基于流动性的最优交易策略

2022-6-9 18:50:04

QAski（或QBidi）的限制是可用的销售（或购买）数量。在此限额订单簿设置中，我们考虑以下问题：代理人必须在固定的期限时间之前购买或出售给定数量的资产。在执行过程中，代理可以做出四个基本决定：o在订单簿中插入限额订单，希望以最佳的询价/投标方式执行（我们假设代理不会将限额订单置于最佳限额之上）。o在订单簿中保留现有的限额订单，以保持其战术位置。o取消现有限额订单。o发送市场订单以立即执行。请注意，这是经典Almgren-Chriss最优调度问题的微观结构版本，用于在时间间隔[0，T]内清算大量资产，有关各种扩展，请参见[3，7，15]和[10，16]。在[3]的设置中，[0，T]被分为子时间窗口（通常每个窗口几分钟），一个派生出每个窗口中要执行的共享数。在我们的例子中，我们希望指定如何在每个窗口内进行最佳操作。事实上，买方或卖方对每一个订单移动都会做出反应，并在短时间内处理相当小的数量。为了解决这个问题，我们当然需要对订单簿进行动态建模。在Literature中，基本上有两种订单建模方法。首先，“一般均衡模型”，基于做出最优决策的理性主体之间的相互作用，参见【14，30，31】。其次，“统计模型”，其中订单簿被视为一个合适的随机过程，请参见[1、2、6、11、12、21、22、32]。统计模型侧重于再现真实市场的许多显著特征，而非个体代理人的行为及其相互作用。在本文中，我们使用一个统计模型。

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2022-6-9 18:50:08

在这种模型中，到达流和取消流通常遵循独立的泊松过程。泊松假设允许推导简单且通常为闭合形式的公式，例如各种订单事件的概率，请参见[1、12、21、27]。然而，如【19】所示，这一假设并不现实，有必要准确考虑订单的本地状态依赖行为。因此，在[19，20]中，作者介绍了队列反应式订单簿模型，其中订单流遵循马尔可夫跳跃过程。它们还提供遍历性条件和模型参数校准方法。在这里，我们重新定义该模型，使其与随机控制框架兼容，使我们能够解决重要的实际问题。要做到这一点，我们只考虑最佳出价和asklimits，以在相当小的状态空间中工作。此外，为了获得订单簿动态的真正良好效果，我们将重点放在所谓的再生过程上，该过程在限额完全耗尽后模拟订单簿状态。实际上，在我们的设置中，当没有限制完全耗尽时，订单簿将在一个新的状态下重新生成，其再生法则取决于耗尽之前的订单簿状态。通常，订单簿模型考虑了多个买卖限制，并使用独立于订单簿状态的重新生成过程，请参见[2、12、19]。在这里，我们通过三维马尔可夫跳跃过程（Qt，Qt，Pt）对订单进行建模，其中Qt是最佳出价下的可用数量，Qt是最佳ask下的可用数量，PTI是中间价格。此外，我们专注于大型tick资产（见[13]），因此我们将利差固定为常数。在这项工作中，我们处理一个最优执行问题。事实上，一个好的执行意味着什么的问题并不是微不足道的。这是因为很难确定合适的基准价格。

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2022-6-9 18:50:12

事实上，代理商需要一个基准来将其与自己交易策略的执行价格进行比较。在我们的工作中，我们将自己置于一个可以定义价格P长期价值概念的环境中∞= 限制→∞Pt。我们使用它作为基准，因为它代表资产的未来价值。实际上，如果代理人能够以低于P的价格购买资产∞,原则上，他可以通过在未来将其出售来获利。现在让我们介绍代理的控制问题。我们将其表示为qa大小的采购订单（可以明显地将其更改为销售订单）。从时间零点到最后时间T，我们假设，在每个决策时间，买方都不能做任何事情，也不能使用以下三种操作之一：在投标队列的顶部插入要购买的剩余数量（如果尚未插入）（决策l），取消已插入的限额订单（决策c）或发送市场订单（决策m）。我们假设动作涉及代理的整个库存。无法对库存的一部分应用决策，而对剩余部分应用另一个决策。如果代理在时间T未获得QA的全部执行，他将取消订单簿中的剩余数量，并发送市场订单。agent旨在确定最优决策序列，以超越基准P∞.设t为当前观察时间，ut代理的控制和Iut代理的库存，这是他在t时必须购买的剩余数量。我们查看代理的控制u={ut，t≤ T}作为{l，c，m}中的一个进程，当用户什么都不做时，它保持不变。重新调用我们需要处理代理的库存，因为我们可能会部分执行QA，但代理不会对qa3进行任何拆分。

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mingdashike22

2022-6-9 18:50:15

基准为P∞, 代理人希望获得数量EP∞- PExec，uTuExec高，其中PExec，u是quantityqa的收购价格- Iuand Tuexec是完全执行QA的时间。重要的一点是，在我们的环境中，我们的交易会对价格产生影响。特别是，试图获得PExec，uTuExecsmall意味着我们希望将暂时的市场影响降至最低，即执行期间交易的价格影响。请注意，我们的交易也会影响P∞我们将能够计算，因此我们写Pu∞而不是P∞. 为了考虑等待成本、对价格影响的敏感性以及在更一般的环境下工作，我们考虑到可以通过扩大状态空间来放宽这一假设。如果代理在订单簿中没有订单，并且在周期开始时什么都不做，我们认为他从控件c开始。这也可以通过扩大控件的维度来放松。以下优化问题：supuEfEPu∞- PExec，uTuExec/FTuExec- CQAuExec,其中f:R→ R是Lipschitz函数，c是表示等待成本的均匀化非负常数。请注意，我们使用条件期望来解释代理在自己的交易中收集信息的错误。我们在两个案例中研究这个问题。首先，当代理人以固定频率做出决策时-1、这使我们能够调查延迟效应和中高频交易问题。其次，当代理人在任何时候做出决定时，要处理一个人可以使用超高频交易技术的情况。请注意，本文显然不是第一篇使用随机控制框架（包括限价订单、市场订单和取消）来解决高频交易问题的文章。

