因此，我们剩下五个案例，我们必须考虑案例2β=2,3，。。。ndcase 2β=1 ndcase 2β=0（55）thcase 2β=-1情况2β=-2.-3.在每一种情况下，K-ovacic算法的实现绝不是微不足道的，它提出了自己的问题和挑战。我们在此详细介绍了Kovacic算法在Firstcase中的应用，并报告了所有其他情况下的结果。详细说明科瓦西奇算法在所有情况下的应用将使我们走得更远。Kovacic算法在其他四种情况下的详细应用将从别处开始【66】。8.1当2β=2,3，…时Kovacic算法的应用，。。。我们将科瓦西奇算法应用于方程（53）dCdS=νC。我们注意到，在附录中，我们只给出了科瓦西奇算法的一部分。这是将Kovacic算法应用于2β=2，3，…，情况所必需的部分。。。。关于本文中使用的Kovacic算法的完整版本，请参见【60】。输入：根据方程式（54），我们得到ν=（q- r） +α（（2β- 1） （q）- r） +2λ）S2βαS2+4β≡s（s）t（s）。ν的部分分数展开式是下面的ν（S）=q-rαS2+4β+（2β-1） （q）-r） +2λαS2+2β。（56）第一步：1a。从方程（54）中，我们得到（S）=S2+4β。因此，m=2+4βΓ′={0}，Γ={0，∞} （57）o（0）=2+4βdos=2βdot=2+4β（58）o(∞) = 最大值（0，4+2β-2.- 4β）=最大值（0，2- 2β）=0（59）m+=最大值（m，o(∞)) = 最大值（2+4β，0）=2+4βΓ={∞} (60)Γ2+4β= {0}. （61）1b。方程式（57）给出γ=0和γ=γ=0。（62）1c。方程（59）和（62）内隐式={1}。（63）1d。n=1。（64）第二步：2a。∞ ∈ Γ和Consequence E∞= h（n）{0，1，…，n}=h（1）{0，1}。因此∞= {0, 1}. （65）2b。我们有n=1（方程式（64）），0∈ Γ2（1+2β）（方程式（61）），q=1+2β>2，因为2β=2，3。方程式（128）给出√ν=aS1+2β+Xi=2βui，0Si。（66）从方程（56）和（88）中，通过使用确定的系数，我们得到=q- rα, (67)u2β,0= u2β-1,0= u2β-2,0= ... = u2,0= 0.

（68）因此，a有两种可能性，一种是另一种的负数，可以选择其中任何一种。我们选择SEA=q- rα。（69）方程式（129）得出ν-√ν=bS2+2β+OS1+2β. （70）方程式（56）、（67）、（68）和（70）implyb=（2β- 1） （q）- r） +2λα。（71）根据评估（69）和（71），我们有=q+ba|  = +=2β+λq- r、 1个-λq- r. （72）从等式（131）可以看出，函数“Sign”S与域Eis定义如下2β+λq- r= 1，S1.-λq- r= - 1.（73）第三步：3a。对于每个系列e=（ec）c∈元素ec的Γ∈ 我们计算相应透视多项式p的阶数d（e）。这些集合由方程（65）和（72）表示。ee公司∞d=1-Xc公司∈ΓecFamilies1-λq-rλq-rF11-λq-r1级-1+λq-rF22β+λq-r0 1- 2β -λq-rF32β+λq-r1级-2β -λq-RF4在最后一列中，我们列举了不同的家族。3b。如果d是非-n负整数n，应保留该族，否则将丢弃该族。这使得族F1、F2、F3和F4中的λ成为q、r、β和n的函数。族λF1λ=n（q- r）（74）F2λ=（n+1）（q- r）（75）F3λ=-（2β+氮- 1） （q）- r） （76）F3λ=-（2β+n）（q- r）（77）3c。对于步骤3b中保留的每个族，我们形成由方程（133）给出的有理函数θ。从方程（60）、（61）和（64）中，我们分别得到了Γ={∞}, Γ2+4β={0}，且n=1，等式（133）表示θ=eS+S（e）√ν, （78）其中Ec表示Ec的任何元素，S（e）由等式（73）和[√ν] 由方程式（88）、（67）和（68）给出。通过使用方程（78）f或每个保留族，我们得到θ族1-λq-卢比-q-rαS1+2βF1（79）1-λq-卢比-q-rαS1+2βF2（80）2β+λq-rS+q-rαS1+2βF3（81）2β+λq-rS+q-rαS1+2βF4（82）θ的函数形式在族F1和F2（方程（79）和（80））以及族F3和F4（方程（81）和（82））中是相同的。

