后一个方程右侧的随机变量与n无关，并且由于（4.10）可积。此外，通过部分集成和执行标准估计，我们可以编写a.s.e-ρτnεbXx，yτnε-bXxn，ynτnε≤ |x个- xn |+Z∞e-ρsρ+|β+| g- g级|bXx，ys+bXx+δ，y-δsds，上面的最后一个积分与n无关，并且由于（4.10），它具有有限的期望值。然后，将极限取为n↑ ∞, 根据前面的估计调用支配收敛定理，并使用（x，y）7→ （bXx，yt，πyt）对于任何t都是a.s.连续的≥ 0我们发现（重新排名后）LIM infn↑∞v（xn，yn）≥ v（x，y）- ε.因此，通过ε的任意性，我们得出v在（x，y）处是下半连续的结论。自（x，y）∈ O也是任意的，那么v在O上是下半连续的。根据命题4.3-（iii），一个人认为停止区域是闭合的，而连续区域是开放的。此外，由于（4.10）和t 7的P（x，y）-a.s连续性→Rte公司-ρsbXs（h′（bXs））-(ρ - β- （g）- g） πs）ds，我们可以应用[34]附录D中的定理D.12，得出（bX，π）到s的第十个时间对于（4.4）是最优的；即，（4.12）τ（x，y）：=inft型≥ 0：（bXt，πt）∈ S, P（x，y）- a、 s.，（x，y）∈ O、 达到（4.4）中的上限（这里我们采用通常的惯例inf = ∞).此外，通过采用基于（bX，π）的s-trong-Markov性质的标准平均值（参见，例如，[40]，Ch.I，Sec.2，Thm.2.4），可以表明，P（x，y）-a.s.，过程s：=St公司t型≥0，承受：=e-ρtv（bXt，πt）+中兴通讯-ρsbXsh′bXt公司dt公司t型≥0是一个H-子鞅，并且停止的进程（St∧τt型≥0是H-鞅。后两个条件通常被称为值函数v的次调和特征。我们现在排除了空停止区域的可能性。引理4.4。（4.6）的停止区域不为空。证据我们通过矛盾论证，我们假设S=.

因此，对于任何（x，y）∈ O我们可以写x>v（x，y）=E（x，y）Z∞e-ρtbXth′（bXt）dt≥ KoxγE（1，y）Z∞e-ρtbXt公司γdt-Kρ，（4.13），其中不等式xh′（x）≥ 由于h的凸性，使用了h（x）和h上假定的增长条件（参见假设4.1）。现在，通过假设x足够大，我们得出了一个矛盾，因为γ>1。因此S 6=. 部分信息下的公共债务控制17提案4.5。对于任何y∈ （0，1）let（4.14）d（y）：=inf{x>0:v（x，y）≥ x} ，其中约定inf = +∞ 已使用。然后（i）（4.15）C={（x，y）∈ O:x<d（y）}和S={（x，y）∈ O:x≥ d（y）}；（ii）y 7→ d（y）增加并保持连续；（iii）存在0<x< x个< ∞ 对于任何y∈ [0，1]（h′）-1.ρ - β) ∨ x个≤ d（y）≤ x个.证据（i） 。为了证明（4.15）成立，必须证明如果（x，y）∈ S、 然后（x，y）∈ 任何x的S≥ x、 设τε：=τε（x，y）是v（x，y）的ε-最优停止时间。然后，利用bxx，yt=xxbXx，yt的偏差≥bXx，yta。s、 h′的单调性，我们可以从（4.7）0≥ v（x，y）- x个≥ EZτεe-ρtbXx，yth′型bXx，yt- (ρ - β- （g）- g） πyt）dt公司- ε≥xxE型Zτεe-ρtbXx，yth′型bXx，yt- (ρ - β- （g）- g） πyt）dt公司- ε(4.16)≥xx号v（x，y）- x个- ε = -ε.因此，通过ε的任意性，我们得出结论（x，y）∈ S也是如此，因此（4.14）中的d将（4.15）中的C和S分开。（二）。Let（x，y）∈ C、 自y 7起→ v（x，y）按命题4.3-（ii）递减，由此得出（x，y）∈ C代表任何y≥ y、 这反过来意味着y 7→ d（y）正在增加。y 7的单调性→ d（y），加上S是闭的，然后用标准参数给出所声称的左连续性。（iii）。设Θxt：=x exp(β-σ+（g-g） ）t+σIt, 并引入一维最优停止问题V（x） ：=in fτ≥0EZτe-ρtΘxth′（Θxt）dt+e-ρτΘxτ, x>0。（4.17）因为g-g<0，h′增大，πyt≤ 1 a.s。

对于所有t≥ 0和y∈ （0，1），不难看出v（x，y）≥ v（x） 对于任何（x，y）∈ O、 通过类似于证明（i）的论点，我们可以证明存在x例如{x∈ (0, ∞) : v（十）≥ x} ={x∈ (0, ∞) : x个≥ x个}. 事实上，通过像引理4.4的证明那样的论证，我们可以知道后一个集合不是空的。那么下面的内含物含有{x∈ (0, ∞) : x个≥ x个}  {（x，y）∈ O:v（x，y）≥ x} ={（x，y）∈ O:x≥ d（y）}，这反过来表明d（y）≤ x个对于所有y∈ (0, 1). 因此，d（y）≤ x个对于所有y∈ [0，1]，通过设置D（0+）：=石灰↓0d（y）按单调性，d（1）：=limy↑0d（y）左侧连续性。至于d的下限，请注意（4.9）意味着（4.18）d（y）≥ （h′）-1.ρ - β- （g）- g） y型=: ζ（y），y∈ （0，1），其中（h′）-1（·）是严格递增函数h′：[0，∞) 7.→ (0, ∞) （注意ρ-β-（g）-g） y型≥ 0，因为ρ>β，g-g<0，y>0）。自（h′）-1正在严格增加-（g）- g） y型≥ 0，我们可以从（4.18）得出结论，d（y）≥ （h′）-1.ρ - β） 对于每个y∈ [0, 1].此外，设置ψxt：=x exp{（β-σ） t＋σIt}并引入一维最优停止问题v（x） ：=in fτ≥0EZτe-ρtψxth′（ψxt）dt+e-ρτψxτ, x>0，（4.19）一个有v（x，y）≤ v（x） 对于任何（x，y）∈ O、 按照上面使用的参数，最后一个不等式意味着d（y）≥ x个对于所有y∈ [0，1]，其中x:= inf{x>0：v（十）≥ x}∈ (0, ∞). 18 CALLEGARO，CECI，FERRA RI4.1.2。自由边界的光滑拟合性质和连续性。我们现在的目标是进一步证明v和自由边界d的正则性。二阶线性椭圆微分算子L：=β+（g- g） y型x个x+σxx个+λ- （λ+λ）yy型+(α- α） +（g-g） σy（1-y）y、 （4.20）作用于任何功能f∈ C（O）是该过程的微型发生器（bX，π）。