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2022-6-9 18:50:18

例如，在[23，24]中，作者考虑了在[4，10，17，18]中讨论做市商问题时，限制订单的最佳过账问题。然而，据我们所知，这是第一种准确考虑市场参与者决策、流动性和订单行为之间相互作用的方法，另见补充文件【5】。本文的组织结构如下。我们将在第2节介绍我们的订单模型。在第3节中，我们描述了代理的控制问题。我们的主要结果包括∞第4节提供了值函数满足的方程。最后，第5节给出了求解这些方程的数值方法。证明和其他结果被归入附录。2订单簿建模在本节中，我们首先确认代理行为取决于订单簿流动性的数据，有关密切相关的结果，请参见【19、24、25】。然后，我们描述了订单簿的动态。2.1初步：经验证据我们工作的一个特点是，我们希望仔细建模市场参与者和流动性之间的相互作用。我们首先在真实数据上表明，市场参与者在面临不同的流动性条件时表现不同。数据库演示文稿。此处使用的数据来自法兰克福欧洲交易所（Eurex exchange Frankfurt）的外滩期货。我们关注的是外滩期货，因为它们是流动性非常强、规模巨大的固定资产的一个很好的例子。数据库在2014年9月1日至5日的一周内，以微秒精度逐项记录订单状态（即最佳限度下的可用数量和价格）。每天，我们的数据涵盖法兰克福时间上午8点至晚上10点的时间段。每个事件都有一个类型、一个侧面（即出价/出价）和一个大小。我们考虑三种类型的事件：插入限额订单、取消现有限额订单和市场订单。

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2022-6-9 18:50:21

该数据库记录了3407574个事件。t是订单中发生事件的时间。我们确定了事件时间t后的不平衡和中间价格移动δ秒，Pmidδ（t），由Imbt=tQt- QtQt+Qt，Pmidδ（t）=tPδ+t- Ptψt，其中Qt（resp.Qt）是最佳出价（resp.ask）下的可用数量，pti是中间价，这是事件标志（即t=1（如果是购买订单，则为-1），ψ是价差（即ψt=PAskt- PBidtwith paskt最佳要价，pbidtt最佳出价）。我们想确认，代理商的决策取决于订单簿的流动性。一种简单的方法是通过失衡来总结订单簿流动性的状态。图2：。A显示每个事件类型的平均不平衡值。我们给出了图2的解释。如果是购买限制/取消/市场订单，因为Imbt表达中考虑了事件标志。我们看到，市场参与者在不平衡为负时插入限额订单（执行可能性很高），在不平衡为正时取消订单（执行机会较少），并在不平衡为正时使用市场订单（当不平衡为正时匆忙流动）。图2：。b显示流动性准备金事件（即插入限额订单）和流动性消耗事件（即取消限额订单或市场订单）之前的失衡分布。我们看到，在极端不平衡值下，代理非常活跃。事实上，在这些情况下，他们确定了抓住有利机会，或相反，确定了要避免的逆向选择效应（例如，在价格下跌之前购买）。这与不平衡的预测能力有关。如图2所示。c2分钟后（即δ=2分钟）的Pmidδ（t）与不平衡高度相关。

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2022-6-9 18:50:24

因此，市场参与者将这种不平衡作为预测未来价格走势的信号。因此，我们的实证结果明确证实，代理人的决策取决于订单账面流动性。对于非常积极的失衡，流动性准备金率很高，乍一看可能令人惊讶。然而，这可能是由于在价差中插入的订单创造了新的最佳限额。引用萨沙·斯托伊科夫的话：不平衡是高频交易中隐藏得最少的秘密。（a）限制/取消/市场订单前的平均失衡（b）流动性提供/消费事件限制前的失衡密度取消市场订单类型-0.10.00.10.20.3平均不平衡-1-0.5 0.0 0.5 1.0不平衡0.20.40.60.81.01.21.4流动性准备流动性消耗（c）平均价格在2分钟后针对不平衡移动-0.5 0.0 0.5不平衡-0.20.00.20.4平均价格变动图2：关于失衡的一些统计数据。2.2订单簿框架集(Ohm, F、（Ft），P）是具有平凡σ-代数的过滤概率空间。订单状态由马尔可夫过程Ut=（Qt，Qt，Pt）建模，其中Qt（resp.Qt）是最佳出价（resp.ask）数量，pti是中间价格。我们关注大型tick资产，并将利差ψ固定为常数。订单簿重新生成。当一个限额完全耗尽时，订单簿将以新的状态重新生成，其规律取决于耗尽前的订单簿状态和耗尽侧（即最佳出价/出价）。我们用du（resp.du）表示最佳出价（resp.ask）完全耗尽时再生状态的概率分布，其中u∈ （N）*)×R消耗前的订单簿状态。对于i∈ {1，2}和u∈ （N）*)×R，再生定律diuhas支持（N*)×R.一个简单的选择是考虑这样一种情况，即当最佳出价（分别为。

