因此，我们需要4个附加条件来不安静地解决它。为此，观察常数C（2）j，1，C（2）j，nj可根据式（47）中的边界条件确定。实际上，在K→ 公式（54）中的0函数y（χ）消失（在此时间间隔内a<0），但y（x）不消失。因此，为了遵守等式（47）中的消失边界条件，我们必须设置C（1）j，1=0。正如已经讨论过的，eq中的源项。（83）也在此限制内消失。因此，式（54）中的解（源项在式（83）和C（2）j中，1=0）遵守z处的边界条件→ 0.K时→ ∞ 基于等式（54）中的解在该区间a>0的表示，类似地，我们必须设置C（2）j，nj=0，因为等式（54）中的解y（x）在z发散→ ∞.其余两个附加条件可以通过多种不同的方式设定。在这里，我们依靠交易者的直觉，了解在接近于零和完整的冲击下波动率表面的渐近行为。根据我们的构造，它们由vj，0和vj，nj确定。因此，我们假定这些系数以某种方式已知，即将其视为我们模型的给定参数。总之，通过求解方程（88）的非线性系统，我们找到了问题的最终解决方案。这可以通过使用标准方法来实现，因此，不需要任何优化过程。然而，良好的初始猜测仍然有助于更好（更快）的收敛。Carr和Itkin（2018）描述了这种猜测的构造。还要注意，该系统具有块对角结构，其中每个块是2x2矩阵。

因此，它可以很容易地用线性复杂度O（nj）来求解。在计算第一阶导数时，我们考虑到超几何函数的导数属于同一类函数，因为Abramowitz和Stegun（1964）zF（a，b，c，z）=abcF（a+1，b+1，c+1，z），采埃孚a、 b、cd、e；z=abecdF公司a+1、b+1、c+1d+1、e+1；z.Meijer G函数也是如此。例如，zG2,22,3ν, 1+α-β0, 1-β, ν-1.- z=Γ(1 - α)Γ(β- α） zU（β- α, β, -z） （89）+（ν- 1） G2,22,3ν, 1+α-β0, 1-β, ν-1.- z.因此，计算解决方案的主动性不会引起任何新的技术问题。6.1. 特殊情况| 1- zi |<< 1在某个节点Ki，i∈ [1，新泽西州]。在不丧失一般性的情况下，假设zi=1- an d zi+1>> 1+w，0<<< 1、另一种情况zi=1+和zi-1.<< 1.- 可以以类似的方式处理。那么让我们引入一个鬼影点K*这样z*= 1+ . 所以在间隔[Ki，K*] 我们将使用等式（65）中的数值稳定解，而在区间[K*, Ki+1）-式（63）中的正规溶液。自K起*是鬼点，我们没有K的市场报价*. 我们所能说的是，我们假设局部方差/波动率是K在[K]的分段线性函数*, Ki+1]和[Ki，K*]. 它必须是连续的，但在K处倾斜可能会发生跳跃*.从K的市场报价开始*不可用，我们可以用任何合理的值替换它。例如，可以使用通过使用无套利插值获得的Ki，Ki+1的市场报价之间的插值。然后我们得到了C（1）j的四个方程，*, C（2）j，，*, vj、，*, vj、，*Pi（x）| x=xi=P*（x） | x=xi，（90）P*（x） | x=x*= Pinterp（x）| x=x*,P*（十）x个x=xi=Pi（x）x个x=xi，vj，i+vj，ix*= vj、，*+ vj、，*x个*, i=1，新泽西州。应将其添加到公式（88）中。

用与方程（88）相同的方法求解这个新的组合线性系统，我们找到所有未知的C（1）j，i，C（2）j，，i，vj，i，vj，i，现在i∈ {[1，新泽西州]∪ *}.讨论首先，让我们提到，在许多实际计算中，系数a=vj，iat somei，或两者b=vj，i，a=vj，i（例如，见E q.（57））都很小。当然，在这种情况下，通解式（63）仍然有效。然而，当用数值计算超几何函数的值时，在这种情况下，误差会显著增加。当计算源项积分I时，这一代词尤其重要。主要的一点是，要么超几何函数取一个很小的值，然后常数C（1）j，I，C（2）j，I应该非常大以进行补偿，反之亦然。解决这个问题需要高精度的算法，更重要的是，考虑到超几何函数系列表示中的许多项，这会显著降低方法的总体性能。为了消除这些问题，我们可以考虑方程（57）的渐近解，从一开始就考虑到小参数的存在。这一方法在Itkin和Lipton（2018）中成功实施；Carr和Itkin（2018），所以我们这里不详细描述它。在Carr和Itkin（2018）中，我们校准了E LVG模型，例如根据Balaraman（2016）的数据集进行校准。本文给出了标准普尔500指数的隐含波动率曲面，并利用杜皮尔公式构造了局部波动率曲面。我们采用了Balaraman（2016）中给出的前12个自然度和所有罢工的数据。我们的结果表明，校准的精度和速度都很高。进行此操作时，应作出技术说明。