然而，函数θ在族F1和F2以及族F3和F4中都不同，因为λ在所有族F1、F2、F3和F4中都不同（方程（74）、（75）、（76）和（77））。第四步-输出：对于n=1方程（134），implyP=- P、 （83）P=P′+θP，（84）和P-1=0=P′+2θP′+（θ+θ′）- ν） P.（85）结合方程式（46）、（83）和（84）得出ω=P′P+θ。（86）对于每个保留族，即对于每个族F1、F2、F3和F4，我们搜索d次多项式P（如步骤3a中所定义），以满足方程（85）。如果找到这样的多项式P，则ω由方程（86）给出，函数η=C=eRωdr=eR（P′P+θ）dr=PeRθdr（87）是方程（53）的Liouvillian解。然后，从属变量（52）C=e的变化-R2（r-q） αS2β+1dsc为CEV ODE（51）提供了一个Liouvillian溶液。Kovacic算法第四步的应用，当2β=2，3。。。，详见第9节。现在，当n=1.9类初等函数解的一半时，可以认为该算法是完整的-每个定义族的β的整数值，即。

对于F1、F2、F3和F4族中的每一个，我们搜索d次多项式解P，如步骤3a中所定义，例如方程（85）P′+2θP′+（θ+θ′）- ν） 满足P=0。f函数ν由方程（54）ν=（q）给出- r） +α（（2β- 1） （q）- r） +2λ）S2βαS2+4β。假设四个族F1、F2、F3和d F4中的λ分别由方程（74）、（75）、（76）和（77）给出，则四个族中的函数ν为ν族q-rαS2+4β+（2（β+n）-1） （q）-r） αS2+2βF1（88）q-rαS2+4β+（2（β+n）+1）（q-r） αS2+2βF2（89）q-rαS2+4β-（2（β+n）-1） （q）-r） αS2+2βF3（90）q-rαS2+4β-（2（β+n）+1）（q-r） αS2+2βF4（91），四个族中的f函数θ读取θ族1- nS系列-q-rαS1+2βF1（92）-nS系列-q-rαS1+2βF2（93）1- nS+q-rαS1+2βF3（94）-nS+q-rαS1+2βF4（95），其中n是非-n负整数。函数ν分别由方程（88）、（89）、（90）和（91）在四个族F1、F2、F3和F4中给出，函数θ分别由方程（92）、（93）、（94）和（95）在四个族F1、F2、F3和F4中给出，方程（85）在四个族F1、F2、F3和F4中读取sp′+21- nS系列-q-rαS1+2β！P′+n（n- 1） SP=0 F1（96）P′′+2-nS系列-q-rαS1+2β！P′+n（n+1）SP=0 F2（97）P′+21- nS+q-rαS1+2β！P′+n（n- 1） SP=0 F3（98）P′’+2-nS+q-rαS1+2β！P′+n（n+1）SP=0 F4（99）我们搜索n次多项式解P，其中n是非-负积分方程，方程（96）、（97）、（98）和（99）。此时回顾以下定义是合适的：函数f（e，q；u）=∞Xk=0（e）k（q）kukk！，（100）其中symbol（w）k是麻袋锤的符号，由（w）k=w（w+1）定义。。。（w+k- 1） ，（101）被称为第一类反超几何函数或第一类Kummer函数。当e=-m、 我是非-负整数F（e，q；u）经过处理，并化简为多项式Pm（u）=F(-m、 q；u） 华氏度(-m、 q；u） =1-mqu+m（m- 1） q（q+1）u2！+。。。