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2022-6-9 18:50:28

ask）完全耗尽，并从固定的固定分布中提取新的最佳出价和询价数量，见【11】。对于q=（q，q）∈ （N）*), q=（q，q）∈ （N）*), （p，p）∈ R、 u=（q，q，p），n∈ N*, e=（1，0），e=（0，1）和i∈ {1，2}，过程uth的最小生成元Q的形式如下：Q（Q，p），（Q+nei，p）=λi，+（u，n）+Pi=1Pk≥qiλi，-（u，k）di（q，p）；（q+nei，p）q（q，p），（q-nei，p）=λi，-（u，n）+π=1Pk≥qiλi，-（u，k）di（q，p）；（q）-nei，p），如果qi>nQ（q，p），（q，p）=Pi=1Pk≥qiλi，-（u，k）di（q，p）；（q，p），如果p6=p，其中oλ1，+（分别为λ2，+）是（N）中的非负函数*)×R×N到R+代表在最佳出价（分别为最佳ask）下限额订单的到达率（即流动性准备金）。oλ1,-（分别为λ2，-) 是来自（N）的非负函数*)×R×N到R+代表在最佳出价（分别为最佳ask）下限额订单的消耗率（即流动性消耗）。oPi=1Pk≥qiλi，-（u，k）di（q，p）；（q，p）表示当最佳出价（或ask）完全耗尽时，订单簿的重新生成。此外，在不丧失一般性的情况下，我们可以将中间价格初始化为零。然后，对于everyu=（q，q，p），u=（q，q，p）和n∈ N、我们假设以下买卖对称关系：λ1，+（u，n）=λ2，+（usym，n）λ1，-（u，n）=λ2，-（usym，n）du（u）=dusym（u0sym），（1）其中usym=（q，q，-p）。2.3遍历性我们现在在下面给出的四个一般假设下，提供了过程Qt=（Qt，Qt）遍历性的理论结果。附录B中给出了遍历性的定义。假设1（负个体漂移）。存在三个正常数Cbound，z>1和δ>0，因此对于任何u=（q，q，p）∈ （N）*)×R带q≥ Cbound，Xn≥0（锌- 1）（λ1，+（u，n）-λ1,-（铀、氮）锌）≤ -δ.假设1确保限制的队列大小在变为ToolLarge时趋于减小。利用方程（1），我们还得到了xn≥0（锌- 1）（λ2，+（u，n）- λ2,-（铀、氮）锌）≤ -δ, q≥ C绑定。假设2（受来流限制）。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:50:32

存在一个正常数H，使得对于任何u=（q，q，p）∈ （N）*)×R，Xn≥0λ1，+（u，n）+λ1，-（u，n）≤ H、假设2确保系统中没有爆炸：订单到达速度在订单簿的任何给定状态下保持有界。利用对称关系，我们还得到了xn≥0λ2，+（u，n）+λ2，-（u，n）≤ H、对于状态u=（q，q，p）和i∈ {1，2}，我们为arandom变量写出UDisc，i，u=（Q1，i，u，Q2，i，u，PDisc，i，u）和规律diu。假设3（再生界限）。存在三个大于1的正常数CDisc、L和z，对于任何u=（q、q、p）∈ （N）*)×R和i∈ {1，2}，EPj=1z | UDisc，i，uj-CDisc公司|+< 五十、其中，UDisc，i，ujis是UDisc，i，u的第j个坐标。假设3通过假设发现大量的概率迅速趋于零来确保不发生爆炸。例如，当有一个数量▄qmax时，对于anyq∈ （N）*)而我∈ {1，2}，Q1，i，u≤qmax和Q2，i，u≤Qmaxa。s、假设3已满足。假设4（跳跃边界）。存在两个正常数LJand z>1，因此对于任何状态u=（q，q，p）∈ （N）*)×R和i∈1, 2,Xnznλi，+（u，n）<LJ。最后，假设4意味着当n较高时，非常大跳跃的到达率λi，+（u，n）迅速趋于零。假设1、2、3和4与[20]中使用的假设接近。我们得到以下结果。定理1（遍历性）。在假设1、2、3和4下，当到达率、消费率和再生分布不依赖于中间价格时，过程Qt=（Qt，Qt）是遍历的（即收敛到唯一不变分布）。

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2022-6-9 18:50:36

此外，我们还有以下收敛速度：| | Ptq（.）- π| | T V≤ B（q）ρt，带| |||T v总变化定额，Ptq（.）从初始点q=（q，q）开始的过程QT的马尔可夫核∈ （N）*), π不变分布，ρ<1，B（q）a恒定于初始状态q，见附录B。该定理是第2.1节中订单动态渐近研究的基础，因为它确保订单状态向不变概率分布收敛。因此，在市场数据上观察到的程式化事实可以用这种不变分布的大数型现象定律来解释。为了完整起见，附录B中给出了这一结果的证明，尽管它受到了[19，20]的启发。3最优策略控制问题3.1随机控制框架的介绍我们表达了一个规模为qa的采购订单的控制问题。它可以以一种明显的方式更改为销售订单。订单簿动态。订单簿状态由processUut建模=QBef、ut、Qa、ut、QAft、ut、Q2、ut、Iut、Put、PExec、ut其中，Qa，ut为代理商以最佳出价插入的限额订单的大小，QBef，ut为Qa前插入的数量，ut，QAft，ut为Qa后插入的订单，ut（见图3），PExec，ut为Qa的收购价格- Iut，Iu是试剂的库存，也是试剂的对照品。我们记得，第2季度，ut是最好的询价限额，Put是中间价。然后，Q1，ut=QBef，ut+Qa，ut+QAft，ut是最佳出价下的总体积。考虑到订单安排，它分为三个数量。代理过帐的限额订单的大小等于整个库存，如果订单簿中插入了部分库存，我们不会处理拆分问题。

