CEV模型的初等函数解类。我

2022-6-10 00:21:05

迄今为止，尚未系统地研究EV模型的类似简化解。我们使用Kovacic算法推导出-β的积分值，CEV或二元微分方程的所有“正交”解。这些解决方案通过分离变量，emelas@econ.uoa.grtoCEV偏微分方程的简单解。特别是，当β=。。。，-, -2.-, -1, 1,, 2,, ..., 当β=-和β=我们得到了两类可数有限元函数解，而当β=0时，我们得到了两类基本函数解。在衍生解决方案中，我们还通过做出一些关键假设，免除了BSM模型中的不必要假设，即标的资产在期权n.1引入期间不支付股息，大约45年前，Black和Scholes[1，2]，以及独立的Merton[3]（另见[4]），开发了金融期权定价中使用最广泛的模型（以下简称“BSMmodel”）。BSM模型指出，通过不断调整投资组合中股票和期权的比例，投资者可以创建一个无风险的对冲投资组合，消除所有市场风险。他们被带到一个PDE，黑色-斯科尔斯-默顿偏微分方程（PDE）（以下简称“BSM PDE”），该方程控制期权价格随时间的变化。Black和Scholes，以及随后的Merton，通过将BSM PDE转换为“热方程”，为欧洲看涨期权和看跌期权制定了定价公式。

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2022-6-10 00:21:09

“热方程”是一个著名的抛物型偏微分方程，物理学家对其进行了广泛的研究，它描述了在给定初始和边界条件下，空间某一区域的热分布随时间的演化。Black和Scholes以及随后的Lymerton推导的定价公式包含高斯概率密度函数（参见例[5]），因此，需要某种近似方案，以便从该公式中提取期权定价的任何具体信息。该模型还假设，波动率（对期权合同下资产未来可变性的估计）在期权寿命期间保持不变，但事实并非如此，因为波动率随供求水平而变化。BS M模型中的常波动假设经常导致与市场数据不一致的结果。为了改善这种差异，在[6]中提出了恒方差弹性模型差异过程（以下简称“CEV模型”）（在[7]中，模型中加入了各种不同的累积过程），以模拟普通股的异方差和杠杆效应。模型中的一个重要参数是波动率β的弹性，它控制着波动率和价格之间的关系。[6]中给出了欧洲期权在CEV差异下的定价公式，其中β<0，β>0在[8]中给出。总之，CEV定价公式由伽玛密度和生存函数的一对有限总和组成，其推导取决于风险-中性定价理论[6，8]。Schroder在[9]中取得了突破，他表达了β的所有值的pricingformula，以非-中央Chi-平方分布，这大大方便了计算。

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nandehutu2022

2022-6-10 00:21:12

CEV模型在[10,11,12]中得到了进一步研究。有大量文献使用不同的近似方案（例如，参见[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）来有效评估互补非对称性- 中央Chi-平方分布函数，并且只有在应用这种近似方案后，才能从Cox【6】和Emanueland MacBeth【8】的定价公式中获得具体信息，用于CEV差异下的欧式期权定价。1.1在BSM模型和C EV模型中，更简单的解决方案已经变得相当传统，从普通的欧洲看涨期权和看跌期权开始讨论期权定价。其他仪器通常被标记为“外来”。然而，对于这两个模型，有比标准调用和put更简单的解决方案。从数学上讲，这使得有必要首先调查更简单的案例。我们可以了解期权的行为，而无需引入任何中间近似方案。更重要的是，我们不允许自己过早地将注意力集中在那些案例上，从而被卷入任何草率的泛化或普通欧洲案例的影响之中。对于BSM模型，更简单的解决方案是日志和电源解决方案。尽管这些合同的数学描述很简单，但它们肯定不会缺乏财务利益【19、20、21】。相反，此类合同作为一种交易工具正日益受到关注。例如，我们顺便注意到，1994年，安东尼·纽伯格（AnthonyNeuberger）通过使用日志解决方案，推出了一种简单但非常独特的产品，日志合同。

