美式选件校准的模型简化

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收藏 2022-06-09

英文标题：
《Model reduction for calibration of American options》
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作者：
Olena Burkovska, Kathrin Glau, Mirco Mahlstedt, Barbara Wohlmuth
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
American put options are among the most frequently traded single stock options, and their calibration is computationally challenging since no closed-form expression is available. Due to the higher flexibility in comparison to European options, the mathematical model involves additional constraints, and a variational inequality is obtained. We use the Heston stochastic volatility model to describe the price of a single stock option. In order to speed up the calibration process, we apply two model reduction strategies. Firstly, a reduced basis method (RBM) is used to define a suitable low-dimensional basis for the numerical approximation of the parameter-dependent partial differential equation ($\\mu$PDE) model. By doing so the computational complexity for solving the $\\mu$PDE is drastically reduced, and applications of standard minimization algorithms for the calibration are significantly faster than working with a high-dimensional finite element basis. Secondly, so-called de-Americanization strategies are applied. Here, the main idea is to reformulate the calibration problem for American options as a problem for European options and to exploit closed-form solutions. Both reduction techniques are systematically compared and tested for both synthetic and market data sets.
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中文摘要：
美国看跌期权是交易最频繁的单一股票期权之一，由于没有可用的封闭式表达式，因此其校准在计算上具有挑战性。由于与欧式期权相比具有更高的灵活性，该数学模型包含了额外的约束，并得到了一个变分不等式。我们使用赫斯顿随机波动率模型来描述单个股票期权的价格。为了加快校准过程，我们采用了两种模型简化策略。首先，使用约化基方法（RBM）定义一个合适的低维基，用于参数相关偏微分方程（PDE）模型的数值逼近。通过这样做，解决$\\ mu$偏微分方程的计算复杂度大大降低，用于校准的标准最小化算法的应用明显快于使用高维有限元基础。其次，采用了所谓的非美国化策略。这里的主要思想是将美式期权的校准问题重新表述为欧式期权的问题，并利用闭式解。针对合成数据集和市场数据集，对这两种还原技术进行了系统的比较和测试。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Numerical Analysis 数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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何人来此

2022-6-9 14:50:26

美国选装件校准的模型简化。BURKOVSKA、K.GLAU、M.MAHLSTEDT和B.WOHLMUTHAbstract。由于没有可用的封闭式表现主义，因此它们的校准在计算上具有挑战性。由于与欧式期权相比具有更高的灵活性，因此数学模型包含了额外的约束，并得到了一个变分不等式。我们使用赫斯顿随机波动率模型来描述单个股票期权的价格。为了加快校准过程，我们采用了两种模型简化策略。首先，使用约化基方法（RBM）为参数相关偏微分方程（uPDE）模型的数值近似确定合适的低维基础。通过这样做，可以大大降低求解uPDE的计算复杂度，并且用于校准的标准最小化算法的应用速度明显快于使用高维有限元基础。其次，采用了所谓的非美国化策略。这里的主要思想是将美式期权的校准问题重新定义为欧式期权的问题，并探索封闭形式的解决方案。针对合成数据集和市场数据集，对这两种还原技术进行了系统的比较和测试。期权定价的数学模型通常敏感地依赖于一组参数，例如利率、长期方差、均值回归率、波动率波动率和相关参数。只有在这些参数已知的情况下，才能进行可靠的预测。虽然利率通常是先验的，但其他参数不能直接从观察到的市场数据中获取，而必须通过具有计算挑战性的校准过程来确定。

