部分观测条件下公共债务的最优削减

2022-6-11 11:34:19

在部分观察经济增长的情况下，公共债务的最佳减少乔治·卡列加罗、克劳迪亚·塞西和乔治·费拉里亚BStract。我们考虑的是一个旨在降低一国债务与国内生产总值（GDP）比率的ZF。ZF观察ebt与GDP比率的水平和经济状况的指标，但不直接观察基础宏观经济条件的发展。ZF的标准是将持有债务的总预期成本和债务削减政策的总和最小化。我们将该问题建模为部分观测下的奇异随机控制问题。本文的贡献是双重的。首先，我们提供了一个模型的一般公式，其中债务与GDP比率的水平和宏观经济指标的价值分别演变为差异和跳跃差异，系数取决于经济体制。这些都是通过有限状态连续时间马尔可夫链来描述的。我们通过过滤技术将原始问题简化为具有完全信息的等效问题（所谓的分离问题），并提供了在完全信息下相关最优停止概率的一般验证结果。其次，我们专门进行了一个案例研究，其中经济只面临两种制度，宏观经济指标具有适当的差异动力学。在这种情况下，我们提供了最佳的债务削减政策。这是根据辅助全二维最优停止问题中出现的连续自由边界给出的。关键词：奇异随机控制；部分观察；过滤；独立问题；最佳停车；自由边界；债务与GDP之比。MSC2010受试者分类：93E20、60G35、93E11、60G40、60J60、91B64.1。

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2022-6-11 11:34:22

最近几年，对一个国家的债务与GDP比率（也称为“债务比率”）进行优化管理的问题变得尤为重要。事实上，在2007年金融危机爆发的同时，发达国家的债务与GDP之比从平均53%飙升至80%左右。显然，ZF的债务管理政策在很大程度上取决于潜在的宏观经济条件；事实上，这些影响，例如GDP的增长率，反过来又决定了一个国家债务与GDP比率的增长率。然而，在实践中，通常既无法实时衡量GDP的增长率，也无法直接观察潜在的商业周期。2018年8月24日，美联储主席杰罗姆·鲍威尔表示：。。。在传统的经济模型中，主要经济量（如通货膨胀、失业和国内生产总值增长率）围绕着被视为“正常”、“自然”或“期望”的价值进行变动。FMOC（联邦公开市场委员会）选择了2%的通货膨胀目标作为这些期望值之一。其他值无法直接观察，也无法由任何人选择。。。根据[28]的观点，本文假设一个国家的GDP增长率由一个不可直接观察的连续时间马尔可夫链调节。马尔科夫链有Q≥ 2.对经济体的不同商业周期进行建模，以便宏观经济条件下的波动导致GDP增长率的价值发生变化。ZF只能观察到当前的deb t-GDP比率和宏观经济指标的水平。

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2022-6-11 11:34:25

例如，后者可能是所谓的“四大”之一，通常被认为是工业生产指数的近似值，因此是商业条件的近似值。日期：2019年1月29日。在由堪萨斯城联邦储备银行（FederalReserveBankofKansasCity）在怀俄明州杰克逊霍尔（JacksonHole）主办的“不断变化的市场结构及其对货币政策的影响”研讨会上的演讲。这些指标构成了会议理事会的一致指标指数；它们是非农业企业的就业、工业生产、实际个人收入减去转移支付以及实际制造业和贸易2 CALLEGARO、CECI、FERRA RitZF可能会进行干预，以降低债务比率水平，例如通过制定政策或以削减开支的形式实施紧缩政策。我们假设债务比率会立即受到任何此类政策的影响。债务削减不一定要按利率执行，但也允许采取一次性行动，债务比率下降的累计金额是ZF的控制变量。债务比率的任何降低都会导致成比例的成本，ZF的目标是选择一种债务削减政策，使持有债务的总预期成本加上干预债务比率的总预期成本最小化。根据最近关于最优债务管理随机控制方法的论文（见[5]、[6]、[23]和[24]），我们将之前的问题建模为奇异随机控制问题。然而，与之前的所有工作不同的是，我们的问题是在部分观察环境中形成的，因此导致了完全不同的数学分析。在我们的模型中，观察结果包括负债率和宏观经济指标。

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2022-6-11 11:34:29

债务比率是一个线性控制的几何布朗运动，其漂移是根据GDP增长率给出的，GDP增长率由不可观测的连续时间马尔可夫链Z调节。宏观经济指示器是一个与债务比率过程相关的实值跳变，具有漂移，强度和跳跃大小取决于Z。我们的贡献。我们对最优债务削减问题的研究考虑了三个主要步骤。首先，通过混合型观测的高级过滤技术，我们将原始问题简化为完全信息下的等效问题，即所谓的分离问题。过滤问题在于描述不可观测马尔可夫链Z在任何时间t的条件分布，给定截至时间t的观测值。文献和教科书处理中广泛研究的差异观测值h的情况可在[20]、[32]和[37]中找到。纯跳跃观测也有已知的结果（例如，参见[4]、[8]、[9]、[35]和参考文献）。最近，文献[11]、[12]和[25]研究了混合型地层中涉及纯跳跃过程和差异的过滤问题。由于观察者动力学的结构，我们无法应用概率参考方法（见[12]和[46]），因此，我们选择了基于创新方法的替代路线，这导致了KushnerStratonovich方程。此外，与[11]和[25]不同的是，在我们的框架中，创新过程是二维的，因此，这些论文中采用的创新方法必须适合您的背景。

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2022-6-11 11:34:33

通过证明Kushner-Stratonovich方程具有唯一的强解，我们可以证明部分观测下的原始问题和分离问题在共享相同值和相同最优控制的意义上是等价的。其次，我们利用分离问题的凸结构，并提供了一个通用的概率验证定理。这一结果与[2]、[15]和[23]等中的发现一致，将最优控制过程与辅助最优停止问题的解决方案联系起来。此外，证明了分离问题的值函数是最优停止问题的值函数相对于受控状态变量的积分。因此，停止问题给出了减少一个额外单位债务的最佳时机。最后，通过指定连续时间马尔可夫链只面临两种状态（快速增长或缓慢增长阶段）的环境，以及宏观经济指标是一个合适的分化过程，我们能够描述最优债务削减政策的特征。在这个框架中，过滤过程是一个二维过程（πt，1- πt）t≥0，其中π是时间t时经济处于快速增长阶段的条件概率。我们证明，最优控制规定在任何时候将债务比率保持在内生确定的曲线以下，该曲线是ZF对当前经济状况的信心的函数。这种债务上限是全二维最优停止问题的自由边界，该问题与前面讨论的验证定理意义上的分离p问题有关。

