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网络物理系统中互连链路的优化分配：相互依存、级联故障和可靠性。IEEE并行和分布式系统交易，23（9）：1708–1720，2012。附录a纯纳什均衡和社会最优的特征在本节中，我们首先证明了税收不足的脆弱CPR博弈中PNE的存在性和唯一性。我们进一步说明，在社会最优条件下，CPR的总投资是如何达到PNE的最大值的。具体而言，我们介绍了几个有用的符号和初步结果，这些对于后续分析至关重要。A、 1 PNEW的存在性和唯一性首先描述我们分析背后的方法。我们将参与者i的最佳响应定义为Bi（x-i） ：=argmaxxi∈[0,1]Eui（xi，x）-i） ，其中Eui（·）在（3）中定义。设B（x）：=[B（x-1） ，B（x-2), . . . , Bn（x-n） 】。我们依赖于联合战略的特点*= {x*i} 我∈Nis是PNE当且仅当它是最佳响应图的固定点，即x*∈ B（x*)[确定，2007年]。我们通过应用Brouwer的不动点定理证明了一个PNE的存在性。为此，有必要证明BI在x中是单值且连续的-i、 随后的分析就是沿着这个方向进行的。我们首先介绍一些相关的符号。考虑一个固定税率的脆弱CPR游戏∈ [0，t）。然后，PNE（如果存在）h作为非零CPR投资，总投资必须为r（xT）- t型≥ 0（从（4），我们有fi（xT，t）≥ 0 ==> r（xT）- t型≥ 0). 因此，我们的大多数分析将集中于位于St子集内的总投资范围 [0，1]使得r（xT）- t型≥ xT为0∈ 当r（xT）严格递减时，我们有St：=[0，bt]，其中bt：=（1，如果r（1）≥ t、 r-1（t），如果r（1）<t，（9），其中r-1（t）={y∈ [0，1]| r（y）=t}。

另一方面，当r（xT）严格增加时，我们有st：=[at，1]，其中：=（0，如果r（0）≥ t、 r-1（t），如果r（0）<t.（10），请注意，对于t∈ [0，\'t），STI定义良好且非空。我们从以下引理开始。虽然证明主要来自于与[Hota et al.，2016]中引理1的证明相同的论证（我们认为脆弱的CPR游戏没有税收），但我们在这里将其作为证明，正式定义了在本文分析中有用的几个重要数量。回想一下“x”-IDE注意到除i.Lemma 1之外的所有参与者的总投资。考虑一个固定税率t的脆弱CPR博弈∈ [0，\'t）。那么，对于任何玩家i，以下是正确的。1。存在唯一的yti∈ [0，1]如果'x-我≥ yti，然后是B（x-i） ={0}。此外，如果0∈ B（x-i） ，然后是“x”-我≥ yti公司。2、当yti＞0时，fi（yti，t）=0，且存在区间Iti [0，yti） 如果'x-i<yti，然后每个最佳响应bi∈ Bi（x-i） （i）为正值，以及（ii）满足bi+(R)x-我∈ Iti。3、对于xT∈ Iti，我们有fi（xT，t）>0和fi，x（xT，t）：=fi（xT，t）xT<0.0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-3-2-1t=0t=1（a）R（xT）=3下的有效回报率- xT，p（xT）=0.2+0.8xT，α=1，k=1.5。其中y=0.835 9，y=0.616 6.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-1-0.50.51.5有效收益率（f（xT））t=0t=1.5t=3.21（b）R（xT）=3xT+1，p（xT）=0.2+0.8xT，α=1，k=0.05下的有效收益率。其中Y=0.9961，z=0.6083，y1.5=0.9845，z1.5=0.6952，y3.21=0，z3.21=0.85.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1利用率（xT）-3-2-1有效回报率（f（xT））=1，k=1.1=0.3，k=1.5（c）两名球员的有效回报率a t=1.583，r（xT）=3xT+1，p（xT）=0.2+0.8xT是的。这里f（xT，t）≤ 0表示所有xT∈[0，1]，且yt=0。

Fur thermore，yt=0.666 3和zt=0.447 6。图4：不同CPR特征、风险偏好和税率下的有效回报率函数形状。第二个参数t被抑制。证据我们首先在案例1中证明了所有三种降低r（xT）的CPR陈述，然后在案例2中考虑增加r（xT）的CPR。情况1：r（xT）正在减小。根据btin（9）的定义，我们得到（4）中的fi（bt，t）<0。直接计算表明，当xT时，fi（xT，t）在xT中严格递减∈ [0，bt]。Iffi（0，t）≤ 0，我们定义yti=0。另一方面，如果fi（0，t）>0，我们定义∈ STA是唯一的投资，其中fi（yti，t）=0。如果'x-我≥ yti，玩家i的投资>0将导致fi（+(R)x-i、 t）<0，因此为负效用。因此，Bi（x-i） ={0}在本例中。另一方面，如果'x-i<yti，存在δ>0 s，如δ+(R)x-i<yti，因此，fi（δ+(R)x-i、 t）>0。因此，最佳CPR投资X*iis非零和x*i+(R)x-i<yti。因此，我们定义它：=[0，yti）。由于fi（xT，t）在xT中严格递减，因此在这种情况下，fi（xT，t）>0，而fi，x（xT，t）<0∈ Iti。情况2：r（xT）正在增加。如果fi（xT，t）≤ xT为0∈ [at，1]，我们定义yti=0，Bi（x-i） ：={0}对于每个x-i、 现在假设存在xT∈ [at，1]其中fi（xT，t）>0。直接计算表明，当xT为时，fi（xT，t）在xT中是严格凹的∈ [第1页]。在此之前，存在由zti给出的fi（xT，t）的唯一最大值：=argmaxxT∈[at，1]fi（xT，t）。注意，由于fi（1，t）<0，我们必须使zti<1。根据fi的严格凹度，我们有fi，x（xT，t）：=fi（xT，t）xT<0表示xT>zti。因此，存在一个独特的投资yti∈ （zti，1）使得fi（yti，t）=0。

