这种情况下，A（T），B（T）是某种离散复合的类似物。递归进行，我们得到一个一般关系p（Ti）=B（Ti-1） piq+1=Qik=1（piq+1），（41）A（Ti）=A（Ti-1） pir+1=Qik=1（pir+1），i=1，M、因此，在我们的模型中，看跌期权价格的自然边界条件是（P（S，Ti，K）=0，K→ 0，P（S，Ti，K）=A（Ti）K- B（Ti）S≈ A（Ti）K，K→ ∞,（42）可获得看涨期权价格的类似方程式，其如下所示：σ（K）KK+（r- q） K级K-q+X（Ti）- X（Ti-1.C（S，Ti，K）=-C（S，Ti-1，K）X（Ti）- X（Ti-1).（43）根据边界条件（C（S，Ti，K）=B（Ti）S，K→ 0，C（S，Ti，K）=0，K→ ∞.(44)4. 局部方差/波动率的分段模型要通过求解公式（37）校准局部波动率曲面，我们需要对局部波动率曲面的形状进行进一步假设。回想一下，我们假设这个曲面在时间上是分段恒定的。在走向空间中，Carr和Nadtochiy（2017）认为它是一个p iecewisconstant，而在Carr和Itkin（2018）中，考虑了走向空间中的分段线性局部方差。

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2022-6-10 19:10:14

如Carr和Itkin（2018）所示，在这种情况下，等式（37）可以以闭合形式求解。在本文中，我们希望扩展一类允许闭式格式解的局部波动率模型。为了继续，我们首先将因变量从P（S，Tj，K）更改为v（S，Tj，K）=P（S，Tj，K）- [A（Tj）K- B（Tj）S]+，（45），其中V称为有盖认沽期权。V的定义允许以更优雅的形式重新编写等式（37- vj（x）xVx，x（x）+b1，jxVx（x）+b0，jV（x）=cj（x），（46）b1，j=pj（r- q），b0，j=pjq+1，cj（x）=V（S，Tj-1，x），vj（x）=pjσ（x）/2，其中V（x）=V（S，Tj，x），x=K/S是货币的倒数。因此，根据V（x）和公式（42）的定义，公式（46）的边界条件变得均匀（V（x）=0，x→ 0，V（x）=0，x→ ∞.（47）在接下来的章节中，我们将考虑几个流行的走向空间局部波动率曲面近似值。每种近似都假设走向空间中局部波动率曲线的某种函数形式，这是给定到期时间T的波动率曲面的一条带。因此，这些应用程序的参数会随时间变化。此外，为了确定起见，我们假设r>q>0，但这个假设可以很容易地放宽。4.1. 对数走向空间中的局部方差分段线性假设对于每个成熟度Tj，j∈ [1，M]市场报价是针对一组弹簧Ki，i=1，NJ，假设这些罢工按递增顺序排序。然后在区间[χi，χi+1]，χ=log Ki/S，readsvj，i（χ）=vj，i+vj，iχ处，相应的连续分段线性局部方差f函数σj（χ）。（48）这里，我们使用超指数0表示v级，su per指数1表示斜率v。子指数i=0在vj中，0，vj，0对应于区间（0，χ）。由于vj（χ）是χ中的连续函数，我们有vj，i+vj，iχi+1=vj，i+1+vj，i+1χi+1，i=0，新泽西州- 1.

