随机动态效用和跨时间偏好

nandehutu2022

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收藏 2022-06-09

英文标题：
《Stochastic Dynamic Utilities and Inter-Temporal Preferences》
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作者：
Marco Maggis, Andrea Maran
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
We propose an axiomatic approach which economically underpins the representation of dynamic preferences in terms of a stochastic utility function, sensitive to the information available to the decision maker. Our construction is iterative and based on inter-temporal preference relations, whose characterization is inpired by the original intuition given by Debreu\'s State Dependent Utilities (1960).
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中文摘要：
我们提出了一种公理化方法，该方法以随机效用函数的形式经济地支持动态偏好的表示，对决策者可用的信息敏感。我们的构造是迭代的，基于跨时间偏好关系，其特征是由Debreu的状态依赖效用（1960）给出的原始直觉所激发的。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Economics 经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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Stochastic_Dynamic_Utilities_and_Inter-Temporal_Preferences.pdf
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可人4

2022-6-9 18:43:59

随机动态效用和跨期偏好Marco-Maggis*Andrea Maran+2020年2月24日摘要我们提出了一种公理化方法，该方法在经济上支持动态跨期决策的表示，即s-Tocrastic动态效用函数，对决策者可用的信息敏感。我们的构造是迭代的，基于依赖于时间的偏好连接，其特征是受Debreu的状态依赖效用（1960）给出的原始直觉的启发。关键词：跨期决策、随机动态效用、条件偏好、确定原则。1简介领导每个代理人决策的准则，干预现实生活的许多方面，决定经济、政治和金融动态。因此，心理分析和代理人行为的数学公理化引起了人们的极大兴趣，导致了大量的研究文献（详细综述见[18]）。在决策过程中发挥作用的第一个关键因素是主观概率，自de Finetti的初步贡献以来，主观概率已得到深入研究[6]。冯·诺依曼和摩根斯特恩（Morgenstern）[29]发起了关于彩票偏好的研究，这是一种预期效用的表示。这种直觉可以追溯到1738年发表的一篇论文（见[3]），伯努利（Bernoulli）早就意识到任何决定都与“个人的特殊情况”密切相关*电子邮件：marco。maggis@unimi.it.作者感谢Marco Frittelli和Fabio Maccheroni就这一主题进行的鼓舞人心的讨论。+电子邮件：andre。maran95@gmail.com.making估计值“wh-ich可能会因观察到的信息演变而发生显著变化。

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何人来此

2022-6-9 18:44:03

例如，一个有趣的经理可能会在金融市场暴跌引发的压力下开始以寻求风险的方式行事，而金融市场暴跌正是导致严重损失的原因。Debreu【5】给出了一个公理化的设置（在有限的状态空间上）来建立偏好关系模型，该模型可以依赖于未来的自然状态，并可以用所谓的状态依赖效用函数来表示（见附录中的定理B.3）。状态依赖性参考对未来可能发生的随机结果很敏感，在此之前，代理人的主观效用可能会受到与特定事件发生相关的不同未来情景的影响。Karni【15】制定了风险规避措施，允许基于最优风险分担分析的依赖于国家的公用事业的偏序。在[30]中，Wakker和Zank将Debreu的结果从有限扩展到有限维度，用于实值结果和单调偏好的特殊情况。扩展泛函的发展，可在现场维度空间上进行额外分解，导致偏好在状态依赖性u和概率P方面的数值表示（见定理B.5，附录）。文献[30]（和[4]）中的主要结果将在证明本文中的结果中发挥关键作用。在【16】年，Kreps和Porteus对不确定性的时间分辨率给出了新的公理化处理。他们认为离散时间模型t=0，当一个人必须选择一个行动dt，该行动dt受时间T时发生的状态x的约束。当一个随机事件发生时，决定了立即的支付，行动dt将影响（zt，xt+1）的概率分布，其中xt+1是世界的新状态。

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mingdashike22

2022-6-9 18:44:07

其结果是一种动态选择行为，不能用一个基数实用程序来表示。Epstein Zin[12]和DuffeeEpstein[8]（另见[11]）分别在离散和连续时间模型中构建了一类对跨期消费彩票的递归偏好。在[12]中，时间t的递归效用由聚合函数i给出。e、 Vt（c）=W（ct，mt（Vt+1）），其中ct是消耗，mt（Vt+1）是在时间t等于Vt+1的确定性。类似地，Du ffie和Epstein[8]获得了Vt（c）=EP形式的消费流上的递归效用表示ZTt公司f（cs，Vs（c））+A（Vs（c））|σs|ds公司英尺,其中，f是聚合器，A是方差乘数，σ是波动过程。在这样的上下文中，两个消费之间的条件偏好系统由递归实用程序确定，如下所示：cω、 tc′型<==> Vt（c，ω）≥ Vt（c′，ω）。在[9]中，Epstein和LeBreton证明了贝叶斯先验的存在是由基于信念的偏好所暗示的，这些信念允许对新信息进行动态一致的更新。斯基亚达斯在【28】中介绍了条件偏好过度行为对后果的影响。给定事件F，偏好关系xFy“有一种解释，即在事前，决策者认为actx对事件F的影响不低于y对同一事件的影响”（[28]pp.350）。Wang[31]对消费信息文件中的一类条件偏好的三个更新规则进行了公理化。文献[7]对条件偏好进行了系统研究：条件偏好顺序是一种二元关系它是反射的、传递的和局部完整的。

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大多数88

2022-6-9 18:44:10

[7，定理5.2]对独立性和阿基米德公理的条件设置进行了适当的扩展，以条件效用函数的形式表示彩票集合的条件偏好。递归多重先验和动态变分偏好（见resp.[10]和[17]）处理条件偏好关系t、消耗流h上的ω。这里t∈{0，1，2，…，T}是一个时间点，ω是到timet为止观察到的状态空间的路径。递归多先验效用和动态变化偏好可以分别以条件函数的形式表示vt（h）=infP∈EP公司Xτ≥tβτ-tu（hτ）| Ft（1.1）Vt（h）=infP∈EP公司Xτ≥tβτ-tu（hτ）| Ft+ ct（p | Ft）, （1.2）其中CTI是递归模糊性指数，在某些限制条件下，它保证了偏好的时间一致性（见[17，p.14，Axiom 4]）。在这两篇论文【10，17】中，动态一致性公理起着基础性的作用，并启发了本论文第3节第3.8点中的结果。最后，我们观察到，在最近的论文【25】中，Riedel等人考虑了动态偏好t、 son coup les（P，f），其中P属于一组概率，f是act（不精确概率框架）。一个重要的特点是，引用的动态一致性保证了条件先验集在粘贴时是稳定的。从经济学到金融：决策的动力。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:44:13