我们已经提到，在我们的早期模型中，在接近于零的走向处，微笑的斜率vj，0和单位，vj，nj是该模型的自由参数。交易员往往对这些价值有直觉。然而，在我们的数值实验中，我们只是使用一些看似合理的测试值来设置它们。特别是在Carr和Itkin（2018）中，为了简单起见，我们使用了vj，0=-0.3，vj，nj=0.1。因此，尽管看起来很吸引人，但我们不能要求vj，i=vj，*因为这也会产生vj，i=vj，*. 然而，vj，i在z=1时改变符号。瞬时方差vj（xi）=pj（vj，i+vj，ilog（xi））/2零度和正度的斜率均具有时间依赖性，可以使用此定义进行计算。作为线性方程组的数值解算器，我们使用标准的Matlab fsolvefunction，并使用“信赖域狗腿”算法。必须仔细选择参数“TypicalX”，以加速计算。在本文中，我们重复了这个测试，但现在使用的是GLVG而不是ELVG。结果与C arr和Itkin（2018）的图5相同，即测试结果的质量相同，方法的性能几乎相同。但Carr和Itkin（2018）的结论保持不变，即该模型的性能比Itkin（2015）和Itkin及Lipton（2018）的报告要好得多。因此，一个自然的问题是：局部方差Gamma模型算法或几何模型哪个更可取。也许，如果最终目标是快速校准给定的微笑，两者都可以互换使用，并且都能够提供良好且快速的效果。然而，对于期权价格建模，几何和算术LVG模型之间的差异与Bachelier模型和Black-Scholes模型之间的差异是相同的。

因此，例如，对库存价格进行建模时，后者更可取，而对利率进行建模时，前者可以提供负值，这在当今是一个可取的特征。结论在本文中，我们提出了局部方差γ的另一种形式。与现有文献相比，本文做出了一些贡献。首先，该模型是基于一个带漂移的Gammatime变换几何布朗运动构造的，而在以前的所有论文中都使用了算术布朗运动。其次，我们考虑了两种局部方差模型——走向分段线性模型、对数走向分段线性模型和走向局部波动分段线性模型（这在本文中是新的）。我们还考虑了局部方差的组合模型，该模型在内部区间呈分段线性，在第一个和最后一个区间的对数走向呈线性（详见下文）。第三，我们表明，对于所有这些新的构造，仍然可以推导出期权价格的序数微分方程，该方程在标准局部波动率模型中起到了Dupire方程的作用。此外，它可以根据超几何函数的各种形式以闭合形式求解。为此，我们提出了几个新版本的无套利插值，类似于Carr和Itkin（2018）中的做法，但形式略有不同，因此eIntireProach变得易于处理。此外，我们还简要讨论了各种渐近解，这些渐近解可以显著加速数值解算器，并在这种情况下提高其精度（即，模型的参数是否符合应用相应渐近解的条件）。

为简洁起见，我们省略了精确的推导，因为它们的获得方式与Carr和Itkin（2018）中的类似。第四，推导了GLVG中看跌期权的新边界条件。它们是离散的，在连续情况下会收敛到标准边界条件（Dupire）。这些条件是使用一些离散复合的模拟构造的，这对于LVG模型来说是很自然的。最后，我们注意到，对于任何沿区间局部方差/波动性的分段模型，如果罢工接近于0或接近于完整性，由于Roger Lee的矩公式，必须切换到对数罢工的局部方差线性。因此，整个局部方差/波动性模型成为内部区间原始模型和边缘区间对数走向局部方差线性模型的组合。GLVG模型的其他特性基本上继承自ELVG。就立场而言，与Carr和Itkin（2018）类似，我们表明，给定多个微笑，可以恢复整个局部方差/波动率曲面，而不需要解决任何优化问题。相反，它可以通过为每个自然数解一组非线性代数方程来逐项完成，速度更快。附录A.公式（59）在z处的数值满意解→ ∞.根据Olver（1997），方程（59）在z处奇点附近的数值满意基本解=∞ arey（x）=zm[z-AF（A，A- C+1，A- B+1，1/z）]，（A.1）y（x）=zm[z-BF（B，B- C+1，B- A+1；1/z）]，其中在我们的情况下，A=m- 1，B=m，C=C。此子结构将第二个解转换为inEq。（A.1）玩具（x）=zm[z-mF（m，m- c+1，2；1/z）]，（A.2），在z处表现良好→ ∞.