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何人来此

2022-6-9 14:50:30

不断变化的市场形势需要快速的参数设置算法。这里，我们考虑美国类型的单一股票期权。这类期权取决于路径，因为期权持有人有权在任何时候行使期权，直至到期。此外，这也是在交易所交易的最受欢迎的选择之一。为了能够对市场波动做出即时反应，复杂性降低技术是一项特别有趣的技术。欧洲和美国的选项都可以基于时间和资产价格上的参数依赖型偏微分方程，参见，例如，[，]和其中的参考文献。然而，由于行使美式期权的灵活性高于欧洲期权，美式模型的数学模型必须通过适当的不平等约束来丰富，以反映无障碍原则。然后将所考虑的问题转化为aweak变分不等式问题，半光滑牛顿格式可作为非线性解算器应用于该问题。经典的有限离散化方案，如有限元素或有限差分，则需要相当高维的基础空间，从而形成大型系统。截止日期：2018年7月23日。关键词和短语。缩减基差法、模型缩减、美式选项、校准、赫斯顿模型、非美式化。这项工作得到了DFG赠款WO671/11-1的部分支持；国际研究培训组IGDK1754，由德国研究基金会（DFG）和奥地利研究基金会（FWF）资助；毕马威风险管理卓越中心。arXiv:1611.06452v1【math.NA】2016年11月19日美国选项2校准的模型简化已解决。

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大多数88

2022-6-9 14:50:33

为了降低计算成本，我们采用了两种不同的缩减技术。第一种方法基于缩基方法，该方法非常适用于依赖参数的偏微分方程，而第二种方法利用了一个事实，即对于更简单的欧式选项，可以访问闭式解。reducedbasis方法的关键思想是将局部支持的标准FEM基函数替换为由uPDE的解和特定参数选择形成的基函数。通过这样做，我们通常可以得到尺寸相当小的稠密代数系统。RBM并不是一种新方法，已在广泛应用的文献中进行了广泛研究，参见[，]和其中的参考文献。然而，很少有人关注金融领域的应用。最近关于模型简化技术的研究主要集中在POD方法上，包括[，，，]等。可在[，]中找到RBM的第一个结果。在[]中，RBM被应用于更复杂的模型，例如，以参数函数作为初始条件。虽然这些参考集中于欧式期权的最简单情况，但在[，]中考虑了由抛物线变分不等式描述的美式期权。在抛物变分不等式的情况下，适当构造约化基空间比变分不等式更具挑战性。为了解决这个问题，可以使用POD角度贪婪策略[]或非负矩阵因式分解算法[，]。我们还提到了在时空框架下，关于平稳情形[，]和指令情形下变分不等式的RBM的相关工作，例如[26]。期权定价与不可观测参数的校准相关。

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mingdashike22

2022-6-9 14:50:38

这项任务可以表述为一个最小二乘最小化问题，该问题找到了一个模型参数，可以在最小二乘意义上最小化模型和市场期权价格之间的差异。这些问题通常需要对uPDEto的数值解进行多次评估，以获得不同的参数值，这会导致较高的计算成本。因此，为了加速校准程序，同时仍能提供准确的结果，我们旨在应用RBM。其想法是用RBM方法构建的更简单的代理模型，或者用POD技术（例如，[，]）替代复杂的PDE模型。文献[，]中已经研究了欧洲期权线性情况下的RBM校准，但据我们所知，美国期权的扩展尚未解决。我们还提到了使用POD方法将RBM应用于PDE约束优化问题[]，以及最近关于约化基方法的工作[19]。校准问题也可以在逆问题理论的背景下进行研究。大多数工作都是在Black-Scholes模型中重建欧洲期权的隐含波动率曲面。这导致了一个有限维的病态逆问题。例如，我们参考[]，其中分析了逆问题的唯一可解性和稳定性，并参考[]，其中提出了适当的Tychonov正则化策略来解决问题的固有病态性。类似地，在[，]中，导出了解的存在性及其最优性条件。

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kedemingshi

2022-6-9 14:50:41

在目前的情况下，由于有限维参数空间，我们通常认为相应的逆问题是适定的，因此我们不使用正则化项。我们注意到，对于校准，也可以直接在随机框架中工作，并计算模型价格，例如，使用蒙特卡罗方法，如[]中所述应用后向回归方案，或使用不同的蒙特卡罗估计，如[，]中所述。或者，可以应用（二项式）树方法，例如[，]中的方法。对于Europeanoptions，可以使用闭式解决方案，也可以使用FFT技术，例如参见[，，]。校准美式期权的FourierMODEL REDUCTION 3基于转换的定价方法已扩展到美式期权的定价，例如参见[]和[]。当在固定时间评估的建模随机过程的傅立叶变换以闭合形式可用时，这些方法适用。在本文中，我们将重点介绍一种基于PDE的方法，该方法具有更广泛的范围。而PDE和RDM的离散化技术形成了一个相当灵活的美国选项[，]。这些策略首先将价格转换为伪欧式期权价格，然后通过直接应用计算成本较低的闭式解来校准欧式期权。在[]中，非美国化技术是。e、，对RBM策略和去美国化策略进行了数值研究，并针对Heston模型进行了比较[33]。论文的其余部分结构如下：模型问题和校准程序在3中简要介绍。在第四节中，我们讨论了一个基于赫斯顿模型的美式期权定价问题变分不等式的POD角贪婪RBM。第5节介绍了通过“去美国化战略”（DAS）获得的替代模型。第6节对RBM和DAS进行了数值研究。

