使用假设1和4，存在如下情况Xk>kλi，±（q，k）zk<, 我∈ {1，2}Xn≤k（zn- 1） （λi，+（q，n）- λi，-（q，n）zn）≤ -δ, 气≥ Cbound公司，我∈ {1, 2}.设Cbound=max（Cbound，CDisc）和QDisc，i，q=（UDisc，i，q，UDisc，i，q），对于任何i∈ {1, 2}. We def neV（q）=Xi=1z | qi-Cbound |+。为了简化符号，我们不写λ1，±（k）和λ2，±（k）对q的依赖关系。QV（q）=Xq6=qQq，q[V（q）- V（q）]=Xi=1X1≤k≤k（1）小跳跃sz}{hλi，+（k）（z}qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，-（k） （z | qi）-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk>k（2）大极限指令插入z}{hλi，+（k）（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk<k<ui（3）大限额订单消耗z}{hλi，-（k） （z | qi）-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）i+Xi=1Xk≥ui（4）订单簿再生Z}|{λi，-（k） （式[V（QDisc，i，q）]- V（q））.当用户界面≤ kwith i公司∈ {1，2}，我们只需要使用假设2和4向上面的表达式添加一个常量。我们注意到第（3）项≤ 0和（4）≤ λi，-（k） L.此外，对于项（1），我们有（1）=λi，+（k）（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，-（k） （z | qi）-k-Cbound|+- z |齐-Cbound |+）=λi，+（k）1界+k≥qi（z | qi+k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）+λi，+（k）1Bound+k<qiz | qi-Cbound |+（zk- 1） +λi，-（k） 1绑定+k≥qi（z | qi-k-Cbound公司|+- z |齐-Cbound |+）|{z}≤0+λi，-（k） 1界限+k<qiz | qi-Cbound |+（zk- 1)≤（1.1）z}|{λi，+（k）1界+k≥qi（z2k- 1） +（1.2）z}{（zk- 1） z |齐-Cbound |+Cbound+k<qi（λi，+（k）- λi，-（k） zk）。使用（1.1）的假设2，我们得到（1.1）≤ H（z2k- 1). 使用（1.2）的假设2，我们也可以得到（1.2）≤ （zk）- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）- （zk）- 1） z |齐-Cbound |+Cbound+k≥qi（λi，+（k）- λi，-（k） zk）≤ （zk）- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）+（zk- 1） zk（λi，+（k）+λi，-（k） ）。我们用M（k）表示（zk- 1） zk。

最后，通过组合上述不等式，我们得到了qv（u）≤Xi=1X1≤k≤k（zk- 1） z |齐-Cbound |+（λi，+（k）- λi，-（k） zk）+M（k）（λi，+（k）+λi，-（k） （）+xi≤2.k> kλi，+（k）（zk- 1） z |齐-Cbound |++Xi≤2.k> uiλi，-（k） L≤Xi=1（z | qi-Cbound |+）X1≤k≤k（zk- 1） （λi，+（k）- λi，-（k） zk）+ 2HM（k）+Xi=1（z | qi-Cbound |+）+2HL=Xi=1（z | qi-Cbound |+）假设1z}{X1≤k≤k（zk- 1） （λi，+（k）- λi，-（k） zk）++ d≤ -δ（3）V（q）+d，其中δ（3）=（δ- ) d=2HM（k）+2HL。自从 < δ、 δ（3）>0。这是完全的证据。C过程Uu的微型发生器为了充分描述Uut的动态，我们需要在不进行干预的情况下定义过程Uut的微型发生器Qu。我们将订单簿和代理放置的联合再生密度写为▄diu=diuιIU。事实上，在再生之后，代理的顺序被放置在一个位置qbef，概率为ιiu（qbef）。Qu说明：对于▄Q=（qbef、qa、qaft、Q、i）∈ N、 p∈ R、 ~z=（p，pexec）∈ R、 n个∈ N、 q=qbef+qa+qaft，u=（q，q，p）∈ （N）*), q=（q0bef、q0a、q0aft、q、i）∈ N、 q=q0bef+q0a+q0aft，u=（q，q，p）∈ （N）*), ~z=（p，p0exec）∈ 兰德λ1，-（英国）=λ1,-c（u，k）1qa=0+λ1，-m（u，k）,我们有：o当以最佳出价插入大小为n的限制订单时：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ1，+（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄q=（qbef，qa，qaft+n，q，i）和▄z=▄z。o当在最佳ask插入大小为n的限制顺序时：qu（▄q，▄z）；（▄q，▄z）=λ2，+（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄q=（qbef，qa，qaft，q+n，i）和▄z=▄z。o当从最佳投标1中删除大小为n的取消订单时。当n>qbef+qaft时：Qu（～Q，～z）；（▄q，▄z）=λ1，-c（u，n）1qa6=0+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexecq0bef=q0befqa=0q0a=qai=iq0aft=（q- q0bef）1qa=0，且p、q、q0bef和qa由再生定律确定。2.