决策理论和金融数学之间的相互作用是在默顿在[19]中给出重要贡献之后爆发的，有关随机最优控制的大量文献也证明了这一点（详见[23]）。经典效用最大化问题可以表述为一个形式为v（t，X）=supα的随机控制问题∈A（t，X）EP[u（VT（t，X，α））| Ft]，其中sup拟作为P本质上确界，A（t，X）是可容许策略集（从时间t开始），u是凹效用函数，VT（t，X，α）是策略α的最终支付，初始随机禀赋X（wh ich is Ft-measured）。我们可能会质疑，当一个代理作为效用优化器，愿意在时间t到时间t投资策略α，前提是她拥有随机数量x的s。对这一问题的回答与VT给出的策略α（t，X，α）的跨期比较密切相关。一个合理的解决方案可能是，代理人只有在她相信持有最优解决方案的情况下才进入动态投资。也就是说，我们可以定义跨期关系t、 TbyX公司t、 TVT（t，X，α）当且仅当v（t，X）≥ EP【u（VT（t，X，α））| Ft】P-a.s。。（1.3）动态规划原理（[23，定理3.3.1]）意味着对于任何有界随机变量X，v（t，X）≥ EP[u（VT（t，X，α））| Ft]和等式适用于任何α*是最佳策略。在这种情况下，X是VT（t，X，α）的跨期等效物*) 这将在本文的下一节中进行描述，即条件确定性等价。

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何人来此

2022-6-9 18:44:16

在本例中，v表示in-direct效用和偏好关系t、这不是一个标准的自然关系，它的性质需要仔细介绍，因为我们将在第3节以抽象的方式介绍。Musiela和Zariphopoulou最近在一系列论文中对效用最大化的经典向后方法进行了讨论，从[20，21]开始，提出了一种新的向前理论：效用函数是随机的，与时间相关的，向前移动。在该理论中，远期表现（取代经典情况下的直接效用）是通过基础金融市场构建的，必须满足一些适当的鞅条件。受此启发，Frittelli和Maggis【14】研究了确定性等价物的条件（动态）版本（如【24】所定义）。最终目标是一个随机动态效用u（t，x，ω），即一个随机场，代表了主体偏好的演化。【14】中的新颖之处在于，（向后）条件确定性等价物表示时间t索赔X的时间s值，对于0≤ s≤ t<∞, 以这种方式捕获偏好的跨时期性质。不幸的是，任何跨期偏好的公理化，可以证明随机动态效用的表现，在文献中仍然缺失，我们的目的是填补这一空白。本文的目的。事实上，人们在比较当前和未来的结果时非常不耐烦，基于情绪和基于认知的机制都会导致跨期扭曲。

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2022-6-9 18:44:19

在[32]中，Zauberman和Urminsky概述了跨期变化的心理决定因素，如冲动性、目标完成和奖励时机、对未来的不同具体评估，时间感知和许多其他特征：“总之，这些发现表明，人们对未来时间本身的感知方式是他们形成跨期偏好的重要因素[…]影响跨期偏好的各种因素的共同点是，所有这些机制都会影响实现当前目标与更遥远目标的相对吸引力。”（见[32]，第139页）在本文中，我们旨在描述一系列跨期偏好关系，这些关系比较随机支付，其实现将在不同时间点已知。我们将引入一组条件公理，这些公理将导致在一般状态空间上用随机动态效用u（t，x，ω）和客观概率表示优先性Ohm （见定理3.6），其可表示为：条件对于可用信息，当且仅当（s，g）为ifu时，在时间s时g优先于在时间t时f≥ EP[u（t，f）| Fs]P- a、结果表明，随机动态效用是一个适应于代表信息流的给定过滤的随机场。因此，当决策者意识到新的敏感数据，如市场行为、新闻、灾难性风险或任何其他导致重新考虑个人信仰的宏观/微观因素时，u（t，x，ω）会随机作出反应。

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2022-6-9 18:44:22

由于不同的随机支付是在不同的时间点定义的，我们将引入的偏好关系概念将满足非标准公理，并将以跨期偏好（ITP）命名。我们的方法的主要创新之处在于，我们提供了一个跨时间偏好的抽象公理化，允许在我们的模型中包含“实现当前目标的相对吸引力，与后来更遥远的目标相比”。事实上，我们的迭代构造导致根据有效信息自动向前更新偏好，这满足了一种形式的动态一致性。作为副产品，我们获得了一个理论框架，其中可以嵌入正向性能理论[1、20、21]和条件确定性等价物研究[14]。ITP的关键要素可以归纳为四个要素：首先，每次的信息都是通过过滤的存在来描述的∈[0,+∞), i、 e.一个sigmaalgebras族，如Fs Ftfor s公司≤ t、其次，由于ITP比较了不同时间的随机薪酬，我们需要引入一种关系s、 t（分别为。s、 t）s<t为两个时间点。特别是gs、 tf将意味着Ft可测量的支付f（将在时间t时完全显示）优先于Fs可测量的g，条件是了解s时可用的信息（类似于gs、 tf）。第三，我们指出，“偏好”一词的使用有点不恰当，因为排序不会像通常预期的那样是一元关系。偏好关系s、如果尚未披露完整信息，则不包括全部信息。因此，文献[7]中介绍的条件偏好现象成为理解ITP本质的重要工具。

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2022-6-9 18:44:25

最后，我们将假设代理仅通过时间线的离散化来观察真实信息，即t=0<t<…<tn<。。我们观察到，在[7]中，条件西格玛代数的概率被假定为先验存在。在我们的方法中，这一要求并不是必需的，但我们可以一步一步地推导出一个新的概率更新，它直接遵循我们所选择的决策理论结构。本文的结构如下：在第二节中，我们对论文中使用的符号进行了描述，并以玩具为例来激励我们的学习；第3节致力于描述表征ITP的公理集，以及主要表示结果的陈述。在第4节中，我们证明了无条件情况下的结果（即四次初始信息）。第4节的目的有两个：一方面，它将作为我们在第5节中提出的归纳论证的第一步，以获得我们的主要定理3.6的完整证明。另一方面，它是以自包含的方式编写的，因此它可以独立于一般条件设置进行读取和理解。2关于跨期偏好的预备课程。2.1符号在本文中，我们将使用本节所述的符号。我们固定了一个度量空间(Ohm, F）在哪里Ohm 是所有可能事件（状态空间）的集合，F是西格玛代数。我们将通过存在无轨过滤{Ft}来建模随时间变化的信息∈[0,+∞), 使用Fs 英尺 F每s≤ t、对于任何给定的西格玛代数G F我们用L（G）表示G-可测函数的空间，取结果空间中的值。我们通常会参考要素f∈ L（G）作为随机变量（或ACT），用L表示∞（G）其子空间收集有界元素，即f∈ L（G）使得| f（ω）|≤ k表示任意ω∈ Ohm 还有一些k≥ 0

