在该函数为负值的区域，交易员0的初始风险敞口在受限市场环境下比完全参与时产生更高的福利。h（x）=-5.-（3/2）x+q（1- （3/2）x）+24（1+x）我们有6+’h（x）=12h（1/（1+x）），因此12（V∧rV-~h（Dρ））=1-\'h（ρ）-1.-1 1 -\'\'小时(-ρ)!.如果上述矩阵的轨迹为正且行列式为非负，则上述矩阵为正定义矩阵。现在，很容易检查到“his凹面”，这意味着轨迹1-\'h（ρ）+1-\'\'小时(-ρ） 是凸的，并且（显然）在ρ中是偶数；因此，它总是大于或等于2- 2’h（0）=2>0。此外，行列式等于（1-\'h（ρ））（1-\'\'小时(-ρ)) - 1=’h（ρ）’h(-ρ) -\'h（ρ）-\'\'小时(-ρ);ρ的这一函数也是偶数函数，可以检验为凸函数；因此，它总是占主导地位（1-(R)h（0））- 1 = 0.异质信念和限制参与下的价格影响21概括地说，取消限制可能会增加交易的社会福利，即使限制交易者在施加限制时具有更高的价格影响。4、证明4.1。引理1.1的证明。设置D-j： =Pi∈I \\{j}Di。让z∈ 十、 假设hz，D-jzi=0。那么，对于所有i，hz，Dizi=0∈ I \\{j}。自Di以来∈ SXi公司, z`=0表示所有`∈ Ki，wheneveri∈ I \\{j}。因此，z`=0表示所有`∈硅∈I \\{j}Ki。但是，Si∈I \\{j}Ki=K，因为我们假设| Ik |≥ 所有k为2∈ K、 4.2。定点方程。定理1.3的证明将在一系列子节中给出，从目前的§4.2开始，在§4.5中结束。

如前所述，§4.6包含命题2.1的证明。让F：Qi∈ISXi7.→气∈ISXi通过（4.1）Fi（X）定义=B-Xii+πi（X-（一）-1πi-Xi，i∈ 一、 根据定义1.2，平衡负需求斜率表示为F的执行点，即方程（4.2）X=F（X）的解<==> Xi=B-Xii+πi（X-（一）-1πi-Xi，i∈ 一、 下面的引理提供了函数F的上界。引理4.1。对于每个i∈ 一、 它认为Fi（X）XiBi，以及FI（X）XiπiX-iπi 十、-i、 证明。对于引理的第一部分，我们很容易得到B-十二XiB公司-Xii+πi（X-（一）-1πi，表示顺序fi（X）=B-Xii+πi（X-（一）-1πi-xi锡比，我∈ 一、 对于第二阶，我们首先表明（4.3）（πiX-iπi）-xi πi（X-（一）-每个i的1πi圈∈ 一、 实际上，在重新排列X的列和行时-i在左上角对应于Ki的子矩阵中写入X-土地X-1.-iin块格式asX-i=CCB！，十、-1.-i=D FFE！其中A和D是（Ki×Ki）-维的。SinceA CCB！天哪=AD+CFAF+CECD+BFCF+BE！，22 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS Kardarasth X-九-1.-iis身份矩阵给定SAF+CE=0=> F=-A.-1CE；D=A-1.- A.-1CF=A-1+A-1CECA-1. A.-然后我们得到（4.3），因为（πiX）-iπi）-Xi=A-10 0!D 00 0！=πi（X-（一）-1πi。那么，从（4.3）可以得出（πiX-iπi）-xi B-Xi+πi（X-（一）-1πi。后者给出thatFi（X）=B-Xii+πi（X-（一）-1πi-xiXiπiX-iπi。我们已经看到，如果存在至少一种资产，最多可由两名交易员交易，那么就没有实现均衡的希望。这一结果与两个交易者市场中相应的非均衡结果一致，例如，Kyle【1989】、Vayanos【1999】和Vives【2011】。引理4.2。如果| Ik |=2对某些k保持不变∈ K、 不存在纳什均衡。证据假设X*是纳什均衡，所以X*= F（X*), 而Ik={i，j}对于一些k∈ K和i，j∈ I，I 6=j。