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2022-6-11 11:34:35

通过几乎完全使用概率方法，我们能够证明辅助最优停止问题的值函数是其参数的C函数，因此具有所谓的平滑特性。此外，自由边界为asales。例如，我们提到[44]，其中作者提出了一系列广泛的经济指标，并检查了各种指标在2001年经济衰退中的预测表现。部分信息下的公共债务控制3过滤过程的连续、有界和递增功能。最后一个单调性属性也有一个明确的经济学解释：ZF越相信经济享受快速增长的体制，最优减债政策就应该越不严格。作为最优停止问题值函数正则性的显著副产品，我们还得出奇异随机控制问题的值函数是其关联Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的经典解。后者的形式是一个涉及椭圆二阶偏微分方程（PDE）的变分不等式。值得注意的是，价值函数的Cregularity意味着光滑函数的二阶原理的有效性，通常在一维问题中观察到。我们相信，辅助全二维最优停止问题的研究本身就是对文献的宝贵贡献。事实上，如果关于一维最优停止问题的文献非常丰富，那么到目前为止，在文献中，描述多维环境下最优停止规则的问题很少被探讨（参见最近的文献[13]、[15]和[31]，其中涉及多维停止问题的文献很少）。

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2022-6-11 11:34:39

这种差异是由于基于所考虑的最优停止问题中产生的变分不等式显式解的构造的标准猜测和验证方法不再适用于变分不等式涉及aPDE而非一阶微分方程的多维环境。相关文献。正如前面已经注意到的，我们的论文是在最近的工作中，通过连续时间随机控制技术来解决最优债务管理问题。具体而言，[5]和[6]分别将最优债务削减问题建模为具有奇异和有界速度控制的一维控制问题。在[24]中，ZF可以提高和降低当前的债务比率水平，债务利率由一个连续时间可观察的马尔可夫链调节。该数学公式导出了一个具有状态切换的一维有界变差随机控制问题。在[23]中，当以最佳方式降低债务比率时，ZF会考虑国家通货膨胀率的演变。后者演变为一个不受控制的分化过程，并影响债务比率的增长率，这是一个有界变化的过程。在这种情况下，债务减免问题被表述为一个二维正弦随机控制问题，其HJBE方程涉及一个二阶线性抛物偏微分方程。之前的所有文件都是在完整的信息环境下制定的，而我们的文件只是部分观察。关于部分观测下奇异随机控制问题的文献也相当有限。

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2022-6-11 11:34:42

[38]中获得了部分观测下二维最优校正问题的值函数的PDE特征的理论结果，而最近在[39]中推导出了部分信息下不一定是马尔可夫单随机控制问题的一般极大值原理。我们还参考了[14]和[19]，其中对模型中的最优分红策略进行了深入的研究，其中剩余p过程演化为漂移布朗运动，漂移未知，在给定概率下只能取两个常数值。论文大纲。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了设置和制定问题。第3节将部分观测下的问题简化为分离问题；具体而言，过滤结果见第3.1节。第3.3节证明了将分离问题与最优停止问题联系起来的概率验证定理。在第4节中，我们将考虑一个案例研究，其中经济只面临两种制度。第4.2节和第4.3节中给出的解决方案取决于第4.1节中对二维最优停车问题的研究。最后，附录A收集了一些技术过滤结果的证明。设置和问题公式2.1。设置。C关于完全过滤概率空间(Ohm, F、（Ft）t≥0，P），捕捉我们设置的所有不确定性。这里，F：=（Ft）t≥0表示全部信息过滤。我们认为，这种过滤满足了完整性和权利连续性的通常假设。我们用Z表示描述不同经济状态的连续时间有限状态马尔可夫链。对于Q≥ 2，设S：={1，2，…，Q}是Z和{λij}1的状态空间≤i、 j≤Qits generator4 CALLEGARO、CECI、FERRA RImatrix。

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2022-6-11 11:34:45

这里，λij，i 6=j，给出了从状态i到状态j的转变强度，因此λij≥ 0，对于i 6=j，且pqj=1，j6=iλij=-λii。任何时候t≥ 0，zt是可测量的Ft。在ZF没有任何干预的情况下，我们假设对GDPratio的（非受控）债务演变为（2.1）dXt=r- g（Zt）Xtdt+σXtdWt，X=X∈ (0, ∞),其中W是上的标准F-布朗运动(Ohm, F）独立于Z，r≥ 0和σ>0是常数，g:S→ R、常数R是d ebt上的实际利率，σ是债务的波动率，g（i）∈ R是经济处于状态i时的GDP增长率∈ S、很明显，方程（2.1）允许一个唯一的强解，当需要时，对于任何x>0，我们将用Xx，0表示它。ZF在任何时候都知道当前的债务与GDP比率水平，因此Xx，0是所谓观察过程的第一个组成部分。ZF还观察宏观经济随机指标η，例如所谓的“四大指标”之一，我们将其解释为商业状况的代表。我们假设η是求解随机微分方程（2.2）dηt=b（ηt，Zt）dt+σ（ηt）dWt+σ（ηt）dBt+c（ηt）的跳跃微分过程- , Zt公司- )dNt，η=q∈ 一、其中，b、c、σ>0和σ>0是其参数的可测函数，而I R是η的第h个状态空间。这里，B是一个F-标准布朗运动，与W和Z无关。此外，N是一个F-适应点过程，与Z没有共同的跳跃时间，与W和B无关。N的可预测强度表示为{λN（Zt- )}t型≥并且取决于经济的当前状态，λN（·）>0是一个可测量的函数。从现在起，我们假设以下假设，以确保方程（2.2）的解的强存在性和唯一性（参见【26】等）。假设2.1。