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kedemingshi

2022-6-9 14:50:44

第6.3节介绍了两种技术的比较研究。在这里，我们使用合成和真实市场数据集来校准未知参数。2、模型问题在特定模型中计算期权（欧洲或美国）的价格，suitableS>timeT>0，strike priceK>0，以及输入参数集，由向量u表示∈ P、其中P Rpis是一个参数域。尽管前三个组成部分S、K、T是已知的，并由市场数据提供，但输入参数向量u是未知的，利率大于0的情况除外，需要从市场中估计。这些类型的问题称为参数识别或校准问题。也就是说，给出了一组市场期权价格的观察结果，我们对能够为观察到的市场数据提供最佳拟合的参数u感兴趣。Soption pricesPobsi=不同到期日的POB（S、Ti、Ki）和不同罢工的POB，i=1，M、从数学上讲，期权价格的校准可以表述为一个Leatsquares最小化问题：findu∈ Popt公司∈ P，该溶剂为minuJ（u），J（u）：=MMXi=1 | Pobsi- Pi（u）|，（2.1），其中Pi（u）=P（S，Ti，Ki；u）是模型价格，例如可以通过求解相关的uPDE来计算。更准确地说，对于欧洲选项，Pi（u）解决Pi（u）τ+L（u）Pi（u）=0，in[0，T）×Rn+，（2.2a）P（Ti；u）=Hi，in Rn+，（2.2b），其中Hi是一个支付函数，Hi=（Ki- S） +用于put andHi=（S- Ki）+forn，τTmaxTii，美式期权校准的MMODEL缩减4在美式看跌期权的情况下，Pi（u）满意度Pi（u）τ+L（u）Pi（u）≤ 0，in[0，T）×Rn+，（2.3a）Pi（u）≥ Hi，in[0，T）×Rn+，（2.3b）Pi（u）τ+L（u）Pi（u）（Pi（u）- Hi）=0，in[0，T）×Rn+，（2.3c）P（Ti；u）=Hi，in Rn+，（2.3d），其中Hi：=（Ki- S） +。这两个问题都有合适的边界条件。

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大多数88

2022-6-9 14:50:48

运算符是一种空间（积分）微分运算符，由用于定价期权的模型定义，例如Black-Scholes[]、CEV模型、Heston[]。在这里，我们将自己限制在一些其他模型之外。3、赫斯顿模型及其校准我们继续讨论，介绍了用于校准期权价格的赫斯顿模型[]，并描述了该模型的校准程序。模型问题。（3.1a）和波动性（3.1b）动力学，dS=ιSdτ+σSdW，（3.1a）dν=κ（γ）- ν） dτ+ξ√νdW，（3.1b）资产价格：={Sτ：τ≥}表现出具有维纳过程W、漂移ι和波动率σ的几何布朗运动：=√ν. 随机瞬时方差ν：={ντ：τ≥}由均值回复平方根过程（称为Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程）驱动，长期方差γ>0，均值回复率κ>0，方差波动率（也称为波动率波动率）ξ>0。ρ关联的维纳过程∈[-,1]. 此外，假设所谓的Feller条件，即如果参数满足2κγ>ξ，（3.2）参见，例如[]，则方差过程（3.1b）严格为正。除非另有说明，否则我们将重点设置参数，以确保始终充满填料条件。根据It^o演算，（3.1）可以重新表示为偏微分方程（2.2），（2.3），参见，例如，[]，其中u：=（ξ，ρ，γ，κ，r），运算符L（u）定义为以下L（u）P（u）：=νSP（u）S+ξνρSP（u）νS+ξνP（u）ν+卢比P（u）S+κ（γ- ν)P（u）ν- rP（u）。（3.3）我们注意到，算符（3.3）属于对流扩散反应类型，其可变系数为退化的s=0，ν=0。为了消除assetprice变量中的退化性，标准做法是执行S的对数变换。