过程的简并性（bX，π）上的n、（4.20）中系数的光滑性，以及v的ic表征上的亚危害，允许通过标准参数（参见，例如，[40]，第3章，第7.1节）和椭圆偏微分方程的经典正则性结果（参见，例如，[27]）证明上述结果。引理4.6。（4.4）的值函数v严格地属于C和S内部的C（即远离边界C/C）。此外，在C中，它唯一求解（4.21）L- ρ） v（x，y）=-xh′（x），L如（4.20）所示。我们通过证明（4.4）的值函数属于C（（0，∞)×(0, 1)).这将通过概率方法获得，该方法依赖于过程（bX，π）停止集S的规律性（在使用过程中）（参见[17]，其中该方法是在一般情况下最近开发的；f或其他示例参见[16]和[31]）。回想一下，S的边界点相对于（bX，π）if是正则的（参见定义2.9 p.249 in【33】）（4.22）bτ（xo，yo）：=inf{t>0：（bXxo，yot，πyot）∈ S} =0 a.S。（xo，yo）∈ C、 时间bτ（xo，yo）是（bXxo，yo，πyo）到S的第一次击中时间。请注意，对于每个有界Borel函数f:R7→ R有E（x，y）f（bXt，πt）= E（u，y）f（eUt，πt）,其中u：=ln（x）和Ut：=ln（bXt）是这样的dUt=β+（g- g） πt-σdt+σdIt。由于过程（U，π）的非泛型性及其系数的光滑性和边界性，我们得到（U，π）具有连续的跃迁密度bp（·，·，·；U，y），（U，y）∈ R×（0，1），使得对于任何t≥ 0和（u′，y′）∈ R×（0，1）（参见，例如，[1]）Mtexpn- λ（u）- u′）+（y- y′）到≥ bp（t，u′，y′；u，y）≥mtexpn- Λ（u）- u′）+（y- y′）至，（4.23），对于某些常数M>M>0和∧>λ>0。由此得出（u，y）7→ E（u，y）f（eUt，πt）是连续的，所以（U，π）是一个强Feller过程。

因此，（bX，π）也是强Feller，因此我们可以得出结论，（4.22）成立当且仅当（见[18]，第32-40页）（4.24）τ（xn，yn）→ 0 a.s.每当C （xn，yn）n→ （xo，yo）∈ C、 其中τ如（4.12）所示。下一个位置显示（4.22）的有效性。提案4.7。中的边界点C是S相对于（bX，π）的正则表达式；也就是说，（4.22）保持不变。证据Let（xo，yo）∈ C、 并设置uo：=ln（xo）。如上所述，利用U，我们设置bσ（uo，yo）：=bτ（euo，yo），（uo，yo）∈ R×（0，1），我们根据过程（U，π）asbσ（uo，yo）：=inf{t>0:Uuo，yot等价地重写（4.22）≥ ln（d（πyo）}=0 a.s。（uo，yo）使得uo=ln（d（yo））。考虑到y 7→ ln（d（y））正在增加（从y 7开始→ d（y）是这样的），那么区域b：={（u，y）∈R×（0，1）：u≥ ln（d（y））}具有所谓的锥性质（见[33]，第250页）。特别是，在部分信息19下的公共债务控制，我们总是可以构造一个顶点位于（uo，yo）且孔径为0的圆锥体≤ φ ≤ π/2 s uch thatCo∩（R×（0，1））bS，以及任何to≥ 我们可以写出（4.25）P（bσ（uo，yo）≤ 收件人）≥ P（（Uuo，yoto，πyoto）∈ Co）。然后使用（4.23）一个搭扣（（Uuo，yoto，πyoto）∈ Co）=ZCobp（to，uo，yo；u，y）dudy≥ZComtoe公司-∧（（u-uo）+（y-yo））todudy=mZCoe-Λ（u′）+（y′）杜迪=：l > 0，（4.26），其中我们使用变量u′的变化：=（u- uo）/√toand y′：=（y- 哟）/√tomaps thecone Cointo自身。号码l 以上取决于uo、yo，但它独立于to。从（4.25）和（4.26）我们得到P（bσ（uo，yo）≤ 收件人）≥ l, 并允许↓ 我们得到P（bσ（uo，yo）=0）≥ l > 然而，{bσ（uo，yo）=0}∈ H、 根据Blumenthal的0-1定律，我们得到P（bσ（uo，yo）=0）=1，这就完成了P屋顶。定理4.8。一个有那个v∈ C（O）。证据由于引理4.6，值函数严格属于连续区域内的C，它是C∞严格在v=x的stoppin g区域内。

因此，只剩下证明v在C、 在下面，我们将证明：（i）函数w：=x（v- x） 对x有连续导数C（这显然意味着VxCross的连续性C） ；（ii）在整个C、 （i）VxCross的连续性C、 对于后续参数，请注意函数w=x（v- x） 允许表示（回忆（4.7））（4.27）w（x，y）=infτ≥0EZτe-ρtbX1，yth′型bXx，yt-ρ -β-（g）- g） πysds公司,记住，最佳停车时间τ对于v，如（4.12）中所述，也适用于w，因为v≥ x当且仅当ifw≥ 我们现在证明了wxis在C、 因此意味着VxCross的持续性C、 取（x，y）∈ C、 让ε>0等于x- ε > 0. 自x 7起→ w（x，y）在增加（由于h′的单调性），很明显（x-ε、 y）∈ C也是。用τ表示ε（x，y）：=τ（十）-ε、 y）W（x）的最佳停车时间-ε、 y），注意τε（x，y）是w（x，y）和τ的最佳值ε（x，y）→ τ（x，y）a.s.为了简化下面的阐述，我们写τε:= τε（x，y）和τ:= τ（x，y）。然后我们可以从（4.27）0开始写入≤w（x，y）- w（x）- ε、 y）ε≤εEZτεe-ρtbX1，yth′型bXx，yt- h′型bXx公司-ε、 年初至今dt公司= EZτεe-ρt（bX1，yt）h′\'bXξε，ytdt公司,对于某些ξε∈ （十）- ε、 在最后一步中，我们使用了中值定理，实际上是bxx，yt-bXx公司-ε、 yt=εbX1，yt。设置ε↓ 0，调用支配收敛定理（感谢ρ>γβ+σγ(γ -1)∨2β+ σ假设4.2），并使用∈ C（C）（自v起）∈ C（C）），然后我们从后者中发现（4.28）0≤wx（x，y）≤ EZτe-ρt（bX1，yt）h′\'bXx，ytdt公司.设now（xo，yo）是属于C