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大多数88

2022-6-9 18:44:28

关于L（G）和L∞（G）我们应该考虑通常的逐点顺序f≤ g当且仅当f（ω）≤ g（ω）表示每个ω∈ Ohm类似地，对于每个ω，f<g当且仅当f（ω）<g（ω）∈ Ohm. 给定两个元素f，g∈ L∞（G）我们使用符号f∨ g、 f级∧ g分别表示f和g之间的最小值和最大值。对于可数的行为族{fn}n∈N L∞（G）我们考虑f族的infn，supnfn点方向上的上下确界，并回顾如果族是一致的，则infn，supnfn是L∞（G）。L∞（G）具有sup范数k·k∞成为Banach晶格，其中kfk∞= supω∈Ohm|f（ω）|。通过1A，A∈ G表示L的元素∞（G）如果ω，则1A（ω）=1∈ A和0，否则。对于f∈ L∞（G）和A∈ G、 F1将f限制为A；对于任何一对f，g∈ L（G）和事件A∈ G、 f 1A+g1ac表示A上与f一致，Ac上与G一致的随机变量。设G Gbe二西格玛代数。对于有限分区{a，…，An} Gof公司Ohm 和{gj}nj=1 L∞（G），Pnj=1gjAjdenotes指定Gjon Aj的元素，j=1。。。，n、这种类型的随机om变量可以解释为简单actconditional to Gand，SG（G）表示空间条件简单Act。当G={, Ohm} 对应的空间用S（G）表示。每当给定概率P时(Ohm , F、 P）成为一个度量空间，通常我们会说概率eP由P（eP）控制<< P）如果P（A）=0，则表示A的ep（A）=0∈ F、类似地，概率eP等于P（eP~ P）如果P<<eP和eP<< P、如果属性失败的集合的概率为0，则属性几乎保持P（P-a.s.）。对于任何给定的西格玛代数G F我们用L表示(Ohm, G、 P）G可测随机变量的等价类P几乎肯定相等且byL∞(Ohm, G、 P）（P a.s.）有界随机变量的子空间。

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大多数88

2022-6-9 18:44:31

正式任何f∈ L（G）将代表X类：=[f]P∈ L(Ohm, G、 P）。此外，任意随机变量族{Xλ}λ的本质（Pa.s.）上确界∈Λ L(Ohm, G、 P）将由P表示- sup{Xλ|λ∈ ∧}，以及类似的基本信息（参考[13]第A.5节）。让我们来看看(Ohm, G、 P）：给定一个随机场φ：Ohm ×R→ R使得对于每个f∈ L∞（G）映射ω7→ φ（ω，f（ω））是G-measurable（更多详细信息，请参见[26]），我们介绍了总数（G；φ）={[φ（·，f（·））]P | f∈ L∞（G） }。（2.4）实际上，L（G；φ）表示空间L中的随机域φ的范围(Ohm, G、 P）。为了解决偏好条件表示的连续性问题，我们需要引入随机领域连续性的特殊定义。考虑(Ohm, G、 P）和φ：Ohm ×R→ 对于（2.4），我们认为φ是-连续iff∈ L∞（G）它认为，对于P-a.eω，atf（ω）属于φ（·，ω）的连续点∈ Ohm （见附录A f中的定义A.2或正式声明）。最后，P可积随机变量的空间将用L表示(Ohm, G、 P）。我们使用标准符号，并用EP[X]表示X的Lebesgue积分∈ L(Ohm, G、 P）。此外，如果H是一个包含在G中的西格玛代数，则EP[X | H]表示给定H和P的X的条件期望。概率P对较小的西格玛代数H.2.2状态依赖效用和信息的作用的限制：一个玩具示例两个兄弟E，Y继承自他们年老而富有的祖母。这位兄长被要求在立即获得100万欧元（时间t=0）或等待两年（时间t）之间做出选择，因为他的祖母将搬到撒丁岛的疗养院，并在科莫湖附近拥有一栋漂亮的别墅。

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mingdashike22

2022-6-9 18:44:34

或者，E可以等到中间时间再做出决定，但无论如何，在做出决定后，弟弟Y必须接受E留下的东西。时间0时v illa的价值等于100万，但今天比较这两个价值当然没有什么意义，因为别墅只在时间t时可用。现在假设届时意大利新政府将进行电话会议，意大利离开欧洲联盟的灾难性事件（其经济体系随之违约）可能会发生。调用此事件A并设置Ft={, Ohm, A、 Ac}。BrotherE知道，如果发生Acwill，别墅的价值将增加到1.11·10，但如果发生默认情况，别墅的价值将下降到2·10。违约事件A的概率很低，但不可忽略，例如P（A）=0.01。最后，在知道A发生的情况下，在时间t（称为该事件D）违约的概率几乎可以忽略不计，例如P（D | Ac）=10-6（在这种情况下，别墅的价值将再次达到2·10）。如果在时间t或时间t均未发生违约，则此时别墅的价值将跃升至1.8·10。因此，时间信息由{A，D}生成的西格玛代数描述。就意大利未违约而言，代理人E被假定为风险中性，即u（x）=x。如果发生违约（无论是在时间还是时间t），如果x≥ 如果x<0，则0或▄u（x）=2x。一种天真的想法是，一旦违约发生，代理在避免损失方面的重要性就更大了，而不是赚钱。

