跑赢大市和跟踪：主动和

2022-6-9 18:55:11

跑赢大市和跟踪：主动和被动投资组合管理的动态资产配置应用数学金融，Toronto大学统计科学系塞巴斯蒂安·贾木加尔（Sebastian Jaimungal）Forthcomniali Al-Aradi抽象投资组合管理问题通常分为两类：主动和被动，其目标是跑赢大市和跟踪预选基准，分别地在这里，我们制定并解决了一个动态资产配置问题，将这两个目标结合在一个统一的框架中。我们希望最大化投资者投资组合财富与绩效基准财富之间的预期增长率差异，同时惩罚与给定跟踪投资组合的风险加权偏差。利用随机控制技术，我们给出了最优配置的显式闭式表达式，并说明了最优策略如何与增长最优投资组合相关联。可接受的基准包括功能生成投资组合（FGP）类别，其中包括市场投资组合，因为唯一的要求是它们仅取决于现行资产价值。最后，给出了一些数值实验来说明最优分配的风险回报特性。关键词：主动投资组合管理；随机投资组合理论；随机控制；投资组合选择；增长最优投资组合；功能生成的投资组合。1、简介积极的投资组合管理旨在构建能够产生优异回报的投资组合。这与被动投资组合管理形成对比，被动投资组合管理的目标是跟踪给定的指数。

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2022-6-9 18:55:15

作者要感谢NSERC部分资助这项工作。电子邮件地址：ali。al。aradi@utoronto.ca（阿里·阿拉迪），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（塞巴斯蒂安·贾蒙格尔）积极管理的目标可以进一步分为绝对性目标和相对性目标。绝对目标不涉及任何外部过程，例如最大化预期增长、最小化最终财富方差或破产概率。相对目标是指那些涉及外部基准的目标，通常以资产组合的形式给出，例如，最大化跑赢市场组合的可能性。在某些情况下，主动管理者的绩效可能还包括他们偏离基准的情况，因为他们会因跟踪错误或承担过度主动风险而受到惩罚。持有绝对风险水平最低的投资组合也是可取的，以投资组合财富过程的波动性来衡量。本文的主要目标是构建一个投资组合，该投资组合根据当前资产价值给出的绩效基准获得最佳相对回报。我们还允许投资者通过惩罚偏离后者的行为，将其投资组合固定在跟踪基准上。对于积极的管理者来说，这两个投资组合往往是一致的。考虑到基准过程的权重本身是随机过程，并且必须作为附加状态变量纳入，因此在设置和解决控制问题时必须小心。我们工作的动力来自Oderda（2015），作者研究了使用随机投资组合理论（SPT）优化相对回报率，但仅通过静态优化部分解决了问题。在这里，我们通过使用最优随机控制技术显著改善了这些结果。

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2022-6-9 18:55:18

我们成功地为最优分配提供了显式的闭式表达式。此外，我们还展示了我们得出的最优投资组合如何与增长最优投资组合相关联，该投资组合在任何范围内实现预期增长的最大化，并在财务文献中发挥着重要作用。寻求跑赢大市的投资者面临的一个主要问题是，需要稳健地估计个人资产的增长率。这可能是一个很难实现的目标。然而，允许投资者锚定他们选择的投资组合嵌入了我们的随机控制问题，即投资组合跟踪问题，它可以用来克服估计问题。特别是，投资者可以选择跟踪已知具有某些跑赢大盘特性的投资组合，例如某些功能生成的投资组合或通用投资组合，并尝试通过我们提出的随机控制问题来改善风险调整后的表现。2、文献综述有大量文献致力于利用随机控制理论解决各种投资组合选择问题。默顿（1969）的开创性工作引入了动态资产配置和消费问题，利用随机控制技术得出最优投资和消费政策。在Merton（1971）、Magill和Constantinides（1976）、Davis和Norman（1990）、Browne（1997）以及最近的Blanchet Scalliet et al.（2008）、Liu和Muhle Karbe（2013）和Ang et al.（2014）中可以找到扩展。这些论文的重点通常是最大化贴现消费和终端财富的效用，或最小化短期概率，或其他独立于任何外部基准或相对目标的相关绝对绩效指标。最优主动管理问题在Browne（1999a）中引入，随后在Browne（1999b）中定义。

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2022-6-9 18:55:22

在这些论文中，投资者能够交易一些由几何布朗运动（GBMs）建模的资产和无风险资产。投资者的目标是最大化其投资组合相对于随机基准的表现，随机基准也被建模为异源给定的GBM。他们通过用独立于风险证券的布朗运动对基准进行建模，假设市场是“不完整的”。这种建模方法可用于广泛的基准，包括通货膨胀、汇率和其他投资组合。本文提供了一个一般性的结果，并用于为一些主动管理问题找到最优的投资组合策略，即：（i）最大限度地提高投资者的财富达到相对于基准的某个绩效目标的概率，然后再低于该目标达到预定的短期目标；（二）尽量缩短实现业绩目标的预期时间；（iii）实现目标时获得的预期回报最大化；（iv）最大限度地减少预期的罚款，使其降至短缺水平；（v）最大化相对财富的效用。Browne（2000）扩展了这项工作，将风险约束纳入优化问题，尽管那里的设置仅限于一个完整的市场，其中基准投资组合仅由资产领域的资产组成。Browne（2000）的目标与Browne（1999a）和Browne（1999b）的目标相同，但另一个限制条件是成功概率低于给定水平。这些论文中的一个重要缺点，尤其是关于击败基准投资组合的问题，是这些解决方案仅适用于具有恒定权重的基准投资组合，并且最多可以扩展到确定性权重过程的情况。

