如果α=0或α=1，则该语句无关紧要。对于0<α<1，我们取ψ]∈ 引理A.5中的Aas，其中α=EQ[ψ*| G]=等式[ψ]| G]。通过（A.20），我们得到EP[ψ*| G]≤ EP[ψ]| G]，而通过（A.21）我们得到了相反的不等式，和thusEP[ψ*| G]=EP[ψ]| G]。设g：=ψ]- ψ*. 然后，g≥ N上的0={Д=∞}, 和g·（Д）- c] （）≥ 0 Q-a.s.因此，使用（a.18），我们得出0=EP【g | g】- c] 等式[g | g]=EP[g·N | g]+等式[g·（Д）- c] ）| G]≥ 等式【g·（Д】- c] ）| G]≥ 因此，ψ*= ψ] Q-a.s.在Д6=c]上，因此P-a.s.在Д6=c上]。α的一般情况∈ [0，1]，遵循上述情况。我们跳过了细节。感兴趣的读者可以联系作者。最后，我们给出了条件函数的鲁棒表示（A.3）中关于最大化子的结果AV@R.TheoremA.7。对于任何X∈ L∞（F），AV@Rα（X | G）=ess supnE[-XZ | G]Z∈ F，0≤ Z≤ 1/α，E（Z | G）=1o。（A.22）然后，最大化器Z*在（A.22）的右侧存在，由Z给出*=αX<q±α（X | G）+εX=q±α（X | G）, （A.23）式中ε=0，如果P（X=q±α（X | G））=0α-P（X<q±α（X | G））P（X=q±α（X | G）），否则。因此，最大化器Q*在（A.3）的右侧，由DQ给出*/dP=Z*.证据如果α=1，那么QG={P}，这个语句是显而易见的。特别是{Z∈ F，0≤Z≤ 1/α，E（Z | G）=1}={Z∈ F，Z=1，P- a、 接下来，假设α∈ (0, 1). 首先，我们注意到（A.22）源自（A.3）和（A.17）。为了证明（A.23），我们首先假设X<0。我们认为~ P，使得deP/dP=X/E[X | G]。

注意，由于E[X/E[X | G]| G]=1，andeP∈ QG。24 Bielecki、Cialenco、FengFor any Q∈ QG，根据引理A.4（ii）中的（A.17），我们得到了，在让Z=dQ/dP时，等式[X | G]=E[X | G]=EXE[X | G]E[X | G]Z | G= E[X | G]·EXE[X | G]Z | G= E[X | G]·EeP[Z | G]。因此，鉴于（A.22），我们看到thatAV@Rα（X | G）=E(-X | G）αess supEeP[Z | G]Z∈ F，0≤ Z≤α、 E（Z | G）=1=E类(-X | G）αess supnEeP[ψ| G]ψ ∈ F，0≤ ψ ≤ 1，E（ψ| G）=αo=E(-X | G）αess supnEeP[ψ| G]ψ ∈ F，0≤ ψ ≤ 1，E（ψ| G）≤ αo.（A.24）接下来，我们应用引理A.6，为了清楚起见，我们用ˇQ和ˇP表示引理中的概率度量Q，P。分别地通过将引理A.5中给出的ψ]取为ˇQ=P，ˇP=eP，ψ=ψ]，我们得到了eˇP[ψ| G]≤ EˇP[ψ]| G]，对于任何ψ∈ L（G），使得0≤ ψ ≤ 1和EˇQ[ψ| G]≤ EˇQ[ψ]| G]=α。因此，ess supin（A.24）在ψ]处获得，因此我们getAV@Rα（X | G）=E(-X | G）αEeP[ψ]| G]=αE[-Xψ]| G]。引理A.3，其中φ=ˇP/ˇQ=deP/dP，c]=qP，±1-α（Д| G）EP【X | G】c】=qα（X | G）。因此，ψ]/α=Z*.最后，我们将证明该定理对任意X成立∈ L∞（F）。对于固定X∈ L∞（F），我们认为m∈ R使得X=X- m<0。因此，通过应用上述结果，使用（A.15）和现金可加性AV@R，而我们deduceAV@Rα（X | G）=AV@Rα（X- 米（克）- m=αE[-（十）- m）十、-m<q±α（X-m | G）+bκX-m<q±α（X-米（克）| G]- m、 式中，eκ=α- P（X- m<q±α（X- m | G））P（X- m=q±α（X- m） | G）=α- P（X<q±α（X | G））P（X=q±α（X）| G）=ε，集P（X=q±α（X）| G）6=0上CCP 25的动力学模型。因此AV@Rα（X | G）=E[-XZ公司*| G]+mαE[X<q±α（X | G）+εX<q±α（X | G）| G]- m=E[-XZ公司*| G]+我[Z*| G]- m=E[-XZ公司*| G）]。备注A.8。