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2022-6-11 11:34:48

函数b:I×S→ R、 σ：我→ (0, ∞), σ：我→ (0, ∞), 和c:I×S→ 罕见到任何一个我∈ S：（i）（连续性）b（·，i）、σ（·）、σ（·）和c（·，i）是连续的；（ii）（局部Lipschitz条件）对于任何R>0，存在一个常数LR>0，如果| q |<R，| q′<R，q，q′∈ 一、然后| b（q，I）- b（q′，i）|+|σ（q）- σ（q′）|+|σ（q）- σ（q′）|+| c（q，i）- c（q′，i）|≤ LR | q- q′|；（iii）（生长条件）存在一个常数C>0，使得| b（q，i）|+|σ（q）|+|σ（q）|+| C（q，i）|≤ C（1+| q |）。方程（2.2）中提出的动力学属于跳跃-分化型，考虑到经济状态影响的跳跃的大小和强度。在此之前，可以描述一大类随机因素，而这些随机因素可能表现出巨大的优势。观察过滤H=（Ht）t≥0定义为（2.3）H：=外汇∨ Fη，其中fx和Fη分别表示由x和η生成的自然过滤，用P-null集表示。显然，（X，η）适用于H和F F、上述内容意味着政府无法直接观察经济状态Z，但这必须通过观察（X，η）来推断。因此，我们在partialinformation环境中工作。2.2. 最佳债务削减问题。政府可以通过干预初级预算平衡（即政府收入和支出之间的总体差异）来降低债务与GDP比率的水平，例如通过削减开支的紧缩政策。

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2022-6-11 11:34:51

通过这样做，债务比率动态修改为（2.4）dXνt=r- g（Zt）Xνtdt+σXνtdWt- dνt，Xν-= x>0。部分信息下的公共债务控制5过程ν是ZF根据其可支配的信息选择的控制。准确地说，νtde定义了ZF截至时间t的债务与GDP比率的累计减少，因此，ν是属于setM（x，y，q）的非减少过程：=nν：Ohm ×R+→ R+：（νt（ω）：=ν（ω，t））t≥0为非递减，右连续，H- 调整后，Xνt≥ 每t为0≥ 0，Xν-= x、 P（Z=i）=yi，i∈ S、 η=q a.S.o，对于任何给定和固定的x∈ (0, ∞) Xν，q的初始值∈ Iη的初始值，和y∈ Y、这里：=ny=（Y，…yQ）：yi∈ [0，1]，i=1。Q、 QXi=1yi=1o，是RQ上的概率单纯形，表示过程Z的初始分布空间。从现在开始，我们设置ν-= 任何ν均为0 a.s∈ M（x，y，q）。备注2.2。请注意，在上述集合M的定义中，以及在下面的（2.6）和（P1）中，我们强调了对初始数据（x，y，q）的依赖性，只是为了便于标注，而不是强调所考虑问题的任何马尔可夫性质，事实上并非如此。对于任何（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I和ν∈ M（x，y，q），（2.4）存在唯一解，表示为Xx，νt，由（2.5）Xx，νt=X1,0t给出x个-ZtdνsX1,0s, t型≥ 0，Xx，ν-= x、其中X1,0t=eRt（r-g（Zs））ds-σt+σWt，t≥ 在这里，以及在本文的其余部分，我们将使用符号RT（·）dνs=R[0，t]（·）dνsfor the lebesgue Stieltjes integral，关于[0]上的非减量过程ν诱导的随机测度dν·，∞).备注2.3。动力学（2.4）可通过以下方式进行调整。

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mingdashike22

2022-6-11 11:34:54

假设公共债务（实际值）D和GDP Y遵循经典动力学dDt=rDtdt- dξt，d- = d>0，dYt=g（Zt）Ytdt+σYtdWt，Y=Y>0，其中ξ是截至时间t的累计实际预算余额。简单应用It^o公式，在设置dν：=dξ/Y时，得出X：=d/Y的比值，如（2.4）所示。ZF旨在降低债务比率水平。债务比率水平Xt=xat时间t≥ 0当经济状态为Zt=i时，ZF会产生瞬时成本（x，i）。这一成本可以被解释为对该国因衰退而产生的损失的衡量，例如，对后续低增长的支持趋势（参见[22]和[45]等）。代价函数h:R×S 7→ R+ful满足以下要求（另见[5]和[23]）假设2.4。（i）对于任何i∈ S、映射x 7→ h（x，i）是严格凸的，连续可微的，并且在R+上是不变的。此外，h（0，i）=0；（ii）对于任何给定的x∈ (0, ∞) 而我∈ S单相Z∞e-ρthXx，0t，idt公司+ EZ∞e-ρtX1,0thxXx，0t，idt公司< ∞.形式为h（x，i）=θix（x，i）的二次成本函数∈ [0, ∞) ×S，θi>0，对于合适的ρ>0，显然满足假设2.4。每当ZF干预以降低债务与GDP的比率时，都会产生一定比例的成本。我们假设每次干预的边际成本标准化为一。6 CALLEGARO、CECI、FERRA对任何给定和固定的（x、y、q）规定了跨期贴现率ρ>0∈ (0, ∞) 因此，ZF的目标是最小化预期总成本函数（2.6）Jx，Y，q（ν）：=E（x，Y，q）Z∞e-ρthXx，νt，Ztdt+Z∞e-ρtdνt, ν ∈ M（x，y，q）。这里E（x，y，q）是Xx，ν条件下的期望值-= x、 Z具有初始分布y，η=q。

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2022-6-11 11:34:57

因此，部分观察到的政府问题可以定义为（P1）Vpo（x，y，q）：=infν∈M（x，y，q）Jx，y，q（ν），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I。其中一个VPOI定义明确。事实上，由于H的非负性，它是非负的；此外，由于可接受的政策“在初始时间瞬间将债务比率降低到0”是一个p-riori次优策略，且成本为x，因此Vpo≤ x、我们想在任何时候再次强调th∈ M（x，y，q）是H-适应的，因此问题（P1）是部分观测下的随机最优控制问题。特别地，它是一个部分观测下的奇异随机控制问题；也就是说，一个最优控制问题，其中由[0，∞) 对于Lebesgue测度可能是奇异的，其中状态变量Z的一个分量不能被控制器直接观察到。在目前的公式中，最优债务削减问题不是马尔可夫问题，因此无法用随机控制理论的标准方法直接解决。在下一节中，通过使用过滤理论的技术，我们将介绍一个完全信息下的等价问题，即所谓的分离问题。这将采用马尔可夫结构，其解决方案将在第3.3节中通过马尔可夫最优停止问题进行描述。3、完全信息下的等价问题化简在本节中，我们导出了分离问题。为此，我们首先研究了模型中出现的过滤问题。正如导言中所讨论的，由于我们的动力学结构，无法从现有文献中直接获得关于此类过滤问题的结果。3.1. 过滤问题。