当n<qbef+qaft时：Qu（～Q，～z）；（▄q，▄z）=λ1，-c（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄z=▄z和▄qsatiesq0bef=qbefn≤qaft+（qbef+qaft- n） 1n>qaf tq0a=qai=iq0aft=（qaft- n） 1n≤qaftq=q.o当n号市场订单发送给最佳出价1时。当n>qbef+qa+qaft时：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexec+qa（p-ψ） q0bef=q0befq0a=0i=i1qa=0q0aft=0，其中p、q、q0bef和qa由再生定律确定。2、否则，我们有：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ1，-m（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p=pp0exec=pexec+最小值（n- qbef、qa）（p-ψ） 1n>qbefq0bef=（qbef- n） 1n≤qbefq0a=qa- 最小值（n- qbef，qa）1n>qbefi=i1qa=0+q0aqa>0q0aft=qaftn<qbef+（qaft+qbef+qa- n） 1n≥qbef+qaq=q.o当在最佳ask1出现流动性消耗事件时。当n>q时：qu（～q，～z）；（▄q，▄z）=Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄zand▄q满足p0exec=pexecq0bef=q0befq0a=qai=iq0aft=0，其中p、qq0bef和qa由再生定律确定。2、否则，我们有：Qu（~Q，~z）；（▄q，▄z）=λ2，-（u，n）+Xi=1Xk≥qiλi，-（u，k）~di（▄q，▄z）（▄q，▄z），其中▄z=▄z和▄q=（qbef，qa，qaft，q- n、 i）。D计算Pu∞D、 1命题证明1在假设5和6下，可达状态的数量是有限的，我们可以编写UI[P∞] = EUi公司[P∞t型≤t] +EUi[P∞t<t]=EUi[E[P∞/英尺]1吨≤t] +EUi[E[P∞/Ft]1t<t]=Xiq+iiα+i+NXk=1di，kEUk[P∞]+Xiq公司-二α-i+NXk=1di，kEUk[P∞]=Xiq+iiα+i+q-iiα-i+NXk=1Xi（q+iidi，k+q-iidi，k）EUk[P∞] = qi+NXk=1pi，kEUk[P∞].（11） 此外，利用对称关系，我们得到了EUiP∞= -尤西米P∞. 我们为集合D={（q，q，p）；p>0}写数据∪{（q，q，p）；p=0，q≥ q} 。

因此，方程式（11）readsEUi[P∞](1 - （pi，i- pi，isym））=qi+Xk∈D（pi，k- pi，ksym）EUi[P∞].假设0≤ pi，i<1（当一个限额被完全占用时，价格以非零概率移动），我们有（1- （pi，i- pi，isym））>0。这证明了命题1的结果。D、 2引理证明1对于简化，我们将添加/取消的数量q=1。为了考虑到非均匀跳跃，我们可以简单地填充矩阵Q的零值*如果概率正确，请参见等式（12）。为了计算矩阵R，我们首先确定价格P=0，因为在限额总消耗之前没有价格变动，并通过u=（q，q）和q（分别为q）的最佳出价（分别为ask）数量对订单状态进行建模。然后，我们引入吸收态U0，q（分别为Uq，0）和q≥ 1与情况u=（0，q）（对应u=（q，0））相关，其中q（对应q）在q（对应q）之前消耗。我们要计算访问U0，qan和Uq，0和q的概率≥ 1从Ui开始。为此，我们考虑微型发电机Q*马尔可夫过程（Q，Q）（价格P=0是固定的）Q*=2Q最大值第一季度，-第一季度+Q*,其中02Qmaxis是大小为2Qmax，Q1的零平方矩阵，-编码到吸收状态U0、qand Q1的转换，+用1编码到吸收状态Uq、0的转换≤ q≤ Qmax和▄Q*类似于无再生工艺UT的微型发生器。矩阵Q*具有以下形式：▄Q*=Q*,（1） Q*,(1)0 0 . . .Q*,（2） Q*,（2） Q*,(2)0 . . ................. . . 0 0Q*,（Qmax）~Q*,（Qmax）, （12） 式中▄Q*,（l） 对从级别Q=l到级别Q=l+1的转换进行编码，矩阵▄Q*,（l） 从级别Q=l到Q=l的编码转换- 1和矩阵Q*,（l） 在levelQ=l范围内对转换进行编码。Qmaxis是每个限制上可用的最大数量。每个子矩阵内▄Q*,（l） i与i∈ {0，1，2}，Qis等于l，Qmax在1到Qmax之间变化。