如果ek∈ Rks表示只有在第k个坐标中才有条目1的零向量，然后（因为πiek=ek=πjek），我们从引理4.1得到*i（k，k）=hek，X*伊基<埃克，X*-iek公司= 十、*-i（k，k）=X*j（k，k）。对称参数显示X*j（k，k）<X*i（k，k），这导致了矛盾。4.3. 存在固定点。考虑引理4.2，我们在下文中假设| Ik |≥ 所有k保持3次∈ K、 在该假设下，基于平衡负需求斜率到（4.2）的特征，我们首先表明，总是存在这种平衡。实现这一目标的下一步是证明（4.1）中定义的功能F是不减损的。为此，我们需要延长订单 onQi公司∈ISXi, 通过定义orderX≡ （Xi；i）∈ （一） （一；一）∈ （一）≡ Y<==> xi 易，我∈ 一、 自X起 Y表示X-我 Y-i、 就我而言∈ 一、 即πI（Y-（一）-1πi πi（X-（一）-1πi，它跟在fi（X）后面=B-Xii+πi（X-（一）-1πi-xiB-Xii+πi（Y-（一）-1πi-Xi=Fi（Y），对于所有i∈ 一、 因此，（4.4）X≡ （Xi；i）∈ （一） （一；一）∈ （一）≡ Y型==> F（X） F（Y），异质信念和限制参与下的价格影响23，这意味着F是非递减的。此外，引理4.1给出（4.5）F（X） B十、≡ （Xi；i）∈ （一）∈易∈ISXi,其中B≡ （Bi；i）∈ 一） 。现在确定两组：（4.6）L：=（X∈易∈ISXi| 十、 F（X）），U：=（X∈易∈ISXi| F（X） 十） 请注意，L∩ U与F的固定点集重合。从（4.5）中，我们得到了thattB∈ U、 对于所有t∈ [1, ∞). 下一个结果是互补的。引理4.3。存在Z∈气∈ISXi带Z B和rZi的属性XiFi（rZ）适用于所有i∈ I和r∈ （0，1）；尤其是rZ∈ 五十、 适用于所有r∈ （0，1）.证明。选取足够小的α>0，以便4απi Bi，我∈ 一、 设Zi=απI，对于所有I∈ 一、 注意Z （1/4）B B、 事实是| Ik \\{i}|≥ 所有k的2个保持∈ K impliesZ公司-i=αXi∈I \\{I}πj 2αidX。修复r∈ (0, 1].

自B起-十二 (4α)-1πi，我们有b-Xii+πi（rZ-（一）-1πi2α+rπi=2+r2rαπi∈ 一、 因此，我们得到thatFi（rZ）=B-Xii+πi（rZ-（一）-1πi-xi2+rrαπiXirZifor all i公司∈ 一、 这特别表明rZ F（rZ），即rZ∈ L在下面的引理中，Fo函数F与自身的n倍组合的nstands。引理4.4。假设X∈ U和Y∈ 我是这样的 十、 和表单序列（Xn；n∈ N） 和（Yn；N）∈ N） 通过Xn：=Fon（X）和Yn:=Fon（Y）表示n∈ N、 然后：（1）序列（Xn；N∈ N） 是非递减的，序列（Yn；N∈ N） 是非递增的，并且Yn 所有n的Xnholds∈ N特别是极限X*:= 画→∞Xn公司∈气∈ISXi和Y*:= 画→∞Yn公司∈气∈ISXi存在并满足Y Y* 十、* 十、 （2）它认为X*= F（X*) 和Y*= F（Y*), i、 e.，X*和Y*是均衡价格影响。（3） 无论何时Z∈气∈ISXiZ=F（Z）和Y Z 十、 然后是Y* Z 十、*24米哈伊尔·安瑟罗·佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯普洛夫。将F迭代应用于不等式Y 十、 利用X∈ U安迪∈ 和单调性（4.4），紧接着是陈述（1）的主张。因为单调极限X*:= 画→∞X与Y*:= 画→∞Ynexist和areQi∈ISXiF给定的有值连续性x*= 画→∞Xn=limn→∞F（Xn-1） =F（limn→∞Xn公司-1） =F（X*),类似地，Y*= F（Y*), 这就是陈述（2）。最后，以Z为例∈ L∩ U带Y Z 十、 使用语句（1）和（2）的结果和符号（Y，Z）替换（Y，X），我们得到Y* Z*= Z、 类似地，（Z，X）替换（Y，X），我们得到Z=Z* 十、*. 下一个结果特别表明，（4.2）存在全局最大解。引理4.5。设X=B。形成序列（Xn；n∈ N） 通过Xn=Fon（X），对于所有n∈ N、 那么，极限X*:= 画→∞Xn公司∈气∈ISXi存在，它保持X*= F（X*), 对任何人来说∈ L它认为Y 十、*.证据