+(-1） 嗯！q（q+1）。。。（q+m- 1） 嗯！。（102）我们很容易发现-等式（96）、（97）、（98）和（99）的维解空间分别由以下四对函数跨越：stpairstpairstpairstpairf（S）=SnF-n2β，1-2β;r- qaβS2β（103）f（S）=Sn-1F层-n- 12β, 1 +2β;r- qaβS2β（104）我们注意到，当n是2β的倍数时，f（S）截断，并成为n次的非多项式，而f（S）截断wh en n-1是2β的倍数，β=1，，2。。。，它变成n次多项式- 1、f（S）和f（S）跨越方程（96）的解空间。NDPAIRNDPAIRF（S）=SnF-n2β，1+2β；r- qaβS2β（105）f（S）=Sn+1F-n+12β，1-2β;r- qaβS2β（106）我们注意到，当n是2β的倍数并变为n次多项式时，f（S）截断，当n+1是2β的倍数时，f（S）截断，β=1，，2。。。，它变成n+1次多项式。f（S）和f（S）跨越方程（97）的解空间。NDPAIRNDPAIRF（S）=SnF-n2β，1-2β;q- raβS2β（107）f（S）=Sn-1F层-n- 12β, 1 +2β;q- raβS2β（108）我们注意到，当n是2β的倍数时，f（S）截断，并成为n次的非多项式，而f（S）截断wh en n-1是2β的倍数，β=1，，2。。。，它变成n次多项式- 1、f（S）和f（S）跨越方程（98）的解空间。thpairthpairthpairf（S）=SnF-n2β，1+2β；q- raβS2β（109）f（S）=Sn+1F-n+12β，1-2β;q- raβS2β（110）我们注意到，当n是2β的倍数并变为n次多项式时，f（S）截断，当n+1是2β的倍数时，f（S）截断，β=1，，2。。。，它变成n+1次多项式。f（S）和f（S）跨越方程（99）的解空间。因此，我们可以得到方程（96）、（97）、（98）和（99）的多项式解，每个方程有两个多项式解，前提是n，n-1或n+1是2β的倍数，取决于所考虑的家族。

事实上，在这种情况下，每个fi（S），i=1，2。。。，8表示多项式族。例如，对于集合{2β，4β，6β，…}中的每个n值，f（S）截断为n次多项式，β = 1,, 2,, ... . 此后，当我们参考fi时，i=1，2。。。，8，我们指的是相关的非整数多项式族。由于我们寻找方程（96）、（97）、（98）和（99）的n次多项式解，我们得出结论，我们必须考虑四个族，即族f（S）、f（S）、f（S）和f（S）。通过组合方程（26）、（29）、（52）、（74）、（75）、（76）、（77）和（87），我们得到方程（96）、（97）、（98）和（99）的多项式解f（S）、f（S）、f（S）和f（S）的四个族分别产生CEV PDE（25）stclassstclasss1，n（S）=SF的以下四类初等函数解-n2β，1-2β;r- qaβS2βe-n（q-r）t，（111），其中n是2β的倍数，β=1，，2。第一类来自方程式（103）给出的多项式f（S）族。我们很容易检查，对于n=0，我们也得到了C EV PDE（25）的初等函数解。ndclassndclassndclassS2，n（S）=F-n2β，1+2β；r- qaβS2βe-（n+1）（q-r） t，（112），其中n是2β的倍数，β=1，，2。第二类由方程（105）给出的多项式f（S）族产生。我们很容易检查f或n=0，我们也得到了CE VPDE的基本函数解（25）。ndclassndclassndclassS3，n（S）=er-qaβS2βSF-n2β，1-2β;q- raβS2βe（2β+n-1） （q）-r）t，（113），其中n是2β的倍数，β=1，，2。第三类来自方程式（107）给出的多项式f（S）族。我们很容易检查，对于n=0，我们也得到了C EV PDE（25）的初等函数解。thclassthclassthclassS4，n（S）=er-qaβS2βF-n2β，1+2β；q- raβS2βe（2β+n）（q-r）t，（114），其中n是2β的倍数，β=1，，2。