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kedemingshi

2022-6-11 11:35:00

过滤问题在于根据截至时间t收集的信息，找出任何t和任何可测量函数f的最佳f（Zt）均方。在我们的设置中，此类信息流由过滤H给出。该估计可以通过过滤过程（πt）t来描述≥0，它为任何时间t提供给定的ZT Ht的条件分布（参见，关于姿态，[37]）。它被定义为H-c ` adl ` ag（右连续左极限）过程，在s={1，…，Q}上的概率测度的s步中取值，使得（3.1）πt（f）：=Ef（Zt）Ht公司,对于S上的所有可测f函数f。由于Z只取有限个值，因此滤波器完全由向量（3.2）πt（fi）=P（Zt=i | Ht），i∈ S、其中fi（z）：=1{z=i}，i∈ S、在下文中，我们将用π（i）表示过程π（fi），因此对于（3.1）中的所有可测函数f，πt（f）=PQi=1f（i）πt（i）。设置β（Zt）：=r-g（Zt），相应地，βi：=r-g（i），i∈ S、请注意，β显然是一个有界函数。然后，定义两个过程I和I，对于任何t≥ 0（3.3）It：=重量-Ztσ-1.πs（β）- β（Zs）ds，It：=Bt-Zt公司πs（α（ηs，·））- α（ηs，Zs）ds，其中（3.4）α（q，i）：=σ（q）-1nb（q，i）- σ-1β（i）σ（q）o，（q，i）∈ I×S.从今以后，我们将在以下诺维科夫条件下工作。假设3.1。（3.5）EheRtα（ηs，Zs）dsi<∞, 对于任何t≥ 0.部分信息下的公共债务控制7根据假设3.1，根据过滤理论的经典结果（参见，例如，[37]），创新过程I和I关于过滤H的布朗运动。此外，假设B和W的独立性，它们是相互依赖的。与η跳跃相关的整数值随机测度定义为（3.6）m（dt，dq）：=Xs：ηs6=0δ（s，ηs）（ds，dq），其中δ（a，a）表示点（a，a）处的狄拉克测度∈ R+×R。

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mingdashike22

2022-6-11 11:35:03

请注意，H-自适应随机度量m为（3.7）Ztc（ηs- , Zs公司- )1{c（ηs-,Zs公司-)6=0}dNs=ZtZRq m（ds，dq），t>0。为了进一步进行，我们需要以下有用的定义。定义3.2。（G—可预测的P过程由R表示）。给定任何过滤G，让P（G）表示（0，∞) ×Ohm 和B（R）R上的Borelσ-代数。任何映射H：（0，∞) ×Ohm ×R→ R是P（G）×B（R）-可测的称为G-可预测过程，由R.let（3.8）Fmt：=σ{m（（0，s）]×A）：0索引≤ s≤ t、 A∈ B（R）}，我们用Fm表示：=（Fmt）t≥0随机测量值m（dt，dq）生成的过滤。定义3.3。（m的双重可预测投影）。考虑到任何过滤，例如Fm G、 m的G-对偶可预测投影，用mp，G（dt，dq）表示，定义为唯一的正可预测随机测度，因此对于任何非负的G-可预测过程ssΦ，由R（3.9）E索引Z∞ZRΦ（s，q）m（ds，dq）= EZ∞ZRΦ（s，q）mp，G（dt，dq）.为了证明正G-可预测随机测度提供了m的G-对偶可预测投影，证明方程（3.9）适用于Φ（t，q）=CtA（q）形式的任何过程，其中C为非负G-可预测过程，C为非负G-可预测过程∈ B（R）。有关更多详细信息，请参阅【4】和【29】。我们现在的目标是推导过滤器进化方程（过滤方程）。为此，我们使用了所谓的创新方法（见【4】、【11】、【37】等），在我们的设置中，需要引入η（3.10）mπ（dt，dq）：=m（dt，dq）的H补偿跳跃度量- mp，H（dt，dq），其中mp，H（dt，dq）是m的H-双重可预测投影（参见上文定义3.3）。三元组（I，I，mπ）也代表了H-鞅构造的构造块，如下面的Proposition3.5所示。我们开始确定mp的形式，H命题3.4。

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2022-6-11 11:35:06

m的H-对偶可预测投影由mp给出，H（dt，dq）=QXi=1πt-（i） λN（i）1{c（ηt-,i） 6=0}δc（ηt-,i）（dq）dt，（3.11），其中δ表示点a处的狄拉克测度∈ R、证明。第1步。首先，我们证明了m的F-对偶可预测投影由（3.12）mp，F（dt，dq）：=λN（Zt）给出- )1{c（ηt-,Zt公司-)6=0}δc（ηt-,Zt公司-)（dq）dt。让A∈ B（R）并引入（3.13）Nt（A）：=m（（0，t）]×A）=Xs≤t型{ηs∈A \\{0}}，t≥ N（A）是计算η到时间t的跳跃次数的点过程，其中跳跃的大小在集合A中。因为由（2.2）可以得到ηs=c（ηs- , Zs公司- )1{c（ηs-,Zs公司-)6=0}Ns，s≥ 0，N是一个点8 CALLEGARO，CECI，FERRA RIprocess，其F-可预测强度由{λN（Zt）给出-)}t型≥0，我们得到对于每个C非负可预测过程ZtCsdNs（A）= EZtCs{c（ηs-,Zs公司-)∈\\{0}}个dNs= EZtCs{c（ηs-,Zs公司-)∈A \\{0}}λN（Zs-)ds公司.也就是说，对于任何A∈ B（R），我们有{λN（Zt-)1{c（ηt-,Zt公司-)∈A \\{0}}}}}t≥0提供计数过程N（A）的F-pr可预测强度。回顾（3.13）和定义3.3，这意味着（3.12）中给出的mp，F（dt，dq）与m的F-d双可预测投影一致，因为等式（3.9）适用于选择G=F和Φ（t，q）=CtA（q），其中C是任意非负的F-可预测过程，A∈ B（R）。第2步。正如在[10]中的命题2.3中，我们现在可以通过简单地投影mp，fw相对于观测流H来推导出mp，F的H-对偶可预测投影，用mp，H（dt，dq）表示。准确地说，我们得到了点过程N（A）的H-可预测强度，A.∈ B（R），由πt给出- （λN（.）1{c（ηt-,.)∈A \\{0}}）=QXi=1πt- （i） λN（i）1{c（ηt-,（一）∈A \\{0}}，A.∈ B（R）。这意味着mp，H（dt，dq）由（3.11）给出，因为（3.9）适用于选择G=H，Φ（t，q）=CtA（q），以及∈ B（R）和C是任意的非负H-可预测过程。