在这种情况下，我们定义Iti：=（zti，yti）。由于fi（xT，t）在xT中是严格凹的，并且ztis是其唯一的最大化子，因此对于xT，fi（xT，t）>0，而fi，x（xT，t）<0∈ Iti。现在假设除i saties'x之外的其他参与者的总投资-我≥ yti公司。那么任何大于0的xi都意味着fi（xi+(R)x-i） <0，d 0是唯一的最佳响应。另一方面，如果'x-i<yti，存在δ>0，使得fi（δ+(R)x-i） >0，因此，所有最好的回答都不能是肯定的。注意，我们必须有δ+(R)x-i> 位于。现在假设x*我∈ Bi（x-i） 。然后必须满足最优的一阶条件E（用户界面）对于（3）中的实用程序，xi=0，导致tox*ifi，x（x*i+(R)x-i、 t）+αifi（x*i+(R)x-i、 t）=0。（11） 自fi（x）起*i+(R)x-i、 t）>0，我们必须有fi，x（x*i+(R)x-i、 t）<0，因此x*i+(R)x-我∈ Iti。备注4。图4说明了上述引理中引入的量；为了方便起见，删去了第i分节。图4a显示，对于具有adec回报率的CPR，y=0.8359和y=0.6166。从图中可以看出，在这两种情况下，f（yt，t）=0。图4B和4C显示了不同的利率和风险偏好下，R（xT）=3xT+1和p（xT）=0.2+0.8xT的CP R的ytiand Ztif的v值。从图中可以看出，ztiis是fi（xT，t）的最大值，fi（yti，t）=0。最后两个图中的扭结发生在各自的ATValue处。现在，我们在上述讨论的基础上，介绍一些其他重要数量。对于玩家i，我们定义i（xT，t）：=αifi（xT，t）-fi，x（xT，t），xT∈ （12）根据（11）中的一阶最优性条件，非零最佳响应x*我∈ Bi（x-i） 满意度x*i=gi（x*i+(R)x-i、 t）。请注意，gi（xT，t）是g（xT）definedin函数的自然延伸【Hota等人，2016年】。因此，在固定税率t下，我们得到了函数gi（xT，t）相对于xT的单调性的以下结果。引理2。

对于固定t>0，gi（xT，t）xT<0表示xT∈ Iti。该证明类似于[Hota et al.，2016]中引理4的证明，因此我们省略了它。然而，gi（xT，t）在t中并不总是减少，我们将在后面探讨。作为上述两个引理的结果，我们得到以下结果。命题1的证明。在Lemm a 1中，我们证明了当一个玩家i有一个非零的最佳响应时，CP R的总投资位于区间Iti。当xT∈ 返回函数的速率是单调的、凹的和正的。因此，【Hota et al.，2016】中引理2和引理3关于最佳反应的唯一性和连续性的结果延续到目前的税收不足情况。根据Brouwer的定点定理【Ok，2007】，存在一个定点X*∈ B（x*) 对应于PNE。PNE的唯一性遵循引理2中非零最佳响应的单调性；其证明遵循了与[Hota et al.，2016]中第1项证明相同的论点。A、 2在社会最佳状态下的利用和命题的预防2。回想一下假设1，t<t。因此，存在一个具有maxxT的playerk∈[0,1]fk（xT，t）>0。因此，ψ（xtOPT，t）>0。在其余的证明中，为了更好的可读性，我们省略了超级脚本t和来自f和dψ的第二个参数。现在，假设xOPT>xNE。当存在一个球员i，其各自的CPR投资满足xi，OPT>xi，NE>0。首先我们声称fi（xOPT）>0。假设另一种情况，让j是不同的参与者，fj（xOPT）>0。Let∈ [0，xi，OPT），并考虑不同的战略方案^xOPT=（x1，OPT，…，xi，OPT-, . . . , xj，OPT+，xn，OPT），总利用率xOPT。然后（xi，OPT）αifi（xOPT）+（xj，OPT）αjfj（xOPT）<（xi，OPT）- ）αifi（xOPT）+（xj，OPT+）αjfj（xOPT）==> ψ（xOPT）<ψ（^xOPT），自fi（xOPT）≤ 0和fj（xOPT）>0。这与xOPT的最优性相矛盾。