第四类来自方程式（109）给出的多项式f（S）族。我们很容易检查，对于n=0，我们也得到了C EV PDE（25）的初等函数解。这就完成了当2β=1，2，3，…，时问题的考虑。有四种情况需要考虑2β=1，2β=0，2β=-1和2β=-2.-3.（方程式（55））。科瓦西奇算法在每一种情况下的实现都绝不是微不足道的，它带来了自己的问题和挑战【66】。以下定理总结了所有情况下的结果。定理2 CEV PDE（方程式（25））五、t+αS2β+2五、S+（r- q） S五、S- （r）- q） V=0,1。当β=。。。，-, -2.-, -1, 1,, 2,, ... 允许以下四类初等函数解1，n（S）=S f-n2β，1-2β;r- qaβS2βe-n（q-r）t，S2，n（S）=F-n2β，1+2β；r- qaβS2βe-（n+1）（q-r） t，S3，n（S）=er-qaβS2βS F-n2β，1-2β;q- raβS2βe（2β+n-1） （q）-r）t，S4，n（S）=er-qaβS2βF-n2β，1+2β；q- raβS2βe（2β+n）（q-r）t，其中n=0，或n是2β，2的任意倍数。当β=允许类S2、n（S）和S4、n（S），其中n=0，或nis任何正整数，3。当β=-允许类S1，n（S）和S3，n（S），其中n=0，orn是任何负整数，4。当β=0时，允许初等函数解-λtgSξ+ζ2σ+hSξ-ζ2σ,式中，ξ=σ- 2（右- q） ，ζ=p（σ- 2（右- q） ）+8σ（r- q+λ）和g、h和λ是任意实数（方程（39）、（41））。由于CEV PDE是线性的，定理2的直接推论是以下推论1 CEV PDE（方程式（25））五、t+αS2β+2五、S+（r- q） S五、S- （r）- q） V=0,1。当β=。。。，-, -2.-, -1, 1,, 2,, ... 允许以下基本函数解f（S）=qXk=1mkS1，uk（S）+rXk=1zkS2，ζk（S）+tXk=1wkS3，ωk（S）+jXk=1dkS4，δk（S），（115），其中q，r，t，j是任何正整数，等于或大于1，mk，zk，wk和dks2是任意实数，而uk，ζk，ωk，ω和δkare是2β或0,2的任意倍数。

当β=允许以下初等函数解f（S）=gXk=1ekS2，εk（S）+hXk=1ykS4，Дk（S），（116）其中g和h是任何正整数，等于或大于1，ek和yk是任意实数，εkandνkare是任何正整数或0,3。当β=-允许以下初等函数解f（S）=cXk=1pkS1，πk（S）+lXk=1rkS3，k（S），（117），其中c和l是任何正整数，等于或大于1，pk和rk是任意实数，和，πkandkare任意负整数或0。以下三点说明是关于CEV模型的基本函数解的导出类。方程（111）给出的类S1，n（S）隐式包含在方程（31）给出的解C（S）中，方程（112）给出的类S2，n（S）隐式包含在方程（32）给出的解C（S）中，而方程（113）和（114）分别给出的类S3，n（S）和S4，n（S）不包含在解C（S）和C（S）中。当β=0时，CEV ODE的通解为Liouvillian（方程（39），（41））。因此，毫不奇怪，在这种情况下，科瓦西奇的萨尔戈里思给出了两个L-iouvillian解Sξ+ζ2σ和Sξ-ζ2σ，跨越CEV ODE的解空间。众所周知（方程式（43）），对于CEV ODE（方程式（27））的每个Liouvillian解f（S）），αS2β+2dCdS+（r- q） SDCD- （r）- q+λ）C=0这里是第二个Liouvillian解L（S）=f（S）Re-R2（r-q） αS2β+1dSf（S）dSto CEV ODE，这也会产生（方程式（26））解l（S）=f（S）Re-R2（r-q） αS2β+1dSf（S）dSe-λtto CEV PDE（方程式（25））五、t+αS2β+2五、S+（r- q） S五、S- （r）- q） V=0。在所有情况下，积分-R2（r-q） αS2β+1dSf（S）dS是非初等的，只能用Tay-lor级数来计算，也可以用诸如Simson规则或高斯规则之类的求积规则来计算。