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能者818

2022-6-9 18:44:37

我们可以通过引入s-tochastic动态效用来综合这一推理，如下u（t，x，ω）=如果t=0u（x）1A（ω）+如果t=1u（x）1A，u（x）1Ac（ω）∪D（ω）+u（x）1Ac∩Dc（ω）如果t=2，我们将考虑以下因素：如果代理人E比较了在今天获得10或在时间t获得别墅之间的选择，那么他将效用u（10）=10与在时间t获得的预期收益的预期效用进行比较，预期收益=1.8·10·（1- 10-2.- 10-6) +· 2 · 10· (10-2+ 10-6).这一预期回报严格地说大于10，事实上，如果E忽略了中间时间T，他将选择别墅而不是立即付款。但这种冲动的策略不会带来最佳解决方案假设代理人首先将10与t时别墅的价值进行比较，然后预期收益=1.11·10·0.9+·2·10·0.01=10。这意味着当时别墅的预期价值与现金金额相同，这意味着E在今天（t=0）或明天（t）做出决定之间是不同的。因此，他有更好的等待，直到选举发生，并区分事件A或Ac。在前一种情况下，E将选择事实上优于别墅价值的项目。在第二种情况下，他宁愿在时间策略上获得v illa，也不愿在时间策略上获得10。显然，第二种策略提供了最佳的最终结果，因为它利用了额外的中间信息。备注2.1。请注意，如果哥哥计算P（A）=0，则推理将发生变化。在这种情况下，额外的中间信息不会在决策过程中发挥作用。3跨期偏好的公理化。我们考虑一个时间间隔[0+∞), 将更新时间t=0<t<…<tn<，。在每一次交易中，代理人都会根据观察到的信息重新考虑自己的偏好关系。

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mingdashike22

2022-6-9 18:44:40

特别是在时间t=0时，没有可用的信息，即F={, Ohm}. 每次t的信息都由一个sigmalgebra fta表示，由于信息随着时间的推移而增加，我们将得到Fs Ftfor every s≤ t、在整篇论文中，ACT是作为实值随机变量，与[30]中使用的框架相匹配。假设3.1。在整篇文章中，我们总是假设代理是由一些初始效用函数u：R赋予的→ 严格递增且连续的R（不一定是凹的）。为简单起见，我们将考虑u（0）=0的情况。在假设3.1中，无需对uas进行筛选，即可编制本论文。这种选择的优点有两个：一方面，在定理3.6中，将一个U形标记为一个更清晰的唯一结果（另请参见备注4.9）。另一方面，强调了“初始值”的作用，这源于uis从对待行为的态度中继承下来的观点。他的选择不是“没有普遍性的损失”。尽管如此，正如导言中所述，本研究的灵感来自潜在的社会应用，因此我们更倾向于选择一种财务上更友好的设置。代理人过去作出的决定。效用的形状：例如，它允许了解代理人在最初的时候是否是风险厌恶者或风险寻求者，以及她如何评估自己拥有的钱的数量的变化（引用[3]“因此，毫无疑问，对于一个穷人来说，上千达卡的收益比对于一个富人来说更为重要，因为两者的收益是相同的。”）。时间树表示决策者观察到可能影响其决策的可用信息的第一个瞬间。由L中的随机变量描述的时间段的随机支付∞（Ft），代理将这些随机支付与R中元素表示的初始确定位置进行比较。

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何人来此

2022-6-9 18:44:43

在第4节中，我们将介绍跨期偏好0,1将初始时间t=0连接到t。在命题4.8中，我们将显示以下内容：如果0,1是完整的、传递的、单调的、连续的，并且满足任何f∈ L∞（Ft）和a∈ R我们有一个0,1f是且仅当u（a）≥ROhmu（f（ω），ω）dP（ω）。该表示基于Wakker和Zank的定理B.5，并显示了新的输入将如何影响代理对决策的态度，产生新的效用，这将取决于实现的自然状态。一旦达到时间，决策者将开始考虑下一个未来的新目标，比如t，并将时间t时已知的ran dom PAYOFF与将取决于时间t时发生的事件的ran dom PAYOFF进行比较。从t的角度来看，新的跨期对比1,2将是一种条件偏好关系，它包含了在时间t时获得的进一步知识。因此，我们将遵循[7]提出的想法，并利用在条件设置中开发的类似技术。这个过程将从tito ti+1开始，每隔一段时间重复一次，因此我们的主要结果将通过归纳更新时间来证明。tito ti+1的每个更新步骤都将以首选互连为特征i、 i+1（或i、 i+1）满足条件转换公理。当然，由于过程是通过归纳进行的，我们将假设我们达到了步骤Tian所需的表示，并在接下来的时间ti+1显示表示。这将保证西格玛代数Fti上存在概率Pionly，我们需要按照贝叶斯范式将其更新为更大的西格玛代数Fti+1。对于T heorem 3.6的陈述，我们定义了一个任意N和一系列跨时期参考关系i、 i+1对于i=0。

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何人来此

2022-6-9 18:44:48

N- 1具有以下含义：对于任何g∈L∞（Fti）和f∈ L∞（Fti+1）我们说gi、 i+1f，如果代理人在时间ti时宁愿持有赌金而不是在时间ti+1时持有赌金f，并且知道时间ti时提供的所有信息（类似于gi、 i+1f）。像往常一样，我们说g∈ L∞（Fti）相当于f∈ L∞（Fti+1），即g~i、 i+1f，如果两个gi、 i+1f和gi、 i+1f，并为每个i=1定义空事件族，NasN（Fti）={A∈ Fti：g~我-1，如果=> g级~我-1，ig1A+f 1Ac，f∈ L∞（Fti），克，克∈ L∞（Fti-1)}.（3.5）事件A∈ 在时间tiif A时称为基本∈ Fti（Fti）转换公理。我们现在准备介绍描述跨时期偏好的第一条公理。在这种情况下，首选项排序i、 i+1并不像人们通常理解的那样是一种二元关系。为此，我们需要一个公理的公式，将其与更经典的公理进行比较。此外，我们在有条件的环境中工作，这意味着i、 i+1根据ti时可用的账户信息进行评估。信息由可测量集A建模∈ 此外，决策者对相关的设置有主观信念（a∈ Fti（Fti））和那些不相关的（A∈ N（Fti））。为了理解空集的核心作用，我们参考了第2.2节中包含的示例（具体参见备注2.1）。（T.i）夫妻转移公理i、 i+1，i、 i+1。让A、B∈ Fti，g∈ L∞（Fti）和F∈ L∞（Fti+1）那么我们需要i、 i+1，i、 i+1为1。本地完成：存在∈ Fti\\N（Fti）如g1A处的thi、 i+1F1或g1Ai、 i+1f1A。2、及物性：if gi、 i+1f和hi、 i+1f然后{g<h}∈ N（Fti）；3、归一化：如果A、B∈ N（Fti）然后1A~i、 i+1B。4、非退化：对于任何f∈ L∞（Fti+1）存在g，g∈ L∞（Fti）su ch th atgi、 i+1f和gi、 i+1层。5、一致性：如果g1Ai、 i+1f1A（分别为。