回想一下X=B∈ U和存在Z∈ L带Z X乘引理4.3。因此引理4.4给出X*存在和F（X*) = 十、*. 如果Y∈ 五十、 然后是Y F（Y）B=X，再由引理4.4得到Y 十、*. 4.4. 固定点的唯一性。引理4.5实际上表明，最大解x*存在（4.2）中的；结合引理4.4，可以得出如下结论，只要Y∈ 五十、 存在（4.2）的最小解，该解的下方为Y，上方为X*. 根据引理4.3，存在Z∈气∈ISXi这样rZ∈ 五十、 适用于所有r∈ （0，1）。我们将在下面显示，下面由rZ主导的最小固定点与X重合*适用于所有r∈ （0，1）；自r∈ （0，1）是任意的，这也意味着固定点的（全局）唯一性。在续集中，以及最大解X*= （十）*i；我∈ 一） 对于引理4.5的（4.2），我们取Z∈气∈ISXi如引理4.3，fix r∈ （0，1），设X≡ （Xi；i）∈ 一） 是以rZ为界的最小固定点。我们必须证明，X=X*.定义H：=X*- 十、引理4.4的语句（3），Hi：=（X*我- Xi）∈ S适用于所有i∈ 一、 引理4.4语句（3）的另一个应用给出了rZiXiFi（rZ） XIF所有i∈ 一、 这意味着我们可以选择一个足够小的 > 0，以便rZ 十、- H、 现在考虑映射[-, 1] 3吨7→ X（t）：=（X+tH）∈易∈ISXi,注意X（0）=X和X（1）=X*.直接从函数F的定义可以看出，映射(-, 1） 3吨7→ Φ（t）≡ F（X（t））∈易∈ISXi异质信念和限制参与下的价格影响25是连续两次不同的。下一个结果表明，它实际上是“凹的”。引理4.6。Φ（t）：=F（X（t））表示t∈ (-, 1） ，它认为-Φ（t）t型∈易∈是, t型∈ (-, 1).因此，映射(-, 1） 3吨7→ -Φ（t）/t按（S）的顺序不递减)一、 证明。