将（4.28）中的限值取为（x，y）→ （xo，yo），通过支配收敛定理和命题4.7，我们得到0≤ lim inf（x，y）→（xo，yo）∈Cwx（x，y）≤ lim sup（x，y）→（xo，yo）∈Cwx（x，y）≤ 0，从而证明wxis在C、 这立即意味着VxCross的连续性C、 回顾v=x（w+1）。20 CALLEGARO、CECI、FERRA RI（ii）vyacross的连续性C、 再次拍摄（x，y）∈ C、 设ε>0，使得y+ε<1。自7年以来→ v（x，y）在减小（参见命题4.3-（ii）），很明显（x，y+ε）∈ C也是。用τ表示ε（x，y）：=τ（x，y+ε）v（x，y+ε）的最佳停止时间，注意τε（x，y）次优于v（x，y）和dτ（x，y+ε）→ τ（x，y）a.s.asε↓ 为了简化符号，我们在下面写τε代替τε（x，y）。根据命题4.3-（ii）和（4.7），我们可以写出0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥εEZτεe-ρtbXx，y+εthh′bXx，y+εt-ρ - β- πy+εt（g- g）idt公司-εEZτεe-ρtbXx，ythh′bXx，yt-ρ - β- πyt（g- g）idt公司=εEZτεe-ρthbXx，y+εth′bXx，y+εt-bXx，yth′bXx，ytidt公司-Zτεe-ρt（ρ-β)bXx，y+εt-bXx，ytdt公司!+εEZτεe-ρt（g- g）bXx，y+εtπy+εt-bXx，ytπytdt公司.现在，加减E[Rτεe-ρtbXx，y+εth′（bXx，yt）dt]和（g- g） E[Rτεe-ρtbXx，y+εtπytdt]在后者的右侧，并回忆一下（g- g） <0，thatbXx，yt≥ 每t 0 a.s≥ 0，以及（πy+εt- πyt）≥ 每t 0 a.s≥ 0

然后，在重新排列项并应用积分中值定理（对于某些Lεt∈ （bXx，y+εt，bXx，yt）a.s.），我们从上面的方程中得到0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥εEZτεe-ρtbXx，y+εthh′bXx，y+εt- h′型bXx，ytidt公司+εEZτεe-ρtbXx，y+εt-bXx，ythh′型bXx，yt-ρ - β- πyt（g-g）idt公司-ε| g- g | EZτεe-ρtbXx，y+εtπy+εt- πytdt公司(4.29)≥εEZτεe-ρtbXx，y+εt-bXx，ytbXx，y+εth′\'Lεt+ h′型bXx，ytdt公司-ε| g- g | EZτεe-ρtbXx，y+εtπy+εt- πytdt公司.在上一个等式中，我们使用了ρ- β- πyt（g- g）≥ 0，因为根据假设4.2ρ>β，所以g- g<0，且bxx，y+εt≤bXx，yt。立即确定πyt：=ε（πy+εt- πyt），t≥ 注意，通过使用（4.2）中的第二个等式，我们可以πyt=-(λ+ λ)πytdt+πyt1.- πy+εt- πyth（g- g） σdIt+（α- α） dIti，t>0，带πy=1。借助It^o公式，可以很容易地显示（4.30）πyt=expn-（λ+λ）t-θZt1.-πy+εs-πysds+Zt1.-πy+εs-πysh（g- g） σdIs+（α-α） dIsio，带θ：=（g）-g） σ+（α- α), 求解之前的随机微分方程。此外，通过（4.3）和simp le代数，（4.31）εbXx，y+εt-bXx，yt=bXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1ε!.部分信息21下的公共债务控制采用以下定义：πytand（4.31）in（4.29），并使用thatbXx，y+εt≤bXx，yt，一个文件0≥v（x，y+ε）- v（x，y）ε≥ EZτεe-ρtbXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1ε··bXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，ytdt公司-|g级- g | EZτεe-ρtbXx，ytπytdt.（4.32）我们现在的目标是将限值取为ε↓ 0英寸（4.32）。为此，请注意πyt→ Zyta。s、 对于allt≥ 0，作为ε↓ 0，其中，根据[42]第V.7章中的定理39，（Zyt）t≥0是g解决方案上的唯一str to（4.33）dZyt=-（λ+λ）Zytdt+Zyt（1- 2πys）（g）- g） σdIt+（α-α） dIt公司, t>0，Zy=1。

那么，如果允许我们在极限为ε时调用支配收敛定理↓ 0在（4.32）中，我们将获得0≥vy（x，y）≥ （g）- g） E类Zτe-ρtbXx，ytZtZysds公司bXx，yth′\'bXx，yt+ h′型bXx，ytdt公司- |g级- g | EZτe-ρtbXx，ytZytdt,（4.34）回顾v∈ C（C）。因此，让（xo，yo）是属于C、 将（4.34）中的限值取为（x，y）→ （xo，yo），通过支配收敛定理，并借助于Proposition4.7，我们得到了0≥ lim sup（x，y）→（xo，yo）∈Cvy（x，y）≥ lim inf（x，y）→（xo，yo）∈Cvy（x，y）≥ 0，从而证明vyis在C、 为了完成证明，只需证明当极限为ε时，支配收敛定理确实可以应用↓ 0英寸（4.32）。这就是我们将在以下两个技术步骤中展示的内容。第1步。证明在取ε时可以调用支配收敛定理↓ 0在（4.32）右侧的第一个期望值中，我们设置∧ε：=Zτεe-ρtbXx，yteε（g-g） Rt公司πysds- 1εbXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，yt我们证明了随机变量族{∧ε，ε∈ (0, 1-y） }在L中有界(Ohm, F、 P），Hence一致可积。注意，根据假设4.1-（ii）和Lεt≤bXx，yta。s、 ，其中一个有a.s。