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2022-6-9 18:50:39

我们对订单动态进行了一些小的修改：o为了获得最佳报价，我们将市场订单消耗率λ1，-mfrom limit orderscancellation rateλ1，-c、取消订单消耗QAft，ut first和市场订单QBef，ut first。oUutca的再生过程可以从（Q1，ut，Q2，ut，Put）的再生过程推断出来，该过程不变。再生Qa后，当最佳出价完全耗尽时，ut=0，否则保持不变。此外，数量QAft，u+QBef，u由生成的最佳出价和Qa的位置给出，ut从分布中提取，取决于再生前的订单状态和耗尽侧（即我们的情况下的最佳分配）。自然的选择是，当价格变动时，将QAft，u=0和QBef，u设置为新的最佳出价，并在最佳ask耗尽且没有价格变动时，保持数量（QBef，ut，Qa，ut，QAft，ut）不变。（Q1，ut，Q2，ut，Put）满足的对称关系（1）保持不变。附录C中提供了工艺Uu的微型发电机Qu的详细说明。|投标AskQBef、utQa、utQAft、utQ2、utPtP riceλ1、+λ1，-λ2,+λ2,-图3：影响订单模型的流程图。交易员控制。在每个决策时，交易者都不能做任何事情或做出三个决策：ol：如果尚未插入数量Iu，他可以在出价队列的顶部插入数量Iu。oc：他可以取消已经存在的限额订单Qa，u。通过这种方式，交易者可以等待更好的订单状态。这种控制主要用于避免逆向选择，即在价格下跌之前获得交易m：他可以发出市场指令，以便立即执行。因此，交易者的控制u={ut，t≤ T}是一个分段常数c ` adl ` ag过程，值为{l，c，m}。

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2022-6-9 18:50:42

如果代理没有在订单簿中插入订单，并且在开始时什么都不做，则初始控制是c.Trader的库存和清算价格。由于我们考虑的是具有初始库存qa的买方，因此我们确定Iu=qa。让qm是另一个市场参与者在时间t以最佳出价发送的市场订单的大小。当qm>QBef时，ut-, 最小数量（qm-QBef，ut-, Qa，ut-) 当然，这种建模是保守的，因为我们尽可能长时间延迟订单执行。它对应于用户的最坏情况。订单以最低价购买--ψ. 因此，当u=l时，可以写入Qa、utand、PExec、utca的动态Qa，ut=Qa，ut-- 1qm>QBef，ut-最小值（qm- QBef，ut-, Qa，ut-)Iut=Qa，utPExec，ut=PExec，ut-- Qa，ut（Put--ψ），带有Xt=Xt-Xt公司-对于任何c\'adl\'ag流程X。当发送市场订单（即u=m）时，数量iut-以最好的价格购买。当最佳任务不足以吸收Iut时，会增加线性临时价格影响-. 在这种情况下，Qa、utand、PExec、utwrites的动态Qa，ut=0Iut=0PExec，ut=PExec，ut-+ Iut-Put-+ψ+α（Iut-- Q2，ut-)+,其中，参数α表示线性临时价格影响，（x）+=最大值（x，0）。最后，在控制u=c下，我们设置Qa，ut=0，并保持Iu和PExec，u不变，因为代理的订单不在订单簿中。我们添加了最终时间限制Qa，uT=0IuT=0PExec，uT=PExec，uT-+ IuT-PuT-+ψ+α（IuT-- Q2，uT-)+.最优控制问题。我们确定了有限的地平线时间T<∞ 我们要计算vt（0，u）=supuEfE类[Pu∞/FTuExec]- CQAuExec,其中，u=（qbef、qa、qaft、q、i、p、pexec）是订单簿的初始状态TuExec=inft型≥ 0，s.t Iut=0∧ T表示最终执行时间Pu∞= 限制→∞Put-PExec，uTuExec表示价格影响。

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2022-6-9 18:50:45

我们将看到EPu∞/FTuExec公司定义明确，下一节将给出该数量的明确计算c是表示等待成本的非负均匀化常数，Qa是订单大小，f:R→ R是一个Lipschitz函数。我们在两种情况下解决了代理的控制问题：当决策以既定频率作出时-1以及在任何时候拍摄的时间。4理论结果在本节中，我们计算Pu∞, 讨论控制问题解的存在性、唯一性和正则性，并给出值函数满足的方程。4.1计算Pu∞计算E[Pu∞/FTuExec]，我们将假设3和4替换为稍微不太一般的假设。假设5（插入界限）。存在一个正数qmax，使得对于anyu=（q，q，p）∈ （N）*)×R和n≥ 0,λ1，+（u，n）=0，当q+n>Qmaxλ1时，-（u，n）=0，当q>Qmax时。这一假设没有限制性，因为最佳限度内的可用数量基本上仍然是有边界的。使用对称关系，我们也有，对于任何u=（q，q，p）∈ （N）*)×R和N≥ 0λ2，+（u，n）=0，当q+n>Qmaxλ2时，-（u，n）=0，当q>Qmax时。对于状态u=（q，q，p）和i∈ {1，2}，我们为具有分布diu的arandom变量编写UDisc，i，u=（Q1，i，u，Q2，i，u，PDisc，i，u）。我们现在给出一个最终有界性假设。假设6（再生界限）。中间价格Put在空间τZ中存在，其中τ∈ R+刻度值。

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2022-6-9 18:50:49

此外，存在两个正常数▄Pmax和▄qmax，因此▄PDisc，i，u▄≤Pmax，Q1，i，u≤qmax和Q2，i，u≤Qmaxa。s、长期价格影响的计算：对于执行结束时的每个州，我们将Pu∞分两个数量Pu∞= P、 u∞+PuTuExec- PExec，uTuExec,其中oPuTuexec是执行时的中间价格（即PuTuexec和PExec，uTuexec在执行时已知）。oP、 u∞= 限制→∞Put- PuTuExec是执行后的长期中间价格变动。因此，我们只需要计算P、 u∞. 由于我们在执行Iu之后进行定位，因此我们有Qa，ut=0和QAft，ut=0。然后我们可以编写Ui=Qi，Qi，Pi通过使用轻微的旋转，忘记对控件的依赖。让t>tuexece为在最终执行时间后第一次完全消耗最佳出价的时间，t>tuexece为第一次耗尽最佳ask的时间。当最佳出价（分别为ask）全部用完时，价格平均移动α-i=EUiPt公司（分别为α+i=EUiPt公司) 订单簿根据度量di（resp.di）重新生成。索引i与状态Ui相关联。我们定义oq-ii=PUi[{t<t}∩{Ut-= Ui}]和q+ii=PUi[{t≤ t}∩{Ut-= Ui}]。它们分别代表了最佳出价在最佳提问或对话之前被消费的概率，退出状态为Uidi，k（resp.di，k）是当消耗了最佳出价（resp.ask）时，从Uit状态到Uk状态的转移概率qi=Piq+iiα+i+q-iiα-我和pi，k=piq+iidi，k+q-iidi，k分别表示第一次再生后的平均中间价变动和从第一次再生后的初始点Ui开始达到状态Uk的概率Usym=（q，q，-p）是U的对称状态=（q，q，p）。oD是满足Di=EUi的向量[P] 对于每个状态Ui=（q，q，P），使得P>0或P=0和q≥ q、请注意，EUi[P] =-尤西米[P] 。对于状态Ui，isym是对称状态Usymi的索引。