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2022-6-10 19:10:19

（49）这意味着vj（χ）的一阶导数在点χi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。我们假设v（χ，T）是时间的分段常数函数，vj，i，vj，i在区间[Tj，Tj+1]不依赖于T，j∈ [0，M- 1] ，并跳到点Tj、j处的新值∈ Z∩ [1米]。一个简单的分析表明，在这个假设下，通过改变变量x 7→ χ、式（46）可转换为- v（χ）vχ，χ（χ）+（b+v（χ））vχ（χ）+bV（χ）=c（χ），（50），其中为了便于记法，我们采用了指数j。该方程与Itkin和Lipton（2018）第2节中考虑的方程具有相同的类型e，其解也可以用对流超几何函数表示，seePolyanin和Zaitsev（2003）v（χ）=Cy（χ）+Cy（χI（χ）（51）I（χ）=y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zyc（χ）（b+aχ）Wdχ，其中W=y（y）χ- y（y）χ是基本解y，y的所谓Wronskian。因此，问题归结为找到q的齐次版本的合适基本解。(51). 根据Polyanin和Zaitsev（2003），如果a6=0和a6=0，则通解读数为SV（χ）=（az）β-1J（α，β，z），（52）z=χ+ba，α=1+b+ba，β=2+ba。这里J（a，b，z）是退化超几何方程的任意解，即Kummer\'s函数，Abramowitz和Stegun（1964）。已知两种类型的Kummer函数，即M（a、b、z）和U（a、b、z），这两种函数分别是第一类和第二类Kummer函数。因此，可以直接应用Itkin和Lipton（2018）的方法，以获得式（51）的封闭式解决方案。

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2022-6-10 19:10:22

特别是，在原点附近，数值上令人满意的对是，Olver（1997）y（χ）=（az）β-1M（α，β，z），（53）y（χ）=（a）β-1M（α- β+ 1, 2 - β、 z）。W=a2β-2ezzβ-2sin（πβ）/π。然而，在单位附近，数值上的满意度对为，Olver（1997）y（χ）=（az）β-1U（α，β，z），（54）y（χ）=ez（az）β-1U（β- α, β, -z）。W=(-1)α-βa2β-2ezzβ-2.4.2. 局部方差在打击空间中是分段线性的另一个可处理模型是局部方差在打击空间中是分段线性的。特别是，这是我们在Carr和Itkin（2018）中使用的模型。由于退化超几何方程的线性，Kummer函数的任何线性组合都可以求解该方程。与前一节类似，区间[xi，xi+1]处对应的连续分段线性局部方差函数vj（x）读取svj，i（x）=vj，i+vj，ix，（55），但现在它是x的函数，而不是χ的函数。由于vj（x）是x中的连续函数，我们有vj，i+vj，ixi+1=vj，i+1+vj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（56）这意味着vj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。因为我们假设v（x，T）是时间的分段常数函数，vj，i，vj，i在区间[Tj，Tj+1]不依赖于T，j∈ 0，M- 1] ，和j ump到点Tj，j处的新值∈ Z∩ [1米]。公式（46）可通过归纳法求解。一个从T=0开始，在每个时间间隔[Tj-1，Tj]，j∈ Z∩ [1，M]为V（x）求解方程（46），然后从方程（45）中获得P（S，Tj，x）。

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2022-6-10 19:10:25

因此，可以为每个间隔单独构造等式（46）的解【xi-1，xi）。将表达式（55）替换为表达式。（46），对于第i个空间间隔，我们得到-（b+ax）xVx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=c（x），（57）b=vj，i，a=vj，i。同样，等式（57）是一个非齐次常微分方程，其解可以用等式（51）的形式表示，其中i（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx+y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx≡ J+J.（58）相应的齐次方程可按如下方式求解。首先，如果b6=0，我们改变自变量x 7→ z=-ax/b。因此，同质式（57）采用公式b（z- 1） zVz，z（z）+bzVz（z）+bV（z）=0。（59）然后我们改变因变量V（z）7→ zmG（z），其中m是给定时间片的常数。这导致方程zm[γ+b（m- 1） mz]G（z）+zm+1[b+2bm（z- 1） ]G′（z）+b（z- 1） zm+2G′（z）=0，（60）γ=b+m（b+b- bm）。接下来我们求解使γ消失的m，得到m±=b+b±p4bb+（b+b）2b。（61）值得一提的是，如果此表达式中的行列式D为负，则m+，m-变得复杂。然而，这不是解决方案的问题，因为系数C、Cin公式（51）也可能很复杂，因此卖出价格是真实的。将其代入等式。（60）重新安排- m（m- 1） G（z）+2米-bb型- 2mzG′（z）+z（1）- z） G′（z）=0，m∈ [m+，m-], （62）这是一个超几何方程。由于m可以取两个值，我们需要选择正确的值，以便最终解符合边界条件。将以上所有步骤结合起来，得到了E q的解。（59）可以写成asy（x）=zm[F（m- 1，m，c；z） ]，（63）y（x）=zmz1级-cF（米- c、 m+1- c、 2- cz）,m=m+，c=2m-bb，z=-abx，其中f（a，b，c；z）是普通的超几何函数，Olver（1997）。它在z=0，1时有规则奇点，∞.