子矩阵Q*,（l） i，对于i=0，1，可以写入Q*,（l）=λ1，+（l，1）。。。λ1，+（l，Qmax）和▄Q*,（l）=λ1,-（l，1）。。。λ1,-（l，Qmax）.Letλ*（l，l）=Pi=1λi，+（l，l）+λi，-（l，l）每l，l∈ {1，···，Qmax}。对于l≤ Qmax，我们有▄Q*,（l）=-λ*（l，1）λ2，+（l，1）0 0。λ2,-（1、2）-λ*（l，2）λ2，+（l，2）0。0 0 λ2,-（l，Qmax）-λ*（l，Qmax）.最后，我们定义了矩阵Q1，-这样Q1，-ii=λ1，-（1，i）对于1≤ 我≤ qmax和0，以及矩阵Q1，-Q1，+iQmax+1，i+1=λ2，-（i，1）对于0≤ 我≤ 最大尿流率- 否则为1和0。使用[28]中的定理3.3.1，对于每个吸收态Ui，我们有q-U0，q，U0，q=1，q+U0，q，Ui=0，q-Uq，0，Ui=0，q+Uq，0，Uq，0=1，带q∈ {1，Qmax}，PjQ*i、 jq±j，i=0我∈ [2Qmax+1，（Qmax）+2Qmax]。在上述等式中，我们使用了轻微的符号滥用，并且没有区分状态Ui和索引i。其读数为Q*R=-zand R=MR，（13），其中Rii=qii对于每个吸收状态Ui，z=[Q1，-, Q1，+]，R=[R-, R+]是矩阵，如R-ii=q-i和R+ii=q+ii，M=[M，M]是矩阵，因此Mi，i=di，i和i，i=di，i。数量di，i和di，i在第4.1节中定义。该方程的解是唯一的，因为▄Q*是可逆的。队列独立时Q*是可对角化的，请参见下一小节。在恒定强度的简单情况下，Q*对角化是明确可计算的。D、 3▄Q的对角化*D、 3.1▄Q的对称化*在独立队列的假设下，想法是找到一个矩阵P，使得P-1Q*P与P=LH对称。首先，我们考虑块对角矩阵H=diag{H，H，…HQmax}，其中每个Hi是一个大小为qmax的平方矩阵，因此H=I，Hi+1=HirQ*,（一）Q*,（一）-1)-1.我≥ 1、这里√. 指矩阵的平方根。

在这种情况下，这样一个矩阵的存在性是重要的，因为▄Q*,（i） 和▄Q*,（一）-1） 具有严格正系数的对角线。接下来，我们考虑块对角矩阵L=对角{L，L，…L}，其中，Lis是一个对角系数为L（1，1）=1且L（i+1，i+1）=L（i，i）r▄Q的对角矩阵*,（0）（i+1，i）~Q*,（0）（i，i+1）表示所有≥ 1、假设队列是独立的，我们有Q*,（0）=Q*,（0）对于所有i≥ 1、最后，我们注意到P-1Q*P=LH时，P是对称的。D、 3.2对称矩阵P的对角化-1Q*P：常数系数在常数系数的简单情况下，附录D.3.1中定义的矩阵P满足-1Q*P=A（A，b）V 0 0 V A（A，b）V 0 0。。。。。。。。。。。。0 0 V A（A，b）和A（A，b）=a b 0 0。b a b 0。0 0 b a,其中，V=βI，β>0，a和b是一些固定常数。在这样的框架下，P-1Q*P是λk，ja，b，β=a+2b cos（kπn+1）+2βcos（jπn+1），1.≤ k、 j≤ n、 关联的特征空间由特征向量Xk，j生成=VJVXK，VJVXK···，VJVQMAXXK,其中vj。satis fiesvjr=sin（rjπn+1），1.≤ r、 j≤ n、 Xkis是一个向量，使得xkl=sin（lkπn+1），1.≤ k、 l≤ n、 关于状态进程Uu和值函数的概述在本节中，我们允许状态进程Uu从值为U={U的初始状态开始∈R+×R；Pi=1ui>0，u>0}。为了简化，我们还假设跳跃的大小为1。通过将下面的假设7和8替换为假设2，当状态过程取N×rhower的值，而不是常数的值时，本节的结果仍然有效。E.1再生过程的规律性Uut再生过程的规律性不是微不足道的。

事实上，如果我们考虑两个过程Uu和U0u满足相同的订单动态（见第3.1节），但从两个不同的点U和U开始，只要没有再生，对于每个订单流轨迹，错误Uu-U0u| |等于初始误差| | u-u | |。然而，当两个进程中的一个在另一个之前重新生成时，重新生成的进程从随机位置开始一个新的周期，并且错误| | Uu- U0u| |不再以| | u为边界- u | |。因此，不规则性主要来自再生。在我们的案例中，由于再生定律取决于基林状态，它可能会引入强烈的不规则性。因此，我们需要一个假设，以确保当出口点足够近时，再生分布是相似的。在两个一般假设下，我们给出了状态过程正则性的结果。假设7（再生平滑度）。存在四个正常数K，q，q≤ 1.∨ qa和β，使得对于每个u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）和u=（q0bef，q0a，q0aft，q，i，p，p0exec）∈ U||diu-diu | | T V≤ K（| | u）- u | | p）pdiu（u）=0，当q≤ qor q≤ qXiλi，+（u）+λi，-（u） 1qi>q≤ β、 式中，q=q0bef+q0a+q0aft，| | p-p | | T V=supA∈F | p（A）-p（A）|是总变化范数| |||pis带p的Lpnorm≥ 假设7是一个Lipschitz型不等式，以确保当出口状态足够接近时，再生分布几乎相似。此外，我们考虑了有界性假设和支持度约束，以确保重新生成的限制的大小大于最大数量q。我们还添加了以下假设。假设8（退出动态）。

