动态风险调整的最优执行

2022-6-11 08:44:31

动态风险调整的最优执行薛成、MARINA DI GIACINTO和TAI-HO WANGAbstract。本文考虑了金融市场中风险证券头寸的最优清算问题，在金融市场中，价格演变具有风险，交易会对价格产生影响，并会对订单中的不确定性产生影响。p rob Lem是一个连续时间随机最优控制问题，旨在最大化广义风险调整损益函数。风险调整的表达式来源于动态风险度量的一般理论，并选择在g-条件风险度量类中。由此产生的理论框架是非经典的，因为目标函数依赖于后向分量。我们表明，在后向随机微分方程驱动因素的二次规格下，有可能找到最优清算政策的闭式解和明确表达式。通过这种方式，可以立即量化风险调整对收益和损失以及最佳清算政策表达的影响。1、介绍交易算法目前在金融机构中广泛传播。它们通常用于经纪人执行大额订单。与标准库存模型不同的是，一旦确定了特定的市场动向，市场运作的成功关键取决于所选择的执行市场订单的策略。事实上，除了价格波动风险外，最优执行还必须考虑所谓的市场影响，即订单执行可能对执行价格产生的反馈影响。从业者开发了一个有趣的模型来量化价格影响及其影响，最简单的是在执行过程中优化成交量加权平均价格（VWAP）。

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2022-6-11 08:44:34

关于算法和高频交易的建模问题和经验证据的一般介绍见【13】。更多s op历史模型，以量化2 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang和管理价格影响包括离散时间模型中的[7]、[3]、[2]及其连续时间变量，以及瞬态影响模型，如[24]、[1]和[20]。为了将最优执行问题重新表述为一个变分问题，没有单一解决方案的关键决策是要优化的目标函数的定义。虽然风险中性交易者显然愿意最大化最终收益和损失，但量化收益和损失以及执行风险之间的权衡的风险函数的选择远非唯一。事实上，风险量化基于完整的清算路径，因此本质上是动态的。本文基于动态凸风险测度理论，将最优清算问题公式化为一个随机控制问题，其中最优策略的风险由g-条件测度量化。这样，借用一般理论的结果，例如，参见[6]清算策略的风险通常由反向随机微分方程（BSDE）的驱动因素来描述。由此产生的最优随机控制问题比经典随机控制问题更为一般，因为g-期望引入了与后向分量的波动率非线性相关的附加项。

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2022-6-11 08:44:37

值得注意的是，我们验证了对于驱动力的线性二次表达式，高度非线性控制问题的解可以简化为Riccati序数微分方程组（ODE）的解，并以闭合形式求解。该解决方案提供了清算政策的封闭式描述，以及代理人的风险规避对清算政策的影响。最优控制的明确表达有助于量化清算政策动态风险调整的影响，并提供了有趣的新见解，显示了前向-后向最优控制策略在金融应用中的巨大潜在相关性。值得注意的是，对最终控制政策的分析突出了订单的不确定性与动态风险函数最小化之间的关键相互作用。这种相互作用引入了一种新的特征交易时间尺度，这既取决于模型中的微观结构参数，也取决于以非线性方式从根本上修改最优s计划清算计划和用于实施该计划的政策的风险规避。因此，由此产生的最优政策与动态风险调整的最优执行3基本上不同于文献中仅考虑远期风险调整部分的分析结果。在我们的一般框架内，许多这些str-ategies可以作为限制性案例恢复。在[3]框架中，通过应用分部积分技术，可以证明风险中性交易者的最优策略始终是VWAPstrategy，无论驱动噪声是什么，只要是鞅。然而，对于【24】、【1】和【28】等瞬态碰撞模型，许多优化策略都是U形的，就像修改的VWAP策略一样。

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能者818

2022-6-11 08:44:40

也就是说，在交易期的开始和结束时进行大宗交易，在这两者之间进行VWAP。例如，见[24，表1，第20页]。另一方面，对于风险厌恶型交易者来说，为了便于跟踪，对风险因素的选择因情况而异。在经典的[3]模型中，作者使用q值变化作为风险因素；鉴于【21】在确定最优策略时，使用时间平均VaR作为风险因素来惩罚损益或交易成本（事实上，作者声称相同的原理适用于使用一般一致性风险度量，见第356页备注2.2）。最近，在[10]中，资产是在一个分散的差异化过程之后进行的，作者将最优估值策略与各种风险函数进行了比较，如风险价值（VaR）和预期缺口（ES）。为了检验最优交易策略的稳健性，作者还提出了一种新的风险函数，称为平方资产期望（SquaredAsset expection，SAE）。在[18]中，最优执行问题被形式化为一个指数效用最大化程序，这里交易者受到VaR约束，在整个执行期间，损益必须立即满足VaR约束。asense中的这篇文章试图将两个风险限制因素（风险规避效用+VaR限制）混合在一个控制问题中。[14] 和[5]讨论了一个线性二次目标函数的控制问题，该函数与本文所处理的控制问题非常接近，但关键的区别在于，它们没有考虑导致后向分量的风险调整。最后，值得一提的是，在离散时间模型中，通过最小化交易成本的动态一致性风险，获得时间一致性和确定性的最佳交易策略。4 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。