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2022-6-9 18:55:25

这是因为随机权重的情况需要将基准权重作为状态变量，从而显著增加控制问题的维数。可以说，考虑到最简单、也可以说是最分散的基准之一是市场投资组合，其权重随时间随机变化，因此随机权重的情况更为相关。本文中的大部分模型建立基于随机投资组合理论（参见Fernholz（2002）或Karatzas和Fernholz（2009）的最新概述），这是分析市场结构和投资组合行为的灵活框架。SPT是解决这些问题的描述性方法，而非规范性方法，并依赖于在实际股票市场中容易满足的一组最小假设。Fernholz和Shay（1982）是SPT发展的开创性论文之一，他们介绍了SPT中使用的核心工具，主要是过度增长的通知，以及股票和股票市场的长期行为特征和实现市场均衡的条件。Fernholz（1999a）扩展了Fernholz和Shay（1982）的工作，以过度增长的概念为基础，引入了市场多样性和熵的概念作为多样性的度量，以及它们在描述股票市场均衡中的作用。Fernholz（1999b）通过引入Portfoligenerating函数进一步发展了SPT框架，这是一种工具，可用于构建仅依赖于资产领域市场权重的动态投资组合。

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2022-6-9 18:55:28

Fernholz（2001）将功能生成投资组合的概念扩展到排名市场权重的函数，这允许根据公司规模构建投资组合。SPT的一个主要重点是确定在不同的时间范围内，相对套利机会组合（保证跑赢市场组合）存在的条件，以及构建此类组合的方法。Fernholz and Karatzas（2005）、Banner and Fernholz（2008）、Pal and Wong（2013）、Wong（2015）、Pal and Wong（2016）和Fernholz et al.（2016）等著作对此进行了讨论。应该注意的是，与目前的工作不同，SPT通常关注的是a.s.意义上的卓越表现。Samo和Vervourt（2016）的工作是一个例外，在这项工作中，机器学习技术被用来通过最大化投资者的夏普比率来实现预期绩效。在Oderda（2015）中发现了SPT在主动管理背景下的应用，作者试图解释基于规则的非资本加权投资策略相对于市场投资组合的优越风险调整绩效。使用SPT的结果描述相对财富的动态，并应用静态优化来求解投资者的最优投资组合。该效用最大化问题的解决方案会产生一个最优投资组合，它在五个被动的基于规则的投资组合中占有一定比例：市场投资组合、等权重投资组合、全球最小方差投资组合、风险平价投资组合和高现金流投资组合。如前所述，通过使用最佳随机控制技术，我们显著改进了Oderda（2015）的结果。我们成功地为最优分配提供了显式的闭式表达式。

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2022-6-9 18:55:32

此外，我们还演示了最优投资组合如何与增长最优投资组合相关联，以及如何应用我们的技术来利用某些功能生成投资组合的相对套利特性。3、模型设置3.1。市场模型我们从典型的SPT市场模型开始，如Fernholz（2002）所述。设W={W（t）=（W（t），…，Wk（t））}t≥0be在过滤概率空间上定义的标准k维维纳过程(Ohm, F、 F，P），其中F={Ft}t≥0是由W生成的自然过滤的P-增强，Ft=σ（{W（s）}s∈[0，t]）。维纳过程是经济中资产回报的驱动因素。此外，我们假设市场由n个股票组成，其中≥ k、定义1。资产i的股价过程，Xi={Xi（t）}t≥0是形式为Xi（t）=Xi（0）·expZt（γi（s）+δi（s））ds+ZtkXν=1ξiν（s）dWν（t）的连续半鞅！（3.1）对于i=1。。。，n、式中，γi、δi和ξiν是与资产增长率、股息率和波动率相对应的确定性函数，与第五个随机源有关。我们需要对模型参数进行以下假设：假设1。对于i=1，…，增长、股息和波动函数γi、δi和ξiv是有界和可微的。。。，n和v=1。。。，k、满足这一假设的一个模型是增长、股息和波动性参数为常数的模型；典型Black-Scholes模型的多元扩展。该模型将在实施部分使用，以获得一些数值结果。请注意，我们的市场模型不包括无风险资产，但将控制问题扩展到包含此类资产并不困难。此外，假设1比SPT背景下的通常可整合性假设更强，但简化了通过动态规划方法解决随机控制问题的过程。