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2022-6-11 11:35:09

证明部分信息下的原始问题等同于分离问题的一个重要工具是将滤波器描述为滤波方程的唯一解（见[7]和[21]）。为了推导由π求解的滤波方程，我们首先给出了H-鞅的一个表示定理。附录A中给出了以下技术结果的证明。提案3.5。在假设2.1和3.1下，每个H-局部鞅M都允许分解mt=M+ZtДsdIs+ZtψsdIs+ZtZRw（s，q）Mπ（ds，dq），其中Д和ψ是H-适应过程，而w是由R索引的H-可预测过程，因此a。s、 ZtДsds<∞,Ztψsds<∞,ZtZR | w（s，q）| mp，H（dt，dq）<∞, t型≥ 我们现在可以证明以下基本结果，其证明被推迟到附录A。定理3.6。回忆（3.10），让y∈ Y是Z的初始分布，假设2.1和3.1成立。然后滤波器πt：=（πt（i）；我∈ S） t型≥0求解Kushner-Stratonovich系统πt（i）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs+ZtZRwπi（s，q）- πs-（一）mπ（ds，dq），（3.14）对于任何i∈ S、这里，βi=r- g（i）和（3.15）wπi（s，q）：=dλN（i）πs- （i） 1{c（ηs-,i） 6=0}δc（ηs-,i）（dq）dhPQj=1πs-（j） λN（j）1{c（ηs-,j） 6=0}δc（ηs-,j）（dq）idenotes测度λN（i）πs的Radon-Nikodym导数-（i） 1{c（ηs-,i） 6=0}δc（ηs-,i）（dq）分别为qj=1πs- （j） λN（j）1{c（ηs-,j） 6=0}δc（ηs-,j）（dq）。让我们介绍过程η的跳跃时间和跳跃大小的顺序，用{Tn，ζn}n表示≥1，递归定义为T：=inf{T>0:Rtc（ηs- , Zs公司- )dNs6=0}，Tn+1：=inft>Tn:ZtTnc（ηs- , Zs公司- )dNs6=0, ζn：=ηTn- ηTn-= c（ηT-n、 ZT公司-n），n≥ 1.部分信息下的公共债务控制9在上述定义中，我们使用标准惯例 = +∞.然后是与η（cf。

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2022-6-11 11:35:12

（3.6））也可以写成（3.16）m（dt，dq）=Xn≥1δ（Tn，ζn）（ds，dq）1{Tn<+∞}.方程的过滤系统（3.14）具有序列{Tn}n的自然递归结构≥1，如下一个命题所示。提案3.7。在两个连续的e跳跃时间之间，t∈ 【Tn，Tn+1】，方程式（3.14）的过滤系统读数为πt（i）=πTn（i）+ZtTnnQXj=1λjiπs（j）- πs（i）hλN（i）1{c（ηs-,i） 6=0}-QXj=1λN（j）πs（j）1{c（ηs-,j） 6=0}iods+ZtTnσ-1πs（i）nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+ZtTnπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs，（3.17）对于任何i∈ S、在η的跳跃时间，例如Tn，πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0跳跃，其值由（3.18）πTn（i）=λN（i）πT给出-n（i）1{ζn=c（ηT-n、 i）}PQj=1λn（j）πT-n（j）1{ζn=c（ηT-n、 j）}，i∈ S、证明。首先，回顾mπ（dt，dq）=m（dt，dq）- mp，H（dt，dq），thatmp，H（dt，dq）=QXj=1πt- （j） λN（j）1{c（ηt-,j） 6=0}δc（ηt-,j）（dq）dt，我们得到ZtZrwπi（s，q）-πs- （一）mp，H（ds，dq）=Ztπs（i）HλN（i）1{c（ηs-,i） 6=0}-QXj=1λN（j）πs（j）1{c（ηs-,j） 6=0}个ID，从（3.14）中可以看出∈ 【Tn，Tn+1】，πt（i）解方程（3.17）。最后，方程（3.18）后跟（3.15），πTn（i）=wπi（Tn，ζn）=λn（i）πt-n（i）1{c（ηT-n、 i）6=0}δc（ηT-n、 i）（ζn）PQj=1πT-n（j）λn（j）1{c（ηT-n、 j）6=0}δc（ηT-n、 j）（ζn）。我们要强调的是，等式（3.18）表明，向量πtn完全由观测数据η和πt的知识决定∈ [总氮-1，Tn），自πT起-n（i）：=极限↑Tnπt（i），i∈ S、备注3.8。

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mingdashike22

2022-6-11 11:35:15

关于过滤方程的一些评论值得一提。（1）在情况c（q，i）中≡ c 6=0，对于任何i∈ S和q∈ 一、 η和Ncoincide的跳跃时间序列以及方程（3.14）的滤波系统简化为更简单的πt（I）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（I）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）odIs+Zt“λN（i）πs-（i） PQj=1πs-（j） λN（j）- πs- （一）#dNs-QXj=1πs- （j） λN（j）ds, 我∈ S、 10 CALLEGARO、CECI、FERRA RI（2），在α（q，i）=α（i）和c（q，i）的情况下≡ 0，对于任何i∈ S和q∈ 一、方程式（3.14）的过滤系统不再明确依赖于过程η。特别地，一个具有πt（i）=yi+ZtQXj=1λjiπs（j）ds+Ztπs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）odIs+Ztπs（i）nαi-QXj=1αjπs（j）odIs，i∈ S、（3.19）其中我们设置了αi：=σ-1.b（一）-σ-1βiσ. 参考（2.2）和（3.4），该设置对应于，例如，对于任何i∈ S和q∈ 一、或者对于任何一种情况，对于纯微分几何，c（q，I）=0，b（q，I）=b（I）q和σ（q）=σq，σ（q）=σq∈ S和q∈ 一、在第4节中，我们将在此设置中提供最优债务削减问题的显式解决方案。3.2. 独立问题。由于滤波器的引入，方程（2.1）、（2.2）和（2.4）现在可以根据可观察过程重写。特别地，我们有（3.20）dXt=πt（β）Xtdt+σXtdIt，X=X>0，（3.21）dηt=πt（b（ηt，·））dt+σ（ηt）dIt+σ（ηt）dIt+ZRζm（dt，dζ），η=q∈ 一、和（3.22）dXνt=πt（β）Xνtdt+σXνtdIt- dνt，Xν-= x>0。注意，对于任何ν∈ M（x，y，q），过程xν被证明是H适应的，并且取决于向量πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0，使得π=y∈ Y、定义3.9。（强唯一性）。我们说一个过程（eπt，eηt）t≥0如果Y×I中的值满足路径方程，则为方程（3.14）和（3.21）的astrong解。