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何人来此

2022-6-11 08:44:43

Wang后一篇文章在精神上与我们的文章最为接近，事实上，他们还使用了d y namicrisk度量来量化战略的风险。另一方面，目前的分析依赖于连续时间和更现实的盈亏函数建模，其中考虑了订单填写的不确定性，即订单完全填写或超额填写的风险。此外，虽然它们的处理依赖于递归离散时间方法，但我们的公式涉及到一个连续时间的s-To-Castic控制问题，该问题可在封闭形式下解决。事实上，我们的方法是建立在一般时间一致性动态凸风险度量的基础上的，该度量依赖于Peng（参见，例如，[27]）及其合作者在90年代提出的g-期望的概念。参见[6]和参考文献中详细介绍了动态风险度量、g-期望和g-条件风险度量之间的关系。[15]介绍了具有不确定目标的最优策略，最近在[11]和[29]中进行了处理。

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2022-6-11 08:44:46

特别是，在[15]框架中，假设不确定订单的大小与订单大小成正比，而[29]开发了一个离散时间模型，表明交易量的不确定性与交易者的决策无关，风险规避投资者的最佳策略是在早晚交易之间进行权衡，以平衡与价格和交易量相关的风险。此外，我们的模型提供了二次连续惩罚，以阻止偏离投资委员会选择的给定阈值。在其他类别的交易问题中也发现了对交易速度与特定目标的偏差使用二次惩罚的情况，如hedgingvia风险最小化和约束（见[22]），或阻止代理人快速交易市场或限制订单类型（见[11]）。本文的组织结构如下。第2节建立了模型，并就问题的表述提供了更详细的讨论和动机。第3节介绍了凸风险度量的一般概念以及这些度量用于“风险调整”目标函数形式的方式。第四节讨论了随机控制问题及其解决方案。在第5节中，我们简要分析了结果的应用含义并得出结论。动态风险调整的最佳执行52。模型要建立数学模型，让[0，T]，T>0为固定的交易期限，让(Ohm, F、 P）是一个具有二维不相关布朗运动（B，B）的完全概率空间：={B（t），B（t）}t∈[0，T]。信息结构由过滤F:={Ft}t描述∈[0，T]由二维布朗运动的轨迹生成，并通过添加F的所有p零测度集来完成。

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kedemingshi

2022-6-11 08:44:49

我们用MF（0，T；R）表示所有二维实值F-可预测过程{H（T）}T的集合∈[0，T]满足EhRT | H（T）| dti<+∞,HF（0，T；R）所有实值F-逐步可测过程{H（T）}T的集合∈[0，T]满足EhRT | H（T）| dti<+∞, 洛杉矶(Ohm; R）所有实值A-可测平方可积随机变量的s集，L∞A(Ohm; R）所有附加实值可测随机变量的集合，其中 F是一个子σ-代数，sn是所有n×n对称实矩阵的集合。关于最佳执行的现有文献中经常忽略的一个问题是，预先安排的事务可能执行不足或过度。如【15】所述，在现代电子市场中，订单执行是一个复杂的过程，涉及可能不同类型的订单，实现的交易可能会偏离预定的交易。我们将这种偏差称为订单的不确定性。为了考虑这种风险，我们在投资者位置X的演变中添加了一个噪声项，因此假设它满足以下随机微分方程：dX（t）=-v（t）dt+mdB（t），t∈ [0，T]，X（0）=X>0，（2.1），其中F-逐步可测p过程v：Ohm ×【0，T】→ R是市场秩序的交易率，作为控制变量，而m≥ 0衡量订单不确定性的程度。通过布朗运动驱动的扩散过程对有序度的不确定性进行建模，可以作为非确定性的“零级近似”，只要不确定性的大小很小且→ 订单不确定性的更精确模型是通过添加纯跳跃频谱6 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANGnegative LA(c)vy流程。或者，MDB一词也可以解释为金融机构风险敞口的整体零售。

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大多数88

2022-6-11 08:44:52

换言之，由整个金融机构负责人清算的初始金额X会受到由他同时可以从其他部门收到的额外清算或赎回指令引起的小的随机变化的影响。股票的公允价格遵循动态：dS（t）=γdX（t）+σdB（t），t∈ [0，T]，S（0）=S>0，即。，dS（t）=-γv（t）dt+γmdB（t）+σdB（t），t∈ [0，T]，S（0）=S>0。换言之，公平价格S由算术布朗运动驱动，漂移等于零，波动率σ>0，以及参数γ的线性永久影响≥ 选择考虑价格演变（参见，例如，[4，16]）是为了保持问题的可处理性。它限制了该模型在低波动性环境（最近相当普遍）中证券交易的适用性。根据文献[3]，交易价格由公平价格和作为临时影响的滑动价格组成：eS（t）=S（t）- ηv（t），t∈ [0，T]。（2.2）也就是说，交易价格反映了规模η>0的市场订单v当前交易率的线性函数所产生的暂时影响。遵循【3，第2.4节，第10页】，在时间间隔【0，t】，t≤ T，定义为：∏（T）：=X（T）（S（T）- S（0））+Zt（S（0）-eS（u））dX（u）。（2.3）右侧的第一项反映了剩余已交易股份公允价值的变化，而第二项则衡量了交易成本，即由于存在临时价格影响因素，通过动态风险调整7，从出售股份中获得最佳执行。更多详情请参见附录A第A.1小节第25页。考虑到（2.1）–（2.2），附录A（第A.2小节，p。