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mingdashike22

2022-6-9 14:50:51

引入新变量x：=对数（S/K），我们表示byw（τ，ν，x，u）：=P（τ，ν，Kex；u）对数转换变量中的价格，即w（0，ν，x；u）=χ（x）：=（Kex- K） +对于美式期权校准的看跌期权和模型简化5χ（x）：=（K-Kex）+打电话。LetL（u）是对数变换变量中与toL（u）相对应的微分算子，给定byL（u）w（u）= · A（u）w（u）- b（u）·w（u）- rw（u），（3.4a）带 :=ν,x个T、扩散矩阵A（u）和速度向量b（u）A（u）：=νξρξρξ 1, b（u）：=-κ(γ - ν) +ξ-r+ν+ξρ. （3.4b）在有界域上考虑PDEOhm := （νmin，νmax）×（xmin，xmax） R、 xmin<xmax<νmin<νmaxD∪NwhereΓd对应于边界的非平凡Dirichlet部分Ohm, 和ΓNstandsin【20】，wν（t，ν，x）=0，onΓN：={（ν，x）∈ Ohm : ν ∈ {νmin，νmax}，（3.5a）w（t，ν，x）=Ke-rt，onΓD：={（ν，x）∈ Ohm : x=xmin}，（3.5b）w（t，ν，x）=0，onΓD：={（ν，x）∈ Ohm : x=xmax}。（3.5c）对于美式看跌期权，我们规定了[15，20]中提出的边界条件，w（t，ν，x）=χ（x），onΓD：=ΓD∪ ΓD，wν（t，ν，x）=0，onΓN.（3.6a）接下来，我们以变分形式重新计算问题。我们引入以下函数空间x=H(Ohm), V：={V∈ X:vΓD=0}，（3.7）配备标准sk·kX=k·kH，k·kV=|·| H，对应于H(Ohm) 诺曼半范数。设V的对偶空间，用V的H·、·iV×V特征对表示。然后我们确定双线性形式：V×V→ R对应于赫斯顿模型，a（u，v；u）：=ZOhmA（u）u·v+ZOhmb（u）·uv+ZOhmruv。（3.8）注意ν≥ νmin>0，ρ∈(-,1） henceA（u）在Ohm.

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大多数88

2022-6-9 14:50:56

根据所有u∈ p双线性形式（·，·；u）是连续的，满足V×V，[]上的Garding不等式，即存在常数0<αa≤ αa（u），0<γa（u）≤ γa<∞, 0≤ λa（u）≤ λa<∞, 使| a（u，v；u）|≤ γa（u）kVkVkVu、五∈ 五、（连续性）a（V，V；u）≥ αa（u）kvkV- λa（u）kvkL(Ohm)v∈ 五、（Garding不等式）对于时间上的半离散化，我们使用θ=1/2的θ-格式。Lett：=T-τ和，TItkkt<k≤ Iwith公司t=t/I。定义周（u）：=w（tk，ν，x；u）∈ 十、我们将其分解为wk=uk+ukL，其中uk∈ 范杜克∈ Xis是非均匀Dirichlet数据的连续扩展。此外，对于所有u∈ P、五∈ 五、 θ∈[0,1]，k∈ 一、式中：={，…，I-}, 我们定义了美式选项6线性函数fk+θ（u）校准的模型简化∈ Vas followFk+θ（v；u）：=-t型英国+1升（u）- ukL（u），vL(Ohm)- 一θuk+1L（u）+（1- θ） ukL（u），v；u. （3.10）使用测试功能v∈ （2.2）中的V得出以下变分公式t型英国+1- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θ，v；u）=fk+θ（v；u），v∈ 五、（3.11）式中，uk+θ：=θuk+1+（1- θ）英国。（2.3）鞍点形式，参见，例如，【39】。定义W=Vand M W作为双锥byM：={η∈ W:b（η，v）≥ 0，v∈ 五、五≥ 0}，（3.12），其中b（η，v）：=hη，viV×v，对于所有η∈ W、五∈ 五、对于u∈ 潘德克∈ 一、我们介绍了函数gk+1∈ W、 gk+1（η；u）：=b（η，χ）- b（η，uk+1L（u））。然后我们得出以下变分鞍点公式：对于u∈ P、 k级∈ 一、 θ∈ [0，1]，结果（uk+1（u），λk+1（u））∈ V×M，满足所有η∈ M、五∈ 五、t型英国+1- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θ，v；u）- b（λk+1，v）=fk+θ（v；u），（3.13）b（η- λk+1，uk+1）≥ gk+1（η- λk+1；u). （3.14）注意，对于所有u∈ P、 k级∈ 一、 fk+θ∈ Vand双线性形式（·，·；u）是连续的，满足Garding不等式。因此，对于足够小的时间步长t<（1/θλa（u）），通过广义Lax-Milgram参数，问题（3.11）允许唯一解u（u）∈ 五、 [，]。