因此，我们必须使fi（xOPT）>0。由于xOPT>xNEand fi（xOPT）>0，xOPT∈ Ii，其中Ii是引理1中定义的间隔。从PNE（11）处游戏者i的一阶最优性条件中，我们得到xi，NEfi，x（xNE）+αifi（xNE）=0注意，这样的游戏者总是存在的；否则我们有fj（xOPT）≤ 每个游戏者j为0，表示ψ（xOPT）≤ 0.==> xi，OPT>xi，NE=αifi（xNE）-fi，x（xNE）>αifi（xOPT）-fi，x（xOPT）==> αifi（xOPT）+xi，OPTfi，x（xOPT）<0，其中fi，x（xT）=金融机构第二行中的第二个不等式来自引理2。我们现在证明，对于除i以外的每个参与者j，xαjj，OPTfj，x（xOPT）≤ 对于收益函数的递减率，这是正确的，因为fj（·）在总投资中是严格递减的。另一方面，对于递增收益率函数，我们有以下两种情况。案例1：maxxT∈[0,1]fj（xT）>0。在引理1中的讨论之后，我们得到了xNE>zjin这个例子。因此，fj，x（xNE）<0。此外，fj（·）是凹的（在引理1之后），xOPT>xNE，这意味着fj，x（xOPT）<0。案例2：maxxT∈[0,1]fj（xT）≤ 0、根据与标题第二段相同的参数，我们得到了xj，在本例中OPT=0。我们现在准备完成证明。根据社会最优的一阶最优性条件f，我们得到0=Ψxix=xOPT=xαi-1i，OPT[xi，OPTfi，x（xOPT）+αifi（xOPT）]+nXj=1，j6=ixαjj，OPTfj，x（xOPT）<0，根据上述讨论。这与我们最初的主张相矛盾，我们必须有xOPT≤ xNE。A、 3 PNE的支持和初步结果我们现在定义PNE的支持。定义1。游戏的PNEΓ的支持，表示为Supp（Γ），是指在CPR中具有非零投资的一组玩家。特别是，在税率t下，Supp（Γ）：={i∈ 引理1之后的N | xtNE<yti}。因此，PNE Satisfextne的总投资=Xi∈SUP（Γ）gi（xtNE，t）。

（13） PNE投资或利用的这种特征将在我们随后的许多证明中加以利用。对于p层i∈ Supp（Γ），她对CPR的投资为非零。因此，从引理1，我们有xtNE∈ Iti。回想一下，对于r回程函数的增长率，Iti=（zti，yti），因此，对于每个i∈ 补充（Γ）。现在我们给出两个引理，它们将在几个后续证明中起作用。设Γ和Γ分别是具有相同资源特征和税率t的脆弱CPR博弈的两个实例。让PNE投资总额分别为Xtnean和xtNE。我们证明了以下结果，即在r（xT）增大和减小的情况下，CPR均成立。引理3。如果t>t≥ 0，我们有yti≤ ytifor every player i withαi∈ （0，1）和ki∈ (0, ∞). 此外，如果t>和xtNE>xtNE，我们有Supp（Γ） 补充（Γ）。证据让maxx∈Stfi（x，t）>0；否则，yti=0，第一条语句基本成立。当nyti>0时，从引理1得出fi（yti，t）=0。当t<t时，很容易看出（从（9）和（10））St 此外，从（4）中可以看出，在第二个参数t中，对于回归函数的增长率和下降率，Fi的值都在下降。因此，fi（yti，t）>0，因此，yti≤ yti公司。对于证明的第二部分，让j∈ 补充（Γ）。从定义1来看，我们有==> xtNE<xtNE<ytj≤ yti公司。因此，j∈ 补充（Γ）。证据到此结束。下一个引理显示了ztiin t对于某些风险参数的单调性。引理4。考虑一个r（xT）增加的脆弱CPR图，以及一个αi=1的玩家i，并设0≤ t<t<t。如果ki<1，则zti≤ zti，反之亦然。证据当xT∈ St，（4）中玩家i的有效收益率函数由fi（xT，t）=r（xT）（1）给出- p（xT））-基普（xT）-t（ki-1） p（xT）-t、 （14）让zti>at>0；否则，结果将直接出现。

根据zti的一阶最优性条件，我们有fi，x（zti，t）=金融机构xT（zti，t）=0。由于ki<1，且p（xT）严格增加，很容易看出fi，x（zti，t）>0意味着zti≤ zti。同样的推理也适用于匡威。事实上，在图4b中观察到，根据上述引理，Ztii在t中增加。在结束这一节之前，我们先陈述一下Berge的极大值定理，它被用来证明我们随后关于效用连续性的结果。A、 4 Berge最大定理定理3（摘自【Ok，2007】）。设Θ和X是两个度量空间，设C：Θ=> X是一个紧值对应关系。设函数Φ：X×Θ→ R在x和Θ中共同连续。定义σ（θ）：=argmaxx∈C（θ）Φ（x，θ），Φ*（θ） ：=最大值∈C（θ）Φ（x，θ），θ ∈ Θ.如果C在θ处连续∈ Θ，然后1。σ : Θ => X是紧值的，上半连续的，在θ处闭合。2. Φ*: Θ → R在θ处连续。在许多情况下，对应C采用参数化的约束集的形式，即C（θ）={x∈ X | lj（X，θ）≤ 0，j∈ {1，2，…，m}}。对于这类约束，我们对C的上半连续性和下半连续性有以下充分条件【Hogan，1973，定理10,12】。定理4。让C：Θ=> 十、 Rkbe gi ven由C（θ）={x∈ X | lj（X，θ）≤ 0，j∈ {1，2，…，m}}。1、设X是闭合的，所有lj在X上是连续的。那么，C在Θ上是上半连续的。设lj对于每个θ在x上是连续且凸的。如果所有j都存在lj（x，θ）<0的（x，θ），那么C在θ处和θ的某个邻域是下半连续的。B与具有网络效应的CPR相关的证明本节的目标是证明定理1和推论1。我们从证明税率使用的单调性和连续性的一些预备步骤开始。下面的引理证明了（7）中引入的函数qi的一些有用性质。引理5。