对于任何t≥ 0bXx，ythbXx，yth′\'Lεt+ h′型bXx，yt我≤黑色1 +bXx，ytγ∨2.,对于一些常数k>0（与ε无关），因此通过Jensen不等式Λε≤bKρZ∞ρe-ρt1.- eε（g-g） Rt公司πysdsε1 +bXx，yt2γ∨4.dt。然后，接受期望并应用H¨older不等式Λε我≤ K′EZ∞e-ρt1.-eε（g-g） Rt公司πysdsεdt公司EZ∞e-ρt1 +bXx，yt4γ∨8.dt公司,（4.35）对于一些其他常数K′>0，与ε无关，下面的常数将从直线到直线变化。标准不等式1-e-x个≤ x、 x=ε（g-g） Rt公司πysds≥ 0，允许我们从（4.35）继续并写入Λε我≤ K′EZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司EZ∞e-ρt1 +bXx，yt4(γ∨2)dt公司.（4.36）22 CALLEGARO、CECI、FERRA RIWe现在分别处理（4.36）中的两个期望值。首先，请注意Jensen\'sinequality（4.37）Zt公司πysds=tZtt公司πysds≤ 坦桑尼亚先令πysds。其次，由于(πy），我们可以调用Fub-ini-Tonelli定理，也可以使用（4.37），obtainEZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司≤ EZ∞e-ρttZt公司πysds公司dt公司=ρZ∞e-ρsρs+3ρs+6ρs+6呃πysID。（4.38）我们现在的目标是评估上面最后一个积分中的期望值。为此，请注意，通过将It^o公式应用于过程ξyt：=(πyt），并使用（4.30），对于任何t>0dξyt=ξyt-(λ+ λ) + 12θ(1 -πy+εt-πyt）dt+4ξyt（1-πy+εt-πyt）（g）- g） σdIs+（α-α） dIs公司,ξy=1和θ=（g）-g） σ+（α- α). 因为（1- πy+εt- πyt）≤ 2 a.s.适用于所有t≥ 0，ξyt=e-（λ+λ）t+12θRt（1-πy+εt-πyt）dsMyt，其中（Myt）t≥0是指数鞅，很容易看出（4.39）E(πyt）≤ e-（λ+λ）t+24θt，t≥ 使用（4.38）中的后一个估计，结合假设4.2，我们推断（4.40）supε∈(0,1-y）EZ∞e-ρtZt公司πysdsdt公司< ∞.对于（4.36）中的第二个预期，假设4.2和d标准估计采用（4.3）（以及（g-g） Rtπysds<0）保证它是有限的。此外，它与ε无关。

结合（4.40），我们从（4.36）中发现supε∈(0,1-y）EhΛεi<∞, 从而简化随机变量族{∧ε，ε∈ (0, 1 - y） }在L中有界(Ohm, F、 P），Hence一致可积。第2步。我们考虑（4.32）右侧的第二个期望值，并设置Ξε：=Zτεe-ρtbXx，ytπytdt，我们的目的是证明随机变量族{ε，ε∈ (0, 1 -y） }在L中有界(Ohm, F、 P），因此一致可积。首先通过Jensen不等式和H¨older不等式，我们发现（4.41）Ehεi≤黑色Z∞e-ρtbXx，ytdt公司EZ∞e-ρtπytdt公司,对于somebK>0，与ε无关。由于假设4.2和采用（4.3）的标准估计（以及（g-g） Rtπysds<0）。此外，它与ε无关。对于第二种情况，通过Fubini-Tonelli定理将期望值和时间积分相互转换，并使用（4.39），我们得到了Z∞e-ρtπytdt公司≤(ρ + λ+ λ- 24θ），部分信息下的公共债务控制23由于假设4.2。因此，我们得出结论（参见（4.41））supε∈(0,1-y）EhΞ| i<∞, 从而完成了证明。前面的定理特别暗示了所谓的平滑特性，这是最优停止理论中众所周知的最优性原则。此外，根据基于（bX，π）的强马尔可夫性质的标准参数（见[40]第三章），从迄今为止收集的结果可以看出，耦合（v，d）解决了自由边界问题（4.42）L- ρv（x，y）=-C上的xh′（x），S上的v（x，y）=x，x=d（y），y时的vx（x，y）=1∈ （0，1），在x=d（y），y时，vy（x，y）=0∈ （0，1），带v∈ C（C）。理论4.8的一个重要结果如下。提案4.9。一个有y 7→ d（y）在[0，1]上连续。证据确定概率测量值(Ohm, F） 这样DBPDPFt=e-σt+σIt，t≥ 0

该测量值等于Ft上的P，定义位：=It- σt，根据Girsanov定理，后者是标准的H-布朗运动。通过改变测量值（例如，见[40]第四章第12节），则不难看出（4.7）中的v为v（x，y）：=x-bV（x，y），其中，对于任何（x，y）∈ O、 我们设置了（4.43）bV（x，y）：=supτ≥0bE（x，y）Zτe-(ρ-β） t+（g-g） RtπsdsbH（bXt，πt）dt,带BH（x，y）：=ρ-β-（g）-g） y型-h′（x）. 在上述（4.43）中，be（x，y）表示期望条件，即（bX，π）=（x，y）bP-a.s.Sin ce{（x，y）∈ O:v（x，y）≥ x} ={（x，y）∈ O:bV（x，y）≤ 0}，d（·）也是valuebV问题的最优停止边界。为了证明d（·）的连续性，我们现在的目标是将[41]中的定理10应用于问题（4.43）。请注意BVX≤ 自x 7起O上的0→ h（x）是严格凸的。此外，回忆θ=[（α- α） +（g-g） σ]，我们有x个bHθy（1-y）< 再次感谢h的严格凸性。此外，由于V=x时的Th eorem4.8中所示的C特性，BVI在边界上是连续的-bV；因此，水平平滑特性成立。因此，我们可以应用[41]中的定理10（注意到[41]中x是水平轴，y是垂直轴，而在我们的论文中，x是垂直轴，y是水平轴），并得出结论，d在任何点y都不能有第一类不连续性∈ 最后，d在y=1时也是连续的，因为它被命题4.5-（ii）保持连续。4.2. 问题的最优控制（P3）。在本节中，我们提供了最优债务削减政策的形式。

它是根据前一节研究的自由边界给出的。对于（4.14）中的d，在P（x，y）下引入非减量过程（4.44）νt=hx- inf0≤s≤t型dπse-(β-σ） s-σ为-（g）-g） Rsπudu我∨ 0，t≥ 0，带ν-= 0，然后是过程（4.45）νt： =中兴通讯-(β-σ） s-σ为-（g）-g） Rsπudududνs、 t型≥ 0, ν-= 注意，自从νt型≤ x a.s.适用于所有t≥ 0和t 7→ ν这是不减损的，从（4.45）可以看出是可以接受的。此外，t 7→ ν由于y 7的连续性，这是连续的（除了可能的初始ju mpat初始时间）→ d（y）和t 7→ It，t 7→ πt和t 7→Rtπsds。24 CALLEGARO，CECI，FERRA RITheorem 4.10。LeteV（x，y）：=Rxzv（z，y）dz，（x，y）∈ [0, ∞) × [0, 1]. 然后一个haseV=V开[0，∞) ×[0，1]和ν如（4.45）所示，对于问题（P3）来说是最佳的。证据回想一下（3.26）中的U=Uas，注意在我们的马尔可夫设置中，一个haszv（z，y）=U（z）。通过定理3.13的证明，证明了停止时间τ的右连续逆（z，y）=inf{t≥ 0 | bXz，yt≥ d（πyt）}（对于v（z，y）是最佳的，cf.（4.12））与ν（直到anull集）重合.然后，回顾（3.34）定理3.13，fix（x，y）∈ (0, ∞)×（0，1），取t≥ 0任意，注意（4.12），我们有P（z，y）-a.s。等价物τ（z，y）≤ t型<==>bXθ≥ 对于某些θ，d（πθ）∈ [0，t]<==>z≥ e-(β-σ)θ-σIθ-（g）-g） 某些θ的Rθπududud（πθ）∈ [0，t]<==>hx公司- inf0≤s≤t型d（πs）e-(β-σ） s-（g）-g） Rsπudu-σ为我∨ 0≥ x个- z<==>νt型≥ x个- z<==>τν+（z）≤ t、 因此，τν+（z） =τ（z，y）a.s.，和ν·是τ的右连续逆（·，y）。自ν起如定理证明3.13第2步所述，权利要求如下。