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何人来此

2022-6-9 14:50:59

此外，双线性fromb（·，·）在w×Vand上是inf-sup稳定的，并且给出了（3.14）的唯一可解性，参见，例如，[8，定理2.1]。3.2.标定给定和观测Pobsiat（Ti，Ki），i=1，M、我们需要计算赫斯顿模型PI（ν，S，Ti，Ki）中的相应价格，其中ν∈ R+是初始波动率。然而，ν的值是不可观察的，需要与参数ξ、ρ、γ、κ一起确定。我们将所有待识别的参数收集到单个向量Θ=（Θ，…，Θ）=（ξ，ρ，γ，κ，ν）∈ Popt，其中Popt：=Θ ∈ R： Θmin，i≤ Θi≤ Θmax，i，i=1，5.. （3.15）我们将PDE约束替换为对数变换变量中相应的弱离散问题。多边形域Ohm Ris由三角剖分NOF解决Ohm, 由JSIMPLIESTJN组成，1≤ j≤ J、因此Ohm=∪田纳西州∈TNTN。我们使用标准一致性节点一阶有限元近似空间Xn 十、越南五、其中xn：={V∈ 十： v | TjN∈ P（TjN），≤ j≤ J} ，andPis是一个阶数最多为1的线性多项式空间，andVN=XN∩五、尺寸（XN）=NX，尺寸（VN）=NV。为了离散双空间W，我们使用定义在VNWNSPAN{χq，q，…，N}dim（WN）=NW=NV上的不连续分段线性双正交基函数，其中χq满足局部双正交关系：ZTjNχqφp=δpqZTjNφp≥ 0，φp∈ VN，p，q=1，内华达州。美式选项7离散锥体MN校准的模型简化 Wn给定asMN=span+{χq}NWq=1：=nη∈ WN：η=NWXq=1αqχq，αq≥ 0o（3.16）和（VN，WN）形成一致的inf-sup-stable配对。在给定的时间内∈ P、 k级∈ 一、我们用wkn（u）近似wk（u）∈ XN，wkN（u）：=ukN（u）+ukN（u）和ukN（u）∈ VNandukLN（u）∈ x与λk+1（u）乘以λk+1N（u）∈ 锰，钾∈ 我

