特别是，因为对于任何x，y∈ R和任何t≥ 0：εkx+yk≤ （x+y）∑（t）（x+y）≤ Mkx+yk==> εkx+yk≤ x∑（t）x+y∑（t）y+2x∑（t）y≤ Mkx+yk==>εkx+yk- Mkxk+kyk≤ x∑（t）y≤ Mkx+yk取x=ei和y=ej，其中ei是0的向量，其中1位于ithposition，我们得到协方差元素的以下界：ε- M≤ ∑ij（t）≤ 4米。这表明条件（ii）满足。接下来，我们证明函数G有界，因此满足多项式增长条件（iv），这也需要证明条件（iii）成立。为此，我们注意到，由于∑的元素以及ρ（t，x）和η（t，x）是有界的，我们得出结论，函数B（t，x）和C（t，x）是有界的。现在，需要证明二次型xA-1（t）y对于x，y在Rnare的一些有界子集中也是有界的。为此，回想一下A（t）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t）以及所有x∈ Rn：εkxk≤ x∑（t）x≤ Mkxkεkxk≤ xQ（t）x≤ mkxkwh表示存在, M>0，这样对于所有x∈ 注册护士：kxk公司≤ xA（t）x≤ M kxkd用λ（t）表示A（t）的Eigne值≥ ... ≥ λn（t），我们注意到当分别用λ和λn替换M和ε时，上述边界是紧的。因此，特征值满足：ε≤ λn（t）≤ λ（t）≤ M级==>M≤λ（t）≤λn（t）≤ε，从中我们可以得出结论，存在正常数|ε，|M，对于任何x∈ Rn：￠εkxk≤ xA公司-1（t）x≤通过上述类似推理，我们可以得到：εkx+yk-~Mkxk+kyk≤ xA公司-1（t）年≤Mkx+YK用于所有x，y∈ 注册护士。当x，y在Rn的有界子集中时，上述不等式两边的范数也是有界的。

结合B和C有界的事实，我们可以得出结论，Gis实际上有界（因为我们关注的是涉及1和B的二次型），因此满足多项式增长条件（iv）。为了证明条件（iii），我们注意到γi、δi和ξiν的可微性假设意味着aij=σij=Pkν=1ξiνξjν和bi=γi+δ是可微的，因此是一致的H¨older连续的。同样，通过注意到A、B和C都是有界的和可微的，这意味着G也是有界的和可微的。由于条件（i）-（iv）满足，PDE（A.5）存在一个解，根据Karatzasand Shreve（1998）第5章中的定理7.6，可以证明G是可微的，因此在[0，T]×Rn上是一致的H¨older连续的，唯一解由以下Feynman-Kac表示给出：h（t，x）=Et，x-ZTtG（s，X（s））ds, （A.6）如果预期是根据物理测量P进行的。A、 2定理1的证明根据Touzi（2012）的定理5.1，我们提供了一个验证论点，以证明命题2中给出的候选解实际上是值函数，并且（4.6）中给出的相应控制是最优控制。因为（4.5）中的h（t，x）是HJBequation的经典解，而π*ζ（t）是π7的最大值-→ F（t，x，π），需要检查过程π*ζ=π*ζ（t）t型≥0是一个定义良好的容许控制过程，且受控随机微分方程dyπ*ζ、 ρ（t）=at、 ρ（t），π*ζ（t）dt公司+ξπ*ζ（t）- ξρ（t）dW（t）为每个给定的初始数据定义了唯一的解决方案。首先，我们验证π*ζ为容许控制。这需要我们证明π*ζ是具有π的F-适应向量值过程*ζ（t）1=1，对于所有t和该π*对于所有t，i（t）几乎肯定有界，对于i=1。。。，n

很明显，π*ζ是F适应的，从以下观察结果来看，其元素总和为1：π*ζ=1A-1·1.- 1A级-1BA-1·1+B=1.- 1A级-1BA-1·1A-11+1A-1B=1- 1A级-1B+1A-1B=1。π*ζ是有界的，遵循B的有界性和A的元素-1在之前的证明中确定。接下来，我们需要证明这个证明开始时给出的SDE的解的存在性和唯一性。为此，请注意，任何投资组合π的漂移和波动率项是a（t，ρ（t），π（t））=πα（t）-π∑（t）π-（γρ（t）+Δρ（t））和ξπ（t）- ξρ（t）分别地因为任何容许的π、ρ、γ、δ和∑（t）的元素都是有界的，漂移项a（t、ρ（t）、π（t））也是有界的。特别是对于任何t，它都是平方可积的≥ 此外，由于ξ（t）被假定为平方可积，因此波动率项也是平方可积的。最后，由于漂移和波动性都不取决于Yπ，ρ，因此两者都满足Touzi（2012）定理2.2中给出的Lipschitz条件。然后，根据相同的定理，SDE允许对初始数据Yπ，ρ（0）的任何选择有唯一的解。A、 3推论的证明3我们首先证明（i）。