（7）中定义的函数QI具有以下特性。1、让xT∈ [0，1]和t∈ {t≥ 0 | xT∈ （at，1）}。如果ki>qi（xT，t）>0，则gi（xT，t）t<0.2。设z的qi（z，t）>0∈ （at，1）。那么，qi（xT，t）为正，并且在xTforxT中严格递减∈ [z，1]。证据当上下文清楚时，为了更好的可读性，我们在下面的分析中省略了参数xT、t和i。现在，我们陈述了税收下的有效收益率函数，并计算了其相对于XT和t的导数。让t∈ [0、\'t）和xT∈ （at，1）。回想一下假设1，r（·）是严格递增和凹的，p（·）是严格递增和凸的。从（4）中，我们得到f（xT，t）=（r- t） α（1- p）- k（1+t）αp（15）==> fx（xT，t）=fxT（xT，t）=α（r- t） α-1r′（1- p）- （r）- t） αp′- k（1+t）αp′。（16） 区分f（xT，t）与t的关系∈ {t≥ 0 | xT∈ （at，1]}，我们得到ft（xT，t）=ft（xT，t）=-α（r）- t） α-1(1 - p）- αk（1+t）α-1p和（17）fx，t（xT，t）=fxT公司t（xT，t）=-α(α - 1） （r）- t） α-2×r′（1- p）+α（r- t） α-1p′型- αk（1+t）α-1p′。（18） 自g级t=ffx，t-fxftfx，我们现在计算fx，t=-α(α - 1） （r）- t） 2α-2r′（1- p）+α（r- t） 2α-1(1 - p）p′- αk（r- t） α（1+t）α-1p′（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）αpp′+α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p） +αk（1+t）2α-1pp′。类似地，fxft=-α（r- t） 2α-2r′（1- p）+α（r- t） 2α-1(1 - p）p′- αk（r- t） α-1r′（1+t）α-1p（1- p） +αk（r- t） α（1+t）α-1pp′+αk（r- t） α-1（1+t）αp′（1- p）+αk（1+t）2α-1pp′。通过以上分析，我们得到了ffx，t- fxft=α（r- t） 2α-2r′（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）αp′型- αk（r- t） α（1+t）α-1p′+αk（r- t） α-1r′（1+t）α-1p（1- p） +α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p） （19）=α（α- 1） k（r- t） α-2r′（1+t）αp（1- p）- αk（r- t） α-1（1+t）α-1p′（r+1）+α（r- t） α-1r′（1- p）×[（r- t） α-1(1 - p）+αk（1+t）α-1p]。（20） 由于α<1，且r′>0，（20）中的第一项为负。

因此，ffx，t的一个有效条件- fxft<0 isk（1+t）α-1p′（r+1）>r′（1）- p）[（r- t） α-1(1 - p）+αk（1+t）α-1p]<==> k（1+t）α-1[（r+1）p′型- αr′（1- p）p]>r′（r- t） α-1(1 - p）<==> k>r′（1- p）（r+1）p′- αr′（1- p）p1+tr- t型1.-α=q（xT，t）；请注意，q（xT，t）>0表示其分母为正，这是保持上述等式所必需的。现在，让l：=r′（1- p）和l：=（r+1）p′- αr′（1- p） p>0是XT的函数，为了更好的可读性，参数被抑制。然后L′=r′（1- p）- 2r′（1- p）p′＜0，and l′＝（r＋1）p′＋r′p′- αr′p（1- p）- αr′p′（1- p）+αr′p′p=（r+1）p′- αr′p（1- p） +r′p′（1- α+2αp）>0。假设q（z，t）>0，即其分母为正。然后，对于每个xT∈ [z，1]，q（xT，t）的分母为正，在xT中增加，q（xT，t）的分子在xT中减少。证明到此结束。在证明税率中使用的单调性时，将要求上述税率t中GI的单调性。我们现在证明了几个中间引理，以证明税率利用的连续性。B、 1关于ut-ilization连续性的初步结果我们首先引入了某些符号，并证明了一些初步引理。在本小节的适当位置，我们将yti、zti和xtNEas视为t的函数（从[0，\'t开始）→ [0，1]），并有少量的符号。此外，我们表示利用率xTas x，并且金融机构x（x，t）为fi，x（x，t）。回想一下（10），当r（x）严格增加时，St：=[at，1]。此外，\'ti：=sup{t≥0 |最大值∈Stfi（x，t）>0}。对于t<ti，zti：=argmaxx∈Stfi（x，t）和yti∈ （zti，1）使得fi（yti，t）=0。此外，fi（x，t）为正，x为递减∈ （zti，yti）。我们现在定义^zti：=argmaxx∈[zti，yti]-[αifi（x，t）+fi，x（x，t）]。