对于所有t∈ (-, 1） 而我∈ 一、 它认为德克萨斯州-i（t）-1= -十、-i（t）-1.德克萨斯州-i（t）十、-i（t）-1= -十、-i（t）-1小时-九-i（t）-1、自Φi（t）=（Bi）-Xi+πiX-i（t）-1πi-xi∈ SXi公司t保持∈ (-, 1） 而我∈ 一、 接下来就是Φi（t）t=-Φi（t）t型Φi（t）-xiΦi（t）=-Φi（t）πi德克萨斯州-i（t）-1πiΦi（t）=Φi（t）πiX-i（t）-1小时-九-i（t）-1πiΦi（t）=Φi（t）X-i（t）-1小时-九-i（t）-1Φi（t），其中最后一行紧随其后，因为Φi（t）πi=Φi（t）=πiΦi（t）。呼叫3(-, 1) 7→ Di（t）：=X-i（t）-1小时-九-i（t）-1.∈ S, 我∈ 一、 自X起-i（t）Di（t）X-i（t）=H-作为t函数的常数矩阵∈ (-, 1） ，我们获得德克萨斯州-i（t）Di（t）X-i（t）+X-i（t）tDi（t）十、-i（t）+X-i（t）Di（t）德克萨斯州-i（t）= 0，即H-iDi（t）X-i（t）+X-i（t）tDi（t）十、-i（t）+X-i（t）Di（t）H-i（t）=0tDi（t）=-十、-i（t）-1小时-iDi（t）- Di（t）H-九-i（t）-1= -2倍-i（t）-1小时-九-1.-i（t）H-九-i（t）-1= -2Di（t）X-i（t）Di（t）。因此，自Φi（t）/t=Φi（t）Di（t）Φi（t），我们得到Φi（t）t型=Φi（t）tDi（t）Φi（t）+Φi（t）Di（t）t型Φi（t）+Φi（t）Di（t）Φi（t）t=2Φi（t）Di（t）Φi（t）Di（t）Φi（t）- 2Φi（t）Di（t）X-i（t）Di（t）Φi（t）=-2Φi（t）Di（t）（X-i（t）- Φi（t））Di（t）Φi（t）。26 MICHAIL ANTHROPELOS和CONSTANTINOS Kardaras引理4.1，我们有Φi（t） 十、-i（t）。此外，由于Φi（t）Di（t）∈ S, 很明显-Φi（t）t型∈ S, t型∈ (-, 1） 以及我∈ 一、 用于- ≤ t<t≤ 1，以上暗示Φi（t）t型t=t-Φi（t）t型t=t=Ztt-Φi（t）tdt公司∈ S, 我∈ 一、 完成参数。回想一下X≡ （Xi；i）∈ 一） 表示F的最小固定点，该点在rZ以下有界，我们的目的是显示X=X*.引理4.7。什么时候- ≤ s<0，它保持X（s）∈ U、 即F（X（s）） X（s）。证据

注意H=X*- X=F（X（1））- F（X（0））=ZF（X（t））tdt。鉴于以下事实：(-, 1） 3吨7→ -F（X（t））/t是不变的，如引理4.6所示，我们有h=ZF（X（t））tdt公司sZs公司F（X（t））tdt=s（F（X（s））- F（X（0））），s∈ （0，1）。因此，F（X（s））ss=0=lims↓0F（X（s））- F（X（0））s H、 再次使用以下事实：(-, 1） 3吨7→ -F（X（t））/t是非减损的，这意味着F（X（t））/t型 H适用于所有t∈ (-, 0），我们获得X- F（X（s））=F（X（0））- F（X（s））=ZsF（X（t））tdt公司 -上海，s∈ [-, 0），表示F（X（s）） X+sH=X（s）在以下情况下保持- ≤ s<0。我们现在准备完成唯一性证明。回想一下 > 选择了0，因此rZ X个(-). 自另加rZ∈ L和X(-) ∈ U、 引理4.4给出了性质为rZ的固定点Y的存在性 Y X个(-). 由于X是由rZ控制的最小固定点，这将给出X Y与Y一起 十、- H和H∈气∈是给出H=0，即X=X*.异质信念和限制参与下的价格影响274.5。通过迭代收敛到解。现在唯一性已经建立，我们可以证明迭代过程将始终收敛到唯一根，从而完成定理1.3的证明。引理4.8。对于任意X∈气∈ISXi, 形成序列（Xn；n∈ N） 通过归纳，要求Xn=F（Xn-1） ，对于所有n∈ N、 然后，它认为→∞Xn=X*.此外，如果X∈ 五十、 序列（Xn；n∈ N） 如果X∈ U、 序列（Xn；n∈ N） 是非递增的。证据如果X∈ 五十、 不等式X F（X）=X，形式（4.4）的F的单调性通过归纳法表明（Xn；n）∈ N） 是不减损的。