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2022-6-11 11:35:19

我们说方程组（3.14）和（3.21）的强唯一性成立，如果，对于任何（eπt，eηt）t≥0strong系统（3.14）和（3.21）的解决方案，其中一个有eπt=πt，eηt=ηt，所有t≥ 0、提案3.10。假设2.1和3.1成立，并假设α（·，i）是任意i的局部Li-pschitz∈ S、存在M>0，使得|α（q，i）|≤ M（1+| q |），对于任何q∈ I和任何I∈ S、然后系统（3.14）和（3.21）允许一个独特的强解。请注意，在假设2.1下，命题3.10中关于α的要求得到了验证，例如，每当σ（q）≥ κ、对于某些κ>0和任何q∈ 一、或者如果b/σ和σ/σ是局部Lipschitz onq∈ 我有次线性增长。命题3.10的证明推迟到附录A。作为abyproduct，它还确保了（3.22）的解的强唯一性。在下文中，当需要强调相对于初始值x>0的依赖性时，我们将分别用Xx，0和Xx，ν表示（3.20）和（3.22）的解。从那时起πth（Xx，νt，·）= E[E[h（Xx，νt，Zt）| Ht]]，Fubini-Tonelli定理的应用允许根据可观测量重写（2.6）的成本泛函，如（3.23）Jx，y，q（ν）=E（x，y，q）Z∞e-ρtπt（h（Xνt，·））dt+Z∞e-ρtdνt.这里E（x，y，q）表示以xν为条件的期望-= x>0，π=y∈ Y、 η=q∈ 一、注意，后一个表达式不再依赖于u-nobservable过程Z，这允许我们引入一个具有完整信息的控制问题，即分离问题，其中新的状态变量由三元组（Xν，π，η）给出。

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2022-6-11 11:35:24

对于这个问题，我们根据（3.14）、（3.21）和（3.22）给出的可观测过程重写部分信息11下的公共债务控制集合M（x，y，q），并用A（x，y，q）表示集合M（x，y，q）；也就是说，A（x，y，q）：=nν：Ohm ×R+→ R+：（νt（ω）：=ν（ω，t））t≥0是非递减的、右连续的、H自适应的，因此Xx，νt≥ 0 t型≥ 0，Xx，ν-= x、 π-= y、 η=q a.s.o，每x∈ (0, ∞) 对于任何y，初始值Xx，ν在（3.22）中定义∈ Y过程的初始值πt=（πt（i）；我∈ S） t型≥0方程（3.14）的解，以及任何q∈ Iη的初始值。在下面，我们设置ν-= 任何ν均为0 a.s∈ A（x，y，q）。给定ν∈ A（x，y，q），三重态{（Xx，νt，πt，ηt）}t≥0求解（3.22）、（3.14）和（3.21），与η相关的跳跃测量具有由等式（3.11）给出的H-可预测对偶投影。因此，过程{（Xx，νt，πt，ηt）}t≥0是一个H-Markov过程，因此我们将马尔可夫分离问题定义为（P2）V（x，y，q）：=infν∈A（x，y，q）E（x，y，q）Z∞e-ρtπt（h（Xνt，·））dt+Z∞e-ρtdνt对于dxx，νt=πt（β）Xx，νtdt+σXx，νtdIt- dνt，Xx，ν0-= x>0，（π，η）方程（3.14）和（3.21）的解。这是一个完全信息下的奇异随机问题，因为所有过程都涉及H-适应。下一个命题紧跟在分离问题的前一个构造以及（3.14）、（3.21）和（3.22）解的强唯一性之后。提案3.11。假设方程组（3.14）和（3.21）以及let（x，y，q）具有强唯一性∈ (0, ∞) ×Y×I是部分观测（P1）下问题中过程（X，Z，η）的初始值。然后（3.24）Vpo（x，y，q）=V（x，y，q）。此外，ν*∈ A（x，y，q）是分离问题（P2）的最优控制当且仅当ν*∈ M（x，y，q）是部分观测（P1）下原问题的最优控制。备注3.12。

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kedemingshi

2022-6-11 11:35:27

注意，在Remark3.8-（2）的设置中，分别求解方程（3.22）和（3.14）的对（Xx，ν，π）是一个H-Markov过程，对于任何ν∈ A（x，y，q），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I。因此，由于成本函数和容许控制集不明确取决于过程ssη，分离问题（P2）的值函数不再取决于变量q。我们将在第4.3.3节中将此设置作为案例研究。通过减少到最佳停止的概率函数。在本节中，我们将分离问题与马尔可夫最优停止问题联系起来，并证明后者的解与前者的最优控制直接相关。以下分析是完全概率的，它基于Lebesgue-Stieltjes积分变量公式的变化，该公式已用于奇异控制问题（参见，例如，[2]和[23]）。第4节将采用本节的结果，在案例研究中，我们通过解决辅助最优停止问题来确定最优债务削减政策的表达式。关于问题（P2），请注意πth（Xx，νt，·）=PQi=1πt（i）h（Xx，νt，i）a.s.对于任何t≥ 那么，对于任何（x，π）∈ (0, ∞) ×Y，set（3.25）bh（x，π）：=QXi=1π（i）h（x，i），且给定z∈ (0, ∞), 我们引入了最优停止问题（3.26）eUt（z）：=ess infτ≥tE公司Zτte-ρ（s-t） X1,0sbhx（Xz，0s，πs）ds+e-ρ(τ-t） X1,0τHt公司, t型≥ 0，其中对所有H停止时间τ进行优化≥ t、 12 CALLEGARO、CECI、FERRA RIUnder假设2.4，（3.26）中的预期为任何H停止时间τ的限定值≥ t、对于anyt≥ 处理事件{τ=∞ }, 在（3.26）中，我们使用了公约（3.27）e-ρτX1,0τ：=lim inft↑∞e-ρtX1,0ton{τ=∞}.用Ut（z）表示Ut（z）的c\'adl\'ag修改，并观察0≤ Ut（z）≤ X1,0t，对于任何t≥ 0，a.s。