回想一下，最优投资组合由以下公式给出：π*ζ=A-1.1.- 1A级-1BA-1·1+B=1.- 1A级-1B级·A.-1A级-11+A-1其中，A=（ζ+ζ）∑+ζQ，B=ζα+ζ∑η，为简洁起见，不再依赖于t和x。现在，我们可以用以下两种方式写A：A=（ζ+ζ）∑+ζζ+ζQA=ζζ+ζζ∑+Q= （ζ+ζ）A=ζAfrom，其如下所示：limζ→∞A=limζ→∞A=σ和limζ→∞A=qa另外，我们可以将A的倒数写为：-1=ζ+ζA-1=ζA-1根据Awe编写最佳投资组合：π*ζ=1.-ζ+ζA-1(ζα + ζΣη)·A.-1A级-11+ζ+ζA-1(ζα + ζΣη)=1.-ζζ+ζA-1α -ζζ+ζA-1Ση·A.-1A级-11+ζζ+ζA-1α+ζζ+ζA-1∑η，注意：limζ→∞ζζ+ζ=limζ→∞ζζ+ζ=1limζ→∞ζζ+ζ=limζ→∞ζζ+ζ=0由此得出：limζ→∞π*ζ=πGOP，limζ→∞π*ζ= η .类似地，根据Awe编写最优投资组合有：π*ζ=1.-ζζA-1α -ζζA-1Ση·A.-1A级-11+ζA-1α+ζA-1∑η，由此得出：limζ→∞π*ζ=Q-1季度-11 .通过替换适当的ζ、ζ、ζ和q值，并注意到GOP由πGOP=（1）给出，可以直接验证语句（ii）和（iii- 1Σ-1α）·πMQP+∑-1α. ReferencesReferencesAng，A.、D.Papanikolaou和M.M.Westerfield（2014年）。非流动资产的投资组合选择。《管理科学》60（11），2737–2761。Banner，A.D.和D.Fernholz（2008）。波动稳定市场中的短期相对套利。《金融年鉴》4（4），445–454。Blanchet Scalliet，C.、N.E.Karoui、M.Jeanblanc和L.Matellini（2008）。时间范围不确定时的最优投资决策。《数理经济学杂志》44（11），1100–1113。Browne，S.（1997年）。负债生存与增长：连续时间内的最优投资组合策略。运筹学数学22（2），468–493。Browne，S.（1999a）。击败移动目标：超越随机基准的最佳投资组合策略。金融与随机3（3），275–294。Browne，S.（1999b）。

在截止日期前实现目标：数字选项和持续时间的积极投资组合管理。应用概率进展31（2），551–577。Browne，S.（2000年）。风险约束动态主动投资组合管理。《管理科学》46（9），1188–1199。Christensen，M.M.（2012）。关于增长最优投资组合的历史。《金融工程机器学习》，第1-79页。《世界科学》杂志，J.和I.Karatzas（1992）。约束投资组合优化中的凸对偶。《应用概率年鉴》，767-818年。Davis，M.和A.Norman（1990年）。具有交易成本的投资组合选择。运营数学研究15（4），676–713。Fernholz，E.R.、I.Karatzas和J.Ruf（2016年）。波动性和套利。arXiv预印本arXiv:1608.06121。Fernholz，R.（1999a）。关于股票市场的多样性。《数理经济学杂志》31（3），393–417。Fernholz，R.（1999b）。投资组合生成函数。《金融市场定量分析：纽约大学数学金融研讨会论文集》，第344页。《世界科学》Fernholz，R.（2001）。由排名市场权重函数生成的股票投资组合。《金融与随机》5（4），469–486。Fernholz，R.（2002年）。随机投资组合理论。斯普林格。Fernholz，R.和I.Karatzas（2005年）。波动稳定市场中的相对套利。《金融nals》1（2），149–177。Fernholz，R.和B.Shay（1982年）。随机投资组合理论与股票市场均衡。《金融杂志》37（2），615–624。Karatzas，I.和R.Fernholz（2009年）。随机投资组合理论：概述。数字分析手册15，89–167。Karatzas，I.和S.Shreve（1998年）。布朗运动和随机微积分（第2版）。Liu，R.和J.Muhle Karbe（2013年）。随机投资机会的投资组合选择：用户指南。arXiv预印本arXiv:1311.1715。Magill，M.和G.Constantinides（1976年）。

具有交易成本的投资组合选择。J、 经济理论13245–263。默顿，R.（1969）。不确定性下的终身投资组合选择：连续时间案例。《经济和统计评论》，LI，247–257。默顿，R.（1971）。连续时间模型中的最优消费和投资组合规则。J、 经济学理论3373–413。Oderda，G.（2015）。随机投资组合理论优化与基于规则的投资起源。定量金融15（8），1259–1266。Pal，S.和T.-K.L.Wong（2013年）。能量、熵和套利。arXiv预印本arXiv:1308.5376。Pal，S.和T.-K.L.Wong（2016）。相对套利的几何学。数学与金融经济学10（3），263–293。Samo，Y.-L.K.和A.Vervuurt（2016年）。随机投资组合理论：机器学习视角。arXiv预印本arXiv:1605.02654。Touzi，N.（2012）。最优随机控制、随机目标问题和反向SDE。Fields Institute专著第29卷。纽约斯普林格。Wong，T.-K.L.（2015）。相对套利优化。《金融年鉴》11（3-4），345-382。