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2022-6-9 18:55:35

虽然可以允许模型参数是随机的，但这将需要额外的假设，并且在不增加大量本文主要结果的情况下，这将使优缺点的证明更加繁琐。在不丧失一般性的情况下，我们假设每项资产都有一个单独的流通股，因此XI代表相应证券的总市值。此外，使用对数价格log Xi更方便，它满足随机微分方程（SDE）：d log Xi（t）=（γi（t）+δi（t））dt+ξi（t）dW（t），（3.2），其中ξi（t）=（ξi1（t）。。。，ξik（t））是挥发度的k×1向量。这也可以用向量表示法表示如下：d log X（t）=（γ（t）+δ（t））dt+ξ（t）dW（t），（3.3），其中log X（t）（n×1）=（log X（t）。。。，log Xn（t）），γ（t）（n×1）=（γ（t）。。。，γn（t）），δ（t）（n×1）=（δ（t）。。。，δn（t）），ξ（t）（n×k）=（ξ（t）。。。，ξn（t））。接下来，我们介绍协方差过程：定义2。协方差过程是由∑（t）（n×n）=ξ（t）·ξ（t）给出的矩阵值函数。（3.4）然后，资产i与资产j的协方差可以表示为∑ij（t）=ξi（t）ξj（t）。我们假设市场满足通常的非退化条件，从而确保协方差矩阵是可逆的：假设2。协方差过程∑（t）对于所有t都是非奇异的≥ 存在ε>0，对于所有x∈ R和t≥ 0x∑（t）x≥ εkxkP-a.s.（3.5）因此，∑（t）是所有t的正定义≥ 0，和∑-所有t都存在1（t）≥ 我们还假设市场具有有界方差：假设3。存在M>0，因此对于所有x∈ R和t≥ 0，x∑（t）x≤ MkxkP-a.s.（3.6）3.2。投资组合动态定义3。投资组合是一个可测量的、F适应的向量值过程π={π（t）}t≥0，其中π（t）=（π（t）。。。，πn（t））这样，对于所有t≥ 0，π（t）几乎肯定是有界的P，满足：π（t）+····+πn（t）=1 P-a.s。

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大多数88

2022-6-9 18:55:39

（3.7）π的每个分量表示投资于相应股票的财富比例；πi（t）的负值表示股票i中的空头头寸。根据SPT中的一个众所周知的结果，投资组合价值过程的对数，Zπ={Zπ（t）}t≥0，满足SDEd对数Zπ（t）=（γπ（t）+Δπ（t））dt+ξπ（t）dW（t），（3.8），其中γπ（t）（1×1）=π（t）γ（t）+γ*π（t），γ*π（t）（1×1）=[π（t）diag（∑（t））- π（t）∑（t）π（t）]，Δπ（t）（1×1）=π（t）δ（t），ξπ（t）（k×1）=ξ（t）π（t）。这里，γπ、Δπ和ξπ分别是投资组合增长率、投资组合股息和投资组合波动率过程，γ*π是投资组合π的超额增长率过程。超额增长率等于资产回报率方差组合加权平均值与投资组合方差之差的一半。正如Fernholz（2002）更详细地讨论的那样，这是一个在inSPT中起着重要作用的关键量。我们特别感兴趣的一个投资组合是市场投资组合。市场组合在SPT中扮演着核心角色，在我们的背景下，它是分配给积极管理者的最常见基准之一。定义4。市场组合（过程），u={u（t）}t≥0，是权重给定的投资组合：ui（t）=Xi（t）X（t）+····+Xn（t）=Xi（t）Zu（t），对于i=1。。。，n（3.9）换句话说，市场投资组合根据其市值比例持有每只股票。备注1。请注意，市场投资组合是一个向量值随机过程。重要的是要强调这是一个随机过程，在设置和解决优化问题时必须考虑其动力学。3.3. 相对回报动态我们的优化问题中的主要状态变量是任意投资组合的财富π与预选绩效基准ρ的财富之比。

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何人来此

2022-6-9 18:55:43

以下命题具体说明了这一过程的对数动力学。提案1。设Yπ，ρ（t）=对数Zπ（t）Zρ（t）表示投资组合π和ρ的相对投资组合财富的对数。然后该过程满足SDE：dYπ，ρ（t）=a（t，ρ（t），π（t））dt+ξπ（t）- ξρ（t）dW（t），（3.10），其中（t，ρ（t），π（t））=（γπ（t）+Δπ（t））- （γρ（t）+Δρ（t））=π（t）α（t）-π（t）∑（t）π（t）- （γρ（t）+Δρ（t））α（t）=γ（t）+δ（t）+diag（∑（t））证明。证明如下，注意到Yπ（t）=log Zπ（t）- 记录Zρ（t），然后应用方程式（3.8）中给出的组合动力学。注意，在α（t）=（α（t），…，上面的命题中。。。，αn（t））是经济体中每种资产瞬时回报率的向量。推论1。Yπ，ρ的二次变化式为：d hYπ，ρ，Yπ，ρit=（π（t）- ρ（t））∑（t）（π（t）- ρ（t））dt。（3.11）证明。利用命题1中给出的Yπ，ρ的波动率以及（3.4）和（3.8）中分别定义的∑和ξπ，我们得到：d hYπ，ρ，Yπ，ρit=ξπ（t）- ξρ（t）ξπ（t）- ξρ（t）dt=（π（t）- ρ（t））ξ（t）·ξ（t）（π（t）- ρ（t））dt=（π（t）- ρ（t））∑（t）（π（t）- ρ（t））dt，这是要求的结果。在主动管理的背景下，该数量通常被称为（瞬时）主动风险或跟踪误差。积极的经理通常会因在其投资期限内承担过度的积极风险而受到惩罚。备注2。Fernholz（2002）将该量称为π与ρ的相对方差过程，并用τρπ（t）表示。注意，当且仅当π和ρ相等时，该量等于零。4、随机控制问题在本节中，我们阐述了主要的随机控制问题。首先，我们确定了两个投资组合，分别衡量我们的表现和主动风险。