u=（q，q，p）∈ R+×R和i∈ {1，2}，存在正常数β-因此 > 0, q> 0，λi，-（u） 1合格中介机构≤q≥β-.对于小型队列（即qi≤ q), 假设8确保耗尽强度较高（即λi，-≥) 而其他强度是有界的。这样的假设避免了订单簿过于接近退出状态而远离退出状态的关键情况。这也与经验证据相一致，因为当极限低于给定的界q时，它几乎瞬间消失. 我们在附录E.4中证明了以下结果。定理5（状态过程的正则性）。在假设7和8下，过程Uutsatis（| | Uut- U0ut | | p）p≤ KeCT（| | U- U | | p）p，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（14）式中=| |||p的Lpnorm≥ 1，Uut（分别为U0ut）是从初始状态U（分别为U）开始的马尔可夫过程，t是附录E中定义的最终时间和护理常数。4.E.2值函数的正则性在本节中，我们用x p=1并写| |||p=| |.| |。假设函数g（u）=f（Eu[Pu∞]) 是Lipschitz。当状态过程在N×Rwe中取值时，只需要g有界，这总是满足假设5和6。然后，我们在附录E.5中证明了以下正则性。提案2。空间中的值函数V为oLipschitz：| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ AeC（T-t） | | U- U | |，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（15）用T表示最终时间，A常数在附录E.5中定义，Cde在理论5中定义Lipschitz时间：| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ L | t- t |，U∈ Ut、 t型∈ [0，T]，（16），L=cqa+AeC（T-t） C和C是附录E.4中规定的常数。E、 3执行时间不平等这里我们还将x p=1并写入| |||p=| |.| |。我们记得，对于任何控制u，第4.2节定义了Tt，uExec。我们在这里提供了两个执行时间不等式。

首先，当代理以固定的频率做出决策时-我们有以下不等式。提案3。让U，Ube两个初始状态和uOpti（分别uOpti）为从U（分别U）开始的过程的最佳策略。然后，我们有了Eh | Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec | i≤ eC（T-t） | | U- U | |+K（T- t） ，则，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，C=对数（K）+ Cand K=2Qmaxβ。命题3表明，初始状态和代理的延迟 影响最佳执行时间。在任何时候做出决定时，我们都有第二个不平等。提案4。让U，Ube两个初始状态和uOpti（分别uOpti）为从U（分别U）开始的过程的最佳策略。然后，我们有了Eh | Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec | i≤ K | | U- U | |，U、 U型∈ Ut型∈ [0，T]，（17），K=对数（K）。常数Kis在定理5中给出。命题3和命题4的证明见附录E.6。E、 4定理5的证明符号：设U，U∈ U={U∈ R+×R；Pi=1ui>0，u>0}，uut（分别为U0ut）从u（分别为u）开始的过程，t为最终时间范围，且^Qmax=max（Qmax，~Qmax）。设τ1，-（分别为τ1，-) 是第一次完全消耗最佳出价（分别为ask），τ1，+（分别为τ1，+）是第一次耗尽最佳出价（分别为bid），τ=τ1，-∧ τ1，+（分别为τ=τ1，-∧ τ1，+）过程的第一次再生时间Uut（分别为U0ut）。最后，我们为τ=τ写τ∨ τ. 允许 = （| | U）- U | | p）p>0，存在0<q≤ Q满足假设8的条件。We fix p公司≥ 1并写| |||p=| |.| |。步骤1：假设| | U- U | |>q. 让我们展示一下sup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ 3 | | U- U | | peCT，（18）带| C=^Cβqp,^C=5（^Qmax）p+（2Pmax）p+（2Pmax^Qmax）pβ在假设8中定义。公式（18）的证明：我们写出δUut=Uut- UandδU0ut=U0ut- U

那么，我们有| | Uut- U0ut | | p=3p-1.||δUut | | p+| |δU0ut | | p+| U- U | | p.自E起sup0≤t型≤T | |δUuT | | p≤5（^Qmax）p+（2Pmax）p+（2Pmax^Qmax）pβT，我们有sup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ CT+B，C=3p-1^Cβ和B=3p-1 | | U- U | | p.此外| | U- U | |>q因此B>3p-1qp我们有以下不等式：Esup0≤t型≤T | | UuT- U0ut | | p≤ CT+B≤ Be▄CT，带▄C=^Cβqp. 最后一个不等式来自ax+b≤ bea/BX当b>b时。步骤2：假设| | U- U | |≤ q. 首先，让我们展示e | | Uuτ- U0uτ| | p≤ κ| | U- U | | p，（19），其中κ=κCβ+2√2κRK，κ=（1+3Tβ）β-, κ=κ^Cβ+1，K在假设7中定义，r为常数。不等式证明（19）：我们假设τ>τa.s.一般情况下使用相同的参数行。我们有| | Uuτ- U0uτ| | p=| | Uuτ- U0uτ| | p≤（1） z}|{| | U0uτ- U0uτ| | p+（2）z}{| | Uuτ- U0uτ| | p.o第（1）部分满足[| | U0uτ- U0uτ| | p]≤^CβE[|τ- τ|] ≤^Cβκ| | U- U | | p.（20）在第二个不等式中，我们使用E[|τ- τ|] ≤ κ| | U- U | | p，见下面的引理2。o对于第（2）部分，设X=[0，Qmax]×[-Pmax，▄Pmax]×Q最大值[-Pmax，▄Pmax]. 存在值为的Borel函数[-1，1]，见证明末尾的附录E.4.1，以及正常数R，以便| | x- y | | p≤ R | s（x）- s（y）|，（x，y）∈ 十、 让我们用dx表示Uut的再生分布（即当最佳出价（分别为ask）完全耗尽时，dx=dx（分别为dx=dx））。最后，我们用M表示X上取值的borelfunction集[-1, 1]. 在这种情况下，我们有||Uuτ- U0uτ| | p≤ R E公司|s（Uuτ）- s（U0uτ）|= R E公司E[Z[| s（x）- s（y）|]dUuτ-（x） dU0uτ-（y） dxdy/Fτ]≤√2R EE类[Z | s（x）| dUuτ-（dx）-Z | s（y）| dU0uτ-（dy）/Fτ]≤√2R EE类[supg公司∈MZgdUuτ-（dx）-ZgdU0uτ-（dx）/Fτ]= 2.√2R E(*)z}|{| | dUuτ-- dU0uτ-||电视≤ 2.√2RK E||Uuτ-- U0uτ-||p.在（*）中，我们使用了总变化范数属性2 | |u-ν| | T V=supg∈MRgdu-Rgdν。给定E[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，见下面的引理3，我们有[| | Uuτ- U0uτ| | p]≤ 2.√2RKκ| | U- U | | p。