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2022-6-9 18:50:54

我们得到以下结果。提议1（平均中间价变动）。对于不可约过程Ut，见第2.2节，满足假设5和6，向量D满足=（I- （A）-1F。矩阵A由Ai定义，k=pi，k-pi，ksym1-（pi，i-pi，isym）当i 6=k和Ai，i=0，向量fsaties Fi=qi1-（pi，i-pi，isym）。矩阵I- A是可逆的。附录D.1中给出了该结果的证明。为了计算D，我们需要估计再生分布D.，D.，α±。和q±。。数量d.、d.和α±。可根据消耗后订单状态的经验分布进行估计。然后，我们只需要估计q±ii。我们现在给出q±ii的计算结果。引理1（q±ii的计算）。设R=[R-, R+]是矩阵，使得R-ii=q-iiandR+ii=q+ii。那么，R是方程Q的解*R=-zand R=M▄R，其中▄Q*, 附录D.2中定义了zand M，见方程式（12）和（13）。该方程的解自▄Q以来是唯一的*是可逆的，见附录D.3。当最佳出价的动态独立于最佳提问的动态时，~Q*是均匀对角化的。在[11]中恒定强度的简单情况下，~Q*可使用封闭式公式轻松计算对角化，见附录D.3。附录D.2给出了这个引理的证明。附录A图8.4.2最优策略的存在性和唯一性，正则性，给出了向量P的数值计算。在本文的其余部分，假设2、5和6有效。在本节中，我们讨论了最优策略的存在性和唯一性，并给出了状态过程Uu和值函数的正则性结果。首先，对于有限的水平时间T，我们定义了值函数vt（T，u）=supuEfEPu∞/FTt，uExec- cqa（Tt，uExec- t） | Uut=U,使用0≤ t型≤ T，u∈ N×Rand Tt，uExec=infs≥ t、 s.t Ius=0∧ T最优控制的存在唯一性。

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2022-6-9 18:50:57

最佳策略存在于两个框架中（即在固定频率和任何时间做出的决策），但原因不同。以固定频率做出决策时-1由于我们有一定数量的可用策略，因此存在最佳策略。当在任何时候做出决策时，最优控制序列（τi，νi），其中τiis为最优决策时间，νi为最优决策，满足度τ=0，ν=argmaxr∈{l，c，m}EVT（0，Ur）当代理做出决策时，新的状态τi+1=inft>τi；VT（t，U^ut-) = H-νiVT（t，U^ut-)νi+1=argmaxr∈{l，c，m}，Дi6=rnEVT（τi+1，（U^uτ-i+1）r）o、（2）其中，对于给定状态u和控制r，H-rVT（t，u）=最大值∈{l，c，m}，o6=rEVT（t，uo）和^u=（τj，Дj）j≤i、由于VTI是连续的，因此最佳控制得到了很好的定义，见方程式（15）和（16）。附录F给出了（2）的证明。然而，在这两个框架中，最优策略的先验不唯一性。问题的正规化。为了保证最优策略的唯一性，我们提出了一个实用的准则。我们定义了交易者决策c<l<m之间的顺序关系。这种关系背后的推论是，m是风险最小的决策，因为我们直接执行，s的风险高于m，但风险低于c，因为执行没有延迟。因此，我们可以在上述意义上的最优决策中选择风险最小的决策。状态过程和价值函数的规律性。时间上的值函数vtilispchitz，见附录E。附录E的结果在更一般的框架中提供，其中我们允许状态过程以R+×R值。

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mingdashike22

2022-6-9 18:51:00

在这种情况下，我们研究了过程Uu的规律性，见定理5，这使我们能够恢复VT.4.3在固定频率下做出的决策的Lipschitzproperty-1：动态规划方程在本节中，我们提供并求解由最优控制问题的值函数VO满足的方程组。我们得到以下结果。定理2。设u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）为初始状态，t∈ [0，T]。然后V（t，u）满足度：o当i>0时：–在决策时间t=k < T:V（k, .) = 最大值Vl（（k)+, .)Vc（（k)+, .)g（.）, （3）式中V（t，.），g（.），Vc（t，.）和Vl（t，.）向量V（t，.）i=V（t，ui），g（.）i=fE[欧洲货币单位[P∞]], Vc（t，.）i=E[V（t，uci）]和Vl（t，.）i=V（t，uli），其中Uri是决策r∈ 取{l，c，m}。我们要记住，由于重新生成，控件c和m可能会导致多个订单状态。方程3应逐坐标理解t 6=k时 < T：0=-cqa1+AV（t，.），（4）其中A=t+Q是过程Uut的微型发生器。Q的表达式在附录C中给出。当i=0（执行时间条件）：V（t，U）=g（U），t<t，g（u）=fE[欧洲货币单位[P∞]].o 终端条件为：V（T，u）=g（u）。（5）附录F备注1给出了该结果的证明。在每个决策时，只要不执行命令，代理就会比较每个控件给出的值函数，并取最高的值函数，见等式（3）。执行theorder时，代理增益为g（U）。如果在时间T之前未执行订单，代理商将发送市场订单以立即执行并赚取g（U）。备注2。在没有控制c和l的情况下，方程（3）、（4）和（5）在维度1上等价于有限水平Bermudean期权的经典问题。