因此，需要某种近似方案，以便从解决方案L（S）中提取信息，以便对所描述的金融工具进行定价。因此，我们不将解L（S）包含在本文推导的CEV模型的初等函数解类中。10结论和未来发展任何金融模型的分析可跟踪性都是一个重要特征。闭的存在性-form solution可帮助金融工具定价和根据市场数据校准模型。这也有助于验证模型假设，检查其渐近行为并解释因果关系。事实上，在数学金融中，提出了许多模型，首先是基于它们的可处理性，然后才提出另一个论点。如果真实的资产价格过程是具有恒定波动性的几何布朗运动，那么BSM PDE可以通过将标准期权的模型价格与其市场价格（隐含波动性）相等来发现这种波动性。从经验上看，我们发现，根据不同行使价格的期权的市场价格计算得出的隐含波动率不是常数，而是随行使价格而变化。这种变化在广泛的市场和基础资产中都可以观察到，根据其形状被称为隐含波动率微笑或fr-own。BSM模型具有恒定波动性的对数正态假设没有捕捉到这种影响。CEV模型能够产生经验数据中观察到的波动率微笑。我们针对CE V模型的基本函数解决方案可以快速准确地计算各种金融工具在经济价值过程中的价格。

此外，它们还将进一步促进CEV模型作为各类金融工具定价基准的使用。在未来的研究中，我们将研究CEVPDE的Lie点对称性，并将使用本文推导的EV-PDE的初等函数解类，以获得eCEV模型在初等函数方面的更多解。他们所描述的金融工具的研究将有助于在所有情况下使用CEVdi函数进行交易。附录注释。设Lmax={1，2，4，6，12}，并设h为仅定义的函数maxbyh（1）=1，h（2）=4，h（4）=h（6）=h（12）=12。（118）输入：有理函数ν（x）=s（x）t（x）（方程式（49））。多项式s，t∈ C[x]应该是相对素数。所考虑的微分方程是z′- νz=0（方程式（47））。第一步：ω的可能度数集L。我们对方程（47）感兴趣，其中ν（x）由（49）给出。1a。如果t（x）=1，则设置m=0。否则，分解t（x）t=ttt。。。tmm（119），其中ti，i=1，2。。。，m、 都是相对素数，二乘二，每个数都等于一或有简单的零。设Γ′={c∈ C，t（C）=0}和Γ=Γ′∪ {∞}, （120）其中∪ 表示集合-理论结合。将订单与所有c的Γ：o（c）=i（121）元素关联∈ Γ′，其中i是ti（c）=0，ando(∞) = 最大（0，4+dos- dot）。Letm+=最大值（m，o(∞)). （122）对于0≤ 我≤ m+letΓi={c∈ Γ| o（c）=i}。（123）1b。如果m+≥ 2通过γ=|Γ|和γ=γ+|∪Γk |，k为奇数，d为3≤ k≤ m+（124），其中，如果S是一个集合，则| S |表示S的元素数。1c。构造L，Lmax的子集，如下s1所示∈ L<==> γ = γ, (125)2 ∈ L<==> γ ≥ 2和，（126）4、6和12∈ L<==> m级+≤ 2.（127）1d。如果L= 转到算法结束阶段。