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2022-6-9 18:55:47

也就是说，我们选择了一个绩效基准ρ（投资者希望跑赢大盘）和一个跟踪投资组合η（投资者将惩罚偏离）。备注3。主动投资组合管理中的常见设置是绩效基准与跟踪投资组合相同。然而，这种一般设置允许增加灵活性，当然也适应ρ=η的情况。这种分离对于我们移除绩效基准并跟踪功能生成的投资组合以实现跑赢大市目标的情况也很有用-这将在本文后面进行更详细的讨论。主要目标是确定投资组合过程π，该过程在投资期T内最大化相对财富的预期增长率ρ。这相当于在假设对数效用函数的情况下最大化相对收益的预期效用。此外，投资者被允许承担过高的主动风险（根据η衡量）。我们还加入了与两个基准无关的一般二次惩罚项。综上所述，投资组合π的性能标准如下：Hπ（t，y，x）=Et，y，xζ·Yπ，ρ（T）-ζZTt（π（s）- η（s））∑（s）（π（s）- η（s））ds-ζZTtπ（s）Q（s）π（s）ds,（4.1）式中，ζ，ζ，ζ≥ 0和Et，y，x[·]是表示E[·| yπ，ρ（t）=y，x（t）=x]的简写。我们还提出了以下假设：假设4。矩阵值函数Q是对称的，正定义，（元素）可微的，满足εkxk≤ xQ（t）x≤ 对于某些ε>0和M<∞ 对于所有x∈ R和t≥ 0、假设5。性能基准过程ρ={ρ（t）}t≥0和跟踪portfolioprocessη={η（t）}t≥0是X中的马尔可夫；i、 e.存在有界函数ρ：[0，T]×Rn+→ Rnandη：[0，T]×Rn+→ Rn使得ρ（t）=ρ（t，X（t））和η（t）=η（t，X（t））。

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大多数88

2022-6-9 18:55:51

此外，我们假设函数ρ和η对于其所有变量都是可微的。请注意，（时间相关的）功能生成投资组合类别满足了上述假设，其中包括无处不在的市场投资组合，因为它们只取决于占主导地位的市场权重，而市场权重又只取决于资产价值。现在让我们讨论性能标准（4.1）的组成部分：1。第一项，ζYπ，ρ（T），是一个终端报酬项，对应于投资者希望最大化其投资组合与绩效基准ρ之间的预期增长率差异。这也相当于假设对数效用函数，使相对财富的预期效用最大化。常量ζ是一个主观性参数，决定了投资者希望对标杆跑赢大市的重视程度。将ζ设置为0将我们的投资组合问题更改为跟踪问题，目标是跟踪基准，同时最小化一些运行的二次惩罚项。当我们选择跟踪功能生成的投资组合以实现卓越表现时，这将变得特别有用，因为它允许我们避免估计可能非常困难的资产增长率。2、第二个期限是一个持续的惩罚期限，用于惩罚跟踪错误/主动风险。也就是说，跟踪投资组合的偏差将在连续的基础上受到惩罚，风险较高资产的偏差将受到更严重的惩罚。或者，这个惩罚项可以被视为试图最小化相对财富相对于η，Yπ，η（t）的二次变化。参数ζ表示投资者对主动风险的承受能力。最终期限是一个一般的二次连续惩罚期限-不涉及任何基准-与相关公差参数ζ。

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可人4

2022-6-9 18:55:54

Q（t）的一个可能选择是协方差矩阵∑（t），它可以用来最小化投资组合财富过程的二次变化Zπ（t）所测量的投资组合的绝对风险。另一种选择是将Q（t）设为一个常数对角线矩阵，该矩阵具有根据相应对角线条目的大小对每项资产进行惩罚分配的效果。投资者可以使用这种选择Q作为一种方式，对每个资产的分配施加一组“软”约束。我们将在后面演示如何将该惩罚术语解释为从某些资产倾斜，或者更一般地说，向某些期望的投资组合“收缩”。备注4。虽然可以通过考虑替代效用函数来扩展此控制问题，特别是观察性能基准对最优投资组合的影响，但这种扩展似乎并不微不足道。使用通用功能可能需要其他方法，并且不在本工作范围内。现在，通过注意：Yπ，ρ（T）=Yπ，ρ（T）+ZTta（s，ρ（s），π（s））ds+ZTta，可以简化性能标准（4.1）ξπ（t）- ξρ（t）由于ξ（t）是平方可积的，由于随机积分的鞅性质，上述第二个积分的条件期望等于零。这允许我们将性能标准改写为：Hπ（t，y，x）=ζy+Et，xZTtζ·a（s，ρ（s），π（s））-ζ·（π（s）- η（s））∑（s）（π（s）- η（s））-ζ·π（s）Q（s）π（s）ds= ζy+hπ（t，x）（4.2），其中hπ（t，x）可解释为相关随机控制问题的性能标准，该问题仅由上述（4.2）积分中出现的连续奖惩项组成。

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2022-6-9 18:55:57

这个辅助随机控制问题的值函数由：h（t，x）=supπ给出∈Ahπ（t，x），（4.3），其中A是由所有投资组合组成的可接受策略集，在我们的上下文中，它被定义为几乎肯定有界向量值过程的集合，其总和为1，因此所有投资组合都具有有限的(Ohm ×[0，T]）-范数。请注意，由于第3节所做的假设，绩效标准（4.2）对于可接受集合中的任何投资组合都是有限的。假设存在适当的可微性条件，动态规划原理表明（4.3）中的值函数满足Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程：th+supπ∈A.LXh+ζ·a（t，ρ（t，x），π）-ζ· (π - η（t，x））∑（t）（π）- η（t，x））-ζ·πQ（t）π= 0，h（T，x）=0。（4.4）其中LX是资产价值过程的最小生成器。请注意，假设5确保资产值是此PDE中唯一的状态变量。提案2。HJB方程（4.4）的解为：h（t，x）=Et，x-ZTtG（s，X（s））ds, （4.5）其中，在物理量P下取期望值，函数G由以下公式给出：G（t，x）=C（t，x）+1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）A.-1（t）1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1- B（t，x）.其中a（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x），c（t，x）（1×1）=ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）+ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）。证据见附录A.1。接下来，我们给出了本文的一个关键结果：一个验证定理，表明命题2中提供的安迪解与值函数一致。同时，我们给出了最优权重的显式形式。定理1。命题2中给出的候选值函数确实是随机控制问题（4.3）的解决方案。