（21）注意，在给定的t<ti时，fi（x，t）是凹的，因此，αifi（x，t）+fi，x（x，t）对于x严格递减∈ [zti，yti]。因此，当zti=0且fi，x（0，t）<0时，^zti=ztiw。否则，αifi（^zti，t）+fi，x（^zti，t）=0。根据上述数量，我们现在可以定义以下功能。对于层i，x∈ [0，1]和t∈ [0，\'ti），设^gNi（x，t）：=1，x∈ [0，^zti），αifi（x，t）-fi，x（x，t），x∈ [^zti，yti），0，否则。（22）0 0.2 0.4 0.6 0.8 1使用（x）-1函数值图5：为r（x）=3x+1，p（x）=0.2+0.8x，t=1.5的CPR和α=0.3，k=1.5的播放器演示函数^gN（x，t）。在本例中，zt=0.4402^zt=0.4502，yt=0.6737。请注意，g（x，t=0.6737）在x=zt时未定义。请注意，^gNi（x，t）定义良好。它来自（21）当^zti>0时，αifi（x，t）的最大值-fi，x（x，t）=1表示x∈ [^zti，yti]发生在x=^zti。因此，^gNi（x，t）是有界的。在图5中，weillustrate the function^gNi（x，t）的形状，以及它如何与（12）中定义的具有与示例3相同特征的CPR的gi（x，t）进行比较。请注意，gi（x，t）的分母是0 atx=zti，而^gNi（x，t）是以x为界的∈ [0，1]定义为^zti的术语。我们首先建立了zti、^zti和yti的连续性，然后证明了^gNi（·，·）的（联合）连续性。引理6。当视为t的函数时，zti、^zti和yti在t中连续∈ [0，\'ti）.证明。通过稍微滥用符号，我们将集合视为紧值对应：[0，\'ti）=> [0，1]带S（t）：={x∈ [0，1]| t- r（x）≤ 0}. 因为r（x）是连续的，凹的，对于每个t<\'ti，t- r（1）<0，从定理4可以看出，S（t）是上下连续的。请注意，fi（x，t）定义为x∈ [0，1]，t∈ [0，\'ti），并且是inx和t共同连续的。

进一步调用zti：=argmaxx∈S（t）fi（x，t）；ztiis单值，因为fi（x，t）在x中是str ictlyconcave∈ 因此，遵循g Berge的极大值定理，ztiis continuousin t。回想一下yti∈ [zti，1]使得fi（zti，t）=0。Fur thermore，fi（x，t）严格地降低了x的inx∈ （zti，1）。因此，我们也可以让yti：=argmaxx∈[zti，1]-（fi（x，t））。由于ztiiscontinuous in t，对应关系t=> [zti，1]遵循定理4连续。Berge的最大定理现在意味着t是连续的。根据上述讨论，我们有t=> [zti，yti]连续。从它的定义（21）来看，^ztiis是在x和t上联合连续的函数的唯一最大化子。同样，从Berge的极大值定理来看，我们得出结论，^ztiis在t.引理7中是连续的。函数^gi（x，t），x∈ [0，1]，t∈ （22）中定义的[0，\'ti）在x和t中是连续的。证明。首先观察到，在给定的t，对于x，^gi（x，t）在x中是连续的且单调的∈ [0, 1]. 特别是，^gi（yti，t）=fi（yti，t）=0，单调性来自引理2。在[Kr useand Deely，1969]之后，现在有必要证明^gi（x，t）在给定的x下在t中是连续的。然而，这是真的，因为^ztian和Ytian在引理6之后在t中是连续的，以及αifi（^zti，t）-fi，x（^zti，t）=1，αifi（yti，t）-fi，x（yti，t）=0。如果我们在（22）的第二行中将x的范围定义为[zti，yti]，那么在x=zti时，^gNi（x，t）的分母将为0。我们现在证明，总PNE投资可以表示为一个函数的最大化子，该函数在总投资和税率中都是连续的∈ [0，1]，t∈ [0，迷你∈N'ti），定义（x，t）：=-[x-xi∈N^gNi（x，t）]。然后，在给定的t，argmaxx∈[0,1]hN（x，t）是单值的，等于xtNE。证据从定义来看，hN（x，t）≤ 0