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2022-6-11 08:44:55

26）在∏（t）=γ时显示thX（t）- x个+γmt- ηZtv（u）du++ηmZtv（u）dB（u）+σZtX（u）dB（u），或等效为∏（t）=γmt-Zt公司γv（u）X（u）+ηv（u）du++mZt（γX（u）+ηv（u））dB（u）+σZtX（u）dB（u）。根据具体情况，我们将分别使用第一个或第二个表达式。我们必须确保在t=t时，初始头寸完全清算，尽管订单不确定。为此，我们在期末损益中增加了最终大宗交易的期末期末期末损益f:R→ [0, +∞) 因此，除了完全液化以外，任何其他方法都是不可取的。根据【15】，我们将最终大宗交易x视为罚款企业∈ R连续函数定义为：f（x）：=βx，β>0。（2.4）注意，如果且仅当初始头寸完全清算时，不鼓励任何最终区块交易，因为其为零；否则，如果初始头寸不足或过度清算，则始终为正。请注意，选择这种终止条件会惩罚最终投资者的消极或积极头寸。这与负责全面投资组合清算的部门要完成的任务一致。最后，我们引入了一个连续惩罚h:R→ [0, +∞) 具有以下二次规格：h（v（t））：=λ（v（t）-v），t∈ [0，T]。（2.5）8 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANGwhereλ≥ 0是指每单位时间内偏离目标电视>0的单位偏差所需支付的成本。该目标执行速度代表了理想的清算率，该清算率由投资委员会外部设定。请注意，上述功能会惩罚清算期间所选交易利率与V的任何偏差，并防止交易利率过大或买方订单s.3的放置。

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2022-6-11 08:44:58

目标损益函数的风险调整金融经济学的一个众所周知的结果是，在静态单周期市场模型中，风险厌恶型非饱和代理的偏好可以用凹函数和增函数（效用函数）来表示。事实上，很容易验证效用函数的凹度与额外的金额（风险补偿）成正比，此外，代理人还需要支付公平彩票的预期报酬。这种风险补偿的量化对于解释市场上可实现的最佳风险回报交易效果和提供最佳投资机会至关重要。愿意在市场上清算其投资组合的投资者也面临着类似的动态风险收益交易效应，他们受到价格影响和通常影响实际市场的微观结构价格导致的有限清算可能性所引发的不确定性的影响。虽然传统的最优清算方法最大化了利润和损失函数，该函数解释了执行问题产生的成本和利润，但本文的主要创新之处在于通过同时考虑投资者的风险规避来评估流动性政策的优化程序的公式和解决方案。换言之，我们指定了一个职能部门，该职能部门代表清算战略的成本效益权衡，同时惩罚从投资者角度来看风险特别大的清算路径。

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2022-6-11 08:45:02

将此风险贡献纳入待优化的动态功能的一种自然方式是基于g-条件风险度量理论，即以与凸驱动因素g相关的BSDE解决方案为特征的动态风险度量。在附录C中，我们简要回顾了与我们的分析相关的动态风险度量的基本定义和结果。动态风险调整的最佳执行9我们将重点分析所谓的动态熵风险测量的情况，对于任何ξ（T）∈ LFT公司(Ohm; R），如下所示：R（t，ξ（t））：=λln E[exp(- λξ（T））| Ft]，T∈ [0，T]式中λ≥ 0是风险规避系数，也就是说，其他条件相同时，λ的变化会改变投资者的风险态度。下一个命题在熵风险度量和一维BSDE的解之间建立了一个众所周知的联系，该解具有以下二次驱动g:g（Z（t），Z（t））：=λZ（t）+Z（t）, t型∈ [0，T]其中（Z，Z）:= {（Z，Z）}t型∈[0，T]是与二维相关布朗运动（B，B）相对应的二维BSDE控制过程。提案1。Let（Z，Z）∈ MF（0，T；R）。对于任何ξ（T）∈ LFT公司(Ohm; R），熵风险度量是以下一维BSDE的唯一解决方案：dR（t，ξ（t））=-λZ（t）+Z（t）dt+Z（t）dB（t）+Z（t）dB（t），t∈ [0，T]，R（T，ξ（T））=-ξ（T）。（3.1）证明。见附录B，第27页。备注1。