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2022-6-10 00:21:15

该合约将永远改变我们对波动性的看法，并为20世纪90年代末引入方差掉期和2003年CBOE推出的新波动性指数VIX奠定基础。虽然纽伯格当时可能还没有意识到这一点，但他所做的是启动一个过程，通过这个过程，波动性将不再是一个数学上的抽象概念，而是成为一种有形资产。迄今为止，还没有系统地研究CEV模型的类似简化解。这是我们在本文中承担的任务。我们为CEV模型找到了更简单的解决方案。在下一小节中，我们定义了更简单的解决方案的含义以及如何获得它们。1.2贡献，CEV模型的更简单解通过使用g Kovacic的算法[22]，我们发现了CEV模型的更简单解的类别，共有一半-β的整数值。这里的简单解是指用初等函数表示的解。最重要的是，我们不需要任何中间近似方案来从这些解决方案中获得具体信息，以便在适当的初始和边界条件下对金融工具进行定价。这与第3节所述的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式相反，欧式看涨期权和看跌期权的定价公式仅在采用适当的近似方法后提供期权定价信息。特别是通过使用Kovacic算法[22]，我们获得了CEV ODE的Liouvillian解类，并且我们通过分离变量，从初等函数的角度给出了CEV PDE的全部一半解-β的整数值。Kovacic的算法将找到具有复杂有理函数系数的线性二阶齐次常微分方程的所有可能的Liouvillian解（即，本质上，所有关于质量的解）。

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2022-6-10 00:21:19

此后，可解性指数意味着，当我们只剩下评估一个反作用力时，我们考虑求解一个微分方程。给出了我们在CEV ODE中找到的Liouvillian解的全部一半-第9节中β的整数值，本质上是多项式的乘积，是第一类非对称超几何函数，具有指数函数和自变量的幂。通过分离变量，这些针对CEV ODE行业的刘维尔解，针对CEV PDE的初等函数的解。CEV PDE的这些更简单的解决方案易于分析操作和使用，因此，可以与CEV PDE的解决方案并列，这些解决方案是根据CEV模型下期权定价的现有文献第一类第3节中描述的幂率给出的。本文的组织结构如下：第2节给出了CEV模型的基本要素，并将CEV模型与BSM模型进行了比较。第3节简要回顾了有关CEV差异下期权定价的文献。第4节对“关闭”一词的含义进行了说明-表格“期权定价文献中使用的解决方案”，无论是BSM模型还是CEV模型。第5节推导了BSM PDE和相关ODE。第6节推导了CEV PDE和相关ODE。在第7节中，我们解释了Kovacic算法是Picard的一个应用-Vessiottheory到线性二阶齐次常微分方程并追踪Picard的起源-Vessiot理论到Galois多项式理论。在第8节中，科瓦西奇的算法应用于CEV ODE。在第9节中，获得了CE V方程的Louvillian解类，并给出了CE V偏微分方程的相关解-β的整数值。

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2022-6-10 00:21:22

在第10节中，我们概述了未来研究的前景。最后，在附录中，我们给出了科瓦西奇算法的概要。2 CEV和CEV与BSM构建Black、Scholesand Merton[1、2、3]设想的投资组合的能力取决于资产价格的连续交易假设和连续样本路径。BSM模型推导中的其他假设为：o资产价格遵循对数正态随机游走标的资产的波动性在期权合同期限内保持不变风险-自由利率r为常数且已知未折旧资产在期权有效期内不支付股息没有套利机会允许卖空（允许充分利用卖方的资金）。o可交易标的资产的部分份额。BSM模型也适用于任何目前还不确定未来的金融工具。基本上，这与期权的价格有关，但任何与之模糊相关的东西，如公司债务，对其工厂来说都是同样危险的。波动率，衡量一只股票在近-术语可能是任何期权定价模型中最重要的单一输入。在BSM模型中，假设波动率是一个常数超时。这意味着在期权合约的整个生命周期内，回报的方差是恒定的，市场参与者都知道这一点。2.1 CEV模型虽然波动率在短期内可能相对恒定，但在长期内却不恒定。在此之前，BlackScholes的这一缺点得到了补救-需要默顿模型。考克斯（Cox）[6]提出的CEV模型就是这种补救方法的一个例子。CE V的pot价格模型是-瞬时波动率被指定为基础现货价格的幂函数，σ（S）=作为β的指数扩散模型。