i） 一般来说，可以证明定理A.7成立，q±α被X的任何条件α-分位数所取代，在这种情况下，如果qα6=q±α，则考虑（A.13）ε=0。ii）很明显，如果X是连续随机变量，则最大化器Z*在定理A.7中是唯一的。一般来说，最大化器Z*不是唯一的。然而，价值ofAV@Rα（X | G）是唯一的，并且不取决于最大化器Z的选择*.iii）还有其他几种条件陈述AV@R.特别是，我们可以证明类似于（a.1）的表示也适用于条件情况。这超出了本文的范围，我们将跳过这些推导。B信贷迁移的离散时间马尔可夫结构模型B。1理论叶(Ohm, F，P）是基本（统计）概率空间。我们用Rit，t表示∈ t CMi的信用评级流程，i∈ 一、 我们假设过程Ri是一个时间均匀的马尔可夫链，取有限状态空间中的值，比如Ri，表示第I个成员的可能信用评级。在不丧失一般性的情况下，我们取Ri={1，…，Ki}，其中1对应最高（最佳）信用评级，其中Ki对应默认状态。我们假设默认状态Kiis吸收。过程Ri的转移矩阵表示为Pi=[pixi，yi]xi，yi∈国际扶轮社。因此，pixi，yi=P（Rit=yi | Ri=xi），forxi6=yi。通常，可以从评级机构提供的数据中获得矩阵PICA；详见第B.2节。现在，让我们考虑未知pxy中的I代数方程组，其中x：=（x，x，…，xI），y：=（y，y，…，yI）∈ R：=R×················································∈Rj，j6=ipx，。。。，xixIy，。。。，易，。。。，易，xj公司∈ Rj，j 6=i，xi，易∈ Ri，xi6=yi，i=1，2，我

（B.1）与[BJN13]中类似，在研究连续时间的情况下，可以表明上述系统至少允许一个溶液pxy，如果我们定义pxx=1-Xy型∈R、 y6=xpxy，（B.2）26 Bielecki，Cialenco，Feng然后矩阵xP：=[pxy]x，y∈Ris是一个马尔可夫链的转移矩阵，例如R=（X，…，XI），具有状态空间R，并且每个分量XI也是具有转移矩阵Pi的马尔可夫链。过程R描述了CCP所有CMs信用评级的联合演化，其属性是其组成部分是马尔可夫的，并且具有与单个信用迁移过程R、…、相同的过渡规律，国际扶轮社。如果（X，…，XI）的分布与（R，…，RI）的分布相同，那么在[BJN16]的术语中，过程R被称为过程R，…，的强马尔可夫结构，国际扶轮社。综上所述，过程R是一个时间同质的马尔可夫模型，用于CCP所有CMs信用评级的联合演化，受R组成部分的规律与CMs个人信用迁移规律相匹配的边际约束。备注B.1。如果我们坚持连续时间模拟，那么上述方程将变为未知量λxy中的I个代数方程，其中x：=（x，x，…，xI），y：=（y，y，…，yI）∈R：=R×·····································∈Rj，j6=iλx，。。。，xixIy，。。。，易，。。。，易，xj公司∈ Rj，j 6=i，xi，易∈ Ri，xi6=yi，i=1，2，一、 （B.3）其中λ表示边际发电机。如[BJN13]所述，在研究连续时间的情况下，可以证明上述系统至少允许一个解λxy，如果我们定义λxx=-Xy型∈R、 y6=xλxy，（B.4），然后矩阵∧：=[λxy]x，y∈Ris是马尔可夫链的生成矩阵，例如R=（X，…，XI），具有状态空间R，并且每个分量XI也是具有生成矩阵λi的马尔可夫链。备注B.2。