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2022-6-11 08:45:04

任何时候t∈ [0，T]和τ∈ [t，t]，R对应于上述BSDE（3.1）的解，并具有以下半群性质：R（t，R（τ，ξ（t）））=R（t，ξ（t））P-a.s。。通过考虑BSDE驱动因素的更一般表达式，相同类型的关系可以扩展到更大类别的动态对流风险度量（见附录C，命题3）。这些结果表明，BSDE的驱动因素是一个自然的对象，可以局部（即在很短的时间间隔内）描述投资者面临的动态风险回报交易。附录B，第28.10页X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H中验证了这种关系。Wang，他清算了自己在市场上的头寸，并考虑了条件风险度量来衡量风险。在我们的框架中，导致我们使用动态风险度量的一个重要动机来自这样一个事实，即交易者清算政策的成功取决于两项反补贴任务的能力：一方面，它与在最终日期前以最大收益（相当于最小损失）完成投资组合清算的能力有关；另一方面，清算政策取决于影响价格和数量的不确定性驱动因素的展开。每次，对要支付的最终成本进行动态风险评估时，都会考虑最终部分清算的成本和对该潜在成本的评估，其方式取决于可用的信息，并进行调整，以考虑交易者的风险规避。4、最优控制问题将最优执行问题表述为一个随机最优控制问题并加以研究。

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2022-6-11 08:45:08

对于任何初始时间t∈ [0，T]和初始点X（T）：=X∈ R、交易使其在时间范围内的预期风险调整总损益最大化【t，t】，受到最终大宗交易和与预定目标速度V的累计偏差的惩罚。4.1. 状态方程和目标泛函。设f对{B（r）生成的σ-代数进行求积- B（t），B（r）- B（t）}r∈[t，u]和Ft：=Ftuu∈【t，t】由F的所有P-null度量集增加的过滤。为了写出状态方程和目标函数，让∏t（t）表示在时间间隔【t，t】内获得的损益，即∏t（t）：=∏（t）- ∏（t）。设置：-dY（u）：=d∏u（T）- dR（u，f（X（T）））- dRTuh（v（u））du, u∈ [t，t]，Y（t）：=-f（X（T））=-βX（T），其中f是（2.4）中给出的成本函数，h是（2.5）中定义的连续惩罚，状态方程由以下解耦二次增长最优执行与动态风险调整11向前向后随机微分方程（qgFBSDE）描述：dX（u）=-v（u）du+mdB（u），u∈ [t，t]，-dY（u）=eg（X（u），eZ（u），eZ（u），v（u））du+-eZ（u）dB（u）-eZ（u）dB（u），u∈ [t，t]，X（t）=X，Y（t）=-βX（T），（4.1）带eg（X（u），eZ（u），eZ（u），v（u））：=（η+λ）v（T）+λ（eZ（u）+eZ（u））++（γX（u）- 2λv）v（u）-γm-λv, u∈ [t，t]，（4.2）和埃泽兹（u）=Z（u）+γmX（u）+mηv（u）Z（u）+σX（u）, u∈ [t，t]。（4.3）备注2。在这个框架中，（4.1）中的终端条件允许我们随时测量最终罚款的风险。这里，容许控制集是一个过程空间，定义如下：Vad[t，t]：=v：[t，t]×Ohm → R | v∈ HFt（t，t；R）.观察任何情况下，v（·）∈ Vad[T，T]，上述解耦qgFBSDE（4.1）允许使用aunique stron g解决方案。事实上，正向分量解的存在性和唯一性是一个相当标准的结果（参见，例如，[30，定理6.3，p。

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2022-6-11 08:45:11

42]); 而（4.1）中具有二次增长驱动和unb-ou-ndedterminal条件的BSDE的解决方案由例如[9]保证。表示方式（Y、eZ、eZ）（·；t，x，v（·））（4.1）的后向分量的解，wh en x（·；t，x，v（·））是（4.1）的前向分量的解，从x开始∈ 时间t时的R∈ [0，T]和控制v（·）∈ Vad[t，t]，目标泛函由：J（t，x；v（·））：=Y（t；t，x；v（·）），（4.4）12 x.CHENG，M.DI GIACINTO和t.-H给出。Wang和交易者的最佳清算政策包括对任何（t，x）进行清算∈ [0，T]×r下列问题的解：最大化J（T，x；v（·））/v（·）∈ Vad【t，t】，（4.5），而相关的价值函数W因此定义为：W（t，x）：=supv（·）∈Vad[t，t]J（t，x；v（·）），（t，x）∈ [0，T]×RW（T，x）：=-βx，x个∈ R、注意，R（t，f（X（t）））dep的表达式结束于后向分量，使全s-to-castic最优控制问题成为非标准问题。4.2. HJB方程。在有限原点随机最优控制问题的背景下，众所周知，值函数与具有终端边界条件的二阶偏微分方程（PDE）相关联，即所谓的米尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程，我们旨在推导该方程。接下来，例如[26]，可以推导出与受控状态方程（4.1）相关的广义HJB方程。