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可人4

2022-6-11 11:35:29

此外，确定停车时间（3.28）τ*t（z）：=inf{s≥ t：Us（z）≥ X1,0s}，z∈ (0, ∞),按照τ的约定*t（z）=∞ 如果右侧的集合为空。然后，通过eoremD。[34]附录D中的12，τ*t（z）是问题（3.26）的最佳停止时间。尤其是τ*（z）：=τ*（z）对于问题（3.29）U（z）：=infτ是最优的≥0EZτe-ρtX1,0tbhx（Xz，0t，πt）dt+e-ρτX1,0τ注意，由于hx（·，π）是a.s.增加，那么z 7→ τ*（z） a.s.正在减少。τ的这种单调性*（·）在以下方面很重要，因为我们需要考虑其广义逆。此外，由于三重态（Xz，0t，πt，ηt）是一个齐次H-Markov过程，因此存在一个可测函数u：（0，∞)×Y×I→ 对于任何t，Ut（z）=U（Xz，0t，πt，ηt）≥ 0，a.s.因此，U（z）=U（z，y，q），对于任何（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I，定义（3.30）eV（x，Y，q）：=ZxU（z，Y，q）dz。此外，引入非减量右连续过程（3.31）ν*t： =sup{α∈ [0，x]：τ*（十）- α) ≤ t} ，t≥ 0, ν*-= 0，然后是过程（3.32）ν*t： =ZtX1,0sdν*s、 t>0，ν*-= 0.注意ν*·是τ的右连续逆*( ·).定理3.13。LeteV与（3.30）相同，V与问题定义相同（P2）。然后一个haseV=V，和ν*是问题（P2）的（唯一）最优控制。证据第1步。设x>0，y∈ Y、和q∈ 我被给予和固定。对于ν∈ A（x，y，q），我们介绍了νt：=RtdνsX1,0s，t的过程νsuch≥ 0，并通过（3.33）τν（z）：=inf{t）定义其逆（例如，参见第0章，第4节[43]）≥ 0 | x-νt<z}，0<z≤ x、注意，过程τν（z）：={τν（z），z≤ x} 具有递减的左连续采样路径，因此允许右极限（3.34）τν+（z）：=inf{t≥ 0 | x-νt≤ z} ，z≤ x、此外，点集z∈ 其中τν（z）（ω）6=τν+（z）（ω）是a.e的a.s.可数。

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可人4

2022-6-11 11:35:34

ω ∈ Ohm.rand om timeτν（z）实际上是一个（Ht）-停止时间，因为它是右连续过程ν和（Ht）t的开集的进入时间≥0是右连续的。此外，由于τν+（z）是右连续过程ν进入闭合集的第一个进入时间，因此对于任何z，它也是（Ht）-停止时间≤ x、然后，如[23]中定理3.1证明的步骤1所述，通过采用第0章中变量公式的变化，即[43]的命题4.9，我们发现ev（x，y，q）=ZxU（z，y，q）dz≤ Jx，y，q（ν）。因此，sin ceν是任意的，我们发现（3.35）eV（x，y，q）≤ V（x，y，q），（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I.部分信息下的公共债务控制13步骤2。为了完成证明，我们必须证明逆不等式。让x∈ (0, ∞), y∈ Y、 andq公司∈ 一、 Xx、ν、π和η的初始值。我们首先注意到*∈ A（x，y，q）。的确，ν*是非减量的，右连续的，这样Xx，ν*t=X1,0t（x-ν*t）≥ 所有t均为0 a.s≥ 0，因为其中一个具有定义ν*t型≤ 此外，对于任何0<z≤ x、我们可以写（参见（3.31）和（3.34））τν*+（z）≤ t型<==>ν*t型≥ x个- z<==> τ*（z）≤ t、然后，回顾τν*+（z） =τν*（z） P-a.s.和a.e.z≤ x、我们选择ν=ν*（等效地，ν=ν*), 根据[23]定理3.1证明中的步骤2，我们得到ev（x，y，q）=Jx，y，q（ν*).也就是说，eV=V乘以（3.35）和ν的容许性*. 因此ν*是最佳的。事实上，ν*是属于A（x，y，q）的控制类中的唯一最优控制，并且使得Jx，y，q（ν）<∞ 通过Jx，y，q（·）的严格凸性。备注3.14。对于任何给定（x，y，q）∈ (0, ∞) ×Y×I，定义马尔可夫最优停止问题v（x，Y，q）：=infτ≥0E（x，y，q）Zτe-ρtXx，0tbhx（Xx，0t，πt）dt+e-ρτXx，0τ,式中，E（x，y，q）表示概率测度P（x，y，q）下的期望，使得P（·）：=P（·| Xx，0=x，π=y，η=q）。然后，很容易验证v（x，y，q）=xU（x，y，q）。

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2022-6-11 11:35:37

此外，它认为停止时间τ*（x）：=inf{t≥ 0:v（Xx，0t，πt，ηt）≥ Xx，0t}，P（x，y，q）- a、 sis最适合v（x，y，q）。4、在Q=2经济区域的案例研究中的解决方案在本节中，我们基于前几节中开发的一般过滤分析和定理3.13的结果，并在通过以下长期假设确定的案例研究中提供了最佳债务削减政策的形式。假设4.1。（1） Z取S={1，2}中的值，参考（2.4），我们取g：=g（2）<g（1）=：g；（2）对于任何q∈ I和任何I∈ {1，2}其中c（q，i）=0，f或α，如（3.4）所示，我们取α（q，i）=α（i）；（3） h（x，i）=所有（x，i）的h（x）∈ (0, ∞) ×{1，2}，带h:R→ R使得：（i）x 7→ h（x）是严格凸的，两次连续可微，且在R+上h（0）=0且limx不变↑∞h（x）=∞;（ii）存在γ>1，0<Ko<K和K，K>0，使得Ko | x+|γ- K≤ h（x）≤ K（1+| x |γ），| h′（x）|≤ K（1+| x |γ-1）和| h′（x）|≤ K（1+| x |）（γ-2)+).请注意，在假设4.1-（2）下，宏观经济指标η具有合适的离散动力学，其系数b、σ、σ使得函数α独立于q。如备注3.8-（2）所述，这是η的几何或算术离散动力学的情况。在这种情况下，Kushner-Stratonovich系统（3.14）得出（4.1）dπt（1）=λ- （λ+λ）πt（1）dt+πt（1）（1- πt（1））hβ- βσdIt+（α- α） dIti和πt（2）=1- πt（1）。