假设存在xt∈ [0，1）使得hN（xt，t）=0，或等效地xt=Pi∈N^gNi（xt，t）。首先，我们声称xt>^ztj对于每个玩家j。如果不是这样，那么对于具有xt的玩家j≤ ^ztj，我们有^gNj（xt，t）=1，这意味着xt<Pi∈N^gNi（xt，t）。现在考虑一下战略文件{xtj}j∈Nwhere xtj=^gNj（xt，t）对于每个玩家j。考虑一个有xt的玩家j≥ ytj。然后，xtj=^gNj（xt，t）=0。继Lemma1之后，玩家j xtj的策略是她最好的回应。现在假设xt<ytj。根据^gN的定义，我们得到了xtjfj，x（xt，t）+αjfj（xt，t）=0。在（11）之后，玩家j的投资满足了其效用的一阶最优条件。此外，【Hota等人，2016年】中引理2的结果表明，参与者j的效用在包含满足一阶最优性条件的投资的投资范围内是严格凹的。因此，对于其他人的给定策略，xtjis是参与者j的唯一最佳响应。因此，{xti}i∈N响应PNE战略文件。相反，很容易看出，在任何PNE策略文件中，hN（xtNE，t）=0。回想一下，PNE是存在的，并且是唯一的。根据【Hota等人，2016年】中的定理1，PNE的总投资也是唯一的。因此，有一个唯一的x=xtNEwith hN（x，T）=0，它也使给定T的hN（x，T）最大化。有了上述初步结果，我们现在准备证明定理1。B、 2理论证明。第1部分（单调性）。相反，假设xtNE>xtNE>0。根据EMMA3，我们有Supp（Γ） Sup p（Γ）。从式（13）中PNE的表征，我们得出xtNE>xtNE==>Xj公司∈支持（Γ）gj（xtNE，t）>Xj∈补充（Γ）gj（xtNE，t）==>Xj公司∈支持（Γ）gj（xtNE，t）>Xj∈补充（Γ）gj（xtNE，t）。（23）在剩下的证明中，我们的目标是反驳等式（23）中的不等式。

特别是对于每个玩家j∈ Supp（Γ），我们证明了gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）。考虑一个球员j∈ 补充（Γ）。引理1，xtNE<ytj。此外，从Lemma3，我们有ytj≤ ytj。结合我们的假设，我们得出xtNE<xtNE<ytj≤ ytj公司==> [xtNE，xtNE] Itj。根据xTin引理2中gj（xT，t）的单调性，我们得到了gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）。现在有必要说明gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）。由于xtNE>xtNE>at，第二部分的EMMA5 yieldsqj（xtNE，t）>qj（xtNE，t）。Fur thermore，从其定义来看，qj（x，t）在t中严格增加。因此，对于t∈ [t，t]，qj（xtNE，t）≥ qj（xtNE，t）；请注意，xtNE>at≥ atfor t公司∈ [t，t]。结合这些观察结果，我们得出kj>qj（xtNE，t）>qj（xtNE，t）≥ qj（xtNE，t）>0==>gj（xtNE，t）t<0，对于t∈ [t，t]（在Lemma5的第一部分之后）。因此，gj（xtNE，T）<gj（xtNE，T），这与（23）相矛盾。第2部分（连续性）。让C：[0，迷你∈N'ti）=> [0，1]使得对于t，C（t）=[0，1]∈ [0，迷你∈不适用）。从定义来看，C是紧值的，并且在每个时刻都是上半连续和下半连续的∈ [0，迷你∈不适用）。根据引理7，hN（x，t）在x和t上是联合连续的。根据Berge\'smaximum定理，argmaxx∈C（t）hN（x，t）是上半连续的。从引理8来看，hN（x，t）是单值的。因此，对于t，xNE（t）在t中是连续的∈ [0，迷你∈不适用）。第3部分（适用税率的存在）。第三条语句现在遵循极值定理。对于第四种说法，请注意“tit”的定义，它是fi（xT，\'ti）=0，xT的最大值的最小税率∈ S’ti。根据Ztian和yti的定义，我们有↑？tizti=极限↑\'\'提提。xNE（t）的连续性和中间值定理现已成立。第五条陈述来自命题2，该命题指出xOPT≤ xNE。B、 3推论1证明。相反，假设xtNE>xtNE。

在理论证明1的第一部分中，有类似的论证，可以证明对于玩家j∈ 补充（Γ），gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）。请注意，xtNE>at≥ 在在此之前，fj（xtNE，t）定义为t∈ [t，t]。由于αj=1，我们有fj（xT，t）=（r（xT）- t） （1）- p（xT））- kj（1+t）p（xT）- t、 fj，x（xT，t）=fj公司xT（xT，t）=r′（xT）（1- p（xT））- r（xT）p′（xT）- kjp′（xT）- tp′（xT）（kj- 1).很容易看出这一点fj公司t（xtNE，t）<0。此外，w hen kj≥ 1.fj公司xT公司t（xtNE，t）≤ t为0∈ [t，t]。因此，对于t，gj（xtNE，t）在t中减少∈ [t，t]。单调性部分现在来自与定理1的证明相同的参数。现在回想一下zti：=argmaxx∈[at，1]fi（x，t）和Lemma4指出，随着税率的增加，每个玩家的zt都会减少。此外，由于所有参与者都有相同的α和k，因此从[Hota et al.，2016，命题4]可以看出，当她单独投资时，xOPTis等于单个参与者的投资。在这种情况下，xOPT满足一阶最优性条件αf（xOPT）+xOPTfx（xOPT）=0。因此，在引理1，特别是方程（11）的证明之后，我们得到了xOPT∈ 一、 orz<xOPT。在此之前，’x=极限↑？tzt<z<xOPT。现在的结果来自定理1。C关于具有拥塞效应的CPR的证明证明定理2的方法与附录B类似。我们从一个引理开始，该引理适用于效用函数（4）的一般形式，即αi∈ （0，1）.引理9.设r（xT）在xT中递减。对于玩家j和给定xT∈ [0，1]，设TxTj：={t∈[0，t）| fj（xT，t）>0}。设gj（xT，t）为（12）中定义的函数。然后，gj（xT，t）t<0表示t∈ TxTj。证据设k：=k（1+t）α，且kt：=kα（1+t）α-1.