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2022-6-11 08:45:14

由以下人员给出：wt（t，x）+supv∈RHcv（x，wx，wxx；v）=0，（t，x）∈ [0，T]×R，w（T，x）=-βx，（4.6），其中哈密顿电流值Hcvreads为：Hcv（x，q，q；v）：=tr∑∑Q] +血红蛋白（v），qi- eg（x，∑）q、 v），（x，q，q）∈ R×R×R×S，（4.7）带∑和b:R→ R分别表示（4.1）中的波动矩阵和正向扩散过程的漂移项，即∑：=m 0γmσ, b（v）：=-v-γv, （4.8）和（4.2）中规定了eg。上述广义HJB（4.6）的构造遵循了著名的论点，该论点应用于陈述标准控制问题中的HJB方程。动态风险调整的最优执行13附加说明，即s-Tocastic后向变量（Z，Z）的差异表示由∑给出Dw，遵循FBSDE的标准Feynman Kacrepresentations。验证参数将证明原始控制问题的广义HJB（4.6）解的最优性f。函数hcvh是R上的唯一最大点，由：v给出（x，q，q）=-q+γx- 2λv2（η+λ）。（4.9）因此，与随机控制（4.5）相关的Hamilton-Jacobi-Bellman方程可以重写为：wt+mwxx-λmwx+γm-λv+4（η+λ）（wx+γx- 2λv）=0，（4.10），终端条件：w（T，x）=-βx.（4.11）4.3。HJB方程和验证定理的解。验证理论流量中给出了价值函数和最优交易策略。为了陈述和证明这个结果，我们从下面的引理开始，使用下面的符号：κ：=2m（η+λ）。（4.12）引理1。设β>γ，λ<κ。

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能者818

2022-6-11 08:45:18

然后确定函数a，b，c：[0，T]→R唯一解决以下Riccati ODE系统：˙a（t）=mλ-2 (η + λ)a（t）- 2mλγa（t）+mλγ，a（t）=-2β+γ，˙b（t）=mλ-2 (η + λ)a（t）b（t）- mλγb（t）+λvη+λa（t），b（t）=0，˙c（t）=λm-2 (η + λ)b（t）+λvη+λb（t）-ma（t）+-mγ+λv-λvη+λ，c（T）=0,14 X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H。WANGi。ea（t）=-γ√κλ2β√κλsinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ） cosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）b（t）=2λv（2β-γ）新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+2β√κλcosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）-1.[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）c（t）=-8βλvγ+hmγ-γm1-κλ- λvi（T- t） ++2λvγ4γβ√κλ+[(2β-γ)+4β(1-2κλ）]sinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）++m（η+λ）1-κλlnh2β(1-κλ)-γγ√κλsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i+coshhγ√κλ2（η+λ）（T- t）我i（4.13）和以下凹函数：w（t，x）=（a（t）- γ） x+b（t）x+c（t），t∈ [0，T]，（4.14）满足x的HJB方程（4.10）–（4.11）∈ R、证明。见附录B，第28页。考虑到（4.9）和引理1，当D w插入时，来自（4.7）中哈密顿电流值Hcvde优化的反馈图显示为：（t，x）7-→ v（t，x）：=-a（t）x+b（t）- 2λv2（η+λ），应用g（4.3）和引理1，状态反馈形式下的反向控制过程由：（t，x）7给出-→eZ公司eZ公司（t，x）：=-m[（a（t）- γ） x个- b（t）].动态风险调整的最优执行15因此，相应的闭环方程：dX（u）=-v（u，X（u））du+m dB（u），u∈ [t，t]，dY（u）=eg（X（u），eZ（u），eZ（u），v（u，X（u）））du+-eZ公司（u，X（u））dB（u）-eZ公司（u，X（u））dB（u），u∈ [t，t]，X（t）=X，Y（t）=-βX（T）（4.15）和（4.2）给出的eg具有唯一的解决方案。

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2022-6-11 08:45:21

此外，用X表示（·）：=X（·；t、x、v（·））上述闭环方程（4.15）正向过程的解，反馈策略定义为：v（u）：=v（u，X（u）），u∈ [t，t]是Lipschitz连续的。因此v（·）是不允许的，即v(·) ∈ Vad[t，t]。现在，我们准备验证以下验证定理。定理1。设β>γ，λ<κ，w为（4.14）中定义的函数。然后，对于任何（t，x）∈ 【0，T】×R，优化问题（4.5）具有与值函数W（T，x）=W（T，x）对应的唯一解，即W（T，x）=（a（T）- γ） x+b（t）x+c（t）。唯一最优计划交易率v（·）在状态反馈表中，n由：v给出（u） =-a（u）X（u） +b（u）- 2λv2（η+λ）P-a.s.，u∈ [t，t]，（4.16）和唯一的二维最优后向控制过程（eZ,eZ公司)反馈表内容如下：eZ公司eZ公司（u）=-m[（a（u）- γ） X个（u） +b（u）]，P-a.s.，美国∈ [t，t]。（4.17）证明。见附录B，第29页。上述结果的直接后果如下。如前所述，前向部分参见【30，定理6.3，第42页】，后向部分参见【9】。16 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。王推论1。唯一的二维最优后向控制过程（Z, Z)在与动态熵风险度量（3.1）相关的状态反馈表中，给出了：ZZ（u）=-m2（η+λ）[（η+2λ）（a（u）X（u）+b（u））+2ηλv]-σX（u）P-a.s.，美国∈ [t，t]。证据见附录B，第33页。5.