注意，问题（P3）公式中的Xx，y，ν方程，和（4.45），yieldXx，y，νt=e（β-σ） t+（g-g） Rtπysds+σItx个-νt型,关于（4.44），表明（4.46）0≤ Xx，y，νt型≤ d（πyt），t≥ 0，P- a、 此外，很容易看出我们可以表示νof（4.44）as（4.47）νt=sup0≤u≤t型Xx，y，0s- d（πys）X1，y，0s∨ 0,ν-= 前面的方程式允许我们对我们问题的最优债务管理政策发表一些评论。（i） 如果在初始时间，债务比率x的水平高于d（y），则立即降低振幅（x- d（y））是最佳的。（ii）在任何t≥ 0时，将债务比率水平保持在依赖于信念的上限d以下是最佳的。（iii）如果时间t的债务比率水平严重低于d（πt），则无需干预。政府应该进行干预，仅在债务比率试图上升到d（πt）以上的时间（随机）t减少债务。这些干预是最小的，即（Xx，y，ν, πy，ν) 解决了自由边界d处的斯科罗霍德反射问题。（iv）回想一下，债务上限d是政府认为经济正处于快速增长阶段的一个日益增长的函数。然后，关于之前对最优减债规则的描述，我们发现，政府越相信经济处于良好状态，规模空间就越大，最优减债政策应该越不严格。4.3. 问题（P3）值函数的正则性和相关HJB方程。结合迄今为止收集的结果，我们现在能够证明控制问题（P3）的值函数V是一个两次连续可微函数。

作为副产品，V是对应的g Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程的经典解。根据定理4.10，我们知道V（x，y）=Rxzv（z，y）dz，对于所有（x，y）∈O：=[0，∞) × [0, 1].因此，感谢定理4.8和支配收敛定理，我们立即得到了以下结果。引理4.11。一个有那个V∈ C（O）∩ C（O）。此外，Vxx∈ C（O）和Vxy∈ C（O）。为了处理二阶导数Vy，我们遵循[14]中使用的思想。特别地，我们确定了V的二阶弱导数（回想一下，Vyis通过定理4.8继续s），并证明它是一个连续函数。这将在下一个命题中完成。部分信息下的公共债务控制25提案4.12。设θ：=[（α- α） +（g-g） σ]。我们有Vy∈ C（O）与vy（x，y）=-θy（1- y） h类β+（g- g） y型-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）+ h类x个∧ d（y）+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）i+λ- （λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz(4.48)-ρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz.证据注意Vy（x，y）=Rxzvy（z，y）dz处的th，因此Vy（x，·）是定理4.8中所有x>0的连续函数（注意，根据（4.34）中的边界和乘法依赖项fbxz，y相对于z，zvy（z，y）在0处可积）。因此，其相对于y的弱导数是一个函数g∈ Lloc（O），以便任何测试功能∈ C∞c（（0，1））一个具有（4.49）ZVy（x，y）Д′（y）dy=-Zg（x，y）Д（y）dy。我们现在的目标是评估g，并表明它与（4.48）的右侧重合。表示为m（x），x>0，d（y），y的广义右连续逆∈ [0, 1]; 也就是说，m（x）：=inf{y∈ [0，1]：d（y）≥ x} 。

然后，注意{（x，y）上的vy=0∈ O:x>d（y）}利用富比尼定理，我们可以写出vy（x，y）ν′（y）dy=ZZx公司∧d（y）zvy（z，y）dzИ′（y）dy=ZxzZm（z）vy（z，y）Д′（y）dydz（4.50）=Zxzhvy（z，1）Д（1）- vy（z，m（z））Д（m（z））-Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dyidz=-Zxz公司Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dydz，这里我们用vy（z，m（z））=0表示所有z∈ （0，x），x>0，以及Д（1）=0。通过引理4.6（参见（4.20）），对于任何y>m（z），对于任何z∈ （0，x）当x>0时，我们得到vy y（z，y）=θy（1- y） hρv（z，y）-λ- （λ+λ）yvy（z，y）- zh′（z）-σzvxx（z，y）-β+（g- g） y型zvx（z，y）i.（4.51）在（4.50）右侧的最后一个积分项中插入后一个表达式，使用againFubini定理和d，然后对x的导数进行积分，我们发现Zvy（x，y）Д′（y）dy=-Zxz公司Zm（z）vy y（z，y）Д（y）dydz=Zλ-（λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz^1（y）dy-Zρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz^1（y）dy+Zhhx个∧ d（y）+β+（g- g） y型v（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）(4.52)+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）iИ（y）θy（1- y） dy，26 CALLEGARO，CECI，FERRA Ri，我们也计算了h（0）=0。最后，设置（x，y）：=-θy（1- y） hh小时x个∧ d（y）+β+（g- g） y型-σv（x）∧ d（y），y）- v（0+，y）+σx个∧ d（y）vx（x∧ d（y），y）i+λ- （λ+λ）yθy（1- y）Zx公司∧d（y）zvy（z，y）dz-ρθy（1- y）Zx公司∧d（y）zv（z，y）dz,我们看到（4.52）readsRVy（x，y）Д′（y）dy=-Rg（x，y）Д（y）dy，因此g与V相对于y的二次弱导数相同。注意，g是由d，V，vx，h的连续性和rx的连续性连续的∧d（y）zv（z，y）dz和RX∧由于（4.3）、（4.4）和（4.34），d（y）zvy（z，y）dz是有限的。因此，证明已完成。多亏了引理4.11和命题4.12，我们得到了V∈ C（O）∩ C（O）。作为这方面的一个副产品，在应用丁金公式的基础上，利用动态规划原理和标准方法，我们得到了下一个结果。提案4.13。回想一下（4.20）中定义的二阶微分算子。