（21）通过组合不等式（20）和（21），我们得到了结果。引理2。我们有[|τ- τ|] ≤ κ| | U- U | | p，κ=（1+3Tβ）β-.引理2的证明：首先，我们假设τ>τa.s，并考虑以下符号。对于每个状态u，我们写u2，+（分别为u2，-) 对于订单簿的新状态，当数量Q=1添加到（分别从中取消）Q时，同样的推理适用于Q。我们有- τ|]=EE[|τ- τ|/Fτ+]= EE[τ/Fτ+]= EE[^τ/U|τ]= Eh（Uuτ）,式中，^τ=τ-τ也是Uut的第一次再生时间，但从初始点Uuτ开始，h（x）=E[τ/Uu=x]，其中τ是Uut在Uu=x时的第一次再生时间。由于U0u在时间τ再生，那么Q01，uτ-≤ q或Q02，uτ-≤ q、 让我们考虑Q01，uτ的情况-≤ q、 案例Q02，uτ-≤ q使用相同的参数求解。自| | Uuτ起--U0uτ-|| = ||Uu-U0u| |（即在第一次再生之前，误差保持不变），我们有Q1，uτ≤ ||Uu- U0u| |≤ q.我们注意到u=uuτ。通过考虑过程Uu的可能转变，我们得到了1+λ1，+（U）h（u1，+）+λ2，-（u） h（u2，-) + λ2，+（u）h（u2，+）- λ*（u） h（u）=0，带λ*=πλi，++λi，-. 使用假设8和h（u）≤ 对于每个初始状态u，我们有h（u）≤1+λ1，+（u）h（u1，+）+λ2，-（u） h（u2，-) + λ2，+（u）h（u2，+）λ*（u）≤（1+3Tβ）β-= κ| | U- U | | p，κ=（1+3Tβ）β-. 这证明了结果。引理3。我们有[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，κ=κCβ+1。引理3的证明：通过遵循与引理2相同的方法，我们首先注意到e[| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ EE[| | Uuτ-- Uuτ-||p/Fτ]+ E||U0uτ-- Uuτ-||p= EE[| | Uuτ-- Uuτ-||p/Uuτ]+ ||U- U | | p≤^CβEE[|τ|/Uuτ]+ ||U- U | | p≤^CβEh（Uuτ）+ ||U- U | | p，其中^τ=τ- τ是Uut的第一次再生时间，但从初始点Uuτ开始，h（x）=E[τ/Uu=x]，其中τ是Uut的第一次再生时间，当Uu=x时。在引理2的证明中，我们表明EE【h（Uuτ）】≤ κ| | U- U | | p.因此，我们有【| | Uuτ-- U0uτ-||p]≤ κ| | U- U | | p，κ=κCβ+1。

这证明了结果。步骤3：假设| | U- U | |≤ q. 让我们展示一下e | | Uut- U、 ut | | p≤ κeCT | | U- U | | p，（22）对于任何t<∞, 式中，C=（β（κ- 1） ）+和κ=1∨ κ.不等式的证明（22）：设t<∞, 我们用NRegent（resp.N0Regent）表示随机变量，该随机变量表示t之前Uut（resp.U0ut）的再生次数。设t，···，tnregen为Uut和t的再生次数，··，tn0regen为U0ut的再生次数。我们构建序列▄tn，使▄t=t∨ 坦德tn=inf{ti>~tn；i∈ {1，···，NRegent}}}tn=inf{ti>％tn；i∈ {1，···，N0Regent}}tn+1=tn∨ tn.当其中一组Ohmn={ti>tn；i∈ {1，···，nRecent}}或Ohmn={ti>tn；i∈ {1，···，N0Regent}}为空。我们采用公约▄tn=t，n>~n代理。因此，我们有| | Uut- U、 ut | | p=E||铀试剂- U、 uИtnGent | | p≤(**)z} |{EκИnRecent | | Uu- U、 u| | p≤ ||Uu- U、 u| | pEκИn试剂,其中（**）通过使用不等式（19）和条件期望参数获得。当κ>1时，我们用N表示*具有恒定强度β的泊松过程。因此，我们有κИn试剂≤ Ee（N*t+1）对数（κ）= κe-βt（1-κ)< ∞.当κ≤ 1，我们有κnRecent≤ 1，因此，EκИn试剂≤ 这证明了不等式（22）。通过将不等式（18）和（22）结合起来，我们完成了定理5的证明，其中k=|κ∨ 3和C=~C∨ C、 E.4.1 sLet的存在首先考虑函数s-1= -【0，1】中定义的日志（a）。函数s-1在[0，1]中连续，在子区间[0，e]中双射-1]. 此外，它是一个满足| | s的H¨older函数-1（a）-s-1（b）| |≤ R | | a-b | | p，（a、b）∈ [0, 1]. 我们用s的倒数表示-1定义于[0，e-1]. 函数是连续的，在[0，1]中取值。