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2022-6-11 08:45:24

最优清算策略上述解决方案提供了一系列关于最优清算政策的有趣见解，这些政策与定义经济环境的外部参数有关。作为一般观察，重要的是要指出，选择动态风险度量和包含连续罚款，与考虑静态风险度量计算的清算策略相比，本质上不同于本分析中发现的最佳清算策略。为了更好地理解这些差异，有必要以经济合理的方式重申最优控制政策。这就是下面的命题。提案2。最佳交易政策（4.16）具体如下：v（t）-vl= -a（t）2（η+λ）（X（t）- l （T- t）），t∈ [0，T]，（5.1），其中：vl:=λη+λv，系数a（·）在（4.13）中有规定，为方便起见，我们回忆：a（t）=-γ√κλ2β√κλsinhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ） cosh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）, t型∈ [0，T]和函数l: [0，T]→ R读作：l （T- t）：=2λvγ√κλ2βcoshhγ√κλ2（η+λ）（T- t）我- 1.+(2β-γ)√κλsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i2βsinhhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i+（2β-γ)√κλcoshhγ√κλ2（η+λ）（T- t） i.证明。见附录B，第33页。最佳执行与动态风险调整17通常，代理人将设定一个偏离目标的清算速度，vl,与函数定义的计划液化程序的位置偏差成比例的量l （T- ·). 平均逆转率与-a（·），即a（·）的反义词，在值函数为凹函数的充分假设下为正。

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kedemingshi

2022-6-11 08:45:27

事实上，系数（·）可以等效地重写为：a（t）=-γ√κλ2β√κλtanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+(2β-γ)(2β-γ)(1-κλ）tanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλ1.-√κλtanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）,对于任何t∈ [0，T]，当β>γ且λ<κ时。回顾最佳位置X的有效漂移项（·）按比例-v（·），这意味着由此产生的最优策略将强制均值回归到预定的清算计划。为了获得关系式（5.1）的直觉，值得首先考虑其极限表达式，即风险规避参数λ→ 我们得到：limλ→0l （T- t） =vl（T- t），则，t型∈ [0，T]，即风险中性代理人的目标清算计划对应于恒定速度清算计划。目标速度确实与投资委员会设定的速度相对应，该速度减少了一个系数λλ+η，该系数考虑了暂时性价格对交易的影响。正如预期的那样，在相同的限制下，平均回报率随着最终b锁交易成本β的增加而增加，随着永久影响γ的大小而降低。确实：limλ→0-a（t）=（η+λ）β -γ(η + λ) + (β -γ）（T- t），t∈ [0，T]，考虑到容许条件β>γ，这是正的。限值为λ→ 0时，最优策略引起的跟踪误差由比率β确定-γ(η+λ).对于满足凹度λ<κ的充分条件的风险规避水平，相当于λ<2m（η+λ）乘以（4.12），最优政策的必要性如下所示：与目标清算政策V的正（负）偏差意味着交易速度的相应缓解（降低）与系数-a（·）除以（η+λ）。请注意，对于特定级别的风险规避λ，target18 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang清算计划与线性清算计划有很大不同。

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2022-6-11 08:45:31

保单不再是线性的，非线性随着最终清算的时间而增加。我们可以确定两种明确的制度：晚期清算制度和早期液化制度。5.1. 后期清算制度。在后期清算阶段，对应于限额as（T- t）→ 我们可以假设：tanhγ√κλ2（η+λ）（T- t）γ√κλ2（η+λ）（T- t） =γm√λp2（η+λ）（T- t）。在这种情况下，对于任何t∈ [0，T]，我们得到：lim（T-t）→0l （T- t） =vl（T- t） 1+γ-1.-(2β)-1λm（T- t） =：l,lim（T-t）→0(-a（t））=2（η+λ）2β- γ+2βγmλ（T- t） [2β- γ - 2βmλ（η+λ）]（T- t） +2（η+λ）=：-a、该制度对应于设置λ=λ=0时，一个替代【15】中的自适应价值加权平均价格（AVWP）策略。λ>0引起的贡献改变了本奇马克清算政策，而该制度中的参数λ>0只是作为参考策略的重整化，逐渐降低远离最终区块清算日期的清算速度，同时提高平均逆转率。5.2. 早期清算制度。在与限额（T）相对应的早期清算阶段- t）→ ∞ 我们拥有的制度：lim（T-t）→+∞l （T- t） =2λvγmp2λ（η+λ）=：l∞,lim（T-t）→+∞(-a（t））=γmp2λ（η+λ）1- mp2λ（η+λ）=：-一∞.在这种情况下，后向分量和对交易速度偏差的惩罚的影响更为明显。远离最终区块清算，风险规避成分的存在将最优控制政策转变为稳定政策，这取决于永久影响γ的大小，但与最终b锁定订单的成本β无关。