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2022-6-10 19:10:28

根据式（52）中的解，这些奇点对应于toK=0、v=0和K→ ∞. 我们将在下面的K处显示→ ∞ 该区间的系数通常为正，因此方差为正。然而，B的符号应该是正负。因此，如果在这个时间间隔b>0，我们有x→ ∞, z→ -∞. 如果在这个区间b<0，我们有x→ ∞, z→ ∞.当没有c、c-一-b、 a-b是一个整数，我们有一对基本解f（x），f（x）在等式（52）中由方括号中的表达式表示。众所周知，除了z=1和z处的奇点之外，这一对在数值上是令人满意的，Olver（1997）→ ∞. 这些基本解的Wronskian W（f（x），f（x））是W（f（x），f（x））=（1- c） z-c（1- z） c类-2m，z=-相应地，W（y（x），y（x））=-a（1- c） bz2m型-c（1- z） c类-2m，z=-ax/b.（64）在z=1的奇点附近，然而，这一对在数值上并不令人满意。然后我们必须使用等式（62）的另一个解，即Olver（1997）y（x）=zm[F（m- 1米2米- c1.- z） ]，（65）y（x）=zm(1 - z） c类-2m+1F（c- m+1，c- m、 c类- 2m+2；1.- z）,W（y（x），y（x））=-a（2m- 1.- c） b（1- z） c类-2mz2m-c、 z=-ax/b.在z=∞ 见附录A。但是，我们不能在z使用此解决方案→ ∞ 以及在z处使用等式（63）中的溶液→ 这是由Roger Lee的矩匹配公式Lee（2004）引起的，该公式指出，在ewings中，隐含方差曲面在归一化str ike（或对数走向）中最多应为线性。De Marco et al.（2013）中也显示了这一点；Gerhold和Friz（2015），局部方差的渐近行为在K→ ∞ 和K→ 0

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2022-6-10 19:10:31

而结果分叉→ 至少对于Heston和Stein-Stein模型，0是正确的，对于K→ ∞直接遵循Lee的隐含方差矩公式，通过总隐含方差表示σw=vIT，Lipton（2001）；Gatheral（2006）wL≡ σ（T，K）T=TTw公司1.-十、Xw2w-(Xw）w++Xw，（66），其中w=w（X，T），X=对数K/F，F=Se（r-q）这是股票的远期价格。因此，所考虑的局部方差线性走向模型在First0不适用≤ x个≤ x和最后一个xnj<x<∞ 每一个微笑的敲击间隔T=Tjas，这是李氏公式的紫罗兰色。因此，在这两个时间间隔内，我们使用第4.1节中讨论的模型，其中局部方差在对数走向中是线性的。有趣的是，在Itkin和Lipton（2018）中；Carr和Itkin（2018）以及第4.1节，根据Kummer函数获得了闭式解。这里的解是通过超几何函数SF（a，b，c；x）表示的。由于两个解y（x）和y（x）是独立的，因此等式（51）是等式（57）的通解。两个常数C，C应根据边界条件f或f函数y（x）确定。方程（47）给出了零度和完整度下x空间中ODE方程（57）的边界条件，即它们是齐次的。基于局部方差曲线的通常形状及其正性→ 0，我们期望vj，i<0。类似地，对于x→ ∞ 我们预计vj，i>0。在这两个极限之间，假设给定到期日Tjis的局部方差曲线是连续的，但曲线的斜率可以是正的，也可以是负的，参见Itkin（2015）和其中的参考文献。4.3. 打击空间中的局部波动率分段线性另一个流行的模型是，假设局部波动率在打击空间中是分段线性的。