从（19）中，我们得到ffx，t- ftfx=α（r- t） 2α-2r′（1- p）- （r）- t） α′ktp′型- α(1 - α） （r）- t） α-2r′kp（1- p） +α（r- t） α-1r′kt（1- p） p- α（r）- t） α-1’kp′=α（1- p） r′（r- t） α-2[（r- t） α（1- p）- (1 - α） (R)kp+（r- t） \'\'ktp]- α（r）- t） α-1“kp”- （r）- t） α′ktp′=α（1- p） r′（r- t） α-2[f+α′kp+（r- t） \'\'ktp]- α（r）- t） α-1“kp”- （r）- t） 当r′＜0且f＞0时，α′ktp′＜0。证据到此结束。换言之，在给定的利用率水平xT下，函数gj（xT，t）在有效回报率保持为正的税率范围内，严格降低税率t。该属性将是证明税率使用单调性的关键。为了证明利用的连续性，我们像以前一样依赖于Berge极大值定理。为了应用Berge的极大值定理，我们需要将总PNE投资xtNeash表示为在总投资和税率中联合连续的函数的唯一极大值。首先，我们定义以下函数。对于玩家i，xT∈ [0，1]和t∈ [0，t），let^gi（xT，t）：=（αifi（xT，t）-fi，x（xT，t），xT∈ [0，yti）0，否则。（24）注意，^gi（xT，t）是有界的，因此定义良好。在下面的引理中，我们证明了^gi（·，·）的（联合）连续性。引理10。函数^gi（xT，t），xT∈ [0，1]，t∈ （24）中定义的[0，\'t）在xT和t证明中是连续的。首先，在给定的t，对于xT，^gi（xT，t）在xT中是连续的和单调的∈ [0, 1];由于fi（yti，t）=0，我们有^gi（yti，t）=0，单调性遵循Lemm a2。继[Kruse and d Deely，1969年]之后，现在有必要证明^gi（xT，t）在给定的xT下在t中是连续的。由于fi（xT，t）在t中严格递减，因此条件xT∈ [0，yti）等于t∈ [0，^txTi），其中^txTi：=最小{t∈ [0，\'t]：fi（xT，t）≤ 0}. 对于t∈ [0，^txTi），^gi（xT，t）在t中是连续的，因为数学家和分母在t中都是连续的。

对于t≥^txTi，^gi（xT，t）=0。当^txTi>0时，fi（xT，^txTi）=0。因此，^gi（xT，t）在给定的xT处在t中是连续的∈ [0, 1].对于xT∈ [0，1]和非空TxTj：={t∈ [0，t）| fj（xT，t）>0}，Lemma9表明gj（xT，t）t<0表示t∈ TxTj。在这种情况下，αifi（xT，t）-fi，x（xT，t）<αifi（xT，0）-fi，x（xT，0）。此外，在假设1下，ermore，fi，x（xT，0）（带表达式（16））严格小于0。我们现在证明，PNE总投资可以表示为一个函数的最大化子，该函数在总投资和税率上都是连续的。引理11。定义（xT，t）：=-[文本-xi∈N^gi（xT，t）]，xT∈ [0，1]，t∈ [0，\'t）。然后，在给定的t，argmaxxT∈[0,1]hC（xT，t）是单值的，等于xtNE。该证明来自与Ap pendix B中引理8的证明相同的参数，并已提交。理论证明2。单调性的证明依赖于与rem1的p屋顶类似的参数。具体地说，（23）的矛盾来自引理2和引理9，引理2和引理9代表玩家j∈ Supp（Γ）分别表示gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）和gj（xtNE，t）<gj（xtNE，t）。为了空间的利益，我们省略了细节；完整的证据可在【Hota和Su ndaram，2016】中找到。现在我们重点讨论连续性的证明。考虑一个集值映射或对应C：[0，\'t）=> [0，1]使得每t的C（t）=[0，1]∈ [0，\'t）。从其定义来看，C是紧值的，并且在每t上都是上半连续和下半连续的∈ [0，t）。从引理10来看，hC（xT，t）在xT和t中是联合连续的。根据Berge的极大值定理（见附录A），集值映射argMaxXT∈C（t）hC（xT，t）是上半连续的。从Lemma11，我们有argmaxxT∈C（t）hC（xT，t）={xNE（t）}，即集值映射实际上是单值的。因此，xNE（t）在t堡是连续的∈ [0，\'t）。现在我们来看看xNE（t）在t=\'t时是如何连续的。

