该主张随后进行了直接计算，并观察到：a（t）- γ = -γ(2β-γ） 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+2β√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）[2β(1-κλ)-γ] 新罕布什尔州γ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλcoshγ√κλ2（η+λ）（T-t）或者，等效地，a（t）- γ = -γ(2β-γ） tanh公司γ√κλ2（η+λ）（T-t）+2β√κλ(2β-γ)(1-κλ）tanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）+γ√κλ1.-√κλtanhγ√κλ2（η+λ）（T-t）,如果β>γ且λ<κ，则明显为负值，因为γ√κλ2（η+λ）（T- t）≥ 0，对于任何t∈ [0，T]。关于Riccati常微分方程系统的解，我们指出，函数a（·）和c（·）的计算直接来自于求解关联常微分方程，而b（·）则通过显式计算为该函数导出的常微分方程的解来恢复l: [0，T]→ R、 定义为：l （T- t） ：=-b（t）a（t），t∈ [0，T]。事实上，a（·）和b（·）的常微分方程所产生的水流导致l（T- ·) 这可以通过常数的变化来解决。（长）计算的详细信息可根据要求提供。动态风险调整的最优执行29定理1的证明。我们知道，（4.14）中给出的函数w满足任何x的广义HJB方程（4.10）-（4.11）∈ 并想证明这种情况下的解是最优控制问题的唯一值函数。让我们考虑x∈ R和d v（·）∈ Vad[t，t]与相关的s状态轨迹X（·）：=X（·；t，X，v）。将Dynkin公式应用于函数（t，x）7→（a（t）- γ） x和（t，x）7→ b（t）x与过程x（·）分别。对于任何u∈ [t，t]，我们得到：EZTtd[a（u）- γ] X（u）== EZTt公司˙a（u）X（u）- [a（u）- γ] X（u）v（u）+ma（u）杜邦,然后：E-βX（T）==（a（t）- γ） x+EZTt公司λm-2 (η + λ)a（u）X（u）+- λmγa（u）X（u）+λmγX（u）- a（u）X（u）v（u）+γX（u）v（u）+ma（u）-mγ杜邦（B.1）安第斯ZTtd（b（u）X（u））= EZTt公司˙b（u）X（u）- b（u）v（u）杜邦,即。，- b（t）x=EZTt公司λm-2 (η + λ)a（u）b（u）X（u）+λvη+λa（u）X（u）+- λmγX（u）- b（u）v（u）杜邦.

（B.2）此外：EZTtd（c（u））= EZTt公司λm-2 (η + λ)b（t）+λvη+λb（t）+-ma（t）-mγ+λv-λvη+λ杜邦,i、 e.，30 X.CHENG，M.DI GIACINTO和T.-H。王- c（t）=EZTt公司λm-2 (η + λ)b（t）+λvη+λb（t）-ma（t）+-mγ+λv-λvη+λ杜邦（B.3）回顾（4.4），目标函数可以重新表述为：J（t，x；v（·））=Y（t；t，x；v（·））=E[Y（t；t，x；v（·））]==E-βX（T）-ZTt（γX（u）- 2λv）v（u）du- （λ+η）ZTtv（u）du+-λZTtZ（u）+Z（u）杜邦+γm- λv（T- t） 因此，通过将（B.1）代入上述中，我们得到以下结果：J（t，x；v（·））=（a（t）- γ） x+EZTt公司- （λ+η）v（u）+-（a（u）X（u）- 2λv）v（u）-λeZ（u）+eZ（u）++λm-2 (η + λ)a（u）X（u）- λmγa（u）X（u）++λmγX（u）+ma（u）+mγ- λv杜邦,从中，应用（B.2），回顾（B.3），并重新组织所有术语，我们得到：J（t，x；v（·））=（a（t）- γ） x+b（t）x+c（t）++EZTt公司-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v（u）]++λnm[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]-eZ（u）+eZ（u）o杜邦.（B.4）对于任何固定时间u∈ [t，t]，让我们定义以下函数：Lu（v，λ）：=-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v）++λnm[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]- （eZ+eZ）o，（B.5），其定义等于给定时间u下（B.4）右侧积分的参数∈ [t，t]。它解释了拉格朗日函数Optimal EXECUTION WITH DYNAMIC RISK ADJUSTMENT 31，与以下构造的优化问题相关：supv∈R-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v]服从（eZ+eZ）- m[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]≤ 0，对应于目标函数的损益部分所驱动的贡献最大化，以实现固定的最大风险储备。

注意，上述是一个静态约束优化问题，其中风险规避参数λ起拉格朗日参数v的作用∈ R是控制变量，二维向量（eZ，eZ）∈ Rappears作为自变量。设λ对应的最优控制变量用v表示（λ） 和（Z（λ） ，Z(λ))是满足等式约束的相应风险，拉格朗日函数的一阶条件如（B.5）所示：Lu（v，λ）v=-2（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v]=0，Lu（v，λ）λ=eZ+eZ- m[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]=0，表示：v(λ) = -a（u）X（u）+b（u）- 2λv2（η+λ），（eZ（λ） ）+（eZ（λ） ）=m[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]。由于目标函数在v中是凹的，我们观察到上述一阶条件对于选择（约束）最大值是必要且有效的。此外，如[25，第5.2节，第2972页]所述，我们证明：∈Rs.t.eZ+eZ-m[（a（u）-γ） X（u）+b（u）]≤0n-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v]o≤ supv公司∈注册护士-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v]o++λnm[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]- （eZ+eZ）o32 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。