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2022-6-10 19:10:34

该模型之前在文献中经常被考虑，例如《赫尔和怀特》（2015）；Kienitz和Casper s（2017）。下面，我们表明，在这种假设下，我们的模型仍然是可分解的，并且可以使用与在Itkin和Lipton（2018）中阐述的相同方法获得封闭形式的解决方案；Carr和Itkin（2018年）。因此，区间【xi，xi+1】上相应的连续分段线性局部波动率函数σj（x）读取σj，i（x）=σj，i+σj，ix，（67）由于σj（x）是x中的连续函数，我们有σj，i+σj，ixi+1=σj，i+1+σj，i+1xi+1，i=0，新泽西州- 1.（68）同样，这意味着σj（x）的一阶导数在点xi，i处发生跳跃∈ Z∩ [1，新泽西州]。由于σ（x，T）是时间的分段常数f函数，σj，i，σj，i不依赖于间隔[Tj，Tj+1），j∈ 0，M- 1] ，和j ump到点Tj，j处的新值∈ Z∩ [1米]。将表达式（67）替换为表达式。（46），对于第i个空间间隔，我们得到-（b+ax）xVx，x（x）+bxVx（x）+b0，jV（x）=c（x），（69）b=σj，i，a=σj，i。同样，等式（69）是一个非齐次常微分方程，其解可以用等式（51）的形式表示，其中i（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx+y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx≡ L+L。相应的齐次方程可按如下方式求解。首先，如果b6=0，b+ax 6=0，我们改变自变量x 7→ z=abx/[b（b+ax）]。因此，齐次方程式（69）采用形式bz(-b+bz）Vz，z（z）+zh2bz+b- bz公司iVz（z）+b（b- bz）V（z）=0。接下来，我们对从属变量v（z）7进行更改→ zk公司zbz+bkG（z），其中k，kb是给定时间片的一些常数。

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2022-6-10 19:10:37

这导致方程0=-bz公司b- bz公司G′（z）+f（z）G′（z）+f（z）G（z），（70）f（z）=zb- bz公司bz（2k+z+2）- 2bb（k+k+z）+b,f（z）=q+qz+qz- bkz，q=bb- bk（k+1）+b（3k+k）,q=bb2bk（k+k）- 2b级- b（3k+2k）,q=bb- （k+k）b（k+k- 1) - b.我们现在要求f（z）与z成比例b- bz公司具有常数乘法器q，即f（z）=qzb- bz公司.用z的幂逐项求解这个方程，我们得到k=-qb，k=q（b+q）- b（b+q）bb，q=b- b±qb+2b（2b+b）+b.相应地，将这些定义代入式（70）一个结果s0=zG′（z）+（b+z）G′（z）- aG（z），b=2-b+2qb，a=qb。这是一种Kummer方程，其中有两个独立的解，Polyanin和Zaitsev（2003）G（z）=e-zU（a+b，b，z），G（z）=e-zM（a+b，b，z）。（71）因此，由于q可以取两个值，对应于p lus和减号，我们得到了原始方程（70）的四个基本解。与上一节类似，我们无法在第一个0≤ x个≤ x和th弹性体xnj<x<∞ 每一个微笑的打击间隔T=Tjas，它比Lee的公式更严格。因此，在这两个层段，我们使用第4.1节中讨论的模型，其中局部方差在对数走向中是线性的。因此，局部波动率是局部方差的平方根。源项的计算公式（51）中源项pIin的计算可以通过几种方式实现。最前沿的方法是使用数值积分，因为P ut价格P（x，Ti-1）当我们求解T=Ti的等式（51）时，x的函数已经已知。我们强调，这不是酪蛋白Itkin和Lipton（2018），因为有功能P（x，Ti-1）是通过逆变换获得的，因此，只有在前一时间级别的一组离散打击才知道。因此，在进行积分时，有必要进行某种插值，以确定所有走向的局部方差。