P问题（P3）的值函数V是HJB方程的经典解L- ρV（x，y）+h（x），1- Vx（x，y）= 0，（x，y）∈ O、 对于任意y，边界条件V（0，y）=0∈ [0, 1].承认Claudia Ceci的研究得到了“意大利国家材料研究所”（INd-AM）的“Gruppo Nazionale per l\'Analisi Matematica，LAPROBILIT\'a e le loro Applicazioni”（GNAMPA）的部分支持。乔治·法拉利感谢德国研究基金会（DFG）通过1283合作研究中心提供的财政支持。我们要感谢卢西亚诺·坎皮、蒂齐亚诺·德·安格利斯、保拉·曼努奇、法比奥·帕罗内托、帕沃·萨尔米宁和沃尔夫冈·隆加尔迪埃进行了有益的讨论。附录A.过滤结果命题3.5的证明。由于创新过程（I，I）（见（3.3））和随机测度m（dt，dq）（见（3.6）和（3.8））是H自适应的，那么∨ 金融机构∨ Fm公司 H、 一般来说，后一个结论可能是严格的。现在让我们考虑指数F鞅解（A.1）dLt=-Ltnβ（Zt）σdWt+α（ηt，Zt）dBto，t≥ 0，并定义概率度量Q(Ohm, F） ，相当于Ft上的P，以及dqdpFt=Lt，t≥ 注意，假设（3.1）确保L确实是F鞅。根据Girsanov定理，过程（A.2）fWt：=Wt+Ztβ（Zs）σds，eBt：=Bt+Ztα（ηs，Zs）ds，t≥ 0是（Q，F）-独立的布朗运动。我们现在证明FfW∨2月∨Fm=H。另一方面，包括FfW∨2月∨Fm公司 H源于fw和b被证明是H适应的，因为它们可以写成（A.3）fWt=It+Ztπs（β）σds，eBt：=It+Ztπs（α（ηs，·））ds，t≥ 0.部分信息下的公共债务控制27为了证明相反，让我们观察到，在概率测度Q下，过程X和η求解以下随机微分方程dxt=XtσdfWt，X=X>0，（A.4）dηt=σ（ηt）dfWt+σ（ηt）债务+ZRqm（dt，dq），η=Q∈ 一、 分别为。显然Xis FfW已适应。

回顾（3.16），可以迭代构造方程（A.4）的解。更准确地说，t型∈ [0，T），过程ηsolvesdηT=σ（ηT）dfWt+σ（ηT）债务，η=q∈ 一、 在两个连续跳跃时间之间的任何时间，即t∈ [总氮，总氮+1），n≥ 1，一个hasdηt=σ（ηt）dfWt+σ（ηt）债务，ηTn=ηTn-+ ζn.根据假设2.1，该序列随机微分方程在任何区间[Tn，Tn+1]上都有唯一的强解，这反过来又给出了唯一的强解η到（a.4）。此外，η被证明是FfW∨ 2月∨ 调频调整。然后，通过应用文献[30]中的推论III.4.3.1，我们得到了每个（Q，H）-局部鞅fM都包含分解fmt=fM+ZteДsdfWs+ZteψsdeBs+ZtZRew（s，Q）mπ（dt，dq），其中eД和ψ是H适应过程，ew是由R索引的H可预测过程，因此对于所有t≥ 0ZteДsds<∞,中兴通讯ψsds<∞,ZtZR | ew（s，q）| mp，H（dt，dq）<∞ Q- a、 设M为a（P，H）-局部鞅，thenfM：=MeL-1是a（Q，H）-局部马丁盖尔，其中ELT：=E[Lt | Ht]=dQdPHt，t≥ 0.考虑到（A.3），我们有thateL solvesdeLt=-英语教学πt（β）σdIt+πt（α（ηt，·））dIt,eL=1，通过将乘积公式应用于M=fMeL，我们很容易得到thatdMt=fMt-deLt+eLtdfMt+dhfMc，eLcit=（eLte^1t- Mtπt（β）σ）dIt+（eLteψt- Mtπt（α（ηt，·）））dIt+ZRew（t，q）eLtmπ（dt，dq）。综上所述，我们只需设置Дt：=eLteДt-Mtπt（β）σ，ψt：=eLteψt- Mtπt（α（ηt，·）），w（t，q）：=ew（t，q）eLt。理论证明3.6。为了推导由πt=（πt（i）求解的滤波方程；我∈ S） t型≥0，我们采用创新方法（例如，参见[4]第四章）。

在这个证明中，我们将使用两个众所周知的事实：（i）对于每个F-鞅m，H上的投影是一个H-鞅；也就是说，^mt:=E[mt|Ht]，t≥ 0，是H-鞅；（ii）对于任何F-逐步可测可积过程ψ，我们有ZtψsdsHt公司-中兴通讯ψsHs公司Ds是一个H鞅。28 CALLEGARO，CECI，FERRA Rit创新方法的第一步在于编写过程1{Zt=i}，i∈ S、 作为半鞅。用状态过程Z的马尔可夫产生器表示，我们得到了lzfi（j）=Xk∈Sλkifk（j），i，j∈ S、 其中fk（j）=1{j=k}。因此，对于任何i∈ S、 我们可以写{Zt=i}=fi（Zt）=fi（Z）+ZtLZfi（Zs）ds+mt（i），其中（mt（i））t≥0是F-鞅。通过取关于Ht的条件期望，并使用上述（i）和（ii），我们得到（A.5）πt（i）=yi+ZtXk∈SλkiπS（k）ds+Mt（i），其中M（i）是零的H-鞅null。命题3.5确保了过程ψ（i）和Д（i）的存在，它们是H可预测的，wi是H可预测的，并由R索引，这样（A.6）Mt（i）=Ztψs（i）dIs+ZtДs（i）dIs+ZtZRwi（s，q）mπ（ds，dq），e[Rtνs（i）ds]<∞, E[Rtψs（i）ds]<∞ 和E[RtRR | wi（s，q）| mp，H（dt，dq）]<∞, t型≥ 要得到方程（3.14），只需证明ψs（i）=πs（i）σ-1nβi-QXj=1βjπs（j）o，Дs（i）=πs（i）nα（ηs，i）-QXj=1α（ηs，j）πs（j）owi（s，q）=wπi（s，q）- πs- （i） wπigiven in（3.15）。遵循文献[11]中定理3.1的证明，我们可以通过施加以下等式来推导过程ψ（i），Д（i）的结构我∈ S、 E[fi（Zt）fWt | Ht]=πt（i）fWt，E[fi（Zt）eBt | Ht]=πt（i）eBt，其中fw和b是（A.2）中定义的H-布朗运动。为了推导wi的表达式，我们考虑一个形式为Γt=RtRRγ（s，q）m（ds，dq）的有界过程Γ，γH-可预测过程由R索引。由于Γ是H-适应的，等式（a.7）我∈ S、 E[fi（Zt）t | Ht]=πt（i）方法。