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大多数88

2022-6-9 14:51:03

在缩基文献中，通常将ukN（u）和λkN（u）称为详细解。然后，对于欧洲看跌期权SUK+1N（u）∈ VN，u∈ P、 k级∈ 一、解决以下离散问题eeun（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）=fk+θ（v；u），（uN- u、 v）v=0，v∈ 越南。溶液对（uk+1N（u），λk+1N（u））∈ VN×MN，u∈ P、 k级∈ 一、对于美式期权问题，则满足以下详细的鞍点问题EAMN（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）- b（λk+1N，v）=fk+θ（v；u），b（η- λk+1N，uk+1N）≥ gk+1（η- λk+1N；u), η ∈ 锰，钒∈ VN，（联合国）- u、 v）v=0。这两个问题都有唯一的离散解，对于i=1，Mwe表示近似模型价格asPN，si（Θ）：=wkiN（log（S/Ki），ν；u），ESN∈ {，}如果上下文清楚，则省略pn，si符号中的索引。然后，最小化问题（2.1）可以用以下形式表示：∈PoptJN（Θ）：=MMXi=1 | Pobsi- PNi（Θ）|。(3.17)4. 降基法（RBM）通常，对于largeNV而言，高精度离散问题的计算成本很高，并且显著减慢了校准过程。为了降低复杂性，我们应用简化基方法并用简化顺序代理模型替换详细模型。如下文所述，使用合适的基生成过程，我们构造了低维约化空间SVN VN欧洲期权和VN VN，WN WN，MN MN适用于带DIM的美式期权（VN）尺寸（VN）、尺寸（WN）尺寸（WN）。在给定的时间内∈ P、我们估计为K+1N∈ VNbyuk+1N（u）∈ VN，λk+1N（u）∈ MNbyλk+1N（u）∈ 锰，钾∈ 我

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大多数88

2022-6-9 14:51:06

校准美式期权8欧洲和美式期权的pricingMODEL简化的替代模型定义如下（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）=fk+θ（v；u），（uN- uN，v）v=0，v∈ 越南。EAmN（u）=t型英国+1N- 英国，vL(Ohm)+ a（uk+θN，v；u）- b（λk+1N，v）=fk+θ（v；u），b（η- λk+1N，uk+1N）≥ gk+1（η- λk+1N；u), η ∈ 锰，钒∈ VN，（联合国）- uN，v）v=0。此外，我们要求构造约化空间svn，wn，使得双线性形式b（·，·）在wn×vn上相对于toN是一致inf-sup稳定的。因此，给出了约化问题EEuN（u）和EAmN（u）的适定性，另请参见[12，31]。我们用pn表示模型价格的约基近似，si（Θ）：=wkiN（log（S/Ki），ν；u），其中wkin（u）：=ukiN（u）+ukiLN（u）和ukiN（u）是n的溶液：=EsN，s={Eu，Am}对于i=1，M、然后我们近似于jn（Θ）≈ JN（Θ），并得到简化模型minΘ的以下最小化问题∈PoptJN（Θ）：=MMXi=1 | Pobsi- PNi（Θ）|。（4.1）备注4.1。请注意，利率不是通过校准程序确定的，而是事先确定的。在我们的案例中，市场数据将是美国的一只股票，对于无风险利率的近似值，我们使用美国财政部的利率。因此，为了构造约化基空间，我们只需要考虑四个参数u=（ξ，ρ，γ，κ）的变化∈ P R、然而，这种选择是有限制的，对于新市场数据，我们需要构建一个新的简化基集。因此，为了在我们的方法中保持通用性，我们考虑了所有参数的变化，u=（ξ，ρ，γ，κ，r），因此构造的约化基将完全独立于市场。构造约化基近似空间的方法很多。

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kedemingshi

2022-6-9 14:51:11

他们的共同目标是利用问题的参数依赖性，并将此信息合并到约化基的构造中。通常，这是通过对一组快照应用迭代贪婪策略来实现的，即为不同的参数值计算的解。对于线性抛物问题，一种流行的选择是将参数选择的贪婪策略与适当的正交分解（POD）结合起来，从而产生所谓的POD贪婪算法[，]。对于抛物型变分不等式，由于一致inf-sup稳定性的要求，构造更具挑战性。对于平稳变分不等式，通常使用greedysampling，[，]，而对于时间相关问题，文献中考虑了POD AngleGreed[]和POD-NNMF[]。在本文中，我们遵循了欧式期权的POD贪心算法和美式期权的PODAngle贪心算法的思想。由于欧式期权问题可以被视为美国期权问题公式的一个特例，我们将重点描述后一个问题的基础结构，并仅对差异进行评论。NNMF指的是非负矩阵因式分解过程[40]。美国选项9校准的模型简化考虑一个有限的子类N：={u，…，uN}，ui=uj，i 6=j，N∈ 并定义约化空间svn：=span{ψN}和wn：=span{N}，其中原始ψN：={ψ，…，ψNV} VN和对偶ΞN：={ξ，…，ξNW} WNreduced Bases由大量快照解决方案Ukn（ui）和λk+1N（ui），k构成∈ 一、 I=1，N、缩锥定义为asMN：=跨度+{ξj}NWj=1：=nPNWj=1αjξj，αj≥ 0度。按构造ξj∈ MN因此MN 明尼苏达州。算法1中给出了构造ψNandΞNis的方法。