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大多数88

2022-6-9 18:44:52

i、 i+1）和B A然后g1Bi、 i+1f1B（分别为。i、 i+1）；6、稳定：如果g1Ai、 i+1f1A（分别为。i、 i+1）和g1Bi、 i+1f1B（分别为。i、 i+1）然后G1A∪Bi、 i+1f1A∪B（分别为。i、 i+1）；在解释（T.i）的全部一般性之前，我们将其专门化为无条件情况（i=0）。（T.0）过渡偏好关系0,1.1. 完成：对于∈ R和f∈ L∞（Ft）a0,1f或a0,1f；2、及物动词：a0,1f和b0,1f表示≤ b3、归一化：0~0,10（即00,10和d 00,10).4、非退化：对于任何f∈ L∞（Ft）存在y，z∈ R使得y0,1和x0,1f。Axiom（T.0）仅由f或r要求组成，这种显著简化的原因在于假设f={, Ohm}. 为了理解为什么完整性和及物性是weakorder的经典定义所建议的自然对应物，我们观察到命题4.5保证在（T.0）下，对于任何∈ L∞（Ft）存在唯一的C0,1（f）∈ R使得C0,1（f）0,1f或C0,1（f）0,1f保持。因此，我们可以考虑以下诱导排序: 对于任何f，g∈ L∞（英尺），fg if和on ly if C0,1（f）≤ C0,1（g）。的确是反射的，并继承了0,1.现在我们来解释公理（T.i）：属性1、5和6与[7]中的条件偏好概念有着深刻的关联和启发。（T.i）的第一个正确性指出，更新过程必然会导致在条件意义上完全的偏好。特别是我们将在引理5.3中看到（引理是[7]中引理3.2的对应物），局部完备性允许比较三个可测事件上的两个行为。

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大多数88

2022-6-9 18:44:55

一致性和稳定性可以通过所获得的信息来理解：例如，一致性指出，如果代理更喜欢g∈ L∞（Fti）时间大于f∈ L∞（Fti+1）在时间ti+1时，知道事件A∈ FTI已发生，对于任何条件B，她应选择g∈ Fti，B A、（T.i）中的性质2是（T.0）中其计数器部分的条件推广。规范化（prop er ty 3）表示在一步更新中保留Ftinull事件。特别是，代理在随机支付之间是不同的，随机支付通过一个不可靠的FTI可测量集与0不同（粗略地说，“持有任何东西在整个时间内都是不同的”，直到零事件）。非简并性（属性4）是更具技术性的一种，并保证了我们的论点中的一些简化，因为它意味着ti+1时的任何随机p ayo fff都会接受Fti可测量的g，这或多或少是首选的（这是一个在所有感兴趣的情况下都能满足的非常弱的要求）。示例3.2。在导言（第3-4页）中，我们提出了效用最大化的经典框架，这有助于理解xi om（T.i）1、5、6的含义。实际上，引用关系Xt、 TVT（t，X，α）定义为Ft可测随机变量之间的不等式v（t，X）≥ EP[u（VT（t，X，α））| Ft]，并继承了那些表征条件期望的属性（即公理（t.i）1,5,6，用t替换ti，用t替换ti+1）。条件确定性等价物的定义是我们表示结果的基础，并遵循[14]中的思想。在第5节中，我们将通过归纳每个时间步的条件确定性等价物的存在性（和唯一性）来说明如何。定义3.3。我们说g~i、 i+1f当且仅当gi、 i+1f和gi、 i+1层。

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何人来此

2022-6-9 18:44:59

如果g~i、 i+1然后我们将g称为f的条件确定性等价物（CCE），并将所有CCE的族表示为Ci，i+1（f）。注释3.4。在下文中，我们将使用这些符号f或任何g∈ L∞（Fti）和F∈ L∞（Fti+1）：og~i、 i+1f，如果两个gi、 i+1f和gi、 i+1f保持；og级i、如果g，i+1fi、 i+1f，但g1A6~i、 i+1f1AA.∈ Fti（Fti）；og级i、如果g，i+1fi、 i+1f，但g1A6~i、 i+1f1AA.∈ Fti（Fti）；og级Ai，如果g1A，i+1fi、 i+1F1但g1B6~i、 i+1f1BB∈ 带B的Fti（Fti） A、 og级Ai，如果g1A，i+1fi、 i+1F1但g1B6~i、 i+1f1BB∈ 带B的Fti（Fti） A、备注3.5。我们观察到，一致性共同影响i、 i+1（类似于i、 i+1）表示以下粘贴属性：o对于任何A、B∈ Fti，g，g∈ L∞（Fti）和f，f∈ L∞（Fti+1）。如果gAi、 i+1FA和gBi、当（g+g）1A时，i+1FBT∩Bi、 i+1（f+f）1A∩B、 gA\\Bi、 i+1fA \\频带gB\\Ai、 i+1fB\\A.o对于家庭{An}n∈N 不相交事件的FTI和A=∪nAnwe有G1Ai、 i+1f1A<=> g1Ani、对于每个n，i+1F1。公理（T.i）是获得我们目标的升级结构的关键因素。特别地，假设在时间tit时，代理以一对（Pi，ui）为特征，其中Pi是可测量事件的主观概率Fti，ui是状态依赖性，使得ui（x，·）是Fti可测量的。我们将在命题5.1中证明，如果i、 i+1满意度（T.i），然后对于任何f∈ L∞（Fti+1）存在唯一的条件确定等价性，由Ci给出，i+1（f）=u-1VI+1（f），其中Vi+1（f）=Pi- inf{ui（g）| gi、 i+1f}。此外，Vi+1表示过渡顺序，例如i、 i+1层<=> ui（g）≤ Vi+1（f）Pi-a.s.gi、 i+1层<=> ui（g）≥ Vi+1（f）Pi-a.s.跨时间偏好的积分表示。我们将考虑以下公理：单调性、确定原则和技术连续性，适用于此条件设置，这将导致以所需的积分形式表示ITEP。（M.i）严格单调性。