此外，ssatis fies | | a- b | | p≤ R | s（a）- s（b）|，（a、b）∈ [0，e-1].然后，我们定义归一化函数s:X→ [0，e-1] （x，···，x）→ （s（x），····，s（x），s（x），s（x）），其中s，sand是规范化定义的三个辅助函数，如ass（x）=xe-1^Qmax，s（x）=x+~Pmaxe-1▄Pmax和s（x）=x+^Qmax▄Pmax-1^QmaxPmax。很容易看出ssatis fies | | x- y | | p≤ R | | s（x）- s（x）| | p，（x，y）∈ 十、 R=最小值（^Qmax、~Pmax、^Qmax ~Pmax）。最后，我们定义s（x）=Pi=1 | s（s（xi））|。使用不等式ni=1 | xi-彝族|≤√2 | PNi=1 | xi|-PNi=1 | yi | |，我们有| | x-y | | p≤ RR（右后）√2 | s（x）-s（y）|，（x，y）∈ 十、 E.5值函数的正则性不等式证明（15）：我们为过程写入U1，ut（分别为U2，ut），使U1，ut=U（分别为U2，ut=U）。利用g是Lipschitz和不等式（14）的事实，我们得到了| VT（t，U）- VT（t，U）|≤ supuE|g（U1，uTt，uExec）- g（U2，uTt，uExec）|+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ supuE|g（U1，uTt，uExec）- g（U2，uTt，uExec）|+| g（UTt，uExec）- g（UTt，uExec）|+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ supuEg[唇]KeC（T-t） | | U- U | |+g[唇]C | Tt，uExec- Tt，uExec |+cqa | Tt，uExec- Tt，uExec|≤ ||U- U型||g[唇]KeC（T-t） +KC≤ AeC（T-t） | | U- U | |，其中C=g[Lip]C+cqa，C是常数，K=log（K），当U（resp.U）是起点且a=g[Lip]K+KC时，uOpti（resp.uOpti）是最佳控制。在倒数不等式中，我们使用不等式（17）来完成证明。不等式（16）的证明：利用动态规划原理和不等式（15）证明了不等式（16）。E、 6命题3的证明和4命题3的证明：We fix > 0并在n上通过递归证明结果≥ 0 forevery T∈ [0，n].o 初始化：情况n=0，在此情况下为Tt，uOptiExec=Tt，uOptiExec=0。o迭代：假设T的结果为真∈ [0，n]. 让T∈ [0，（n+1）]. WhenT公司∈ [0，n], 使用递归假设，结果是正确的。

当T∈ （n）, （n+1）],我们可以写入，uOptiExec=Tt，uoptiexect，uOptiExec≤+ （Tt，uOptiExec）- )1Tt，uOptiExec≥+ 1Tt，uOptiExec≥.设▄U▄u为遵循与Uu相同动态的过程，但具有初始值Uu在T处结束-  有一个控制？ut=ut+. 然后，我们得到了经典的TuExec=Tu，执行董事- 和V(, u） =VT-（0，u）。因此，我们可以写|Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec|=（1） z}|{E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤- Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|+（2） z}|{E|Tt，￠uOptiExec- Tt，￠uOptiExec|+ （3） z}|{E|1Tt，uOptiExec≥- 1Tt，uOptiExec≥|.– 对于第（1）部分，我们有|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤- Tt，uOptiExecTt，uOpti，tExec≤|≤ E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|+ E|Tt，uOptiExecTt，uOptiExec≤|≤ ETuOptiExec≤+ ETuOptiExec≤≤ 2β.– 对于第（2）部分，使用递归假设和不等式（14），我们得到（TuOptiExec- TuOptiExec）≤ eC（T-（t+))E||U- U||+ K（T- t型- )≤ KeC（T-（t+))+C||U- U | |+K（T- t型- ).– 对于第（3）部分，使用第（2）部分的相同参数，我们有E|1Tt，uOptiExec≥- 1Tt，uOptiExec≥|≤ 2β.最后，因为C=log（K）+ C、 我们有Tt，uOptiExec- Tt，uOptiExec≤ 2.Qmaxβ+KeC（T-（t+))+C||U- U | |+K（T- t型- )≤ K（T- t） +千eC（T-（t+))+C||U- U | |=K（T- t） +eC（t-t） | | U- U型||.命题4的证明：利用命题3，我们有TuOpti，tExec- TuOpti，tExec≤ （| | U）- U | | eC（T-t） +K（t- t） （）~C||U- U | |+对数（K）||U- U | |+K（T- t）~K | | U- U | |。F最优控制问题的求解F。1定理2的证明首先，假设时间导数tV连续是每个子间隔（k, （k+1）).然后，我们可以通过应用定理2的“o”式，经典地证明V满足定理2的方程。因此，有必要展示一个解决方案，并使用验证参数得出结论。