这些系统可能会变为时间不均匀系统。B、 1.1如何解决上述系统上述系统的强制力解决方案是不可能的。马尔可夫链R有8个成员，每个成员有7个等级类别，状态空间包含7个元素。因此，相应的转移矩阵（或连续时间内的生成矩阵）是一个7×7矩阵。因此，建议的方法如下：对于CCP 271的离散时间动态模型。对于n=0，求解系统pixi（0），yi=Xyj∈Rj，j6=ipX（0），。。。，Xi（0），。。。，XI（0）y，。。。，易，。。。，易，易∈ N（Xi（0）），pX（0），。。。，Xi（0），。。。，XI（0）y，。。。，易，。。。，易∈ [0，1]，i=1，2，一、 （B.5）其中N（Xi（0））是与Xi（0）最接近的一组（最多两个）评级；对于易建联/∈ N（Xi（0））设置pX（0），。。。，Xi（0），。。。，XI（0）y，。。。，易，。。。，yI=0。定义X（0）X（0）=1-Xy型∈R、 y6=X（0）pX（0）y，（B.6），并模拟第一次转变X（0）→ X（1）根据pX（0），。。。，Xi（0），。。。，XI（0）y，。。。，易，。。。，Yi以上计算。2、对于n=1，求解系统pixi（1），yi=Xyj∈Rj，j6=ipX（1），。。。，Xi（1），。。。，XI（1）y，。。。，易，。。。，易，易∈ N（Xi（1）），pX（1），。。。，Xi（1），。。。，XI（1）y，。。。，易，。。。，易∈ [0，1]i=1，2，一、 （B.7）其中N（Xi（1））是与Xi（1）最接近的一组（最多两个）评级；对于易建联/∈ N（Xi（1））设置pX（1），。。。，Xi（1），。。。，XI（1）y，。。。，易，。。。，yI=0。定义X（1）X（1）=1-Xy型∈R、 y6=X（1）pX（1）y，（B.8），并模拟第二个跃迁X（1）→ X（2）根据pX（1），。。。，Xi（1），。。。，XI（1）y，。。。，易，。。。，Yi以上计算。3、n以此类推≥ 备注B.3。在连续时间设置中，进行类似的操作，并进行明显的修改。B、 2 Pi的估计用Pi表示，即CMi信用评级的一年转移概率矩阵。评级机构通常为各种债务人的信用评级提供一年的过渡概率，因此我们假设Pi是已知的或从市场数据中观察到的。设m为整数，使得mδf=一年；例如

如果时间的基本单位是一天，我们取m=252。转换矩阵Pi的标定是通过求解Pitche下列矩阵方程来完成的圆周率m=π，y，（B.9），受π是随机矩阵的约束。28 Bielecki、Cialenco、FengC CDS模型2009年4月，信用违约掉期（CDS）合同市场在合同惯例方面经历了一些根本性的变化。这些变化被称为“大爆炸”，它们导致了CDS市场的标准化，并支持CDS合约的中央清算。在大爆炸之前，CDS合同通常以公平价差报价，这使得CDS合同目前的按市值计价MtM对合同中的双方（保护卖方和保护买方）无效。在“大爆炸”之后，所有CDS展品（优惠券）都被标准化为100或500个基点（bps），从而产生预付款交换，从而使合同在启动时的价值等于零。此外，根据新公约，CDS合同只能在特定年份的3月20日、6月20日、9月20日和12月20日终止。目前，根据CCP行业标准，按市价计价是指计算当前的预付款。因此，CDS合同的MtM等于按市值计价的预付款。我们在这里通过了这项公约。现在，我们将简要描述我们计算预付款的方式。为此，我们用λ表示CDS合同下参考名称的默认时间φ的（恒定）强度。此外，我们将CDS价差（息票）表示为κ，将恒定回收率表示为R。为简单起见，我们假设贴现因子β为1。综上所述，与给定CDS合同相关的唯一信息流是默认指标过程Ht=φ产生的自然过滤≤t、 t型≥ 0

我们将该过滤表示为H=（Ht，t≥ 0).然后在时间t的预付款≥ 0，即St，基于合同的名义值等于1，计算如下：St=E[Rt<φ≤T- （T∧ φ - t） κ| Ht]，（C.1）=φ>检验，（C.2），其中所谓的违约前预付款估计值=（e-λ（T-t）- 1)κ - λRλ。（C.3）在Igor Cialenco访问国家科学基金会支持的纯数学和应用数学研究所（IPAM）时，对该研究进行了确认。作者感谢萨米姆·加马米（SamimGhamami）的有益讨论和有益的评论。这被视为合同两部分价值之间的差异。CCP的动态模型29参考文献【AC17】Y.Armenti和S.Cr'epey。中央结算估值调整。暹罗J.FinancialMath。，8(1):274–313, 2017.【ACDP15】Y.Armenti、S.Crepey、S.Drapeau和A.Papapantoleon。多元短缺风险分配和系统性风险。预印本，2015年。【ADE+02】P.Artzner、F.Delbaen、J.-M.Eber、D.Heath和H.Ku。相干多周期风险度量。预印本，2002年。【AP11】B.Acciaio和I.Penner。动态风险度量。G.Di Nunno和B.Oksendal（编辑），《金融高级数学方法》，斯普林格出版社，第1-34页，2011年。阿诺德先生。中央结算对银行贷款纪律的影响。《金融市场杂志》，2017年。【BC14】M.Brunnermeier和P.Cheridito。衡量和分配系统性风险。预印本，2014年。【BCDK16】T.R.Bielecki、I.Cialenco、S.Drapeau和M.Karliczek。动态评估指标。《随机：概率与随机过程国际杂志》，88（1）：1–442016。【BCP14】T.R.Bielecki、I.Cilenco和M.Pitera。离散时间内动态风险度量和动态绩效度量的时间一致性的统一方法。预印本，2014年。【BCP17】T.R.Bielecki、I.Cilenco和M.Pitera。

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