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2022-6-10 19:10:40

此外，这种插值必须保持无套利，参见Itkin和Lipton（2018）。另一方面，使用无套利插值提供了另一个优势，因为如果明智地选择插值函数，可以计算封闭形式的源项积分。在这里，我们希望利用相同的想法，从而与数值积分相比，显著提高我们模型的计算性能。下面的例子考虑在走向空间中局部方差分段线性的情况。然后根据等式（63）第4.2节中的解，我们得到j（x）=-y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx=-y（x）abZy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，（72）y（z）=zmF（m- 1，m，c；z），c（z）=V（S，Tj-1，z），z=-ax/b，其中W（z）在等式（64）中定义。根据Itkin和Lipton（2018）的想法，在Carr和Itkin（2018）中，我们引入了非线性插值p（x）=γ+γx，x≤ x个≤ x、（73）γ=P（x）x- P（x）xx- x、 γ=P（x）- P（x）x- x、然后，Carr和Itkin（2018）中的命题6.1证明了该插值sch-eme是无套利的。值得强调的是，拟议的插值不会影响给定市场冲击下的解值（报价），因为分段插值器的构造与这些值完全匹配。因此，插值仅影响非kn自身的卖出价值，即在给定的市场冲击之间有冲击的卖出价值。因此，如果不使用这些罢工，即在交易或对冲中，插值的影响根本无法观察到。然而，如果它们用于某种目的，则与精确解的差异很小（在干扰误差范围内），而这些打击的近似解仍然不存在套利。回想一下，我们使用公式（45）引入了V（x）。因此，式（72）中的术语c（z）的形式为（见附录D和E q（D.3）），c（z）=V（S，Tj-1，z）=“γ+γz+”γz。

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2022-6-10 19:10:43

（74）事实证明，现在等式（72）中的积分可以以闭合形式计算。索引ZY（z）c（z）（1- z） zW（z）dz=I+I+I，（75）I=γZy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）Γ（c）（c- m级- 1） F（c- m级- 1，c- m+1，c，z），I=γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=γzA（z）Γ（c）（c）- m） F（c- m、 c类- m、 c，z）I=(R)γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）z（c- m+1）Γ（c）Fc- m、 c类- m+1，c- m+1c，2+c- m；z,A（z）=baΓ（c- 1） zc公司-m级-1，其中fa、 a、ab、b；z是广义超几何函数（Askey和Daalhu is（2010））。定义JJ（x）=y（x）Zy（x）c（x）（b+ax）xW（x）dx=y（x）abZy（z）c（z）（1）的第二个积分- z） zW（z）dz，（76）y（z）=zm+1-cF（米- c、 m+1- c、 2- cz），可以用类似的方法计算。结果readsZy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz=I+I+I，（77）I=γZy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）mF（2- m，-m、 2- c、 z），I=γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=γA（z）z（m- 1） F（1- m、 1个- m、 2- c、 z），I=(R)γZzy（z）（1- z） zW（z）dz=(R)γA（z）z（m- 2） F级1.- m、 2- m、 2- 平方米- c、 3- m；z,A（z）=baΓ（1- c） Γ（2- c） z-m、两种特殊情况是前0≤ x个≤ x和最后一个xnj<x<∞ 方程（53）和方程（54）给出的解的区间。5.1. 最后间隔xnj≤ x<∞.由于该区间的右边缘位于同一位置，因此应稍微修改等式（73）中的插值方案。这可以做两件事。第一种选择是将边界从实体移动到任何非常大但有限的正s trike。那么，可以毫无问题地使用等式（73）中的方案。但在我们的例子中，我们无法以闭合形式计算这些积分。因此，我们使用另一个选项，即用另一个非线性插值c（χ）=V（χ，Tj）替换等式（73）中的二次型-1，S）=γ∞z-ν、 z=χ+ba，（78），其中γ∞> 0，ν>0是一些需要确定的常数。显然，在χ→ ∞ 此插值保留了公式（47）中V的正确边界值，即V（χ）在此限值内消失。