从f（·，·）的严格单调性和连续性以及t的定义，我们得到了maxi∈Nfi（0，(R)t）=0。因此，xNE（(R)t）=0。现在，从引理1和定义1中重新调用xNE（t）<maxi∈Nytiat任何税率t。此外，作为t↑我们有Maxi∈Nfi（0，t）→ 0 ==> maxi公司∈Nyti公司→ 0 ==> xNE（t）→ 第三条语句来自连续性和极值定理。此外，P位置2表示xOPT≤ xNE。在此之前，第四部分从上述税率使用的单调性和连续性出发。D与不同税率相关的证明，根据命题3。（示意图）首先，我们发现（8）中定义的玩家特定γi情况下的有效回报率fi（x，t）与修改后的回报率r（xT）下的agame无税有效回报率类似- γit和损失厌恶指数k（1+γit）的修正值。因此，如果r（xT）和p（xT）满足假设1，那么对于t∈ [0，\'t），r（xT）也是如此-γItan和p（xT）。因此，引理a1和引理2继续适用于每个参与者i。此外，由于命题2的证明依赖于引理1和引理2，因此我们有xOPT（t）≤ xNE（t）按agiven税率t∈ [0，’t）在异质γi’s的情况下，对于收益率函数增加的CPR，根据推论1的类似证明方法，我们可以证明函数gj（xT，t）是t在适域上的递减函数；这个结果是假设α=1，k>1的结果。因此，利用率在税率上是单调递减的。此外，引理6、7和d 8继续保持类似的论点，这意味着利用率作为t的函数是连续的∈ [0，迷你∈N'ti），其中'ti=sup{t≥ 0 |最大值∈[0,1]fi（x，t）>0}。因此，如果xOPT（0）>xNE（t*),然后存在一个税率，使得NE的利用率等于xOPT（0）。

现在，对于收益率函数递减的CPR，可以显示Lemmas9和10在具有特定玩家γi的情况下继续保持不变。因此，理论成立，并且存在统一的税率，因此可以实现[0，xNE（0）]范围内的任何期望利用率。命题4的证明。LetΓH∈ Γmbe是一个脆弱的CPR游戏，其中有效税率是异质的。在不丧失一般性的情况下，设0≤ t型≤ t型≤ . . . ≤ tn，w ithPni=1ti=ntm。更重要的是，让在ΓHandΓMbe xh和xM的各自PNE处的利用率。假设xH=0。那么，我们有^f（xT）- 电视（xT）≤ xT为0∈ 自tm以来的圣≥ t、 我们还有^f（xT）- tmv（xT）≤ 0 f或xT∈ Stm，表示xM=0。由于tm<tm，我们必须使xM>0，因此不会出现xH=0的情况。因此，xH>0。对于j/∈ Supp（ΓH），我们有^f（xH）- tjv（xH）≤ 0 ==>^f（xH）- 电视（xH）≤ 0，每t≥ tj。因此，Supp（ΓH）由一组有效税率最小的p层组成。因为xH>0，播放器1∈ Supp（ΓH）。从方程（13）中，我们得到xh=Xi∈Supp（ΓH）gi（xH，ti）=nXi=1max（gi（xH，ti），0）=nXi=1max^f（xH）- tiv（xH）-^f′（xH）+tiv′（xH），0！=：nXi=1max（hxH（ti），0），其中hxH（·）是给定总投资xH下t的函数。注意，由于播放器是lossaverse，我们有v′（xH）=（k- 1） p′（xH）>0。因此，对于t≥ t、 hxH（t）的分子在t中急剧减少，而den ominator在t中急剧增加。我们现在定义了一个区间J [t，ntm]如下。如果hxH（ntm）>0，则J=[t，ntm]。否则，J=[t，tu），其中tu≤ ntmis hxH（tu）=0的唯一有效税率，每个玩家∈ 供应（ΓH）满足∈ J对于t∈ J，我们有^f（xH）- tv（xH）>0和-^f′（xH）+tv′（xH）>0，表示^f（xH）v′（xH）>tv（xH）v′（xH）>^f′（xH）v（xH）。

（25）对于t∈ J，直接计算yieldh′xH（t）=（^f′（xH）v（xH）-^f（xH）v′（xH））(-^f′（xH）+tv′（xH））<0，h′xH（t）=-2v′（xH）（^f′（xH）v（xH）-^f（xH）v′（xH））(-^f′（xH）+tv′（xH））。在（25）之后，我们得到t的h′\'xH（t）>0∈ J因此，max（hxH（t，0））对于t是连续的和凸的∈ [t，ntm]。应用g-Jensen不等式，我们得到了xh=nXi=1max（hxH（ti），0）≥ n最大值（hxH（tm），0）。我们现在考虑两个案例。首先，假设hxH（tm）≤ 0、注意-^f′（xH）+tmv′（xH）>0（自tm起≥ tand v′（xH）>0）。因此，我们有^f（xH）- tmv（xH）≤ 当r（xT）减小时，很容易看到^f（xT）- tmv（xT）<0 f或xT∈ （xH，1）.对于递增和凹的r（xT），^f（xT）- tmv（xT）在xT中是严格凹的。自^f′（xH）起- tmv′（xH）<0和^f（xH）- tmv（xH）≤ 0，我们有^f（xT）- 对于xT，tmv（xT）<0∈ （xH，1）。因此，xM≤ xH。现在假设hxH（tm）>0，即^f（xH）- tmv（xH）>0和^f′（xH）- tmv′（xH）<0。相反，假设xM>xH。因此，我们有[xH，xM] Im，其中Imi是在Emma1中为具有有效税率tm的玩家定义的时间间隔。遵循引理2，我们得到了xh≥ nhxH（tm）=ngm（xH，tm）>ngm（xM，tm）=xM，这是一个矛盾。因此，xH≥ xM。