类似地，如果X∈ U、 不等式X=F（X） x和F的单调性表明（Xn；n∈ N） 是非递增的。给定任意X∈气∈ISXi, 回想一下引理4.1意味着tB∈ U代表所有∈ [1, ∞) 引理4.3保证了Z的存在∈气∈ISXi, 这样Z 频带rZ∈ L代表所有r∈ （0，1）.选取r∈ （0，1）非常小且∈ [1, ∞) 足够大，例如w：=^rZ 十、^tB=：Yholds。然后，确定序列（Wn；n∈ N） 和（Yn；N）∈ N） 通过F进行迭代，即Wn：=F（Wn-1） 和Yn：=F（Yn-1） ，对于每个n∈ N、 自W起 十、 Y、 F的单调性和归纳给出Wn Xn公司 Yn，对于每个n∈ N、 此外，由于W∈ L和Y∈ U、 序列（Wn；n∈ N） 是非减量的，事实上，以Y为界，而序列（Yn；N∈ N） 是非递增的，并且以W为界。因此，两个序列都有极限W∞和Y∞, 分别是W∞ Y∞. F的连续性给定W∞= F（W∞) 和Y∞= F（Y∞), 与引理4.5的证明完全相同。通过（4.2）的解的唯一性，可以得出W∞= 十、*= Y∞, 从这一点上，它进一步遵循thatlimn→∞Xn=X*. 4.6. 命题2.1的证明。如前所述，我们的市场模型的主要输入是交易者的协方差矩阵，根据他们的风险容忍系数进行适当的缩放。在这种情况下，下一个辅助结果通过考虑异质协方差矩阵来推广【Malamud和Rostek，2017，命题1，第（iv）项】。这意味着均衡价格影响相对于协方差矩阵是单调递增的（以正半限定顺序）。引理4.9。设B=（Bi；i）∈ （一）∈气∈ISXiB=（Bi；i∈ （一）∈气∈ISXi是这样的b B、 如果X=（Xi；i）∈ （一）∈气∈ISXiX=（Xi；i∈ （一）∈气∈ISXi代表关联的唯一平衡，然后是X 十、 28米歇伊尔·安索佩洛斯和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯普洛夫。

将Ft设置为（4.2）中的B，并注意XI=（（Bi）-Xi+πi（X-（一）-1πi）-xi （（Bi）-Xi+πi（X-（一）-1πi）-Xi=Fi（X），i∈ 一、 这表明X F（X）。然后，引理4.4的语句（1）和唯一性隐含在X上 十、我们现在可以完成命题2.1的证明。通过引理4.9的单调性和（Bn；n）的非减量假设∈ N） ，我们有（Xn；N∈ N） isalso不减损inQi∈ISXi. 此外，引理4.1中有thatXni Bi，我∈ I \\{0}和thatXn Xn公司-0xi∈I \\{0}Bi。因此（Xn；n∈ N） 具有单调极限X∞∈气∈ISXi. 自limn以来→∞（十亿）-X=0，极限中的条件（1.7）给出X∞= 画→∞Xn=limn→∞（十亿）-X+π（Xn-0)-1π-X个=π（X∞-0)-1π-十、 相同的极限参数表明X∞我=B-Xii+πi十、∞-我-1πi-Xi，i∈ I4.7。命题1.5的证明。证明基于一个指示性反例。为此，我们首先需要以下引理。引理4.10。在完全参与纳什均衡中，X*:=Pj公司∈九*j、 它保持着thatX*i=Bi+X*- （Bi）1/2id号+（Bi）-1/2倍*（Bi）-1/21/2（Bi）1/2，i∈ 一、 证明。回想一下（X*（一）-1=（Bi）-1+（X*-（一）-1，我∈ 一、 确定矩阵PI=（Bi）-1/2倍*i（Bi）-1/2，Ti=（Bi）-1/2倍*（Bi）-1/2，i∈ 一、 注意Pi∈ S, Ti公司∈ S满足2id P-1i（因为X*我 Bi），Pi Ti（因为Ex*我 十、*), 那就是-1i=2id+（Ti- Pi）-1，我∈ 一、 设Pi=Q>iLiQibe为Pi的分解∈ S, 其中Qi是正交的，Li是对角的，对于所有i∈ 我