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kedemingshi

2022-6-9 18:45:02

给定任意g，g，g，∈ L∞（Fti），f∈ L∞（Fti+1），A∈Fti+1（Fti+1）和g<g:g~i、 i+1gA+F1简单gBi，i+1gA+F1AC对于某些B∈ Fti\\N（Fti），g~i、 i+1gA+F1简单gBi，i+1gA+F1AC对于某些B∈ Fti（Fti）。（ST.i）确定原则。给定任意f，f，h∈ SFti（Fti+1），A∈ Fti+1（Fti+1）和g∈ L∞（Fti），这样gi、 i+1fA+H1A和gi、 i+1fA+h1Ac：对于任何k∈ SFti（Fti+1）存在g∈ L∞（Fti）使gi、 i+1fA+K1A和Gi、 i+1fA+k1Ac。（C.i）逐点连续性。考虑任意均匀有界序列{fn} L∞（Fti+1），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm, 那么对于任何gi、 i+1f（分别为gi、 i+1f）存在一个分区{Ak}∞k=1 fti使得对于任何k，我们都有g1Aki、 i+1fnAk（分别为g1Aki、所有n的i+1fnAk）≥ nk。我们现在准备陈述本文的主要贡献：定理3.6提供了ITP在唯一概率P和随机场u（t，x，ω）方面的表示，它描述了偏好的随机波动。这些正是【14】中提出的元素，用于确定条件确定性等价物的动力学。定理3.6（表示）。假设3.1成立，对于每个i=1，2，…，任何FTI都包含三个基本不相交事件。跨期偏好i、对于任何i=0，…的i+1满意度（T.i），（M.i），（ST.i）和（C.i）。

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mingdashike22

2022-6-9 18:45:07

，N当且仅当ftn上存在概率和随机动态效用u（t，x，ω）=N-1Xi=0ui（x，ω）1[ti，ti+1）（t）+uN（x，ω）1tN（t）（3.6）满足（a）u（ti，x，·）是Fti可测量的，EP[| u（ti，x，·）|]<∞, f或所有x∈ R（b）对于所有ω，u（ti，·，ω）在x上严格增加，u（ti，0，ω）=0∈ Ohm;这一额外要求实际上没有失去一般性，并允许在证明主体中进行有用的简化。（c） u（ti，·，·）为-连续（d）EP[ui+1（f）| Fti]∈ L（Fti；ui）表示任何f∈ L∞（Fti+1），克∈ L∞（Fti）和i、 i+1层<==> u（ti，g）≥ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.gi、 i+1层<==> u（ti，g）≤ EP[u（ti+1，f）| Fti]P-a.s.相对唯一性：耦合（P，u）可替换为（P*, u*) 当且仅当P等于P*在FtNand上，对于任何i=1，N我们有P（u*（ti，·，·）=δiui）=1，其中δIi是P | fti相对于P的Radon-Nikodym导数*|Fti。示例3.7（正向性能）。将定理3.6中提供的ITP表示与有关远期表现的现有文献（例如，见[1、20、21]）进行比较，我们可能会立即注意到，我们的方法并不依赖于金融市场的存在。我们还记得，在固定概率空间上的适应过程U（x，t）(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P）被称为正向性能，如果：i）它是每t x的函数，是递增和凹的；ii）U（x，0）=U（x）∈ Riii）对于所有T≥ 以及以π表示的每个自我融资策略，即相关的贴现财富Xπ满意度[U（Xπt，t）| Ft]≤ U（Xπt，t）；iv）对于所有T≥ t存在自我融资策略π*这样Xπ*满足第三点中的平等性）。因此，事后我们知道，这对夫妇（P，U（t，x））定义了一种跨时期关系s、美国普通助教≥ EP【U（t，·）| Fs】P-a.s。。对于最优策略，我们有关系Xπ*s~s、 tXπ*t。

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能者818

2022-6-9 18:45:10

另一方面，并非所有跨期偏好都与现有金融市场存在必然的关联。关于贴现系数。贴现在动态选择理论中的作用可以从两个不同的层面来描述。第一层：在方程（1.1）、（1.2）中，我们看到了对与效用u相关的贴现因子的显式依赖，这是由u在时间上是齐次的这一事实驱动的。事实上，在我们的框架中，u（t，x，ω）随时间随机变化，因此不可能以独特的方式将贴现的贡献与u效用分开。此外，表示的唯一性取决于度量的等效变化，因此，折扣因子在任何情况下都对概率度量变化敏感。然而，在某些情况下，可以确定折扣流程。例如，假设决策者找到一对P，u，表示定理3.6（d）中的利润P。同时，决策者可以被赋予客观概率P*并决定在不改变测量值的情况下改变测量值。参见方程式（2.4）中的定义。这可以与引言中的讨论进行比较，参见方程式（1.3）。随机动态效用u。在这种情况下，适应过程{βt}t≥0定义为βt=EP[dPdP*|Ft]可以被解释为一个随机的贴现因子：确实是g∈L∞(Ohm, Fti），f∈ L∞(Ohm, Fti+1）克i、 i+1层<==> βtiu（ti，g）≥ EP公司*[βti+1u（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s.g公司i、 i+1层<==> βtiu（ti，g）≤ EP公司*[βti+1u（ti+1，f）| Fti]P*-a、 s.第二层：在远期表现理论中【20，21】，ITPdoes的表示并没有显示出对（随机）贴现因子的任何明确依赖，但效用Ui是直接根据贴现财富过程计算的，假设参考数字先验存在。

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可人4

2022-6-9 18:45:14

设{Bt}t∈[0,+∞)是一个以g为基数的自适应随机过程，对于某些ε>0，P（Bt>ε）=1。如果P，u代表ITP，那么我们可以设置u*（t，x，ω）：=u（t，x·Bt（ω），ω）并获得i、 i+1层<==> u*（ti，g*) ≥ EP[单位*（ti+1，f*)|Fti]P-a.s.gi、 i+1层<==> u*（ti，g*) ≤ EP[单位*（ti+1，f*)|Fti]P-a.s.其中g*=GBT和f*=fBti+1是g和f的贴现值。跨期偏好的时间一致性。家庭{i、跨期偏好的i+1}意味着在两个连续时间Tian和ti+1 Norder之间建立联系，以比较随机支付，其影响将在不同时间被了解和利用。过程e是一个逐步更新的过程，简单的检查表明，对于条件确定性等价物C，v（f）=Cs，t（Ct，v（f）），以下半群性质成立 0≤ s<t<v和f∈ L∞(Ohm, Fv）（3.7）其中，对于任何s<t的情况，算子Cs，t（·）是方程u（s，Cs，t（·））=EP[u（t，·）| Fs]的（P-a.s.唯一）解，u是定理3.6中获得的随机动态效用。作为直接的结果，我们可以将跨期偏好扩展到任何<t的对象，如下所示s、 tf公司<==> u（s，g）≥ EP[u（t，f）| Fs]P-a.s.gs、 tf公司<==> u（s，g）≤ EP[u（t，f）| Fs]P-a.s.其中g∈ L∞(Ohm, Fs）和f∈ L∞(Ohm, 英尺）。根据半群性质（3.7），我们使用符号获得了以下优先顺序的时间一致性：精确公式应为Cs，v（f）=Cs，t（g），其中g∈ L（Ft）是Ct的一个版本，v（f）。提案3.8。让0≤ s<t<v，设g∈ L∞(Ohm, Fs）和f∈ L∞(Ohm, Fv）如gs、 vf（分别为s、 vf）。然后gs、 th（分别为s、 th）对于任何h∈ L∞(Ohm, Ft）如此~t、 vf。由于定理3.6的证明将以归纳的方式进行，我们选择在更简单的无条件情况下给出该定理0,1（见第4节）。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:45:17