通过应用乘积规则（考虑到Z和N之间没有公共跳跃），我们得到（fi（Zt）Γt）=fi（Zt- )dΓt+Γt- dfi（Zt）=Γt- LZfi（Zt）dt+ZRfi（Zt- )γ（t，q）mp，F（dt，dq）+MFt，其中mp，F（dt，dq）是（3.12）中给出的m（dt，dq）的F-对偶可预测投影，MFis anF鞅。通过对Ht的投影，并用MHan H-鞅表示，我们得到了（A.8）dE[fi（Zt）t | Ht]=Γtπt（LZfi）dt+λN（i）πt-（i） γ（t，c（ηt-, i） ）1{c（ηt-,i） 6=0}dt+MHt。另一方面，乘积法则和（A.5）和（A.6）屈服强度d（πt（i）Γt）=πt- （i） dΓt+Γt- dπt（i）+dhπ（i），Γit=Γtπt（LZfi）dt+Γt- dMt（i）+ZRγ（t，q）wi（t，q）m（dt，dq）。回顾mp，H（dt，dq）是（3.11）中给出的m（dt，dq）的H-对偶可预测投影，我们发现（A.9）d（πt（i）Γt）=Γtπt（LZfi）dt+ZRγ（t，q）wi（t，q）mp，H（dt，dq）+MHt，其中，MHt也是H-鞅。公共债务控制在部分信息29收集方程（A.7）、（A.8）和（A.9）下，我们得到了A.e.t的That≥ 0λN（i）πt- （i） γ（t，c（ηt- , i） ）1{c（ηt-,i） 6=0}=QXj=1πt- （j） λN（j）γ（t，c（ηt- , j） ）1{c（ηt-,j） 6=0}（πt- （i） +wi（t，c（ηt- , j） ））。现在选择γ（t，q）的形式γ（t，q）=CtA（q）1t≤Tn，C，任意有界，H-可预测，正过程和da∈ B（R）。观察Γ自| t |起有界≤Rt公司∧TnCsdNs≤ Dn，Da为正常数。那么以下等式适用于{t≤ Tn} ∈ B（R），ZAνt（i，dq）=ZA（πt- （i） +wi（t，q））νt（dq），其中我们设置了νt（i，dq）：=λN（i）πt- （i） 1{c（ηt-,i） 6=0}δc（ηt-,i） （dq），νt（dq）：=QXi=1νt（i，dq）。因此，在{t≤ Tn}，wπi（t，q）=wi（t，q）- πt- （i） =dνt（i，dq）νt（dq），我∈ S、 最后，由于计数过程N是非爆炸的，因此Tn↑ ∞ a、 s代表n↑ ∞, 这个结果是（3.15）。命题证明3.10。根据命题3.7，方程（3.14）和（3.21）等价于连续跳跃时间之间递归方程的系统，即t∈ [总氮，总氮+1），n=0，1。

.πt（i）=πTn（i）+ZtTnbπ（πs，ηs，i）ds+ZtTnσπ（πs，i）dIs+ZtTnσπ（πs，i）dIs，i∈ S、 ηt=ηTn+ZtTnbη（πS，ηS）ds+ZtTnσ（ηS）dIs+ZtTnσ（ηS）dIs，其中我们有setbπ（y，q，i）：=QXj=1λjiyj- yihλN（i）1{c（q，i）6=0}-QXj=1λN（j）yj{c（q，j）6=0}i，bη（y，q）：=QXj=1yjb（q，j），σπ（y，i）：=σ-1yinβi-QXj=1βjyjo，σπ（y，i）：=阴α（q，i）-QXj=1α（q，j）yjo，时间Tn的更新由（A.10）πTn（i）=λN（i）πT给出-n（i）1{ζn=c（ηT-n、 i）}PQj=1λn（j）πT-n（j）1{ζn=c（ηT-n、 j）}，i∈ S、 ηTn=ηT-n+ζn。回想一下，根据假设，（3.4）中给出的函数α（q，i）是关于q的局部Lipschitz，并且满足关于q的（全局）超线性增长条件∈ 一、 在I中均匀∈ S、 现在，我们在与跳跃振幅c相关的三种不同情况中，发展了d istin gu ishing的唯一性证明；即c 6=0、c=0和c∈ R、 在c 6=0的情况下，我们得到bπ（y，q，i）：=PQj=1λjiyj-yihλN（i）-PQj=1λN（j）yji，并且很容易验证在两个连续的跳跃时间之间，对（π，η）解出一个（Q+1）维随机微分方程，系数满足局部Lipschitz条件和（全局）关于（y，Q）的次线性增长条件∈ Y×R，在i中均匀∈ S、 因此，StrongUnique在两个连续的跳转时间之间保持不变；i、 e.对于t∈ [总氮-1，Tn），n=1。此外，由于跳跃时间Tn（见（A.10））的更新取决于t的过程（πt，ηt∈ [总氮-1，Tn），我们对系统（3.14）和（3.21）的解具有很强的唯一性≥ 在c=0的情况下，方程（3.14）和（3.21）redu ce todπt（i）=bπ（πt，ηt，i）dt+σπ（πt，i）dIt+σπ（πt，i）dIt，i∈ S、 t型≥ 0,30 CALLEGARO，CECI，FERRA RIdηt=bη（πt，ηt）dt+σ（ηt）dIt+σ（ηt）dIt，t≥ 0，其中，bπ（y，q，i）=PQj=1λjiyj。

很容易检查，在这种情况下，系数的局部Lipschitz性质及其（全局）次线性增长条件也遵循强唯一性。在案例c中∈ R跳跃的振幅可以假定任何可能的实际值。特别是，c可以使η和N不仅仅有共同的跳跃：N可能在c（ηt）的某个时间跳跃-, Zt公司-) = 0，因此η此时不会跳跃。这种情况的处理更为微妙，应单独进行。事实上，由于系数bπ中存在1{c（q，i）6=0}，这阻止了bπ相对于q的Lipschitz连续性，因此无法通过使用前两种情况中使用的参数来证明唯一性。然而，可以通过依赖与三元组（Z，X，η）的微元生成器相关的过滤鞅问题来证明唯一性。我们参考了开创性的论文【36】，以及最近的定理3.3和附录B【11】。参考文献[1]Aronson，D.G.（1967）。抛物方程基本解的界。公牛美国。数学Soc。73（6）第890–896页。[2] Baldursson，F.M.，Karatzas，I.（1997）。不可逆投资与产业均衡。金融斯托克。1便士。69–89.[3] Borodin，A.N.，Salminen，P.（2015年）。罗恩运动手册-事实和公式（第二版）。Birkh–auser。[4] Br’emaud，P.（1980年）。点过程和队列：鞅动力学。Springer Verlag。[5] Cadenilas，A.，Huam\'an Aguilar，R.（2016）。最优ZF债务上限的显式公式。安。操作。第247（2）号决议，第415–449页。[6] Cadenilas，A.，Huam\'an Aguilar，R.（2018年）。未能达到最佳ZF债务上限。即将推出的风险。[7] Ceci，C.，Gerardi，A.（1998年）。具有计数观测的马尔可夫跳跃过程的部分观测控制：与分离问题等价。斯托赫。过程应用程序。78，第245-260页。[8] Ceci，C.，Gerardi，A。