然后，注意ti=Pi+（P-1i- 2id）-1=Q>i锂+（L-1i- 2id）-1.Qi，i∈ 一、 异质信念和限制参与下的价格影响29这意味着Ti=Q>Imiqi也适用于对角线Mi（Tii的分解与Pi的分解具有相同的QIA），因此-1i=2id+（Mi- Li）-1，我∈ 一、 换句话说，简单代数（所有矩阵都是对角的）给出了- （id+Mi）Li+（1/2）Mi=0，i∈ 一、 对于混凝土，设定Li=diag（Li）和Mi=diag（Mi）；那么，对于k，0<li（k）<mi（k）∈ K、 安德利（K）- （1+mi（k））li（k）+（1/2）mi（k）=0，i∈ 一、 k级∈ K、 上述二次方程（在li（K）中）通常有两个根S1+mi（K）±p1+mi（K），i∈ 一、 k级∈ K然而，带有“+”符号的一个给出的值严格大于mi（k），而带有“+”符号的一个给出的值大于mi（k）-” 符号给出的值位于区间（0，mi（k））。因此2li（k）=1+mi（k）-p1+mi（k），i∈ 一、 k级∈ K、 假设LIAN和Mi都是对角的，可以用矩阵表示法将其写成2LI=id+Mi-I+Mi1/2，i∈ 一、 将上述方程与Q>If（左）和Qi（右）相乘，我们得到2pi=id+Ti-I+Ki1/2，i∈ 一、 回顾Piand Ti的定义，并将上述方程与（Bi）1/2（从左到右）相乘，我们得到x*i=Bi+X*- （Bi）1/2id号+（Bi）-1/2倍*（Bi）-1/21/2（Bi）1/2，i∈ 一、 证据到此结束。我们继续反例，将建立命题1.5。考虑一个具有三个代理I={0，1，2}和两个资产的fullparticipation设置。作为基线“0”模型，使用上标表示我们正在考虑的模型下的数量，假设B=diag（1，2/3）=B，而B=diag（1，12/5）。然后，在平衡状态下，我们有X=diag（1/2，2/5）=X，而X=diag（1/2，3/5）。我们现在考虑“” 模型扰动。

在所有型号中，代理0保持不变（B= B用于 > 0），我们将构造平衡，使X≡ 十、+ 十、+ 十、对于所有足够小的尺寸，I始终等于X=diag（3/2，7/5） > 0。（我们将看到如何30米切尔·安索佩洛斯（MichailAnthropelos）和康斯坦丁诺斯·卡尔达拉斯（CONSTANTINOS Kardarasacommonate）完成这最后一部分。）在这种情况下，引理4.10意味着X= Xfor公司 > 0.对于代理1，我们考虑b= B+B1 1- 1.-  1.B=B+BCB+o(); C：=1 11 1！。首先，请注意B B保留 > 其次，因为我们的目标是保持常量in > 引理4.10表示X= X+X+o(). 同样，利用我们想要保持X的事实= Xfor公司 > 0，区分等式（X）的任何一边)-1=（B)-1+（X- 十、)-1关于, 我们获得（X）-1.X（X）-1=（B）-1（BCB）（B）-1.- （十）- X）-1.X（X- X）-1、注意X- X=id，我们有X+诊断（2，5/2）Xdiag（2，5/2）=C.求解十、 我们获得X=1/5 1/61/6 4/29！。对于小型 > 0，X 十、, 等于∧ Λ, 相当于十、 0; 然而Xequals 4/145- 1/36 = -1/5220 < 0. 因此∧ Λ在这种情况下，小 > 0，这正是命题1.5的上下文。为了完整性，必须提到如何保持X此处为常量，以便前面的计算有效。带X和X如前所述，我们=（十）- 十、- 十、)-1.- （十）+ 十、)-1.-1.对于小型 > 0，这将是一个正定义矩阵。那么，根据定理1.3，uniqueNash平衡将是这样的X= X对于所有足够小的 > 0.ReferencesR。阿尔姆格伦和N.克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，3:5–392000年。R、 Almgren、C.Thum、E.Hauptmann和H.Li。股票市场影响。《风险》，第57-62页，2005年7月。M、 炭疽菌。市场力量对风险分担的影响。《数学与金融经济学》，11:323–3682017。M、 Anthropelos和C.Kardaras。风险分担博弈中的均衡。

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