另外，让n等于L的最小元素。第二步：与奇点相关的集合。集合Ec、c的构造∈ Γ.2a。I、f∞ ∈ Γ然后E∞= h（n）{0，1，…，n}。2b。当n=1时，对于每个c∈ Γ2qwith q≥ 2，计算两个“平方根”中的一个[√ν]cofν定义如下：如果c∈ C√νc=ac（x- c） q+Xi=q-1ui，c（x- c） i、（128）和ν-√νc=bc（x- c） q+1+O（十）- c） q, （129）如果| f（x）| O符号有其一般含义，则f（x）=O（g（x））≤ 对于某些正常数M，Mg（x）；假设g（x）为正。LetEc公司=q+bcac|  = +. （130）定义一个功能“符号”，其中域ECA跟随sSq+bcac=如果bc6=01，则为其他。方程式（128）中的（131）[√ν]cis涉及（x）的项之和-c）-ifor 2≤ 我≤ qin the Laurent系列√νat c.在实践中，人们不会为√ν、 而是决定[√ν] cby使用不确定系数，即通过等值([√ν] c）=ac（x- c）-q+uq-1，c（x- c）-（q）-1)+ ...+u2，c（x- c）-2.对于c处ν的Laurent级数展开的相应部分，有两种可能性[√ν] 一个是另一个的负数，可以选择其中的任何一个。在等式（129）中，ν表示c处的Laurent级数展开。该等式定义了bc。第三步：P的可能度数和θ的可能值。3a。对于每个系列e=（ec）c∈元素ec的Γ∈ 计算（e）=n-nh（n）Xc∈Γec（132）3b。保留D（e）的族e∈ N其中N是非- 负整数，如果没有保留任何族e，则进入算法继续阶段。3c。

对于步骤3b中得到的每个族，形成有理函数θ=nh（n）Xc∈Γ′ecx- c+δnXc∈ ∪Γ2qq≥ 2S（ec）√rc、 （133）其中δ是Kronecker s y mbol。第四步：初步计算P。搜索d次多项式P（如步骤3a中所定义），如pn=- P···Pi-1= - P′i- θPi- （n）- i） （i+1）νPi+1···P-1=0，（134），其中P′（x）d中的素数与自变量x不同。输出：输出1：如果找到这样一个多项式，并且ω是不可约代数方程的解nxi=0Pi（x）（k- i） 哦！ωi=0（方程（46）），其中有理函数Pi（x）在（134）中定义，那么函数η=eRω是在考虑z′′=νz（方程（47））的情况下方程的刘维尔解。如果没有找到步骤3b中保留的任何族的此类多项式，请转到算法继续阶段。续：如果n与L的最大元素不同，则将n等于L的下一个元素（按递增顺序），然后转至步骤2。输出2：方程z′′=νz没有Liouvilian解。参考文献[1]F.Black和M.Scholes，《期权合同的估价和市场效率的测试》《金融杂志》27 399417（1972）[2]F.Black和M.S choles，《期权定价和公司负债》《政治经济学杂志》81 637-654（1973）[3]R.C.Merton，《理性期权定价理论》，贝尔经济与管理科学杂志4 141-183（1973）[4]R.C.Merton，连续时间金融Blackwell（1990）[5]G.Marsaglia，评估统计软件的正态分布杂志11（2004）[6]J.Cox，期权定价注释I：方差的恒定弹性工作文件，斯坦福大学（1975）（重印于J.Portf.manage 22 15-17（1996））[7]J.Cox和S.R oss，《替代随机过程期权的估值》，《金融经济学杂志》3 145-166（1976）[8]哥伦比亚特区。

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