但是，由于在ou r设置中≡ A.- B+1=m- 1.- m+1=0，并且由于属性ylimc→-nF（a，b，c；z）Γ（c）=（a）n+1（b）n+1（n+1）！zn+1F（a+n+1，b+n+1，n+2；z），y（x）=F（m- 1，米- c、 0；z） =Γ（0）（m）- 1） （m）- c） （1）！zF（米，米- c+1，2；z） 结果表明，第一个解决方案与第二个解决方案仅通过一个常数乘数不同，即它们不是独立的。因此，在这种情况下，应根据Batman和Er d’elyi（1953）的超几何函数的更复杂的解析延拓选择第一个解y（x）。y（x）=zm[(-z） 1个-mΓ（c）Γ（m）Γ（c- m+1）ψ（z）]，| z |>1，| ph(-z） |<π，（A.3）ψ（z）=1-z∞Xk=0（m- 1） k+1（m- c） k+1k！（k+1）！z-k[日志(-z） +φk）]，φk≡ ψ（k+1）+ψ（k+2）- ψ（m+k）- ψ（c）- m级- k） ，（m）k=Γ（m）/Γ（k），ψ（x）=Γ′（x）/Γ（x）。附录B.χ无套利插值→ ∞.在本附录中，我们证明了以下命题：命题1。回想一下，根据公式（78），V（χ，Tj）的拟议插值方案-1，S）间隔xnj≤ x<∞ readsc（χ）=V（χ，Tj-1，S）=γ∞z-ν、 z=χ+ba，（B.1），其中γ∞> 0，ν>0是以下证明中确定的一些常数。此外，该方案保持无套利。构造证明，在K→ ∞, c（χ）收敛到正确的边界条件，即消失。假设Knjis在货币中，公式（78）可以重新写成p（K）=A（Tj-1） K级- B（Tj-1） S+γ∞[日志（K/S）+b/a]-ν. （B.2）在这个区间v=B+alog（K/S）>0，假设在K>S时，我们必须有a>0。因此，为了获得正的卖出价格，我们需要eγ∞> 该常数可以通过在Knj处使用已知的Put值来确定，即P（Knj）=Pnj。这产生γ∞= [Pnj- A（Tj-1） Knj公司- B（Tj-1） S]ba+日志KnjS公司ν> 0.

（B.3）因此，该定义也符合γ的正性要求∞.正如Itkin和Lipton（2018）所详细描述的，Putprice readP>0，PK>0，PK，K>0的无套利条件。将等式（B.2）在K上微分，然后再次得到p′K=A（Tj-1) -γ∞νKba+日志堪萨斯州-1.-ν、 （B.4）P′K=γ∞νaKba+日志堪萨斯州-ν-2[b+a（1+ν+对数（K/S））]。分析这些表达式，我们得出结论，P′\'K>0。在K时观察到→ ∞ 我们还发现p′K>0。还可以观察到P′Kis是K的单调f函数。因此，让我们看看P′K（Knj）。将K=Knj代入式（B.4）的第一行中，yieldsP′K（Knj）=A（Tj-1） +aνKnj（b+alog（K/S）A（Tj-1） Knj公司- B（Tj-1） S- Pnj公司. （B.5）当Put值超过其固有值时，如果0<ν<A（Tj），P′K（Knj）为正-1） Knj公司ba+日志KnjS公司Pnj公司- A（Tj-1） Knj+B（Tj-1） S-1.≡ Ohm. （B.6）大体上，KNJ第一个方括号中的表达式较大，第二个方括号中的表达式较小。因此，ν的上边界足够高。最后，我们考虑了众所周知的看跌期权价格上界，即Hull（1997）Pnj≤ A（Tj）Knj。因此，我们可以将等式（B.6）重写为0<ν<A（Tj-1） B（Tj-1） KnjS公司ba+日志KnjS公司≈KnjS公司ba+日志KnjS公司≤ Ohm. （B.7）因此，如果根据E q选择ν。（B.6）或等式（B.7），这保证P′K（Knj）>0。AsP′K（K）是K的单调函数，这证明了通过选择ν，条件P′K（K）>0在整个区间xnj是有效的≤ x<∞. 因此，此插值不保留套利。附录C.χ无套利插值→ -∞.在本附录中，我们证明了以下命题：命题2。回想一下，根据公式（78），V（χ，Tj）的拟议插值方案-1，S）间隔-∞ ≤ x<xreadsV（χ，Tj-1，S）=ωez/z，z=χ+ba，（C.1），其中ω=V（χ，Tj-1，S）ze-z<0是常数。