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2022-6-11 08:45:34

在该机制中，流程X的最优进化最优执行（带有动态风险调整19）（·）由：dX给出（t） =-一∞2（η+λ）（x∞- 十、（t））dt+mdB（t），t∈ [0，T]，其中：x∞:=-一∞l∞- λv-一∞2（η+λ），即x∞=γ（η+λ）mp2λ（η+λ）+1！λv，对应于具有均值回复率的标准均值回复Ornstein-Uhlenbeck过程-一∞2（η+λ）在极限内消失为λmγ→ 换言之，如果最终大宗交易在未来很遥远，投资者只是通过跟踪误差控制持有的证券数量，跟踪误差随着永久影响γ的增加而减少，风险规避λ和头寸m的波动性。请注意，在这种情况下，价格影响越高，交易者对偏离最优路径的最佳反应就越高。事实上，订单的不确定性产生的成本随着价格影响的增加而增加。在没有向后分量的情况下，即λ=0，交易者将不会因该术语而受到处罚。

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2022-6-11 08:45:37

换言之，可以将落后部分引入的惩罚部分解释为惩罚那些在清算策略中引入了与投资委员会设定的基准相关的高跟踪错误的策略的术语。总之，值得注意的是，在λ>0和λ>0的条件下，清算政策在固定投资委员会政策之间平滑插值，当（T-t）→ +∞, 以及投资委员会设定的具有固定流动率的清算政策，其平均汇率随着风险规避λ的增加而增加。为了更好地说明后向成分和风险规避参数λ对清算策略的影响，我们提供了目标清算计划和λ不同水平的平均回归率f随时间变化的图表说明。20 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。WANG0 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5清算时间00.511.522.533.544.55平均回复率10-320 x 0.02520 x 0.0520 x 0.120 x 0.220 x 0.420 x 0.8图1。平均回复率-a（·）作为时间的函数。

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2022-6-11 08:45:40

较高的风险厌恶意味着平均逆转率的更快增长。风险厌恶程度较高的交易员同意支付更高的成本，以减少与计划清算计划的偏差。我们将T=5设置为允许的最大时间限制。在图1中，我们使用与[15]中使用的参数类似的参数进行了数值说明，这些参数与[3]中讨论的参数密切相关：γ=2.5×10^(-7), η = 25 × 10^(-6），m=0.2×10^（7），β=100×η，λ=0.0001，λ：=2m（λ+η）=10^(-6) .正如我们所预期的那样，较高的风险规避意味着代理人在执行均值回归提前出现的政策时，会试图减少跟踪误差，并加快对偏离计划清算计划的政策反应。动态风险调整下的最优执行21事实上，我们看到平均回复率随着时间和参数λ的增加而增加。与以前的清算模型相比，当前方法的一个关键创新在于参数λ直接决定交易γ的特征持续时间√κλ2（η+λ）与永久性冲击γ的大小、theorder fills m的波动性和数量（η+λ）共同作用。虽然在[3]的传统框架中，特征“交易时间”是由一个特定参数设定的，但在这种情况下，该特征时间是多个参数的函数，包括交易者的主观风险规避λ和量化订单不确定性的波动系数。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4清算时间00.10.20.30.40.50.60.70.80.91目标清算政策20 x 0.02520 x 0.0520 x 0.120 x 0.220 x 0.420 x 0.8图2。针对风险规避程度不同的交易员的计划清算程序。时间变量按系数缩放=√κλ2（η+λ），以与特征交易时间成比例的单位表示。22 X.CHENG，M。

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2022-6-11 08:45:43

DI GIACINTO和T.-H。Wang在图2中，为了比较不同λ水平的目标清算路径，我们选择将targetv设置为一个值，该值将该渐进早期阶段位置标准化为等于1的参考值，对应于100%待清算名义金额。此外，我们考虑更长的清算期限，以扩大风险规避水平与计划清算计划凹度之间的关系，该计划在接近最终大宗交易日期时收敛为线性清算计划。风险调整的动态性提高了偏离预定目标的重要性，同时降低了交易员在最终大宗交易中支付的成本的相对重要性。这意味着清算路径的凹度增加，这标志着早期和晚期清算制度之间的过渡。请注意，对来自图1和图2的证据的联合解释表明，动态风险度量所导致的后向成分波动性的最小化决定了政策和清算计划，随着最终清算的临近，该政策和清算计划将逐步非线性收紧。鉴于这一考虑和上述结果，未来研究必须澄清的一个有趣的论点是对特征“交易时间”的经济学解释，该特征是由订单的不确定性、动态风险度量的风险平均参数和特征半衰期之间的相互作用产生的。致谢我们要感谢两位匿名推荐人和编辑的仔细审查和有益的建议。我们感谢Claudio Tebaldi进行了宝贵的讨论，并仔细阅读了本文的草稿。霍尔格·卡夫、雅典娜·皮卡雷利和伊曼努埃拉罗萨扎·贾宁的评论值得特别提及。