王=n-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v（λ） ]o++λnm[（a（u）- γ） X（u）+b（u）]-h（eZ（λ） ）+（eZ（λ） ）io=n-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）- 2λv+2（η+λ）v（λ） ]o≤ supv公司∈Rs.t.eZ+eZ-m[（a（u）-γ） X（u）+b（u）]≤0n-4（η+λ）[a（u）X（u）+b（u）-2λv+2（η+λ）v]o。因此，在最大风险约束下，目标函数的最大化相当于每个给定λ>0时Lu（v，λ）的无约束最大化。现在，回想一下从x开始∈ 时间t时的R∈ [0，T]，对于每个控制v（·）∈Vad[t，t]，有一个唯一的过程选择（eZ,eZ公司)（·；t，x；v（·）），使解为（·；t，x；v（·））适用于受控状态方程（4.1）的后向部分，当x（·）：=X（·；t，x；v（·））是（4.1）前面部分的解。通过【9，第5节】，我们观察到（4.1）中的后向分量允许费曼卡表示；因此，用wv表示：[0，T]×R×R→ R一个性质的半线性抛物型偏微分方程的解，我们注意到wv（t，x）：=Y（t；t，x，v）是一个确定性函数，根据微分过程的马尔可夫性质，我们得到：Y（t） =wv（t，X（t） ），eZveZv公司（t） =-ΣD wv（t，X（t）），t∈ [0，T]，其中，∑在（4.8）中定义。值得注意的是，在任何固定时间u∈ [t，t]，很容易验证（eZ（λ） ，eZ(λ))= （eZv,eZv公司)（u） 即，拉格朗日问题的一阶条件由wv验证（t，x）和wv（t，x）=w（t，x）=w（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R。因此，点式最优条件的确定证实了v（·）在（4.16）中定义为最佳控制策略，因此（eZ,eZ公司)（·）定义（4.17）是一个二维最优控制过程，使（4.1）中的后向部分成为一个适应的过程。动态风险调整优化执行33最优解的唯一性是闭环方程（4.15）解唯一性的直接结果。

推论1的证明。结果是通过简单地回忆（4.3），并应用最优后向过程（4.17）和最优交易策略（4.16）得到的。命题2的证明。结果来自显式计算，并考虑了a（·）的Riccati方程的解和a（·）的线性方程的解l（T- ·), 如第28页引理1的证明所述。附录C.动态风险度量定义1。动态凸风险测度是一系列连续半鞅，对于任何有界停止时间T，它映射一个随机变量ξ（T）∈左侧(Ohm; R） 关于一个{R（t，ξ（t））}t的过程∈[0，T]并满足以下公理：凸性：对于任何停止时间S≤ T，对于任何ξ（T），ξ（T），对于任何α∈ [0，1]，R（S，αξ（T）+（1- α） ξ（T））≤ αR（S，αξ（T））≤ (1 - α） R（S，αξ（T））P-a.S。；单调递减：对于任何停止时间S≤ T，对于任何ξ（T），ξ（T）如ξ（T）≥ ξ（T）P-a.s.，运算符正在计算，即R（s，ξ（T））≤ R（S，ξ（T））P-a.S。；平移不变量：对于任何停止时间S≤ T，对于任何η（S）∈ FS，对于任何ξ（T），R（S，ξ（T）+η（S））=R（S，ξ（T））- η（S）P-a.S。；半群属性或时间一致性属性：对于任意三个有界停止时间≤ T≤ U，对于任何ξ（U），R（S，ξ（U））=R（S，-R（T，ξ（U）））P-a.s。；无套利：对于任何停止时间S≤ 对于任何ξ（T），ξ（T）使得ξ（T）≤ξ（T）P-a.s.，R（s，ξ（T））=R（s，ξ（T）），关于AS=：{s<T}=> ξ（T）=ξ（T）P-a.s.在AS上。34 X.CHENG、M.DI GIACINTO和T.-H。Wang在我们的框架中，关于动态凸风险测度与e维BSDE之间的严格关系的一个推广结果由以下命题陈述。提案3。Let（Z，Z）:= {（Z，Z）（t） }t∈[0，T]是与二维相关布朗运动（B，B）相对应的二维BSDEcontrol过程。

如果g是BSDE的凸驱动程序，则仅取决于（Z，Z）∈ HF（0，T；R）然后，对于ξ（T）∈ LFT公司(Ohm; R） ，溶液R（t，ξ（t））为：dR（t，ξ（t））=-g（t，Z（t），Z（t））dt+Z（t）dB（t）+Z（t）dB（t）R（t，ξ（t））=-ξ（T），刻画了一个动态凸风险测度。证据从结果[6，定理3.21，第125页]和[9，定理5，第554页]中的比较定理可以看出这一点。g条件风险度量的另一个简单示例对应于该风险回报交易的常规均值方差描述，如下所示：g（t，Z（t））=-θ（t）Z（t）+kZ（t）k，其中θ可以解释为与市场的相关性。Xue Cheng，北京大学数学金融系，北京，中国电子邮件地址：chengxue@math.pku.edu.cnMarina意大利C assino（FR）Cassino e del Lazio Meridionale大学经济与旅游研究所（Dipartmento Di Economia e Giurisprudenza），意大利C assino（FR），以及意大利米兰萨克罗大学金融科学与经济研究所（Dipartmento Dimatetica pe r le Scien ze economiche），电子邮件地址：digiacinto@unicas.itTai-Ho Wang，纽约市伯纳德·巴鲁克路1号纽约城市大学巴鲁克学院数学系，NY10010电子邮件地址：tai Ho。wang@baruch.cuny.edu