让我们通过逐步求解定理2的方程来展示解决方案Vo步骤1-初始化：因为我们知道时间T的V值，并且V满足度0=-cqa1+～g+AV，t型∈ （k）, T），（23），其中k=bTc、 k级 第一个决策时间和向量g对执行时间影响进行编码。事实上，对于每一个q=（qbef，qa，qaft，q，i）∈ N、 q=qbef+qa+qaft，u=（q，q，p），z=（p，pexec）∈ R、 q=（q0bef、q0a、q0aft、q、i）∈ N、 q=q0bef+q0a+q0aft，u=（q，q，p）和z=（p，p0exec）∈ R、 我们有▄g=Pn≥0▄GN，其中▄GNI的定义为–当i 6=0且qbef+qa时≤ n<q▄gn（▄q，z）=λ1，-m（u，n）g（▄q，z），z=z且▄qs使得q0bef=0，q0a=0，q0aft=q- n、 q=q，i=0–当i 6=0和n时≥ q▄gn（▄q，z）=λ1，-m（u，n）Xd1，-（q，p），（q，p）g（～q，z）。用zandqsuch，q0bef=q，q0a=0，q0aft=0，i=0，p0exec=pexec+qa（p-ψ） 式中，q、q和由再生分布确定在其余的情况下，我们有▄gn（▄q，z）=0。我们明确地知道（23）Vt=e（T）的解-t） Qg+（t- t）- cqa1+~g, t型∈ （k）, T]，其中g是向量，使得gi=g（Ui），k=bTc、 o步骤2-迭代：在时间k, 代理人可以做出决定。因此，他比较了方程式（3）的表达式并取最大值。当最优控制为市场时，代理停止执行，否则，他用新的初始值重复步骤1。因为所展示的解决方案满足tV中，我们得出一个验证定理，如[29]中的定理4.1所示。F、 2定理3Let G=（[0，Qmax]）×的证明[-Pmax，▄Pmax]×[-~Imax，~Imax]，G=（[0，Qmax]）×{0}×[-Pmax，▄Pmax]×[-~Imax、~Imax]和g表示最终约束的Lipschitz函数。我们用Qmax=max（Qmax，▄Qmax）和▄Imax=▄PmaxQmax表示。

通过假设V是光滑的并使用动态规划原理，可以正式推导出V满足的方程最大值电视+Qv、Klv-v、 Kcv公司-v、 g级- v= 0在[0，T）×G上，v=G在[0，T）×G上，v（T，）=g上g，（24），Qf（u）=Rf（u）-f（u）dQ（u；u）状态过程的最小生成器，对于每个连续和有界函数f、状态u和控制r，Krf（u）=Rf（u）dkr（u；u）∈ {l，c}。由于控制r可能导致多个状态，我们在作出决定r后，用kr（u；u）表示从u开始到达状态u的概率。解的存在性、唯一性：解的唯一性来自标准比较原则，使用与[8，定理2.2]相同的参数。解的存在性也可以根据【8，定理2.3】导出。解的规律性：让我们证明tV是连续的，除了在{V=g}的边界上。我们用V表示（24）的连续和Lipschitz粘度解。设r为控件，该控件在代理存在时修改代理的状态。设O为开集O={V>max（KrV，g）}∪ {（t，u）；V>g，kr（u；u）=1}。在O上，我们有电视=-粘度意义上的QV。因此，通过考虑一系列向V均匀收敛的光滑函数，我们得到tV在O上是连续的，请参见[9，推论5.6]中的闭合构造。设O={KrV=V，V>g}和oOits内部假定为非空，否则没有什么可证明的。因为V是Lipschitz，电视本质上是有界限的。为了证明这一点电视是独一无二的oO、 我们假设相反，并考虑点x=（t，u），其中电视有两种可能的价值观。我们有v（x）=KrV=ZV（t，u）dkr（u；u）。至少存在一个用法kr（u；u）>0和（t，u）∈ O、 要看到这一点，让我们takeu=arg max{V（t，u），kr（u；u）>0}。自V（t，u）≥ V（x）>g，我们有（t，u）/∈ {V=g}。If（t，u）∈ O、 这正是需要的结果。

If（t，u）/∈ O、 那么V（t，u）=KrV=RV（t，u）dkr（u；u）≤ V（t，u）。因此，唯一的可能性是kr（u；u）=1，这提供了所需的矛盾。自u起∈ O、 那么tV（t，u）是唯一定义的tV在（t，u）附近连续。因此，功能tV，V=V- kr（u；）V（.，u），在x和V满意度V（x）=KrV=Xu，u6=uV（t，u）kr（u；u）中不是唯一定义的。由于上述等式中的和是有限的，我们可以多次应用之前相同的参数，以发现空函数不是唯一定义的，这提供了所需的矛盾。因此电视是独一无二的oO、 此外，由于tV是连续的onO，我们可以通过矛盾和使用相同的论点来证明电视持续打开oO因此在“O”上。设O=“O”∩\'O，其中\'Ois是oa的闭包，x是O上的一点。因此，x是（xn）n的极限点≥0和（xn）n≥0，这样（xn）n∈ O和（xn）n∈ O、 设l（resp.l）为limn的极限值→∞电视（xn）（分别为limn→∞电视（xn））。因此，我们可以检查L=limn→∞tV（xn）=limn→∞QV（xn）=QV（x）=limn→∞QKrV（xn）=Krlimn→∞QV（xn）=Krlimn→∞tV（xn）=l。因此，V在O=(R)O上连续∪\'\'O.在集合O={V=g}上，电视显然是连续的tV=0。最后，我们考虑集合O=O和x是O上的一个点。这里，x是（xn）n的极限点≥0和（xn）n≥0，这样（xn）n∈ Oand（xn）n∈ O、 设l（分别为l）为limn的极限值→∞电视（xn）（分别为limn→∞电视（xn））。因此，我们有l=l<=> Qg=0。该关系不一定满足。结论：方程式（24）几乎处处满足V。自从电视是连续的，在电视上例外O={V=g}，除O.F.3最优策略letτTi：=τi外，方程（24）逐点满足∧ Tu执行。