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2022-6-9 18:51:03

上述系统可以方便地解决，见附录F.4.4第二种方法：在任何时间做出的决定。我们现在考虑代理在任何时间做出决定的情况。在本节中，我们提供了值函数满足的方程组，我们还介绍了一个简单的控制问题，其值函数可以很容易地用数值计算，并向初始最优控制问题收敛。4.4.1动态规划方程我们保留与定理2中相同的符号。此设置中的值函数有以下结果。定理3。设u=（qbef，qa，qaft，q，i，p，pexec）为初始状态，t∈ [0，T]。然后V（t，u）在粘度意义上和几乎所有地方都满足o当i>0时：最大值AV（t，.）- cqaVl（t，.）- V（t，.）Vc（t，.）- V（t，.）g（.）- V（t，.）= 0。（6）o当i=0（执行时间条件）：V（t，u）=g（u），t型≤ T、 o终端条件为：V（T，u）=g（u）。（7）结果证明见附录F。自tV是一个先验的不连续的，我们使用粘度解的概念。然而，我们表明除{V=g}边界外，tV是连续的，除此边界外，上述方程在点方向上满足，见附录F。备注3。当没有控制c和l时，方程（6）和（7）在维度1上等价于有限期美式期权的经典问题。4.4.2最优执行问题的数值求解为了数值求解前面的最优控制问题，我们考虑一个离散框架。我们在这里展示了如何使用这个离散框架来近似连续控制问题的解。此外，还提供了误差估计。离散时间马尔可夫链近似。设q=（q，q）∈ （N）*), p∈ R、 n个∈ N、 e=（1，0），e=（0，1）和i∈ {1, 2}.

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2022-6-9 18:51:06

让Unbe转移矩阵由p（q，p），（q，p）=p定义的马尔可夫链U= （q，p）| U=（q，p）,使用第2.2节规定的工艺。给定U的最小生成元Q，可以很容易地计算过渡矩阵P，因为P=（eQ），见附录C。在此近似值中，Unis被视为没有代理人干预的市场演变。针对这一新市场，我们引入受控离散时间马尔可夫链U,un=QBef，un，Qa，un，QAft，un，Q2，un，Iun，Pun，PExec，un采用与第3.1节相同的结构。此外，我们还可以计算Pu∞在这种离散时间近似中，遵循第4.1节中的相同方法。在离散框架下数值求解最优控制问题。V的Wedenote（n，u）与离散控制问题相关的值函数，n为周期，u为订单状态。动态规划原理readsV（i，u）=supu∈UE公司五、（i+1），Uui+1- cqa|Uui=U.因此，我们有（i，u）=最大值PuPul，紫外线（i+1，u）- cqa 控制lPuPuc，uV（i+1，u）- cqa 控制cg（u）控制m，（8）终端约束V（nf，u）=g（u），其中uri是控件r之后的新订单状态∈ {l，c，m}和NFI为最终期限。方程（8）提供了计算V的数值格式（0，u）。在最后的时间T，我们可以计算V（nf，u）表示每个可达状态。利用后向方程（8），我们可以计算V（i，u）知道V（i+1，u）获得初始值V（0，u）。第5节给出了模拟的数值结果。为了高效地计算值函数，动态规划方案可以并行化。备注4。请注意，将有限差分格式应用于定理3的方程，可以得到与马尔可夫链U给出的离散时间近似相同的结果n过渡矩阵▄P=I+Q.

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2022-6-9 18:51:09

什么时候由于P=e，我们的离散时间近似值与有限差分格式几乎相等Q=I+Q + o().最后，每k≥ 0，我们定义分段常数过程U关联到Unsuchthat：▄Ut=英国，t型∈ [k], （k+1）).我们用▄V表示（t，U）状态过程为▄U的控制问题的值函数. 然后我们得到以下误差估计结果。定理4。对于每个州u=qbef、qa、qaft、q、i、p、pexec, 我们有| V（t，u）- V（t，u）|≤ R（T-t）, （9） R=4cqaH，H在假设2中定义。这确保了离散近似的收敛性：~V（t，u）→→0V（t，u）。此外，序列uOpti，与工艺相关的？Uutsatis fiesuOpti，→→0uOpti，a.s，（10），其中uOpti是与连续时间控制问题相关的最佳控制。附录G中给出了该结果的证明。当很小，上述误差估计值对P=I+Q有效（即有限差分方案），见附录G.5数值试验在本节中，我们展示了两种框架中最优策略的相关性：当以固定频率进行决策时-1以及在任何时候拍摄的时间。为了做到这一点，我们比较了我们的策略和标准策略给出的最佳收益加入竞价：以最佳竞价保持在订单中，直到最后一刻。在这里，我们写下Q（resp.Q）来表示最佳出价（resp.ask）限制。5.1最佳增益的计算：在给定频率下作出的决定-1图4显示，对于大小为1的订单，最优策略的平均收益（即初始值函数）与加入初始Qand Q不同值投标的策略之间的差异。最优策略的收益显然总是高于订单中保留的策略的收益。