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2022-6-9 18:56:00

此外，最优投资组合由：π给出*ζ（t）=A-1（t）·1.- 1A级-1（t）·B（t，X（t））A-1（t）1·1+B（t，X（t））, （4.6a）式中（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x）。（4.6b）证明。见附录A.2。如果投资者将市场投资组合作为其业绩和跟踪基准，就像绝大多数主动管理授权一样，那么可以通过将η替换为函数u：Rn来应用上述最佳策略+→ n： u（X）=XPni=1Xi。。。，XnPni=1Xi, （4.7）其中n={u∈ Rn：ui∈ （0，1），i=1。。。，nu1=1}是标准的n维单纯形。在讨论（4.6）中最优投资组合的性质之前，我们首先提出了两个特别重要的投资组合：增长最优投资组合（GOP）和最小二次方差投资组合（MQP）。顾名思义，GOP是任何时间范围内预期增长最大的投资组合，而MQP是整个投资范围内所有投资组合中二次变量最小的投资组合。或者，GOP对应于当风险函数为对数时，希望最大化终端财富预期效用的投资者的最优投资组合。由于各种原因，共和党在金融理论中发挥着重要作用；参见Christensen（2012）的综合文献综述。在某些有限的情况下，我们的随机控制问题的解可以用GOP和MQP来表示。形式上，GOP和MQP是以下优化问题的解决方案：πGOP=arg supπ∈AE日志Zπ（T）Zπ（0）, （4.8）πMQP=arg infπ∈AEZTπ∑（t）πdt. （4.9）推论2。增长最优投资组合由πGOP（t）给出=1.- 1Σ-1（t）α（t）· πMQP（t）+∑-1（t）α（t）。（4.10）式中，πmqpi是最小二次变化组合，由以下公式给出：πMQP（t）=∑-1（t）1∑-1（t）1。（4.11）证明。

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2022-6-9 18:56:03

使用定理1中给出的最优控制，ζ=ζ=0，Q=∑以获得MQP，ζ=ζ=0以获得GOP。备注5。Oderda（2015）将MQP称为全球最小方差（GMV）投资组合。然而，这是一个用词不当的说法，因为后一个术语通常用于在给定的投资期限内最小化终端财富方差V[Zπ（T）]的投资组合。虽然应该注意的是，在离散时间单周期模型中，收益协方差矩阵由∑给出，但GMV实际上等于∑-1· Σ-11、根据GOP和MQP的定义，我们提出了以下推论，总结了（4.6）中给出的最优策略的一些特性及其与上述投资组合的关系。推论3。定理1中给出的最优投资组合满足：（i）偏好参数趋于一致时的限制投资组合由以下公式给出：limζ→∞π*ζ（t）=πGOP（t）=π*ζ（t），其中ζ=（ζ，0，0）（无运行惩罚）limζ→∞π*ζ（t）=η（t）=π*ζ（t），其中ζ=（0，ζ，0）（仅跟踪惩罚）limζ→∞π*ζ（t）=Q-1（t）1·Q-1（t）1=π*ζ（t），其中ζ=（0，0，ζ）（仅限绝对惩罚）（ii）当ζ，ζ>0且ζ=0（无绝对惩罚）时：π*ζ（t）=c·πGOP（t）+（1- c） ·η（t），其中c=ζζ+ζ∈ （0，1）是固定常数。（iii）当Q（t）=∑（t）（最小化相对和绝对风险）：π*ζ（t）=c·πGOP（t）+c·η（t）+c·πMQP（t），其中ci=ζiζ+ζ+ζ∈ （0，1）对于i=1，2，3为固定常数，总和为1。证据见附录A.3。在这一关头，有几点值得一提：1。上述推论中的限制性投资组合表明，随着对跑赢大市的重视程度增加，最优投资组合倾向于共和党。这是因为共和党拥有最高的预期增长率，从而实现了最高水平的（预期）表现。

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2022-6-9 18:56:06

同样，随着对跟踪误差厌恶的增加，最优投资组合倾向于跟踪基准。这反映了一个事实，即投资者正在对偏离跟踪基准的行为进行严厉处罚，并决定持有跟踪基准以避免任何运行罚款。最后，当第三个厌恶参数趋于一致时，投资者持有的投资组合在每个时间点将绝对运行惩罚降至最低。这三个限制性案例相当于只对跑赢大市感兴趣的投资者，跟踪或减少绝对连续罚款，这分别导致持有共和党、基准本身或绝对罚款最小化的预期结果。2、在没有绝对运行惩罚的情况下，最优策略包括在跟踪基准中保持一个恒定比例，在GOP中保持其余比例。这一想法得益于共和党的预期增长率，同时通过投资跟踪基准来调节其高水平的活动风险。比例由投资者对跑赢大市与跟踪的相对重要性决定。在每个投资组合中投资一定比例的财富这一事实与对数效用属于恒定相对风险厌恶（CRRA）效用函数这一事实有关，其中投资于风险资产的财富比例与财富水平无关。在这种情况下，我们关注的是相对于跟踪基准的主动风险，因此跟踪基准扮演着无风险资产的角色。当投资者希望将相对风险和绝对风险降至最低时，他们的最佳策略是在GOP、MQP和跟踪基准中保持不变的比例。这些持有分别有助于增加增长、降低绝对风险和降低主动风险。4.