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nandehutu2022

2022-6-10 00:21:25

Cox将其作为BSM模型中假设的几何布朗运动的早期替代方法之一引入资产价格建模（另见[7]，其中引入了资产价格的替代随机过程）。CEV随机过程与贝塞尔过程密切相关，具有分析可处理性。事实上，CEV差异存在期权定价公式的分析形式；对于β<0，由Cox给出[6]，对于β>0，由MacBeth and Merville给出[8]。随后，Schroder[9]在这两种情况下都表示了期权定价公式的互补性-中央Chi-方形分布函数。对于β=0，CEV模型简化为Black、Scholes和Merton模型中采用的恒定波动几何布朗运动过程。当β=-1、波动率规格为Bachelier（资产价格具有恒定的差异系数，而资产价格的对数具有a/S波动率）。我们顺便提到，巴赫·埃利尔（Bach elier）[23]的工作已经被遗忘了很长一段时间，至少在金融界是如此，并在20世纪60年代被保罗·萨缪尔森（Paul Samuelsoni）等数学经济学家重新发现。最近，由于它假设利率可能为负，因此再次流行起来。对于β=-1/2模型缩小到方形-Cox和Ross的根模型[7]。因此，考克斯没有假设波动率不变，而是将波动率表示为标的资产价格的函数。这正是CEV模型的主要优势：基础资产的波动率与其价格水平相关联，从而表现出隐含波动率微笑（或隐含波动率偏斜），这是一个凸的、单调递减的行使价格函数，类似于在实践中观察到的波动率微笑曲线（例如，参见[24]）。

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2022-6-10 00:21:28

CEV框架也与so一致-如实例[25]所述，被称为杠杆效应（即股票回报率与已实现股票波动率之间存在负相关）。2.2 CEV与BSMIn【26】、MacBeth和Merville通过仿真和实例比较了BSMand CEV模型的性能。他们的结果表明，CEV模型具有更好的性能，这低于-这个-货币看涨期权和定价过高-属于-货币看涨期权。在[27]中，Dias和Nunes指出，使用标准几何布朗运动假设的公司面临着严重的分析错误，这可能导致-最佳投资和撤资决策。鉴于在对数正态假设下，波动率不变并不能反映在广泛的市场和基础资产中观察到的隐含波动率微笑效应，Dias和Nunes使用了CEV差异过程，并给出了永久美国-CEV差异下的s型看涨期权和看跌期权。他们的研究结果强烈强调了超越基于对数正态假设的模拟实物期权模型，转而采用更现实的模型，并结合波动率微笑效应。3文献回顾CEV差异过程已被广泛用于解决几个金融期权定价问题。特别是，对于β<0，Cox【6】和Emanuel和MacBeth【8】分别用标准互补gamma分布函数和标准互补gamma分布函数表示了eCEV看涨期权定价公式。

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2022-6-10 00:21:31

随后，Schroder[9]h as扩展了CEV模型，用互补非对称性表示相应的公式-centralChi公司-方形分布函数。有大量文献致力于有效计算互补非-中央Chi-平方分布函数，具有几种可选表示（例如，请参见[9]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）。在回溯和障碍选项等奇异选项的情况下，情况更加复杂。Dav y dov和Linetsky【28】利用基于期权p rice拉普拉斯变换数值反演的模型，评估了CEV过程下的欧洲回溯期权。为了评估ookback选项，Linetsky[29]使用了光谱理论。在[30]中，Davydov和Linetsky，定价单一-屏障和双-再次使用光谱理论，在CEVdi扩散过程下选择屏障。在[31]中，Costabile使用二项式过程来模拟CEV过程和定价回溯选项。Boyle、Tian和Imai【32】利用蒙特卡罗模拟解决了同样的问题。在[33]中，Boyle和T ian定价为单曲-屏障和双-数值三项式晶格框架中CEV微分过程下的势垒选项。因此，到目前为止，在CEV差异下的期权定价工作可以方便地分为两类：1。在第一类中，定价公式以闭合形式给出-形式【6，8，28】，在薛定谔的工作【9】之后，用补足非-中央空调-平方分布函数。有大量文献（[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）致力于有效计算互补非- centralChi公司-平方分布函数，具有多种可选表示和相关的近似方案。