由于V满足方程（6），我们有e[g（UuTuExec）-cqaTuExec]=E[V（TuExec，UuTuExec）]=V（0，U）+Xi≥0EZτTi+1τTi[AV（s，Uus）-cqa]ds+hV（τi，（Uuτi-)βi）-V（τi，Uuτi-)我= V（0，U）。自，按结构，EV（τi，（Uuτi-)βi）- V（τi，Uuτi-)= 0和AV（，U）- cqa=0，这表明该策略满足例如（UuTuExec）-cqaTuExec]=V（0，U），因此，通过定义V（0，U）是最佳的。定理4G的证明。1不等式证明（9）让我们 并通过每T在n上的递归显示结果∈ [0，n].初始化：在这种情况下，我们有V=V=g。迭代：让我们假设n的结果为真。让T∈ [0，（n+1）).o 当T∈ [0，n]: 使用重复性假设，结果是正确的当T∈ （n）, （n+1）]: 让t∈ [0，T]。当t∈ (, T]，通过使用v（T，U）=VT，结果为真-t（0，U），~V（t，U）=VT-t（0，U）和复发假说。让我们开始吧∈ [0, , T）。利用动态规划原理，我们得到（t，u）- V（t，u）|≤supuEhcqa（[Tt，uExec- t] 1？Tt，uExec≤t型+- [Tt，uExec- t] 1Tt，uExec≤t型+)+ cqa（1？Tt，uExec>t+- 1Tt，uExec>t+) +VT-t型(,Uu，) - 及物动词-t型(, Uu)我.– 首先我们有|（▄Tt，uExec-t） 1？Tt，uExec≤t型+-（Tt，uExec-t） 1Tt，uExec≤t型+|≤ ETt，uExec≤t型++1Tt，uExec≤t型+≤ 2小时–其次，使用（4.4.3），我们有EVT-t型(,Uu，) - 及物动词-t型(, Uu)=徐Pu，uVT-t型(, u）- PU= u | u=u及物动词-t型(, u）≤徐Pu，u（￠V）T-t型(, u）- 及物动词-t型(, u）≤ R（T- t型- ).– 最后，我们有CQAE|1？Tt，uExec>t+- 1Tt，uExec>t+|≤ cqaE|1Tt，uExec≤t型++ 1？Tt，uExec≤t型+|≤ cqa2小时。通过组合上述不等式，我们得出T-t（t，u）- 及物动词-t（t，u）|≤ R（T- t型- ) + R≤ R（T- t）.备注5。我们可以证明有限差分格式的不等式（9）（即P=i+Q） 通过添加错误项C自e起Q- （一+Q）=Q+o().G、 2方程式（10）的证明，让uOpti，是与过程相关的分段常数最优控制Uu，t。

我们说，当确认n≥ n、 fn=f。证明大纲：首先，我们证明了子序列（φn）n的存在性≥0使uOpti，φ（n）（ω）→n→∞u（ω）是一个平稳的函数，其中u（ω）是一个分段常数函数。然后，使用▄V（t，U）→→0V（t，U）和稳态收敛uOpti，φ（n），存在n≥ n、 E[克（~Uφ（n），‘uОT’uExec）- cqa▄T▄uExec】=E[g（▄Uφ（n），uOpti，φ（n）~TuOpti，φ（n）执行）- cqaTuOpti，φ（n）执行]→→0V（t，U）。由于Uu是右连续的，(R)u是最佳值。平稳收敛的证明：首先，让我们证明存在 > 0个这样的值∈ [0，T]，我们可以找到一个子序列uOpti，φa（n）（ω），在[a，a+). 让a∈ [0，T]，由于空间C={l，C，m}是紧的，我们可以提取一个子序列φa（n），使得uOpti，φa（n）（ω）（a）向给定极限u（ω）（a）收敛。由于C是确定序列uOpti，φa（n）（ω）（a）是静止的。允许（ω） >0是[0，T]中两次连续跳跃之间的最小时间。因此，uOpti，φa（n）（ω）（a）在[a，a+). 因此，uOpti，φa（n）（ω）（x）→n→∞u（ω）（a），x个∈ [a，a+) 以固定的方式。让m= 英国电信c、 每一个我∈ {0，···，m}, 存在φi使uOpti，φi（n） （ω）（x）→n→∞u（ω）（i）), x个∈ [我, （i+1）).我们定义分段常数极限函数u（ω），使得u（ω）（x）=u（ω）（i), x个∈ [我, （i+1）)通过构造，存在φ（n）（由一定数量的φi构造（n） 成分），序列uOpti，φ（n）（ω）→n→∞u（ω）以固定方式。