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2022-6-9 18:56:09

最优解不依赖于性能基准ρ。原因很简单：投资者希望最大化其投资组合的预期增长率与绩效基准之间的差异。无论选择ρ，最大化这种差异的方法是选择可能增长率最高的投资组合，即GOP。更重要的是，ρ不会出现，因为我们有那个对数Zπ（T）Zρ（T）= 对数（Zπ（T））-log（Zρ（T））和第二项不涉及控制，因此可完全排除在性能标准（4.2）之外。如果采用替代效用函数，则不太可能出现这种情况。最优投资组合是短视的，即独立于投资期限T。预计这是因为共和党可以在任何时间范围内实现预期增长的最大化。Thisproperty也是对数效用函数的典型特性。6、当投资者对跑赢大市不感兴趣时，即ζ=0，最优策略不需要了解/估计资产的增长率γ，这可能很难可靠估计。仍然需要估计协方差矩阵∑。ζ也可用于反映投资者对其增长率估计的信心：ζ的较小值（相对于ζ和ζ）类似于增长最优投资组合中的较小配置（相对于其他子投资组合）。此外，根据业绩基准的性质，可以间接实现业绩超越。当该基准是市场投资组合时，就像活跃经理人经常遇到的情况一样，SPT工具提供了一系列功能生成的投资组合，这些投资组合构成了相对于市场投资组合的相对套利，不需要估计资产增长率；更多详情请参见Fernholz（2002）。

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大多数88

2022-6-9 18:56:13

投资者可以简单地跟踪其中一个投资组合，设置ζ=0，同时通过矩阵Q（t）施加自己的绝对惩罚项。7、绝对惩罚条款迫使最优策略转向byQ“收缩”投资组合-1（t）1·Q-1（t）1。当Q是对角矩阵Q（t）=diag（w（t）。。。，wn（t）），然后q-1（t）=诊断w（t）。。。，wn（t）. 从这一点上，我们可以看到，绝对惩罚期限迫使我们收缩到与w（t）。。。，wn（t）; 当Wii大1/Wii小且收缩投资组合将更少的资本分配给资产i时，这可以用来远离不受欢迎的资产；获取wi→ ∞ 强制资产i中的分配为零。此外，如果q=I，则通过收缩到等权重投资组合来惩罚任何资产中的大头寸，而设置wi（t）=∑ii（t）则强制收缩到风险平价投资组合。以上几点突出了两次连续罚分的动机。原则上，当投资者的目标仅仅是跑赢一个业绩基准时，他们会让共和党最大化他们的预期增长。然而，有充分的证据表明，GOP与非常大的风险水平（就投资组合差异而言）以及许多资产中潜在的巨大短期头寸有关。添加相对和绝对惩罚条款可以在一定程度上缓解这种风险。还值得注意的是，推论3（ii）和（iii）中的分解有助于指导主观参数ζi的选择，该参数可用于表示投资者希望在GOP、跟踪基准和MQP中投入的财富比例。

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何人来此

2022-6-9 18:56:16

后面提供的模拟结果还可以大致了解最优投资组合的相对和绝对风险回报特征，以确定不同的ζ选择，从而进一步确定投资者的决策。最后，我们可以将最优投资组合解释为替代市场的增长最优投资组合：推论4。最优投资组合π*ζ是具有修正回报率过程α的市场的增长最优投资组合*和修正的协方差过程∑*给出人：α*（t） =ζα（t）+ζ∑（t）η（t，X（t））（4.12a）∑*（t） =（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t）（4.12b）证明。将定理1中的最优投资组合与推论2中的增长最优投资组合的形式进行直接比较，得出结论。最后一个推论有一个有趣的解释。首先考虑收益率过程中增加的调整项，ζ∑（t）η（t，X（t））。很容易证明，该向量的元素构成了各资产和与跟踪基准η相关的财富过程之间的二次协变量，即hlog Xi，log Zηi；见Fernholz（2002）第1.2节。这意味着投资者正在修改资产的回报率，以奖励那些与其试图跟踪的投资组合更密切相关的资产，并且这些艺术回报与投资者跟踪ζ表示的η的愿望成比例。此外，如果我们考虑Q（t）是对角线矩阵的情况，则对协方差矩阵的修改量将根据Q（t）的相应对角线条目增加每个资产的方差。这反过来会降低某些资产的可取性，并与本节前面讨论的远离这些资产的概念相联系。5、实施在本节中，我们使用Fama French行业数据模拟（4.6）给出的不同ζ值的最佳投资组合（OP）。