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2022-6-10 00:21:34

emp-loying光谱理论（例如，见[29]和[30]）的定价（奇异）期权也采用了幂级数表示的函数，也属于这一类。在第二类中，（奇异）期权的定价是通过CEV过程的离散近似来实现的：通过使用二项式树方法【31】、三项式树方法【33】、蒙特卡罗方法【32】对CEV过程进行离散近似。毋庸置疑，上述文献回顾远未详尽无遗，仅强调了当前CEV差异下pr结冰方案研究的两个主要趋势。4关于“封闭”的概念-表格“解决方案”此时，宜就“已关闭”一词的含义发表评论-表格“有关期权定价的文献中使用的解决方案”，无论是BSM模型还是CEV模型。这一术语并不意味着，正如人们可能预期的那样，在不实施某种近似方案的情况下，解决方案会给出期权定价的答案。相反，正如我们在下文所述，在BSM模型和C EV模型的情况下，我们必须求助于某种近似值，以便使用定价公式对期权进行估值。Black和Scholes发现了著名的欧式普通电话定价公式，并将BSM PDE转化为“热量方程”。这种偏微分方程以热在连续介质中的传播为特征，在物理学中得到了广泛的研究。根据适当的边界条件，其基本解是高斯密度函数（如[34]，第81页）。

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2022-6-10 00:21:37

Black和Scholes通过将此解转换回BSM PDE中出现的初始依赖和独立变量，找到了期权定价公式。Black和Scholes推导出的期权定价公式在文献中被描述为“封闭式-表格“解决方案”。然而，我们必须记住，为了从中提取任何具体信息，我们需要计算积分N（di）=√2πRdi-∞e-sds，其中diare适用于适当的限值，数值上采用正交ru-les，如Simson\'s Rule或Gauss-ian ru-le。此外，在CEV模型的情况下，Cox[6]推导出的β<0的定价公式，Emanuel和MacBeth[8]推导出的β>0的定价公式，以及Schroder[9]推导出的定价公式，仅在实施某种近似方案后才给出期权定价的答案。例如，正如我们在第3小节中所指出的，在薛定谔定价公式的情况下，其表示为-中央Chi-平方分布函数（squaredistribution Function），有一个完整的正在进行的文献（[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]，仅提及其中很小的一部分）对近似值进行了有效和快速的评估。当2β属于integers时，这些解类将与本文推导的CEV模型的解类并列。我们在本文中得出的各类解不涉及任何以级数表示的积分或函数，我们也不需要任何中间近似方案来使用这些解对各种金融工具进行定价。

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2022-6-10 00:21:41

因此，我们在本文中得出的解决方案补充了第3小节中描述的第一类解决方案，用于CEV差异下的期权定价。5 BSM PDE和BSM ODEBlack、S choles和Merton的推导得出了基本的观察结果[1、2、3]，即如果一个人能够完美地对冲期权，那么他也可以对其定价。原因是一个完全对冲的投资组合没有不确定性，因此存在风险-由即期利率r给出的自由收益率。总之，其推导如下：考虑一个包含一个期权和- 标的资产单位。投资组合的价值为∏=V- · St，（1）其中要确定，Sti是时间t的资产价值，V=V（S，t）是期权的价值。假设资产价值具有对数正态动力学，即满足SDEdSt=rStdt+σStdWt，（2）其中dSt=St+dt-Sti是资产价值从t到t+dt的变化，σ是标的资产价值每单位时间（波动率）的标准偏差，WT是维纳过程。方程式（2）表示，从t到t+dt的资产价值变化百分比通常随平均udt和方差σdt分布。我们假设V∈ C2,1（R×[0，T]），所以通过应用Ito引理，我们得到了投资组合价值的变化由：d∏=dV给出- · dSt公司=五、tdt公司+五、SdSt公司+五、S（dSt）- · dSt公司=五、t+σS五、Sdt公司+五、S- dSt。（3）如果我们选择 =五、投资组合∏价值的变化d∏对基础资产价值的随机变化不再敏感，我们得到：d∏=五、t+σS五、Sdt。（4）因此，选择 =五、Syields是一个完全对冲的投资组合，即没有不确定性的投资组合。由于投资组合中不存在不确定性，根据无套利原则，其价值必须与银行账户中的风险相同-自由利率r。