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可人4

2022-6-9 14:51:14

Weinvestigate参数domainP，该参数由一个有限的setPtrain代替 P、通过greedysearch（步骤5–步骤13）。在贪婪循环中，我们确定了一个“最差”参数uN，即导致RB近似值最差的参数，并将其添加到训练集中。此选择需要一个误差度量值（uN），可以选择该值，例如，作为真正的误差界限[，]。从计算角度来看，后一种选择的可用性和高效计算使SIT更具吸引力。接下来，对于所选参数，达到停止标准的nmaxoleranceεtolof。对于原始缩减空间构造，我们采用标准POD贪心程序（步骤11），其中最差分辨轨迹Ukn（uN），k∈ 一、及其在当前rb空间∏VN上的正交投影-1ukN（uN）压缩到第一个主POD模式：P OD{vk}k∈我:= arg minkzkV=1Xk∈Ikvk公司- （vk，z）VzkV。算法1吊舱角度贪婪算法输入：最大迭代次数nmax>0，训练样本集ptrain P、 targettoleranceεtolOutput：RB基ψN，Ξ和RB空间VN，WN1：任意选择u∈ PTRAIN和k∈ 一： =我∪ {一} 2：计算{ukN（u）}k∈一、 {λk+1N（u）}k∈I3：设置ξ=λkN（u）/kλkN（u）kW，Ξ={ξ}，W=span{ξ}4：设置ψ=正交归一化值kN（u），Tξo，V=span{ψ}5：对于N=1，Nmaxdo6：uN=arg maxu∈普特拉宁-1（u）7：如果εtrainN<εtolthen return8：结束if9：kN=arg maxk∈我]λk+1N（uN），WN-1.10： ξN=λkNN（uN）/kλkNN（uN）kW，ΞN=ΞN-1.∪ {ξN}，WN=span{N}11：ψN=P ODukN（uN）- ∏VN-1.ukN（uN）k∈我12： ψN=正交归一化{ψN-1.∪ {ψN，TξN}，VN=span{ψN}13：end Fort为了构造对偶RB空间，选择使结果锥体积最大化的向量，即显示与当前RB空间偏差最大的向量（步骤9）。

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大多数88

2022-6-9 14:51:18

我们表示]（η，Y）：=arccos（k∏YηkW/kηkW）向量η之间的角度∈ W与线性空间Y W，其中∏Yη是η在Y上的正交投影。美式选项10校准的模型简化另外，为了形成一对统一稳定的简化空间Vn，WN，我们通过“最大化”TξN，[，]来丰富主空间Vn，其中T:WN→ Vn是一个“最大化”算子，定义为（TξN，v）v的解：=b（ξN，v），对于所有v∈ 越南。很容易看到·、·WN×vn对于欧式期权的情况，不需要对偶空间，因此省略了算法1中涉及拉格朗日乘子空间的步骤，从而得到了标准的pod贪心算法。这种方法的计算速度是通过所谓的o峈ine/在线程序实现的，该程序依赖于问题对其参数的依赖性这一假设。也就是说，对于每u∈ P双线性和线性形式是可分离的，即存在Θaq:P→ R、 q=1，Qa，使得a（·，·；u）：=PQaq=1Θaq（u）aq（·，·），其中q:V×V→ 罕见的参数独立。相同的参数适用于tofk+θ（·；u）、gk（·；u）和un（u）。然后，一个函数例程需要评估所有与参数相关的量。通常，此过程的计算成本很高，但仅执行一次。反过来，在线程序的计算成本很低，涉及到装配参数相关组件和求解简化系统。此u∈ p更多详细信息。5、非美国化战略（DAS）与基于基础价格的缩减基差框架相比，DAS在校准之前将观察到的美国市场价格转换为伪欧洲价格。也就是说，给定美式看跌期权的输入数据，我们考虑JN（Θ）的最小化问题（3.17）≈eJN（Θ），minΘ∈PopteJN（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PNi（Θ）|，（5.1），其中价格低于伪欧洲看跌期权价格。