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2022-6-9 18:56:19

我们使用模拟来了解与其他投资组合相比，投资组合的特征和风险回报率，即（4.10）给出的增长最优投资组合（GOP）和（4.11）给出的最小二次方差投资组合（MQP），以及Oderda（2015）中得出的最优解，我们将其称为最大漂移投资组合（MDP）。资料来源：http://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/data_library.html5.1.数据数据包括2005年1月至2017年7月五个行业（消费、制造、高科技、健康和其他）的月度回报（有股息和无股息）。行业投资组合是根据当时的SIC代码，将每只股票分配给上述五组中的一组来构建的。然后，我们将产生的行业视为我们市场的组成部分，即我们的市场由五项资产组成，这些资产就是行业本身。数据还包含每个行业的企业数量和平均市值，这使我们能够计算五个行业的市场权重时间序列。我们与行业回报而非个别证券合作，以避免因个别公司进入和退出市场而导致的不同投资组合所产生的困难，我们将自己限制在五个行业的市场，以简化计算，便于显示和解释结果。在我们的实验中，我们发现不同粒度级别的模拟结果在质量上是相似的，但应该注意的是，随着资产数量的增加，参数估计，尤其是增长率的估计，变得不那么可靠和可靠。5.2. 参数估计为简单起见，我们假设参数γ、δ和ξ为常数，并使用数据集的完整性进行估计。

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可人4

2022-6-9 18:56:22

其他允许时变参数的估计方法可能更合适，但这超出了当前工作的范围。参数估计程序包括估计：1。协方差矩阵∑，由资产对数值变化的样本协方差2估计。挥发性矩阵ξ，表示为∑3的Cholesky分解。增长率γ估计为资产对数值（不含股息）变化的样本平均值4。股息增长率δ，估计为资产对数值（含股息）变化的样本平均值减去γ。下表1总结了估计参数。行业增长股息标准偏差Cnsmr 7.4%2.1%12%Manuf 5.9%2.3%16%HiTec 8.6%1.5%16%Hlth 8.3%1.9%13%其他3.2%1.8%19%Cnsmr Manuf HiTec 0.87 0.81 1Hlth 0.73 0.61 0.68 1其他0.87 0.76 0.82 0.69表1：估计模型参数摘要：增长率γ、股息率δ和标准差√∑ii（左）；相关矩阵（右）。5.3. 接下来，我们使用估计的参数来模拟行业价值路径，并在模拟的市场模型中计算战略的绩效。对于模拟，我们考虑T=5年的投资期限以及每日的再平衡时间步骤(t=1/252；每年252天，因此步骤总数为N=t·t=1260天）和1000次模拟。使用数据集末尾的市场权重（2017年7月的市场权重）初始化资产价值。此外，我们将把市场投资组合作为绩效基准和跟踪基准，即u=ρ=η，就像主动投资组合管理中常见的情况一样。此外，我们将绝对惩罚矩阵作为协方差矩阵，即。

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可人4

2022-6-9 18:56:24

Q=∑。对于每个模拟，我们使用估计的模型参数和各种ζ值，即：ζ，计算每个时间步最优投资组合的权重向量∈ {0.1，0.5，5}和ζ，ζ∈ {0.001, 0.05, 0.1, ..., 1}. 我们还计算了GOP和MQP；请注意，由于假设模型参数为常数，GOP和MQP的权重向量为常数。备注6。上述程序隐含地假设投资者知道数据生成过程背后的真实参数。显然，实际情况并非如此，该程序更类似于回溯测试的样本形式。此外，在我们的实验中，我们发现，模型误判可能会导致预期的不利结果，而且众所周知，参数估计，尤其是资产增长率的估计，很难稳健执行。然而，我们的兴趣点在于研究具有不同ζ值的最优投资组合的特征，而不是证明其在实际交易情况下的有效性。换言之，我们希望将参数估计问题（本文中我们并不关心）与随机控制问题分离开来。此外，可以试探性地调整ζ参数，以反映他们在增长率估计中的“信心”水平。在性能指标方面，我们将考虑每个投资组合的以下数量：1。（4.1）中给出的性能标准，其中黎曼积分给出的运行惩罚使用离散化近似：终端奖励=ζlogZπ（T）Zu（T）相对运行惩罚=ζt·NXt=1（π（t）- u（t）∑（t）（π（t）- u（t））绝对运行惩罚=ζt·NXt=1π（t）Q（t）π（t）2。

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2022-6-9 18:56:28

每个投资组合的（平均）绝对回报和主动回报，分别定义为投资组合回报和市场超额回报的时间序列样本平均值（对于单一路径）：绝对回报=tNNXt=1π（t）R（t，t+1）主动回路=tNNXt=1（π（t）- u（t））R（t，t+1），其中R（t，t+1）是t和t+1之间的资产回报向量。请注意这是一个年度化因素。3、每种策略的绝对风险和主动风险，分别定义为投资组合收益和市场超额收益的时间序列样本标准差：绝对风险=VuTtNNXt=1（π（t）R（t，t+1）- 绝对回报）主动风险=VuTtNNXt=1（（π（t））- u（t））R（t，t+1）- 主动回路）4。夏普比率和信息比率分别定义为绝对回报与绝对风险的比率和主动回报与主动风险的比率：夏普比率=绝对回报绝对风险信息比率=主动回报主动风险5.4。结果图1显示了具有不同ζ值的最优策略在所有模拟中的平均绝对和主动风险和回报值。我们发现，随着ζ的增加，绩效指标收敛于市场组合的指标；随着ζ的增加，它们收敛到mHqp的度量（回想一下，我们设置了Q=∑）。ζ值越低，变化率越高；对于较高的ζ值，最优策略对ζ和ζ的变化不太敏感，在这种情况下，它更接近GOP。图2所示的散点图显示了以上讨论的收敛特征，其中显示了我们分析的每个投资组合的绝对和相对风险回报特征。很明显，共和党在预期回报方面优于所有其他投资组合，然而，这是一个高水平的绝对风险。