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2022-6-10 19:10:46

γ适当值的推导∞, ν和附录B中给出的拟用插值保持无套利的证明。回想一下，在此区间，我们假设局部方差在对数走向χ中是线性的。因此，式（51）的数值稳定解对在式（54）中给出。然后可以闭合形式计算公式（51）中的积分。在此过程中，我们使用了Ng and d Geller（1970）Ze的以下符号-αzzνU（a，b，z）dz=Uν（α；a，b，z），Ze-αzzνM（a，b，z）dz=Mν（α；a，b，z）。然后i（χ）=y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ，（79）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξ∞Ze公司-zz公司-νU（α，β，z）dz=ξ∞U-ν(-1.α、 β，z），Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξ∞Zz公司-νU（β- α, β, -z） dz=(-1)-νξ∞U-ν(0; β- α, β, -z），ξ∞= (-1)β-αγ∞a2级-β.根据Ng和Geller（1970），Mν(-1.a、 b，z）=eiπ（ν+1）Mν（0；b- a、 b、，-z），（80）Mν（0；a，b，z）=zν+1ν+1Fν+1，aν+2，b；z, b 6=0，-1.-2.ν 6= - 1.-2.M-1（0；a、b、z）=abzFa+1、1、1b+1、2、3；z+ log（z），Uν（α；a，b，z）=πsin（πb）Mν（α；a，b，z）Γ（1+a- b） Γ（b）-Mν+1-b（α；1+a- b、 2- b、 z）Γ（a）Γ（2）- （b）.因此，所有必要的积分都可以用广义超几何函数表示。或者，这些积分可以用asU表示-ν(-1.α、 β，z）=G2,12,31, 2+α-β-ν1-ν, 2-β-ν, 0z, （81）U-ν(0; α, β, -z） =z1-νΓ(1 - α)Γ(β- α） G2,22,3ν, 1+α-β0, 1-β, ν-1.- z,其中Gm、np、q一apb，。。。，bq公司z是Meijer G函数，见Olver（1997）。不难验证在K→ ∞, 所以z→ ∞ , 积分I（χ）消失。5.2. 第一个间隔0≤ x个≤ x、回想一下，在此区间，我们假设局部方差在对数走向χ中是线性的。Sinceat K公司→ 0我们有χ→ -∞, 等式（51）的数值稳定解对仍由等式给出。(54).然而，在这个区间，我们需要另一种插值方案，因为之前描述的方案不会产生可处理积分。

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2022-6-10 19:10:49

然而，这可以通过使用以下非线性插值C（χ）=V（χ，Tj）来实现-1，S）=ωez/z，z=χ+ba，（82），其中ω<0是要确定的常数。显然，在K→ 0和s o z→ -∞, 此插值保留了公式（47）中V的正确边界值，即V（χ）在此限值内消失。附录C中给出了ω的适当值的推导以及建议的插值保持无轨道的证明。现在，公式（51）中的积分可以用闭合形式计算，即：y（χ）Zy（χ）C（χ）（b+aχ）Wdχ- y（χ）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ，（83）Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξZz-1U（α，β，z）dz=ξU-1（0；α，β，z），Zy（χ）c（χ）（b+aχ）Wdχ=ξZezz-1U（β- α, β, -z） dz=-ξU-1(-1.β- α、 β，z），ξ=(-1)β-αωa-β.函数U的表示-1(-1.β- α、 β，z），U-1（0；α，β，z）通过Meijer G-fun作用在公式（81）中给出。同样，可以很容易地验证，在K→ 0，所以z→ -∞, 积分i（χ）消失。5.3. 特殊情况z≈ 1或| v/b |<< 1、对于某些i，当间隔[Ki，Ki+1]时，会出现这种情况∈ [1，nj]系数a，等于| 1- zi |<< 1或| 1- zi+1 |<< 1、假设zi+1=1+，0<<< 1、如下一节所示，然后我们可以引入ghost点K*这样z*= 1.- . 因此，在间隔[K*, Ki+1]我们将使用等式（65）中的数值稳定解，而在区间[Ki，K*] - 式（63）中的正则解。如果zi=1，则可以提供相同的结构- .间隔z∈ [1-当z的值接近于z=1时超几何函数的奇异性时，有两种方法可以构造解。首先，我们可以使用v/bas a sm all参数建立一个渐近解，因为在z→ 1我们有v/b=（b+ax）/b=1-z→ 0.如Carr和Itkin（2018）所示，可以这样做，例如，使用Vasil\'eva等人的边界函数方法。