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2022-6-9 18:51:13

然而，由于优先级值（这是限制订单与位于同一队列后部的另一限制订单相比的优势）很重要，当不平衡为正时比负时更有用的是激活（即取消订单或发送市场订单）。最后，请注意，最优策略达到了2.4个刻度的最大值（因为刻度δ=0.01）。5.2最佳收益的计算：在任何时间做出的决策图5显示了最佳策略inred在时间零点的价值函数（即交易者的收益），并且其中一个策略保持在最佳出价（蓝色），使用离散近似值，以刻度δ=0.01的百分比表示。点的颜色表示策略给出的初始决策：绿色点表示在开始时留在订单簿中是最佳决策，红色点表示取消是最佳初始决策，黑色点表示发送市场订单是最佳初始决策。当不平衡为高度负时，最好取消订单以避免逆向选择，当不平衡为高度正时，最好发送市场订单或留在订单簿中。在我们的案例中，由于优先级值很重要（即Qbefix等于1），所以当不平衡度为正时，保持在订单簿中是很有趣的。在中间情况下（即不平衡接近0），最好发送市场订单以降低等待成本。我们注意到，最优策略的收益明显优于加入投标的策略。确认。作者衷心感谢ERCgrant 679836 Staqamof和监管分析与模型主席的财政支持。10 20 30 40 50 60投标规模102030405060 ASK size0.0000.0030.0060.0090.0120.0150.0180.0210.024图4：最佳策略的最佳收益与保持最佳投标的策略之间的差异。

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nandehutu2022

2022-6-9 18:51:15

初始参数固定如下：时间频率等于 = 10秒，最终时间T=100秒，到达率和消耗率根据数据进行估计（见附录A），在投标（分别要求）限制完全耗尽后，新投标（分别要求）设置为5，新投标（分别要求）设置为3，数量qa=1，等待成本c=0，当ask限制（分别为bid限制）完全消耗且函数f等于恒等式时，价格增加（分别为减少）δ=0.01。参考文献【1】Fr“ed”eric Abergel和Aymen Jedidi。订单建模的数学方法。《国际理论与应用金融杂志》，16（05）：13500252013。[2] eric Abergel神父和Aymen Jedidi神父。基于霍克斯过程的limitorder book的长时间行为。《暹罗金融数学杂志》，6（1）：1026–104320015。[3] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。《风险杂志》，第5-39页，2000年。[4] 马可·阿维拉内达和萨沙·斯托伊科夫。限额指令簿中的高频交易。《定量金融》，8（3）：217–2242008年。[5] 尼古拉斯·巴拉德尔、布鲁诺·布查尔德、大卫·伊万杰利斯塔和奥特曼·穆尼吉德。优化库存管理和订单建模。在eprint arXiv中：1802.08135，2018年。[6] 克里斯蒂安·拜耳、乌尔里希·霍斯特和金鸟球。具有状态相关价格动态的limitorder图书的一个泛函极限定理。《应用概率年鉴》，27（5）：2753–28062017。[7] Dimitris Bertsimas和Andrew Lo。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》，1（1）：1–501998年。[8] Imran H Biswas、Espen R Jakobsen和Kenneth H Karlsen。积分方程系统的粘度解决方案，以及与跳跃微分过程的最佳切换和控制的连接。

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何人来此

2022-6-9 18:51:18

《应用数学与优化》，62（1）：47–802010。-0.5 0.0 0.5初始不平衡-0.50-0.250.000.250.50平均价格变动静态战略最优战略初始决策：静态初始决策：取消初始决策：市场图5：针对初始不平衡的不同值，以红色表示的最优策略和以蓝色表示的策略合并的策略的每勾收益。初始不平衡由QBef=0、Q=11和Qfrom 1至11、Q=11和Qfrom 10至1获得。初始参数如下：时间步长等于 = 1秒，有10个周期，到达土地消耗率为常数λ1，+=λ2，+=0.06和λ1，-= λ2,-= 0.12，当全部消耗了投标（响应ask）限额，数量qa=1，等待成本c=0.0085，当完全消耗了ask限额（响应bid限额）且函数F为标识时，新投标（响应ask）设置为5，新投标（响应bid）设置为3。[9] 布鲁诺·布查尔德和尼扎尔·图齐。粘性解的弱动态规划原理。《暹罗控制与优化杂志》，49（3）：948–9622011。[10] \'Alvaro Cartea、Sebastian Jaimungal和Jos\'e Penalva。算法和高频交易（数学、金融和风险）。剑桥大学出版社，2015年10月。[11] Rama Cont和Adrien De Larrard。马尔可夫限价订单书签集中的价格动态。《暹罗金融数学杂志》，4（1）：1-252013年1月。[12] Rama Cont、Sasha Stoikov和Rishi Talreja。订单动态的随机模型。运筹学，58（3）：549–56320010。[13] Khalil Dayri和Mathieu Rosenbaum。大刻度资产：隐式排列和最佳刻度大小。《市场微观结构与流动性》，1（01）：155000320015。[14] 蒂埃里·福柯。动态限额订单市场中的订单流量构成和交易成本。

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mingdashike22

2022-6-9 18:51:21

《金融市场杂志》，2（2）：99–134，1999年。[15] 理查德·格林诺德和罗纳德·卡恩。积极的投资组合管理：一种产生卓越回报和控制风险的量化方法；第二版，麦格劳·希尔，纽约州纽约市，2000年。[16] 奥利维尔·古恩特。《市场流动性的金融数学：从最优执行到做市》，第33卷。CRC出版社，2016年。[17] 奥利维尔·古恩特、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和华金·费尔南德斯·塔皮亚。应对投资风险：做市商问题的解决方案。《数学与金融经济学》，4（7）：477–5072013。[18] 郭欣、阿德里安·德拉尔德和赵阮。限价订单簿中的最优布局：一种分析方法。数学与金融经济学，11（2）：189–213，2017年。[19] 黄卫兵、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和马修·罗森鲍姆。模拟和分析订单数据：队列反应模型。《美国统计协会杂志》，10（509），2015年。[20] 黄卫兵和马修·罗森鲍姆。马尔可夫订单模型的遍历性和差异性：一般框架。《暹罗金融数学杂志》，8（1）：874–900，2017年。[21]Aim\'e Lachapelle、Jean-Michel Lasry、Charles Albert Lehalle和Pierre Louis Lions。高频参与者存在下价格形成过程的效率：平均场博弈分析。数学与金融经济学，10（3）：223–2622016年6月。【22】彼得·莱克纳、乔希·里德和萨莎·斯托伊科夫。limitorder book的高频渐近性。《市场微观结构与流动性》，2（01）：16500042016。【23】索菲·拉鲁埃尔、查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和吉勒·帕格斯。limitorders的最优过账价格：通过交易学习。数学与金融经济学，7（3）：359–4032013。[24]查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒（Charles Albert Lehalle）和奥斯曼·蒙吉德（Othmane Mounjid）。具有逆向选择风险和延迟作用的限制订单策略安排。