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2022-6-9 18:56:31

另一方面，我们发现ζ=0.1（红色显示）的最优策略具有更高的单位风险回报。此外，最优投资组合支配着MDP和markt投资组合，并勾勒出一条将GOP和MQP联系在一起的“有效前沿”。图2中第二个图中最优投资组合的对齐表明，信息比率对ζ不敏感。此外，点收敛于原点，因为最优解收敛于市场组合Aζ趋于一致。图3中的右面板显示了变化ζ对最优策略信息比率的影响（请注意，最优投资组合的信息比率对ζ不敏感）。Asζ→ 0时，最优策略的信息比收敛于GOP的信息比；asζ→ ∞, 最优策略的信息率降低到MQP的信息率。注意，如果GOP的informationratio小于MQP的informationratio，那么随着ζ的增加，最优策略的信息比率将增加到MQP度量。图3中的左面板显示了不同ζ值的最佳投资组合的夏普比率。改变这些参数对Sharperatio的影响更为复杂。最后，图4显示了与MDP、GOP、MQP和市场投资组合相比，ζ=（0.5、0.5、0.5）的最优投资组合的夏普比率和信息比率的直方图。

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2022-6-9 18:56:34

这为所有投资组合提供了这些指标的分散程度。0.110.150.20.250.310.50.350.80.60.40.2000.110.20.30.410.50.50.80.60.40.200010.050.10.150.210.50.250.80.40.200010.10.20.30.410.50.50.80.60.40.200图1：所有ζ值的平均模拟绝对收益和风险（顶部面板）和主动收益和风险（底部面板）表面；每个点是最优投资组合的所有模拟的平均度量值，具有相应的ζ。0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450.050.10.150.20.250.30.350 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.0500.050.10.150.2图2：ζ=0.1（红色）、ζ=0.5（蓝色）、ζ=5（绿色）和ζ=5（绿色）变化的最佳投资组合的绝对风险与绝对回报（左图）和主动风险与主动回报（右图、ζ和GOP、MDP、MQP和marketportfolio。每个点是所有模拟中相应投资组合的平均主动风险/回报。0.610.811.210.51.40.80.60.40.2000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5图3：左面板：所有ζ值的平均模拟夏普比表面；曲面上的每个点是具有相应ζ的optimalportfolio的所有模拟的平均夏普比。右面板：与MDP、GOP、MQP相比，作为ζ函数的跨仿真平均信息比-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 301002003004005006007008009001000-2.5-2-1.5-1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.501002003004005006007008009001000图4：ζ=（0.5，0.5，0.5）、MDP、GOP、MQP和市场组合的最佳组合的模拟夏普比率（左面板）和信息比率（右面板）分布。6、结论在本文中，我们解决了如何动态分配资金以超越绩效基准，同时保持跟踪基准的问题。

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2022-6-9 18:56:37

包括一个辅助惩罚机制，以实现其他目标，包括控制财富路径的二次变化，以及对单个证券的配置进行微调。我们将解与增长最优投资组合和最小二次方差投资组合联系起来，并讨论了它们的一些极限性质。此外，我们还提供了验证理论，证明我们的解决方案解决了最佳投资问题。基于市场模型的模拟，我们表明投资者能够通过调整各种容忍参数来控制其风险回报率。此外，在我们的模拟设置中，我们发现的最优投资组合在所有惩罚参数值上都优于Oderda（2015）的静态优化。未来还有几个方向有待研究。我们已经取得初步结果的方向之一是将潜在信息纳入回报和分红过程。众所周知，回报率很难估计，拥有一个允许其随机且受潜在因素驱动的模型，对于使战略稳健地适应不同的市场环境至关重要。将结果扩展到基于排名的市场模型（例如。

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2022-6-9 18:56:40

另一个有趣的方向是在SPT文献中流行的Atlasmodels）。附录A证明A。（4.4）中的PDE可以写成：t+LXh+supπ∈A{F（t，x，π）}=0，h（t，x）=0。（A.1）其中，使用命题1中给出的A（t，ρ，π）的定义以及假设5，我们得到：F（t，x，π）=ζ·A（t，ρ（t，x），π）-ζ· (π - η（t，x））∑（t）（π）- η（t，x））-ζ·πQ（t）π=ζ·hπα（t）-π∑（t）π-γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）我-ζ·π∑（t）π- 2π∑（t）η（t，x）+η（t，x）∑（t）η（t，x）-ζ·πQ（t）π=-π[（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t）]π+π[ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x）]- ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）-ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）=-πA（t）π+πB（t，x）-C（t，x），它允许我们以以下简明形式重写上面的PDE：t+LXh类- C（t，x）+supπ∈A.-πA（t）π+πB（t，x）= 0，h（T，x）=0。（A.2）式中（t）（n×n）=（ζ+ζ）∑（t）+ζQ（t），B（t，x）（n×1）=ζα（t）+ζ∑（t）η（t，x），c（t，x）（1×1）=ζ·γρ（t，x）（t）+Δρ（t，x）（t）+ζ·η（t，x）∑（t）η（t，x）。下一步是通过确定一阶条件来求解最优控制。这种情况下的优化问题是：maxπ-πA（t）π+πB（t，x）受制于1π=1。这可以使用拉格朗日乘子来解决，以发现最优控制为π*ζ（t）=A-1（t）·1.- 1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）= A.-1（t）·d（t，x），（A.3），其中d（t，x）（n×1）=1-1A级-1（t）B（t，x）A-1（t）1·1+B（t，x）。请注意，A是正定义，因此最优控制被指定为最大化器。

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