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2022-6-10 19:10:52

(1995).或者，根据等式（65），y（z）→ 1，y（z）→ z处为0→ 因此，这些解在z=1附近具有规则行为。因此，我们所需要做的就是提出可测量的无套利插值，以使公式（58）中源项的计算易于处理。该插值在附录D中构造。因此，根据公式（72）和公式（65），我们需要计算2个积分sj（x）=Zy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，J（x）=Zy（z）c（z）（1- z） zW（z）dz，（84）y（z）=zmF（m- 1米2米- c1.- z），c（z）=V（z，Tj-1，S），y（z）=zm（1- z） c类-2m+1F（c- m+1，c- m、 c类- 2m+2；1.- z），W（y（z），y（z））=ω（1- z） c类-2mz2m-c、 ω=-a（2m- 1.- c） b.积分J（x）可以以闭合形式找到，结果为J（x）=γJ2,0（x）+γJ2,1（x）+γJ2,1（x），（85）J2,0（x）=πωcsc（πc）z-mΓ（c- 2m+2）hzc-1F（c- m级- 1，c- m+1；cz）（c）- m级- 1） Γ（c）Γ（1- m） Γ（2- m） +F（2- m，-m；2.- cz） mΓ（2- c） Γ（c- m） Γ（c- m+1）i，J2,1（x）=π（m- 1） ωcsc（πc）z-mΓ（c- 2m+2）h（z（c- m） F（1- m、 1个- m；2.- cz） Γ（2- c） Γ（c- m+1）-zcF（c- m、 c类- m；cz）（c）- m） Γ（c）Γ（1- m） i，J2,2（x）=Γ（c- 2m+2）ωΓ（1）- m） Γ（2- m） Γ（c- m） Γ（c- m+1）G2,33,31,1,22-m、 c类-m+1，0z.使用公式（D.3）中定义的无套利插值的积分J（x）readsJ（x）=ω-1Z（1- z）-c+2m-1zc-m级-2F（米- 1，m；2米- c1.- z）（‘γ+γz+’γz）dz。该积分可计算如下。我们提醒z∈ [1 - , 1 + ], || << 1.

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2022-6-10 19:10:56

因此，术语zk，k∈ R可以展开成z=1附近的系列，以获得zk=∞Xi=0(-1）我ki公司(1 - z） i J（x）取公式J（x）=ω-1(γ∞Xi=0(-1）我c- m级- 2iZ（1- z）我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz（86）+γ∞Xi=0(-1）我c- m级- 1iZ（1- z）我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz+’γ∞Xi=0(-1）我c- 惯性矩Z（1- z）我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz）=ω-1.∞Xi=0νiZ（1- z）我-c+2m-1F（米- 1，m；2米- c1.- z） dz，=ω-1.∞Xi=0νic- 我- 2m（1- z）-c+i+2mFm级- 1米2米- c+i2m- c、 2m+i- c+1；1.- z,νi=(-1）我γc- m级- 2i+ γc- m级- 1i+ γc- 惯性矩.指数-如果z=1附近b>0，c+i+2m=i+b/b始终为正值。根据附录D，bis的该条件在以下情况下有效：1- ≤ z<1。在此之前，扩展Q中有2-3个术语。（86）在计算积分时提供足够的精度。然而，当1+>z>1（因此为双负）时也是如此，这意味着整个指数也为负，至少在低i时是如此。这是因为乘积的行为（1- z）我-c+2mFm级-1米2米-c+i2m-c、 2m+i-c+1；1.- z即使在这种情况下也是正常的。在一个类似的例子中，前面章节中考虑的其他局部方差/波动性模型的源项可以以封闭形式计算。我们把这个练习留给读者。6、单学期微笑校准。Carr和Itkin（2018）中描述了局部波动性模型的校准问题，以及整个微笑解决方案的构建。在这里，我们遵循相同的应用程序路径，因此，只提供一些针对GLVG模型的简短评论。再次，作为一个例子，考虑局部方差是罢工的分段线性函数的情况。

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