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能者818

2022-6-10 00:21:44

如果∏的回报率大于r，那么人们只会冒着风险接受贷款-自由利率r并购买投资组合∏以获得有担保的收益。相反，如果∏的回报率小于r，则只需做空投资组合并将其投资于银行。然而，这是由无套利原则决定的，因此我们必须有：d∏=r∏dt=r（V- · St）dt。（5）通过组合方程式（4）和（5），我们得出五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0。（6）这是BSM PDE。对于BSM PDE，这是一个后向抛物方程，我们必须指定最终和边界条件，否则PDE没有唯一的解。例如，对于行使价格为E且到期日为t的普通欧洲看涨期权c（S，t），最终条件是在Tc（S，t）=max（S- E、 0），对于所有S≥ 0.（7）资产-p莱斯边界条件应用于零资产价格，S=0，和S→ +∞. 在S=0时，我们有c（0，t）=0，f或所有t≥ 0。（8）第二个边界条件，如S→ +∞, 读SC（S，t）~ S-Ee公司-r（T-t），作为S→ +∞, 对于所有t≥ 0。（9）此外，对于普通欧洲看跌期权p（S，t），最终条件是Tp（S，t）=max（E）时的支付- S、 0），对于所有S≥ 0.（10）资产-价格边界条件在资产价格为零、S=0和S时再次应用→ +∞. 在S=0时，假设利率不变，我们得到p（0，t）=Ee-rt，对于所有t≥ 0.（11）作为S→ +∞, 期权不太可能行使，因此对于t>0，我们有p（S，t）→ 0，作为S→ +∞, 对于所有t≥ 0.（12）这些最终条件和资产-价格边界条件Blackand Scholes[1，2]和Merton[3]分别推导了欧洲看涨期权和看跌期权的定价公式。这些公式基本上就是所谓的热方程的基本解（见e.g.[34]，p。

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能者818

2022-6-10 00:21:47

81），这是高斯密度函数。我们注意到，美式期权的数学分析比欧式期权更为复杂。对于任何给定的自由边界问题，几乎总是不可能找到一个有用的显式解，因此，主要目的是构造高效的robus t数值方法进行计算。与ODE相比，PDE没有统一的理论。有些方程有自己的理论，而另一些方程则根本没有理论。偏微分方程形式的解通常是有限的-维空间，有各种各样的方法来探索这个解空间。这也适用于BS M PDE（6）。这是第二次-阶线性非齐次可分后向抛物型偏微分方程。解线性非齐次可分偏微分方程的一种方法是分离变量法。在这种方法中，这种包含n个自变量的偏微分方程被转换为n个常微分方程。尤其是分离变量sv（S，t）=A（S）B（t）（13）的BSM PDE（6）被简化为以下一对常微分方程σsdad+rSdAdS-（r+λ）A=0，（14）dBdt+λB=0，（15），其中λ是任意常数。我们将ODE（14）命名为BSM ODE。

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能者818

2022-6-10 00:21:50

常微分方程（14）和（15）的通解分别由a（S）=αSξ+ζ2σ+βSξ给出-ζ2σ，（16）式中，ξ=σ- 2r，ζ=p（σ- 2r）+8σ（r+λ），（17）和，B（t）=γe-λt，（18），其中α、β和γ为任意常数。从方程式（13）、（16）和（18）可以很容易地得到BSMPDE（方程式（6））的以下解v（S，t）=e-λt（aSξ+ζ2σ+bSξ-ζ2σ），（19），其中a，b任意常数和ξ，ζ在方程式（17）中规定。值得注意的是，产生Black、Scholes和Merton定价公式的热方程的基本解和本文推导的CEV模型的解都是通过利用对称性获得的，尽管是不同对象的对称性；我们在第7节中详细阐述了这个问题。热方程的基本解是所有数学中最基本的公式之一。它是著名的高斯或正态密度概率论。它描述了给定位置处的初始热量。它可以通过多种不同的方式导出。也就是说，它可以通过傅里叶变换推导（参见[35]p.98，p.99），也可以通过使用热方程的李对称性推导。