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能者818

2022-6-9 18:51:25

《市场微观结构与流动性》，3（01）：17500092017。[25]查尔斯·阿尔伯特·莱哈勒和埃亚尔·纽曼。将信号纳入最佳交易。arXiv预印本arXiv:1704.008472017。[26]Sean P Meyn和Richard L Tweedie。马尔可夫过程的稳定性iii：连续时间过程的Foster–Lyapunov准则。应用概率的进展，25（3）：518–5481993。[27]Ioane Muni Toke。泊松订单模型中最佳报价处的数量的平稳分布。《国际理论与应用金融杂志》，20（06）：17500392017。【28】詹姆斯·R·诺里斯。马尔可夫链（统计和概率数学剑桥系列）。剑桥大学出版社，1998年7月。【29】Bernt KarstenOksendal和Agnes Sulem。《跳跃差异的应用随机控制》，第498卷。斯普林格，2005年。[30]克里斯汀·A·帕洛尔。限价订单市场中的价格动态。《金融研究评论》，11（4）：789–8161998。【31】Ioanid Ro,su。限价订单簿的动态模型。《金融研究评论》，22（11）：4601–46412009。[32]E.Smith、Doyne J.Farmer、L.Gillemot和S.Krishnamurthy。连续双重拍卖的统计理论。《定量金融》，3（6）：481–5142003年。模型参数估计限额订单到达率和取消率的估计方法与[19]中的类似。订单簿的再生分布是根据消耗后订单簿状态的经验分布估计的。在下文中，我们使用第2.1节中描述的数据库提供订单模型的校准结果。在这里，我们用Qt（resp.Qt）和Qt（resp.ask）来表示Qt=（Qt，Qt），并认为强度和再生分布仅取决于Qt。强度估计。对于每个Q=（Q，Q），我们写τ1，+（Q）=λ1，+/λ1，-τ2，+（Q）=λ1，+/λ1，-分别为买卖双方增长率。

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2022-6-9 18:51:28

考虑到买卖对称关系，我们可以聚合数据，只关注出价方。图6：。a、 6。b、 6。c和6。dshow分别为λ1、+、λ1、，-, τ1，+和τ2，+表示不同的Q值。正如预期的那样，我们可以看到，当不平衡为负值时，参与者插入更多的限制指令（见图6.A当Q为负值时 Q）当不平衡为正时，它们会抵消更多（参见图6.b whenQ Q）。最后，图6。c（对应图6.d）表明，当不平衡为负（对应正）时，τ1，+（对应τ2，+）较高，当不平衡为正（对应负）时，τ1，+（对应τ2，+）较低，这意味着当Q 当Q Q、（a）λ1，+（b）λ1，-10 15 20 25 30 35 40 45 ASK SIZE1015250354045投标尺寸3.64.86.07.28.49.610.812.013.210 15 25 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸3691215182124（c）τ1，+（d）τ2，+10 15 20 25 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸0.540.660.780.901.021.141.261.3810 15 20 30 30 35 40 ASK SIZE1015250354045投标尺寸0.540.540.540.660.780.901.021.141.261.38图6：（a）λ1，+，（b）λ1，-, （c） τ1，+和（d）τ2，+，表示（Q，Q）的不同值。Qand Qare除以平均事件大小。消耗后的数量。当一个极限耗尽时，我们写下QNew，1（分别为QNew，2）作为新的最佳出价（分别为ask）。图7：。a、 7。b和7。c分别显示QNew、1、QNew、2和比率r+（Q、Q）=QNew、1QNew、2，用于中间价格变动前Qand Qn的不同值。由于我们聚合数据，出价队列始终是耗尽队列，而询问限制则是非消耗限制。图7：。a和7。b表明QNew，1主要依赖于q2，而QNew，2同时依赖于q1和Q。然而，有趣的是，r+在两种情况下达到最大值，见图7。c

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能者818

2022-6-9 18:51:31

第一种情况下，当出价低而要求高时，可以用均值回归效应来解释，而第二种情况下，当两个队列最初都很高时，是由于大量订单的到来消耗了市场流动性。（a） QNew，1（b）QNew，225 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE250354555555 BID size17.522.527.532.547.552.557.525 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE250354555555 BID size812162024283236（c）r+25 30 35 40 45 50 55 ASK SIZE25035455 BID SIZE510152503540图7：（a）QNew，1，（b）QNew，2和（c）r+表示Qand Q的不同值。Qand平均事件大小。EU近似值[P∞]. 图8显示了EU[P∞] 第4.1节定义并使用命题1计算，初始状态U=（Q，Q，P）的不同值。图8显示了不平衡的预测能力：当不平衡为正时，价格平均上涨，反之亦然。我们还注意到，买卖对称关系得到尊重。短期内的模型近似。图9：。a、 9。b、 9。c和9。d分别显示了20个事件后QA和QA的经验和理论分布。我们选择20个事件，因为它与我们控制的持续时间一致。理论分布的估计基于订单簿的蒙特卡罗模拟。我们可以看到，这两种分布都很接近，因此我们的模型与经验顺序一致，即在单位10 20 30 40 50投标规模1020304050 ASK规模下的理论平均中间价变动-0.008-0.006-0.004-0.0020.0000.0020.0040.0060.008图8：单位价格的理论平均中间价变动。Qand Qare除以平均事件大小，tickδ=0.01。至少在控制持续时间内预订动态。

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