因此，下一节中的结果对于证明定理3.6归纳论证中的初始s步骤是必要的。此外，我们强调相对唯一性比[4，30]中包含的表示结果更精确。这是因为uis具有先验性（与归一化条件u（ti，0，ω）=0一起），并起到初始（约束）条件的作用（有关更多详细信息，请参见命题4.8）。4无条件跨期偏好我们认为决策者比较某种商品的初始金额，其价值肯定是确定的（其收益是直接的），在固定时间内，根据有限的随机支付（如赌注、资产、商品的未来价值），由空间L中的元素表示∞（英尺）。我们说代理最初是天真的，因为初始信息由平凡的F={, Ohm} 因此空间L∞（F）与实际直线等距。考虑过渡偏好0,1（或0,1），连接L∞（Ft）至L∞（F）。正如在i=0的情况下已经观察到的，第一个公理（T.0）仅由四个要求组成：完备性、传递性、规范化和非简并性（这是我们将在引理4.3中使用的更多技术要求）。备注4.1。从符号3.4我们可以很容易地推断出符号的含义~0,1,0,1, 0,1. 我们还记得，由0,1由n（Ft）={A给出∈ 英尺：a~0,1f=> 一~0,1b1A+f1Ac，f∈ L∞（Ft）、a、b∈ R} 。定义4.2。如果a~0,1f那么我们将a称为（条件）确定性等价f，并将所有CCE的族表示为C0,1（f）。我们现在证明，在（T.0）下，CCE是存在的，并且是唯一的。请注意，确定性等价的概念与[14]中引入的动态推广相匹配。

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能者818

2022-6-9 18:45:24

CCE还将提供跨期偏好的自然表示0,1（参见下面的命题4.5）。考虑mapsV-（f） =sup{u（a）| a0,1f}和V+（f）=inf{u（a）| a0,1f}，其中uwill始终应完全满足假设3.1。我们注意到，在V±（f）的定义中，不需要固定。如果我们考虑L上的总序∞（Ft）由泛函V±（·）（即f）诱导fif和onlyif V±（f）≤ V±（f））这不会受到选择u的影响。然而，如上所述，我们更倾向于将uas视为表征决策者的初始数据，其优势在于获得更清晰的唯一性概念。引理4.3。在（T.0）和假设3.1下，映射V+，V-从∞（Ft）至R.M或V+（f）=V-（f）对于任何f∈ L∞（英尺）。证据从完整性来看，V±是明确的，取R值∪ {±∞}. V±（f）对于任何f都是有限的∈ L∞（Ft）源自公理（T.0）中的非简并性。对于任何a、b∈ R使a0,1f和b0,1f我们有u（a）≤ u（b）及以上-（f）≤ V+（f）。现在假设为矛盾V-（f） <V+（f）：由于uis严格递增且连续，因此存在c such that u（c）∈ （五）-（f），V+（f））。从完整性来看，c0,1f或c0,1f在这两种情况下都得到一个矛盾sincesup{u（a）| a0,1f}<u（c）<inf{u（a）| a0,1f}。注释4.4。从现在起，当ver（T.0）和假设3.1生效时，我们应注意V：=V+≡ 五、-.提案4.5。让（T.0）和假设3.1保持不变。那么对于任何f∈ L∞（Ft）存在唯一的条件确定性，等价于C0,1（f）=u-1V（f）。MoreoverVtakes值在uan范围内，表示转换顺序，即a0,1f<=> u（a）≤ V（f）（4.8）a0,1f<=> u（a）≥ V（f）（4.9）证明。存在性和唯一性来自前面的引理4.3和假设3.1。a处的通知th0,1f（分别为a0,1f）显然意味着u（a）≤ V（f）（分别为u（a））≥V（f））。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:45:27

对于相反的含义，我们可以观察到u（a）=V（f）imp等于a~0,1f。如果相反，u（a）<V（f）（相应的u（a）>V（f）），则需要a0,1f（分别为a0,1f）作为V（f）=inf{u（a）| a0,1f}（分别为V（f）=sup{u（a）| a0,1f}）。我们将考虑以下公理：单调性、确定原则和技术连续性，我们将在这种简单的无条件情况下阐明它们的含义。（M.0）Str ict单调性：适用于所有a、b、c∈ R、 f级∈ L∞（英尺）A∈ Ft\\N（Ft）和a<bwe有c~0,1a1A+F1电容c0,1b1A+f1Ac（分别为c~0,1b1A+F1电容C0,1a1A+f1Ac）。（ST.0）确定原则：考虑任意f，g，h∈ S（Ft），A∈ 英尺\\N（英尺）安达∈ R使a0,1f1A+H1A和a对于任何k，0,1g1A+h1Acthen∈ S（Ft）存在b∈ R使b0,1f1A+K1A和b0,1g1A+k1Ac。（C.0）逐点连续性：考虑任何一致有界序列{fn} L∞（Ft），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm, 那么对于所有a0,1f（分别为a0,1f）存在以下情况：0,1fn（分别为a0,1fn）表示n>n。备注4.6。在经典决策理论（见[22]）中，确定性原则是一个独立性原则：它说，两个行为f和g之间的偏好应该只取决于f和g的值，当它们不同时。如果f和g仅在事件A上发生差异，如果A没有发生，f和g会产生完全相同的结果。在我们的跨时框架中，解释是完全相同的，即使我们需要在时间0处理比较。备注4.7。在目前的上下文中，确定原则（ST.0）很容易暗示任意f，g∈ L∞（Ft）和A∈ 英尺：V（f1A）≤ V（g1A）和V（f1Ac）≤ V（g1Ac）然后V（f）≤ V（g）。在本节剩余部分，我们将证明以下命题4.8。假设Ft至少包含三个不相交的基本事件，并且假设3.1有效。