(2000). 具有计数观测值的马尔可夫跳跃过程的滤波。应用程序。数学Optim公司。42（1），第1-18页。[9] Ceci，C.，Gerardi，A.（2006年）。包含部分信息的高频数据模型：滤波方法。Int.J.理论应用。财务9（4），pp。1–22.[10] C eci，C.（2012年）。JumpMarket模型在限制信息下具有中间消费的效用最大化。Int.J.理论应用。《金融学》15（6）第1-34页。[11] C eci，C.，Colaneri，K.（2012年）。跳跃扩散观测的非线性滤波。高级应用程序。概率。44（3），第678–701页。[12] C eci，C.，科拉内里，K.（2014）。跳跃扩散观测的非线性滤波Zakai方程：存在性和唯一性。应用程序。数学Optim公司。69（1），第47-82页。[13] C hristensen，S.、Crocce，F.、Mordecki，E.、Salminen，P.（2018）。关于多维函数的最优停止。ArXiv:1611.00959。Stoch即将推出。过程应用程序。[14] De A ngelis，T.（2018年）。最优分割以部分信息结束，并停止退化反射扩散。ArXiv:1805.12035。[15] De Angelis，T.、Federico，S.、Ferrari，G.（2017）。具有随机成本的不可逆投资的最优边界面。数学操作。第42（4）号决议，第1135-1161页。[16] De Angelis，T.，Ge Nsbitel，S.，Villeneu ve，S.（2017）。关于回报信息不完整的资产的动态博弈。Arxiv:1705.07352。[17] De Angelis，T.，Peskir，G.（2018年）。最优停止问题中值函数的全局CRegularity。ArXiv:1812.04564。[18] Dynkin，E.B.（1965年）。马尔可夫过程，第二卷。斯普林格。[19] D’ecamps，J.P.，V illeneuve，S.（2015年）。整合盈利前景和现金管理。TSE工作文件，编号15-570。[20] Elliott，R.J.，Aggoun，L.，M oore J.B.（1995年）。隐马尔可夫模型：估计与控制，斯普林格。[21]El Karoui，N.，Huu Nguyen，D.，Jeanblanc Picqu\'e，M.（1988）。

部分观测下最优控制马尔可夫滤波器的存在性。暹罗J.控制优化。26（5）页。1025–1061.【22】欧洲中央银行（2013年）。高政府债务的增长效应。2013年3月月报，第82-84页。【23】Ferrari，G.（2018年）。公共债务的最优管理：一个奇异的随机控制问题。西亚姆杰。控制Optim。56（3）第2036-2073页。【24】Ferrari，G.，Rodosthenous，N.（2018）。制度转换利率下债务与GDP比率的优化管理。ArXiv:1808.01499。部分信息下的公共债务控制31【25】Frey，R.，Schimdt，T.（2012）——通过非线性过滤的创新方法对信用衍生品进行定价和对冲。金融斯托克。16，第105-133页。【26】Gihman，I.J.，Skorohod，A.V.（1972年）。随机微分方程。Springer Verlag。[27]Gilbarg，D.，Truding er，N.S.（2001）。二阶椭圆型偏微分方程。斯普林格。[28]H amilton，J.D.（1989）。非平稳时间序列和经济周期经济分析的一种新方法。《计量经济学》第57（2）页。357–384.[29]Jacod，J.（1979）。计算随机性和鞅问题。Springer Verlag。[30]Jacod，J.，Shiryaev，A.N.（2003）。随机过程的极限定理。Springer Verlag，柏林海德堡。[31]Johnson，P.，Peskir，G.（2017）。贝塞尔过程的最快检测问题。安。应用程序。概率。27（2）第1003–1056页。[32]Kallianpur，G.（1980）。随机滤波理论。Springer Verlag。【33】Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1991）。布朗运动与随机微积分（第二版）。纽约州斯普林格市数学113号研究生文本。[34]Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1998）。数学金融方法。数学应用（纽约），39。Springer Verlag，纽约。[35]Kliemann，W.H.，Koch，G.，Marchetti F.（1990）。

关于计数过程观测值的滤波问题的非正规化解。IEEE信息论学报36，第1415-1425页。[36]Kurtz，T.G.，Ocone，D.（1988）。非线性滤波中条件分布的唯一特征。安。概率。16（1），第80–107页。[37]Liptser，R.，Shiryaev，A.N.（2001）。随机过程的统计。一、 一般理论。斯普林格·维拉格（Springer Verlag），柏林·海德堡（BerlinHeidelberg）。[38]Menaldi，J.L.，Robin，M.（1983）。关于部分信息的最优校正问题。斯托赫。肛门。应用程序。3（1），第63-92页。【39】Oksendal，B.，Sulem，A.（2012年）。具有It^o-L'evy过程部分信息的奇异随机控制和最优停止。暹罗J.控制优化。50（4），第2254-2287页。[40]Peskir，G.，Shiryaev，A.N.（2006）。最优停止和自由边界问题。Birkhauser的MathematicsETH讲座。[41]Peskir，G.（2018）。二维张力差最佳停止边界的连续性。第4号研究报告（2015），Probab。统计学家。曼彻斯特集团。即将在Ann上发布。应用程序。概率。[42]Protter，P.（2004）。随机积分和微分方程。Sprin ger Verlag，柏林海德堡。【43】Revuz，D。，Yor，M.（1999年）。连续鞅与布朗运动。斯普林格·维拉格，柏林。【44】Stock J.H.，Watson，M.W.（2003）。在2001年经济衰退期间，领先指标预测的表现如何？里士满联邦储备银行《经济季刊》89（3）第71–90页。[45]Woo，J.，Kumar，M.S.（2015）。公共债务和增长。《经济学》82（328）第705-739页。[46]Zakai，M.（1969）。关于扩散过程的最佳过滤。Z、 Wahrscheinlichkeitstoro。Verw公司。Geb。11（3），第230–243页。G、 Callegaro：数学系“Tullio Levi Civita”，帕多瓦大学，Via Trieste，35121 Padova，Italy电子邮件地址：gcallega@math.unipd.itC.Ceci：G大学经济系。

基耶蒂·佩斯卡拉的D\'annunzio”，Viale Pindaro 42，I-65127佩斯卡拉，意大利邮箱：claudia。ceci@unich.itG.法拉利：比勒费尔德大学数学经济学中心（IMW），Universit–atsstrasse25，33615 Bielefeld，Germanye邮箱：giorgio。ferrari@uni-比勒费尔德。判定元件