此外，该方案不存在套利。很明显，在K=Kwe时，有χ=log（K/S），V（χ，Tj-1，S）=V（χ，Tj-1，S）≡ 五、 因此，假设罢工Kis超出资金ω=Vze-z<0。（C.2）正如Itkin和Lipton（2018）所详细描述的，Putprice readP>0，PK>0，PK，K>0的无套利条件。根据公式（78）和公式（45）中V的定义，该区间的Pu t价格可以表示为SP（K，Tj-1，S）=ωez/z=ωeb/aK/Slog（K/S）+b/a.（C.3），在这个区间v=b+alog（K/S），假设K<S，我们必须有a<0。因此，要获得正卖出价格，我们需要ω<0。这与等式（C.2）中引入的ω值一致。将等式（C.3）与K进行微分，然后再次得到p′K=ωaSeb/ab- a+alog（K/S）（b+alog（K/S））>0，（C.4）P′\'K=-ωaKSeb/ab- 2a+alog（K/S）（b+alog（K/S））>0。因此，所提出的方案可用于插值，因为它在K=K和K时提供了正确的看跌期权价格→ 0，并且在K中为Monotone。此外，它不保留套利。附录D.z无套利插值→ 1、根据式（63）中的定义，z=-abx，这意味着1- z=1+abx=vjib。很明显，vji≥ 因此，当z接近1时，可能存在两种情况：1。z<1，表示b>0，因此a<0；2、z>1，表示b<0，因此a>0。假设对于卖出价格的插值，我们使用公式（73），即P（x）=γ+γx，x≤ x个≤ x、 （D.1）γ=P（x）x- P（x）xx- x=P-P- 二甲苯- xx>0，γ=P（x）- P（x）x- x> 0。第二个不等式很明显，因为如果x>x，则P（x）>P（x）。第一个不等式是因为卖出价格超过其内在价值，即Pi=[A（Tj）Ki- B（Tj）S）++εi，εi>0。假设，例如，在钱里都打K，Kare。

那么γ=P-P- 二甲苯- xx=P-A（Tj）S（x- x） +ε- εx- xx（D.2）=Px+x（P- A（Tj）K）x+x+ε- εx- xx>0，基于卖出价格ε>ε的性质。从公式（D.1）可以得出V=γ+γx- A（Tj）Sx+B（Tj）S=’γ+γz+’γz，（D.3）’γ=γ+’B（Tj）S，γ=abA（Tj）S，’γ=γab。Carr和Itkin（2018）证明，插值公式（D.1）不存在套利，而公式（D.3）中的情况也是如此。我们在计算公式（84）中的J（x）时使用它。参考Abramowitz，M.，S tegun，I.，1964年。数学函数手册。多佛出版社，股份有限公司Askey，R.，Daalhuis，A.B.O.，2010年。广义超几何函数，摘自：Olver，F.、Lozier，D.、Boisvert，R.、Clark，C.（编辑），《NIST数学函数手册》。剑桥大学出版社。Balamaman，G.，2016年。使用QuantLib Python对波动率Smile和赫斯顿模型校准进行建模。可获得的athttp://gouthamanbalaraman.com/blog/volatility-smile-heston-model-calibration-quantlib-python.html.Bateman，H.，Erd\'elyi，A.，1953年。更高的超越函数。贝特曼手稿项目加州理工学院第一卷。麦格劳·希尔。Bergomi，L.，2016年。随机波动率建模。CRC金融数学系列，Chapmanand Hall。Bochner，S.，1949年。《扩散方程和随机过程》，载于《美国国家科学院的过程》，第368-370页。Carr，P.，Itkin，A.，2018年。扩展的局部方差gamma模型。可获得的athttps://arxiv.org/abs/1802.09611.Carr，P.，Nadtochiy，S.，2014年。局部方差gamma和期权价格的显式校准。可用位置：https://arxiv.org/abs/1308.2326.Carr，P.，Nadtochiy，S.，2017年。局部方差Gamma和选项价格的显式校准。数学金融27，151–193。Coleman，T.、Kim，Y.、Li，Y.、Verma，A.，2001年。具有确定性局部波动率函数模型的动态套期保值。《风险杂志》4，63–89。De Marco，S.、Friz，P.、Gerhold，S。，2013

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