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大多数88

2022-6-9 18:45:31

公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）当且仅当存在概率Pon时成立Ohm 函数u（·，ω）：R→ R、严格增加ω ∈ Ohm 和-连续，使功能VV（f）=ZOhmu（f（ω），ω）dP（4.10）表示偏好40,1（在（4.8）和（4.9）的意义上），并取u的范围内的值。以下唯一性适用于（4.10）：（P，u）可替换为（P*, u*) 当且仅当P等于P*和P（u*= δu+τ）=1，其中δ是pw相对于P的Radon Nikodym导数*和τ∈ L（Ft）带EP*[τ] = 0.备注4.9。即使命题4.8与定理B.5有许多相似之处，也需要做一些工作来证明公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）能够有效地应用[4，30]中的结果。此外，正如通过固定u定义的那样，我们应说明定理B.5中出现的系数σ>0必然等于1。备注4.10。我们观察到，即使没有明确提及，随机变量u（x，·）对于任何x都是可积的∈ R、此外，如果我们对每个ω施加归一化要求u（0，ω）=0∈ Ohm 那么τ等于0 P-a.s。。4.1命题4.8的证明观察到命题4.5的假设已满足。因此，表示a<0,1f<==> u（a）≥ V（f）在引理4.3中定义的地方成立。此外，对于任何f∈ L∞（Ft）CC E C0,1（f）存在，并且由u唯一给出-1（V（f））。每个动作f的CCE的存在直接意味着在u的证明范围内粘函数的范围内(=>) 我们在L上定义了弱订单∞（Ft）作为f g当且仅当V（f）≤ V（g）。（T.0）意味着是完整的、可反映的和可传递的（即附录中的满意度（A1））。让f∈ L∞（Ft）和结果x>y：实际上（M.0）意味着V（x1A+f1Ac）>V（y1A+f1Ac），对于所有非空事件A∈ F因此在（A2）的意义上是严格单调的。

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能者818

2022-6-9 18:45:34

同样（ST.0）也适用于满意度（A3）。现在让{fn} L∞（Ft），使得fn（ω）→ 任意ω的f（ω）∈ Ohm 和kfnk∞< k代表所有N∈ N、现在让我们g∈ L∞（Ft）使g f并考虑a=C0,1（g）（由命题4.5存在）。然后a0,1f和（C.0）我们可以找到n，这样对于所有n≥ 我们有一个0,1fn。因此，V（g）=u（a）>V（fn）（与Opposite不等式类似），表明（A4）适用于 .因此，我们可以应用定理B.5，并找到d esir ed表示（4.10），命名为V（f）=ROhmu（f（ω），ω）dP=EP[u（f）]及其唯一性。因此，让P*和u*（·，·）=τ+σδu（·，·），由定理B.5获得。观察V（0）=u（0）=0表示EP*[τ] = 0.此外，当u（C0,1（f））=V（f）=EP时*[u*（f） ]=EP[σu（f）]，我们有n个必要的σ=1。现在，我们展示了依赖于状态的实用程序UI-连续打开(Ohm, 英尺，P）。为此，考虑任何f∈ L∞（英尺）。有必要证明P（LDf）=0，其中LDf是附录A中定义的集合，将φw替换为u。事实上，使用类似的参数，1可以得到P（RDf）=0。最后，本文根据P（Df）=P（LDf∪ RDf）=0和f的任意性。作为引理A.1的结果，LDf∈ Ft，h表示P（LDf）=0或P（LDf）>0。通过矛盾假设存在f*∈ L∞（Ft）使P（LDf*) > 0、立根：=L Df*设f=f*频带fn=（f-n） 1B。按构造f，fn∈ L∞（Ft）foreach n∈ N、 fn（ω）→ 每个ω的f（ω）∈ Ohm 和supnkfnk∞≤ kf k∞+ 此外，对于每个ω，通过定义B，u（f（ω），ω）>supnu（fn（ω），ω）∈ B而u（f（ω），ω）=u（fn（ω），ω）f或每个ω∈ 不列颠哥伦比亚省。因为P（B）>0和x 7→ u（x，ω）是递增的，通过单调收敛定理我们得到：limnEP[u（fn，·）]=EP[supnu（fn，·）]<EP[u（f，·）]通过u的连续性和严格单调性，存在∈ R使得supnep[u（fn，·）]<u（a）<EP[u（f，·）]，即0,1fnn而a0,1f。

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kedemingshi

2022-6-9 18:45:37

这与公理（C.0）相矛盾，因此我们得出P（B）等于零的结论。证明(<=) 反之，我们假设偏好<0,1由：a<0,1f给出<==> u（a）≥ V（f）表示a∈ R、 f级∈ L∞（Ft），其中V（f）=EP[u（f，·）]，其中u和Pare在第4.8节中给出。我们想证明<0,1满足公理（T.0），（M.0），（ST.0）和（C.0）。让a∈ R和f∈ L∞（英尺）。很明显，u（a）≤ V（f）或u（a）≥ V（f）因此<0,1是完整的。考虑a、b∈ R和f∈ L∞（Ft）满足a 40,1f和b<0,1f。这意味着u（a）≤ V（f）≤ u（b）。从uis严格增加的事实来看，它遵循标准b≥ a、也就是说<0,1是可传递的。显然是0~0,10，因为u（0）=0=EP[u（0，·）]。最后，让f∈ L∞（英尺）。假设在uso范围内的Vis范围存在b∈ R使得u（b）≥ V（f）和（等效）b<0,1f。出于同样的原因，存在∈ R使得u（a）≤ V（f），即40,1f。这意味着<0,1是非退化的，从而得出公理（T.0）成立的证明。让a、b、c∈ R，a<b，f∈ L∞（Ft）和A∈ Ft不为空。假设是C~0,1a1A+f1AC，即u（c）=EP[u（a1A+f1AC，·）]=EP[u（a，·）1A+u（f，·）1AC）]。现在，由于u（·，ω）对于每个ω都严格递增，那么EP[u（a，·）1A]<EP[u（b，·）1A]。然后u（c）<EP[u（b，·）1A+u（f，·）1AC）]=EP[u（b1A+f1AC，·）]，表示c0,1b1A+f1AC。相同的参数可用于c~0,1b1A+F1A加载至c0,1a1A+f 1AC。因此，<0,1满意度（M.0）。（ST.0）源自一个简单的事实，即EP【u（f1A+h1Ac，·）】≤ EP[u（g1A+h1Ac，·）]当且仅当EP[u（f1A+k1Ac，·）]≤ EP[u（g1A+k1Ac，·）]，无论选择什么∈ Ft\\N（Ft）和f、g、h、k∈ L（英尺）。最后，让（fn）n∈N L∞（Ft）对于每个ω一致有界并逐点收敛到ffo∈ Ohm. 设K：=supnkfnk∞∈ R+。

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