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可人4

2022-6-9 14:51:21

这些是通过扰动美式看跌期权价格spobsj获得的，即ePobsj：=D（Pobsj），其中D：RM→ RM和PnjΘPN，EujΘ我们使用二叉树方法，参见[]，将美式期权价格转换为伪POBSJ，j，M已经收集到，对于每一个股票期权，校准一个二叉树以匹配该期权价格POBSJ。结果树用于对相关的所谓美国化方法进行定价，如【11，算法1】所示。美式期权可以简化为欧式期权定价的线性模型，从而可以利用闭式解或傅立叶技术。在下文中，我们表示由PCFI通过半闭式解获得的价格，参见【33】。这导致以下最小化问题minΘ∈PopteJCF（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PCFi（Θ）|。（5.2）我们注意到，从计算的角度来看，DAS非常有吸引力，尤其是与闭式解的结合。然而，对于每组观测值，校准美国选项11的模型简化需要额外的预处理时间，以将美国数据转换为欧洲数据，并且，正如我们稍后将看到的，这一步骤可以控制整个校准程序的计算成本。还可以考虑将成果管理制与非美国化战略相结合，即将成果管理制应用于近似的Eeunbyeun。相应的最小化问题可以表述为如下minΘ∈PopteJN（Θ）：=MMXi=1 | ePobsi- PNi（Θ）|，（5.3）带PNi（Θ）=PN，Eui（Θ）。我们注意到，由于盒子约束的存在，这个有限维最小化问题允许一个解决方案，例如，参见[62]。6、数值结果对于欧式选项校准的特殊情况，最流行的优化算法是基于梯度的优化方法；参见，例如，[，]及其引用。

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能者818

2022-6-9 14:51:26

相比之下，对于美式期权，由于不可区分性，情况更加复杂，参见，例如[，]。这里，我们使用MATLAB优化工具箱，通过有限差分近似梯度。对于数值实验，我们设定t=2，I=250，t=t/I=0.008，θ=1/2。计算域Ohm = （νmin，νmax）×（xmin，xmax）=（10-5,3)×(-,5）通过nx=4753个节点的三角测量解决。对于u：=（ξ，ρ，γ，κ，r）∈ P RandΘ：=（ξ，ρ，γ，κ，ν）∈ Popt公司 R、我们定义≡ [0.1, 0.9] × [-0.95，0.95]×[0.01，0.5]×[0.1，5]×[0.0001，0.8]，（6.1）Popt≡ [0.1, 0.9] × [-0.95, 0.3] × [0.01, 0.5] × [0.1, 5] × [10-5, 1]. （6.2）除非另有说明，否则使用withlsqnonlin执行校准程序，该仪器使用SJΘ- JΘ？≤-12，kΘ- Θ?k≤ 10-5，在哪里？是局部最优解。6.1.基于RBM的校准。我们考虑由均匀分布的点组成的训练集Ptrain，对于欧式看跌期权，其| Ptrain |=1024，对于美式看跌期权，其| Ptrain |=3125。基础分别由欧式和美式期权的POD贪心算法和POD角度贪心算法生成。对于欧洲put，简化系统的维数nmax=100；对于美国puta合成数据集，维数nmax=125，r=5%：美国选项校准的模型简化12S=1，T=，K={0.95，0.975，1，1.025，1.05}，T=，K=K∪ {0.9，0.925，1.075，1.1}，T=，K=K∪ {0.85,0.875,1.125,1.15}，T=1，K=K∪ {0.8，0.825，1.175，1.2}，T=2，K=K∪ {0.75, 0.775, 1.225, 1.25}.（6.3）对于每对（Ti，Ki），i=1，。。。，5，我们生成了两组观察结果，包括65个欧洲和美国看跌期权，Θ=（0）。，-.,.,.,.3).

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