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2022-6-11 11:35:40

这里，λ：=λ>0和λ：=λ>0.14 CALLEGARO，CECI，FERRA RIDenoting byπt：=πt（1），t≥ 0，问题（P2）则显示为（P3）V（x，y）=infν∈A（x，y）E（x，y）Z∞e-ρth（Xνt）dt+Z∞e-ρtdνt其中dxx，y，νt=[β+πyt（g- g） ]Xx，y，νtdt+σXx，y，νtdIt- dνt，Xx，y，ν0-= x>0，dπyt=λ- （λ+λ）πytdt+πyt（1- πyt）h（g- g） σdIt+（α- α） dIti，π=y∈ （0,1），其中gi=r- βi，表示状态i的经济增长率，i=1，2。值得注意的是，在问题（P3）的马尔可夫公式中不需要涉及过程η。这是因为求解上述两个随机微分方程的耦合（Xν，π）是一个强马尔可夫过程，且成本泛函和容许控制集（由上面的a（X，y）表示）不明确依赖于η。因此，问题（P3）的值函数不依赖于过程η的初始值q。然而，宏观经济指标过程η的记忆通过常数项α出现在过滤器π中- α在其动力学中。最后，我们记得，由于提案3.11，通过解决问题（P3），我们也解决了原始问题（P1）。实际上，对于任何给定和固定的（x，y），我们都有Vpo（x，y）=V（x，y）∈ (0, ∞) ×（0，1），且控制对于分离问题（P3）是最优的，当且仅当它对于部分观测下的原始问题是最优的。在下面的分析中，我们需要（由于技术原因，由于我们问题的时间范围有限）采取一个足够大的折扣系数。即定义ρo：=β+σ∨γβ+σγ(γ - 1)∨2β+ σ∨24θ- (λ+ λ)∨4β+ 6σ∨4β(2 ∨ γ) + 2σ(2 ∨ γ) (4(2 ∨ γ) - 1),带θ：=（g）-g） σ+（α- α), 我们假设如下。假设4.2。一个是ρ>ρ+o。由于h上的生长条件，假设4.2特别确保ρ>γβ+σγ（γ-1）所以（平凡的）容许控制ν≡ 0具有有限的总预期成本。4.1.

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2022-6-11 11:35:43

相关的最优停止问题。受前几节结果（尤其见定理3.13）的启发，我们现在的目标是通过研究辅助最优停车问题来解决问题（P3）。非正式地说，解决这样一个最优停止问题给出了ZF应该将债务比率再降低一个单位的最佳时间。最优停止问题涉及一个二维离散过程，在下文中，我们提供了几乎完全的概率分析。4.1.1. 配方和初步结果。回想一下（It，It）t≥0是一个二维的标准布朗运动，引入了二维扩散过程（bX，π）：=（bXt，πt）t≥0求解随机微分方程（SDE）（4.2）dbXt=bXt[β+（g- g） πt]dt+σbXtdIt，dπt=λ- （λ+λ）πtdt+πt（1- πt）h（g- g） σdIt+（α-α） dIti，初始条件sbx=x，π=y，对于任何（x，y）：=（0，∞) × (0, 1). 在下面，我们设置为：=（0，∞) × (0, 1). 回想一下，β=r- g、由于过程π是有界的，SDEs的经典结果确保系统（4.2）允许一个唯一的强解，当需要时，我们将用（bXx，y，πy）表示，以强调其对初始数据（x，y）的依赖性∈ O、在关节，很容易获得（4.3）bXx，yt=xe（β-σ） t+σIt+（g-g） Rtπysds，t≥ 0，部分信息下的公共债务控制15此外，可以肯定的是，费勒的爆炸试验（例如，见[33]第5.5章）给出了1=P（πyt∈ (0, 1), t型≥ 0）对于所有y∈ (0, 1). 事实上，边界点0和1是入口而不是出口（参见[3]，p）。

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可人4

2022-6-11 11:35:48

15）因此，π过程无法实现。关于Remark3.14，这里我们研究了具有值函数v（x，y）：=infτ的完全二维马尔可夫最优stoppin-gp问题≥0E（x，y）Zτe-ρtbXth′（bXt）dt+e-ρτbXτ=: infτ≥0bJ（x，y）（τ），（x，y）∈ O、（4.4）在（4.4）中，对所有H停止时间进行优化，s y mbol E（x，y）表示概率测度P（x，y）下的预期(Ohm, F），定义为P（x，y）（·）：=P（·| bX=x，π=y），对于任何（x，y）∈ O、由于π为正，g- 根据假设4.2，g<0，ρ>β，从（4.3）可以看出（4.5）lim inf↑∞e-ρtbXt=0 P（x，y）-a、这意味着公约（参见（3.27））e-ρτbXτ=0，在{τ=∞}.很明显，一个人有v≥ 0，因为Bx为正，h在R+上增加。此外，v≤ 因此，我们可以将连续区域和停止区域定义为（4.6）C：{（x，y）∈ O:v（x，y）<x}，S：={（x，y）∈ O:v（x，y）=x}。请注意，通过部分积分术语e-ρτbXτ，取期望值，并利用该期望值，对于任何停止时间τ，都有E[RτE-ρsbXsdIs]=0（因为假设4.2ρ>β+σ），我们可以等效地重写（4.4）asv（x，y）：=x+infτ≥0E（x，y）Zτe-ρtbXth′（bXt）- (ρ - β- （g）- g） πt）dt公司,（4.7）对于任何（x，y）∈ O、从（4.7）可以看出（4.8）{（x，y）∈ O:h′（x）- (ρ - β- （g）-g） y）<0} C、这意味着（4.9）S {（x，y）∈ O:h′（x）- (ρ - β- （g）- g） y）≥ 此外，由于ρ满足假设4.2和0≤ πt≤ 任何（x，y）为1∈ O、一个有（4.10）E（x，y）Z∞e-ρtbXth′型bXt公司+ ρ+|β+| g- g | dt< ∞,和随机变量族Zτe-ρtbXth′（bXt）- (ρ - β- （g）- g） πt）dt，τH- 停车时间因此在er P（x，y）上是H-一致可积的。下一个命题给出了v的初步性质。提案4.3。

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