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2022-6-11 08:45:46

最后，我们感谢所有参加研讨会和会议的与会者，在此介绍了我们的工作。通常的免责声明适用。动态风险调整的最佳执行23参考文献[1]Aur\'elien Alfonsi和Alexander Schied。极限订单书模型中的最优交易执行和价格操纵的缺失，暹罗金融数学杂志，1，pp.490–5222010。[2] 罗伯特·阿尔姆格伦（RobertAlmgren）具有非线性影响函数和交易增强的最优执行。《应用数学金融》，10（1），第1-18页，2003年。[3] Robert Almgre n和Neil Chriss，《投资组合交易的最佳执行》。《风险杂志》，3（2），第5-392000页。[4] Louis Bachelier，巴黎大学。《科学年鉴》（Annales Scientifiques de l’’Ecole NormaleSup’eriure），s’erie 3，17，第21–86页，1900年。[5] Peter Bank和Moritz Voss，具有随机终端约束的线性二次随机控制问题。《暹罗控制与优化杂志》，56（2），第672-6992018页。[6] Pauline Barrieu和Nicole El Karoui，定价、对冲和通过最小化风险措施优化设计衍生品。R.Carmona（编辑），《差异定价：理论与应用》，第77-146页，普林斯顿金融工程系列，普林斯顿大学出版社，2009年。[7] Dimitris Bertsimas和Andrew W.Lo。《执行成本的最优控制》，金融市场杂志，1（1），第1-50页，1998年。[8] 托马斯比约克，《连续时间套利理论》。第二版，牛津大学出版社，2009年。[9] Philippe Briand和Ying Hu。具有凸生成器和无界终端条件的二次BSDE，概率论和相关领域，141（3-4），pp.543–5672008。[10] 达米亚诺·布里戈和朱塞佩·迪·格拉齐亚诺。

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大多数88

2022-6-11 08:45:49

跨风险和动态的最佳执行比较，以及置换差异的解决方案，金融工程杂志，1（2），pp.1450018）2014。[11] Brian Bulthuis、Julio Concha、Tim Leung和Brian Ward，与贸易总监一起优化limitand市场订单的执行、限速器和FILL不确定性。《国际金融工程杂志》，4（02n03），2017年。[12] Rene Carmona和Kevin Webster，《限价订单图书市场中的自我融资方程》。《金融与随机》，23（3），第729-75912019页。[13] Alvaro Carte a、Sebastian Jaimungal和Jos’e Penalva，算法和高频交易。剑桥大学出版社，2015年。[14] \'Alvaro Cartea和Sebastian Jaimungal，一种以批量加权平均价格为目标的封闭式执行策略。《暹罗金融数学杂志》，7（1），第760-7852016页。[15] Xue Cheng、Marina Di Giacinto和Tai Ho Wang，Almgren-Chris框架下不确定订单的最优执行。《定量金融》，17（1），第55–69页，2017.24 X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H。王【16】让·米奇·考托、尤里·卡巴诺夫、伯纳德·布鲁、皮埃尔·克雷佩尔、伊莎贝尔·勒邦德·阿尔诺·勒马钱德、路易·巴塞利尔，纪念埃及建国100周年。《数学金融》，10（3），第339-3532000页。[17] Gianbi agio Curato，Jim Gatheral Fabrizi o Lillo，《具有非线性瞬态市场影响的最优执行》，定量金融。17（1），第41–54页，2017年。[18] Domenico Cuoco Hua He和Sergey Isaenko，《带风险限额的最佳动态交易策略》。运筹学，56（2），第358–3682008页。[19] Robert Engle和Robert Fe rste nberg，《执行风险》，投资组合管理杂志。33（2），第33–44页，2007年。[20] Jim Gatheral，无动态套利和市场影响。

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2022-6-11 08:45:53

《定量金融》，10（7），第749–7592010页。[21]Jim Gatherel和Alexander Schied，《Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行》。《国际理论与ppl iedFinance杂志》，14（3），第353–3682011页。[22]Kiseop Lee，《预算约束下的风险最小化》。《风险金融杂志》，9（1），第71-802008页。[23]Qihang Lin，Xi Chen和Javier Pe~na，一个综合动态一致风险度量下的交易执行模型。《运筹学快报》，43（1），第52–58页，2015年。【24】Anna A.Obizhaeva和Jiang Wang，《最优交易策略和供应/需求动态》。《金融市场杂志》，16（1），第1-32页，2013年。[25]BerntOksendal和Agn\'es Sulem，《带跳跃的前向-后向随机微分方程最优控制的最大值原理》。《暹罗控制与优化杂志》，48（5），第2945-29762009页。[26]Shige Peng，BSDE和随机优化。在J.Yan、S.Peng、S.Fang中。和L.Wu，《随机分析主题》（第2章），科学出版社，1997年。[27]彭士革，非线性期望，非线性评估和风险度量。M.Frittellian和W.Runggaldier（编辑），《金融中的随机方法》（第1856卷，第165-253页），数学讲师，Springer Verlag，2004年。[28]Silviu Perdoiu，Gennady Shaikhet和Shreve，Steven，《单面普通限价指令簿中的最优执行》。《暹罗金融数学杂志》，2（1），第183-212页，2011年。【29】Julien Vaes和Raphael Hauser，《价格和数量不确定性下的最优执行策略》。预印本，于2018年ArXiv上市。[30]Jongmin Yong和Xun Yu Zhou，随机控制：哈密顿系统和HJB方程。Springer Verlag，1999年。动态风险调整的最佳执行25附录A。关于损益函数的一些技术细节我们提供了更多关于损益函数的技术细节。A、 1。

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