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2022-6-10 00:21:54

事实上，利用热方程的liesymmetrics，可以用两种不同的方式导出基本解。一个推导是由热方程在一个-参数是一组扩张（[34]p.91，p.92和[36]p.119）。另一个推论（【36】p.119，p.120）来自热方程的对称性，这是从基本物理原理无法预测的，只能通过将对称性李理论应用于热方程来获得。值得注意的是，最后一个推导是三个推导中最简单的。BSM PDE的简单对数和幂解，不仅不缺乏财务利益，而且作为一种交易工具吸引了越来越多的关注，都是通过分离变量得出的（见[35]，第127页，第132页）。不需要诉诸对称原则。为了推导本文中CEV模型的简单解类，我们采用了一种混合方法：我们将对称性原则应用于C EV ODE，而不是CEV PDE本身，这是通过分离变量从CEVPDE获得的，因此我们首先获得了CEV ODE的s impler解类。然后，CEVODE的简单解类很容易将简单解类引入CEV PDE。CE V ODE和CEV PDE的推导类似于BSM ODE和BSM PDE的推导，第6.1.6小节对CEV PDE和CEV ODECox的推导进行了概述[6]，认为当Q=0dSt=（r- q） Stdt+αSβ+1tdWt，（20），其中q是股息收益率参数，瞬时波动率被指定为基础现货价格的幂函数，σ（S）=αSβ，α是波动率尺度参数。

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mingdashike22

2022-6-10 00:21:57

简单的计算表明，β是波动率σ（S）的弹性。弹性参数β是模型的核心特征，控制着基础资产的波动性和价格之间的关系。引入d ividend收益率参数q，以免除BSM模型中的必要假设，即标的资产在期权有效期内不支付股息。第5节规定了dSt、r、WTR。CEV差异模型似乎是BSMmodel的自然延伸。事实上，正如第6小节所指出的那样，CEV模型包含了之前的期权定价模型。对于β=0，β=-1/2和β=-1 CEV模型分别简化为BSM模型[1，2，3]，正方形-Cox和Ross的根模型[7]，以及Bachelier模型[23]。第2.2小节明确指出，CEV模型的性能优于BSM模型【26，27】。此外，在[37]中，Beckers在实证研究的基础上考虑了CEV模型及其对期权定价的影响，并得出结论，CEV类可以比传统使用的对数正态模型更好地描述实际股价。6.1 CEV PDE和CEV ODE CE V ODE和CEV PDE的推导类似于BS M ODE和BSM PDE的推导。为了澄清这两个派生词之间的异同，我们给出了所需的详细信息。考虑一个包含一个选项和- 基础资产的单位。投资组合的价值为∏=V- · St，（21）其中要确定，Sti是时间t的资产价值，V=V（S，t）是期权的价值。

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2022-6-10 00:22:00

假设资产价值满足De（方程式（20））dSt=（r- q） Stdt+αSβ+1t。我们假设V∈ C2,1（R×[0，T]），所以通过应用Ito引理，我们得到了投资组合价值的变化由：d∏=dV给出- · dSt公司=五、tdt公司+五、SdSt公司+五、S（dSt）- · dSt公司=五、t+αS2β+2五、Sdt公司+五、S- dSt。（22）选择 =五、Syields是一个完全对冲的投资组合，即没有不确定性的投资组合。通过此选择，手册∏值中的变化d∏由以下公式给出：d∏=五、t+αS2β+2五、Sdt。（23）由于投资组合中没有不确定性，其价值的变化d∏必须等于tod∏=（r- q） ∏dt=（r- q）（五）- · St）dt，（24），其中r是风险-自由利率和q是股息收益率参数。通过组合方程式（23）和（24），我们得出五、t+αS2β+2五、S+（r- q） S五、S- （r）- q） V=0。（25）这是CEV PDE。对于CEV PDE，这是一个后向抛物方程，我们必须指定最终和边界条件，否则PDE没有唯一解。例如，对于行使价格为E且到期日为T的普通欧洲看涨期权和看跌期权，最终条件和边界条件如第5节所述。求解线性齐次可分离偏微分方程的一种方法是分离变量法。特别地，分离变量sv（S，t）=C（S）D（t）（26）的CE V PDE（25）被减少为以下一对常微分方程αS2β+2dCdS+（r- q） SDCD- （r）- q+λ）C=0，（27）dDdt+λD=0，（28），其中λ是任意常数。我们将颂歌（27）命名为CEV颂歌。ODE（28）的通解为byD（t）=δe-λt，（29），其中δ为任意常数。

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